第10章结构动力学

FBFr 第十章 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a)

(b)

EI1=∞ EI

m y



分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y，。 (c)

(d) m m m

m m m

在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m，B处有一弹性支座（刚度系数为k），C处有一阻尼器（阻尼系数为c），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。解：1）刚度法该体系仅有一个自由度。可设A截面转角a为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为..mla。取A点隔离体，A结点力矩为：....3121233IMmlallmal 由动力荷载引起的力矩为：2121233ttqllql 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.2133laklcal 根据A结点力矩平衡条件0IpsMMM可得： 3...3221393tqlkamallcal 整理得：...33tqkacamalll 2）力法 A213tql13l13lkBC.lc 解：取AC杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移。根据几何关系，虚功方程为：...201110333ltqllklllcmxxdx 则同样有：...33tqkacamalll。 10-9 图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量m，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。

EI m1 m2 EI

EI EI

2EI

m m

a A c EI=∞ k B m a a a a

E D C F k m

kθ 解： 32.ca2ka..3ma32kak 取DF隔离体，0FM： ..2220.2322324aRamxdxkaRmaka 取AE隔离体：0AM ...32220430akmxdxcakaRa 将R代入，整理得： ..32251504Rmakak 10-10 试建立图示各体系的运动方程。 (a) 解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。 M(t) ..12ml （2）画出pM和1M图（在B点处作用一附加约束）

..3

24t

mlM

t

M1pR

pM 3EIl11k

1M （3）列出刚度法方程 113EIkl，..3124ptmRlM，1110pkR

代入1pR、11k的值，整理得：..432472tMEImll (b)

解： l11P

21P

l A B

EI l 2

m EI1=∞

M(t)

m l 2 l

FP(t) EI FBFr

1M图 2M图

试用柔度法解题此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y为坐标。

y是由动力荷载ptF和惯性力矩IM共同引起的。

11112()ptyMF 由图乘法： 321112233lllEIEI，312/252622248lllll

lEIEI



惯性力矩为..myl，33..5348ptllymylFEIEI

经整理得，体系运动方程为：..33516ptEImyyFl。 10-11 试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。 (a) 解： a2a1 1M图图乘得：31111225222223236aaafaaaaEIEI 311165EImfma (b) 解：此体系为静定结构，内力容易求得。在集中质量处施加垂直力P，使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为23。由此根据弯矩平衡可求得49Pk。 4293kkmm。 (c) 解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。

上简支梁柔度系数为332486llEIEI下简支梁柔度系数为396lEI

于是两者并联的柔度系数为331696102lEIEIEIl并，31102EImml (d)

解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。

水平支杆中力为33013EIl，即1133013EIkl。，1133013kEImml

EA1=∞ l 2 l 2 l 2 l

EI 2EI

m EI

l l

l m EI =常数

m 2a a a EI=常数

m EI1=∞

l l 2

k 33013EIl3

913EI

3913EIl

31213EIl

3613EIl

(e)忽略水平位移

解： 12

32

3

121

2565

6

1M图 22112455272213362aaa

faEAEAEA



111227EAmfma

(f)

解： 316l

532l

1 l332

l332

l316

l1364

l332

1M图 2M图 M图 31312331323162130.0149743223323221933219364l

lllllllEIEI



3318.1720.014974EIEImmlml



10-15 设已测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188mm减小至0.060mm，试求该结构

的阻尼比ξ。解：0475.006.0188.1ln201ln21nkkyyn 10-16 设有阻尼比ξ＝0.2的单自由度结构受简谐荷载FP(t)= Ftsin作用，且有75.0。若阻尼比降低至ξ＝0.02，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大？

解：2222222

411

mFA

已知从0.2降低至0.02. 75.0，tFFsin1，A不变。 1222

21827.016902.0416911692.041691FFFF

F简谐荷载的幅值应调整到0.827F。 10-19 试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位l 2 l 2

m l EI=常数

4a 4a 3a m EA=常数 FBFr

移幅值，并绘制最大动力弯矩图。设36mlEI。 (a)

解：由力法可知，单位荷载作用在B点引起33lEI位移。 313EImml，36EIml

3222

1sinsin31tFFlyttEIm

即幅值为33FlEI

当幅值最大时，弯矩也最大。 Fl maxM图 (b) 解： 2l 1l 1M图 2M图（1）求结构运动方程如所示弯矩图，图乘后，333112212215,,24348lllffffEIEIEI ..11121112..3sinsin245sin2ItCyfFfFtfmyfFtEIFyytmml 其中2*3245,2EIPFml，稳态解：*222331sin1512 =sin124145 =sin36tCPytmFltEIFltEI 所示结构的运动方程为35=sin36tCFlytEI，C点最大动位移幅值为3536FlEI （2）求B点的动位移反应 ..21222122sinsinItBtB

yfFfPtfmyfPt



*2221sin1tBPytm，*..

1sin1tBPytm



B EI m 2l2l

t F  sin A C

EI m t F  sin A B

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第10章结构动力计算基础

m
1
k
k
k
根据功的互等定理，有：
11 k
1 k
二、自由振动微分方程的解
2 y 单自由度体系自由振动微分方程写为： y 0
（10－2）
二阶齐次线性常微分方程式中：其通解为：当初始条件
2
k 1 m m
y(t ) C1 sin t C 2 cost
t 简谐荷载（按正余弦规律变化）一般周期荷载
t
（2）非周期荷载冲击荷载：在很短时间内，荷载值急剧增大或减小，如各种爆炸荷载、打桩机的锤头对桩柱的冲击等。
突加荷载：突然施加在结构上并保持不变的荷载，如施工中吊起重物的卷扬机突然开动时施加于钢丝绳上的荷载。
P(t) P
P(t)
P(t)
P tr t
四、自由振动和强迫振动
自由振动：结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。强迫振动：结构在动荷载作用下产生的振动。研究结构的强迫振动，可得到结构的动力反应。
五、动力计算中体系的自由度
1.动力自由度的定义动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗伯原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。确定体系运动过程中任一时刻全部质量位臵所需的独立几何参数数目，称为体系的动力自由度。
§10.1 动力计算的特点和动力自由度
一、动力荷载的概念及分类 1.动力荷载与静力荷载是指大小、方向和作用位臵不随时间变化或变化很小的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力较小因而可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。

高等机构学第十章机构弹性动力学

为研究整体结构，可建立一个统一的静坐标系，如图所示的坐标系 xoy 为系统坐标。系统坐标中的节点变形用向量q表示：
q x y T
由于去掉了机构刚性自由度，则认为曲柄固定不动，可视为悬臂梁,曲柄在O点的线位移和角位移为零，固该系统共有9个变量。
q1 , q2 为A点上的x、y方向的弹性线位移变形
k s —— 弹簧刚度
k f —— 推杆刚度
p —— 推杆外载荷
s1 —— 推杆在起始位置时弹簧预紧力
m —— 推杆的等效质量 y —— 推杆实际位移
yc ——与凸轮廓线有关的位移 yc f () —— 为凸轮转角
2.建立运动方程
微分：方程的基本型为
Fi

m
d2y dt2
Fi
k1 k2 k3 yc
为凸轮轴的扭转刚度为推杆刚度为压缩弹簧刚度为凸轮廓线产生的位移
P 外载荷
S1 预紧力
m 推杆等效质量
y 考虑到构件弹性时的推杆实际位移
y yc
连杆机构的动力学模型
构件的弹性运动看作刚性构件运动和弹性变形的
叠加结果。
黑线表示的为机构初始位置
虚线表示曲柄转动的刚
性机构位置
§10-2 含有弹性构件机构的分析方法
只要机构中含有一个以上的弹性元件，则认为该机构是弹性机构。高速、重载，且含有容易发生弹性变形的构件的机构，也应按弹性机构处理。
含有弹性构件的机构动力学分析方法通常经历以下过程：把实际机构简化为相应的力学模型；列出运动方程式；求解运动方程；对结果进行分析
本节讨论用有限元法研究构件的弹性运动，把构件看作为单元 —节点系统。图中的
OA A, AB,OB B

第十章结构动力学5

代入：
3.516 EI 精确解：1 2 m EI l m x 22.03 EI l2 2 m l
ml 5 ml 6 2 4 EIl 6 EIl 说明：1)由于φ1、φ2均近似于第一振型，由它们组合的第二振型 5 6 [k ] , [ m ] 6 7 2 3 自然很差，故第二频率不准。 m l m l 6 EIl 12 EIl 代入频率方程： 2)Rayleigh—Ritz法所得结果仍然偏高，其原因同瑞利法。 7 6
只取第一项代入：
l
x
l
2 1 x 2 1
0
jdx, kij EIi
[ k ] [ m] 0
2
mij m i j dx
0
l
代入频率方程：
k11 4 EIl,
ml 5 m11 5
5 m l 1 2 2 20EI 4 EIl 0 , 1 4.472 2 4 5 ml l
P 1 (t ) P 2 (t )
PN (t )
(t ) k y(t ) P(t ) m y
设
m1 m2
y1 (t )
mN
y N (t )
y (t ) Y i Di (t )
i 1
N
y2 (t )
(t ) K * D (t ) P* (t ) ( j 1,2, N ) M* D j j j j j M* j ---j振型广义质量 K
* j
Pj* (t )
折算体系
M* j K* j
Dj (t )
---j振型广义刚度
Pj* (t ) ---j振型广义荷载
计算步骤: 1.求振型、频率;

第10章_结构动力计算基础

解： m
m
EI
L
EI
EI
L
L
L
1
M 1图
图示结构体系虽有两个质量，但它们沿同一直线（水平方向）运动，故仍为单自由度体系。如图（b）示，作图M 1
柔度系数
2l3 3EI
自振频率
1 1 3EI
m 2m2l3
4m3l
3EI
自振周期
T2 2 4m3l
3EI
例4．图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质量不计,求其自振频率。
EI
W=1
8) 平面上的一个刚体
y2
y1 W=3
9)弹性地面上的平面刚体
W=3 10)
m EI
W=2
11)
W=1 12)
W=13 自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。
不计轴向变形: W=1
y3
y2 y1
W= 3
W= 1
∞
θ
W= 1
结论： ①结构自由度数目与质点的个数无关 ②结构自由度数目与超静定次数无关
思考：
动力计算的自由度与结构几何组成分析中的自由度有何区别
§10.2 单自由度体系的自由振动（不计阻尼）
实际上，工程中很多问题可化成单自由度体系进行动力分析或进行初步估算。单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
§10.1 动力计算的特点和动力自由度
一、动力荷载的概念及分类
1.动力荷载的概念
动力荷载是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷载，而且随时间变化较快，对结构产生的影响较大。
2.与静力荷载的区别
静力荷载是指随时间不变化（如恒载）或随时间变化很慢，对结构产生的影响较小，而且静力荷载只与作用位置有关，而动力荷载的变化是坐标和时间的函数。

第十章-结构动力学(部分)

3.动内力幅值计算动内力幅值计算
位移、惯性力、动荷载频率相同，对于无阻尼体系三者同时达到幅值。故，可将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法体系的最大动内力和最大动位移。
例1 试求图示体系质量的最大动位移，并绘制结构的最大动力弯矩图。已知 θ ＝
3 EI 。 3 ml
A
l 2
m1 = m
第10章结构动力学章
Structural dynamics
§10-1 概述 §10-2 体系的动力自由度 §10-3 单自由度体系运动方程的建立 §10-4 单自由度体系的自由振动 §10-5 单自由度体系的强迫振动 §10-6 多自由度体系的自由振动 §10-7 振型的正交型 §10-8 多自由度体系的强迫振动 §10-9 无限自由度体系的自由振动 §10-10 自振频率的近似计算
i i T
( ) () () ( [ M ]也是对称矩阵，同理，有 { A} [ M ]{ A} = { A} [ M ]{ A} ( i )T ( j) 2 2 (3)-(4) (3)-(4)，有 (ω i − ω j ) { A} [ M ]{ A} = 0 ( i )T ( j) 因为 ω i ≠ ω j ，所以 { A} [ M ]{ A} = 0 ( i ≠ j )
A1 = δ 11 m1 A1θ 2 + δ 12 m 2 A2θ 2 + ∆ 1 P 振幅方程为 2 2 A2 = δ 21 m1 A1θ + δ 22 m 2 A2θ + ∆ 2 P A1 = − 0 .086 ql 4 (EI ) EI 将 m1 = m ， m 2 = 2 m ， θ = 3 代入方程后，可求得 3 4 ml A2 = − 0 .018 ql (EI )

【哈工大结构动力学】SD 第10章多自由度体系2020

➢ 所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。
11
以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应于特征值，而振型即是特征向量。
得到体系的N 个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率
分别写成矩阵的形式，
1 2 N
1 0 0
0
2
0
或
1,2,3
T
n
jqj(t)
j
2.0jjqj(t )
j
2 j
qj(t
)
T j
M
Mj
I
ug(t )
振型分解法仅需知道各振型阻尼比 ξ，不需要知道阻尼矩阵[C]
定义振型参与系数γj
j
jT M I
Mj
jT M I jT M j
基本性质
[] 1
两边同时除以振型参与系数γj ，得到：（j＝1，2，…N）
得到三个根：
B1 0.3515, B2 1.6066, B3 3.5420
利用关系式
Bn n2 600
可得结构的三个自振频率：
12 210.88
1 14.522
22 963.96 2 31.048 (rad / s)
32 2125.20
3 46.100
19
算例10-1
求振型： (K n 2 M ) n 0
7
将位移向量{u}和加速度向量{ü}代入无阻尼自由振动方程：
u 2 sin( t ) u s in ( t )
M u K u 0
( 2 M K ) sin( t ) 0
因为sin(ωt+θ)为任意的，可以消去，因此，
(K 2 M ) 0
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自振

【结构动力学】第10章多自由度体系2020

0
0
N
其中，ωn— 第n阶自振频率，{φ}n—第 n阶振型。
[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。
13
5 DOF with uniform mass and stiffness
5 DOF Base Isolated 14
15
5 DOF with uniform mass and stiffness
k22 2m22 k2N 2m2n 0
k N1 2mN1 k N 2 2mN 2 k NN 2mNN
10
对于N个自由度的稳定结构体系，频率方程是关于ω2的 N次方程，
a N ( 2 ) N a N 1 ( 2 ) N 1 a1 2 a 0 0
由此可以解得N个正实根（ω12<ω22<ω32…<ωN2）。 ωn(n=1, 2, …, N)即为体系的自振频率。其中量值最小的频率ω1叫基本频率(相应的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
上述齐次方程组有非零解条件为：系数行列式为零
A [I ] 0
N×N矩阵[A]一般将有N个特征值，对应N个特征向量
6
§10-2 多自由度体系的自由振动
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
M u K u 0
其中：[M]、[K]为N×N阶的质量和刚度矩阵 {u}和{ü}是N阶位移和加速度向量 {0}是N阶零向量
11
把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型
K n 2 M n 0
{φ}n={φ1n, φ2n , …, φNn }T—体系的第n阶振型。 ➢ 由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令φ1n=1，才能确定其余的值。 ➢ 实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样，但其比例关系是不变的。

结构力学第10章-结构动力计算基础

1 1 1 3
2 2 2 3
k11 Q1 Q2
12 ( E1 I 1 E 2 I 2 ) h3
刚架水平振动时的自振频率为：
k11 12( E1 I1 E2 I 2 ) m m h3
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
1）运动微分方程的建立
体系在动力荷载作用下所产生的振动称为受迫振动。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
【例3】简支梁跨中安装一台电动机。已知电动机重Q=35kN，转速为n=400r/min。转动时由于偏心产生的离心力F=10kN，离心力的竖向分量为Fsinθt 。梁的截面抗弯刚度EI=1.848 ×104kN.m2。忽略梁
F (t ) FS (t ) FI (t ) 0
整理得
改写为
t k11 y t F (t ) my
y t 2 y t F (t ) m
k 11 m ,
此式即为单自由度体系无阻尼受迫振动的微分方程。式中下面分别讨论几种常见动力荷载作用下结构的动力性能。
1 1 2 1

1 3 E I m 11 4 m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
0 0， y 0 可由图乘法计算得到，振动。初始时刻质点速度为零，即 y
1 1 1 y M M d x ，则质点m的位移 0 1 P E I E I
1 1 3 E I y y c o s t c o s t 0 E I 4 m

F F 11 ，表示将动荷载的幅值F作为静荷载作用于结构时所引起式中 yst 的位移。令 1

2 1 2
则
F A yst
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动

结构力学：第十章结构动力学2

例图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。
m
m
m
l/2
l/2
解：1）求δ
1
l3 48EI
l/2 3l/16
l/2
P=1
l/2
2
7l 3 768EI
5l/32
P=1
l/2
l/2
3
l3 192EI
1
1
m1
48EI ml3
21
E1Im1l622(2
l 2
y
e
t
y0
cos
r
t
v0
y0 r
sin
r
t
y et asin(rt )
y
a
y02
(v0
2 r
y0
)2
tg y0r v0 y0
①阻尼对自振频率的影响.
r 1 2 , 随而 y
当ξ<0.2，则存在0.96<ωr/ω<1。在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，可近似取:
r , Tr T
例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,θ=80s-1
求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。
Psinθt
解：1)求ω
1
2
l3 48EI
1 2
1 2k
m
k
EI
l3 l 3 5l3
2m
2m
48EI 192EI 192EI
2)求β
1
m
192 EI 5ml 3
m
m
•对于静定结构一般计算柔度系数方便。

结构力学：第十章结构动力学6

越准。
5
例用Rayleigh—Ritz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
解：悬臂梁的位移边界条件为：
Y=0 Y’=0 （在左端）
设：Y a11 a22 a1x2 a2 x3
m EI
x l
只取第一项 1 x2 1 2
l
代入： kij 0 EIi jdx,
代入频率方程：
[k] 2[m] 0
2
5
2
ml4
EI ml4
4 6
2 ml4
6
6
2
EI ml4
12
0
求得最初两个频率近似值：
6 EI 7 EI
1
3.533 l2
EI m
2
34.81 l2
EI m
（0.48%）
（58%）说8 明
2、集中质量法
在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。
(
x)dx
2
0l q(x)Y (x)dx
0l m[Y (x)]2 dxmiYi2 2
例试求等截面简支梁的第一频率。
1）假设位移形状函数为抛物线
Y (x) x(l x)
2
2EIl ml5 / 60
满足边界条件且与第一振型相近
2
120EI ml4
x y
EI m
l
10.95 EI
l2 m
2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)
用不同的集中质量方案求
出对称振动和反对称振动
的自振频率。
最小频率对应着反对称振型
1.5m
2ml

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