圆内接正五边形的作法
圆内接正五边形作法 :
(1) 作⊙O 的互相垂直的直径AQ 、FG 。
(2) 以OQ 中点M 为心，MF 为半径作圆与AO 交于N 。
(3) 以Q 为心，QN 为半径作圆交⊙O 于B 、E ，则AB 、AE 为⊙O 内接 正五边形边长。
(4) 分别以B 、E 为心，以AB = AE 为半径作弧交⊙O 于C 、D ，则ABCDE 是圆内接正五边形。
证明：连结EQ
设OF ＝R ∵M 是OQ 中点 ∴OM ＝
2
R ∴MF ＝R R R 25)2(22=+ ∵MN ＝MF ∴MN ＝R 2
5 ∴QN ＝R 2
15EQ 215225＋＝ ∴+=+R R R ∵AQ ＝2R
∴AE ＝R 2
5210R 45210R 45264R EQ AQ 22222－＝－＝＋－＝－
如图（2）
ABCDE 半径为R 的圆内接正五边形，作OG ⊥AB 交⊙O 于G ，
连结BG 、作∠OBG 平分线交OG 于H
∵∠AOB ＝?725
360＝ ∵OA ＝OB OG ⊥AB ∴∠BOG ＝36°
∴∠OBG ＝∠OGB ＝72° ∴∠GBH ＝∠OBH ＝36°
∴∠GBH ＝∠BOG ∴ΔBGH ∽ΔOGB ∴GH OG BG 2?=＝ BG
GH OG BG ∵∠OBH ＝∠BOG ＝36° ∴OH ＝BH
∴BG 2＝R （R －OH ）＝R （R －BG ）
∴BG 2＋BGR －R 2＝0 ∴BG ＝2R 5±R ∴BG ＝R 2
15）－（ ∵OG ⊥AB ∠OGB ＝72° ∴∠GBA ＝18°
∴∠HBA ＝18° ∴∠GM ＝HM
∴GH ＝R －OH ＝R －BG ＝R －
R R 253215-=-
∴GM ＝R 4
5210R 453R 215BM 45322－＝）－－（）－（＝ ∴-R ∴AB ＝2BM ＝
R 25210－ 故图（1）中AE 与图（2）中AB 相等，且半径都为R ，故AE 为正五边形边长
第七节圆的内接正多边形
3.7 圆的内接正多边形 教学目标：（1）理解正多边形与圆的关系定理； （2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质； （3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念； 教学重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理． 教学难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解． 【知识要点】 1．正多边形的定义： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2．正多边形与圆的有关定理 把圆分成n(n≥3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； (2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形； (3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆。 注意：①依据正多边形与圆的有关定理(1)、(2)，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形，想一想，你能否利用直尺和圆规作已知圆的内接(或外切)正三角形、正方形、正六边形、正十二边形； ②如何证明任何一个正多边形A1A2A3……A n-1A n都有一个外接圆呢？ 我们可过A1、A2、A3三点作一个⊙O，分别连结OA1、OA2、OA3，OA4，通过证明△OA1A2≌△OA3A4，得到OA4=OA3=OA2=OA1. 从而点A4在⊙O上，同理可证A5、A6……A n-1、A n其余各点也都在⊙O上，则可推出此正多边形有一个外接圆。 3. 正多边形的其它性质 (1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 (2)边数相同的正多边形相似，正多边形的内切圆和外接圆是同心圆。 4. 正多边形的有关计算 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。 正n边形的有关计算公式 注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边
初中数学九年级下册圆内接正多边形1
3.8 圆内接正多边形 教学目标 1．了解圆内接正多边形的有关概念；(重点) 2．理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系；(重点) 3．掌握圆内接正多边形的画法．(难点) 教学过程 一、情境导入 这些美丽的图案，都是在日常生 活中我们经常能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？ 二、合作探究 探究点：圆内接正多边形 【类型一】 圆内接正多边形的相 关计算 已知正六边形的边心距为3，求正六边形的内角、外角、中心 角、半径、边长、周长和面积． 解析：根据题意画出图形，可得△OBC 是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB 的长，继而求得正六边形的周长和面积． 解：如图，连接OB ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于H ，∵六边形ABCDEF 是正 六边形，∴∠BOC ＝1 6 ×360°＝60°， ∴中心角是60°.∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝OC .∵OH ＝ 3，sin ∠OBC ＝OH OB ＝3 2 ，∴OB ＝BC ＝2.∴内角为 180°×（6－2） 6 ＝ 120°，外角为60°，周长为2×6＝12，S 正六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×1 2×2× 3 ＝6 3. 方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟练掌握． 【类型二】 圆内接正多边形的画 法 如图，已知半径为R 的⊙O ， 用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．
解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分． 解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°； (2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°； (2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵ ； (3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法三：(1)作直径AD ； (2)以D 为圆心，以OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ； (3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法四：(1)作直径AE ； (2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ， C ； (3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ， ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形． 方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类： 度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形． 【类型三】 正多边形外接圆与内 切圆的综合 如图，已知正三角形的边长为2a . (1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积； (2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？ (3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？ (4)已知正n 边形的边长为2a ，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积． 解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解． 解：(1)设正三角形ABC 的中心为 O ，BC 切⊙O 于点D ，连接OB 、OD ，则OD ⊥BC ，BD ＝DC ＝a .则S 圆环 ＝π·OB 2－π·OD 2＝π OB 2－OD 2 ＝π·BD 2
圆内接正多边形
圆内接正多边形 学习目标： 1、理解圆内接正多边形及正多边形的外接圆、正多边形的中心、半 径、边心距、中心角等概念。 2、掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行有关正 三角形，正方形，正六边形的计算。 1学习过程： 1、复习回顾 正n边形的有关计算公式： 每个内角= ，每个外角= 。 2、预习、交流并展示 阅读课本97页到98页，回答下列问题 （1）都在同一个圆上的正多边形叫做，这个圆叫做该正多边形的。 (2)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形 的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多 边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的，正n边 形的中心角是，中心到正多边形的一边的距离 叫做正多边形的。 如上图，五边形ABCDE是☉O的，☉O是五边形ABCDE 的圆，叫做正五边形ABCDE的中心，是正五边形ABCDE的半径，是正五边形ABCDE的中心角，中心角是
度，OM⊥BC，垂足为M，是正五边形ABCDE的边心距。（3）利用尺规作一个已知圆的内接正多边形 以圆内接正六边形为例： 由于正六边形的中心角为，因此它的边长和外接圆的半径R ，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形。 作法如下： （1）☉O的任意一条直径AD，如图（1） （2）分别以A、D为圆心，以☉O的半径R为半径作弧，与☉O相交于B、F和C，E则A，B，C，D，E，F是☉O的六等分点。 （3）顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA，便得到正六边形ABCDEF，图（2） 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求正六边形的中心角、边长和边心距。
正五边形尺规作图的画法及其他(精品)
正五边形尺规作图的画法及其他 正五边形的画法 第一种：圆内接正五边形的画法如下: 1、作一个圆，设它的圆心为O； 2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY； 3、作OY的中点M； 4、以点M为圆心，MA为半径作圆，交OX于点N； 5、以点A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦 AB=BC=CD=DE=AN，则五边形ABCDE即为正五边形。 第二种作法： 1. 以O为圆心，半径长为R画圆，并作互相垂直的直径MN和AP； 2. 平分半径OM于K，得OK=KM； 3. 以K为圆心，KA为半径画弧与ON交于H，AH即为正五边形的边长； 4. 以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E各点，顺次连结这些点。五边形ABCDE 即为所求。
第三种：圆内接正五边形的画法如下: 1、作一个圆，设它的圆心为O； 2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY； 3、作OY的中点M； 4、以点M为圆心，MA为半径作圆，交OX于点N； 5、以点A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦 AB=BC=CD=DE=AN，则五边形ABCDE即为正五边形。 以上两种图形的作法运用了所求图形边长与已知的线段长度的关系，用构造直角三角形的方法作出与所求图形的边长相等的线段，从而作出整
个图形，这是尺规作图中常用的一种方法——等线段法，即用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段。 正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的． 人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年． 17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如 Fi （i为右下角标）＝22i（底数2指数2的i次幂）＋1 的数． 费马的一个著名猜想是，当n≥3时，不定方程xn＋yn＝zn没有正整数解．现在他又猜测Fi都是素数，对于i＝0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi： F0＝3，F1＝5，F2＝17， F3=257，F4=65 537 验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么
北师大九下第17讲 正多边形和圆(基础)
正多边形和圆 【学习目标】 1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正 多边形； 3.会进行正多边形的有关计算. 【要点梳理】 知识点一、正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 知识点二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点三、正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
圆内接正多边形和圆
正多边形和圆 教学目标： （1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理； （2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力； （3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想． 教学重点： 正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理． 教学难点： 对定理的理解以及定理的证明方法． 教学活动设计： （一）观察、分析、归纳： 观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？ 2．正方形的边、角各有什么性质？
归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点． 教师组织学生进行，并可以提问学生问题． （二）正多边形的概念： （1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形． （2）概念理解： ①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….） ②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等． （三）分析、发现： 问题：正多边形与圆有什么关系呢？ 发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？ （四）多边形和圆的关系的定理 定理：把圆分成n(n≥3)等份： 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形； (2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件． (3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形． （五）初步应用 P157练习 1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么? 2．求证：正五边形的对角线相等． （六）小结：
正n边形的画法
正四边形的画法 正四边形:过任意两点AB作直线,在直线上截取AC,分别以A、C为圆心，AC、CA为半径作圆，作以A、C为顶点的两个平角的角平分线（作直角或垂直的方法），分别交⊙A于D、E，交⊙C于F、G，连接DF、EG，则四边形ABFD ABGE为所求作正四边形。 正五边形的画法 正五边形：作直线AB，截取线段AB，作BC⊥BA，且AB=2BC（作AB的垂直平分线），连接AC。以C为圆心，BC为半径作圆交AC于P，再以A为圆心，AP为半径作圆，交AB于M。以M为圆心，MB为半径作圆交AB的垂直平分线于D，以A、D为圆心，AD、AB为半径作圆交于一点E，以B、D为圆心，BD、AB为半径作圆交于一点F。连接AD、BD、AE、BF、EF。则五边形ADBFE 为正五边形。 一先画个圆 2 在画出这个圆的一对成直角的直径 3 随便选你画的直径上你任何一个半径，找到它的中点 4 用圆规以这个你找的中点为一点，量出与你找中点所在半径所垂直的半径与圆的边的交点的长度 5 保持这个长度 6 以你所找的中点为圆心，以你找的长度画圆 7 我们就可以看见中点所在的直径上有有了一个点 8 找到新的点，还是用圆规量出与你点所在半径垂直的半径与圆边的交点的距离 9 保持这个距离在圆的边上找一点，画个圆，得到3个点，在分别用其他两个点画园，又可以得到两个点 11 连接5个点 正六边形的画法 正六边形：作⊙O，及过O点作直线AB，交⊙O于A、B。分别以A、B为圆心，AO、BO 为半径作圆交⊙O于C、D、E、F（C、E在AB同侧），连接AC、AD、BE、BF、CD、EF，则六边形ACEBFD为所求作正六边形。
3.8 圆内接正多边形 教学设计
《圆内接正多边形》 教学目标为： 知识目标： （1）掌握正多边形和圆的关系； （2）理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念； （3）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题； （4）会运用多边形知和圆的有关知识画多边形. 能力目标：学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，培养学生的概括能力和实践能力. 情感目标：通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识. 教学重点：掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算. 教学难点：正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题. 教学设计 第一环节课前准备 活动内容：社会调查（提前一周布置） 以4人合作小组为单位，开展调查活动： （1）各尽所能收集生活中各行各业、各学科中应用的各种正多边形形状的物体或照片. （2）对收集的其中最感兴趣的一件正多边形形状的物体进行研究. 第二环节情境引入 活动内容：各小组派代表展示自己课前所调查得到的正多边形形状的物体（可以是照片、资料、也可以是亲自仿制），并解说从中获取的知识（选3—4个小组代表讲解）
第三环节 圆内接正多边形的概念 活动内容：学习圆内接正多边形及有关概念 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆. 把一个圆n 等分（3≥n ），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形. 如图3－35，五边形ABCDE 是圆O 的内接正五边形，圆心O 叫做这个正五边形的中心；OA 是这个正五边形的半径；AOB ∠是这个正五边形的中心角；BC OM ⊥，垂足为M ，OM 是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中也有同样的定义. 第四环节 例题学习 例：如图3－36，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径4=OC ，BC OG ⊥，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距. 解：连接OD ∵六边形ABCDEF 为正六边形 ∴?=?=∠606 360COD ∴COD ?为等边三角形. ∴4==OC CD 在COG Rt ?中，4=OC ，2=CG ∴32=OG ∴正六边形ABCDEF 中心角为?60，边长为4，边心距为32. 第五环节 尺规作图 活动内容：1、用尺规作一个已知圆的内接正六边形. 2、用尺规作一个已知圆的内接正四边形. 3、思考：作正多边形有哪些方法？ 第六环节 练习与提高 活动内容：1、分别求出半径为6cm 的圆内接正三角形的边长和边心距.
圆内正五边形
正五边形的定义与性质 五条长度相等的线段，首尾相连构成的一个封闭形状的平面图形叫正五边形。正五边形每个角均为108°，每条边长度相等。正五边形是旋转对称图形，但不是中心对称图形。 正五边形 正五边形的面积公式为S正五边形=1/4a^2*√﹙25+10√5﹚ 编辑本段正五边形的画法 常规画法 (1)已知边长作正五边形的近似画法 ①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K。 ②以K为圆心，取AB的2/3长度为半径向外侧取C点，使CK=1/2AB。 ③以点C为圆心，已知边长AB为半径画弧，分别与前两弧相交于M，N。 ④顺次连接A，B，N，C，M各点即近似作得所要求的正五边形。 (2)民间口诀画正五边形 口诀介绍：“九五顶五九,八五两边分”。 画法: ①画线段AB=20mm。 ②作线段AB的垂直平分线l，垂足为G。 ③在l上连续截取GH，HD，使 GH=9.5/5*10mm=19mm，HD=5.9/5*10mm=11.8mm。 ④过H作EC⊥HG,在EC上截取HE=HC=8/5*10mm=16mm。 ⑤连结DE，EA，AB，BC，CD。 五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形。 尺规作图画法 1.作线段AB 2.作线段AB的垂直平分线HI垂足为H(基本作图)
3.以线段AB为一边,作正方形(不会作,看下面小步骤) (1)以点A为圆心,适当长为半径,画弧,交直线AB(看清楚,是直线)于点C、D。 （2）分别以点C、D为圆心，大于二分之一CD长为半径，画弧，两弧交于点E。 （3）过点E作直线AE，并以点A为端点在直线AE上截取线段AF=AB。 （4）以点F、B为圆心，线段AB长为半径，画弧，两弧交于点G。 （5）连结线段FG、BG。则四边形ABGF为正方形。 4.继续。以点H为圆心，线段HG长为半径，画弧，交射线HC于点J。 5.分别以点A、J为圆心，线段AB长为半径画弧，两弧交于点K，连结AK BK。 6.作线段HJ的垂直平分线L。 7.以点J为圆心，线段AK长为半径，画弧，交直线L于点M 8.再分别以点A。M为圆心，线段AK长为半径，画弧，两弧交于点N 连结JM、MN、AN 五边形AJBMN就是正五边形。 编辑本段圆内接正五边形 圆内接正五边形的定义与性质 圆内接正五边形指内接于圆的正五边形。圆内接正五边形的每一条边相等（即圆的每一条弦相等），每个角均为108°，每个角在圆内所对的优弧相等。 圆内接正五边形的尺规作图 （1）以O为圆心，定长R为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和 AP. （2）平分半径ON，得OK=KN. （3）以 K为圆心，KA为半径画弧与 OM交于 H， AH即为正五边形的边长. （4）以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E各点，顺次连接这些点即得正五边形。
圆的内接正多边形与计算
一、正多边形与圆 1、正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形的相关概念 （1）我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. （2）外接圆的半径叫做正多边形的半径. （3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. （4）中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距. 3、正多边形的性质 （1）正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴。 （2）偶数边的正多边形是中心对称图形。 4、正多边形的有关计算 （1）正n边形的每个内角都等于 （2）正n边形的每一个外角与中心角相等，等于 （3）正n边形的边长a，半径R,边心距r，周长P,面积S的关系（特别要掌握正三角形、正方形和正六边形） 巩固练习： 1、已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为 2、正六边形的半径为2厘米，那么它的周长为 3、边长为a的正方边形的边心距为 4、半径为5厘米的圆中，有一条长为6厘米的弦，则圆心到此弦的距离为 5、正三角形的内切圆与外接圆面积之比为_________． 6、若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是 7、有一个边长为1.5cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为___________cm． 8、已知圆内接正六边形的边长是1，则这个圆的内接正方形的边长是____________． 9、下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（） （A）正三角形．（B）正五边形．（C）正六边形．（D）正七边形． 二、圆中计算的相关公式
1、若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为l （1）弧长公式： （2）扇形面积公式： （3）圆锥的侧面积： （4）圆锥表面积： （4）圆柱体表面积公式： 2、常见组合图形的周长、面积的几种常见方法 （1）公式法（2）割补发（3）拼凑法（4）等积变换法 巩固练习： 1、扇形的圆心角为120°，半径为6，求扇形的弧长 2、若75°的圆心角所对的弧长是π5.2，此弧所在圆的半径为 3、一扇形的弧长为π 12，圆心角为120°，求扇形的面积 4、已知扇形的弧长是2π厘米，半径为12厘米，则这个扇形的圆心角是 5、已知扇形的圆心角为150 ，它所对的弧长为20π厘米，则扇形的半径是________厘米，扇形的面积是__________平方厘米． 6、扇形的圆心角为120 ，弧长为6π厘米，那么这个扇形的面积为_________． 7、圆锥的母线长为5厘米，高为3厘米，在它的侧面展开图中，扇形的圆心角是_________度． 8、已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥侧面展开图的面积是 9、一个圆柱形油桶的底面直径为0.6米，高为1米，那么这个油桶的侧面积为 10、一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6厘米，母线长为5厘米，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是 11、在Rt△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，∠A＝ 90．如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆 锥，其表面积为S 1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2 ，那么S 1 ∶S 2 等于 12、在Rt△ABC中，∠C＝ 90，AＢ＝3，BC＝1，以AC所在直线为轴旋转一周，所得
【教学设计】圆内接正多边形
圆内接正多边形 章节内容《圆内接正多边形》 时间班级九年级 课程标准了解正多边形与圆的关系；作圆的内接正方形和正六边形。 教材内容分析 本课内容是北师大版数学教科书九年级下册第三章第八节《圆内接正多边形》，是学生掌握了正多边形的相关知 识以及圆的性质。这些知识都将为本节的学习起着重要的铺垫作用。本节内容正多边形和圆也是今后进一步研究圆的性 质的基础，在教材中有着承上启下的重要地位。本节课从定性、定量的两个角度去讨论，挖掘蕴含的数学知识，把感性 认识转化成理性认识，具体到抽象，让学生主动参与，亲身 体验知识的发生与发展的过程。利用正多边形和圆的关系， 把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想。 学情分析 学生有自主学习的兴趣，但缺少思考的习惯，研究问题只停留在表层，另外学生之间的差距有点大，有的同学积极主动，有的则很被动，另外因年龄原因，课堂上氛围一般，不算积极踊跃。 教学设计整体 思路 根据《数学课程标准》中"要引导学生投入到探索与交流的学习活动中"的教学要求,本节课教学过程我是这样设计的:复习旧知;自学时光；例题讲解；探索新知；课堂小结；课堂检测六个教学环节 学习目标1.通过阅读课本能说出圆的内接正多边形的有关概念； 并会应用正多边形的知识进行有关的计算；2.经历作图，会利用等分圆的方法画圆的内接正方形和 正六边形。
评价设计随堂练习和课本习题以及能力提高检测本节课目标。 教学环节教学过程设计意图 环节1 复习旧知复习正多边形的定义和内角和以及外 角和等知识。 以复习旧知的形式引出 本节新课。 环节2 自学时光学生自主阅读课本总结圆内接多 边形的定义及相关概念。 概念性知识让学生自主 完成，培养学生的自学 能力。 环节3 例题讲解本环节一是检验学生学习状况，二是让学生产生一种利用新知解决问题的成就感，提升学生学习积极性. 环节4 探索新知圆内接正六边形的画法。 通过教师讲解，学生掌 握画正六边形的方法。 环节5 课堂小结本节课你学会了什么？ 学生谈论总结，回顾本 节课的内容。 环节6 课堂检测课堂检测习题 学生自主练习，检查本 节课的知识掌握情况。
几何作图的方法(含六边形画法等)
六、几何作图 1、正六边形的画法 绘制正六边形，一般利用正六边形的边长外接圆半径的原理，绘制步骤如图1-14所示。 图1-14 正六边形画法 2、正五边形的画法 1．已知正五边形的边长AB，绘制正五边形的方法如图1-15所示。 (1)分别以A、B为圆心，AB为半径画弧，与AB的中垂线交于K； (2)在中垂线上自K向上取CK＝2AB/3，得到C点； (3)以C点为圆心，AB为半径画圆弧与前面所画两段圆弧相交于D、E点，即可得到正五边形的五个顶点。 图1-15 已知边长画正五边形 2．已知外接圆直径，绘制正五边形的方法。 (1)取半径的中点K； (2)以K点为圆心，KA为半径画圆弧得到C点； (3)AC即为正五边形边长，等分圆周得到五个顶点。 3、斜度与锥度 1．斜度 斜度是指一直线或平面对另一直线或平面的倾斜程度。工程上用直角三角形对边与邻边的比值来表示，并固定把比例前项化为1而写成1 : n的形式，如图1-17(a)所示。若已知直线段AC的斜度为1 : 5，其作图方法如图1-16所示。
图1-16斜度的画法 2．锥度 锥度是指圆锥的底圆直径D与高度H之比，通常，锥度也要写成1 : n的形式。锥度的作图方法如图1-17所示。 图1-17 锥度的画法 4、圆弧连接 圆弧与圆弧的光滑连接，关键在于正确找出连接圆弧的圆心以及切点的位置。由初等几何知识可知：当两圆弧以内切方式相连接时，连接弧的圆心要用R－R0来确定；当两圆弧以外切方式相连接时，连接弧的圆心要用R＋R0来确定。用仪器绘图时，各种圆弧连接的画法如图1-18所示。这些作图方法在计算机绘图中实现起来既准确又快捷，充分体现了计算机高速和精确的特点。 (a)用圆弧连接两已知直线 (b) 用圆弧连接直线和圆弧 (c)与两圆弧外切的画法 (d)与两圆弧内切的画法
圆内接正五边形的作法
圆内接正五边形作法 : (1) 作⊙O 的互相垂直的直径AQ 、FG 。 (2) 以OQ 中点M 为心，MF 为半径作圆与AO 交于N 。 (3) 以Q 为心，QN 为半径作圆交⊙O 于B 、E ，则AB 、AE 为⊙O 内接 正五边形边长。 (4) 分别以B 、E 为心，以AB = AE 为半径作弧交⊙O 于C 、D ，则ABCDE 是圆内接正五边形。 证明：连结EQ 设OF ＝R ∵M 是OQ 中点 ∴OM ＝ 2 R ∴MF ＝R R R 25)2(22=+ ∵MN ＝MF ∴MN ＝R 2 5 ∴QN ＝R 2 15EQ 215225＋＝ ∴+=+R R R ∵AQ ＝2R ∴AE ＝R 2 5210R 45210R 45264R EQ AQ 22222－＝－＝＋－＝－
如图（2） ABCDE 半径为R 的圆内接正五边形，作OG ⊥AB 交⊙O 于G ， 连结BG 、作∠OBG 平分线交OG 于H ∵∠AOB ＝?725 360＝ ∵OA ＝OB OG ⊥AB ∴∠BOG ＝36° ∴∠OBG ＝∠OGB ＝72° ∴∠GBH ＝∠OBH ＝36° ∴∠GBH ＝∠BOG ∴ΔBGH ∽ΔOGB ∴GH OG BG 2?=＝ BG GH OG BG ∵∠OBH ＝∠BOG ＝36° ∴OH ＝BH ∴BG 2＝R （R －OH ）＝R （R －BG ） ∴BG 2＋BGR －R 2＝0 ∴BG ＝2R 5±R ∴BG ＝R 2 15）－（ ∵OG ⊥AB ∠OGB ＝72° ∴∠GBA ＝18° ∴∠HBA ＝18° ∴∠GM ＝HM ∴GH ＝R －OH ＝R －BG ＝R － R R 253215-=- ∴GM ＝R 4 5210R 453R 215BM 45322－＝）－－（）－（＝ ∴-R ∴AB ＝2BM ＝ R 25210－ 故图（1）中AE 与图（2）中AB 相等，且半径都为R ，故AE 为正五边形边长
作圆内接正五边形
第1讲 线段的切分点 人教版八下P49页第10题： 1、如图，线段AB 的长为1，在线段AB 上的点C 满足AB BC AC ?=2，求线段AC 的长。 但是题目并没有给出点C 是如何作出来的？ 在《历史数学命题赏析》P399中给出了这个点的两种作法： ①如图1，以AB 为边作正方形ABDE 取AE 的中点F ，以F 为圆心FB 为半径画弧交EA 延长线于G ，以AG 为边作正方形AGHC ，则C 为所求的点： AB BC AC ?=2。 （《几何原本》第四次印刷版，P97第二卷命题11） ②如图2，过B 作,AB BD ⊥ 且 ,2 1AB BD = 连接AD ，以D 为圆心，DB 为半径画弧交AD 于E ；以A 为圆心AE 为半径画弧交AB 于C ，则点C 为所求。 以上作法中给出的点C ，人们称之为黄金分割点，而 2 15-这个数叫做黄金分割数。
第2讲弦切角、切割线定理 1、弦切角及弦切角定理 顶点在圆上，一条边与圆相交而另一条边与圆相切的角叫做弦切角。 弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 已知：BAC ∠所夹的弧是弧AB，APB ∠是⊙O的弦切角，AC与⊙O相切，BAC ∠ 是弧AB所对的圆周角 求证：BAC ∠=APB ∠ 分析：类似于圆周角与圆心的三种位置关系，弦切角与圆心得位置关系也有三种：圆心在弦AB上；圆心在弦切角BAC ∠的内部。 ∠的外部；圆心在弦切角BAC 2、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。 已知：如图，P为⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，PT是⊙O的割线，PT交⊙O于点B、C。 求证：2 =? PA PB PC 切割线定理的逆定理 如图，P为⊙O外一点，A是⊙O上一点，，PT是⊙O的 割线，PT交⊙O于点B、C。2 =? PA PB PC 求证：PA是⊙O的切线
中考正多边形和圆知识点
正多边形和圆知识点 学习要求： 了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行正三角形、正方形、正六边形有关的计算. 内容分析： 1．正多边形的定义： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2．正多边形与圆的有关定理 把圆分成n(n≥3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； (2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形； (3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆。 注意：①依据正多边形与圆的有关定理(1)、(2)，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形，想一想，你能否利用直尺和圆规作已知圆的内接(或外切)正三角形、正方形、正六边形、正十二边形； ②如何证明任何一个正多边形A1A2A3……A n-1A n都有一个外接圆呢？ 我们可过A1、A2、A3三点作一个⊙O，分别连结OA1、OA2、OA3，OA4，通过证明△OA1A2≌△OA3A4，得到OA4=OA3=OA2=OA1. 从而点A4在⊙O上，同理可证A5、A6……A n-1、A n其余各点也都在⊙O上，则可推出此正多边形有一个外接圆。 想一想，在此基础上如何证明⊙O的圆心O点也是其内切圆的圆心呢？ 3. 正多边形的其它性质 (1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，边数为 偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 (2)边数相同的正多边形相似。 4. 正多边形的有关计算 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。 正n边形的有关计算公式 (1) (2)
圆内接多边形
8 圆内接正多边形 【教学目标】 知识技能目标: 1.理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念. 2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题. 过程性目标: 学生在探讨正多边形和圆的关系学习中,体会到要善于发现问题、解决问题,培养学生的概括能力和实践能力. 情感态度目标: 通过学习,体验数学与生活的紧密相连;通过合作交流,探索实践培养学生的主体意识. 【重点难点】 重点:掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系,并能进行有关计算. 难点:正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题. 【教学过程】 一、创设情境 社会调查(提前一周布置) 以4人合作小组为单位,开展调查活动: (1)各尽所能收集生活中各行各业、各学科中应用的各种正多边形形状的物体或照片.
(2)对收集的其中最感兴趣的一件正多边形形状的物体进行研究. 各小组派代表展示自己课前所调查得到的正多边形形状的物体(可以是照片、资料等),并讲解从中获取的知识(选3—4个小组代表讲解) 二、探究归纳 学习圆内接正多边形及有关概念 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆. 把一个圆n等分(n≥3),依次连接各分点,我们就可以作出一个圆内接正多边形. 五边形ABCDE是圆O的内接正五边形,圆心O叫做这个正五边形的中心;OA是这个正五边形的半径;∠AOB是这个正五边形的中心角;OM⊥BC,垂足为M,OM是这个正五边形的边心距.在其他的正多边形中也有同样的定义. 例:在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4,OG⊥BC,垂足为G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距. 解:连接OD, ∵六边形ABCDEF为正六边形, ∴∠COD==60°, ∴△COD为等边三角形. ∴CD=OC=4. 在Rt△COG中,OC=4,CG=2, ∴OG=2,
正多边形的画法
正三角形的画法 第一步：用圆规画一个圆， 第二步：半径不变，把圆规的针脚放在圆周上任意一点P画弧与圆交于两点A、B， 第三步：半径不变，把圆规的针脚放放在点A处再画画弧与圆交于两点P、Q(P是第二步中的P)， 第四步：以A、B、Q为顶点作△ABQ，则△ABQ即为圆内接等边△。 正四边形的画法 取已知圆O上任一点A，以A为一个分点把⊙O六等分，分点依次为A、B、C、D、E、F。分别以A、D为圆心，AC、BD为半径作圆交于G，以A为圆心，OG为半径作圆，交⊙O 于M、N，则A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。其中的把⊙O六等分,是取AB=AO(因为是等边三角形),以此类推,可得到六等分点可参考图片 正五边形的画法 ①以O为圆心，r为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和AP。 ②平分半径ON，得OK=KN。
③以K为圆心，KA为半径画弧与OM交于H，AH即为正五边形 的边长。 ④以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E点， 正七变形的画法 ①以定长R为半径作圆，并过圆心O作互相垂直 的纵横两条直径MN、HP. ②过N点任作一射线NS，用圆规取七等分，把端 点T与M连结起来，然后过NT上的各点推出MT 的平行线，把MN七等分. ③以M为圆心，MN为半径画弧，和PH的延长线 相交于K点，从K向MN上各分点中的偶数点或 奇数点（图中是1、3、5、7各点）引射线，与交 于A、B、C、M. 再分别以AB、BC、 CM为边长， 在圆周上从A点（或M点）开始各截一次，得到 其他三点，把这些点依次连结起来，即得近似的正 七边形. 正八边形的画法
正九边形的画法 内接9边形画法：先画一个圆。再画两个相互颠倒的内接等边三角形。再把6角星的对角两两相连。得到6个与两个等边三角形的底边的6个交点。选择每一个交点为圆心，到圆内部正六边形的底边的任意一端点的距离为半径，画圆，与大圆产生2个交点。把所有交点画出来再相连，就得到正九边形。
圆内接正多边形
第三章圆 《圆内接正多边形》 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过圆和正多边形，对圆和正多边形的特点有所了解，在本章前面几节课中，又学习了圆的性质和与圆有关的三种位置关系的基本技能. 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索圆的性质，解决了一些简单的现实问题，感受到了圆的性质，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力. 二、教学任务分析 根据学生已有的认识基础和本课的教材地位、作用，依据教学大纲，确定本课的教学目标为： 知识目标： （1）掌握正多边形和圆的关系； （2）理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念； （3）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题； （4）会运用多边形知和圆的有关知识画多边形. 能力目标：学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，培养学生的概括能力和实践能力. 情感目标：通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识. 教学重点：掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算.
教学难点：正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题. 三、教学设计分析 本节课设计了八个教学环节：课前准备——社会调查、情境引入、圆内接正多边形的概念、例题学习、尺规作图、练习与提高、课堂小结、布置作业. 第一环节情境引入 活动内容：设计一个小故事提出问题‘有一个亭子它的地基半径为r的正六边形,求地基的周长和面积’ 活动目的：激起学生对探索正多边形与圆的兴趣，让学生学会用数学语言表述问题，培养学生从物体中获取知识的能力，由此引出我们本节课要来研究的问题（自然引出课题） 第二环节圆内接正多边形的概念 活动内容：学习圆内接正多边形及有关概念 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆. 把一个圆n等分（3 n），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正 ≥ 多边形. 如图3－35，五边形ABCDE是圆O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；AOB ∠是这个正五边形的中心角；OM⊥，垂足为M，OM是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中BC 也有同样的定义. 活动目的：让学生了解有关正多边形的概念，引导学生逐步深入的学习. 第三环节问题探究 活动内容：正n(n≧3)边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？（小组讨论完成） 活动目的：有关正多边形的中心角与外角的计算，通过讨论加深学生对概念
五边形、六边形、椭圆几何作图的方法
几何作图 1、正六边形的画法 绘制正六边形，一般利用正六边形的边长外接圆半径的原理，绘制步骤如图1-14所示。 图1-14 正六边形画法 2、正五边形的画法 1．已知正五边形的边长AB，绘制正五边形的方法如图1-15所示。 (1)分别以A、B为圆心，AB为半径画弧，与AB的中垂线交于K； (2)在中垂线上自K向上取CK＝2AB/3，得到C点； (3)以C点为圆心，AB为半径画圆弧与前面所画两段圆弧相交于D、E点，即可得到正五边形的五个顶点。 图1-15 已知边长画正五边形 2．已知外接圆直径，绘制正五边形的方法。 (1)取半径的中点K； (2)以K点为圆心，KA为半径画圆弧得到C点； (3)AC即为正五边形边长，等分圆周得到五个顶点。 3、斜度与锥度 1．斜度 斜度是指一直线或平面对另一直线或平面的倾斜程度。工程上用直角三角形对边与邻边的比值来表示，并固定把比例前项化为1而写成1 : n的形式，如图1-17(a)所示。若已知直线段AC的斜度为1 : 5，其作图方法如图1-16所示。
图1-16斜度的画法 2．锥度 锥度是指圆锥的底圆直径D与高度H之比，通常，锥度也要写成1 : n的形式。锥度的作图方法如图1-17所示。 图1-17 锥度的画法 4、圆弧连接 圆弧与圆弧的光滑连接，关键在于正确找出连接圆弧的圆心以及切点的位置。由初等几何知识可知：当两圆弧以内切方式相连接时，连接弧的圆心要用R－R0来确定；当两圆弧以外切方式相连接时，连接弧的圆心要用R＋R0来确定。用仪器绘图时，各种圆弧连接的画法如图1-18所示。这些作图方法在计算机绘图中实现起来既准确又快捷，充分体现了计算机高速和精确的特点。 (a)用圆弧连接两已知直线 (b) 用圆弧连接直线和圆弧 (c)与两圆弧外切的画法 (d)与两圆弧内切的画法