2020年广东省高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.已知复数为虚数单位，，若，则A. 4B. 2C.D.3.小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为A. B. C. D.4.若x，y满足约束条件，则的最大值是A. 9B. 7C. 3D. 65.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺6.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.7.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为A. B.C. D.8.已知双曲线的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，若，则该双曲线的离心率为A. B. 2 C. D.9.已知数列满足，且，设，记数列的前n项和为，则A. B. C. 2019 D.10.把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，关于的说法有：函数的图象关于点对称；函数的图象的一条对称轴是；函数在上的最上的最小值为；函数上单调递增，则以上说法正确的个数是A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11.已知椭圆C的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且，的面积为，则椭圆C的方程为A. B. C. D.12.已知函数，若函数有唯一零点，则a的取值范围为A. B. ，C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.记等比数列的前n项和为，若，，则公比______．14.已知向量，，且向量与的夹角为，则______．15.对于任意实数a，b，定义，函数，，，若函数有两个零点，则k的取值范围为______．16.如图，在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接C.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．求角A的大小；若，且AB边上的高等于，求sin C的值．18.如图，四棱锥中，四边形ABCD是边长为4的菱形，，，E是BC上一点，且，设．证明：平面ABCD；若，，求三棱锥的体积．19.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．质量指标频数2820302515合计100请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表单位：件，并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：，其中．已知每件产品的纯利润单位：元与产品质量指标值的关系式为，若每台新设备每天可以生产100件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成本．20.已知曲线C上每一点到直线l：的距离比它到点的距离大1．求曲线C的方程；曲线C任意一点处的切线不含x轴与直线相交于点M，与直线l相交于点N，证明：为定值，并求此定值．21.已知函数，其中e为自然对数的底数．若，求函数在点处的切线方程；若函数的极小值为，求a的值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求直线l的直角坐标方程；已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，若的最大值为6，求a的值．23.已知函数．解不等式：；若a，b，c均为正数，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合，，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：因为复数，所以，即，所以．故选：C．根据复数的基本运算法则进行化简，再由模长公式列方程求解即可．本题主要考查复数的乘法法则和模的计算，比较基础．3.答案：A解析：解：小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，基本事件总数，小青不站在两边包含的基本事件个数，小青不站在两边的概率为．故选：A．基本事件总数，小青不站在两边包含的基本事件个数，由此能求出小青不站在两边的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为直线方程的斜截式：．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，Z有最大值为；故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.答案：D解析：解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，，，即．解得，．立秋的晷长．故选：D．由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，可得：，，即解出利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：设内接圆柱的高为h，则圆锥的高，一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，其内接圆柱的体积为，，解得，圆锥的高，该圆锥的体积为：．故选：C．设内接圆柱的高为h，则圆锥的高，由内接圆柱的体积为，求出，从而圆锥的高，由此能求出该圆锥的体积．本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥、圆柱的体积公式、结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.答案：B解析：解：根据题意，函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，又由，则，解可得：，即不等式的解集为；故选：B．根据题意，由函数的奇偶性与单调性的性质以及分析可得：等价于，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．8.答案：D解析：解：如图，由，得，即，，即．则．故选：D．由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到，则离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题．9.答案：B解析：解：数列满足，整理得：，所以：，故，由于且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．故：，所以．设，所以．所以．故选：B．首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.答案：C解析：解：把函数的图象向右平移个单位长度，得，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，则，函数的图象不关于点对称，故错误；，函数的图象的一条对称轴是，故正确；当时，，则，即函数在上的最上的最小值为，故正确；当时，，可知函数在上不单调，故错误．正确命题的个数为2．故选：C．通过平移变换与伸缩变换求得函数的解析式．由判断错误；由求得最小值判断正确；由x的范围求得函数值域判断正确；由x的范围可知函数在上不单调判断错误．本题考查命题的真假判断与应用，考查型函数的图象与性质，是中档题．11.答案：A解析：解：椭圆C的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且，的面积为，可得：，解得，，所以：椭圆方程为：．故选：A．利用椭圆的离心率以及三角形的面积，求出a、b；即可得到椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用、椭圆方程的求法，是基本知识的考查，基础题．12.答案：B解析：解：当时，，显然此时函数的零点不唯一，不合题意，故可排除选项C；依题意，方程有唯一解，即函数与函数的图象有唯一交点，当时，如图，函数与函数的图象显然只有唯一交点，符合题意，故可排除选项D；当时，如图，由二次函数的性质可知，函数的开口向下，且a越大，函数的开口越小，由图可知，此时函数与函数的图象显然只有唯一交点，符合题意，故可排除选项A；故选：B．当，由余弦函数的周期性可知，此时函数的零点不唯一，当时，问题等价于函数与函数的图象有唯一交点，分及三种情况讨论，结合图象即可得出结论．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及转化思想的运用，该题也可以利用导数分类讨论得解，但作为选择题，采用分类讨论加排除法，可以快速而有效的得出答案，是考试中的必备技巧，属于中档题．13.答案：或2解析：解：由，，，化为：．解得或2．故答案为：或2．由，，可得：，化简解出即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：2解析：解：，，，．故答案为：2．根据向量的坐标即可求出，进而求出的值，进而得出的值，从而得出．本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：因为单调递减，单调递增，且，故，作出函数的图象如下：函数有两个零点等价于函数与直线图象有2个交点，由图可知，；故答案为：．根据题意得到解析式为，作出其图象，数形结合即可本题主要考查函数与方程的应用，将方程转化为函数图象的交点问题是解决本题的关键．要注意使用数形结合的数学思想，属于中档题．16.答案：解析：解：在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边DE上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面BCDE时体积最大，此时三棱锥的高等于：；取DC的中点H，过H作下底面的垂线；此时三棱锥的外接球球心在OH上；三棱锥外接球的体积为；所以球半径；如图：；；即：；；联立可得；故答案为：．要想体积最大，需高最大，当面BCDE时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论．本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型．17.答案：解：，，由正弦定理可得，，，，解得，．设AB边上的高为CD，在中，可得，可得，在中，根据勾股定理，可得，在中，根据正弦定理，可得．解析：利用二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，，可得cos A，进而可求A的值．设AB边上的高为CD，在中，可得，可得，在中，根据勾股定理可得BC，在中，根据正弦定理可得sin C的值．本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化以及勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：证明：四边形ABCD是菱形，，O是AC的中点，，，平面PAC，平面PAC，，，O是AC的中点，，，平面ABCD．解：由四边形ABCD是菱形，，得和都是等边三角形，，是BD的中点，，在中，，在中，，取BC的中点F，连结DF，则，在中，，在中，由余弦定理得，，，，，，三棱锥的体积．解析：推导出，，从而平面PAC，，推导出，由此能证明平面ABCD．取BC的中点F，连结DF，则，由余弦定理得，，三棱锥的体积，由此能求出结果．本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：估计新设备所生产的产品的优质品率为：，估计旧设备所生产的产品的优质品率为：；根据题目所给数据得到如下的列联表：非优质品优质品合计新设备产品3070100旧设备产品4555100合计75125200由列联表可知：，有的把握认为“产品质量高与新设备有关”；新设备所生产的产品的优质品率为，每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有件优质品，有件合格品，估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为元，天，估计至少需要生产471天方可以收回设备成本．解析：根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的产品的优质品率；根据题目所给的数据填写列联表，计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论；根据新设备所生产的产品的优质品率，分别计算1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可以收回设备成本．本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20.答案：解：由题意可知，曲线C上每一点到直线的距离等于该点到点的距离，由抛物线的定义可知，曲线C是顶点在原点，y轴为对称轴，为焦点的抛物线，曲线C的方程为：；依题意，切线m的斜率存在且不等于0，设切线m的方程为：，代入得：，由得，整理得：，故切线m的方程可写为，分别令，得点M，N的坐标为，，，，，即为定值0．解析：利用抛物线的定义可得曲线C是顶点在原点，y轴为对称轴，为焦点的抛物线，从而求出曲线C的方程；依题意，切线m的斜率存在且不等于0，设切线m的方程为：，与抛物线方程联立，利用得到，故切线m的方程可写为，进而求出点M，N的坐标，用坐标表达出和，即可证得为定值．本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．21.答案：解：，，则，，又，所求切线方程为，即；函数的定义域为R，，当时，对任意都成立，在R上递减，此时无极值；当时，令，解得，当时，，当时，，在递减，在递增，当时，取得极小值，，即，令，则，，，在上递增，又，．解析：将代入，求导，进而求得切线斜率，再求出切点坐标，利用点斜式方程即得解；分及两种情形讨论，当时显然不合题意，当时，利用导数可求得当时，取得极小值，进而得解．本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.答案：解：由，得，即．，，直线l的直角坐标方程为，即；依题意可知曲线C的参数方程为为参数．设，则点P到直线l的距离为：．，当时，．又过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，，即．的最大值为，即．，解得．解析：把展开两角差的余弦，结合，可得直线l的直角坐标方程；依题意可知曲线C的参数方程为为参数设，写出点P到直线l的距离，利用三角函数求其最大值，可得的最大值，结合已知列式求解a．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：函数．当时，，解得，故．当时，，恒成立．当时，，解得，故，所以不等式的解集为．证明：由知：，所以：，所以，所以，所以当且仅当时，等号成立．故：．解析：直接利用分段函数的解析式和零点讨论法的应用求出结果．直接利用基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：分段函数的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。
广东省广州市2020届高三二模文科数学试题(原卷版)
2020年广州市高考二模试卷数学（文科）一、选择题（共12小题）．1.若集合A ＝{x |2﹣x ≥0}，B ＝{x |0≤x ≤1}，则A ∩B ＝（ ）A. [0，2]B. [0，1]C. [1，2]D. [﹣1，2]2.已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则z =（）A. 2B. 2C. 1D. 2 3.已知角α的项点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点()2,1P -在角α的终边上，则tan α=（ ）A. 2B. 12C. 1 2-D. 2-4.若实数x ，y 满足23300x y x y y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A. 2B. 52C. 4D. 65.已知函数f （x ）＝1+x 3，若a ∈R ，则f （a ）+f （﹣a ）＝（ ）A. 0B. 2+2a 3C. 2D. 2﹣2a 36.若函数()()sin 20,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A. ,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心B. 函数()f x 的图象关于直线3x π=对称 C. 函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. 函数()f x 的图象可由sin 2y A x =的图象向左平移6π个单位得到 7.《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a （0＜a ＜r ），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（ ）A. ()221a p r - B. ()22 1a p r + C. () 1a p r - D. () 1a p r+ 8.在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面ACC 1A 1（包括边界）上一点，若EF //平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹是（ ）A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分 9.已知函数22log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则()(1)f x f x <+的解集为( ) A. (1,)-+∞ B. (1,1)- C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b cos C +c cos B ＝6,c ＝3,B ＝2C ,则cos C 的值为（ ）A. 3B. 3C. 3D. 311.若关于x 的不等式2ln x ≤ax 2+（2a ﹣2）x +1恒成立，则a 的最小整数值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 312.过双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）右焦点F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，与双曲线交于点A ，若223F P F A →→= ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. y ＝±12x B. y ＝±x C. y ＝±2x D. y ＝±25x 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(),1a k =-r ，()4,2b =-r ，若a r 与b r 共线，则实数k 的值为_____．14.已知等比数列{a n }是单调递增数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 2＝4，a 1+a 3＝10，则S 4＝_____． 15.斜率为3的直线l 过抛物线()220y px p =>的焦点，若直线l 与圆()2224x y -+=相切，则p =_____．16.正四棱锥P ﹣ABCD 的底面边长为2,侧棱长为22,过点A 作一个与侧棱PC 垂直的平面α,则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为_____,平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为_____.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝n （n +2）（n ∈N *）.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 4n na =,求数列{b n }的前n 项和T n . 18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AC AB ＝，11B C BC O ⋂＝．（1）求证：1B C AB ⊥； （2）若160CBB ∠︒＝，AC BC =，三棱锥1A BB C-体积为1，且点A 在侧面11BB C C 上的投影为点O ，求三棱锥1A BB C -的表面积．19.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健。
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【精准解析】广东省深圳市2020届高三二模考试数学(文)试题
2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B =（ ） A. {1，3} B. {1，3，5}C. {1，2，3，4}D. {0，1，2，3，4，5}【答案】A 【解析】 【分析】直接进行交集的运算即可.详解】∵A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，∴A ∩B ＝{1，3}. 故选：A.【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题. 2. 设z 21(1)ii +=-,则|z |＝（ ）A.12B.22C. 12【答案】B【解析】 【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解即可. 【详解】解：∵z 211(1)2i ii i++==--,∴|z |＝|12i i+-|122i i +==-. 故选：B.【点睛】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题. 3. 已知ln 22a =，22log b e=，22e c =，则（ ） A. a ＜b ＜c B. b ＜c ＜a C. c ＜b ＜a D. b ＜a ＜c【答案】D 【解析】 【分析】容易得出22ln 2201log 0212e e<><<，，，从而可得出a ，b ，c 的大小关系.【详解】∵ln 20ln 12e <=<=，222log log 10e<=，20221e=＞，∴b ＜a ＜c . 故选：D.【点睛】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.4. 设x ，y 满足约束条件130x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ﹣y 的最大值为（ ）A. ﹣3B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝2x ﹣y 表示直线在y 轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可. 【详解】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z ＝2x ﹣y 过点A 时，目标函数z ＝2x ﹣y 的纵截距最小，此时z 取得最大值， 由13x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得A （2，1）时，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值3.故选：D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，画出图像是解题的关键.5. 已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题： ①若//m α，//n α，则//m n ；②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ；③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ；④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥. 其中，正确的命题个数是（ ） A. 3 B. 2C. 1D. 0【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中点、线、面的位置关系逐一判断即可.【详解】若//m α，//n α，则m 与n 可以平行、相交、异面，故①错误； 若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ，故②正确；若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m 与n 可以平行、相交、异面，故③错误；若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n 与β可以平行、相交或n β⊂，故④错误 所以正确的命题个数是1 故选：C【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，属于基础题.6. 已知双曲线()2222:10, 0a y x C a bb =>>-的焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为（ ） A. 22124y x -=B. 22124x y -=C. 221916x y -=D.221169x y -= 【答案】A 【解析】 【分析】由12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，1210F F =可得18PF =，26PF =，然后根据双曲线的定义求出a ，然后再根据222b c a =-求出b 即可．【详解】如图，因为12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，1210F F = 所以可得18PF =，26PF =根据双曲线的定义可得1222a PF PF -==，即1a = 所以22225124b c a =-=-=所以C 的方程为22124y x -=【点睛】本题主要考查的是双曲线定义的应用，较简单．7. 执行如图的程序框图，如果输入的k＝0.4，则输出的n＝（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】模拟程序的运行，可得k＝0.4，S＝0，n＝1S11 133 ==⨯，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝2，S11113352=+=⨯⨯（1111335-+-）25=，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝3，S11111335572=++=⨯⨯⨯（11111133557-+-+-）37=，此时，满足条件S＞0.4，退出循环，输出n的值为3.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.8. 函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角函数的图象和性质的应用和二次函数性质的应用在同一坐标系内画出函数的图象，进一步利用对称性的应用求出结果.【详解】函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象在同一坐标系内的位置和交点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 由于f （x ）＝（x ﹣1）2，的对称轴为x ＝1，函数的图象与x 轴相切， 函数g （x ）的图象的最小正周期为T 22ππ==，函数的图象关于y 轴对称，如图所示：所以1412x x +=，2312x x +=， 则：x 1+x 2+x 3+x 4＝4， 故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，二次函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.9. 已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体,现从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为（）A. 12B.13C.16D.112【答案】C【解析】【分析】设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成,一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半12,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是2,求出正四棱锥的体积,得到正八面体的体积,得到比值.【详解】解：设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成, 以上面一个正四棱锥为例,它的高等于正方体棱长的一半12,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是2,∴这个正四棱锥的体积是111 3212=；∴构成的八面体的体积是211 126⨯=；∴八面体的体积是V1,正方体体积是V2,V1：V2＝1：6故从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为：16；故选：C【点睛】本题考查组合几何体的体积,面积,考查棱锥,正方体的体积以及立体类的几何概型问题.属于基础题.10. 函数f（x）()142xxsinx-=的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先排除不符合题意的，然后结合特殊点函数值的正负即可判断.【详解】因为f （﹣x ）()()()()144114222------==-==xxxxxxsin x sinx sinx f （x ）， 所以f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称，排除选项A ，C ，又f （2）()2214215sin 224-==-sin ，因为22ππ<<，所以sin20>，所以f （2）＜0，排除选项D.故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象与性质及其应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.11. 下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A ,B ,C ,D 是其中四个圆的圆心,则AB •CD =（ ）A. 32B. 28C. 26D. 24【答案】C 【解析】 【分析】建立以,a b 为一组基底的基向量,其中1a b ==且,a b 的夹角为60°,根据平面向量的基本定理可知,向量AB 和CD 均可以用a b ，表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解. 【详解】解：如图所示,建立以,a b 为一组基底的基向量,其中1a b ==且,a b 的夹角为60°,∴24AB a b =+,42CD a b =+,∴()()22124428820882011262AB CD a b a b a b a b =+⋅+=++⋅=++⨯⨯⨯⋅=. 故选：C.【点睛】本题考查平面向量的混合运算,观察图形特征,建立基向量是解题的关键,考查学生的分析能力和运算能力,属于中档题.12. 在三棱锥P ﹣ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝PC ＝2，若AC ＝PB ，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（ ） A.423B.1639C.327323【答案】D 【解析】 【分析】取PB 中点M ，连结CM ，得到AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，则CM ⊥PB ，求出V A ﹣PBC =，设t =，（0＜t ＜2），从而V A ﹣PBC 3823t t -=，（0＜t ＜2），利用导数求出三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值. 【详解】解：如图，取PB 中点M ，连结CM ，∵平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，∵PC ＝BC ＝2，PB ＝2x ，（0＜x ＜2），M 为PB 的中点，∴CM ⊥PB ，CM =，解得122PBCSx =⨯=，所以V A ﹣PBC (123x =⨯⨯=，设t =，（0＜t ＜2），则x 2＝4﹣t 2， ∴V A ﹣PBC ()23248233t t t t--==，（0＜t ＜2），关于t 求导，得()2863t V t -'=，所以函数在单调递增，在)+∞单调递减.所以当t =时，（V A ﹣PBC ）max =.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查利用导数研究函数的最值，考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____. 【答案】12【解析】 【分析】根据基本事件总数,与甲被选中包含的基本事件求解概率即可.【详解】解：某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援, 基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）,（乙,丙）,（乙,丁）,（丙,丁）共6个. 甲被选中包含的基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）共3个, ∴甲被选中概率为p 3162==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为2224b c a +-，sin sin2A Cb Cc +=，则角C ＝_____.【答案】512π 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求A ，然后结合二倍角公式化简可求B ，再结合三角形的内角和定理即可求解.【详解】解：由题意2224b c a S +-=，又222cos 2b c a A bc +-=， 所以11sin 2cos 24bc A bc A =⨯即tan 1A =， 因A 为三角形内角，故A 4π=，又sin sinsin cos 2222A B C B b C c c c π+⎛⎫==-= ⎪⎝⎭由正弦定理可得，sin sin sin cos 2BB C C =， 因为sin 0C ≠，所以sin cos2sin cos 222B B B B ==， 因为cos02B≠， 所以1sin22B =，又022B π<<612B π∴=， 即3B π=，53412C ππππ∴=--=. 故答案为：512π. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档题.15. 《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____. 【答案】27n ⨯ 【解析】 【分析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a .【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯,2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯,3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27nn a =⨯.故答案为：27n ⨯.【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.16. 已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN 的周长为6，则FAN 的面积为_____.【答案】5【解析】 【分析】画出图形，由条件可得出b a =，b =，然后可得出M 为椭圆的右焦点，然后由椭圆的定义可得226a c +=，从而可算出,,a b c 的值，然后利用()1325FANS FM b b ⎡⎤=⋅⋅--⎢⎥⎣⎦算出答案即可.【详解】如图所示，由题意得，()0,A b -，(),0F c -，直线MN 的方程为3y x b =-，把35y b =代入椭圆方程解得45x a =，∴4355N a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵N 在直线MN 上，∴34355b a b =-，解得3b a =又222a b c =+，∴222()3b c =+，解得3b c =， 令3y x b =-=0，则3M ⎫⎪⎭，即(),0M c ，∴M 为椭圆的右焦点，∴2FM c =， 由椭圆的定义可知，2NF NM a +=， ∵FMN 的周长为6，∴226a c +=， ∵3b a =2a c =，∴1,2,3===c a b ∴()13883255FANSFM b b c b ⎡⎤=⋅⋅--=⋅=⎢⎥⎣⎦. 83【点睛】本题考查椭圆的定义与性质，熟练掌握椭圆中的基本关系式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2log n n b a =，123n n T b b b b =++++，求n T .【答案】(1)922nn a -=；(2)22814832,4n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩，【解析】 【分析】(1)本题可设等比数列{}n a 的公比为q ，由题设条件列出q 与首项1a 的方程组，解出q 和1a ，即可求得通项公式；(2)先由(1)中求得的n a 求出n b ，再求n b ，最后通过等差数列前n 项和公式即可求得n T . 【详解】(1)设各项都为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >， 因为232a =，3458a a a =， 所以213333454132()8a a q a a a a a q ==⎧⎨===⎩，解得712a ，14q =， 所以()922nn n a N -*=∈，(2)由(1)知，2922log log 292n nnb a n ，故9214294n n n b n n -≤≤⎧=⎨-⎩，，＞，当14n ≤≤时，279282n nT nn n ；当4n >时，2129753148322nn T n n n ，故22814832,4n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩，.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前n 项和公式、对数运算等知识点，等差数列的前n 项和公式为12n na n S a +=⨯，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题.18. 为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（x -3s ，x +3s ）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？ 参考公式：s (222121[()())n x x x x x x n⎤=⋅-+-++-⎦2340≈48.【答案】（1）甲药的治愈率更高；（2）甲药的疗效更好，理由见解析；（3）应该对该患者进行进一步检查 【解析】 【分析】（1）结合条形等高图即可直接判断；（2）从茎叶图的集中趋势，中位数，平均值方面分析即可判断； （3）分别求出x ，s ，然后代入公式即可求解，作出判断即可. 【详解】（1）甲药的治愈率更高; （2）甲药的疗效更好，理由一：从茎叶图可以看出，有910的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有35的叶集中在茎1，2上，还有110的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好. 理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好.理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好.（3）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为456810101112122210x +++++++++==10，s 36251640014414423.410+++++++++==≈4.8，则x -3s ≈﹣4.4，3x s +≈24.3，而26＞24.4，应该对该患者进行进一步检查.【点评】本题主要考查了利用等高条形图，茎叶图，平均值，方差等知识，体现了数据分析，数学核心素养.19. 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA 12=AB ，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点.（1）求证：平面B 1NC ⊥平面CMN ； （2）若AB ＝2，求点N 到平面B 1MC 的距离. 【答案】（1）见解析；（22【解析】 【分析】（1）推导出AA 1⊥平面ABCD ，AA 1⊥CM ，CM ⊥AB ，从而CM ⊥平面ABB 1A 1，进而CM ⊥B 1N ，推导出△A 1B 1N ∽△ANM ，从而∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ，进而B 1N ⊥MN ，B 1N ⊥平面CMN ，由此能证明平面B 1NC ⊥平面CMN . （2）求出点B 1到平面CMN 的距离为h1=N 到平面B 1CM 的距离为h 2，由111213B CMN N B CM B CMV V Sh --==⨯⨯，能求出点N 到平面B 1MC 的距离.【详解】（1）证明：∵直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥平面ABCD ， ∵CM ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CM ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，M 是AB 的中点， ∴CM ⊥AB ，∵AA 1∩AB ＝A ，AA 1⊂平面ABB 1A 1，AB ⊂平面ABB 1A 1， ∴CM ⊥平面ABB 1A 1，∵B 1N ⊂平面ABB 1A 1，∴CM ⊥B 1N ，∵M 是AB 中点，N 为AA 1中点，AA1=，∴11112A B AB AN AA ==111212AAA N AM AB ==， ∵∠B 1A 1N ＝∠NAM ＝90°，∴△A 1B 1N ∽△ANM ， ∴∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ， ∴∠A 1NB 1+∠ANM ＝90°，∴B 1N ⊥MN ， ∵MN ∩CM ＝M ，∴B 1N ⊥平面CMN ， ∵B 1N ⊂平面B 1NC ，∴平面B 1NC ⊥平面CMN .（2）∵在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA1=，AB ＝2，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点.∴MN =B 1M ==3，B 1C ==B 1N ==∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴CM =CN =由（1）知B 1N ⊥平面CMN ，设点B 1到平面CMN 的距离为h 1，h1=∵CN 2＝MN 2+CM 2，∴133322CMNS=⨯⨯=， ∴11163B CMN CMN V S h -=⨯⨯=， ∵B 1M ＝3，1233BC CN ==，，∴1133332B CMS =⨯⨯=， 设N 到平面B 1CM 的距离为h 2， ∵111213B CMN N B CM B CMV V S h --==⨯⨯，∴213363h ⨯⨯=， 解得h 22=.∴点N 到平面B 1MC 的距离为2.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()1,0F ，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，满足0AB BF ⋅=，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C. （1）求C 的方程；（2）已知点()3,2G -，动直线()3x t t =>与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线2y =-上截得的弦长的最小值. 【答案】（1）24y x =；（2）442+. 【解析】【分析】（1）根据点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，设()()(),0,0,,,A a B b M x y ，再由 ()1,0F ，0AB BF ⋅= ，得到a ，b 的关系式，然后由A 关于点B 的对称点为M ，得到0,22x a yb +==，利用代入法化简求解.（2）由抛物线与直线()3x t t =>相交，设((,,P t Q t -，根据,P Q 关于x 轴对称，得到过G ，P ，Q 三点的圆的圆心在x 轴上，设圆心为(),0E m ，由EG EP =，运用两点间的距离公式求得圆的方程，令2y =-，得到圆E 在直线2y =-上截得的弦长，再结合基本不等式求最小值.【详解】（1）因为点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动， 所以设()()(),0,0,,,A a B b M x y ， 因为 ()1,0F ，0AB BF ⋅= ， 所以()()2,1,0a b b a b -⋅-=--=*，因为A 关于点B 的对称点为M ，所以0,22x a yb +==， 即 ,2ya xb =-=，代入*式得24y x =， 所以曲线C 的方程是24y x =.（2）由（1）知抛物线的方程为24y x =，直线()3x t t =>与抛物线方程联立解得，y =±设((,,P t Q t -，因为,P Q 关于x 轴对称，所以过G ，P ，Q 三点的圆的圆心在x 轴上， 设圆心为(),0E m ，所以EG EP ==，解得241326t t m t +-=-，所以圆E 的方程为()()22234x m y m -+=-+， 令2y =-，的1223,3x m x =-=， 所以圆E 在直线2y =-上截得的弦长为221241325233633t t t t x x m t t +--+-=--=-=--，因为()2230,25140t t t t ->-+=-+>，所以2122583433t t x x t t t -+-==-++--，44≥=+当且仅当833t t -=-，即3t =+时，取等号，所以当3t =+时，圆E 在直线2y =-上截得的弦长的最小值为4+.【点睛】本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，弦长问题以及基本不等式的应用，还考查了逻辑推理、运算求解的能力，属于难题.21. 已知函数f （x ）xxe e=-3,g （x ）＝alnx ﹣2x （a ∈R ）.（1）讨论g （x ）的单调性；（2）是否存在实数a ,使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立？如果存在,求出a 的值；如果不存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在,4a = 【解析】 【分析】（1）先对函数求导,然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解；（2）要使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立即xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ≥0,构造函数u （x ）＝xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ,结合函数的性质及导数即可求解.【详解】解：（1）()'2a xg x x-=,x ＞0, （i ）当a ≤0时,g ′（x ）＜0,函数在（0,+∞）上单调递减,（ii ）当a ＞0时,令()'0g x >得102x a <<，令()'0g x <，得12x a >，所以函数g （x ）在（0,12a ）上单调递增,在（12a +∞，）上单调递减, （2）要使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立即32xxe alnx x e-≥-恒成立,即xe x﹣aelnx +2ex ﹣3e ≥0,令u （x ）＝xe x﹣aelnx +2ex ﹣3e ,则u （1）＝0, 要使得原不等式成立,则u （x ）在x ＝1处取得极小值, 因为()()'12x x xe ex ae u x x++-=, 所以u ′（1）＝0可得a ＝4, 检验a ＝4时,u ′（x ）()124x x x e ex ex++-=,设v （x ）＝x （x +1）e x +2ex ﹣4e ,且v （1）＝0, 显然v （x ）在（0,+∞）上单调递增,当x ∈（0,1）时,v （x ）＜0,即u ′（x ）＜0,u （x ）单调递减,当x ∈（1,+∞）时,v （x ）＞0,即u ′（x ）＞0,u （x ）单调递增, 故u （x ）的最小值u （1）＝0,满足题意, 综上，a ＝4.【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用,用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立为载体,综合考查分类讨论及转化思想的应用.属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修4－4：坐标系与参数方程22. 椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA |＝2，|MB |＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系.（1）将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ（0≤φ＜2π），用ϕ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；（2）已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α（0≤α2π＜）的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点.当1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程.【答案】（1）()2,M cos sin ϕϕ，2214x y +=；（2）230x y = 【解析】 【分析】（1）用三角函数表示出点M 的坐标，直接利用转换关系把极坐标方程转换为直角坐标方程；（2）设出直线l 1的参数方程，与椭圆方程联立利用直线参数的几何意义求出11EF FD+、GH ，根据题意有112GH EF FD+=，列出方程求出直线l 1的斜率即可求得直线l 2的方程.【详解】（1）设M （x ，y ）依题意得：x ＝2cos φ，y ＝sin φ， 所以M （2cos φ，sin φ），由于cos 2φ+sin 2φ＝1，整理得2214x y +=.（2）由于直线l 1倾斜角为α（02πα≤<），且l 1⊥l 2，所以直线l 2的倾斜角为2πα+，依题意易知：F （3，）， 可设直线l 1的方程为3cos sin x t y t αα⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），代入2214x y +=得到：22(13sin )cos 10t αα+--=，易知()2212cos 413sin 0αα∆=++>，设点D 和点E 对应的参数为t 1和t 2，所以12t t +=122113sin t t α=-+.则122413sin t t α-==+， 由参数的几何意义：12121211114t t EF FD t t t t -+=+==， 设G 、H 对应的参数为t 3和t 4，同理对于直线l 2，将α换为2πα+，所以34224413cos 132sin GH t t παα=-===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由于1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列，所以112GH EF FD +=，则24213cos α=+，解得21cos 3α=， 所以221tan 12cos αα=-=，又02πα≤<，所以tan α=，所以直线l 2的斜率为-l 2的直角坐标方程为x 0+=. 【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、直线参数方程中参数的几何意义、韦达定理的应用、等差数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于较难题.选修4－5：不等式选讲23. 已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1.证明：（1）|a 12-|+|b +c ﹣1|12≥；（2）（a 3+b 3+c 3）（222111a b c++）≥3.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1，得到b +c ﹣1＝﹣a ＜0，则|a 12-|+|b +c ﹣1|＝|a 12-|+|﹣a |，再利用绝对值三角不等式求解. （2）利用（a 3+b 3+c 3）≥3abc ，得到（a 3+b 3+c 3）（222111a b c ++）≥3abc （222111a b c++），进而变形为32⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦c b c a a b a b c b c a c b a ，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）∵a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1， ∴b +c ﹣1＝﹣a ＜0，∴|a 12-|+|b +c ﹣1|＝|a 12-|+|﹣a |≥|（a 12-）+（﹣a ）|12=.当且仅当（a 12-）（﹣a ）≥0，即012a ≤≤时，等号成立.∴|a 12-|+|b +c ﹣1|12≥；（2）（a 3+b 3+c 3）（222111a b c ++）≥3abc 222111()a b c++，33332222bc ac ab bc ac ab a b c a b c ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 32c b c a a b a b c b c a c b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，32222⎛≥ ⎝ ， ＝3（a +b +c ）＝3. 当且仅当a ＝b ＝c 13=时等号成立. ∴（a 3+b 3+c 3）（222111a b c++）≥3. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2020佛山二模文数答案(定稿)
进而 F (x) 0 ，故 F (x) 在 (0, x0 ) 上单调递减．因此，当 x 0, x0 时， F (x) F (0) 0 ． …11 分
综上所述，实数 a 的取值范围为 (, 1] ． …………………………………………………………12 分 3
22．【解析】（1） C1 是圆心为 (0, 2) ，半径为 2 的圆． ……………………………………………2 分 可得 C1 的直角坐标方程为 x2 ( y 2)2 4 ，即 x2 y2 4 y 0 ． 代入 2 x2 y2 ， y sin ，得 2 4 sin 0 ，所以 C1 的极坐标方程为 4sin ．…5 分 （2）设 A(1, ) ， B(2 , ) ，∵ ，∴| OA | 4 sin ，| OB | 4 cos ，
（2）这 20 个月销售单价的平均值为 80 10 90 6 100 4 87 20
………………………………7 分
设月利润为 Z 万元，由题意知 Z 87x y x3 87x 173 3
…………………………………10 分
当 x 12 时， Z 295 （万元），所以当月产量为12 件时，预测当月的利润为 295 万元． ………12 分
14． 2
15． 10 2
16． 2,[ 2 4
7
,
5] 4
[
7 2
,
)
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）因为 c b 1，所以 c b 1，
在△ ABC 中，由余弦定理可得 cos C a2 b2 c2 25 b2 (b 1)2 1 ．
2ab
10b
7
解得 b 7 ，所以 c 8 ．
2020年广东省高考数学二模试卷（二）（有答案解析）
2020年⼴东省⾼考数学⼆模试卷（⼆）（有答案解析）2020年⼴东省⾼考数学⼆模试卷（⼆）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1＜x＜6}，集合B={x|x2＜4}，则A∩（?R B）=（）A. {x|-1＜x＜2}B. {x|-1＜x≤2}C. {x|2≤x＜6}D. {x|2＜x＜6}2.设i为虚数单位，则复数的共轭复数=（）A. B. C. D.3.在样本的频率直⽅图中，共有9个⼩长⽅形，若中间⼀个长⽅形的⾯积等于其他8个⼩长⽅形⾯积的和的，且样本容量为200，则中间⼀组的频数为（）A. 0.2B. 0.25C. 40D. 504.设向量与向量垂直，且=（2，k），=（6，4），则下列下列与向量+共线的是（）A. （1，8）B. （-16，-2）C. （1，-8）D. （-16，2）5.某⼏何体的三视图如图所⽰，三个视图都是半径相等的扇形，若该⼏何体的表⾯积为，则其体积为（）A.B.C.D.6.阿基⽶德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利⽤“逼近法”得到椭圆的⾯积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离⼼率为，⾯积为12π，则椭圆C的⽅程为（）A. B. C. D.7.设a，b，c分别为△ABC内⾓A，B，C的对边，若B=C≠A，且b=2a cos A，则A=（）A. B. C. D.8.的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为（）A. 30B. 80C. -50D. 1309.函数的部分图象不可能为（）A. B.C. D.10.若函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（）A. [0，+∞）B.C.D.11.已知⾼为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球⾯上，若⼆⾯⾓的正切值为4 ，则（）A. B. C. D.12.已知函数，若关于x的⽅程f（f（x））=m有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2的取值范围为（）A. [2，3）B. （2，3）C. [2ln2，4）D. （2ln2，4）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.若x，y满⾜约束条件，则的最⼤值为______．14.若tan（α-2β）=4，tanβ=2，则=______．15.已知函数f（x）=3x+9x（t≤x≤t+1），若f（x）的最⼤值为12，则f（x）的最⼩值为______16.已知直线x=2a与双曲线C：的⼀条渐近线交于点P，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且，则双曲线C的离⼼率为______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.已知S n为数列{a n}的前n项和，且依次成等⽐数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底⾯ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平⾯ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB中点．（1）证明；PE⊥CD；（2）求⼆⾯⾓A-PE-C的余弦值．19.在平⾯直⾓坐标系xOy中，抛物线C：x2=6y与直线l：y=kx+3交于M，N两点．（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1和d2的乘积为定值；（2）y轴上是否存在点p，当k变化时，总有∠OPM=∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20.2019年春节期间，我国⾼速公路继续执⾏“节假⽇⾼速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出⾏的⾼峰情况，在某⾼速公路收费站点记录了⼤年初三上午9：20～10：40这⼀时间段内通过的车辆数，统计发现这⼀时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直⽅图如下图所⽰，其中时间段9：20～9：40记作区[20，40），9：40～10：00记作[40，60），10：00～10：20记作[60，80），10：20～10：40记作[80，100），例如10点04分，记作时刻64．（1）估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进⾏分析，现采⽤分层抽样的⽅法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；（3）由⼤数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（µ，σ2），其中µ可⽤这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可⽤样本的⽅差近似代替（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值代表），已知⼤年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．若T～N（µ，σ2）则P（µ-σ＜T≤µ+σ）=0.6827，P（µ-2σ＜T≤σ+2σ）=0.9545，P（µ-3σ＜T≤µ+3σ）=0.9973．21.已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成⽴，求a的取值范围．22.在平⾯直⾓坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴建⽴极坐标系，已知曲线C的极坐标⽅程为ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0．（1）求曲线C的直⾓坐标⽅程；（2）过曲线C上⼀动点P分别作极轴、直线ρcosθ=-1的垂线，垂⾜分别为M，N，求|PM|+|PN|的最⼤值．23.设函数f（x）=|x+1|+|2-x|-k．（1）当k=4时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式对x∈恒成⽴，求k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：B={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，则?R B={x|x≥2或x≤-2}，则A∩（?R B）={x|2≤x＜6}，故选：C．求出集合B的等价条件，结合补集交集的定义进⾏求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利⽤交集补集的定义是解决本题的关键．2.答案：D解析：解：∵==，∴．故选：D．直接利⽤复数代数形式的乘除运算得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：在样本的频率直⽅图中，共有9个⼩长⽅形，中间⼀个长⽅形的⾯积等于其他8个⼩长⽅形⾯积的和的，且样本容量为200，设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，解得m=150，∴中间⼀组的频数为=50．故选：D．设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，由此能求出中间⼀组的频数．本题考查频数的求法，考查频率分布直⽅图的性质等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．4.答案：B解析：解：∵；∴；∴k=-3；∴；∴；∴（-16，-2）与共线．故选：B．根据即可得出，从⽽得出k=-3，从⽽可求出，从⽽可找出与共线的向量．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.答案：A解析：解：将三视图还原可知该⼏何体为球体的，S=3×+=，r=，⼏何体的体积为：=．故选：A．⾸先把⼏何体的三视图进⾏转换，进⼀步利⽤表⾯积公式的应⽤求出结果．本题考查的知识要点：三视图和⼏何体的转换，⼏何体的体积公式和⾯积公式的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．6.答案：A解析：【分析】本题考查椭圆简单性质的应⽤,考查转化思想以及计算能⼒,属于基础题.利⽤已知条件列出⽅程组，求出a，b，即可得到椭圆⽅程．【解答】解：由题意可得：，解得a=4，b=3，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆⽅程为：．故选A．7.答案：B解析：解：在△ABC中，∵b=2a cos A，∴由正弦定理可得：sin B=2sin A cosA=sin2A，∴B=2A，或B=π-2A，∵B=C≠A，∴当B=2A时，由于A+B+C=5A=π，可得：A=；当B=π-2A时，由于A+B+C=B+2A，可得：B=C=A（舍去）．综上，A=．故选：B．由正弦定理化简已知等式可得：sin B=sin2A，可求B=2A，或B=π-2A，根据三⾓形的内⾓和定理即可得解A的值．本题主要考查了正弦定理，三⾓形的内⾓和定理在解三⾓形中的综合应⽤，属于基础题．8.答案：D解析：解：令x=1得各项系数和为（2-n）（1-2）5=3，即n-2=3，得n=5，多项式为（2x2-5）（x-）5，⼆项式（x-）5的通项公式为T k+1=C5k x5-k（-）k=（-2）k C5k x5-2k，若第⼀个因式是2x2，则第⼆个因式为x，即当k=2时，因式为4C52x=40x，此时2x2×40x=80x3，若第⼀个因式是-5，则第⼆个因式为x3，即当k=1时，因式为-2C51x3=-10x3，此时-5×（-10）x3=50x3，则展开式中x3项的为80x3+50x3=130x3，即x3的系数为130故选：D．令x=1得各项系数为3，求出n的值，结合展开式项的系数进⾏求解即可．本题主要考查⼆项式定理的应⽤，令x=1求出各项系数和以及通过通项公式求出对应项的系数是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：A．由图象知函数的周期T=2π，则=2π得ω=1，此时f（x）=2sin（x-）=-2cos x为偶函数，对应图象为A，故A图象可能B．由图象知函数的周期T=-（-）==，即=，得ω=±3，当ω=3时，此时f（x）=2sin（3x-），f（）=2sin（3×-）=2sin≠-2，即B图象不可能，当ω=-3时，此时f（x）=2sin（-3x+），f（）=2sin（-3×+）=-2sin≠-2，即B图象不可能，C．由图象知函数的周期T=4π，则=4π得ω=±，当ω=时，此时f（x）=2sin（x-π）=-2sin x，f（π）=-2sin=-1，即此时C图象不可能，当ω=-时，此时f（x）=2sin（-x-π）=2sin x，f（π）=2sin=-1，即此时C图象可能，D．由图象知函数的周期=-=，即t=π，则=π得ω=2，此时f（x）=2sin（2x-），f（）=2sin（2×-）=2sin=2，即D图象可能，综上不可能的图象是B，故选：B．根据三⾓函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论．本题主要考查三⾓函数图象的识别和判断，利⽤周期性求出ω以及利⽤特殊值进⾏验证是解决本题的关键．注意本题的ω有可能是复数．10.答案：C解析：【分析】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成⽴问题，属于中档题．令f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成⽴得k在（0，+∞）上恒成⽴，求出右侧函数的最⼤值即可得出k的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，∴f′（x）=3x2-ke x≤0在（0，+∞）上恒成⽴，∴k在（0，+∞）上恒成⽴，令g（x）=，x＞0，则，当0＜x＜2时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x=2时，g（x）取得最⼤值g（2）=，则k，故选：C．11.答案：A解析：【分析】本题考查正三棱柱的⾼与其外接球半径的⽐值的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．设棱锥底⾯边长为a，由已知把a⽤含有H的代数式表⽰，再由球的性质利⽤勾股定理求得．【解答】解：设P在底⾯ABC的射影为E，则PE为正三棱锥的⾼，D为AB的中点，连结PD，设正三⾓形ABC的边长为a，则CD=，∴ED=，EC=a，由题意可得：，⼆⾯⾓的平⾯⾓为，由⼆⾯⾓P-AB-C的正切值为4，得=4，解得a=．∴EC==，OP=OC=R，OE=H-R，∴OC2=OE2+CE2，∴R2=（H-R）2+（）2，解得=．故选：A．12.答案：A解析：解：函数，的图象如下：当m≥1时，f（t）=m，有两个解t1，t2，其中t1≤0，t2≥2，f（x）=t1有⼀个解，f（x）=t2有两个解，不符合题意．当m＜0时，f（t）=m，有⼀个解t，且t∈（0，1），f（x）=t有⼀个解，不符合题意．当0≤m＜1时，f（t）=m，有⼀个解t，且t∈[1，2），f（x）=t两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1-x1=log2x2=t，且t∈[1，2），x1+x2=2t-t+1，令g（t）=2t-t+1，g′（t）=2t ln t-1＞0，故g（t）在[1，2）单调递增，∴g（t）∈[2，3）．故选：A．画出函数，的图象，可求得当0≤m＜1时，f（t）=m，有⼀个解t，且t∈[1，2），f（x）=t两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1-x1=log2x=t，且t∈[1，2），x1+x2=2t-t+1，令g（t）=2t-t+1，利⽤导数求解．本题考查了函数与⽅程思想、数形结合思想，属于中档题．13.答案：解析：解：设z=，则z的⼏何意义为可⾏域内的点与原点连线的斜率，作出不等式组对应得平⾯区域如图：由图可知OA的斜率最⼤，由，解得A（3，4），则OA得斜率k=，则的最⼤值为．故答案为：．本题主要考查线性规划求最值，是基础题．设z=，作出不等式组对应得平⾯区域，利⽤z的⼏何意义即可得到结论．14.答案：解析：解：由tanβ=2，得tan2β==，⼜tan（α-2β）=4，∴tanα=tan[（α-2β）+2β]==．∴=．故答案为：．由已知求得tan2β，再由tanα=tan[（α-2β）+2β]求出tanα，代⼊得答案．本题考查三⾓函数的化简求值，考查两⾓和的正切与⼆倍⾓的正切，是中档题．15.答案：2解析：解：设m=3x，因为t≤x≤t+1，所以3t≤m≤3t+1，则g（m）=m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1=12，解得：3t+1=3，即t=0，即f（x）min=g（30）=2，故答案为：2．由⼆次型函数值域的求法得：设m=3x，则3t≤m≤3t+1，则g（m）=m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1=12，解得：3t+1=3，即t=0，即f（x）min=g（30）=2，得解本题考查了⼆次型函数值域的求法，属中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查双曲线的⽅程和性质，主要是渐近线⽅程和离⼼率的求法，考查⽅程思想和运算能⼒，属于中档题．设出双曲线的焦点，求得⼀条渐近线⽅程可得P的坐标，求得直线PF2的斜率，由两点的斜率公式和离⼼率公式，可得所求值．【解答】解：双曲线C的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），且，可得sin∠PF2F1==，即有直线PF2的斜率为tan∠PF2F1=，由直线x=2a与双曲线C：的⼀条渐近线y=x交于点P，可得P（2a，2b），可得=，即有4b2=15（4a2-4ac+c2）=4（c2-a2），化为11c2-60ac+64a2=0，由e=可得11e2-60e+64=0，解得e=或e=4，由2a-c＞0，可得c＜2a，即e＜2，可得e=4舍去．故答案为：．17.答案：解：（1）依次成等⽐数列，可得（）2=S n=（n+2）（a1-2）n，当n=1时，a1=S1=3（a1-2），解得a1=3，当n≥2时，a n=S n-S n-1=n（n+2）-（n-1）（n+1）=2n+1，上式对n=1也成⽴，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1；（2）==（-），可得前n项和T n=（-+-+…+-）=（-）=．解析：（1）运⽤等⽐数列的中项性质，令n=1，可得⾸项，再由数列的递推式：当n≥2时，a n=S n-S n-1，计算可得所求通项公式；（2）求得==（-），再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查等⽐数列中项性质和数列的递推式的运⽤，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能⼒，属于基础题．18.答案：证明：（1）连结DE，BD，∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，E为AB的中点，∴DE⊥AB，∵PD⊥平⾯ABCD，∴PD⊥AB，⼜DE∩PD=D，∴AB⊥平⾯PDE，∴AB⊥PE，∵AB∥CD，∴PE⊥CD．解：（2）设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平⾯ABCD的垂线为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，如图，则P（-1，0，2），A（0，-，0），E（，0），C（0，，0），=（-1，，2），=（，0），=（1，），=（，0），设平⾯APE的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平⾯PCE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（3，1，2），设⼆⾯⾓A-PE-C的平⾯⾓为θ，由图知θ为钝⾓，∴cosθ=-=-=-．∴⼆⾯⾓A-PE-C的余弦值为-．解析：（1）连结DE，BD，推导出DE⊥AB，PD⊥AB，从⽽AB⊥平⾯PDE，进⽽AB⊥PE，由此能证明PE⊥CD．（2）设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平⾯ABCD 的垂线为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出⼆⾯⾓A-PE-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查⼆⾯⾓的余弦值的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．19.答案：解（1）证明：将y=kx+3代⼊x2=6y，得x2-6kx-18=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2=-18，从⽽d1d2=|x1|?|x2|=|x1x2|=18为定值．（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，．从⽽k1+k2=+==．当b=-3时，有k1+k2=0对任意k恒成⽴，则直线PM的倾斜⾓与直线PN的倾斜⾓互补，故∠OPM=∠OPN，所以点P（0，-3）符合题意．解析：（1）先将y=kx+3代⼊x2=6y，设M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，即可证明结论成⽴；（2）先设设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，由∠OPM=∠OPN，得当k变化时，k1+k2=0恒成⽴，进⽽可求出结果本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联⽴直线与抛物线⽅程，结合韦达定理等求解，属于中档题．20.答案：解：（1）这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30×0.05+50×0.015+70×0.025+90×0.010）×20=64，即10：04（2）结合频率分布直⽅图和分层抽样的⽅法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60）这⼀区间内的车辆数，即（0.005+0.015）×20×10=4，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4．所以P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以X的分布列为：X01234P所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=．（3）由（1）得µ=64，σ2=（30-64）2×0.1+（50-64）2×0.3+（50-64）2×0.4+（70-64）2×0.4+（90-64）2×0.2=324，所以σ=18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，由T～N（64，182），得，P（64-18≤T≤64+2×18）=+=0.8186，所以估计在在9：46～10：40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆．解析：（1）将直⽅图中每个⼩长⽅形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．（2）抽样⽐为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量X的所有可能的取值，计算出每个X对应的概率，列分布列，求期望即可．（3）根据频率分布直⽅图估计出⽅差，再结合（1）求出的期望，得到µ，σ2再根据其对称性处理即可．本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超⼏何分布，正态分布等知识，阅读量⼤，审清题意是关键，属于中档题．21.答案：解：（1）∵函数，∴x＞0，则g（x）=，．若a≤-，∵x＞1，∴ln x＞0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，若a＞-，令g′（x）=0，得x=，当1＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（，+∞），单调递增区间为（1，）．（2）a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成⽴，∴x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成⽴，设h（x）=x lnx-ax+a+e-2，则h′（x）=ln x+1-a，令h′（x）=0，得x=e a-1，当x∈（0，e a-1）时，h′（x）＜0，当x∈（e a-1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）的最⼩值为h（e a-1）=（a-1）e a-1+a+e-2-ae a-1=a+e-2-e a-1，令t（a）=a+e-2-e a-1，则t′（a）=1-e a-1，令t′（a）=0，得a=1，当a∈[0，1）时，t′（a）＞0，t（a）在[0，1）上单调递增，当a∈[1，+∞）时，t′（a）0，t（a）在[1，+∞）上单调递减，∴当a∈[0，1）时，h（x）的最⼩值为t（a）≥t（0）=e-2-，当a∈[1，+∞）时，h（x）的最⼩值为t（a）=a+e-2-e a-1≥0=t（2），∴a的取值范围是[0，2]．解析：本题考查导数的综合应⽤，考查推理能⼒和运算求解能⼒，考查化归与转化思想，是难题．（1）x＞0，．利⽤分类讨论思想结合导数性质能讨论函数在（1，+∞）上的单调性．（2）推导出x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成⽴，设h（x）=x lnx-ax+a+e-2，则h′（x）=ln x+1-a，由此利⽤导数性质，结合分类讨论思想能求出a的取值范围．22.答案：解：（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直⾓坐标⽅程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，则|PM|=3+sinα，⼜直线ρcosθ=-1的直⾓坐标⽅程为x=-1，所以|PN|=2+cosα+1=3+cosα，所以|PM|+|PN|=6+sin（α+），故当α=时，|PM|+|PN|取得最⼤值为6+．解析：（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直⾓坐标⽅程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，求出|PM|和|PN|后相加，⽤三⾓函数的性质求得最⼤值．本题考查了简单曲线的极坐标⽅程，属中档题．23.答案：解：（1）k=4时，函数f（x）=|x+1|+|2-x|-4，不等式f（x）＜0化为|x+1|+|2-x|＜4，当x＜-1时，不等式化为-x-1+2-x＜4，解得-＜x＜-1，当-1≤x≤2时，不等式化为x+1+2-x=3＜4恒成⽴，则-1≤x≤2，当x＞2时，不等式化为x+1+x-2＜4，解得2＜x＜，综上所述，不等式f（x）＜0的解集为（-，）；（2）因为f（x）=|x+1|+|2-x|-k≥|x+1+2-x|-k=3-k，所以f（x）的最⼩值为3-k；⼜不等式对x∈恒成⽴，所以3-k≥，所以，解得k≤1，所以k的取值范围是（-∞，1]．解析：本题考查了不等式恒成⽴应⽤问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应⽤问题，是中档题．（1）k=4时，利⽤分类讨论思想求出不等式f（x）＜0的解集，再求它们的并集；（2）利⽤绝对值不等式的性质求出f（x）的最⼩值，再把不等式化为3-k≥，求出不等式的解集即可．。
2020年广东省茂名市五校联盟高考数学二模试卷(文科)
2020年广东省茂名市五校联盟高考数学二模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={0,1，3，5，7}，N={x|x(x−5)<0}，则M∩N=()A. {1,3}B. {0,1，3}C. {1,3，5}D. {0,1，3，5}2.已知复数z满足z⋅(3−2i)=13i，则z的虚部为()A. −2B. 3iC. 1D. 33.已知cos(π+α)=45，则sin(3π2+α)的值为()A. 35B. −35C. 45D. −454.设a⃗，b⃗ 是两个不共线的平面向量，已知m⃗⃗⃗ =a⃗−2b⃗ ，n⃗=3a⃗+k b⃗ (k∈R)，若m⃗⃗⃗ //n⃗，则k=()A. 2B. −2C. 6D. −65.记曲线y=2a x−2−1(a>0且a≠1)所过的定点为P，若点P在双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线上，则C的离心率为()A. √5B. √52C. √2D. 26.某市2015年至2019年新能源汽车年销量y(单位：百台)与年份代号x之间的关系如表所示：若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为ŷ=6.5x+9，则表中m的值为()A. 22B. 25.5C. 28.5D. 307.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2√3π，且短轴长为2√3，则C的标准方程为()A. x212+y2=1 B. x24+y23=1 C. x23+y24=1 D. x216+y23=18.将函数f(x)=sinx+x3x2的图象向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的图象大致是()A. B.C. D.9.四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，则异面直线PB与CD所成的角的余弦值为()A. √22B. −√22C. 2√1313D. 3√131310.在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图．圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用．山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示．以该木塔底层的边AB作正方形，以点A或点B为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等．以该木塔底层的边AB作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点D正好位于塔身和塔顶的分界线上．经测量发现，木塔底层的边AB不少于47.5米，塔顶C到点D的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是()(参考数据：√2≈1.414)A. 66.1米B. 67.3米C. 68.5米D. 69.0米11.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有3f(x)+xf′(x)<0，且f(2)=10，则不等式x2f(x)>80x(x≠0)的解集为()A. (−∞,0)B. (0,2)C. (2,+∞)D. (−∞,0)∪(0,2)12. 已知函数f(x)=|cos2x +cosx|，有下列四个结论：①f(x)为偶函数；②f(x)的值域为[0,98]；③f(x)在[−5π4,−π]上单调递减；④f(x)在[−2π,2π]上恰有8个零点．其中所有正确结论的序号为( )A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 命题“∃x 0∈(1,+∞)，x 02+x 0≤2”的否定为______．14. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 3=15，a 3+a 4+a 5=27，则S 10=______．15. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的共顶点的三条棱长度之比为1：1：2，且其外接球的表面积为16π，则该长方体的全面积为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA −√3acosAcosC =√3ccos 2A ，则tanA = ；若a =2，则b +c 的取值范围为 (用区间表示)． 四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且a 4=a 22，a 5=32．(1)求{a n }的通项公式；(2)求使得S n <2020成立的n 的最大值n 0．18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100)，得到如图频率分布直方图． (1)求出直方图中m 的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01)；(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率．19. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =BC =CC 1=1，∠ACB =3π4，点D ，E 分别为线段CC 1，AB 的中点． (1)求证：DE//平面AB 1C 1； (2)求三棱锥D −AC 1E 的体积．20. 已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，O 坐标原点，过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若直线l 与圆O ：x 2+y 2=14相切，求直线l 的方程；(2)若直线l 与x 轴的交点为D ，且DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试探究：λ+μ是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．21. 已知函数f(x)=mx 2+(x −1)e x +1(m ∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：当x ∈(13,1)时，f(x)>mx 2+x 3．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosα,y =3sinα(α为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ． (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)点P ，Q 分别为曲线C 1，C 2上的动点，求证：|PQ|≤9√55+2．23. 已知函数f(x)=|x −a|+|x +2b|(a >0,b >0)．(1)当a =b =1时，解不等式f(x)≥2−x ；(2)若函数f(x)的值域为[2,+∞)，求a22b +4b2a的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合M={0,1，3，5，7}，N={x|x(x−5)<0}={x|0<x<5}，∴M∩N={1,3}．故选：A．求出集合M，N，由此能求出M∩N．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵z⋅(3−2i)=13i，∴z=13i3−2i =13i(3+2i)13=−2+3i．∴z的虚部为3．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：因为cos(π+α)=−cosα=45，所以sin(3π2+α)=−cosα=45．故选：C．利用诱导公式将已知和所求化简求值．本题考查了三角函数诱导公式的运用化简三角函数求值，解答时注意符号．4.【答案】D【解析】解：∵m⃗⃗⃗ =a⃗−2b⃗ ，n⃗=3a⃗+k b⃗ (k∈R)，m⃗⃗⃗ //n⃗，∴31=k−2，解得k=−6．故选：D．利用向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：曲线y =2a x−2−1(a >0且a ≠1)所过的定点为P(2,1)， 点P 在双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线上，则C 的一条渐近线的斜率ba =12，所以双曲线的离心率为e =√1+(ba)2=√1+14=√52．故选：B ．求出定点P 的坐标，求出双曲线的渐近线方程，代入求解即可推出双曲线的离心率． 本题考查函数的图象的特征，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6.【答案】D【解析】解：因为x −=0+1+2+3+45−=2，所以y −=6−.5×2+9=22，因为回归直线方程过样本中心，所以10+15+20+m +35=22×5， 解得m =30． 故选：D ．求出样本中心，利用回归直线方程过样本中心，即可求出m 的值． 本题考查回归直线方程的性质，是基本知识的考查．7.【答案】B【解析】解：由题意可得{abπ=2√3π2b =2√3，解得a =2，b =√3，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，所以C 的标准方程为x 24+y 23=1．故选：B ．利用已知条件，结合椭圆的性质，求解a ，b ，得到椭圆方程． 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，是基本知识的考查．8.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=sinx+x 3x 2的图象向下平移1个单位长度，得到函数g(x)=sinx+x 3x 2−1， 又由f(−x)=sin(−x)+(−x)3(−x)2=−(sinx+x 3x 2)=−f(x)，则函数f(x)=sinx+x3x2为奇函数，其图象关于原点对称，故函数g(x)的图象关于点(0,−1)对称，排除A，B；又由g(1)=sin1>0，排除C．故选：D．根据题意，可得g(x)=sinx+x3x2−1，然后得到函数g(x)的图象关于点(0,−1)对称，排除A，B；求出g(1)的值，可以排除C，即可得答案．本题考查函数的图象变换，涉及函数的奇偶性的定义，考查数形结合思想，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD.因为AB//CD，所以∠PBA即为异面直线PB与CD所成的角．因为tan∠PBA=PAAB=1，所以∠PBA=45°，所以cos∠PBA=√22．如图所示：故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，异面直线的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了解三角形的实际应用，属于基础题．设该木塔的高度为h，根据ℎ=AB×√2和ℎ=√2CD2−1可估算h的取值范围，结合选项可求．【解答】解：设该木塔的高度为h，则由图可知ℎ=AB×√2>47.5×1.414=67.165(米)，同时CDℎ=√2−1√2，∴ℎ=√2CD √2−1=1−√22≤19.91−1.4142≈67.9，即木塔的高度h 约在67.165米至67.9米之间，对照各选项，只有B 符合． 故选：B ．11.【答案】B【解析】解：构造函数g(x)=x 3f(x)，则g′(x)=3x 2f(x)+x 3f′(x)=x 2[3f(x)+xf′(x)]≤0， 所以函数g(x)=x 3f(x)在R 上单调递减． 因为f(2)=10，所以g(2)=80， 由x 2f(x)>80x(x ≠0)，①当x >0时，得x 3f(x)>80，所以g(x)>g(2)， 因为函数g(x)在R 上单调递减，所以0<x <2； ②当x <0时，得x 3f(x)<80.所以g(x)<g(2)， 所以x >2，不合题意，舍去， 所以不等式x 2f(x)>80x(x ≠0)的解集为(0,2)．故选：B ．构造函数g(x)=x 3f(x)，求出g(x)的导数，根据函数的单调性求出g(x)<g(2)，求出不等式的解集即可． 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式，考查转化思想，是一道常规题．12.【答案】A【解析】解：由于f(−x)=|cos(−2x)+cos(−x)|=|cos2x +cosx|=f(x)，故f(x)为偶函数，①正确； f(x)=|cos2x +cosx|=|2cos 2x −1+cosx|=|2(cosx +14)2−98|，记t =cosx ∈[−1,1]， 则y =2cos 2x +cosx −1=2(t +14)2−98，当t =1时，y 的最大值2，当t =−14时，y 取得最小值−98，即y =2cos 2x +cosx −1=2(t +14)2−98的值域为[−98,2]， 所以f(x)的值域为[0,2]，②错误； f(x)在[−5π4,−π]上的单调性与它在[π,5π4]上的单调性刚好相反，当x ∈[π,5π4]时，t =cosx 单调递增，且t ∈[−1,−√22]， 而y =2t 2+t −1=2(t +14)2−98在t ∈[−1,−√22]时单调递减，故y =2cos 2x +cosx −1在[π,5π4]上单调递减，又此时y =2t 2+t −1∈[−√22,0]，故函数f(x)在[π,5π4]上单调递增，于是得f(x)在[−5π4,−π]上单调递减，③正确；令2t 2+t −1=0，得t =−1或12，而当x ∈[0,2π]时，cosx =−1及cosx =12恰有3个不等的实根π，π3，5π3，即f(x)在[0,2π]上恰有3个零点，结合奇偶性可知，f(x)在[−2π,2π]上恰有6个零点，④错误．故正确的是①③．故选：A ．利用函数的奇偶性判断①；函数的值域判断②；函数的单调性判断③；函数的零点的个数判断④．本题考查命题的真假的判断与应用，涉及三角函数的最值，函数的零点的个数，函数的奇偶性以及函数的单调性的求法，是中档题．13.【答案】∀x ∈(1,+∞)，x 2+x >2【解析】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题“∃x 0∈(1,+∞)，x 02+x 0≤2”的否定为“∀x ∈(1,+∞)，x 2+x >2”．故答案为：∀x ∈(1,+∞)，x 2+x >2．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题之间的关系，基本知识的考查．14.【答案】120【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，根据题意得{3a 1+3d =153a 4=3(a 1+3d)=27， 解得a 1=3，d =2，所以S 10=10a 1+10×92d =120．故答案为：120由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题． 15.【答案】803【解析】解：设长方体外接球的半径为R ，则4πR 2=16π，解得R =2；设三条棱长分别为k ，k ，2k(k >0)，于是得2R =4=√k 2+k 2+4k 2=√6k ，解得k =√6；所以该长方体的全面积为2(k2+2k2+2k2)=2×5k2=803．故答案为：803．求出长方体外接球的半径R，再求出长方体三条棱长，即可求得长方体的全面积．本题考查了长方体外接球的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．16.【答案】√3(2√3,4]【解析】【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求tan A，然后结合锐角三角形可求B的范围，再由正弦定理可表示b+c，利用和差角公式及辅助角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理，和差角公式，辅助角公式及正弦函数的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．【解答】解：由bsinA−√3acosAcosC=√3ccos2A及正弦定理得sinBsinA=√3cosA(sinAcosC+sinCcosA)，即sinBsinA=√3cosAsin(A+C)，∴sinBsinA=√3cosAsinB，∵0<B<π2，∴sinB>0，可得tanA=√3，∴A=π3，又∵△ABC是锐角三角形，∴{0<B<π20<2π3−B<π2解得π6<B<π2，∴b+c=asinA[sinB+sin(2π3−B)]=√3+sin(2π3−B)]=4sin(B+π6)，因为π3<B+π6<2π3所以sin(B+π6)∈(√32,1],∴b+c∈(2√3,4]．故答案为：√3，(2√3,4]17.【答案】解：(1)设{a n}的公比为q，由已知条件得a1q3=a12q2，a1q4=32，解得a1=q=2．故a n=a1q n−1=2n．(2)因为a n=2n，所以S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2，由S n>2020，得2n+1−2<2020，即2n+1<2022，而210=1024<2022，211=2048>2022，所以n+1≤10，即n≤9，所以n0=9．【解析】(1)由已知结合等比数列的通项公式即可求解；(2)结合等比数列的求和公式，解不等式即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档试题．18.【答案】解：(1)由10×(0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.005)=1，得m=0.030．(2)平均数x−=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．设中位数为n，则0.1+0.15+0.15+(n−70)×0.03=0.5，得n=2203≈73.33．故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33．(3)由频率分布直方图可知，100个口罩中一等品，二等品各有60个，40个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个．记这3个一等品为a，b，c，2个二等品为d，e，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(a,d)，(a,e)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，共6种．故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为P=610=35．【解析】(1)通过频率分布直方图面积的和为1，求解m即可．(2)求出平均数，设中位数为n，然后求解n即可．(3)所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个．记这3个一等品为a，b，c，2个二等品为d，e，从5个口罩中抽取2个的可能结果10种，恰有1个口罩为一等品的可能结果共6种．利用古典概型概率公式求解这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，古典概型概率的求法，是基础题．19.【答案】解：(1)证明：取AB1的中点F，连接EF，C1F，则在△ABB1中，EF//BB1，EF=12BB1，又点D是CC1的中点，所以C1D=12CC1=12BB1，而CD//BB1，所以C1D−−//EF，所以四边形C1DEF是平行四边形，所以DE//C1F，又DE⊄平面ABC，C1F⊂平面AB1C1，所以DE//平面AB1C1．(2)因为点D是CC1的中点，所以V D−AC1E =12V C−AC1E=12V C1−ACE．而V C1−ACE =13×12S△ABC×CC1=16×12×CA×CB×sin3π4×CC1=112×1×1×√22×1=√224，所以三棱锥D−AC1E的体积为V D−AC1E =√248．【解析】(1)取AB1的中点F，连接EF，C1F，证明四边形C1DEF是平行四边形，推出DE//C1F，然后证明DE//平面AB1C1．(2)利用V D−AC1E =12V C−AC1E=12V C1−ACE，转化求解三棱锥D−AC1E的体积．本题考查线面平行的判定定理和几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属中档题．20.【答案】解：(1)由已知得F(0,1)，显然直线l的斜率存在，设l：y=kx+1．由直线l与圆O：x2+y2=14相切，得√1+k2=12，解得k=±√3，即直线l的方程为y=±√3x+1．(2)设l ：x =m(y −1)(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{x 2=4y x =m(y −1)，消去x ， 得m 2y 2−2(m 2+2)y +m 2=0，所以y 1+y 2=2(m 2+2)m 2，y 1y 2=1．易知D(−m,0)，由DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x 1+m,y 1)=λ(−x 1,1−y 1)， 所以λ=y 11−y 1，同理μ=y 21−y 2，所以λ+μ=y 11−y 1+y 21−y 2=y 1+y 2−2y 1y 21−(y 1+y 2)+y 1y 2=2(m 2+2)m 2−22−2(m 2+2)m 2=−1，所以λ+μ为定值−1．【解析】(1)求出F(0,1)，设l ：y =kx +1.通过直线l 与圆O ：x 2+y 2=14相切，求解直线方程．(2)设l ：x =m(y −1)(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{x 2=4y x =m(y −1)，消去x ，得m 2y 2−2(m 2+2)y +m 2=0，利用韦达定理，以及向量关系转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题． 21.【答案】解：(1)由题得，f′(x)=2mx +xe x =x(e x +2m)．当m ≥0时，令f′(x)>0，得x >0；令f′(x)<0，得x <0，故f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．当m <0时，令f′(x)=0，得x =0或x =ln(−2m)．当m =−12时，f′(x)=x(e x −1)≥0，故f(x)在(−∞,+∞)上单调递增．当−12<m <0时，令f′(x)>0，得x >0或x <ln(−2m)，令f′(x)<0，得ln(−2m)<x <0，即f(x)在(ln(−2m),0)上单调递减，在(−∞,ln(−2m))，(0,+∞)上单调递增．当m <−12时，令f′(x)>0，得x <0或x >ln(−2m)，令f′(x)<0，得0<x <ln(−2m)，即f(x)在(0,ln(−2m))上单调递减，在(−∞,0)，(ln(−2m),+∞)上单调递增．(2)证明：设F(x)=f(x)−mx 2−x 3=(x −1)e x −x 3+1，则F′(x)=e x +(x −1)e x −3x 2=x(e x −3x)，设φ(x)=e x −3x ，则φ′(x)=e x −3．∵x ∈(13,1)，∴φ′(x)<e −3<0，∴φ(x)在(13,1)上单调递减，又φ(13)=√e 3−1>0，φ(1)=e −3<0，∴φ(x)在(13,1)内存在唯一的零点，设为x 0．则当13<x <x 0时，φ(x)>0，F′(x)>0，F(x)单调递增；当x 0<x <1时，φ(x)<0，F′(x)<0，F(x)单调递减，又F(13)=2627−23e 13=26−18e 1327>0，F(1)=0， ∴F(x)>0在x ∈(13,1)上成立，∴当x ∈(13,1)时，f(x)>mx 2+x 3．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)设F(x)=f(x)−mx 2−x 3，求出F(x)的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 22.【答案】解：(1)由{x =2cosα,y =3sinα,(α为参数)消去α得x24+y29=1，即曲线C 的普通方程为x 24+y 29=1，由ρ=4cosθ，整理得ρ2=4ρcosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0(或者(x −2)2+y 2=4)．(2)证明：设点P(2cosα,3sinα)，则|PC 2|=√(2cosα−2)2+3(sinα)2=√−5(cosα+45)2+815， 当cosα=−45时，|PC 2|max =9√55， 故|PQ|max =9√55+2， 即|PQ|≤9√55+2．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的变换和二次函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】解：(1)根据题意得，a =b =1时原不等式为|x −1|+|x −2|≥2−x ，等价于{x ≤−2,1−x −x −2≥2−x ，或{−2<x <1,1−x +x +2≥2−x，或{x ≥1,x −1+x +2≥2−x,； 解得x ≤−3或−1≤x <1或x ≥1，所以不等式f(x)≥2−x 的解集为{x|x ≤−3或x ≥−1}．(2)f(x)=|x −a|+|x +2b|≥|x −a −x −2b|=|a +2b|，当且仅当(x −a)(x +2b)≤0时等号成立；又a >0，b >0，f(x)的值域为[2,+∞)，所以a +2b =2；所以a 22b +4b 2a =(a 22b +4b 2a )+(a +2b)−2=(a 22b +2b)+(a +4b 2a)−2 ≥2√a 2+2√4b 2−2=2(a +2b)−2=2，当且仅当a =2b =1时取等号；所以a 22b +4b 2a 的最小值为2．【解析】(1)a =b =1时原不等式为|x −1|+|x −2|≥2−x ，利用分类讨论法求出不等式的解集；(2)根据绝对值不等式求出f(x)的最小值，再结合题意利用基本不等式求出a 22b +4b 2a 的最小值．本题考查了基本不等式和绝对值不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．。
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
故选 D．
3.答案：B
解析：【分析】 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，是基础题． 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 【解答】 解：设样本中 A 型号车为 x 辆，则 B 型号为（x+8）辆，
则 = ，解得 x=16，
即 A 型号车 16 辆，
则
=，
解得 n=72． 故选：B．
2020 年广东省广州市高考数学二模试卷（二）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知复数 z=m（3+i）-（2+i）在复平面内对应的点在第三象限，则实数 m 的取值范
围是（ ）.
A. （-∞，1）
B. （-∞， ）
C. （ ）
D. （-∞， ）∪（1，+∞）
2. 已知集合 A={x|1- ＜0}，则∁RA=（ ）
5.答案：D
解析：【分析】 本题考查了相互垂直直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题．
设点 A（x，y），由点 A 与点 B（1，2）关于直线 x+y+3=0 对称，可得
，
解出即可得出． 【解答】 解：设点 A（x，y）． ∵点 A 与点 B（1，2）关于直线 x+y+3=0 对称，
解析：【分析】 本题考查了由函数 y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，正弦型函数的图象和性 质，图象的平移伸缩变换，属于中档题． 由图象得到函数的周期 T，然后求出 ω，再由 f（2π）=2 求 φ 的值，可求 f（x）的解析 式，利用图象的平移伸缩变换可求 g（x）的解析式， 利用正弦型函数的性质即可求解其对称轴． 【解答】 解：由图象可知，得函数的周期 T=4×（3.5π-2π）=6π，
2020年肇庆市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年肇庆市高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={2,5，9}，B={x|x=2m−1,m∈A}，则A∪B=()A. {2,3，5，9，17}B. {2,3，5，17}C. {9}D. {5}2.设复数z在复平面内对应的点为(x,y)，若x，y满足x2+(y+2)2=3，则有()A. |z+2|=3B. |z+2|=√3C. |z+2i|=3D. |z+2i|=√33.下列函数为奇函数的是()A. x2+2xB. 2cosx+1C. x3sinxD. 2x−12x4.学校组织学生参加英语测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，则学生平均成绩是()A. 67B. 68C. 69D. 705.等差数列8，5，2，…的第6项为()A. −1B. −4C. −7D. −106.从某校高二年级随机抽取的5名女同学的身高x(厘米)和体重y(千克)数据如下表：x164160176155170y5752624460根据上表可得回归直线方程为ŷ=0.9x+â，则â=A. −93.5B. 93.5C. −96.8D. 96.87.已知l，m是空间两条不重合的直线，α是一个平面，则“m⊥α，l与m无交点”是“l//m，l⊥α”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.执行如图所示的程序框图，如果输入的x=11，则输出的y=()A. −1B. 0C. 2D. 3)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是() 9.函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2A. 函数f(x)在区间(−π,0)上单调递增2B. 函数f(x)的最小正周期为2πC. 函数f(x)的图象关于点(π,0)对称6D. 函数f(x)的图象可以由y=√2sinωx的图象向右平移5π个单位得到610.若直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R)，e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −211.已知抛物线C：y2=4x，A，B是抛物线C上的两点，且线段AB的中点坐标为(2,2)，则AB所在直线的方程为()A. x+y−4=0B. x−y=0C. 2x−y−2=0D. 2x+y−6=0x的零点个数为()12.函数f(x)=x−log12A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数多个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(3,2)，b⃗ =(1,−1)，若(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ，则λ=______．14.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=34，则S4=___________．15.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，P，Q三点，且直线PQ经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为______．16.三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABC，∠CAB=90°，PC=3，AC=4，AB=5，则此三棱锥外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，已知sin A：sin B：sin C=4：5：6，且a+b+c=30，求a．18.某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：(1)根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；(3)从(2)中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.参考数据：参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．19.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，且PA=3.E为PD中点，F在棱PA上，且AF=1(Ⅰ)求证：CE//面BDF；(Ⅱ)求三棱锥P−BDF的体积．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e=√32．(1)求椭圆的方程．(2)设直线y =kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，求k 的值．21. 已知函数f(x)=x(e x lnx −e)，其中，e 是自然对数的底数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当x >0时，f(x)>−2e x−1−(e −1)x ．22. 在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ−4ρsinθ=12，直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =2+tsinα(t 为参数).点P 为曲线E 上的动点，点Q 为线段OP 的中点．(1)求点Q 的轨迹(曲线C)的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，点M(−1,2)恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的普通方程．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵集合A={2,5，9}，B={x|x=2m−1,m∈A}={3,9，17}，∴A∪B={2,3，5，9，17}．故选：A．分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：本题考查复数的模、复数的几何意义，属于基础题．由z在复平面内对应的点为(x,y)，可得z=x+yi，然后根据x，y满足x2+(y+2)2=3即可得解．解：设z在复平面内对应的点为(x,y)，若x，y满足x2+(y+2)2=3，则点(x,y)在以(0,−2)为圆心，半径为√3的圆上，即点(x,y)到(0,−2)的距离为√3，∴|z+2i|=√3．故选D．3.答案：D解析：解：A.f(−1)=1+12，f(1)=2，则f(−1)≠−f(1)，B.f(x)=2cosx+1为偶函数．C.f(x)=x3sinx为偶函数，D.f(−x)=(2−x−12−x )=12x−2x=−(2x−12x)=−f(x)，则函数为奇函数，故选：D根据函数奇偶性的定义进行判断．本题主要考查函数的奇偶性的判断，根据定义是解决本题的关键．4.答案：B解析：本题考查了频率分布直方图，重点是小矩形的高=频率．组距利用直方图计算平均数的方法是每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和．解：平均分是每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和．∴平均分为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选B．5.答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．利用等差数列的通项公式求解即可．解：设等差数列为{a n}，由已知a1=8，公差d=5−8=−3，∴第6项a6=8+5×(−3)=−7．故选C．6.答案：A解析：本题考查线性回归方程，是基础题．根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，解：由表中数据可得x=165，y=55，∵(x,y)一定在回归直线方程ŷ=0.9x+â上，∴55=0.9×167+a，解得a=−93.5．故选A．7.答案：B解析：【试题解析】本题考查了空间中的线面的位置关系，以及充分条件，必要条件，属于基础题．借助于空间中的线面的位置关系，以及充分条件，必要条件的定义即可判断．解：l，m是空间两条不重合的直线，α是一个平面，则“m⊥α，l与m无交点”，不一定推出“l//m，l⊥α”，但l，m是空间两条不重合的直线，α是一个平面，由“l//m，l⊥α”一定推出m⊥α，l与m无交点，故“m⊥α，l与m无交点”是“l//m，l⊥α”的必要不充分条件，故选：B．8.答案：D解析：本题主要考查算法中的程序框图，属于基础题．按照程序框图给出的指示进行运算即可．解：由已知：x=11,x=9,是,y=18,x=7,是,y=14,x=5,是,y=10,x=3,是,y=6,x=1,是,y=2,x=−1,否,y=3，故选D．9.答案：D解析：本题考查三角函数图象问题，考查三角函数的最小正周期，对称中心，对称轴等，为中档题．由图像求出周期，从而可求出ω，再结合图像所过的点确定φ，结合函数的单调性、周期、对称中心和平移知识逐一判断即可．解：由图可得T4=7π12−π3=π4，∴T=π，2πω=π，ω=2，∵图象过点(7π12,−√2)∴√2sin(2×7π12+φ)=−√2，即2×7π12+φ=3π2+2kπ,k∈Z，解得φ=π3+2kπ,k∈Z，又|φ|<π2，∴φ=π3，∴函数f(x)=√2sin(2x+π3)，A：−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈Z)，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，当k=0时，函数的递增区间为[−5π12,π12]，易得函数在(−π2,−5π12)上单调递减，在(−5π12,0)上单调递增，故A错误；B：最小正周期T=π，所以B错，C：令2x+π3=kπ，(k∈Z)，解得x=kπ2−π6(k∈Z)，令kπ2−π6=π6(k∈Z)，可得k=23∉Z，所以C错，D：将y=√2sinωx向右平移5π6个单位可得y=√2sin2(x−5π6 )=√2sin(2x−5π3)=√2sin(2x+π3)，所以函数图象可以由y=√2sinωx向右平移5π6个单位得到．故选：D．10.答案：C解析：解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C．先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是正确理解导数的几何意义．11.答案：B解析：解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由中点坐标公式可得，x1+x2=4，y1+y2=4则y12=4x1，y22=4x2，两式相减可得(y1−y2)(y1+y2)=4(x1−x2)，∴k AB=1，∴直线AB的方程为y−2=(x−2)即x−y=0．故选：B设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，可求直线AB的斜率，进而可求直线AB 的方程本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查运算求解能力，解题时要认真审题，注意韦达定理的灵活运用．12.答案：B解析：解：函数f(x)=x−log 12x的零点个数，就是函数y=x与y=log 12x，两个函数的图象的交点个数，如图：可知函数的图象只有一个交点．x的零点个数为：1个．函数f(x)=x−log 12故选：B．画出两个函数的图象，判断交点个数，即可得到选项．本题考查函数的零点个数的判断，考查数形结合思想的应用，是基础题．13.答案：解析：解：a⃗−λb⃗ =(3−λ,2+λ)；∵(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ；∴(a⃗−λb⃗ )⋅b⃗ =3−λ−(2+λ)=0；．解得λ=12故答案为：1．2可求出a⃗−λb⃗ =(3−λ,2+λ)，根据(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ 即可得出(a⃗−λb⃗ )⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出λ．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法、数乘和数量积的运算．14.答案：58解析：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解．解：∵数列{a n}为等比数列，a1=1，S3=34，∴q≠1，1−q31−q =34，整理可得q2+q+14=0，解得q=−12，故S4=1−q41−q =1−1161+12=58，故答案为58．15.答案：√5解析：解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，P，Q三点，且直线PQ经过抛物线的焦点，可得P(1,2)，则P在双曲线的渐近线上，双曲线的一条渐近线方程：bx−ay=0，可得b=2a，可得c2−a2=4a2，所以双曲线的离心率为：e=√5．故答案为：√5．利用已知条件求出P的坐标，代入渐近线方程，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．16.答案：50π解析：本题考查三棱锥外接球的表面积，其中利用割补法，将三棱锥P−ABC的外接球，转化为一个长方体的外接球是解答的关键，属于中档题．根据已知中PC⊥平面ABC，∠CAB=90°，PC=3，AC=4，AB=5，可得三棱锥P−ABC的外接球，即为以PC，AC，AB为长宽高的长方体的外接球，根据已知PC、AC、AB的长，代入长方体外接球直径(长方体对角线)公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．解：PC⊥平面ABC，∠CAB=90°，PC=3，AC=4，AB=5，则该三棱锥P−ABC的外接球，即为以PC，AC，AB为长宽高的长方体的外接球，故2R=√9+16+25=5√2，故R=5√22，所以三棱锥外接球的表面积为50π．故答案为50π．17.答案：解：∵sin A：sin B：sin C=4：5：6，由正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，又∵a+b+c=30，∴a=30×44+5+6=8．解析：由sin A：sin B：sin C=4：5：6，利用正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．18.答案：解：(1)由列联表可得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(26×20−30×24)250×50×56×44=5077≈0.649<3.841，所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关；(2)根据题意知，所抽取的5位女性中，“微信控”有3人，“非微信控”有2人；(3)抽取的5位女性中，“微信控”3人分别记为A，B，C；“非微信控”2人分别记为D，E；则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共有10种；抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为：ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共有6种，所求的概率为P=610=35．解析：(1)由列联表求得观测值，对照临界值得出结论；(2)根据分层抽样原理求出所抽取的对应人数；(3)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19.答案：证明：(Ⅰ)如图所示，取PF 中点G ，连接EG ，CG ．连接AC 交BD 于O ，连接FO ．由题可得F 为AG 中点，O 为AC 中点，∴FO//GC ；又G 为PF 中点，E 为PD 中点，∴GE//FD ．又GE ∩GC =G ，GE 、GC ⊂面GEC ，FO ∩FD =F ，FO ，FD ⊂面FOD ．∴面GEC//面FOD ．∵CE ⊂面GEC ，∴CE//面BDF ；解：(Ⅱ)∵PA ⊥面ABCD ，∴PA 是三棱锥P −ABD 的高，又S △ABD =12×3×3×√32=9√34， ∴V P−ABD =13×S △ABD ×PA =9√34，同理V F−ABD =13×S △ABD ×FA =3√34． ∴V P−BDF =V P−ABD −V F−ABD =3√32．解析：(Ⅰ)取PF 中点G ，连接EG ，CG.连接AC 交BD 于O ，连接FO.由三角形中位线定理可得FO//GC ，GE//FD.然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC//面FOD ，进一步得到CE//面BDF ； (Ⅱ)由PA 是三棱锥P −ABD 的高，求出底面三角形ABD 的面积，由三棱锥P −BDF 的体积等于三棱锥P −ABD 的体积与三棱锥F −ABD 的体积差求解．本题考查直线与平面平行的判定，考查了棱锥体积得求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．20.答案：解：(1)由题意得{c =3c a =√32，得a =2√3，结合a 2=b 2+c 2，解得a 2=12，b 2=3，所以，椭圆的方程为x 212+y 23=1．(2)由{x 212+y 23=1y =kx，得(+4k 2)x 2−12=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=0，x 1x 2=−121+4k 2，依题意，OM ⊥ON ，易知，四边形OMF 2N 为平行四边形，所以AF 2⊥BF 2，因为F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−3,y 1)，F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−3,y 2)，所以F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−3)(x 2−3)+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+9=0， 即−12(1+k 2)1+4k 2+9=0，解得k =±√24．解析：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．(1)由题意得{c =3c a =√32，解得a ，再结合a 2=b 2+c 2，可求得b 2，从而可得椭圆的方程；(2)由椭圆的方程与直线的方程y =kx 联立，得(1+4k 2)x 2−12=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−3,y 1)，F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−3,y 2)，依题意，AF 2⊥BF 2，由F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可求得k 的值．21.答案：(1)解：函数f(x)=x(e x lnx −e)的定义域为(0,+∞)，=e x lnx −e +xe x lnx +e x=e x (lnx +xlnx +1)−e ，当x >1时，e x >e ，lnx >0，xlnx >0，则lnx +xlnx >0，∴lnx +xlnx +1>1，∴e x (lnx +xlnx +1)>e ，∴e x (lnx +xlnx +1)−e >0，即f′(x)>0，当0<x <1时，1<e x <e ，lnx <0，xlnx <0，则lnx +xlnx <0，∴lnx +xlnx +1<1，∴e x (lnx +xlnx +1)<e ，∴e x (lnx +xlnx +1)−e <0，即f′(x)<0，∴函数f(x)=x(e x lnx −e)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增；(2)证明：不等式f(x)>−2e x−1−(e −1)x ，x >0，即为x(e x lnx −e)>−2e x−1−(e −1)x ，即为xe x lnx >−2e x−1+x ，不等式两边同时除以e x ，得xlnx >x e x −2e ，即证当x >0时，xlnx >xe −x −2e 恒成立，令g(x)=xlnx ，则g′(x)=lnx +1，令g′(x)<0得0<x <1e ，令g′(x)>0得x >1e ，∴函数g(x)=xlnx 在区间(0,1e )上单调递减，在区间(1e ,+∞)上单调递增，∴g(x)=xlnx 在x =1e 处取得极小值，也是最小值，∴函数g(x)=xlnx 在(0,+∞)上的最小值为g(1e )=1e ln 1e =−1e ，令ℎ(x)=xe −x −2e ，则ℎ′(x)=e −x +xe −x (−1)=e −x (1−x)，令ℎ′(x)<0得x >1，令ℎ′(x)>0得0<x <1，∴函数ℎ(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，∴函数ℎ(x)在x =1处取得极大值，也是最大值，∴函数ℎ(x)在(0,+∞)上的最大值为ℎ(1)=e −1−2e =−1e ，∵g(x)min =g(1e )=ℎ(1)=ℎ(x)max ，且最值不同时取到． ∴当x >0时，g(x)>ℎ(x)，即f(x)>−2e x−1−(e −1)x ．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数证明不等式成立，属于较难题目．(1)求出f′(x)，得出函数f(x)的单调区间即可；(2)将不等式转化为当x >0时，xe x lnx >−2e x−1+x ，转化为当x >0时，xlnx >xe −x −2e 恒成立，利用导数法求出最值得出证明即可． 22.答案：解：(Ⅰ)设点Q ，P 的极坐标分别为(ρ,θ)，(ρ0,θ0)，则ρ02+4ρ0cosθ0−4ρ0sinθ0=12且ρ0=2ρ，θ0=θ，所以(2ρ)2+4⋅(2ρ)cosθ−4⋅(2ρ)sinθ=12所以点Q 轨迹的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=3．故点Q 轨迹的直角坐标方程为x 2+y 2+2x −2y =3．(Ⅱ)由(Ⅰ)得曲线的直角坐标方程为(x +1)2+(y −1)2=5，将直线参数方程代入曲线的方程得(tcosα)2+(1+tsinα)2=5，即t 2+2tsinα−4=0，由题意不妨设方程两根为−t ，2t ，所以{−t +2t =−2sinα−t ×2t =−4即{t =−2sinαt 2=2， 所以sin 2α=12⇒cos 2α=12，又sinα与cosα在一三象限同号，二四象限异号，所以直线的斜率k =tanα=±1，又直线过M(−1,2)故直线的普通方程为x −y +3=0或x +y −1=0．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：(1)解：因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，则x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，即{|a −3|=2|5a −3|=2，所以实数a 的值为1． 不等式f(x)<2f(x +1)−1可化为|x −3|<2|x −2|−1，则{x ≥3x −3<2(x −2)−1或{2≤x <3−(x −3)<2(x −2)−1或x <2−(x −3)<−2(x −2)−1， 解得x ≥3或83<x <3或x <0，所以原不等式的解集为{x|x<0或x>83}．(2)证明：因为m≥3，n≥3，所以f(m)+f(n)=|m−3|+|n−3|=m−3+n−3=3，即m+n=9．所以1m +4n=19(m+n)(1m+4n)=19(1+4+nm+4mn)≥19(5+2√nm⋅4mn)=1，当且仅当nm =4mn，即m=3，n=6时取等号．解析：(1)利用不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}，说明x=1和x=5是方程f(x)=|ax−3|=2的解，求出a，然后转化不等式f(x)<2f(x+1)−1为|x−3|<2|x−2|−1，通过分类讨论转化求解即可．(2)化简f(m)+f(n)=3，得到m+n=9.利用基本不等式证明即可．本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式．是中档题．。
2020届广东省东莞市高三二模数学(文)试题解析
2020届广东省东莞市高三二模数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|3A x x x =<，{}1,1,2,3B =-，则AB =（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}1,2C ．{}1,2-D ．{}1,2,3答案：B先求得集合{}|03A x x =<<，再结合集合交集的运算，即可求解. 解：由题意，集合{}{}{}2|3|(3)0|03A x x x x x x x x =<=-<=<<，又有{}1,1,2,3B =-，则A B ={}1,2.故选：B . 点评：本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合A ，再结合集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．已知复数1234+=+iz i，i 为虚数单位，则||z ＝（ ） A ．15BC ．12D．2答案：B利用复数模的性质z z =，以及乘除法的模的性质计算． 解：12123434i i z z i i ++=====++．故选：B ． 点评：本题考查求复数的模，利用模的性质求解更加方便简捷． 复数模的性质：z z =，1212z z z z =，1122z z z z =． 3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( )ABC ．3πD ．4π答案：A由已知得到圆锥的半径与母线长，再代入扇形面积公式求得圆锥侧展图面积． 解：2π的扇形，其面积11(222S l r π=⋅=⋅=.点评：本题考查求圆锥侧展图及扇形面积的基本运算．4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，满足346a a +=，529a =，则7S =（ ） A ．352B ．21C ．492D ．28答案：C设等差数列{}n a 的公差为d ，可得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得7S 的值. 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得341512562289a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得1121a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，71761497721222S a d ⨯=+=⨯+=. 故选：C. 点评：本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本量的求解，考查计算能力，属于基础题.5．某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195、196、190、194、200，则这批轮胎基本合格的概率为（ ） A ．25B ．35C ．45D ．710答案：D可知轮胎的宽度为195、196、194在1953±内，列举出所有的基本事件，并列举出“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 解：由题意可知，轮胎的宽度为195、196、194在1953±内，从这批轮胎中随机选取3个，所有的基本事件有：()195,196,190、()195,196,194、()195,196,200、()195,190,194、()195,190,200、()195,194,200、()196,190,194、()196,190,200、()196,194,200、()190,194,200，其中，事件“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内”所包含的基本事件有：()195,196,190、()195,196,194、()195,196,200、()195,190,194、()195,194,200、()196,190,194、()196,194,200，共7个，因此，这批轮胎基本合格的概率为710P =. 故选：D. 点评：本题考查古典概型概率的计算，一般要列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 6．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于,AC BD ，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．324B ．233C 2D ．22答案：A求得圆锥的高，可得矩形ABCD 的对角线长，即有AC ，BD 的夹角，可得两条渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值．解：解：设与平面α平行的平面为β，以,AC BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>.由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为24y x =±，由24=ba，得离心率222223214+===+=c a b bea a a.故选：A.点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．7．已知α为锐角，3cos5α=，则tan42πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．13B．12C．2 D．3答案：A由3cos 5α=计算出tan 2α，再将tan 42πα⎛⎫- ⎪⎝⎭用两角差的正切公式拆开，代入求值即可. 解： 解：3cos 5α=，22cos 2cos112sin 22ααα=-=-，且α为锐角cos2α∴=sin 2α=sin12tan 22cos 2ααα∴=== 1tantan11422tan 14231tan tan 11422παπαπα--⎛⎫∴-=== ⎪⎝⎭++⨯ 故选：A 点评：本题考查二倍角公式与同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式，属于中档题. 8．已知函数()xx af x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（ ） AB ．2C ．2ln 2D ．ln 2答案：D先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果. 解：()f x 为偶函数，则()()(1)0x xx x x x a a f x e e e e a e e----=+=+∴--=∴1a =，()x x f x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则0003'().2x x f x e e -=-=解得02x e =，（负值舍去）所以0ln 2x =.故选：D 点评：本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题.9．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足161230--=OA OB OC 则（ ） A ．123OA AB AC =+ B ．123OA AB AO =-+ C ．123OA AB AC =- D ．123OA AB AO =--答案：A由向量的线性运算化简． 解：∵161230--=OA OB OC ，∴1612()3()0OA OA AB OA AC -+-+=，整理得123OA AB AC =+．故选：A ． 点评：本题考查向量的线性运算，解题关键是把,OB OC 用,,OA AB AC 表示．10．△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b cos C +c cos B ＝6,c ＝3,B ＝2C ,则cos C 的值为（ ）A B ．4C ．3D ．2答案：D由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得6cos b C =，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得26a c ==，进而根据余弦定理即可求解cos C 的值． 解： 解：3c =，2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，由正弦定理sin sin bcBC ,可得2sin cos sin b c C C C=,可得6cos b C =，cos cos 6b C c B +=，设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得6sin cos sin cos 2B C C B R+=， 又()sin cos sin cos sin sin B C C B B C A +=+=，可得6sin 2sin 62A R A R=⇒=， 可得26a c ==，22223636cos 926s cos 26co C Ca b c C ab ∴+-⨯+-==⨯，可得23cos 4C =，c a <，则C 为锐角，解得cos 2C =．故选：D ． 点评：本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题.11．在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．7πB ．8πC ．163πD ．283π答案：D如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°，分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°，进而可求得R 的值． 解：解：如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH 因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形所以AH ⊥BD ，CH ⊥BD ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120° 设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E ，F 则由AH ＝233⨯=可得AE 23=AH 233=，EH 13=AH 3= 分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点 记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60° 所以OE ＝1，则R ＝OA 22213AE EO =+=则三棱锥外接球的表面积221284493R πππ=⨯= 故选：D点评：本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形，数形结合是关键，属于中档题． 12．已知函数||2()x f x e ax =-，对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,]2e -∞ B ．(,]2e -∞-C ．0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,02e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：A根据题意，结合函数的性质，得出()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，转化为(0,)x ∈+∞时，()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，分离参数，得到2xea x≤在(0,)+∞上恒成立，再构造新函数()xe g x x=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解. 解：根据函数()f x 对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 可得函数()f x 在区间(,0)-∞为单调递减函数， 由||2||2()()()x x f x e a x e ax f x --=---=，可得函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，所以函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，当(0,)x ∈+∞时，函数2()x f x e ax =-，可得()2x f x e ax '=-，根据函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，可得()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即20xe ax -≥在(0,)+∞上恒成立，可转化为2xe a x≤在(0,)+∞上恒成立，令()x e g x x =，则()2(1)x e x g x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 所以当1x =时，函数()g x 取得最小值，最小值为(1)g e =， 所以2(1)a g e ≤=，解得2e a ≤，即实数a 的取值范围是(,]2e-∞. 故选：A . 点评：本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及利用函数的单调性求解参数问题，其中解答中把函数的单调性转化为函数的导数恒成立，利用函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为________.答案：3根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解2y x z =-+在y 轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过()1,1B 点时，z 最大，代入求得结果. 解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则求2z x y =+的最大值等价于求解直线2y x z =-+在y 轴截距的最大值 由2y x =-平移可知，当2y x z =-+过点B 时，在y 轴截距最大由020x y x y -=⎧⎨+-=⎩得：()1,1B max 213z ∴=+= 本题正确结果：3 点评：本题考查利用线性规划的知识求解最大值的问题，关键是能够将问题转化为求解直线在y 轴截距最大值的问题，属于常规题型.14．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q =______. 答案：12或2由214a =，378S =，可得：11174448q q ++=，化简解出即可得出．解： 解：由214a =，378S =， ∴11174448q q ++=，化为：22520q q -+=． 解得12q =或2． 故答案为：12或2． 点评：本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．若非零向量a 、b 满足4b a =，()2a b a -⊥，则a 与b 的夹角为_____． 答案：3π 设a 与b 的夹角为θ，由()2a b a -⊥得出()20a b a -⋅=，结合平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，再结合角θ的取值范围可求得角θ的值，即可得解. 解：设a 与b 的夹角为θ，4b a =，()2a b a -⊥，则()2220a b a a a b -⋅=-⋅=，即2222cos 24cos 0a a b a a θθ-⋅=-=，可得1cos 2θ=，0θπ≤≤，3πθ∴=.因此，a 与b 的夹角为3π. 故答案为：3π. 点评：本题考查利用平面向量垂直求夹角，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.16．在三棱锥A BCD -中，,2,AB AD AB AD BC CD ⊥====锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为__________.答案：8:3π根据题意，当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大.此时取BD 的中点O ，由,2,23AB AD AB AD ⊥==，得4BD =，OA=2，同理根据22BC CD ==，且222BC CD BD +=，由直角三角形中线定理可得2OC =，从而得到外接圆半径R =2，再分别利用体积公式求解. 解： 如图所示：当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大. 取BD 的中点O ，因为,2,23AB AD AB AD ⊥==， 所以4BD =，OA=2， 22BC CD ==，222BC CD BD +=，2OC =，外接圆半径R =2， V 球343233R ππ==，11432232323A BCD V -=⨯⨯⨯=， 三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为83π故答案为：8:3π点评：本题主要考查组合体的体积问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121n n n n a b b ++=+．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和．答案：（1）2n n a =；（2）222nn +-. （1）分别令1n =、2n =可分别求得2a 、3a ，进而可求得等比数列{}n a 的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得{}n a 的通项公式；（2）由已知条件得出数列{}2nn b 是等差数列，确定该数列的首项和公差，求得数列{}2n nb 的通项公式，进一步可求得数列{}nb 的通项公式，然后利用错位相减法可求得数列{}n b 的前n 项和． 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+． 当1n =时，则221212a b b =+=，即2122a =，可得24a =；当2n =时，则332413a b b =+=，即3338a =，可得38a =.322a q a ∴==，212aa q==，111222n n n n a a q --∴==⨯=； （2）1121n n n n a b b ++=+，即11221n n n n b b ++=+，11221n n n n b b ++∴-=，且121b =，所以，数列{}2nn b 是以1为首项，以1为公差的等差数列，则()2111nn b n n =+-⨯=，2n n n b ∴=. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则231232222n nnS =++++，① 231112122222n n n n nS +-∴=++++，② ①-②得2311111111111222112222222212n n n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=--，222n nn S +∴=-. 点评：本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.18．已知几何体ABCDEF 中，//AB CD ，//FC EA ，AD AB ⊥，AE ⊥面ABCD ，2AB AD EA ===，4CD CF ==．（1）求证：平面⊥BDF 平面BCF ；（2）求点B 到平面ECD 的距离． 答案：（1）证明见解析；（22.（1）由FC ⊥平面ABCD ，可得BD FC ⊥，并推导出BD BC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出BD ⊥平面BCF ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）计算出三棱锥E BCD -的体积，并计算出ECD 的面积，利用等体积法可计算出点B 到平面ECD 的距离． 解： （1）//FC EA 且AE ⊥面ABCD ，FC ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD FC ∴⊥，AB AD ⊥且2AB AD ==，由勾股定理得222BD AB AD =+=45ABD ∠=，//AB CD ，45BDC ∴∠=，由余弦定理得2222cos 458BC BD CD BD CD =+-⋅=，22BC ∴=222BC BD CD ∴+=，90CBD ∴∠=，BC BD ∴⊥，FCBC C =，BD ∴⊥平面BCF ，BD ⊂平面BDF ，平面BCF ⊥平面BDF ；（2）AE平面ABCD ，BC BD ⊥，且22BC BD ==142BCD S BC BD ∴=⋅=△， 11842333E BCDBCD V S AE -∴=⋅=⨯⨯=△， AE 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AE ∴⊥，AD AB ⊥，//AB CD ，CD AD ∴⊥，AE AD A =，CD平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，CD DE ∴⊥，又2222DE AE AD =+=，114224222CDE S CD DE ∴=⋅=⨯⨯=△， 设点B 到平面ECD 的距离为h ，则B CDEE BCD V V --=，即1833CDE S h ⋅=，8242CDEh S∴===.因此，点B 到平面ECD 的距离为2. 点评：本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(]15,45以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(]15,30以内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示．质量指标值 频数(]15,202 (]20,258（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率；（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；（3）已知每件产品的纯利润y （单位：元）与产品质量指标t 的关系式为2,30451,1530t y t <≤⎧=⎨<≤⎩．若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．答案：（1）估计新、旧设备所生产的产品优质品率分别为70%、55%；（2）列联表见解析，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”，理由见解析；（3）471. （1）根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的优质品率；（2）根据题中所给的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合临界值表，可得出结论；（3）根据新设备所生产的优质品率，分别计算出1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可收回成本. 解：（1）估计新设备所生产的产品优质品率为302515100%70%100++⨯=，估计旧设备所生产的产品优质品率为()50.060.030.02100%55%⨯++⨯=； （2）根据题中所给数据可得到如下22⨯列联表：()22220030557045 4.8 3.84110075125K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯， 因此，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”； （3）新设备所生产的产品的优质品率为0.7，∴每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有10000.7700⨯=件优质产品，有300件合格品，则每台新设备每天所生产的产品的纯利润为700230011700⨯+⨯=（元）， 8000001700471÷≈（天），因此，估计至少需要471天方可收回成本. 点评：本题考查理由频率分布直方图和频数分布表求频率，同时也考查了利用独立性检验解决实际问题，考查学生的数据处理能力与计算能力，属于基础题. 20．已知点()0,0O 、点()4,0P -及抛物线2:4C y x =．（1）若直线l 过点P 及抛物线C 上一点Q ，当OPQ ∠最大时求直线l 的方程； （2）问x 轴上是否存在点M ，使得过点M 的任一条直线与抛物线C 交于点A 、B ，且点M 到直线AP 、BP 的距离相等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．答案：（1）240x y ++=或240x y -+=；（2）存在，且点M 的坐标为()4,0. （1）要使得OPQ ∠最大，则过P 的直线与抛物线相切，设过点P 的直线方程为4x my =-，与抛物线的方程联立，由0∆=求得m 的值，由此可得出直线l 的方程；（2）由题意可知，直线AP 、BP 的斜率互为相反数，设点(),0M m ，设直线AB 的方程为x ty m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式求得实数m 的值，由此可得出结论. 解：（1）如下图所示，当过点P 的直线l 与抛物线相切时，即当点Q 为切点时，OPQ ∠最大.当直线l 与x 轴重合时，则点P 与点Q 重合，不合乎题意； 当直线l 与x 轴不重合时，可设直线l 的方程为4x my =-，联立244x my y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得24160y my -+=，则216640m ∆=-=，解得2m =±. 因此，当OPQ ∠最大时，直线l 的方程为240x y ++=或240x y -+=； （2）假设存在这样的点M 满足条件，设点(),0M m ，因为点M 到直线AP 、BP 的距离相等，则MP 为APB ∠的角平分线，所以APM BPM ∠=∠，可得0AP BP k k +=，设直线AB 的方程为x ty m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得2440y ty m --=，由韦达定理得124y y t +=，124y y m =-.()()()()1221121212444444AP BP y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++()()()()()()()()122112121212442404545y ty m y ty m ty y m y y x x x x ++++++++===++++，()()1212240ty y m y y ∴+++=，即()()24440t m t m ⨯-++=，整理得()1640t m -=，由题意可知，等式()1640t m -=对任意的t R ∈恒成立，所以，4m =. 因此，在x 轴上存在点()4,0M ，使得点M 到直线AP 、BP 的距离相等. 点评：本题考查利用直线与抛物线相切求直线方程，同时也考查了抛物线中存在定点满足条件，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.21．已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．答案：（1）见解析；（2）1[,)e+∞. （1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()21x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性即可；（2）由题意可知()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情况确定实数b 的取值范围即可. 解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞∵()()()21x x e ax f x x --'=，0a <，∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '> ∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增. （2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭()1xb x e lnx =-- 由题意，()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10xb x e lnx --≤恒成立；不符题意.②若0b >，记()()1xh x b x e lnx =--，则()1xh x bxe x'=-, 显然()h x '在[)1,+∞单调递增， （i ）当1b e≥时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥= （ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1110b h e b e b ⎛⎫=-> ⎝'->⎪⎭∴存在01x >，使()0h x '=.当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '> ∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增 ∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意 综上所述，所求b 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭点评：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 2sin 1ρθρθ-=．若P 为曲线1C 上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足2OP OQ ⋅=，记动点Q 的轨迹为2C ． （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，求OMN 的面积．答案：（1）()()22125x y -++=（去掉原点）；（2）35. （1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，根据题意得出12ρρ=，将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程，可得出一个等式，然后将12ρρ=代入等式，化简可得出曲线2C 的极坐标方程，进而利用极坐标与直角坐标之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）将曲线1C 的方程化为直角坐标方程，计算出圆心到直线MN 的距离，利用勾股定理求出MN ，并计算出原点到直线MN 的距离，利用三角形的面积公式可求得OMN 的面积. 解：（1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，2OP OQ ⋅=，12ρρ∴=，可得12ρρ=.将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程得11cos 2sin 1ρθρθ-=， 将12ρρ=代入等式11cos 2sin 1ρθρθ-=，得24cos sin 1θθρρ-=，即2cos 4sin ρθθ=-，等式两边同时乘以ρ得22cos 4sin 0ρρθρθ-+=， 化为直角坐标方程得22240x y x y +-+=，即()()22125x y -++=，因此，曲线2C 的直角坐标方程为()()22125x y -++=（去掉原点）； （2）曲线1C 的直角坐标方程为210x y --=，曲线1C 为直线，曲线2C 是以点()1,2P -，圆心P 到直线MN 的距离为d =，MN ∴===， 原点到直线MN 的距离为h =因此，OMN 的面积为1132255OMN S MN h =⋅=⨯=△.点评：本题考查曲线极坐标方程的求解，考查了曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了圆的内接三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数1()|||3|2()2f x x k x k R =-++-∈． （1）当1k =时，解不等式()1f x ≤；（2）若()f x x 对于任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．答案：（1）5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）{|1}k k ≤-. （1）当1k =时，去绝对值，把()f x 写成分段函数，不等式()1f x ≤等价于3个不等式组，解即得；（2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立.分2x -≤和2x >-两种情况解不等式，求实数k 的取值范围． 解：（1）1k =，1()|1||3|22f x x x ∴=-++-． 35,3,221(),31,2233, 1.22x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩由()1f x ≤得3,351,22x x <-⎧⎪⎨--≤⎪⎩或31,11,22x x -≤≤⎧⎪⎨-+≤⎪⎩或1,33 1.22x x >⎧⎪⎨-≤⎪⎩ 解得x ∈∅或11x -≤≤或513x <≤， ∴不等式()1f x 的解集为5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立当2x -≤时，1|||3|022x k x x -++≥≥+恒成立；当2x >-时，1|||3|22x k x x -++≥+恒成立3||22x x k x +⇔-+≥+恒成立, 即1||2x x k +-≥恒成立， 当21x -<≤-时，1||2x x k +-≥显然恒成立， 当1x >-时，1||2x x k +-≥恒成立12x x k +⇔-≥或12x x k +-≤-恒成立， 即21x k ≥+或2132x k ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭恒成立． 211k ∴+≤-，解得1k ≤-，∴实数k 的取值范围为{|1}k k ≤-． 点评：本题考查含有绝对值的不等式的解法，考查分类讨论，属于较难的题目.。
【附加15套高考模拟试卷】广东省广州市2020届高三4月综合测试(二模)数学(文)试卷含答案
广东省广州市2020届高三4月综合测试（二模）数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()2f x x =，则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．2019B ．1C ．0D ．-12．将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（ ）A ．13B ．25C ．12D ．353．函数sin y x x π=-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知程序框图如图所示，若输入的2a =，则输出的结果S 的值为（ ）A ．1009B ．1008C ．20192 D ．201725．函数f （x ）=ln|11xx+-|的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知()f x 是奇函数，当0x >时，()2xf x x =--，则函数在1x =-处的切线方程是（ ） A ．210x y -+=B ．220x y -+=C ．20x y -=D ．20x y +=7．已知21,(1)()242,(1)xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+->⎩，若关x 于的方程()a f x =恰有两个不同实根，则实数a 的取值范围是（）A ．1,[1,2)2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭UB ．10,[1,2)2⎛⎫ ⎪⎝⎭UC ．(1,2)D ．[1,2)8．已知函数，且实数，满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知等差数列的前n 项和为，若，则等于A ．18B ．36C ．54D ．7210．已知a ，b ，c 分别为ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边，已知C 45∠=o ，c 2=a x =，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( ) A 21x <<B 22x <<C ．12x <<D ．12x <<11．在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长22AB =则正三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π12．在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱C 1D 1的中点，Q 是正方体内部或正方体的表面上的点，且EQ ∥平面A 1BC 1，则动点Q 的轨迹所形成的区域面积是 （ ）A．334B ．23C ．33D ．42二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。