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2019山东省青岛市中考数学试题(解析版)

2019年山东省青岛市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）﹣的相反数是（）A．﹣B．﹣C．±D．2．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km，把384000km用科学记数法可以表示为（）A．38.4×104km B．3.84×105kmC．0.384×106km D．3.84×106km4．（3分）计算（﹣2m）2•（﹣m•m2+3m3）的结果是（）A．8m5B．﹣8m5C．8m6D．﹣4m4+12m5 5．（3分）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．πB．2πC．2πD．4π6．（3分）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣2）7．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°8．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y ＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：﹣（）0＝．10．（3分）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．11．（3分）射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是环．12．（3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是°．13．（3分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．14．（3分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走个小立方块．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（8分）（1）化简：÷（﹣2n）；（2）解不等式组，并写出它的正整数解．17．（6分）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．18．（6分）为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校800名学生中随机抽取了40名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位：h），统计结果如下：9，8，10.5，7，9，8，10，9.5，8，9，9.5，7.5，9.5，9，8.5，7.5，10，9.5，8，9，7，9.5，8.5，9，7，9，9，7.5，8.5，8.5，9，8，7.5，9.5，10，9.5，8.5，9，8，9．在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表：睡眠时间分组统计表睡眠时间分布情况组别睡眠时间分组人数（频数）17≤t＜8m28≤t＜91139≤t＜10n410≤t＜114请根据以上信息，解答下列问题：（1）m＝，n＝，a＝，b＝；（2）抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数落在组（填组别）；（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于9h，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数．19．（6分）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）20．（8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？21．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．22．（10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？23．（10分）问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的22×方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c 个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到个图⑦这样的几何体．24．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC ＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2019年山东省青岛市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）﹣的相反数是（）A．﹣B．﹣C．±D．【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．【解答】解：根据相反数、绝对值的性质可知：﹣的相反数是．故选：D．【点评】本题考查的是相反数的求法．要求掌握相反数定义，并能熟练运用到实际当中．2．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km，把384000km用科学记数法可以表示为（）A．38.4×104km B．3.84×105kmC．0.384×106km D．3.84×106km【分析】利用科学记数法的表示形式即可【解答】解：科学记数法表示：384000＝3.84×105km故选：B．【点评】本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤a＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．4．（3分）计算（﹣2m）2•（﹣m•m2+3m3）的结果是（）A．8m5B．﹣8m5C．8m6D．﹣4m4+12m5【分析】根据积的乘方以及合并同类项进行计算即可．【解答】解：原式＝4m2•2m3＝8m5，故选：A．【点评】本题考查了幂的乘方、积的乘方以及合并同类项的法则，掌握运算法则是解题的关键．5．（3分）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．πB．2πC．2πD．4π【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝4，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．【解答】解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD＝90°是解题的关键．6．（3分）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣2）【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．【解答】解：将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，﹣2），故选：D．【点评】本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．7．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，根据全等三角形的性质得到AF＝EF，AB＝BE，求得AD＝DE，根据三角形的内角和得到∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，根据全等三角形的性质得到∠BED＝∠BAD＝95°，根据四边形的内角和平角的定义即可得到结论．【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，∵BF＝BF，∴△ABF∽△EBF（ASA），∴AF＝EF，AB＝BE，∴AD＝DE，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，在△DAB与△DEB中，∴△ABD≌△EAD（SSS），∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°，故选：A．【点评】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．8．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y ＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先根据抛物线y＝ax2﹣2过原点排除A，再反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y＝bx+a的位置关系，进而得解．【解答】解：∵当x＝0时，y＝ax2﹣2x＝0，即抛物线y＝ax2﹣2x经过原点，故A错误；∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限，∴ab＞0，即a、b同号，当a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2x的对称轴x＝＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；当a＞0时，b＞0，直线y＝bx+a经过第一、二、三象限，故B错误，C正确．故选：C．【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：﹣（）0＝2+1．【分析】根据二次根式混合运算的法则计算即可．【解答】解：﹣（）0＝2+2﹣1＝2+1，故答案为：2+1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟记法则是解题的关键．10．（3分）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．【解答】解：根据题意得：△＝1﹣4×2m＝0，整理得：1﹣8m＝0，解得：m＝，故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．11．（3分）射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是8.5环．【分析】由加权平均数公式即可得出结果．【解答】解：该队员的平均成绩为（1×6+1×7+2×8+4×9+2×10）＝8.5（环）；故答案为：8.5．【点评】本题考查了加权平均数和条形统计图；熟练掌握加权平均数的计算公式是解决问题的关键．12．（3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是54°．【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF＝90°，根据五边形的内角和得到∠ABC ＝∠C＝108°，求得∠ABD＝72°，由圆周角定理得到∠F＝∠ABD＝72°，求得∠FAD ＝18°，于是得到结论．【解答】解：连接AD，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠ABC＝∠C＝108°，∴∠ABD＝72°，∴∠F＝∠ABD＝72°，∴∠FAD＝18°，∴∠CDF＝∠DAF＝18°，∴∠BDF＝36°+18°＝54°，故答案为：54．【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．（3分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为6﹣cm．【分析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4﹣x即可．【解答】解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝﹣4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，所以（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝﹣2．则FC＝4﹣x＝6﹣．故答案为6﹣．【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．14．（3分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走4个小立方块．【分析】根据新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同解答即可．【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，则新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同，所以最多可以取走4个小立方块．故答案为：4【点评】本题主要考查了几何体的表面积，理解三视图是解答本题的关键．用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．【分析】先作∠DAB＝α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点．【解答】解：如图，△ABC为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（8分）（1）化简：÷（﹣2n）；（2）解不等式组，并写出它的正整数解．【分析】（1）按分式的运算顺序和运算法则计算求值；（2）先确定不等式组的解集，再求出满足条件的正整数解．【解答】解：（1）原式＝÷＝×＝；（2）由①，得x≥﹣1，由②，得x＜3．所以该不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．所以满足条件的正整数解为：1、2．【点评】本题考查了分式的混合运算、不等式组的正整数解等知识点．解决（1）的关键是掌握分式的运算法则，解决（2）的关键是确定不等式组的解集．17．（6分）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次数字差的绝对值小于2的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．【解答】解：这个游戏对双方不公平．理由：列表如下：1234 1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有（1，1），（2，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），（3，3），（4，3），（3，4），（4，4）共10种，故小明获胜的概率为：＝，则小刚获胜的概率为：＝，∵≠，∴这个游戏对两人不公平．【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．18．（6分）为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校800名学生中随机抽取了40名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位：h），统计结果如下：9，8，10.5，7，9，8，10，9.5，8，9，9.5，7.5，9.5，9，8.5，7.5，10，9.5，8，9，7，9.5，8.5，9，7，9，9，7.5，8.5，8.5，9，8，7.5，9.5，10，9.5，8.5，9，8，9．在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表：睡眠时间分组统计表睡眠时间分布情况组别睡眠时间分组人数（频数）17≤t＜8m28≤t＜91139≤t＜10n410≤t＜114请根据以上信息，解答下列问题：（1）m＝7，n＝1，a＝17.5%，b＝45%；（2）抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数落在3组（填组别）；（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于9h，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数．【分析】（1）根据40名学生平均每天的睡眠时间即可得出结果；（2）由中位数的定义即可得出结论；（3）由学校总人数×该校学生中睡眠时间符合要求的人数所占的比例，即可得出结果．【解答】解：（1）7≤t＜8时，频数为m＝7；9≤t＜10时，频数为n＝18；∴a＝×100%＝17.5%；b＝×100%＝45%；故答案为：7，18，17.5%，45%；（2）由统计表可知，抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数为第20个和第21个数据的平均数，∴落在第3组；故答案为：3；（3）该校学生中睡眠时间符合要求的人数为800×＝440（人）；答：估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数为440人．【点评】本题考查了统计图的有关知识，解题的关键是仔细地审题，从图中找到进一步解题的信息．19．（6分）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，于是得到CE∥DF，推出四边形CDFE是矩形，得到EF＝CD＝120，DF＝CE，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，则CE∥DF，∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120，DF＝CE，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80，∴DF＝cos32°•BD＝80×≈68，BF＝sin32°•BD＝80×≈，∴BE＝EF﹣BF＝，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68，∴AE＝CE•tan42°＝68×＝，∴AB＝AE+BE＝+≈134m，答：木栈道AB的长度约为134m．【点评】本题考查解直角三角形﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线．构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．20．（8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？【分析】（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等式，方程和不等式综合考虑求解即可．【解答】解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，由题意得：＝+5化简得600×1.5＝600+5×1.5x解得x＝40∴1.5x＝60经检验，x＝40是分式方程的解且符合实际意义．答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得由①得y＝75﹣1.5x③将③代入②得150x+120（75﹣1.5x）≤7800解得x≥40，当x＝40时，y＝15，符合问题的实际意义．答：甲至少加工了40天．【点评】本题是分式方程与不等式的实际应用题，题目数量关系清晰，难度不大．21．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF 是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？【分析】（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，即可求解；（3）由题意得（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x＝50时，w由最大值，此时，w＝1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解得：x≤70，∴每天的销售量y＝﹣2x+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润＝w得出函数关系式是解题关键．23．（10分）问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的22×方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（4a﹣4）种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到（2a﹣2）个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（8a﹣8）种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的。

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完整版)2019年永州市中考数学试题、答案(解析版)

完整版)2019年永州市中考数学试题、答案(解析版)

完整版)2019年永州市中考数学试题、答案(解析版)2019年永州市中考数学试题答案（解析版）一、选择题1.绝对值的定义是一个数到0的距离，因此|-2|=2，选项D。

2.轴对称图形的特点是对称轴上的点不动，因此选项C。

3.科学记数法表示的形式是a×10^n，其中1≤a＜10，因此选项C。

4.根据图形，可以得到西瓜的三视图分别为圆、椭圆和三角形，因此选项D。

5.选项A是错误的，应为a2×a3=a5；选项B是错误的，应为a5=a3×a2；选项C是错误的，应为(a+b)2=a2+2ab+b2；选项D是正确的。

6.题目中给出的数据有6个，因此中位数是第3个数，即3.已知中位数是3，因此x的值只能为4，选项D。

7.选项A是正确的，因为两边和一角相等的两个三角形是全等的；选项B是正确的，因为对角线相等且对边平行的四边形是平行四边形，而平行四边形中对角线相等的四边形是矩形；选项C是错误的，因为一个角的补角等于90度，而不是45度；选项D是正确的，因为点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度。

8.根据对角线平分四边形的性质，可以得到AC=BD=8.根据余弦定理，可以得到cos ABD=cos CDB=-1/3.因此AB^2=AD^2+BD^2-2AD×BD×cos ABD=25+64/3，AC^2=AB^2+BC^2-2AB×BC×cos ABC=25+64/3+25-10×8/3×(-1/3)=200/3，四边形ABCD的面积为1/2×AC×BD=40，选项A。

9.假设修建总仓库的位置为x，甲、乙、丙、丁四个基地的产量分别为4a、5a、4a和2a。

由于各基地之间的距离比为2:3:4:3:3，因此修建总仓库的位置x满足2x+3(5-x)+4(9-x)+3(13-x)+3x=24，解得x=9.因此最佳位置为丙，选项C。

山东省济宁市2019中考数学试题(解析版)-精选

山东省济宁市2019中考数学试题(解析版)-精选

2019 年山东省济宁市中考数学试卷一、选择题：本大题共10 小题，每小题一项符合题目要求1．（ 3 分）下列四个实数中，最小的是（3 分，共）30 分. 在每小题给出的四个选项中，只有A．﹣B．﹣ 5C． 1D．42．（ 3 分）如图，直线a， b 被直线c， d 所截，若∠1＝∠ 2，∠ 3＝ 125°，则∠ 4 的度数是（）A． 65°B． 60°C． 55°3．（ 3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（D．75°）A．B．C．D．4．（ 3 分）以下调查中，适宜全面调查的是（）A．调查某批次汽车的抗撞击能力B．调查某班学生的身高情况C．调查春节联欢晚会的收视率D．调查济宁市居民日平均用水量5．（ 3 分）下列计算正确的是（）A．＝﹣ 3B．＝C．＝± 6D．﹣＝﹣ 0.6 6．（ 3 分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5基站布设，“孔夫子家”自此有了 5 网G G络． 5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10 倍，在峰值速率下传输500 兆数据， 5G网络比 4G网络快 45 秒，求这两种网络的峰值速率．设 4G网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（）A．﹣＝45B．﹣＝ 45C．﹣＝45D．﹣＝ 457．（ 3 分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（）A．B．C．D．8．（ 3 分）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．＝（x ﹣ 4）2﹣ 6 B．y＝（x﹣ 1）2﹣ 3 C．＝（﹣ 2）2﹣ 2D．＝（x﹣ 4）2﹣2y y x y9．（ 3 分）如图，点 A 的坐标是（﹣2， 0），点B的坐标是（ 0， 6），C为OB的中点，将△ABC绕点 B逆时针旋转90°后得到△ A′ B′C′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B 的中点，则的值是（）DkA． 9B． 12C． 15D．1810．（ 3 分）已知有理数a≠1，我们把称为 a 的差倒数，如： 2 的差倒数是＝﹣ 1，﹣ 1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2， a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数依此类推，那么a1+a2++a100的值是（）A．﹣ 7.5B． 7.5C． 5.5D．﹣ 5.5二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共15 分。

2019年山东省淄博市中考数学试题(解析版)

2019年山东省淄博市中考数学试题(解析版)

2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）比﹣2小1的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．32．（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为（）A．40×108B．4×109C．4×1010D．0.4×10103．（4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A．B．C．D．4．（4分）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（）A．130°B．120°C．110°D．100°5．（4分）解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是（）A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2）B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）C．﹣1+x＝1+2（2﹣x）D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）6．（4分）与下面科学计算器的按键顺序：对应的计算任务是（）A．0.6×+124B．0.6×+124C．0.6×5÷6+412D．0.6×+4127．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（）A．B．2 C．2D．68．（4分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（）A．2a B．a C．3a D．a9．（4分）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果.10．（4分）单项式a3b2的次数是．11．（4分）分解因式：x3+5x2+6x．12．（4分）如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝度．13．（4分）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是．14．（4分）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；……依此类推，当CD＝AC（n为正整数）时，tanαn＝．三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（5分）解不等式16．（5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．17．（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：组别年龄段频数（人数）第1组10≤x＜20 5第2组20≤x＜30 a第3组30≤x＜40 35第4组40≤x＜50 20第5组50≤x＜60 15（1）请直接写出a＝，m＝，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是度．（2）请补全上面的频数分布直方图；（3）假设该市现有10～60岁的市民300万人，问40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？18．（8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润＝售价﹣成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：A B成本（单位：万元/件） 2 4售价（单位：万元/件） 5 7问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE 为直径的⊙O经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE•CA；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．20．（9分）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．（1）试证明DM⊥MG，并求的值．（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．21．（9分）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）比﹣2小1的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】用﹣2减去1，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：﹣2﹣1＝﹣（1+2）＝﹣3．故选：A．【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟记运算法则是解题的关键．2．（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为（）A．40×108B．4×109C．4×1010D．0.4×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：40亿用科学记数法表示为：4×109，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A．B．C．D．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意；B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意；C、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，不符合题意；D、球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4．（4分）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（）A．130°B．120°C．110°D．100°【分析】根据平行线性质求出∠ABE，再求出∠EBC即可得出答案．【解答】解：如图：∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，∴∠DAB＝40°，∠CBF＝20°，∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝40°，∵∠EBF＝90°，∴∠EBC＝90°﹣20°＝70°，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°，故选：C．【点评】本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．5．（4分）解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是（）A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2）B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）C．﹣1+x＝1+2（2﹣x）D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．【解答】解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），故选：D．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．6．（4分）与下面科学计算器的按键顺序：对应的计算任务是（）A．0.6×+124B．0.6×+124C．0.6×5÷6+412D．0.6×+412【分析】根据科学计算器按键功能可得．【解答】解：与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是0.6×+124，故选：B．【点评】本题主要考查计算器﹣有理数，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能．7．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（）A．B．2 C．2D．6【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，大正方形的边长为＝2，小正方形的边长为，∴图中阴影部分的面积为：×（2﹣）＝2，故选：B．【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．8．（4分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（）A．2a B．a C．3a D．a【分析】证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a，计算即可．【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴＝（）2，即＝，解得，△BCA的面积为4a，∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．9．（4分）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0【分析】利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程．【解答】解：∵x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，而x1+x2＝3，∴9﹣2x1x2＝5，∴x1x2＝2，∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果.10．（4分）单项式a3b2的次数是 5 ．【分析】根据单项式的次数的定义解答．【解答】解：单项式a3b2的次数是3+2＝5．故答案为5．【点评】本题考查了单项式的次数的定义：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．11．（4分）分解因式：x3+5x2+6x．【分析】先提公因式x，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式．【解答】解：x3+5x2+6x，＝x（x2+5x+6），＝x（x+2）（x+3）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．12．（4分）如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝90 度．【分析】作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，可得点E是旋转中心，即∠AEA1＝α＝90°．【解答】解：如图，连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E∵CC1，AA1的垂直平分线交于点E，∴点E是旋转中心，∵∠AEA1＝90°∴旋转角α＝90°故答案为：90【点评】本题考查了旋转的性质，确定旋转的中心是本题的关键．13．（4分）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是．【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，∴恰好选中一男一女的概率是＝，故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．14．（4分）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；……依此类推，当CD＝AC（n为正整数）时，tanαn＝．【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，，中的中间一个．∴tanαn＝＝．故答案为：．【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（5分）解不等式【分析】将已知不等式两边同乘以2，然后再根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式的解集．【解答】解：将不等式两边同乘以2得，x﹣5+2＞2x﹣6解得x＜3．【点评】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．16．（5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠C＝∠E．【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠C＝∠E【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明∠CAB＝∠EAD是本题的关键．17．（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：组别年龄段频数（人数）第1组10≤x＜20 5第2组20≤x＜30 a第3组30≤x＜40 35第4组40≤x＜50 20第5组50≤x＜60 15（1）请直接写出a＝25 ，m＝20 ，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是126 度．（2）请补全上面的频数分布直方图；（3）假设该市现有10～60岁的市民300万人，问40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？【分析】（1）根据题意和频数分布表中的数据，可以求得a、m的值和第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数；（2）根据（1）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据频数分布表中的数据可以计算出40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少．【解答】解：（1）a＝100﹣5﹣35﹣20﹣15＝25，m%＝（20÷100）×100%＝20%，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：360°×＝126°，故答案为：25，20，126；（2）由（1）值，20≤x＜30有25人，补全的频数分布直方图如右图所示；（3）300×＝60（万人），答：40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人．【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润＝售价﹣成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：A B成本（单位：万元/件） 2 4售价（单位：万元/件） 5 7问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？【分析】设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；由题意列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；由题意得：，解得：；答：A，B两种产品的销售件数分别为160件、180件．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE 为直径的⊙O经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE•CA；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．【分析】（1）①证明DO∥AB，即可求解；②证明CDE∽△CAD，即可求解；（2）证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影＝S扇形DFO，即可求解．【解答】解：（1）①连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠DAO＝∠ADO，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∴BC是⊙O的切线；②连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴CD2＝CE•CA；（2）连接DE、OE，设圆的半径为R，∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线，∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠FAD，∵DO∥AB，∴∠PDA＝∠DAF，∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD，∴AF＝DF＝OA＝OD，∴△OFD、△OFA是等边三角形，∴∠C＝30°，∴OD＝OC＝（OE+EC），而OE＝OD，∴CE＝OE＝R＝3，S阴影＝S扇形DFO＝×π×32＝．【点评】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．20．（9分）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．（1）试证明DM⊥MG，并求的值．（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．【分析】（1）如图1中，延长DM交FG的延长线于H．证明△DMG是等腰直角三角形即可，连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2a，BF＝a，求出BM，MG即可解决问题．（2）（1）中的值有变化．如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．首先证明O，G，F共线，再证明点M在直线AD上，设BC＝m，则AB＝2m，想办法求出BM，MG（用m 表示），即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H．∵四边形ABCD，四边形BCFG都是正方形，∴DE∥AC∥GF，∴∠EDM＝∠FHM，∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，∴△EDM≌△FHM（AAS），∴DE＝FH，DM＝MH，∵DE＝2FG，BG＝DG，∴HG＝DG，∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，∴GM⊥DM，DM＝MG，连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2a，BF＝a，∵∠EBD＝∠DBF＝45°，∴∠EBF＝90°，∴EF＝＝a，∵EM＝MF，∴BM＝EF＝a，∵HM＝DM，GH＝FG，∴MG＝DF＝a，∴＝＝．（2）解：（1）中的值有变化．理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．∵DO＝OA，DG＝GB，∴GO∥AB，OG＝AB，∵GF∥AC，∴O，G，F共线，∵FG＝AB，∴OF＝AB＝DF，∵DF∥AC，AC∥OF，∴DE∥OF，∴OD与EF互相平分，∵EM＝MF，∴点M在直线AD上，∵GD＝GB＝GO＝GF，∴四边形OBFD是矩形，∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°，∵OM＝MD，OG＝GF，∴MG＝DF，设BC＝m，则AB＝2m，易知BE＝2OB＝2•2m•sinα＝4m sinα，BF＝2BO°＝2m•cosα，DF＝OB＝2m•sinα，∵BM＝EF＝＝，GM＝DF＝m•sinα，∴＝＝．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．21．（9分）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．【分析】（1）用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式．（2）用配方法求抛物线顶点M，求AM2，设点P坐标为（0，p），用p表示AP2和MP2．△PAM为直角三角形不确定哪个点为直角顶点，故需分三种情况讨论．确定直角即确定斜边后，可用勾股定理列方程，求得p的值即求得点P坐标．（3）由点I是△ADG内心联想到过点I作△ADG三边的垂线段IE、IF、IH，根据内心到三角形三边距离相等即有IE＝IF＝IH．此时以点I为圆心、IE为半径长的⊙I即为△ADG内切圆，根据切线长定理可得AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG．设点I坐标为（m，n），可用含m、n的式子表示AG、DG的长，又由DA＝OA＝3，即可用勾股定理列得关于m、n的方程．化简再配方后得到式子：（m﹣）2+（n+）2＝，从图形上可理解为点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为，所以点I的运动轨迹为圆弧．所以当点I在CQ连线上时，CI最短．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）∴解得：∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3（2）在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴顶点M（1，4）∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20设点P坐标为（0，p）∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2①若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2∴20+9+p2＝17﹣8p+p2解得：p＝﹣∴P（0，﹣）②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2∴9+p2+17﹣8p+p2＝20解得：p1＝1，p2＝3∴P（0，1）或（0，3）③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2∴20+17﹣8p+p2＝9+p2解得：p＝∴P（0，）综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△PAM为直角三角形．（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H∵DG⊥x轴于点G∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°∴四边形IEGH是矩形∵点I为△ADG的内心∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG∴矩形IEGH是正方形设点I坐标为（m，n）∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m∵DA＝OA＝3∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m∴DG＝DH+HG＝m+n∵DG2+AG2＝DA2∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0配方得：（m﹣）2+（n+）2＝∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动∴当点I在线段CQ上时，CI最小∵CQ＝∴CI＝CQ﹣IQ＝∴CI最小值为．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，直角三角形存在性的分类讨论，三角形内心的定义和性质，切线长定理，点和圆的位置关系，解一元一次方程和一元二次方程．第（3）题的解题关键是由点I是内心用内心性质和切线长定理列式求得点I坐标的特征式子，转化到点I到定点Q的距离相等，再转化到点和圆的位置关系．7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。

2019年山东省济南市中考数学试卷及答案解析

2019年山东省济南市中考数学试卷及答案解析

2019年山东省济南市中考数学试卷及答案解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.-7的相反数是（）A.7B.-7C.D.1 7【答案】A【解析】【详解】根据概念，（-7的相反数）+（-7）=0，则-7的相反数是7．故选A．2.以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据几何体的正面看得到的图形，可得答案．【详解】A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何的三视图是解题关键．3.2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（）A.0.1776×103B.1.776×102C.1.776×103D.17.76×102【答案】B【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据此判断即可．【详解】解：177.6=1.776×102．故选B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，确定a 与n 的值是解题的关键．4.如图，//DE BC ，BE 平分ABC ∠，若170=︒∠，则CBE ∠的度数为（）A.20︒B.35︒C.55︒D.70︒【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质可得170ABC ∠=∠=︒，再根据角平分线的定义可得答案．【详解】解：∵//DE BC∴170ABC ∠=∠=︒∵BE 平分ABC∠∴1352CBE ABC ∠=∠=︒故选B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．5.实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A.55a b ->-B.66a b >C.a b ->-D.0a b ->【答案】C【解析】【分析】根据数轴判断出,a b 的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．【详解】由图可知，0b a <<，且b a <，∴55a b ->-，66a b >，a b -<-，0a b ->，∴关系式不成立的是选项C ．故选C ．【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用了两个负数相比较，绝度值大的反而小．6.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.赵爽弦图B.笛卡尔心形线C.科克曲线D.斐波那契螺旋线【答案】C【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】A ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C ．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D ．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选C ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7.化简24142x x +-+的结果是（）A.2x - B.12x - C.22x - D.22x +【答案】B【解析】【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．【详解】原式4221(2)(2)(2)(2)(2)(2)2x x x x x x x x x -+=+==+-+-+--故选B ．【点睛】本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键．8.在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A.9.7m ，9.9mB.9.7m ，9.8mC.9.8m ，9.7mD.9.8m ，9.9m【答案】B【解析】【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用算术平均数的计算公式进行计算即可．【详解】把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m ，因此中位数是9.7m ，平均数为：(9.59.69.79.79.810.110.2)79.8++++++÷=m ，故选B ．【点睛】考查中位数、算术平均数的计算方法，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数，平均数则是反映一组数据的集中水平．9.函数y ax a =-+与a y x =（0a ≠）在同一坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．【详解】0a >时，0a -<，y ax a =-+在一、二、四象限，a y x=在一、三象限，无选项符合．a<0时，0a ->，y ax a =-+在一、三、四象限，a y x=（0a ≠）在二、四象限，只有D 符合；故选D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由a 的取值确定函数所在的象限．10.如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，以C 为圆心、CE 为半径作弧，交CD 于点F ，连接,AE AF ．若6AB =，60B ∠= ，则阴影部分的面积为（）A.3π-B.2πC.9π-D.6π-【答案】A【解析】【分析】连接AC ，根据菱形的性质求出BCD ∠和6BC AB ==，求出AE 长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．【详解】连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴6AB BC ==，∵60B ∠= ，E 为BC 的中点，∴3CE BE CF ===，ABC ∆是等边三角形，//AB CD ，∵60B ∠= ，∴180120BCD B ∠=-∠= ，由勾股定理得：AE ==，∴11622AEB AEC AFC S S S ∆∆∆==⨯⨯==，∴阴影部分的面积212033360AEC AFC CEFS S S S ππ∆∆⨯=+-==扇形，故选A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出AEC ∆、AFC ∆和扇形ECF 的面积是解此题的关键．11.某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A 测得历下亭C 在北偏东37°方向，继续向北走105m 后到达游船码头B ，测得历下亭C 在游船码头B 的北编东53°方向．请计算一下南门A 与历下亭C 之间的距离约为（）（参考数据：3tan 374≈ ，4tan 533≈ ）A.225mB.275mC.300mD.315m【答案】C【解析】【分析】如图，作CE BA ⊥于E ．设EC x =m ，BE y =m ．构建方程组求出x ，y 即可解决问题．【详解】如图，作CE BA ⊥于E ．设EC x =m ，BE y =m ．在Rt ECB ∆中，tan 53EC EB= ，即43x y =，在Rt AEC ∆中，tan 37EC AE = ，即34105x y =+，解得180x =，135y =，∴300AC ===（m ），故选C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．12.关于x 的一元二次方程2102ax bx ++=有一个根是﹣1，若二次函数212y ax bx =++的图象的顶点在第一象限，设2t a b =+，则t 的取值范围是（）A.1142t << B.114t -<≤ C.1122t -≤< D.112t -<<【答案】D【解析】【分析】二次函数的图象过点(1,0)-，则102a b -+=，而2t a b =+，则216t a -=，226t b +=，二次函数的图象的顶点在第一象限，则02b a ->，21024b a->，即可求解．【详解】∵关于x 的一元二次方程2102ax bx ++=有一个根是﹣1，∴二次函数212y ax bx =++的图象过点(1,0)-，∴102a b -+=，∴12b a =+，2t a b =+，则216t a -=，226t b +=，∵二次函数212y ax bx =++的图象的顶点在第一象限，∴02b a ->，21024b a->，将216t a -=，226t b +=代入上式得：22602126t t +>-⨯，解得：112t -<<，222()1602124()6t t +->-，解得：12t <或13t <<，故：112t -<<，故选D ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分，将答案填在答题纸上）13.分解因式：a 2-4a +4=___【答案】（a -2）2．【解析】【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．【详解】解：a 2-4a +4=（a -2）2．故答案为：（a -2）2．14.如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于_____．【答案】13．【解析】【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在红色区域的概率．【详解】由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有8种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有2种可能结果，所以指针落在红色区域的概率是21 63=；故答案为1 3．【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．15.如果一个正多边形的内角和是720︒，则这个正多边形是正______边形．【答案】六【解析】【分析】根据多边形的内角和公式求解即可．【详解】设这个正多边形是正n边形，则()2180720n-⨯︒=︒，解得：6n=．∴这个正多边形是正六边形．故答案为：六．【点睛】本题考查多边形的内角和公式．掌握n边形的内角和为()2180n-⨯︒是解题关键．16.代数式213x-与代数式32x-的和为4，则x=_____．【答案】﹣1.【解析】【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【详解】根据题意得：213243x x -+-=，去分母得：219612x x -+-=，移项合并得：44x -=，解得：=1x -，故答案为﹣1.【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17.某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中1l 、2l 分别表示去年、今年水费y （元）与用水量x （3m ）之间的关系．小雨家去年用水量为1503m ，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多_____元．【答案】210．【解析】【分析】根据函数图象中的数据可以求得120x >时，2l 对应的函数解析式，从而可以求得150x =时对应的函数值，由1l 的的图象可以求得150x =时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．【详解】设当120x >时，2l 对应的函数解析式为y kx b =+，120480160720k b k b +=⎧⎨+=⎩，得6240k b =⎧⎨=-⎩，即当120x >时，2l 对应的函数解析式为6240y x =-，当150x =时，6150240660y =⨯-=，由图象可知，去年的水价是4801603÷=（元/3m ），故小雨家去年用水量为1503m ，需要缴费：1503450⨯=（元），660450210-=（元），即小雨家去年用水量为1503m ，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，故答案为210．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．18.如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若8AD =，5AB =，则线段PE 的长等于_____．【答案】203．【解析】【分析】根据折叠可得ABNM 是正方形，5CD CF ==，90D CFE ∠=∠= ，ED EF =，可求出三角形FNC 的三边为3，4，5，在Rt MEF ∆中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证FNC ∆∽PGF ∆，三边占比为3：4：5，设未知数，通过PG HN =，列方程求出待定系数，进而求出PF 的长，然后求PE 的长．【详解】过点P 作PG FN ⊥，PH BN ⊥，垂足为G 、H ，由折叠得：ABNM 是正方形，5AB BN NM MA ====，5CD CF ==，90D CFE ∠=∠= ，ED EF =，∴853NC MD ==-=，在Rt FNC ∆中，4FN ==，∴541MF =-=，在Rt MEF ∆中，设EF x =，则3ME x =-，由勾股定理得，2221(3)x x +-=，解得：53x =，∵90CFN PFG ∠+∠= ，90PFG FPG ∠+∠= ，∴FNC ∆∽PGF ∆，∴::::3:4:5FG PG PF NC FN FC ==，设3FG m =，则4PG m =，5PF m =，∴43GN PH BH m ===-，5(43)134HN m m PG m =--=+==，解得：1m =，∴55PF m ==，∴520533PE PF FE =+=+=，故答案为203．【点睛】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目．三、解答题：本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.19.计算：101((1)2cos 602π-++-+ 【答案】5.【解析】【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】101((1)2cos 602π-++-+ 121232=+-⨯+313=-+5=【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20.解不等式组53291032x x x x -≤+⎧⎪⎨+>⎪⎩，并写出它的所有整数解．【答案】不等式组的解集为24x <≤；所有整数解为3、4．【解析】【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．【详解】解不等式组如下：53291032x x x x -≤+⎧⎪⎨+>⎪⎩①②解①得：4x ≤；解②得：2x >；∴原不等式组的解集为24x <≤；∴原不等式组的所有整数解为3、4．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．21.如图，在ABCD Y 中，,E F 分别是AD 和BC 上的点，DAF BCE ∠=∠．求证：BF DE =．【答案】见解析【解析】【分析】由平行四边形的性质得出B D ∠=∠，BAD BCD ∠=∠，AB CD =，证出BAF DCE ∠=∠，证明ABF ∆≌CDE ∆（ASA ），即可得出BF DE =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B D ∠=∠，BAD BCD ∠=∠，AB CD =，∵DAF BCE ∠=∠，∴BAF DCE ∠=∠，在ABF ∆和CDE ∆中，B D AB CD BAF DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABF ∆≌CDE ∆（ASA ），∴BF DE =．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等．22.为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A 种图书花费了3000元，购买B 种图书花费了1600元，A 种图书的单价是B 种图书的1.5倍，购买A 种图书的数量比B 种图书多20本．（1）求A 和B 两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A 种图书20本和B 种图书25本，共花费多少元？【答案】（1）A 种图书的单价为30元，B 种图书的单价为20元；（2）共花费880元．【解析】【分析】（1）设B 种图书的单价为x 元，则A 种图书的单价为1.5x 元，根据数量＝总价÷单价结合花3000元购买的A 种图书比花1600元购买的B 种图书多20本，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量，即可求出结论．【详解】（1）设B 种图书的单价为x 元，则A 种图书的单价为1.5x 元，依题意，得：30001600201.5x x-=，解得：20x =，经检验，20x =是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.530x =．答：A 种图书的单价为30元，B 种图书的单价为20元．（2）300.820200.825880⨯⨯+⨯⨯=（元）．答：共花费880元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23.如图，AB 、CD 是O 的两条直径，过点C 的O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC 、BD ．（1）求证：ABD CAB ∠=∠；（2）若B 是OE 的中点，12AC =，求O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）O 的半径为43【解析】【分析】（1）根据半径相等可知OAC OCA ∠=∠，ODB OBD ∠=∠，再根据对顶角相等和三角形内角和定理证明ABD CAB ∠=∠；（2）连接BC ．由CE 为O 的切线，可得90OCE ∠= ，因为B 是OE 的中点，得BC OB =，又OB OC =，可知OBC ∆为等边三角形，60ABC ∠= ，所以3433BC AC ==O 的半径为43【详解】（1）证明：∵AB 、CD 是O 的两条直径，∴OA OC OB OD ===，∴OAC OCA ∠=∠，ODB OBD ∠=∠，∵AOC BOD ∠=∠，∴OAC OCA ODB OBD ∠=∠=∠=∠，即ABD CAB ∠=∠；（2）连接BC ．∵AB 是O 的两条直径，∴∠ACB ＝90°，∵CE 为O 的切线，∴90OCE ∠= ，∵B 是OE 的中点，∴BC OB =，∵OB OC =，∴OBC ∆为等边三角形，∴60ABC ∠= ，∴30A ∠= ，∴33BC AC ==∴OB =，即O 的半径为【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30 角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24.某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.24.14.74.14.34.34.44.64.15.25.24.55.04.54.34.44.85.34.55.24.44.24.35.34.95.24.94.84.65.14.24.44.54.14.55.14.45.05.25.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（x ）频数频率A 4.2x<40.1B 4.2 4.4x≤≤120.3C 4.5 4.7x≤≤aD 4.8 5.0x≤≤bE 5.1 5.3x≤≤100.25合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的=a，b=；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．【答案】（1）8、0.15；（2）补全图形见解析；（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有100人；（4）恰好选到1名男生和1名女生的概率2 3．【解析】【分析】（1）由所列数据得出a的值，继而求出C组对应的频率，再根据频率之和等于1求出b的值；（2）总人数乘以b的值求出D组对应的频数，从而补全图形；（3）利用样本估计总体思想求解可得；（4）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．a=，【详解】（1）由题意知C等级的频数8÷=，则C组对应的频率为8400.2b=-+++=，∴1(0.10.30.20.25)0.15故答案为8、0.15；⨯=，（2）D组对应的频数为400.156补全图形如下：⨯=（人）；（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有4000.25100（4）列表如下：男男女女男（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（女，女）女（男，女）（男，女）（女，女）得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，所以恰好选到1名男生和1名女生的概率82123=．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．25.如图1，点(0,8)A 、点(2,)B a 在直线2y x b =-+上，反比例函数ky x=（0x >）的图象经过点B ．（1）求a 和k 的值；（2）将线段AB 向右平移m 个单位长度（0m >），得到对应线段CD ，连接AC 、BD ．①如图2，当3m =时，过D 作DF x ⊥轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求DEEF的值；②在线段AB 运动过程中，连接BC ，若BCD ∆是以BC 为腰的等腰三形，求所有满足条件的m 的值．【答案】（1）4a =，8k =；（2）①32DE EF =；②BCD ∆是以BC 为腰的等腰三形，满足条件的m 的值为4或5．【解析】【分析】（1）先将点A 坐标代入直线AB 的解析式中，求出a ，进而求出点B 坐标，再将点B 坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；（2）①先确定出点(5,4)D ，进而求出点E 坐标，进而求出DE ，EF ，即可得出结论；②先表示出点C ，D 坐标，再分两种情况：Ⅰ、当BC CD =时，判断出点B 在AC 的垂直平分线上，即可得出结论；Ⅱ、当BC BD =时，先表示出BC ，用BC BD =建立方程求解即可得出结论．【详解】（1）∵点(0,8)A 在直线2y x b =+上，∴208b -⨯+=，∴8b =，∴直线AB 的解析式为28y x =-+，将点(2,)B a 代入直线AB 的解析式28y x =-+中，得228a -⨯+=，∴4a =，∴(2,4)B ，将(2,4)B 在反比例函数解析式ky x=（0x >）中，得248k xy ==⨯=；（2）①由（1）知，(2,4)B ，8k =，∴反比例函数解析式为8y x=，当3m =时，∴将线段AB 向右平移3个单位长度，得到对应线段CD ，∴(23,4)D +，即：(5,4)D ，∵DF x ⊥轴于点F ，交反比例函数8y x=的图象于点E ，∴8(5,)5E ，∴812455DE =-=，85EF =，∴1235825DE EF==；②如图，∵将线段AB 向右平移m 个单位长度（0m >），得到对应线段CD ，∴CD AB =，AC BD m ==，∵(0,8)A ，(2,4)B ，∴(,8)C m ，((2),4)D m +，∵BCD ∆是以BC 腰的等腰三形，∴Ⅰ、当BC CD =时，∴BC AB =，∴点B 在线段AC 的垂直平分线上，∴224m =⨯=，Ⅱ、当BC BD =时，∵(2,4)B ，(,8)C m ，∴BC =，m =，∴5m =，即：BCD ∆是以BC 为腰的等腰三形，满足条件的m 的值为4或5．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．26.小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究在ABC ∆中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是，NB 与MC 的数量关系是；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在111A B C ∆中，118A B =，11160A B C ∠= ，11175B A C ∠=，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旋转75 ，得到线段1AQ ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值．【答案】（一）（1）结论：NAB MAC ∠=∠，BN MC =．理由见解析；（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由见解析；（二）1QB 的最小值为-．【解析】【分析】（一）①结论：NAB MAC ∠=∠，BN MC =．根据SAS 证明NAB ∆≌MAC ∆即可．②①中结论仍然成立．证明方法类似．（二）如图3中，在11A C 上截取11A N A Q =，连接PN ，作11NH B C ⊥于H ，作111A MBC ⊥于M ．理由全等三角形的性质证明1B Q PN =，推出当PN 的值最小时，1QB 的值最小，求出HN 的值即可解决问题．【详解】（一）（1）结论：NAB MAC ∠=∠，BN MC =．理由：如图1中，∵MAN CAB ∠=∠，∴NAB BAM BAM MAC ∠+∠=∠+∠，∴NAB MAC ∠=∠，∵AB AC =，AN AM =，∴NAB ∆≌MAC ∆（SAS ），∴BNCM =．故答案为NAB MAC ∠=∠，BNCM =．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵MAN CAB ∠=∠，∴NAB BAM BAM MAC ∠+∠=∠+∠，∴NAB MAC ∠=∠，∵AB AC =，AN AM =，∴NAB ∆≌MAC ∆（SAS ），∴BNCM =．（二）如图3中，在11A C 上截取111A N A B =，连接PN ，作11NH B C ⊥于H ，作111A M B C ⊥于M ．∵1111C A B PA Q ∠=∠，∴111QA B PA N ∠=∠，∵11A Q A P =，11A B AN =，∴11QA B ∆≌1PA N ∆（SAS ），∴1B Q PN =，∴当PN 的值最小时，1QB 的值最小，在11Rt A B M ∆中，∵1160A B M ∠=，118A B =，∴111sin 60A M A B =∙= ∵1111111753045MAC B AC B A M ∠=∠-∠=-=，∴11A C =∴11118NC A C A N =-=，在1Rt NHC ∆，∵145C ∠= ，∴NH =-，根据垂线段最短可知，当点P 与H 重合时，PN 的值最小，∴1QB 的最小值为-．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．27.如图1，抛物线2:C y ax bx =+经过点(4,0)A -、(1,3)B -两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180 ，得到新的抛物线'C ．（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标；（2）如图2，直线12:5l y kx =-经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （2m <-），连接DO 并延长，交抛物线'C 于点E ，交直线l 于点M ，2DE EM =，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得DEP GAB ∠=∠？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x x =--，顶点为：(2,4)G -；（2）m 的值为﹣3；（3）存在，点P 的横坐标为：7734-或7374．【解析】【分析】（1）运用待定系数法将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，即可求得a 和b 的值和抛物线C 解析式，再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标；（2）根据抛物线C 绕点O 旋转180 ，可求得新抛物线'C 的解析式，再将(4,0)A -代入125y kx =-中，即可求得直线l 解析式，根据对称性可得点E 坐标，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，由2DE EM =，即可得13ME MD =，再证明MEK ∆∽MDH ∆，即可得3DH EK =，建立方程求解即可；（3）连接BG ，易证ABG ∆是Rt ∆，90ABG ∠= ，可得1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=，在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH 上截取13OH OE ==过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；通过建立方程组求解即可．【详解】（1）将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，得16403a b a b -=⎧⎨-=⎩解得14a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线C 解析式为：24y x x =--，配方，得：224(2)4y x x x =--=-++，∴顶点为：(2,4)G -；（2）∵抛物线C 绕点O 旋转180 ，得到新的抛物线'C ．∴新抛物线'C 的顶点为：'(2,4)G -，二次项系数为：'1a =∴新抛物线'C 的解析式为：22(2)44y x x x =--=-将(4,0)A -代入125y kx =-中，得12045k =--，解得35k =-，∴直线l 解析式为31255y x =--，∵2(,4)D m m m --，∴直线DO 的解析式为(4)y m x =-+，由抛物线C 与抛物线'C 关于原点对称，可得点D 、E 关于原点对称，∴2(,4)E m m m -+如图2，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，则312(,)55H m m --，312(,)55K m m --，∴2231217124()5555DH m m m m m =-----=--+，2231217124(5555EK m m m m m =+--=++，∵2DE EM =∴13ME MD =，∵//DH y 轴，//EK y 轴∴//DH EK ∴MEK ∆∽MDH ∆∴13EK ME DH MD ==，即3DH EK =∴22171217123()5555m m m m --+=++解得：13m =-，225m =-，∵2m <-∴m 的值为：﹣3；（3）由（2）知：3m =-，∴(3,3)D -，(3,3)E -，OE =，如图3，连接BG ，在ABG ∆中，∵222(14)(30)18AB =-++-=，22BG =，220AG =∴222AB BG AG +=∴ABG ∆是直角三角形，90ABG ∠= ，∴1tan 3BG GAB AB ∠===，∵DEP GAB∠=∠∴1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=，在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH上截取13OH OE ==过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；∵(3,3)E -，∴45EOT ∠=∵90EOH ∠=∴45HOT ∠=∴(1,1)H --，设直线EH 解析式为y px q =+，则331p q p q +=-⎧⎨-+=-⎩，解得1232p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线EH 解析式为1322y x =--，解方程组213224y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，得117458x y ⎧--=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，227458x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，∴点P的横坐标为：7734-或7374．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．。

山东省烟台市2019年中考数学真题试题(含解析)

山东省烟台市2019年中考数学真题试题(含解析)

山东省烟台市2019年中考数学真题试题（含解析）一、选择题（本题共12个小题,每小题3分,满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．1．（3分）﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣22．（3分）下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（）A．主视图和左视图B．主视图和俯视图C．左视图和俯视图D．主视图、左视图、俯视图4．（3分）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（）A．B．C．D．无法确定5．（3分）某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），已知1纳秒＝0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（）A．1.5×10﹣9秒B．15×10﹣9秒C．1.5×10﹣8秒D．15×10﹣8秒6．（3分）当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定7．（3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（）A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变8．（3分）已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N 为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC 的度数为（）A．15°B．45°C．15°或30°D．15°或45°9．（3分）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A．128 B．256 C．512 D．102410．（3分）如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（）A．B．C．D．11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．512．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）|﹣6|×2﹣1﹣cos45°＝．14．（3分）若关于x的分式方程﹣1＝有增根，则m的值为．15．（3分）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A （﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．16．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为．17．（3分）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是．18．（3分）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）19．（6分）先化简（x+3﹣）÷，再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．20．（8分）十八大以来，某校已举办五届校园艺术节，为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目．小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．（1）五届艺术节共有个班级表演这些节目，班数的中位数为，在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为；（2）补全折线统计图；（3）第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演（“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用A，B，C，D表示），利用树状图或表格求出该班选择A和D两项的概率．21．（9分）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？22．（9分）如图，在矩形ABCD中，CD＝2，AD＝4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC上的E点，O为AC上一点，⊙O经过点A，P（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）在边CB上截取CF＝CE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由．23．（10分）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N．当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康，现测得OP的长为12cm，OM为10cm，支柱PQ为8m．（1）当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求∠AOB的度数；（2）当支柱的端点Q放在卡孔N处时，∠AOB＝20.5°，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距．（结果精确到十分位）参考数据表24．（11分）【问题探究】（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．①请探究AD与BD之间的位置关系：；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为；【拓展延伸】（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．25．（13分）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝（x＞0）经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F 的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）2019年山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题,每小题3分,满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．1．【解答】解：∵﹣2的立方等于﹣8，∴﹣8的立方根等于﹣2．故选：B．2．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．3．【解答】解：将正方体①移走后，主视图不变，俯视图变化，左视图不变，故选：A．4．【解答】解：设正六边形边长为a，则灰色部分面积为3×＝，白色区域面积为a×＝，所以正六边形面积为a2，镖落在白色区域的概率P＝＝，故选：B．5．【解答】解：所用时间＝15×0.000 000 001＝1.5×10﹣8．故选：C．6．【解答】解：∵b+c＝5，∴c＝5﹣b．△＝b2﹣4×3×（﹣c）＝b2+12c＝b2﹣12b+60＝（b﹣6）2+24．∵（b﹣6）2≥0，∴（b﹣6）2+24＞0，∴△＞0，∴关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0有两个不相等的实数根．故选：A．7．【解答】解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，故选：B．8．【解答】解：（1）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线，（2）两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则为作∠POB或∠POA的角平分线，则∠BOC＝15°或45°，故选：D．9．【解答】解：由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）9展开式中所有项的系数和为（1+1）9＝29＝512 故选：C．10．【解答】解：连接AC，过点D作DF⊥BE于点E，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，∵DE⊥BD，∴OC∥ED，∵DE＝6，∴OC＝，∵▱ABCD的面积为24，∴，∴BD＝8，∴＝＝5，设CF＝x，则BF＝5+x，由BD2﹣BF2＝DC2﹣CF2可得：82﹣（5+x）2＝52﹣x2，解得x＝，∴DF＝，∴sin∠DCE＝．故选：A．11．【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把（﹣1，5）代入得5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，所以①正确；抛物线的对称性为直线x＝2，所以②正确；∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误；抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确；若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x2＜x1＜2或2＜x1＜x2，所以⑤错误．故选：B．12．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴＝，即＝，∵tan∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°，∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）13．【解答】解：原式＝6×﹣×＝3﹣1＝2．故答案为：2．14．【解答】.解：方程两边都乘（x﹣2），得3x﹣x+2＝m+3∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣2）＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝3．故答案为3．15．【解答】解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．故答案为（﹣5，﹣1）．16．【解答】解：点P（m，3）代入y＝x+2，∴m＝1，∴P（1，3），结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1；故答案为x≤1；17．【解答】解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，∠AOB＝22.5°×2＝45°；故答案为45°；18．【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，如图，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OH为⊙O的半径，∠OBH＝30°，∵O点为等边三角形的外心，∴BH＝CH＝1，在Rt△OBH中，OH＝BH＝，∵S弓形AB＝S扇形ACB﹣S△ABC，∴阴影部分面积＝3S弓形AB+S△ABC﹣S⊙O＝3（S扇形ACB﹣S△ABC）+S△ABC﹣S⊙O＝3S扇形ACB﹣2S△ABC﹣S⊙O＝3×﹣2××22﹣π×（）2＝π﹣2．故答案为π﹣2．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）19．【解答】解：（x+3﹣）÷＝（﹣）÷＝•＝，当x＝1时，原式＝＝．20．【解答】解：（1）第一届、第二届和第三届参加班级所占的百分比为1﹣22.5%﹣＝45%，所以五届艺术节参加班级表演的总数为（5+7+6）÷45%＝40（个）；第四届参加班级数为40×22.5%＝9（个），第五届参加班级数为40﹣18﹣9＝13（个），所以班数的中位数为7（个）在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为360°×22.5%＝81°；故答案为40，7，81°；（2）如图，（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中该班选择A和D两项的结果数为2，所以该班选择A和D两项的概率＝＝．21．【解答】解：（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，依题意，得：，解得：．答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，依题意，得：36m+22n＝218，∴n＝．又∵m，n均为正整数，∴．答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．22．【解答】解：（1）连接OP，则∠PAO＝∠APO，而△AEP是由△ABP沿AP折叠而得：故AE＝AB＝4，∠OAP＝∠PAB，∴∠BAP＝∠OPA，∴AB∥OP，∴∠OPC＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）CF＝CE＝AC﹣AE＝﹣4＝2﹣2，＝，故：点F是线段BC的黄金分割点．23．【解答】解：（1）如图，过点P作PH⊥OA于点H．设OH＝x，则HM＝10﹣x，由勾股定理得OP2﹣OH2＝PH2，MP2﹣HM2＝PH2，∴OP2﹣OH2＝MP2﹣HM2，即122﹣x2＝82﹣（10﹣x）2，解得x＝9，即OH＝9（cm），∴cos∠AOB＝＝＝0.75，由表可知，∠AOB为41°；（2）过点P作PH⊥OA于点H．在Rt△OPH中，，OH＝11.244（cm），，∴PH＝4.2（cm），∴HN＝（cm），∴ON＝OH+HN＝11.244+6.8＝18.044（cm），∴MN＝ON﹣OM＝18.044﹣10＝8.044（cm）∵电脑台面的角度可达到六档调节，相邻两个卡孔的距离相同，∴相邻两个卡孔的距离为8.044÷（6﹣1）≈1.6（cm）答：相邻两个卡孔的距离约为1.6cm．24．【解答】解：【问题探究】（1）∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ABC＝∠DEC＝45°＝∠CDE∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，CE＝CD∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC＝∠BEC＝45°∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°∴AD⊥BD故答案为：AD⊥BD②如图，过点C作CF⊥AD于点F，∵∠ADC＝45°，CF⊥AD，CD＝∴DF＝CF＝1∴AF＝＝3∴AD＝AF+DF＝4故答案为：4【拓展延伸】（2）若点D在BC右侧，如图，过点C作CF⊥AD于点F，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE∴∠ADC＝∠BEC，∵CD＝，CE＝1∴DE＝＝2∵∠ADC＝∠BEC，∠DCE＝∠CFD＝90°∴△DCE∽△CFD，∴即∴CF＝，DF＝∴AF＝＝∴AD＝DF+AF＝3若点D在BC左侧，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE∴∠ADC＝∠BEC，∴∠CED＝∠CDF∵CD＝，CE＝1∴DE＝＝2∵∠CED＝∠CDF，∠DCE＝∠CFD＝90°∴△DCE∽△CFD，∴即∴CF＝，DF＝∴AF＝＝∴AD＝AF﹣DF＝225．【解答】解；（1）C（0，3）∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3，∵D在y＝上，∴D（2，3），将点A（﹣1，0）和D（2，3）代入y＝ax2+bx+3，∴a＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）M（1，4），B（3，0），作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'（﹣1，4），D'（2，﹣3），∴M'D'直线的解析式为y＝﹣x+∴N（，0），F（0，）；（3）设P（0，t），N（r，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；∴PN＝ND，∴r＝，∴t2﹣6t﹣4r+13＝0，易求BD的中点为（，），直线BD的解析式为y＝﹣3x+9，∴BD的中垂线解析式y＝x+，N在中垂线上，∴t＝r+，∴t2﹣18t+21＝0，∴t＝9+2或t＝9﹣2，∵0＜t＜3，∴t＝9﹣2，∴P（0，9﹣2）；。

2019年山东省烟台市中考数学试题(含解析)

2019年山东省烟台市中考数学试题(含解析)

2019年山东省烟台市初中毕业、升学考试数学（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）每个小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．1．（2019山东烟台，1，3分）8-的立方根是（）．A．2 B．2-C．2±D．22-【答案】B【解析】8-的立方根382=-=-．【知识点】求实数的立方根．2．（2019山东烟台，2，3分）下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】选项A是中心对称图形不是轴对称图形，选项B是轴对称图形不是中心对称图形，选项C既是中心对称图形又是轴对称图形，选项D是轴对称图形不是中心对称图形．【知识点】轴对称图形和中心对称图形的认识．3．（2019山东烟台，3，3分）如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（）．A．主视图和左视图B．主视图和俯视图C．左视图和俯视图D．主视图、左视图、俯视图【答案】A【解析】将小正方体①移走后，该几何体的主视图和左视图没有发生变化，俯视图中小正方体①的投影会没有．【知识点】认识简单几何体的三视图．4．（2019山东烟台，4，3分）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（）．A．25B．12C．35D．无法确定【答案】B【解析】利用图形的对称性，可以看出在正六边形镖盘中白色区域与阴影区域的面积相等，所以飞镖落在白色区域的概率为12．【知识点】概率的初步．秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（ ）． A ．91.510-⨯秒 B ．91510-⨯秒 C ．81.510-⨯秒 D ．81510-⨯秒 【答案】C【解析】该计算机完成15次基本运算，所用时间为15纳秒（即91510-⨯秒），用科学记数法表示为81.510-⨯秒． 【知识点】科学记数法的表示．6． （2019山东烟台，6，3分）当5b c +=时，关于x 的一元二次方程230x bx c +-=的根的情况为（ ）． A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 【答案】A【解析】因为5b c +=，所以5c b =-，因为()2224343(5)6240b c b b b ∆=-⨯⨯=-⨯⨯-=-+>，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根． 【知识点】一元二次方程的实数根的判定．7． （2019山东烟台，7，3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差241s =．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）．A ．平均分不变，方差变大B ．平均分不变，方差变小C ．平均分和方差都不变D ．平均分和方差都改变 【答案】B【解析】由于小亮补测的成绩为90分，与平均分相同，所以该班40人的测试成绩的平均分不变，因为39人的数据与40人的数据相比，增加的成绩与平均分一致，在方差的计算公式中，分母变大（39变成40），分子没有变，所以方差变小．【知识点】平均分和方差的计算．8． （2019山东烟台，8，3分）已知60AOB ∠=︒，以O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA ，OB 于点M ，N ，分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长度为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点P ，以OP 为边作15POC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）． A ．15︒ B ．45︒ C ．15︒或30︒ D ．15︒或45︒ 【答案】D【解析】由题目可以得出OP 为AOB ∠的平分线，所以1302AOP BOP AOB ∠=∠=∠=︒，又因为15POC ∠=︒，考虑到点C 有可能在AOP ∠内也有可能在BOP ∠内，所以当点C 在AOP ∠内时BOC ∠45BOP POC =∠+∠=︒，当点C 在BOP ∠内时BOC ∠15BOP POC =∠-∠=︒．【知识点】尺规作图（作已知角的平分线）和数学思想方法（分类讨论）．9． （2019山东烟台，9，3分）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了()na b +（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” ． 0()1a b += 1()a b a b +=+ 22233223()33a b a a b ab b +=+++ 4432234()464a b a a b a b ab b +=++++554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ …则9()a b +展开式中所有项的系数和是（ ）．A ．128B ．256C ．512D ．1024 【答案】C【解析】由题目可以得出OP 为AOB ∠的平分线，所以1302AOP BOP AOB ∠=∠=∠=︒，又因为15POC ∠=︒，考虑到点C 有可能在AOP ∠内也有可能在BOP ∠内，所以当点C 在AOP ∠内时BOC ∠45BOP POC =∠+∠=︒，当点C 在BOP ∠内时BOC ∠15BOP POC =∠-∠=︒．【知识点】尺规作图（作已知角的平分线）和数学思想方法（分类讨论）．10． （2019山东烟台，10，3分）如图，面积为24的□ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，过点D 作DE BD⊥交BC 的延长线于点E ，6DE =，则sin DCE ∠的值为（ ）．A ．2425B ．45C ．34D ．1225FADBC EM【答案】A【思路分析】先判断出四边形ABCD 为菱形，利用菱形的性质、菱形的面积和勾股定理，求出菱形的边长和菱形的高，然后利用三角函数的定义求得答案．【解题过程】连接AC ，交BD 于点F ，过点D 作DM CE ⊥，垂足为M ，因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以F 是BD 的中点，AD//BC ， 所以DBC ADB ∠=∠，因为BD 是 ABC ∠的平分线， 所以ABD DBC ∠=∠， 所以ABD ADB ∠=∠， 所以AB AD =， 所以□ABCD 是菱形， 所以AC BD ⊥，又因为DE BD ⊥， 所以AC//DE ，第10题答图所以C 是BE 的中点， 所以132CF DE ==， 因为四边形ABCD 是菱形， 所以26AC FC ==，2ABCD AC BDS ⨯=菱形， 所以222486ABCDS BD AC⨯===菱形， 所以142BF BD ==， 在Rt △BFD 中，由勾股定理得225BC BF CF =+=，因为四边形ABCD 是菱形， 所以5DC BC ==， 因为ABCD S BC DM =⨯菱形 所以245ABCDS DM BC==菱形， 在Rt △DCM 中，24sin 25DM DCE DC ∠==． 【知识点】平行四边形的性质、菱形的判定、三角函数的计算和勾股定理．11．（2019山东烟台，11，3分）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：x-1 0 2 3 4y5-4-3 0下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线2x =；③当04x <<时，0y >；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，则12x x <．其中正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【思路分析】根据二次函数的部分对应值在平面直角坐标系中描点、连线，根据图像进行结论的判定，从而求得答案．【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为（0,0），（4,0），所以抛物线的对称轴为直线2x =且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确，有抛物线的图象可以看出当04x <<时，0y <，所以结论③错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对于的点均有两个，若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，既有可能12x x <，也有可能12x x >，所以结论⑤错误．【知识点】二次函数的图象（抛物线）的性质． 12．（2019山东烟台，12，3分）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，»A ．233 B ．33π C ．32π D ．233π CODEBA【答案】D【思路分析】先证明△ADC ∽△CED ，再根据相似三角形的性质得到AC 与边CD 的比值，根据圆周角定理的推论，得到90ACB ∠=︒，利用锐角三角函数计算出60CAB ∠=︒，最终计算出O e 的半径和»AC 所对的圆心角，利用弧长公式从而求得答案． 【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒， 所以BCE DAC ∠=∠， 在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED , 所以333BC CE AC AD === 在Rt △ACB 中，sin 3BCBAC AC∠==， 所以60BAC ∠=︒， 又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形， 所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ， 所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥， 所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒， 所以223AC AD ==， 所以△AOC 是等边三角形，所以23OA AC ==，60AOC ∠=︒，第12题答图所以»AC 的长为6023231803ππ⨯⨯=．【知识点】圆的切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质、弧长的计算、锐角三角函数．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）． 13．（2019山东烟台，13，3分）1622cos 45--⨯-︒= ． 【答案】2【解析】112622cos 456231222--⨯-︒=⨯-⨯=-=． 【知识点】实数的计算、简单的锐角三角函数值、负数指数幂、绝对值、二次根式． 14．（2019山东烟台，14，3分）若关于x 的分式方程33122x m x x +-=--有增根，则m 的值为 ． 【答案】3【解析】因为分式方程33122x m x x +-=--中最简公分母为(2)x -，而这个分式方程有增根，故这个方程的增根为2x =，将原分式方程化为整式方程，得3(2)3x x m --=+，将2x =代入上式，解得3m =．【知识点】分式方程的计算、分式方程增根的含义．15．（2019山东烟台，15，3分）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO 的顶点坐标分别为(2,1)A --，(2,3)B --，(0,0)O ，111A B O 的顶点坐标为1(1,1)A -，1(1,5)B -，1(5,1)O ，△ABO 与111A B O 是以点P 为位似中心的位似图形，则P 点的坐标为 ．【答案】(5,1)--【解析】连接1AA ，1OO ，它们的交点即为点P ，通过读图，可得P 点的坐标为(5,1)--． 【知识点】图形的位似和图形与坐标．16．（2019山东烟台，16，3分）如图，直线2y x =+与直线y ax c =+相交于点(,3)P m ，则关于x 的不等式2x +≤ax c +的解为 ． 【答案】1x ≤-【解析】因为直线2y x =+与直线y ax c =+相交于点(,3)P m ，所以32m =+，解得1m =，由图象可以直接得出关于x 的不等式2x +≤ax c +的解为1x ≤-．【知识点】一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式．面时（机翼间无缝隙），AOB ∠的度数是．【答案】22.5︒【解析】在解本题的过程中，可以找一张正方形的纸片进行如题操作，通过测量，来得到答案，也可以利用图形的轴对称的性质，直接得到AOB ∠的度数是22.5︒． 【知识点】图形的轴对称． 18．（2019山东烟台，18，3分）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形．已知O e 是△ABC 的内切圆，则阴影部分的面积为 ．【答案】5233π- 【思路分析】通过计算扇形的面积、△ABC 的面积和三角形内切圆的面积，通过图形的组合，最终求得答案． 【解题过程】23234ABCS=⨯=， 260223603ABCS ππ⨯==扇形，△ABC 的内切圆半径为3132ABC S=（2+2+2），2333ABC Sππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭的内切圆，所以阴影部分的面积为()3=ABC ABC ABC ABC S SS S -+-的内切圆扇形（）5233π-． 【知识点】三角形的面积、扇形的面积、三角形的内切圆、等边三角形性质． 三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）． 19．（2019山东烟台，19，6分）先化简2728(3)33x xx x x -+-÷--，再从0≤x ≤4中选一个适合的整数代入求值． 【思路分析】对小括号内的分式进行同分，再将除法转化为乘法，通过分解因式，然后约分，得到最终的代数式，注意从0≤x ≤4中选整数时，注意除了要考虑要使最终化简的代数式有意义，还需要考虑式原代数式有意义．2728(3)33x xxx x -+-÷-- 2(3)(3)73)3328x x x x x x x +--⎡⎤=-⨯⎢⎥---⎣⎦(4)(4)332(4)x x x x x x +--=⨯--42x x+=因为23028020x x x x -≠⎧⎪-≠⎨⎪≠⎩，所以x 不能取0， 3，4，考虑到0≤x ≤4中选一个整数，故x 只能取1或2，①当1x =时，原式145212+==⨯②当2x =时， 原式243222+==⨯ 注意：①与②只写一种即可．【知识点】分式的化简求值． 20．（2019山东烟台，20，8分）十八大以来，某校已举办五届校园艺术节．为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”、“民乐演奏"、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目．小颍对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．（1）五届艺术节共有 个班级表演这些节目，班数的中位数为 ．在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为 ； （2）补全折线统计图；（3）第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演(“经典诵读”、"民乐演奏”、“歌曲联唱"、“民族舞蹈”分别用A ，B ，C ，D 表示) ．利用树状图或表格求出该班选择A 和D 两项的概率． 【思路分析】本题要结合两幅图表进行计算，先算出总的班级数，然后在计算各个分量，完成（1）和（2），第（3）小题是一种不放回抽样，既可以用树状图也可以列表，通过分析和计算，得出事件的概率．（1）由折线统计图，可以看出第一届、第二届、第三届艺术节表演节目的班级数量分别为5,7,6，所以第一、二、三届艺术节表演节目的总班级数为18；由扇形统计图可求得，第五届艺术节表演节目的班级数占五届艺术节表演节目的总班级数的117360，所以五届艺术节表演这些节目的总班级数为11718(122.5%)360÷--40=，所以第四届艺术节表演节目的班级数量为4022.5%9⨯=，第五届艺术节表演节目的班级数量为1174013360⨯=，所以扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为36022.5%81⨯=度，五届艺术节表演这些节目的班级数依次为5,7,6,9,13，所以班数的中位数为7． 综上可知，（1）的答案为40,7,81度．（2）由（1）中的计算，可知第四届艺术节表演节目的班级数量为9，第五届艺术节表演节目的班级数量为13，据此，可以将折线统计图补全.（3）列表法：A B C D A / （B ，A ）（C ，A ） （D ，A ） B （A ，B ） / （C ，B ）（A ， B ） C （A ，C ） （B ，C ） / （D ，C ）D（A ，D ）（B ，D ）（C ，D ）/从上表可以看出，共有12种等可能结果其中该班选择A 和D 两项的共有2种. ∴P （该班选择A 和D 两项的）= 21126= 树状图法：从上图可以看出，共有12种等可能结果其中该班选择A 和D 两项的共有2种. ∴P （该班选择A 和D 两项的）=21126= 【知识点】扇形统计图和折线统计图的认识、利用树状图或表格求简单事件的概率． 21．（2019山东烟台，21，9分）CB Ａ CDＢDＡ D C ＡＢ DＡ Ｂ Ｃ开始第20题答图去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．(1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？(2)若同时调配 36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【思路分析】根据题目列一元一次方程或者二元一次方程组可求得第（1）问，根据已知列出二元一次方程，通过检验，获得问题的答案． 【解题过程】（1）方法1：解：设计划调配36座新能源客车x 辆，该大学共有y 名志愿者．由题意，得36222(4)2x yx y+=⎧⎨+-=⎩，解得6218x y =⎧⎨=⎩所以计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．方法2：解：设计划调配36座新能源客车x 辆．由题意，得36222(4)2x x +=+-，解得6x =， 所以该大学共有(3662)218⨯+=名志愿者所以计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．（2）解：设36座和22座两种车型各需m ，n 辆.由题意，得3622218m n +=，且m ，n 均为非负整数，经检验，只有35m n =⎧⎨=⎩符合题意．所以36座和22座两种车型各需3，5辆.【知识点】一元一次方程与实际问题、二元一次方程组与实际问题． 22．（2019山东烟台，22，9分）如图，在矩形ABCD 中，2CD =，4AD =，点P 在BC 上，将ABP 沿AP 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的E 点，O 为AC 上一点，O e 经过点A ，P ． (1)求证：BC 是O e 的切线．(2)在边CB 上截取CF =CE ，点F 是线段BC 的黄金分割点吗？请说明理由．【思路分析】根据图形轴对称的性质，可知折叠前后的两个图形全等，利用“知切点，连半径，证垂直”可以求证出BC 是O e 的切线，从而解得第（1）问；第（2）中，设CF =x ，在直角三角形ACD 中利用勾股定理列一个方程，即可求得FC 的长，从而可以验证点F 是否为线段BC 的黄金分割点． 【解题过程】（1）证明：连接OP ，ABDCO P EF因为四边形ABCD 为矩形， 所以90B ∠=︒，因为△APE 是由△ABP 折叠得到， 所以△APE ≌△ABP ， 所以BAP EAP ∠=∠, 因为OA OP =,所以APO EAP ∠=∠, 所以BAP APO ∠=∠, 所以AB //OP ,所以90OPC B ∠=∠=︒, 所以OP BC ⊥,所以BC 是O e 的切线．（2）解：点F 是线段BC 的黄金分割点，理由如下：设CF=x ，则CE=x ，因为四边形ABCD 为矩形，所以90D ∠=︒，2,4AB CD BC AD ====，因为△APE 是由△ABP 折叠得到， 所以△APE ≌△ABP ， 所以2AE AB ==,所以2AC AE EC x =+=+,在Rt △ADC 中，由勾股定理得，222AC CD AD =+，即222(2)24x +=+，解得252x =--（舍去）或252x =-，所以252FC =-，因为2525142FC BC --==， 所以点F 是线段BC 的黄金分割点．【知识点】矩形的性质定理、直线与圆的位置关系、黄金分割、图形的轴对称、全等三角形的性质、勾股定理． 23．（2019山东烟台，23，10分）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA ，OB 可绕点O 开合，在OB 边上有一固定点P ，支柱PQ 可绕点P 转动，边OA 上有六个卡孔，其中离点O 最近的卡孔为M ，离点O 最远的卡孔为N ．当支柱端点Q 放入不同卡孔内，支架的傾斜角发生変化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康．现测得OP 的长为12 cm ，OM 为10cm ，支柱PQ 为8cm ．(1)当支柱的端点Q 放在卡孔M 处时，求AOB ∠的度数．(2)当支柱的端点Q 放在卡孔N 处时，20.5AOB ∠=︒，若相邻两孔的距离相等，求此间距．（结果精确到十分位）．第22题答图【思路分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数解决问题． 【解题过程】（1）解：当支柱的端点Q 放在卡孔M 处时，作出该支架的截面图如图（1），OAQ (M )PE B过点P 作PE OA ⊥，垂足为E ，此时，12OP =，10OM OQ ==，8PQ =， 因为PE OA ⊥，所以90OEP PEQ ∠=∠=︒，设OE x =，所以10EQ OQ OE x =-=-， 在Rt △OPE 中，由勾股定理得，222PE OP PE =-2212x =-，在Rt △PEQ 中，由勾股定理得，第23题答图(1)222PE PQ EQ =-228(10)x =--， 所以2222128(10)x x -=--，解得9x =，所以9OE =,在Rt △OPE 中，9cos 0.4512OE AOB OP ∠===, 由参考数据表，可得，41AOB ∠=︒．（2）解：当支柱的端点Q 放在卡孔N 处时，作出该支架的截面图如图（2），OAQ (N )PF B过点P 作PE OA ⊥，垂足为F ，此时，12OP =，ON OQ =，8PQ =，20.5AOB ∠=︒， 因为PE OA ⊥，所以90OEP PEQ ∠=∠=︒， 在Rt △OPE 中，sin PEAOB OP∠=， 所以sin sin 20.5120.45 4.2PE OP AOB OP =⨯∠=⨯︒=⨯=， 在Rt △PEQ 中，由勾股定理得，22228 4.246.36 6.8FQ PQ PE =-=-==，在Rt △OPE 中，由勾股定理得，222212 4.2126.3611.24OF OP PE =-=-==2212x =-，所以11.24 6.818.04ON OF FQ =+=+=，所以18.04101.655ON OM d --==≈, 所以相邻两孔的距离为1.6cm ．【知识点】勾股定理、锐角三角函数、一元一次方程、计算器的使用． 24．（2019山东烟台，24，11分） 【问题探究】(1)如图1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点B ，D 在同一直线上，连接AD ，BD ．①请探究AD 与BD 之间的位置关系： ；②若10AC BC ==，2DC CE ==，则线段AD 的长为 ．【拓展延伸】第23题答图（2）(2)如图2，△ABC 和△DEC 均为直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，21AC =，7BC =，3CD =，1CE =，将△DEC 绕点C 在平面内顺时针旋转，设旋转角BCD ∠为α(0360)α︒≤≤︒，作直线BD ，连接AD ，当点B ，D ，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．【思路分析】第（1）问中，利用SAS 判定两个三角形（△ACD 与△BCE ）全等，利用全等三角形的性质得到最应角相等，利用有两个角互余的三角形是直角三角形得到△ABD 是直角三角形，所以AD 与BD 之间的位置关系为垂直，在Rt △ABD 中利用勾股定理列一个方程，从而求得AD 的长；第（2）问中，利用旋转的性质可以判定△ACD 与△BCE 相似，然后利用有两个角互余的三角形是直角三角形得到△ABD 是直角三角形，所以AD 与BD 之间的位置关系为垂直，在Rt △ABD 中利用勾股定理列一个方程，从而求得AD 的长，注意需要对不同的位置进行分类讨论． 【解题过程】（1）本题的答案是 ①AD BD ⊥ ②4 探究过程如下：①因为△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒ 所以CA CB =，CD CE =，ACB BCD DCE BCD ∠+∠=∠+∠ 所以ACD BCE ∠=∠， 在△ACD 与△BCE 中，因为CA CB =，ACD BCE ∠=∠，CD CE =，所以△ACD ≌△BCE ，所以CAD CBE ∠=∠, 因为90ACB ∠=︒所以90CAD DAB ABC ∠+∠+∠=︒， 所以90CBE DAB ABC ∠+∠+∠=︒即90DAB DBA ∠+∠=︒所以90ADB ∠=︒， 所以AD BD ⊥．②由①可得△ACD ≌△BCE ， 所以AD BE =,在Rt △DCE 中，由勾股定理得，2222(2)(2)2DE CE CD =+=+=，在Rt △ACD 中，由勾股定理得，2222(10)(10)25AB AC BC =+=+=，设AD x =，则BE x =，AB AD BD =+，即 222(25)(2)x x =+-解得4x =或2x =-（舍去），所以4AD =,即线段AD 的长为4．（2）解：情况1：当0180α︒≤≤︒时，点B ，D ，E 在同一直线上时的图形如图（1）所示，ACB ED因为90ACB DCE ∠=∠=︒所以ACB BCD DCE BCD ∠+∠=∠+∠ 所以ACD BCE ∠=∠， 因为2137AC BC ==，331DC CE ==， 所以AC DCBC CE=在△ACD 与△BCE 中， 因为AC DCBC CE=，ACD BCE ∠=∠， 所以△ACD ∽△BCE ，所以CAD CBE ∠=∠,3AD ACBE BC==， 所以3AD BE =因为90ACB ∠=︒所以90CAD DAB ABC ∠+∠+∠=︒， 所以90CBE DAB ABC ∠+∠+∠=︒即90DAB DBA ∠+∠=︒ 所以90ADB ∠=︒，在Rt △DCE 中，由勾股定理得，22221(3)2DE CE CD =+=+=，在Rt △ACD 中，由勾股定理得，2222(21)(7)27AB AC BC =+=+=，设BE x =，则33AD BE x ==，第24题答图（1）AB AD BD =+，即 222(27)(3)(2)x x =+-解得3x =或2x =-（舍去），所以333AD BE ==,即当0180α︒≤≤︒时，点B ，D ，E 在同一直线上时，线段AD 的长为33． 情况2：当180360α︒<≤︒时，点B ，D ，E 在同一直线上时的图形如图（2）所示，ACB DE因为90ACB DCE ∠=∠=︒所以ACB ACE DCE ACE ∠-∠=∠-∠ 所以ACD BCE ∠=∠， 因为2137AC BC ==，331DC CE ==， 所以AC DCBC CE=在△ACD 与△BCE 中， 因为AC DCBC CE=，ACD BCE ∠=∠， 所以△ACD ∽△BCE ，所以CAD CBE ∠=∠,3AD ACBE BC==， 所以3AD BE =因为90ACB ∠=︒所以90CAD DAB ABC ∠+∠+∠=︒， 所以90CBE DAB ABC ∠+∠+∠=︒即90DAB DBA ∠+∠=︒ 所以90ADB ∠=︒，在Rt △DCE 中，由勾股定理得，22221(3)2DE CE CD =+=+=，在Rt △ACD 中，由勾股定理得，2222(21)(7)27AB AC BC =+=+=，第24题答图（2）设BE x =，则33AD BE x ==， 所以2BD BC DE x =+=+， 在Rt △ABD 中，由勾股定理得，222AB AD BD =+，即 222(27)(3)(2)x x =++解得2x =或3x =-（舍去），所以323AD BE ==,即当180360α︒<≤︒时，点B ，D ，E 在同一直线上时，线段AD 的长为23． 综上可知，线段AD 的长为33或23．【知识点】全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程、直角三角形的性质与判定、图形的旋转． 25．（2019山东烟台，25，13分）如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(1,0)A -，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD y ⊥轴交抛物线与另一个点D ，作DE x ⊥轴，垂足为点E ．双曲线6(0)y x x=>经过点D ，连接MD ，BD ． (1)求抛物线的解析式．(2)点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标； (3)动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，BPD ∠的度数最大？（请直接写出结果）【思路分析】第（1）问中，利用反比例函数的性质，可知矩形OEDC 的面积为6,，利用抛物线的表达式可以求出点C 的坐标，从而得到OC 的长，利用矩形OEDC 的面积可以求出CD 的长，进而确定点D 的坐标，将点D 和点A 的坐标代入抛物线的表达式，就可以求出抛物线的表达式中的待定系数的值，从而得到抛物线的表达式；第（2）问中，利用点的对称性和两点之间线段最短，作点D 关于x 轴的对称点H ，作点M 关于y 轴的对称点I ，连接HI ，交x 轴于点N ，交y 轴于点F ，此时M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小，利用一次函数，可以求出点N ，F 的坐标；第（3）问中，利用圆周角的性质，可以知道，当以BD 为弦的圆与直线CD 相切时BPD ∠的度数最大，利用圆心到切点的距离等于半径，列方程即可求出t 的值．【解题过程】（1）当0x =时 20033y a b =⨯+⨯+= 所以3OC =，(0,3)C ，因为CD y ⊥轴，DE x ⊥轴，CO EO ⊥， 所以四边形OEDC 为矩形，又因为双曲线6(0)y x x=>经过点D ， 所以6OEDC S =矩形, 所以2OEDCS CD OC==矩形,所以(2,3)D将点(1,0)A -、(2,3)D 代入抛物线23y ax bx =++得304233a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得12a b =-⎧⎨=⎩所以抛物线的表达式为223y x x =-++．（2）解：作点D 关于x 轴的对称点H ，作点M 关于y 轴的对称点I ，如图（1）由图形轴对称的性质可知FM FI =，ND NH =，所以四边形MDNF 的周长MD DN FN FM MD NH FN FI =+++=+++，因为MD 是定值，所以当NH FN FI ++最小时，四边形MDNF 的周长最小，因为两点之间线段最短，所以当I 、F 、N 、H 在同一条直线上时NH FN FI ++最小 所以当I 、F 、N 、H 在同一条直线上时，四边形MDNF 的周长最小，连接HI ，交x 轴于点N ，交y 轴于点F ， 因为抛物线的表达式为223y x x =-++，所以点M 的坐标为(1,4)，第25题答图（1）由轴对称的性质可得，(1,4)I -，(2,3)H -， 设直线HI 的表达式为y mx n =+， 所以423m n m n -+=⎧⎨+=-⎩，解得7353m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以直线HI 的表达式为7533y x =-+， 当0x =时，53y =， 当0y =时，75033x =-+，所以57x =，所以5(0,)3F ，5(,0)7N ，所以当M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，5(0,)3F ，5(,0)7N ．（3）解：本题的答案为9215-．解题分析：如图（2），当两点A 、B 距离是定值，直线CD 是一条固定的直线，点P 在直线CD 上移动，由下图可以看出只有当过A 、B 的圆与直线CD 相切时APB ∠最大．所以可作T e 过点B 、D ，且与直线OC 相切，切点为P ，此时BPD ∠的度数最大， 由已知，可得OP t =， (0,)P t因为直线OC 与T e 相切， 所以TP OC ⊥，所以直线PT 的解析式为y t =因为抛物线的表达式为223y x x =-++，所以点B 的坐标为(3,0)，第25题答图（2）第25题答图（3）因为点B (3,0)、点(2,3)D可以求得直线BD 的垂直平分线的解析式为1233y x =+ 联立y t =与1233y x =+，得32x t =-，y t = 直线PT 与直线BD 的交点即为点M ，所以(32,)M t t - 因为MB MC =,可得2232(323)(0)t t t -=--+- 解得9215t =-或9215t =+（舍去） 所以当9215t =-时，BPD ∠的度数最大．【知识点】二次函数（抛物线）的图象和性质、反比例函数（双曲线）的图象和性质、最短路径问题、一次函数的图象和性质、直线与圆的位置关系、勾股定理．。

2019年中考数学试题汇编 二元一次方程组解答题部分(解析版)

1.（2019年山东省烟台市）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，根据志愿者人数＝36×调配36座客车的数量+2及志愿者人数＝22×调配22座客车的数量﹣2，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，根据志愿者人数＝36×调配36座客车的数量+22×调配22座客车的数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可求出结论．【解答】解：（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，依题意，得：，解得：．答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，依题意，得：36m+22n＝218，∴n＝．又∵m，n均为正整数，∴．答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．2.（2019年福建省）解方程组．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝9，即x＝3，把x＝3代入①得：y＝﹣2，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．3.（2019年海南省）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？【分析】设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，由题意列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，由题意得：，解得：；答：“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．4.（2019年吉林省）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（2）（填写序号）．（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．【分析】问题解决设竹签有x根，山楂有y个，由题意得出方程组：，解方程组即可；反思归纳由每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，得出ac+d＝b即可．【解答】问题解决解：设竹签有x根，山楂有y个，由题意得：，解得：，答：竹签有20根，山楂有104个；反思归纳解：∵每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则ac+d＝b，故答案为：（2）．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．5.【分析】设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，根据题意，得，求解即可；【解答】解：设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，根据题意，得，∴，∴每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨；【点评】本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元法解方程组是关键．6.（2019年山西省）解方程组：【分析】（1）先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数，0次幂进行计算，再合并同类二次根式；（2）用加减法进行解答便可．【解答】解：（2）①+②得，4x＝﹣8，∴x＝﹣2，把x＝﹣2代入①得，﹣6﹣2y＝﹣8，∴y＝1，∴．【点评】本题是解答题的基本计算题，主要考查了实数的计算，解二元一次方程组，是基础题，要求100%得分，不能有失误．7.（2019年广西河池市）在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？（2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？【分析】（1）设跳绳的单价为x元/条，毽子的单件为y元/个，根据：购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元，列方程组求解即可；（2）设该店的商品按原价的x折销售，根据：购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，列出方程求解可得．【解答】解：（1）设跳绳的单价为x元/条，毽子的单件为y元/个，可得：，解得：，答：跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为5元/个；（2）设该店的商品按原价的x折销售，可得：（100×16+100×4）×＝1800，解得：x＝9，答：该店的商品按原价的9折销售．【点评】本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系是解题关键．8.（2019年广东省广州市）解方程组：．【分析】运用加减消元解答即可．【解答】解：，②﹣①得，4y＝2，解得y＝2，把y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3，故原方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．9.（2019年湖南省益阳市）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；【分析】设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意列出不等式，就不等式即可．【解答】解：（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意得：，解得：；答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元；【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意列出方程组或不等式是解题的关键．10（2019年山东省淄博市）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润【分析】设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；由题意列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；由题意得：，解得：；答：A，B两种产品的销售件数分别为160件、180件．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．11（2019年浙江省丽水市）解方程组【分析】根据二元一次方程组的解法，先将式子①化简，再用加减消元法（或代入消元法）求解；【解答】解：，将①化简得：﹣x+8y＝5 ③，②+③，得y＝1，将y＝1代入②，得x＝3，∴；【点评】本题考查二元一次方程组的解法；熟练掌握加减消元法或代入消元法解方程组是解题的关键．12（2019年江苏省盐城市）体育器材室有A、B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克．（1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？【分析】（1）直接利用1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克得出方程求出答案；（2）利用分类讨论得出方程的解即可．【解答】解：（1）设每只A型球、B型球的质量分别是x千克、y千克，根据题意可得：，解得：，答：每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克；（2）∵现有A型球、B型球的质量共17千克，∴设A型球1个，设B型球a个，则3+4a＝17，解得：a＝（不合题意舍去），设A型球2个，设B型球b个，则6+4b＝17，解得：b＝（不合题意舍去），设A型球3个，设B型球c个，则9+4c＝17，解得：c＝2，设A型球4个，设B型球d个，则12+4d＝17，解得：d＝（不合题意舍去），设A型球5个，设B型球e个，则15+4e＝17，解得：a＝（不合题意舍去），综上所述：A型球、B型球各有3只、2只．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确分类讨论是解题关键．13（2019年湖南省怀化市）解二元一次方组：【分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可．【解答】解：，①+②得：2x＝8，解得：x＝4，则4﹣3y＝1，解得：y＝1，故方程组的解为：．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．14（2019年山东省潍坊市）己知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，求k的取值范围．【分析】先用加减法求得x﹣y的值（用含k的式子表示），然后再列不等式求解即可．【解答】解：①﹣②得：x﹣y＝5﹣k，∵x＞y，∴x﹣y＞0．∴5﹣k＞0．解得：k＜5．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的解，求得x﹣y的值（用含k的式子表示）是解题的关键．15（2019年浙江省温州市）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决；（2）①根据题意可以求得由成人8人和少年5人带队，所需门票的总费用；②利用分类讨论的方法可以求得相应的方案以及花费，再比较花费多少即可解答本题．【解答】解：（1）设成人有x人，少年y人，，解得，，答：该旅行团中成人与少年分别是17人、5人；（2）①由题意可得，由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是：100×8+5×100×0.8+（10﹣8）×100×0.6＝1320（元），答：由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是1320元；②设可以安排成人a人，少年b人带队，则1≤a≤17，1≤b≤5，当10≤a≤17时，若a＝10，则费用为100×10+100×b×0.8≤1200，得b≤2.5，∴b的最大值是2，此时a+b＝12，费用为1160元；若a＝11，则费用为100×11+100×b×0.8≤1200，得b≤，∴b的最大值是1，此时a+b＝12，费用为1180元；若a≥12，100a≥1200，即成人门票至少是1200元，不合题意，舍去；当1≤a＜10时，若a＝9，则费用为100×9+100b×0.8+100×1×0.6≤1200，得b≤3，∴b的最大值是3，a+b＝12，费用为1200元；若a＝8，则费用为100×8+100b×0.8+100×2×0.6≤1200，得b≤3.5，∴b的最大值是3，a+b＝11＜12，不合题意，舍去；同理，当a＜8时，a+b＜12，不合题意，舍去；综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．16（2019年甘肃省武威市、陇南市）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：，解得：，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．17（2019年山东省枣庄市）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，例如3⊗4＝2×3+4＝10．（1）求4⊗（﹣3）的值；（2）若x⊗（﹣y）＝2，（2y）⊗x＝﹣1，求x+y的值．【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝8﹣3＝5；（2）根据题中的新定义化简得：，①+②得：3x+3y＝﹣3，则x+y＝﹣1．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

2019年山东省济南市中考数学试题及答案全解全析

济南市2019年初三年级学业水平考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（2019山东济南中考，1，4分，★☆☆）－7的相反数是（ ）A ．－7B ．71C ．7D ．71 2．（2019山东济南中考，2，4分，★☆☆）以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2019山东济南中考，3，4分，★☆☆）2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（ ）A ．0.1776×103B ．1.776×102C ．1.776×103D ．17.76×1024．（2019山东济南中考，4，4分，★☆☆）如图，DE ∥BC ，BE 平分∠ABC ，若∠1=70°，则∠CBE 的度数为（ ）第4题图A ．20°B ．35°C ．55°D ．70°5．（2019山东济南中考，5，4分，★☆☆）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立．．．的是（ ）A ．a －5＞b －5B ． 6a ＞6bC ．－a ＞－bD ． a －b ＞06．（2019山东济南中考，6，4分，★★☆）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）赵爽弦图 笛卡尔心形图 科克曲线 斐波那契螺旋线A B C D7．（2019山东济南中考，7，4分，★★☆）化简21442++-x x 的结果是（ ） A ．21-x B ．21+x C ． 22-x D ．22+x8．（2019山东济南中考，8，4分，★★☆）在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（ ）A ．9.7m ，9.9mB ．9.7m ，9.8mC ．9.8m ，9.7mD ．9.8m ，9.9m9．（2019山东济南中考，9，4分，★★☆）函数y =－ax +a 与xay =(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2019山东济南中考，10，4分，★★☆）如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，以C 为圆心，CE 为半径作弧，交CD 于点F ，连接AE ，AF ．若AB =6，∠B =60°，则阴影部分的面积为（ ）第10题图A ．π339-B ．π239-C ．π9318-D ．π6318- 11．（2019山东济南中考，11，4分，★★☆）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A ，测得历下亭C 在北偏东37°方向，继续向北走105m 后到达游船码头B ，测得历下亭C 在北偏东53°方向．请计算一下南门A 与历下亭C 之间的距离约为（ ）(参考数据tan37°≈43，tan53°≈34)A ．225mB ．275mC ．300mD ．315m 12．（2019山东济南中考，12，4分，★★★）关于x 的一元二次方程ax 2+bx+21=0有一个根是－1，若二次函数y=ax 2+bx+21的图象的顶点在第一象限，设t=2a+b ，则t 的取值范围是（ ）第11题图A ．21-＜t ＜41 B ．－1＜t ≤41 C ． 21-≤t ＜21 D ．－1＜t ＜21非选择题部分 共102分二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）13．（2019山东济南中考，13，4分，★☆☆）分解因式： m 2－4m+4= ． 14．（2019山东济南中考，14，4分，★☆☆）如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于 ．第14题图15．（2019山东济南中考，15，4分，★☆☆）一个n 边形的内角和等于720°，则n = ． 16．（2019山东济南中考，16，4分，★☆☆））代数式312-x 与代数式x 23-的和为4，则x = ．17．（2019山东济南中考，17，4分，★★☆）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l 1，l 2分别表示去年、今年水费y (元)与用水量x (m 3)之间的关系．小雨家去年用水量为150m 3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多________元．第17题图18．（2019山东济南中考，18，4分，★★☆）如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若AD =8，AB =5，则线段PE 的长等于____________．第18题图三、解答题：（本大题共9小题，满分78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（2019山东济南中考，19，6分，★☆☆）计算：(21)－1+(π+1)0－2cos60°+9．20．（2019山东济南中考，20，6分，★★☆）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤-②①21039235x x x x ，并写出它的所有整数解．21．（2019山东济南中考，21，6分，★★☆） 如图，在ABCD 中，E ，F 分别是AD 和BC 上的点，∠DAF =∠BCE ． 求证：BF =DE ．第21题图22．（2019山东济南中考，22，8分，★★☆）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．（1）求A和B两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销动，所有图书都按8折销售．学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，花费多少元?23．（2019山东济南中考，23，8分，★★☆）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点C 的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC，BD．（1）求证：∠ABD=∠CAB；（2）若B是OE的中点，AC=12，求⊙O的半径．第23题图24．（2019山东济南中考，24，10分，★★☆）某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.25.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.24.4 4.2 4.35.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.14.2 4.4 4.5 4.1 4.55.1 4.4 5.0 5.2 5.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（x）频数频率A x<4.2 4 0.1B 4.2≤x≤4.412 0.3C 4.5≤x≤4.7 aD 4.8≤x≤5.0 bE 5.1≤x≤5.310 0.25合计40 1根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a= ，b= ；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人?（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．25．（2019山东济南中考，25，10分，★★★）如图1，点A (0，8)，点B (2，a)在直线y=－2x +b 上，反比例函数xky =(x>0)的图象经过点B ． （1）求a 和k 的值；（2）将线段AB 向右平移m 个单位长度(m >0)，得到对应线段CD ，连接AC ，BD ． ①如图2，当m =3时，过D 作DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求EFDE的值；②在线段AB 运动过程中，连接BC ，若△BCD 是以BC 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m 的值．第25题图1 第25题图226．（2019山东济南中考，26，12分，★★★）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究． （一）猜测探究在△ABC 中，AB =AC ，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出∠NAB 与∠MAC 的数量关系是 ，NB 与MC 的数量关系是 ；（2）如图2，点E 是AB 延长线上一点，若M 是∠CBE 内部射线BD 上任意一点，连接MC ，(1)中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （二）拓展应用如图3，在△A 1B 1C 1中，A 1B 1=8，∠A 1B 1C 1=60°，∠B 1A 1C 1=75°，P 是B 1C 1上的任意一点，连接A 1P ，将A 1P 绕点A 1按顺时针方向旋转75°，得到线段A 1Q ，连接B 1Q ．求线段B 1Q 长度的最小值．第26题图1 第26题图2 第26题图327．（2019山东济南中考，27，12分，★★★）如图1，抛物线C ：y ＝ax 2＋bx 过A （－4，0），B （－1，3）两点，G 是顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C 的函数表达式及顶点G 的坐标；（2）如图2，直线l ：y ＝kx －125经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （m ＜－2），连接DO 并延长交抛物线C′于点E ，交直线l 于点M ，若DE ＝2EM ，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG ，AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上，是否存在点P ，使得∠DEP ＝∠GAB ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2 图3济南市2019年初三年级学业水平考试数学试题答案全解全析1．答案：C解析：只有符号不同的两个数互为相反数，故7的相反数是－7，故选C ． 考查内容：相反数．命题意图：本题主要考查学生对求相反数的概念的掌握，难度较低． 2．答案：D解析：球的主视图、俯视图均是圆，A 选项错误；正方体的主视图、俯视图均是正方形，B 选项错误；圆锥的主视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，C 选项错误；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，D 选项正确，故选D ． 考查内容：几何体的三视图．命题意图：本题主要考查学生对简单几何体的三视图的识别，难度较低． 3．答案：B解析：把177.6用科学记数法表示为1.776×102． 考查内容：科学记数法—表示较大的数．命题意图：本题主要考查学生对用科学记数法表示数的掌握情况，难度较低． 4．答案：B解析：∵DE ∥BC ，∠1=70°，∴∠ABC ＝∠1＝70°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝21∠ABC ＝35°．故选B ．考查内容：平行线的性质、角平分线的性质．命题意图：本题主要考查学生对平行线的性质、角平分线的性质的应用情况，难度较低． 5．答案：C解析：观察数轴，可以判断a ＞b ，根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加减同一个数或整式，不等号方向不变，可以判断a －5＞b －5，A 选项正确；根据不等式的基本性质2，两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变，故6a ＞6b ，B 选项正确；根据不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变，故－a ＜－b ，C 选项错误；由a ＞b 知a －b ＞0，D 选项正确；故选C ．考查内容：用数轴比较实数的大小、不等式的基本性质．命题意图：本题主要考查学生对用数轴比较两个实数的大小、不等式的基本性质的运用情况，难度较低． 6．答案：C解析：A 选项，是中心对称图形，不是轴对称图形，故不正确；B 选项，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；C 选项，既是中心对称图形，也是轴对称图形，故正确；D 选项，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不正确．故选C ． 考查内容：轴对称图形、中心对称图形．命题意图：本题主要考查学生对轴对称图形、中心对称图形的识别，难度较低． 7．答案：A 解析：21442++-x x ＝)2)(2(24-+-+x x x ＝21)2)(2(2-=-++x x x x ． 考查内容：分式的运算．命题意图：本题主要考查学生对分式的运算的基本技能的掌握，难度中等． 8．答案：B解析：将7次成绩按大小顺序排列为10.2m ，10.1m ，9.8m ，9.7m ，9.7m ，9.6m ，9.5m ，处于中间位置的数据是9.7m ，故成绩的中位数是9.7m ；平均数为：m 8.975.96.97.97.98.91.102.10=++++++，故选B ．考查内容：中位数、平均数．命题意图：本题主要考查学生根据统计图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、平均数的计算，难度中等．9．答案：D解析：若a ＞0，则函数y =－ax +a 的图象经过第一、二、四象限；函数xay =的图象分布在第一、三象限；若a ＜0，则函数y =－ax +a 的图象经过第一、三、四象限；函数xay =的图象分布在第二、四象限，故只有D 选项符合，故选D ． 考查内容：一次函数、反比例函数的图象．命题意图：本题主要考查学生对利用函数表达式确定一次函数、反比例函数的图象分布的掌握情况，难度中等． 10．答案：A解析：如图，连接AC ．在菱形ABCD 中，AB ＝BC ，又∵∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形，同理，△ADC 是等边三角形，∵点E 是BC 的中点，根据菱形的轴对称性知点F 是DC 中点，故阴影部分的面积为S △ABC －S 扇形ECF ．在Rt △ABE 中，AE ＝AB ·sin60°=6×3323=，阴影部分的面积为S △ABC －S 扇形ECF ＝ππ3393603120336212-=⨯-⨯⨯，故选A ．考查内容：菱形、等边三角形、扇形的面积、三角形的面积．命题意图：本题主要考查学生对菱形的性质、等边三角形的判定、三角形、扇形的面积计算的综合运用情况，难度中等． 11．答案：C解析：如图，过C 作CD ⊥AC 于D ．设CD ＝xm ，在Rt △ACD 中，x x CD AD 344337tan ==︒=，在Rt △BCD 中，x x CD BD 433453tan ==︒=，AD －BD ＝AB ，即1054334=-x x ，解得x =180，所以AD ＝)(24018034m =⨯，在Rt △ADC 中，由勾股定理得AC ＝22AD CD =22240180=300（m ），故选C ．考查内容：解直角三角形的应用．命题意图：本题主要考查学生对解直角三角形的实际运用能力以及添加辅助线的技巧，难度中等． 12．答案：D解析：由于关于x 的一元二次方程ax 2+bx+21=0有一个根是－1，所以a －b 021=+，所以b=a 21+，t=2a+b=3a+21+，设方程的ax 2+bx+21=0另一个根为,2x 则a x 2112=⋅-，a x 212-=，因为二次函数y=ax 2+bx+21的图象的顶点在第一象限，所以1212>-=ax ，所以021<<-a ，所以0323<<-a ，所以212131<+<-a ，故选D ． 考查内容：一元二次方程的解；一元二次方程根与系数的关系；二次函数的顶点坐标． 命题意图：本题主要考查学生对一元二次方程根与系数的关系及顶点坐标的综合运用的能力，难度中等． 13．答案：（m －2）2解析：直接应用完全平方公式进行分解因式即可，m 2－4m +4=m 2－4m +22=（m －2）2． 考查内容：因式分解．命题意图：本题主要考查学生对用公式法进行因式分解的掌握情况，难度较低． 14．答案：31解析：P （指针落在红色区域的概率）＝3162=＝扇形总个数红色扇形个数．考查内容：概率．命题意图：本题主要考查学生对简单随机事件的概率计算公式的掌握情况，难度较低． 15．答案：6解析：由多边形内角和公式得180（n －2）＝720，解得n ＝6． 考查内容：多边形的内角和．命题意图：本题主要考查学生对多边形内角和公式的应用能力的掌握情况以及方程思想的应用，难度较低． 16．答案：－1解析：根据两个代数式的和为4，可列方程：423312=-+-x x ，解得x =－1． 考查内容：一元一次方程．命题意图：本题主要考查学生对一元一次方程的应用及解法的掌握情况，难度较低． 17．答案：210解析：设直线l 1的函数表达式为ax y =1，将（160，480）代入ax y =1得480160=a ，解得a =3，所以直线l 1的函数表达式为x y 31=．设直线BC 段的函数表达式为b kx y +=2，将(120，480)、（160，720）分别代入b kx y +=2，得⎩⎨⎧=+=+.720160,480120b k b k 解得⎩⎨⎧-==.240,6b k 所以24062-=x y ．当x =150时，4501=y ，6602=y ，660－450＝210（元），水费将比去年多210元．考查内容：一次函数的应用．命题意图：本题主要考查学生对应用一次函数解决实际问题的能力以及应用数形结合思想解决问题的能力，难度中等． 18．答案：320解析：通过折叠得AB=BN=5，四边形ABNM 是正方形，所以AM=MN=5，所以MD=AD －AM=8－5=3，由题意得EF=ED ，设ME=x ，则EF=ED=3－x ，在Rt △FCN 中，NC=MD=3，FC=CD=5，由勾股定理得4352222=-=-=NC FC FN ，所以FM=5－4=1，在Rt △MEF 中，由勾股定理得222MF ME EF +=，所以1)3(22+=-x x ，解之得34=x ，过P 作AM PG ⊥于G ，则Rt △PMG 为等腰直角三角形，所以PG=MG ，由△EMF ∽△EGP得，所以PG MF EG EM =，则PG PG 13434=+，解之得PG=4，EG=316434=+，在Rt △PEG 中，由勾股定理320)316(42222=+=+=EG PG PE ．考查内容：矩形的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质．命题意图：本题主要考查学生对矩形的性质的运用，三角形相似的判定与性质的掌握，难度较大．19.分析：分别根据幂的定义、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简即可． 解析：原式＝2+1－2⨯21+3＝3－1+3＝5． 考查内容：实数的运算命题意图：本题主要综合考查二次根式的化简、绝对值的化简、积的乘方、0指数幂的知识进行实数的计算，难度中等.20.分析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解析：解不等式组： ⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤-②①21039235x x x x解不等式①，得4≤x ． 解不等式②，得x>2．所以不等式组的解集为42≤<x ，所以不等式组的整数解3，4． 考查内容：一元一次不等式组的解法.命题意图：本题考查学生对一元一次不等式组的解法掌握能力，难度较小.方法归纳：不等式组的解集是不等式组中所有不等式解集的公共部分，所以可以求出不等式组中各个不等式的解集，然后取它们的公共部分即可．找公共部分常用的方法有两种：（1）数轴法把不等式组中所有不等式的解集在同一条数轴上表示出来，直观地观察得到公共部分．两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形（设a<b）①不等式组x ax b＞，＞的解集是x>b，在数轴上表示如图：②不等式组x ax b＜，＜的解集是x<a，在数轴上表示如图：③不等式组x ax b＞，＜的解集是a＜x＜b，在数轴上表示如图：④不等式组x ax b＜，＞无解，在数轴上表示如图：（2）口诀法应用口诀“大大取较大，小小取较小；大小小大中间找，大大小小无解了”来确定．21.分析：利用平行四边形的性质得出一对角相等，然后利用ASA来证明三角形全等，得到BF=DE.解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∠DAB=∠BCD，AB=CD，∵∠DAF=∠BCE.∴∠DAB－∠DAF=∠BCD－∠BCE.∴∠BAF=∠DCE．在△ABF与△CDE中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DCE BAF CDAB D B ， ∴△ABF ≅△CDE ， ∴BF=DE ．考查内容：平行四边形的性质；全等三角形的性质与判定．命题意图：本题考查利用平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定解决问题，难度较低. 一题多解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，∴∠DAF=∠AFB.∵∠DAF =∠BCE . ∴∠AFB=∠BCE ，∴AF//CE ，∴四边形AFCE 是平行四边形，即BF=DE ．22．分析：（1）以“A 种图书的数量－B 种图书的数量＝20”等量关系列出分式方程求解；（2）列代数式求出费用．解析：（1）设B 种图书的单价为x 元，则A 种图书的单价为1.5x 元，由题意得2016005.13000=-xx ，解得x=20． 经检验：x=20是原方程的解． 1.5x=1.5×20=30（元）， 所以A 种图书的单价为30元．答：A 种图书与B 种图书的单价分别30元、20元． （2）（30×20+20×25）×80%＝880（元），共花费880元． 考查内容：分式方程的应用命题意图：本题考查综合利用分式方程解决应用问题的能力，注意方程思想的运用，难度中等．23．分析：(1)利用等边对等角证明∠CAB=∠ACD ，由同弧所对的圆周角相等，所以∠ACD ＝∠ABD ，即可得出结论．(2)由CE 是⊙O 的切线，B 是OE 的中点，所以OE=2OB=2OC ，即∠E=∠A=30°，即AC=CE ，所以OC=21CE=6． 解析：（1）∵AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∴AO=CO ，∴∠CAB=∠ACD ，∵∠ACD 和∠ABD 都是AD 所对的圆周角，∴∠ACD ＝∠ABD ，∴∠ABD ＝∠CAB ．（2）∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE=90°，又∵B 是OE 的中点，∴OE=2OB=2OC ，∴∠E=30°，∴∠COE=60°．∴∠E=∠A=30°，∴AC=CE=12，设⊙O 的半径为r ，∴OC=r ，OE=2r ．在Rt △OCE 中，∵OC 2+CE 2=OE 2，∴r 2+122=（2r ）2，解得．考查内容：圆周角定理及推论；切线的性质；解直角三角形．命题意图：本题主要考查了学生对圆周角定理及推论的了解，对圆的切线的性质的掌握，辅助线的添加技巧，难度中等偏上．24.分析：（1）由数据可知a=8，b 通过频率来计算数值；（2）由（1）中的结论直接画出条形统计图；（3）用样本估计总体来计算“E 级”的人数；（4）通过树状图或列表找出所有可能的情况，并计算概率. 解析：（1）a=8，频率为2.0408=，b=1－0.1－0.3－0.2－0.25=0.15； （2）D 级的人数为0.15×40＝6（人），画图为（3）八年级学生视力为“E 级”的人数10025.0400=⨯（人）． （4）画树状图如下：由树状图可以看出一共有12种等可能的结果，一男一女的结果共有8种，所以P （恰好选中“1男1女”）=32128=． 考查内容：频数与频率；条形统计图；样本估计总体；画树状图或列表法求概率． 命题意图：本题主要考查学生根据统计结果做出合理的判断和预测的能力，对画树状图或列表法求概率的掌握，难度中等．25．分析：（1）根据待定系数法求一次函数的解析式及反比例函数的解析式；（2）根据平移得出D 点的坐标，求DE 与EF 的长；根据等腰三角形的腰相等来确定平移距离.解析：（1）把A （0，8）代入y=－2x+b 得，b=8，所以一次函数的解析式y=－2x+8，把（2，a ）代入y=－2x+8得a=4，∴B （2，4），把B （2，4）代入xky =得k=8，即a=4，k=8．（2）①当m=3时，由平移可得D(5，4)，过D 作DF ⊥x 轴于点F ，设E 的坐标为（5，t ），把E 的坐标代入x k y =得t=58，∴EF=58，512584=-=DE ，即2358512==EF DE ． ②∵A （0，8），B （2，4），∴52)48(222=-+==CD AB ，分两种情况，如图1，当BC=CD 时，过C 作CG ⊥BD 于G ，则CG=4，由勾股定理得BG=2，即C （4，8），则m=4；如图2，当BC=BD 时，过B 作BH ⊥AC 于H ，则BH=4，AC=BD=BC=m ，CH=m －2，由勾股得222)2(4m m =-+，解得m=5．综上所述，满足条件的m 值分别是4，5．图1 图2考查内容：待定系数法求函数解析式；点的坐标在平面直角坐标系内的平移变化；反比例函数图象上点的特征；勾股定理．命题意图：本题主要考查学生对待定系数法的掌握，勾股定理的掌握，添加辅助线的技巧，运用分类讨论思想解决等腰三角形问题的能力，难度较大．26．分析：（1）由旋转的性质可以得出角相等及对应边相等；（2）通过全等三角形的判定与性质得出（1）的结论是正确的； 解析：（1）相等；相等． （2）（1）的结论成立，由旋转可得∠NAM=∠BAC ，AN=AM ，∴∠NAM －∠BAM=∠BAC －∠BAM ， ∴∠NAB=∠MAC ．在△NAB 和△MAC 中，⎪⎩⎪⎨⎧==AC AB MAC ∠=NAB ∠AM AN ，∴△NAB ≌△MAC ，∴NB=MC ．（3）如图，过A 1作A 1H ⊥B 1C 1于H ，在Rt △A 1B 1H 中，∠A 1B 1H ＝60°，∴A 1H ＝A 1B 1×sin60°=8×23=34，B 1H ＝A 1B 1×cos60°=8×21=4．∵∠A 1B 1C 1=60°，∠B 1A 1C 1=75°，∴∠C 1=45°．在Rt △A 1HC 1中，由勾股定理可得A 1C 1=46．将A 1C 1绕点A 1顺时针旋转75°得到A 1G ，∵∠B 1A 1C 1=75°，∴A 1，B 1，G 在同一条直线上．∵A 1C 1=46，∴A 1G=46，∴B 1G=46－8．由旋转的性质易得△A 1QG ≌△A 1PC 1，∴∠G=∠C 1=45°．∵P 是B 1C 1上任意一点，∴当B 1Q ⊥QG 时，B 1Q 最小，最小值为B 1G·sinG=（46－8）×22=43－42．考查内容：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；旋转的性质．命题意图：本题主要考查学生对全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质的掌握，建立二次函数模型解决最值问题的解题能力，难度较大．27．分析：（1）用待定系数法求二次函数的解析式，用顶点坐标公式求抛物线的顶点坐标；（2）由中心旋转的性质及DE=2EM 表示出M 的坐标代入直线l 的解析式求出m 的值；（3）通过相似来建立关系式求出P 点的坐标．解析：（1）把A （－4，0）、B （－1，3）代入y ＝ax 2＋bx 得⎩⎨⎧-=-=b a b a 34160，解得⎩⎨⎧-=-=41b a ， 所以二次函数的解析式为y ＝－x 2－4x ，顶点坐标为G （－2，4）．(2)设D （m ，－m 2－4m ），由中心对称的性质可知E （－m ，m 2+4m ），且OD=OE ． 又因为DE=2EM ，则OM=2OE ，所以M （－2m ，2m 2+8m ）．把A(－4，0)代入y ＝kx －125得，0=－4k －125，解得k=－35，所以直线l ：y ＝－35x －125．把M （－2m ，2m 2+8m ）代入y ＝－35x －125，得2m 2+8m ＝65m －125，整理得10m 2+34m+12=0，解得m 1=－3，m 2=－25（舍去），即m=－3．（3）在直线DE 下方的抛物线C 上，存在点P ，使得∠DEP ＝∠GAB ．连接BG ． 由（2）知D （－3，3），E （3，－3），由勾股定理得AG ，AB BG∴AG 2＝AB 2+BG 2，∴△ABG 是直角三角形，且∠ABG ＝90°，tan ∠GAB =31=AB BG．∵∠DEP ＝∠GAB ，∴tan ∠DEP =tan ∠GAB =31．设直线AB 的表达式为y =kx +b ，将A （－4，0），B （－1，3）分别代入y =kx +b ，得⎩⎨⎧=+-=+-304b k b k ，解得⎩⎨⎧==41b k，所以直线AB 的表达式为y =x +4．设直线DE 的表达式为y =ax ，将E （3，－3）代入y =ax 得3a=－3，解得a=－1，所以直线DE 的表达式为y =－x ，所以AB ⊥DE ．设直线AB 与DE 交于点Q ，联立两函数解析式组成方程组⎩⎨⎧+=-=4x y x y ，解得⎩⎨⎧=-=22y x ， 所以Q （－2，2）．设PE 与AB 交于点N ，则tan ∠DEP ＝31=EQ NQ ， 由勾股定理得EQ ＝25， 所以325=NQ ，可求点N （－113，13）． 设直线PE 的表达式为y =k 1x +b 1，将E （3，－3）、N （－113，13）分别代入y =k 1x +b 1得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-33313111111b k b k ，解得11123.2k b -，- 所以直线PE 的表达式为y =－12x －32． 联立二次函数的解析式y ＝－x 2－4x ，可得－12x －32＝－x 2－4x ， 解得x 1=7734，x 2=7734， 所以点P 的横坐标为7734或7734．一题多解：(1)∵抛物线过A(－4，0)，B(－1，3)，16a－4b=0．a－b=3，解得a=－1，b=－4，∴y=－x2－4x，∴顶点G的坐标(－2，4)．（2）如答案图1，作EF⊥x轴，MH⊥x轴，垂足分别为F，H，∵直线y=kx－125过点A(－4，0)，解得k=－3 5，∴直线l的解析式为y＝－35x－125．∵EF⊥x轴，MH⊥x轴，∴EF∥MH．∵点D与点E关于点O对称，∴DO=OE．∵DE=2EM，∴OE=EM．∵EF∥MH，∴EF=12MH，OF=12OH．设点D (m ，－m 2－4m )，则点E (－m ，m 2+4m )，∴点M 的坐标为(－2m ，2m 2+8m ) ．将点M (－2m ，2m 2+8m )代入y ＝－35x －125得2m 2+8m ＝－35×（－2m ）－125，解得m 1=－3， m 2=－25．∵m<－2，∴m =－3．（3）存在点P ，使得∠DEP =∠GAB ．如答案图2，过点G 作GK ⊥x 轴于点K ，过点P 作PN ⊥EF 交EF 的延长线于点N ，∵A (－4，0)，B (－1，3)得∠BAO =45°．∵点D 坐标为(－3，3)，∴点E 坐标为(3，－3)，∴∠OEF=45°．∵∠GAB =∠PED ，∴∠GAB +∠BAO =∠PED +∠OEF ，∴∠GAK =∠PEN ．∵∠GKA =∠PNE =90°，∴△GAK ∽△PEN ， ∴EN AKPN GK=，∴GK ·EN =AK ·PN ．设P 点的横坐标为t ，则P(t ，－t 2－4t )，得PN =3－t ，EN =－t 2－4t +3，∴4·(－t 2－4t +3)= 2·(3－t )，解得 t 1=7734，t 2=7734∴当t=7734或7734时，∠DEP=∠GAB.图1 图2考查内容：待定系数法求二次函数的解析式；解一元二次方程；相似三角形的判定与性质．命题意图：本题主要考查对待定系数法求二次函数的解析式的运用，对相似三角形的判定与性质的掌握，难度较大．。

2019年山东德州中考数学试题(解析版)

{来源}2019年德州中考数学{适用范围:3．九年级}{标题}2019年德州市中考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，合计48分．{题目}1．（2019年德州）－12的倒数是（）A．－2 B．12C．1 D．1{答案}A{解析}本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，由于－12×(－2)＝1，因此本题选A．{分值}4{章节:[1-1-4-2]有理数的除法}{考点:倒数}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．（2019年德州）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．{答案}D{解析}本题考查了轴对称和中心对称图形的识别，A．轴对称图形；B．中心对称图形；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，因此本题选D．{分值}4{考点:轴对称图形}{考点:中心对称图形}{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}3．（2019年德州）据国家统计局统计，我国 2018 年国民生产总值（GDP）为900300 亿元．用科学记数法表示900300亿是A．9.003⨯1012B．90.03⨯1012C．0.9003⨯1014D．9.003⨯1013 {答案}D{解析}本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因此先将“900300亿”改写成90 030 000 000 000，再根据科学记数法的要求表示为9.003⨯1013．{分值}4{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}4．（2019年德州）下列运算正确的是（ ） A ．(－2a )2＝－4a 2 B ．(a ＋b )2＝a 2＋b 2C ．(a 5)2＝a 7D ．(－a ＋2)(－a －2)＝a 2－4{答案}D{解析}本题考查了整式乘法公式，A 项考查了积的乘方公式，正确结果应该是4a 2；B 项考查的是完全平方公式，正确的结果应该是a 2＋2ab ＋b 2；C 项考查的是幂的乘方，正确的结果应该是a 10；D 项考查了平方差公式，结果正确． {分值}4{章节:[1-14-2]乘法公式} {考点:完全平方公式} {考点:积的乘方} {考点:幂的乘方} {考点:完全平方公式} {考点:平方差公式} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}5．（2019年德州）若函数ky x=与 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如下图所示，则函数 y ＝kx ＋b的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．{答案}C{解析}本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数图象的性质，由于双曲线过二、四象限，因此k ＜0，又由于抛物线开口向上，因此a ＞0，又由于对称轴在y 轴右侧，根据“左同右异”可知a ，b 异号，所以b ＜0．所以直线应该呈下降趋势，与y 轴交于负半轴，因此本题选C ． {分值}4{章节:[1-22-1-4]二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象和性质} {考点:二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的性质} {考点:反比例函数的图象} {难度:3-中等难度} {类别:易错题}{题目}6．（2019年德州）不等式组523(1)131722x x x x +>-⎧⎪⎨--⎪⎩≤ 的所有非负整数解的和是（ ）A ． 10B ． 7C ． 6D ． 0 {答案}A{解析}本题考查了一元一次不等式不等式组的非负整数解，解答过程如下：解不等式①，得x ＞－52；解不等式②，得x≤4；∴不等式组的解集为－52＜x≤4．∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，这些非负整数解的和为10．{分值}4{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}{考点:一元一次不等式组的整数解}{难度:3-中等难度}{类别:易错题}{题目}7．（2019•德州）下列命题是真命题的是（）A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B．平分弦的直径垂直于弦C．对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等{答案}C{解析} A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假命题；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题；D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题；{分值}4{章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角}{考点:垂径定理}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:3-中等难度}{题目}8．（2019•德州）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（）A．4.5112y xy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩B．4.5112x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩C．4.5112x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩D．4.5112y xx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩{答案}B{解析}本题的等量关系是：绳长－木长＝4.5；木长－12绳长＝1，据此可列方程组求解．解：设绳长x尺，长木为y尺，依题意得4.5112x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩．{分值}4{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组}{考点:简单的列二元一次方程组应用题}{考点:代入消元法有关的实际问题}{类别:数学文化}{难度:3-中等难度}{题目}9．（2019•德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）A ．130°B ．140°C ．150°D ．160°{答案}B{解析}解：由题意得到OA ＝OB ＝OC ＝OD ，作出圆O ，如图所示， ∴四边形ABCD 为圆O 的内接四边形， ∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°， ∵∠ABC ＝40°， ∴∠ADC ＝140°， 故选：B ．{分值}4{章节:[1-24-1-4]圆周角}{考点: {考点:圆内接四边形的性质} {类别:思想方法} {难度:4-较高难度}{题目}10．（2019•德州）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字14，12，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a ，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b ．若a ，b 能使关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（ ） A ．23B ．59C ．49D ．13{答案}C{解析}（1）画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，∴乙获胜的概率为49，故选：C ．{分值}4{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:两步事件不放回} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}11．在下列函数图象上任取不同两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），一定能使y 2−y 1x 2−x 1＜0成立的是（ ） A ．y ＝3x －1（x ＜0） B ．y ＝－x 2+2x －1（x ＞0） C ．y =−√3x （x ＞0）D ．y ＝x 2－4x －1（x ＜0）{答案}D{解析}解：A 、∵k ＝3＞0∴y 随x 的增大而增大，即当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 ∴当x ＜0时，y 2−y 1x 2−x 1＞0，故A 选项不符合；B 、∵对称轴为直线x ＝1，∴当0＜x ＜1时y 随x 的增大而增大，当x ＞1时y 随x 的增大而减小， ∴当0＜x ＜1时：当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 此时y 2−y 1x 2−x 1＞0，故B 选项不符合；C 、当x ＞0时，y 随x 的增大而增大， 即当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 此时y 2−y 1x 2−x 1＞0，故C 选项不符合；D 、∵对称轴为直线x ＝2，∴当x ＜0时y 随x 的增大而减小， 即当x 1＞x 2时，必有y 1＜y 2 此时y 2−y 1x 2−x 1＜0，故D 选项符合． {分值}4{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:一次函数的性质}{考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质} {考点:反比例函数的性质} {类别:高度原创} {难度:3-中等难度}{题目}12．（2019年德州）如图，正方形ABCD 中，点F 在边AB 上，且AF ∶FB ＝1∶2，CE ⊥DF ，垂足为M ，且交AD 于点E ，AC 与DF 交于点N ，延长CB 至G ，使BG ＝12BC ，连接GM ．有如下结论：①DE ＝AF ；②AN ＝4AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF∶S四边形CNFB＝1∶8．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．②③④{答案}C{解析}①正确．证明△ADF≌△DCE（ASA），即可判断．②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．③正确．作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，通过计算证明MH＝CH即可解决问题．④错误．设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出＝＝，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可判断．{分值}4{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}{考点:相似三角形的判定（两角相等）}{考点:相似三角形面积的性质}{考点:几何选择压轴}{类别:高度原创}{难度:5-高难度}二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.{题目}13．（2019•德州）|x－3|＝3－x，则x的取值范围是．{答案} x≤3{解析}根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以3－x≥0，即可求解；{分值}4{章节:[1-1-2-4]绝对值}{考点:绝对值的性质}{类别:常考题}{难度:1-最简单}14．（2019•德州）方程6(x+1)(x−1)−3x−1=1的解为．{答案} x＝－4{解析}解∶6(x+1)(x−1)−3x−1=1，6(x+1)(x−1)−3(x+1)(x−1)(x+1)=1，A FED CNBG3−3x=1，(x+1)(x−1)−3=1，x+1x＋1＝－3，x＝－4，经检验x＝－4是原方程的根．{分值}4{章节:[1-15-3]分式方程}{考点:解含两个分式的分式方程}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}15．（2019•德州）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO ＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）{答案}1.02{解析}解：由题意可得：∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64－4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．{分值}4{章节:[1-28-2-2]非特殊角}{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}16．（2019•德州）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[－0.8]＝－1．现定义：{x}＝x－[x]，例：{1.5}＝1.5－[1.5]＝0.5，则{3.9}＋{－1.8}－{1}＝．{答案}0.7{解析}解：根据题意可得：{3.9}＋{－1.8}－{1}＝3.9－3－1.8＋2－1＋1＝0.7．{分值}4{章节:[1-1-3-2]有理数的减法}{考点:省略加号的代数和}{类别:新定义}{难度:2-简单}{题目}17．（2019•德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB ＝6，则弦AF的长度为．{答案}9.6{解析}连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r－1，OA＝r，根据勾股定理得到32＋（r－1）2＝r2，解得r＝5，再利用垂径定理得到OB⊥AF，AG＝FG，则AG2＋OG2＝52，AG2＋（5－OG）2＝62，然后解方程组求出AG，从而得到AF的长．{分值}4{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径}{考点:垂径定理}{类别:高度原创}{难度:3-中等难度}{题目}18．（2019•德州）如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y＝kx（x＞0）的图象上，点A2、A4、A6……在反比例函数y＝－kx（x＞0）的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，且OA1＝2，则A n（n为正整数）的纵坐标为．（用含n的式子表示）{答案}(－1)n＋{解析}先证明△OA1E是等边三角形，求出A1的坐标，作高线A1D1，再证明△A2EF是等边三角形，作高线A2D2，设A2（x），根据OD2＝2＋1x＝x，解方程可得等边三角形的边长和A2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A 1、A 3、A 5…在x 轴的上方，纵坐标为正数，点A 2、A 4、A 6……在x 轴的下方，纵坐标为负数，可以利用(－1)n ＋1来解决这个问题．{分值}4{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:双曲线与几何图形的综合} {考点:规律－图形变化类} {考点:几何填空压轴} {类别:高度原创} {难度:5-高难度}三、解答题:本大题共7小题,共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. {题目}19．（8分）（2019•德州） 先化简，再求值：（2m−1n）÷（m 2＋n 2mn−5n m）•（m2n＋2n m＋2），其中√m ＋1＋(n －3)2＝0．{解析}先通分，再利用因式分解，把可以分解的分解，然后统一化成乘法运算，约分化简，再将所给等式化简，得出m 和n 的值，最后代回化简后的分式即可． {答案}解∶（2m−1n）÷（m 2＋n 2mn−5n m）•（m2n＋2n m＋2）＝2n−m mn ÷m 2＋n 2−5n 2mn •m 2＋4n 2＋4mn 2mn＝2n−m mn •mn (m ＋2n)(m−2n)•(m ＋2n)22mn＝−m ＋2n2mn． ∵√m ＋1＋（n ﹣3）2＝0． ∴m ＋1＝0，n ﹣3＝0， ∴m ＝﹣1，n ＝3．∴−m ＋2n 2mn＝−−1＋2×32×(−1)×3＝56．∴原式的值为56．{分值}8{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:分式的混合运算} {类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}20．（2019•德州）《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如下：七年级80748363909174618262八年级74618391608546847482（1）根据上述数据，补充完成下列表格．整理数据：优秀良好及格不及格七年级2350八年级141分析数据：年级平均数众数中位数七年级767477八年级74（2）该校目前七年级有200人，八年级有300人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．{解析}（1）根据平均数和中位数的概念解答即可；（2）根据样本估计总体解答即可；（3）根据数据调查信息解答即可{答案}解∶（1）八年级及格的人数是4，平均数＝74＋61＋83＋91＋60＋85＋46＋84＋74＋8210＝74，中位数＝74＋822＝78；故答案为∶4；74；78；（2）计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有200×210＋300×110＝40＋30＝70人；（3）根据以上数据可得∶七年级学生的体质健康情况更好．{分值}10{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}{考点:算术平均数}{考点:中位数}{考点:众数}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}21．（2019年德州）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人字样浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力补超过 500 人次，在进馆人次的月平均增长率的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．{解析}本题考查了一元二次方程的应用问题（增长率）．（1）套用公式a(1＋x)2＝b即可；（2）根据第（1）小题算出的增长率，算出第四个月的进馆人数，然后与608进行比较得出结果．{答案}解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意，得：128＋128 (1＋x)＋128 (1＋x)2＝608解得x1＝0.5；x2＝－3.5（舍去）．答：进馆人次的月平均增长率为50%．（2）第四个月进馆人数为128(1＋12)3＝432（人次）∵432＜500∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．{分值}10{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}{难度:3-中等难度}{类别:易错题}{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}{题目}22．（12分）（2019•德州）如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC ＝30°，AC＝2√3．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．{解析}（1）过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，然后以OA为半径作⊙O即可；（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP，先证明Rt△PAO≌Rt△PCO，然后根据切线的判定方法判断PB、PC为⊙O的切线；（3）先证明△OAC为等边三角形得到OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，再计算出AP＝2，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧AC与线段PA、PC围成3的封闭图形的面积进行计算．{答案}解∶（1）如图，（2）已知∶如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC＝30°，AC＝2√3，过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作⊙O，OA⊥PB，求证∶PB、PC为⊙O的切线；证明∶∵∠BPD＝120°，PAC＝30°，∴∠PCA＝30°，∴PA＝PC，连接OP，∵OA⊥PA，PC⊥OC，∴∠PAO＝∠PCO＝90°，∵OP＝OP，∴Rt△PAO≌Rt△PCO（HL）∴OA＝OC，∴PB、PC为⊙O的切线；（3）∵∠OAP＝∠OCP＝90°－30°＝60°，∴△OAC为等边三角形，∴OA＝AC＝2√3，∠AOC＝60°，∵OP平分∠APC，∴∠APO＝60°，∴AP＝√33×2√3＝2，∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积＝S四边形APCO－S扇形AOC＝2×12×2√3×2−60⋅π⋅(2√3)2360＝4√3−2π．{分值}12{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}{考点:扇形的面积}{考点:切线的判定}{考点:与圆有关的作图问题}{类别:北京作图}{类别:高度原创}{难度:3-中等难度}{题目}23．（12分）（2019•德州）下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式．收费方式月通话费/元包时通话时间/h超时费/（元/min）A30250.1B50500.1C100不限时（1）设月通话时间为x小时，则方案A，B，C的收费金额y1，y2，y3都是x的函数，请分别求出这三个函数解析式．（2）填空：若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为；若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为；若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为；（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．{解析}（1）根据题意可以分别写出y1、y2、y3关于x的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围；（2）根据题意作出图象，结合图象即可作答；（3）结合图象可得：小张选择的是方式A ，小王选择的是方式B ，将y ＝81代入y 2关于x 的函数关系式，解方程即可得出小王该月的通话时间． {答案}解：（1）∵0.1元/min ＝6元/h ， ∴由题意可得，y 1＝{30(0≤x ≤25)6x −120(x ＞25)，y 2＝{50(0≤x ≤50)6x −250(x ＞50)，y 3＝100（x ≥0）；（2）作出函数图象如图∶结合图象可得∶若选择方式A 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为∶0≤x ≤853， 若选择方式B 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为∶853≤x ≤1753， 若选择方式C 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为∶x ＞1753． 故答案为∶0≤x ≤853，853≤x ≤1753，x ＞1753． （3）∵小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长， ∴结合图象可得∶小张选择的是方式A ，小王选择的是方式B ，将y ＝80分别代入y 2＝{50(0≤x ≤50)6x −250(x ＞50)，可得6x －250＝80， 解得∶x ＝55，∴小王该月的通话时间为55小时．{分值}12{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}{考点:分段函数的应用}{考点:方案比较}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}24．（12分）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD∶GC∶EB的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD∶GC∶EB；（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD∶AB＝AH∶AE＝1∶2，此时HD∶GC∶EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．{解析}（1）连接AG，由菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，易得A，G，C共线，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；（2）连接AG，AC，由△ADC和△AHG都是等腰三角形，易证△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；（3）连接AG，AC，易证△ADC∽△AHG和△ADH∽△ABE，利用相似三角形的性质可得结论．{答案}解∶（1）连接AG，∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，∴∠GAE＝∠CAB＝30°，AE＝AH，AB＝AD，∴A，G，C共线，AB－AE＝AD－AH，∴HD＝EB，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，∴GC⊥MN，∠NGO＝∠AGE＝30°，∴OGGN＝cos30°＝√32，∵GC＝2OG，∴GNGC√3，∵HGND为平行四边形，∴HD＝GN，∴HD∶GC∶EB＝1∶√3∶1．（2）如图2，连接AG ，AC ，∵△ADC 和△AHG 都是等腰三角形，∴AD ∶AC ＝AH ∶AG ＝1∶√3，∠DAC ＝∠HAG ＝30°， ∴∠DAH ＝∠CAG ， ∴△DAH ∽△CAG ，∴HD ∶GC ＝AD ∶AC ＝1∶√3， ∵∠DAB ＝∠HAE ＝60°， ∴∠DAH ＝∠BAE ， 在△DAH 和△BAE 中， {AD ＝AB∠DAH ＝∠BAE AH ＝AE∴△DAH ≌△BAE （SAS ） ∴HD ＝EB ，∴HD ∶GC ∶EB ＝1∶√3∶1．（3）有变化．如图3，连接AG ，AC ，∵AD ∶AB ＝AH ∶AE ＝1∶2，∠ADC ＝∠AHG ＝90°， ∴△ADC ∽△AHG ，∴AD ∶AC ＝AH ∶AG ＝1∶√5， ∵∠DAC ＝∠HAG ， ∴∠DAH ＝∠CAG ， ∴△DAH ∽△CAG ，∴HD ∶GC ＝AD ∶AC ＝1∶√5， ∵∠DAB ＝∠HAE ＝90°， ∴∠DAH ＝∠BAE ，∵DA ∶AB ＝HA ∶AE ＝1∶2， ∴△ADH ∽△ABE ，∴DH ∶BE ＝AD ∶AB ＝1∶2， ∴HD ∶GC ∶EB ＝1∶√5∶2{分值}12{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {考点:相似三角形的判定（两边夹角）} {考点:几何综合}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{难度:5-高难度}{题目}25．（14分）如图，抛物线y＝mx2−52mx－4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2－x1＝11 2．（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a＋2，x2≥92时，均有y1≤y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，－5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．{解析}（1）函数的对称轴为：x＝−b2a＝54＝x1＋x22，而且x2－x1＝112，将上述两式联立并解得：x1＝−32，x2＝4，即可求解；（2）分a≤a＋2≤54、54≤a≤a＋2两种情况，分别求解即可；（3）取DC的中点H，过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M，则点M为符合条件的点，即可求解．{答案}解：（1）函数的对称轴为：x＝−b2a＝54＝x1＋x22，而且x2－x1＝112，将上述两式联立并解得：x1＝−32，x2＝4，则函数的表达式为：y＝a（x＋32）（x－4）＝a（x2－4x＋32x－6），即：－6a＝－4，解得：a＝2 3，故抛物线的表达式为：y＝23x2−53x－4；（2）当x2＝94时，y2＝2，①当a ≤a ＋2≤54时（即：a ≤−34）， y 1≤y 2，则23a 2−53a －4≤2，解得：－2≤a ≤−92，而a ≤−34， 故：－2≤a ≤−34；②当54≤a ≤a ＋2（即a ≥54）时，则23（a ＋2）2−53（a ＋2）－4≤2，同理可得：−34≤a ≤54， 故a 的取值范围为：－2≤a ≤54；（3）∵当∠BDC ＝∠MCE ，△MDC 为等腰三角形，故取DC 的中点H ，过点H 作线段CD 的中垂线交直线BD 与点M ，则点M 为符合条件的点，点H （12，−92），将点C 、D 坐标代入一次函数表达式：y ＝mx ＋n 并解得： 直线CD 的表达式为：y ＝－x －4， 同理可得：直线BD 的表达式为：y ＝53x −203⋯①， 直线DC ⊥MH ，则直线MH 表达式中的k 值为1， 同理可得直线HM 的表达式为：y ＝x －5…②， 联立①②并解得：x ＝52， 故点M （52，−52）．{分值}14{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质} {考点:代数综合}{考点:二次函数中讨论等腰三角形} {类别:高度原创} {难度:5-高难度}。

2019年河南省中考数学试题、答案(解析版)(可编辑修改word版)

2 2019 年河南省中考数学试题、答案（解析版）本试卷满分 120 分,考试时间 100 分钟.第Ⅰ卷(选择题 共 30 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. - 1的绝对值是( )2A. - 12B. 1 2C. 2D. -22. 成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.000 004 6 克.数据“0.000 004 6”用科学记数法表示为()A . 46 ⨯10-7B . 4.6 ⨯10-7C . 4.6 ⨯10-6D . 0.46 ⨯10-53.如图, AB ∥CD , ∠B = 75 , ∠E = 27 ,则∠D 的度数为()A . 45B . 48C . 50D . 584. 下列计算正确的是()A . 2a + 3a = 6aB . (-3a )2 = 6a 2C . (x - y )2 = x 2 - y 2D . 3 - = 25. 如图 1 是由大小相同的小正方体搭成的几何体,将上层的小正方体平移后得到图 2.关于平移前后几何体的三视图,下列说法正确的是( )A. 主视图相同B .左视图相同C .俯视图相同D .三种视图都不相同图 1 图 26. 一元二次方程(x + 1)(x -1) = 2x + 3 的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .只有一个实数根D .没有实数根7. 某超市销售 A ,B ,C ,D 四种矿泉水,它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元.某天的销售情况如图所示,则这天销售的矿泉水的平均单价是( )A .1.95 元2 24⎨B .2.15 元C.2.25 元D.2.75 元8.已知抛物线y =-x2+bx + 4 经过(-2, n) 和(4, n) 两点,则n 的值为( )A.-2B.-4C.2D.49.如图,在四边形ABCD 中, AD∥BC ,∠D = 90 ,AD = 4 ,BC = 3 .分别以点A,C 为圆心,大于1AC 长为半径作弧,两弧交2于点E,作射线BE 交AD 于点F,交AC 于点O.若点O 是AC 的中点,则CD 的长为( )A.2B.4C.3D.10.如图,在△OAB 中,顶点O(0, 0) ,A(-3, 4) ,B(3, 4) .将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转,每次旋转90 ,则第70 次旋转结束时,点D 的坐标为( )A. (10,3)B. (-3,10)C. (10, -3)D. (3, -10)第Ⅱ卷(非选择题共90 分)二、填空题(本大题共5 小题,每小题3 分,共15 分.把答案填写在题中的横线上)11.计算：- 2-1=.⎧x≤-1,12.不等式组⎪2⎪⎩-x+7＞4的解集是.13.现有两个不透明的袋子,一个装有2 个红球、1 个白球,另一个装有1 个黄球、2 个红球,这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1 个球,摸出的两个球颜色相同的概率是.14.如图,在扇形AOB 中, ∠AOB =120 ,半径OC 交弦AB 于点D,且OC ⊥OA .若OA = 2 ,则阴影部分的面积为.21033 15. 如图,在矩形 ABCD 中, AB = 1 , BC = a ,点 E 在边 BC 上,且 BE =3.连接 AE ,将△ABE 沿 AE 折叠,若点 B 的对应点 B '5落在矩形 ABCD 的边上,则 a 的值为.三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分 8 分)先化简,再求值： ( x + 1 x - 2 -1) ÷x 2 - 2x x 2 - 4x + 4,其中 x = .17.(本小题满分 9 分)如图,在△ABC 中, BA = BC , ∠ABC = 90 .以 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D ,点 E 是 B D 上不与点 B ,D 重合的任意一点,连接 AE 交 BD 于点 F ,连接 BE 并延长交 AC 于点 G .(1) 求证： △ADF ≅ △BDG ；(2) 填空：①若 AB = 4 ,且点 E 是 B D 的中点,则 DF 的长为 ；②取 AE 的中点 H ,当∠EAB 的度数为时,四边形 OBEH 为菱形.18.(本小题满分 9 分)某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行测试,并对成绩 (百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下：a. 七年级成绩频数分布直方图：3b. 七年级成绩在70≤x ＜80 这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79c. 七、八年级成绩的平均数、中位数如下：年级平均数 中位数 七 76.9 m 八79.279.5根据以上信息,回答下列问题：(1) 在这次测试中,七年级在 80 分以上(含 80 分)的有人；(2) 表中 m 的值为；(3) 在这次测试中,七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分,请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前,并说明理由；(4) 该校七年级学生有 400 人,假设全部参加此次测试,请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数.19.(本小题满分 9 分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像 DE 在高 55 m 的小山 EC 上,在A 处测得塑像底部 E 的仰角为34 ,再沿 AC 方向前进 21 m 到达 B 处,测得塑像顶部 D 的仰角为60 ,求炎帝塑像 DE 的高 度.(精确到 1 m .参考数据： sin34 ≈ 0.56 , cos34 = 0.83 , tan34 ≈ 0.67 , ≈ 1.73 )20.(本小题满分 9 分)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买 3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4个B 奖品共需210 元. (1)求A,B 两种奖品的单价；(2)学校准备购买A,B 两种奖品共30 个,且A 奖品的数量不少于B1奖品数量的 .请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.321.(本小题满分10 分)模具厂计划生产面积为4,周长为m 的矩形模具.对于m 的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下：(1)建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x ,y .由矩形的面积为4,得xy = 4 ,即y =4；由周长为m ,得2(x +y) =m ,即y =-x +m.满x 2 足要求的(x, y) 应是两个函数图象在第象限内交点的坐标；(2)画出函数图象函数y =4(x＞0) 的图象如图所示,而函数y =-x +m的图象可由直线y =-x 平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出x 2直线y =-x ；(3)平移直线y =-x ,观察函数图象①当直线平移到与函数y =4(x＞0) 的图象有唯一交点(2, 2) 时,周长m 的值为；x②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m 的取值范围.(4)得出结论若能生产出面积为4 的矩形模具,则周长m 的取值范围为.22.(本小题满分10 分)在△ABC 中,CA =CB ,∠ACB =.点P 是平面内不与点A,C 重合的任意一点,连接AP,将线段AP 绕点P 逆时针旋转得到线段DP,连接AD,BD,CP.(1) 观察猜想如图 1,当= 60 时, BD的值是,直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是；CP(2) 类比探究如图 2,当= 90 时,请写出 BD的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数,并就图 2 的情形说明理由；CP(3) 解决问题当= 90 时,若点 E ,F 分别是 CA ,CB 的中点,点 P 在直线 EF 上,请直接写出点 C ,P ,D 在同一直线上时 AD的值.CP图 1图 2备用图23.(本小题满分 11 分)如图,抛物线 y = ax 2 + 1 x + c 交 x 轴于 A ,B 两点,交 y 轴于点 C .直线 y = - 1x - 2 经过点 A ,C .2 2(1) 求抛物线的解析式；(2) 点 P 是抛物线上一动点,过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 AC 于点 M ,设点 P 的横坐标为 m .①当△PCM 是直角三角形时,求点 P 的坐标；②作点 B 关于点 C 的对称点 B ' ,则平面内存在直线 l ,使点 M ,B , B '到该直线的距离都相等.当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上, 且与点 B 不重合时,请直接写出直线 l ： y = kx + b 的解析式.(k ,b 可用含 m 的式子表示)备用图2 河南省 2019 年普通高中招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1. 【答案】B【解析】解： | - 1 |= 1,故选：B .2 2【提示】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可.【考点】绝对值的概念.2. 【答案】C【解析】解： 0.000 004 6 = 4.6 ⨯10-6 .【提示】本题用科学记数法的知识即可解答.【考点】科学记数法.3. 【答案】B【解析】解：∵ AB ∥CD ,∴ ∠B = ∠1 ,∵ ∠1 = ∠D + ∠E ,∴ ∠D = ∠B - ∠E = 75 - 27 = 48 ,故选：B .【提示】根据平行线的性质解答即可.【考点】平行线的性质,三角形外角的性质.4. 【答案】D【解析】解： 2a + 3a = 5a ,A 错误； (-3a )2 = 9a 2 ,B 错误； (x - y )2 = x 2 - 2xy + y 2 ,C 错误； 3 - = 2 ,D 正确；故选：D .【提示】根据合并同类项法则,完全平方公式,幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可.【考点】整式的运算.5. 【答案】 C2 2【解析】解：观察几何体,确定三视图,此几何体将上层的小正方体平移后俯视图相同,故选C. 【提示】根据三视图解答即可.【考点】几何体的三视图.6.【答案】A【解析】解：原方程可化为：x2 - 2x - 4 = 0 ,∴a = 1 , b =-2 , c =-4 ,∴∆= (-2)2- 4 ⨯1⨯ (-4) = 20＞0 ,∴方程由两个不相等的实数根.故选：A.【提示】先化成一般式后,再求根的判别式.【考点】一元二次方程根的情况.7.【答案】C【解析】解：这天销售的矿泉水的平均单价是5 ⨯10% + 3⨯15% + 2 ⨯ 55% + 1⨯ 20% = 2.25 (元), 故选：C.【提示】根据加权平均数的定义列式计算可得.【考点】加权平均数的计算.8.【答案】B【解析】解：抛物线y =-x2+bx + 4 经过(-2, n) 和(4, n) 两点,可知函数的对称轴x = 1 ,∴b= 1, 2∴b = 2 ；∴ y =-x2+ 2x + 4 ,将点(-2, n) 代入函数解析式,可得n = 4 ；故选：B.【提示】根据(-2, n) 和(4, n) 可以确定函数的对称轴x = 1 ,再由对称轴的x =b即可求解.2【考点】二次函数点的坐标特征,二元一次方程组的解法.2 ⎩9. 【答案】A【解析】解：如图,连接 FC ,则 AF = FC .∵ AD ∥BC ,∴ ∠FAO = ∠BCO .在△FOA 与△BOC 中,⎧∠FAO = ∠BCO ⎪⎨OA = OC, ⎪∠AOF = ∠COB∴△FOA ≅ △BOC (ASA) ,∴ AF = BC = 3 ,∴ FC = AF = 3 , FD = AD - AF = 4 - 3 = 1 .在△FDC 中,∵ ∠D = 90 ,∴ CD 2 + DF 2 = FC 2 ,∴ CD 2 + 12 = 32 ,∴ CD = 2 .故选：A .【 提示】 连接 FC ,根据基本作图,可得 OE 垂直平分 AC ,由垂直平分线的性质得出 AF = FC .再根据 ASA 证明△FOA ≅ △BOC ,那么 AF = BC = 3 ,等量代换得到 FC = AF = 3 ,利用线段的和差关系求出 FD = AD - AF = 1.然后在直角△FDC 中利用勾股定理求出 CD 的长.【考点】尺规作图,平行线的性质,勾股定理,角平分线的性质,全等三角形的判定与性质.10. 【答案】D【解析】解：∵ A (-3, 4) , B (3, 4) ,∴ AB = 3 + 3 = 6 ,∵四边形 ABCD 为正方形,∴ AD = AB = 6 ,∴D(-3,10) ,∵70 = 4 ⨯17 + 2 ,∴每 4 次一个循环,第70 次旋转结束时,相当于△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2 次,每次旋转90 , ∴点D 的坐标为(3, -10) .故选：D.【提示】先求出AB = 6 ,再利用正方形的性质确定D(-3,10) ,由于70 = 4 ⨯17 + 2 ,所以第70 次旋转结束时,相当于△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2 次,每次旋转90 ,此时旋转前后的点D 关于原点对称,于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D 的坐标.【考点】图形的旋转,点的坐标的确定.第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】3 2【解析】解：- 2 -1= 2 -12=3 . 2故答案为：3. 2【提示】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 【考点】实数的相关运算.12.【答案】x≤- 2【解析】解：解不等式x…2-1,得：x≤- 2 ,解不等式-x + 7＞4 ,得：x＜3 ,则不等式组的解集为x≤- 2 ,故答案为：x≤- 2 .【提示】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.【考点】解不等式组.13.【答案】4 94333【解析】解：列表如下：黄红红红(黄,红) (红,红) (红,红)红(黄,红) (红,红) (红,红)白(黄,白) (红,白) (红,白)由表知,共有9 种等可能结果,其中摸出的两个球颜色相同的有4 种结果,所以摸出的两个球颜色相同的概率为4, 9故答案为：4. 9【提示】列表得出所有等可能结果,从中找到两个球颜色相同的结果数,利用概率公式计算可得. 【考点】概率的计算.14.【答案】+π【解析】解：作OE ⊥AB 于点F,∵在扇形AOB 中, ∠AOB =120 ,半径OC 交弦AB 于点D,且OC ⊥OA .OA=2 ,∴∠AOD = 90 , ∠BOC = 90 , OA =OB ,∴∠OAB =∠OBA = 30 , ∴OD =OA tan30 = 2 3 ⨯3= 2 , AD = 4 , AB = 2 A F = 2 ⨯ 2 3 ⨯33= 6 , OF =,2∴B D = 2 ,2 3 ⨯ 2 30 ⨯π(23)2 2 ⨯ 3∴阴影部分的面积是：S△AOD +S扇形OBC-S△BDO=2+360-=+π,2故答案为：+π.【提示】根据题意,作出合适的辅助线,然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD 的面积与扇形OBC 的面积之和再减去△BDO 的面积,本题得以解决.【考点】不规则图形面积的计算.15.【答案】5或5 3 3 31-a 2 ⎩【解析】解：分两种情况：①当点 B ' 落在 AD 边上时,如图 1.图 1∵四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BAD = ∠B = 90 ,∵将△ABE 沿 AE 折叠,点 B 的对应点 B ' 落在 AD 边上,∴ ∠BAE = ∠B 'AE = 1 ∠BAD = 45 ,2∴ AB = BE ,∴ 3a = 1 , 5∴ a = 5 ；3②当点 B ' 落在 CD 边上时,如图 2.图 2∵四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BAD = ∠B = ∠C = ∠D = 90 , AD = BC = a .∵将△ABE 沿 AE 折叠,点 B 的对应点 B ' 落在 CD 边上,∴ ∠B = ∠AB 'E = 90 , AB = AB ' = 1, EB = EB ' = 3 a ,5∴ DB ' == ,EC = BC - BE = a - 3a = 5 . 5在△ADB ' 与△B 'CE 中,⎧∠B 'AD = ∠EB 'C = 90 - ∠AB 'D⎨∠D = ∠C = 90,∴△ADB ' △B 'CE ,B 'A 2 - AD 21 -a233333DB'=AB'=1∴CE B'E,即,2a3a5 5解得a =5, a = 0 (舍去).1 3 2综上,所求a 的值为5或5.3 3故答案为5或5.3 3【提示】分两种情况：①点B'落在AD 边上,根据矩形与折叠的性质易得AB =BE ,即可求出a 的值；②点B'落在CD 边上, 证明△ADB' △B'CE ,根据相似三角形对应边成比例即可求出a 的值.【考点】图形的折叠,勾股定理.三、解答题16.【答案】解：原式= (x +1-x - 2) ÷x(x - 2)x - 2 x - 2 (x -2)2=3x - 2x - 2 x=3,x当x =时,原式=.【解析】解：原式= (x +1-x - 2) ÷x(x - 2)x - 2 x - 2 (x -2)2=3x - 2当x =时,原式x - 2 x=3,x=.【提示】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将x 的值代入计算可得.【考点】分式的化简求值.17.【答案】解：(1)证明：如图1,∵ BA =BC , ∠ABC = 90 ,图1333∴ ∠BAC = 45∵AB 是 O 的直径,∴ ∠ADB = ∠AEB = 90 ,∴ ∠DAF + ∠BGD = ∠DBG + ∠BGD = 90∴ ∠DAF = ∠DBG∵ ∠ABD + ∠BAC = 90∴ ∠ABD = ∠BAC = 45∴ AD = BD∴△ADF ≅ △BDG (ASA) ；(2)① 4 - 2② 30【解析】解：(1)证明：如图 1,∵ BA = BC , ∠ABC = 90 ,图 1∴ ∠BAC = 45∵AB 是 O 的直径,∴ ∠ADB = ∠AEB = 90 ,∴ ∠DAF + ∠BGD = ∠DBG + ∠BGD = 90∴ ∠DAF = ∠DBG∵ ∠ABD + ∠BAC = 90∴ ∠ABD = ∠BAC = 45∴ AD = BD∴△ADF ≅ △BDG (ASA) ；(2)①如图 2,过 F 作 FH ⊥ AB 于 H ,∵点 E 是 BD 的中点, 222 22+12图 2∴∠BAE =∠DAE∵ FD ⊥AD , F H ⊥AB ∴ FH =FD∵FH= sin∠ABD = sin45 =2, BF 2∴FD=BF2,即BF =22FD∵AB = 4 ,∴BD = 4cos45 = 2∴FD == 4 -2,即BF +FD = 2, ( +1)FD = 2故答案为4 - 2 .②连接OE,EH,∵点H 是 AE 的中点,∴OH ⊥AE ,∵∠AEB = 90∴BE ⊥AE∴BE∥OH∵四边形OBEH 为菱形,∴BE =OH =OB =1 AB 2∴ sin∠EAB =BE=1AB 22222∴∠EAB = 30 .故答案为：30 .【提示】(1)利用直径所对的圆周角是直角,可得∠ADB =∠AEB = 90 ,再应用同角的余角相等可得∠DAF =∠DBG ,易得AD =BD , △ADF≌△BDG 得证；(2)作FH ⊥AB ,应用等弧所对的圆周角相等得∠BAE =∠DAE ,再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得BE =OB ,结合三角函数特殊值可得∠EAB = 30 .【考点】圆的相关性质,全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,圆周角定理.18.【答案】(1)23(2)77.5(3)甲学生在该年级的排名更靠前.∵七年级学生甲的成绩大于中位数78 分,其名次在该班25 名之前,八年级学生乙的成绩小于中位数78 分,其名次在该班25 名之后,∴甲学生在该年级的排名更靠前.(4)估计七年级成绩超过平均数76.9 分的人数为400 ⨯5 + 15 + 8= 224 (人).50【解析】解：(1)在这次测试中,七年级在80 分以上(含80 分)的有15 + 8 = 23 人,故答案为：23；(2)七年级50 人成绩的中位数是第25、26 个数据的平均数,而第25、26 个数据分别为78、79,∴m =77 + 78= 77.5 , 2故答案为：77.5；(3)甲学生在该年级的排名更靠前.∵七年级学生甲的成绩大于中位数78 分,其名次在该班25 名之前, 八年级学生乙的成绩小于中位数78 分,其名次在该班25 名之后, ∴甲学生在该年级的排名更靠前.(4)估计七年级成绩超过平均数76.9 分的人数为400 ⨯5 + 15 + 8= 224 (人).50【提示】(1)根据条形图及成绩在70≤x＜80 这一组的数据可得；(2)根据中位数的定义求解可得；(3)将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；(4)用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9 分的人数所占比例可得. 【考点】统计知识的实际应用.3 3 ⎨⎩19.【答案】解：∵ ∠ACE = 90 , ∠CAE = 34 , CE = 55 m ,∴ tan ∠CAE = CE,AC∴ AC =CEtan34 = 55 0.67≈ 82.1 m ,∵ AB = 21 m ,∴ BC = AC - AB = 61.1 m ,在Rt △BCD 中, tan60 =CD = ,BC∴ CD = 3BC ≈ 1.73⨯ 61.1 ≈ 105.7 m ,∴ DE = CD - EC = 105.7 - 55 ≈ 51 m ,答：炎帝塑像 DE 的高度约为 51 m .【解析】解：∵ ∠ACE = 90 , ∠CAE = 34 , CE = 55 m ,∴ tan ∠CAE = CE ,AC∴ AC =CEtan34 = 55 0.67≈ 82.1 m ,∵ AB = 21 m ,∴ BC = AC - AB = 61.1 m ,在Rt △BCD 中, tan60 =CD = ,BC∴ CD = 3BC ≈ 1.73⨯ 61.1 ≈ 105.7 m ,∴ DE = CD - EC = 105.7 - 55 ≈ 51 m ,答：炎帝塑像 DE 的高度约为 51 m .【 提 示 】 由 三 角 函 数 求 出 AC =CEtan34≈ 82.1 m ,得 出 BC = AC - AB = 61.1 m ,在 Rt △BCD 中 ,由 三 角 函 数 得 出CD = 3BC ≈ 105.7 m ,即可得出答案.【考点】解直角三角形的实际应用.20. 【答案】解：(1)设 A 的单价为 x 元,B 的单价为 y 元,⎧3x + 2 y = 120根据题意,得 , ⎩5x + 4 y = 210⎧x = 30 ∴ ⎨y = 15 ,∴A 的单价 30 元,B 的单价 15 元；(2)设购买 A 奖品 z 个,则购买 B 奖品为（30 - z ）个,购买奖品的花费为 W 元,⎨⎩由题意可知, z ≥1(30 - z ) ,3∴ z ≥15 ,2W = 30z + 15(30 - z ) = 450 + 15z ,当 z = 8 时,W 有最小值为 570 元,即购买 A 奖品 8 个,购买 B 奖品 22 个,花费最少.【解析】解：(1)设 A 的单价为 x 元,B 的单价为 y 元,⎧3x + 2 y = 120根据题意,得 , ⎩5x + 4 y = 210⎧x = 30 ∴ ⎨y = 15 ,∴A 的单价 30 元,B 的单价 15 元；(2)设购买 A 奖品 z 个,则购买 B 奖品为（30 - z ）个,购买奖品的花费为 W 元,由题意可知, z ≥1(30 - z ) ,3∴ z ≥15 ,2W = 30z + 15(30 - z ) = 450 + 15z ,当 z = 8 时,W 有最小值为 570 元,即购买 A 奖品 8 个,购买 B 奖品 22 个,花费最少.⎧3x + 2 y = 120【提示】(1)设 A 的单价为 x 元,B 的单价为 y 元,根据题意列出方程组⎨ ⎩5x + 4 y = 210,即可求解；(2)设购买 A 奖品 z 个,则购买 B 奖品为 (30 - z ) 个,购买奖品的花费为 W 元,根据题意得到由题意可知, z ≥1(30 - z ) ,3W = 30z + 15(30 - z ) = 450 + 15z ,根据一次函数的性质,即可求解.【考点】二元一次方程组,不等式及一次函数解决实际问题.21. 【答案】(1)一(2)图象如下所示：(3)①8②在直线平移过程中,交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况,联立y =4和y =-x +m并整理得：x2-1mx + 4 = 0 , x 2 2∆=1m2- 4 ⨯ 4≥0 时,两个函数有交点, 4解得：m≥8 ；(4) m≥8【解析】解：(1) x, y 都是边长,因此,都是正数, 故点(x, y) 在第一象限,答案为：一；(2)图象如下所示：(3)①把点(2, 2) 代入y =-x +m得：22 =-2 +m,解得：m = 8 ；2②在直线平移过程中,交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况,联立y =4和y =-x +m并整理得：x2-1mx + 4 = 0 , x 2 22 2 ∆ = 1 m 2 - 4 ⨯ 4≥0 时,两个函数有交点, 4解得： m ≥8 ；(4)由(3)得： m ≥8 .【提示】(1) x , y 都是边长,因此,都是正数,即可求解；(2) 直接画出图象即可；(3) ①把点(2, 2) 代入 y = -x + m即可求解；②在直线平移过程中,交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况,联立 y = 4 和 2x y = - x + m 并整理得： x 2 - 1 mx + 4 = 0 ,即可求解；2 2(4)由(3)可得.【考点】反比例函数与一次函数图象的应用.22. 【答案】160(2) 如图 2 中,设 BD 交 AC 于点 O ,BD 交 PC 于点 E .图 2∵ ∠PAD = ∠CAB = 45 ,∴ ∠PAC = ∠DAB ,∵ AB= AD= ,AC AP ∴△DAB △PAC ,∴ ∠PCA = ∠DBA , BD = AB =,PCAC ∵ ∠EOC = ∠AOB ,∴ ∠CEO = ∠OABB = 45 ,∴直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数为 45 .(3) 如图 3-1 中,当点 D 在线段 PC 上时,延长 AD 交 BC 的延长线于 H.a a + 2 a 2图 3-1∵ CE = EA , CF = FB ,∴ EF ∥AB ,∴ ∠EFC = ∠ABC = 45 ,∵ ∠PAO = 45 ,∴ ∠PAO = ∠OFH ,∵ ∠POA = ∠FOH ,∴ ∠H = ∠APO ,∵ ∠APC = 90 , EA = EC ,∴ PE = EA = EC ,∴ ∠EPA = ∠EAP = ∠BAH ,∴ ∠H = ∠BAH ,∴ BH = BA ,∵ ∠ADP = ∠BDC = 45 ,∴ ∠ADB = 90 ,∴ BD ⊥ AH ,∴ ∠DBA = ∠DBC = 22.5 ,∵ ∠ADB = ∠ACB = 90 ,∴A ,D ,C ,B 四点共圆,∠DAC = ∠DBC = 22.5 , ∠DCA = ∠ABD = 22.5 ,∴ ∠DAC = ∠DCA = 22.5 ,∴ DA = DC ,设 AD = a ,则 DC = AD = a , PD =2 a , 2∴AD == 2 - .CP 2aa-2a2如图3-2 中,当点P 在线段CD 上时,同法可证：DA =DC ,设AD =a ,则CD =AD =a ,PD =2a , 2∴PC =a -图3-2 2a ,2∴AD== 2 +. PC2【解析】解：(1)如图 1 中,延长CP 交BD 的延长线于E,设AB 交EC 于点O.图 1∵∠PAD =∠CAB = 60 ,∴∠CAP =∠BAD ,∵CA =BA , PA =DA ,∴△CAP ≅△BAD(SAS) ,∴PC =BD , ∠ACP =∠ABD ,∵∠AOC =∠BOE ,∴∠BEO =∠CAO = 60 ,∴ BD= 1 ,线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60 ,PC故答案为1, 60 .(2)如图2 中,设BD 交AC 于点O,BD 交PC 于点E.2 2图 2∵ ∠PAD = ∠CAB = 45 ,∴ ∠PAC = ∠DAB ,∵ AB = AD = , AC AP∴△DAB △PAC ,∴ ∠PCA = ∠DBA , BD = AB = ,PC AC∵ ∠EOC = ∠AOB ,∴ ∠CEO = ∠OABB = 45 ,∴直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数为 45 .(3) 如图 3-1 中,当点 D 在线段 PC 上时,延长 AD 交 BC 的延长线于 H .图 3-1∵ CE = EA , CF = FB ,∴ EF ∥AB ,∴ ∠EFC = ∠ABC = 45 ,∵ ∠PAO = 45 ,∴ ∠PAO = ∠OFH ,∵ ∠POA = ∠FOH ,∴ ∠H = ∠APO ,∵ ∠APC = 90 , EA = EC ,∴ PE = EA = EC ,a a + 2 a 2 a a - 2 a 2 ∴ ∠EPA = ∠EAP = ∠BAH ,∴ ∠H = ∠BAH ,∴ BH = BA ,∵ ∠ADP = ∠BDC = 45 ,∴ ∠ADB = 90 ,∴ BD ⊥ AH ,∴ ∠DBA = ∠DBC = 22.5 ,∵ ∠ADB = ∠ACB = 90 ,∴A ,D ,C ,B 四点共圆,∠DAC = ∠DBC = 22.5 , ∠DCA = ∠ABD = 22.5 ,∴ ∠DAC = ∠DCA = 22.5 ,∴ DA = DC ,设 AD = a ,则 DC = AD = a , PD =2 a ,2 ∴ AD == 2 - .CP 2如图 3-2 中,当点 P 在线段 CD 上时,同法可证： DA = DC ,设 AD = a ,则CD = AD = a , PD =2 a ,2∴ PC = a -图 3-2 2 a ,2 ∴ AD == 2 + .PC2 【提示】(1)如图 1 中,延长 CP 交 BD 的延长线于 E ,设 AB 交 EC 于点 O .证明△CAP ≌△BAD (SAS) ,即可解决问题.(2) 如图 2 中,设 BD 交 AC 于点 O ,BD 交 PC 于点 E .证明△DAB ∽△PAC ,即可解决问题.(3) 分两种情形：①如图 3-1 中,当点 D在线段 PC 上时,延长 AD 交 BC 的延长线于 H .证明 AD=DC 即可解决问题.②如图 3-2 中,当点 P 在线段 CD 上时,同法可证： DA = DC 解决问题.⎨ 【考点】图形变换,规律探究.23.【答案】解：(1)当 x = 0 时, y = - 1 x - 2= -2 ,2∴点 C 的坐标为(0, -2) ； 当 y = 0 时, - 1 x - 2 = 0 ,2解得： x = -4 ,∴点 A 的坐标为(-4, 0) .将 A (-4, 0) , C (0, -2) 代入 y = ax 2 + 1 x + c ,得： 2 ⎧16a - 2 + c = 0 ⎧a = 1 ⎨c = -2 ,解得： ⎪ 4 ,⎪⎩c = -2∴抛物线的解析式为 y = 1 x 2 + 1 x - 2 .4 2(2) ①∵ PM ⊥ x 轴,∴ ∠PMC ≠ 90 ,∴分两种情况考虑,如图 1 所示.图 1(i) 当∠MPC = 90时, PC ∥x 轴,∴点 P 的纵坐标为-2 .当 y = -2 时, 1 x 2 + 1 x - 2 = -2 ,4 2解得： x 1 = -2 , x 2 = 0 ,∴点 P 的坐标为(-2, -2) ；(ii) 当∠PCM = 90时,设 PC 与 x 轴交于点 D .∵ ∠OAC + ∠OCA = 90 , ∠OCA + ∠OCD = 90 ,∴ ∠OAC = ∠OCD .⎩⎨ 1 2 1 又∵ ∠AOC = ∠COD = 90 ,∴△AOC △COD ,∴ OD = OC ,即 OD = 2 , OC OA 2 4∴ OD = 1 ,∴点 D 的坐标为(1, 0) .设直线 PC 的解析式为 y = kx + b (k ≠ 0) ,将C (0, -2) , D (1, 0) 代入 y = kx + b ,得：⎧b = -2 ⎧k = 2 ⎨k + b = 0 ,解得： ⎨ = -2 ,⎩ ⎩b∴直线 PC 的解析式为 y = 2x - 2 .⎧ y = 2x - 2 联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组,得： ⎪ , y = x + x - 2解得： ⎧x 1 = 0 , ⎧x 2 = 6 , ⎩⎪ 4 2 ⎨ y = -2 ⎨ y = 10 ⎩ 1 ⎩ 2点 P 的坐标为(6,10) .综上所述：当△PCM 是直角三角形时,点 P 的坐标为(-2, -2) 或(6,10) .②当 y = 0 时, 1 x 2 + 1 x - 2 = 0 ,4 2解得： x 1 = -4 , x 2 = 2 ,∴点 B 的坐标为(2, 0) .∵点 P 的横坐标为 m (m ＞0且m ≠ 0) ,∴点 P 的坐标为(m , 1 m 2 + 1 m - 2) ,4 2∴直线 PB 的解析式为 y = 1 (m + 4)x - 1 (m + 4) (可利用待定系数求出).4 2∵点 B , B ' 关于点 C 对称,点 B , B ' ,P 到直线 l 的距离都相等,∴直线 l 过点 C ,且直线l ∥直线PB ,∴直线 l 的解析式为 y = 1 (m + 4)x - 2 .4⎨【解析】解：(1)当 x = 0 时, y= - 1 x -2 = -2 ,2∴点 C 的坐标为(0, -2) ；当 y = 0 时, - 1 x - 2 = 0 ,2解得： x = -4 ,∴点 A 的坐标为(-4, 0) .将 A (-4, 0) , C (0, -2) 代入 y = ax 2 + 1 x + c ,得： 2 ⎧16a - 2 + c = 0 ⎧a = 1 ⎨c = -2 ,解得： ⎪ 4 ,⎪⎩c = -2∴抛物线的解析式为 y = 1 x 2 + 1 x - 2 .4 2(2) ①∵ PM ⊥ x 轴,∴ ∠PMC ≠ 90 ,∴分两种情况考虑,如图 1 所示.图 1(i) 当∠MPC = 90时, PC ∥x 轴,∴点 P 的纵坐标为-2 .当 y = -2 时, 1 x 2 + 1 x - 2 = -2 ,4 2解得： x 1 = -2 , x 2 = 0 ,⎩⎨ 1 2 1 ∴点 P 的坐标为(-2, -2) ；(ii)当∠PCM = 90时,设 PC 与 x 轴交于点 D .∵ ∠OAC + ∠OCA = 90 , ∠OCA + ∠OCD = 90 ,∴ ∠OAC = ∠OCD .又∵ ∠AOC = ∠COD = 90 ,∴△AOC △COD ,∴ OD = OC ,即 OD = 2 , OC OA 2 4∴ OD = 1 ,∴点 D 的坐标为(1, 0) .设直线 PC 的解析式为 y = kx + b (k ≠ 0) ,将C (0, -2) , D (1, 0) 代入 y = kx + b ,得：⎧b = -2 ⎧k = 2 ⎨k + b = 0 ,解得： ⎨ = -2 ,⎩ ⎩b∴直线 PC 的解析式为 y = 2x - 2 .⎧ y = 2x - 2 联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组,得： ⎪ , y = x + x - 2解得： ⎧x 1 = 0 , ⎧x 2 = 6 , ⎩⎪ 4 2 ⎨ y = -2 ⎨ y = 10 ⎩ 1 ⎩ 2点 P 的坐标为(6,10) .综上所述：当△PCM 是直角三角形时,点 P 的坐标为(-2, -2) 或(6,10) .②当 y = 0 时, 1 x 2 + 1 x - 2 = 0 ,4 2解得： x 1 = -4 , x 2 = 2 ,∴点 B 的坐标为(2, 0) .∵点 P 的横坐标为 m (m ＞0且m ≠ 0) ,∴点 P 的坐标为(m , 1 m 2 + 1 m - 2) ,4 2∴直线 PB 的解析式为 y = 1 (m + 4)x - 1 (m + 4) (可利用待定系数求出).4 2∵点 B , B ' 关于点 C 对称,点 B , B ' ,P 到直线 l 的距离都相等,∴直线 l 过点 C ,且直线l ∥直线PB ,∴直线l 的解析式为y =1(m + 4)x - 2 .4【提示】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A,C 的坐标,根据点A,C 的坐标,利用待定系数法可求出二次函数解析式；(2)①由PM ⊥x 轴可得出∠PMC ≠ 90 ,分∠MPC = 90 及∠PCM = 90 两种情况考虑：(i)当∠MPC = 90 时, PC∥x 轴,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P 的坐标；(ii)当∠PCM = 90 时,设PC 与x 轴交于点D,易证△AOC △COD,利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标,根据点C,D 的坐标,利用待定系数法可求出直线PC 的解析式,联立直线PC 和抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可求出点P 的坐标.综上,此问得解；②利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B,P 的坐标,根据点P,B 的坐标,利用待定系数法可求出直线PB 的解析式,结合题意可知：直线l 过点C,且直线l∥直线PB ,再结合点C 的坐标即可求出直线l 的解析式.【考点】二次函数的图象和性质,直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,中位线定理,一次函数的性质,分类讨论思想.。

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