2020年高中数学新教材同步必修第一册 第3章 3.1.2(二) 函数的表示法(二)
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性讲义新人教A版必修第一册
3.2.1 单调性与最大(小)值
最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
第1课时 函数的单调性
知识点一 定义域为I的函数f(x)的单调性
状元随笔 定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1
(3)属于同一个单调区间．
知识点二 单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．
[教材解难]
1．教材P77思考 f(x)＝|x|在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增；
f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．
2．教材P77思考
(1)不能 例如反比例函数f(x)＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．
(2)函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f(x)＝x2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．
[基础自测]
1．下列说法中正确的有( )
①若x1，x2∈I，当x1
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－1x在定义域上是增函数；
④y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由于①中的x1，x2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确．
答案：A
2．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )
A．m>12 B．m<12
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2020年高中数学材必修一
教材目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
集合是一种基本的数学概念，是由一些确定的对象组成的整体。集合中的每个对象称为元素。集合用大写字母表示，元素用小写字母表示，元素属于集合用符号“∈”表示。
1.2 集合间的基本关系
包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素，用符号“⊇”表示。相等关系是指两个集合互相包含，用符号“=”表示。交集是指两个集合中共同的元素组成的集合，用符号“∩”表示。并集是指两个集合中所有元素组成的集合，用符号“∪”表示。
1.3 集合的基本运算
集合的基本运算有并、交、差、补四种。并集是指两个集合中所有元素组成的集合，用符号“∪”表示。交集是指两个集合中共同的元素组成的集合，用符号“∩”表示。差集是指一个集合中除去另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合，用符号“-”表示。补集是指在全集中除去一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合，用符号“C”表示。
1.5 全称量词与存在量词
全称量词是指对于集合中的每一个元素，命题都成立，用符号“∀”表示。存在量词是指集合中存在一个元素使命题成立，用符号“∃”表示。
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
等式性质是指对等式两边同时加、减、乘、除同一个数，等式仍成立。不等式性质是指对不等式两边同时加、减、乘、除同一个正数，不等式方向不变；对不等式两边同时加、减、乘、除同一个负数，不等式方向改变。
2.2 基本不等式
基本不等式是指对于任意实数x和y，有2xy≤x²+y²成立。
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数是指函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0）的图象为开口向上或向下的抛物线。一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0（a≠0）的方程。一元二次不等式是指形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0（a≠0）的不等式。
高中数学第三章函数的概念与性质3-1函数3-1-1对函数概念的再认识学生用书湘教版必修第一册
1 3．1 函数
3．1.1 对函数概念的再认识
最新课程标准 学科核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．
2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．
3．了解构成函数的要素．
4．能求简单函数的定义域． 1.了解函数的有关概念．(数学抽象)
2．会求函数的定义域和简单的值域．(数学运算)
3．会判断函数是否是同一个函数．(数学运算)
教材要点
要点一 函数的概念
概念 一般地，设A，B是两个非空的________，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有________的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数．
三
要
素 对应关系 y＝f(x)，(x∈A，y∈B)
定义域 ________的取值范围
值域 与x∈A对应的函数值组成的集合{f(x)|x∈A}
状元随笔 对函数概念的4点说明：
(1)非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空实数集．
(2)任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值．
(3)单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应．
(4)方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系．
要点二 两个函数相等
两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等．
状元随笔 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素： 2 定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均取数值)之间是否具有函数关系，只要检验：
(1)定义域和对应关系是否给出；
(2)根据给出的对应关系，自变量x在定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对应．
要点三 常见函数的定义域和值域
1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为________，值域是________．
高中数学必修一 《3 1 函数的概念及其表示》优秀教案教学设计
1 【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）
函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.
课程目标
1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。
2.掌握判定函数和函数相等的方法。
3.学会求函数的定义域与函数值。
数学学科素养
1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；
2.逻辑推理：相等函数的判断；
3.数学运算：求函数定义域和求函数值；
4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；
5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。
重点：函数的概念，函数的三要素。
难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、 情景导入
初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 2 二、 预习课本，引入新课
阅读课本60-65页，思考并完成以下问题
1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？
2. 如何用区间表示数集？
3. 相等函数是指什么样的函数？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、 新知探究
1．函数的概念
(1)函数的定义：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x∈A.
(2)函数的定义域与值域：
函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{𝑓(𝑥)|𝑥∈𝐴}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
2020-2021学年高一上数学新教材必修一第3章：函数的概念(含答案)
第 1 页 共 7 页 2020-2021学年高一上数学新教材必修一第3章：函数的概念
一、选择题
1．已知函数f(x)＝3x，则f1a＝( )
A.1a B.3a
C．a D．3a
2．下列表示y关于x的函数的是( )
A．y＝x2 B．y2＝x
C．|y|＝x D．|y|＝|x|
3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
4．函数y＝x＋1x－1的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
5．下列四组函数中表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2
B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
C．f(x)＝x2，g(x)＝|x|
D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x＋1x，则f(2)＋f(－2)的值是________．
7．已知函数f(x)＝11＋x，又知f(t)＝6，则t＝________.
8．函数y＝8x2－4x＋5的值域是________．
三、解答题
3.1.2 函数的表示法(解析版)高一数学同步讲义(新教材人教A版必修第一册)
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原创 3.1.2 函数的表示法
一、知识点归纳
知识点1.函数的表示法
1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．
2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.
知识点2. 分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝ 1，－2≤x≤0，x，0
知识点3.三种表示方法的优缺点比较
优点 缺点
解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示
列表法 不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系
图象直观形象地表示出函数的变化情况，有利只能近似地求出自变量所对应的函数值，
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原创 法 于通过图象研究函数的某些性质 有时误差较大
二、题型分析
题型一 函数表示法
【例1】已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋bx.当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人．
(1)写出函数t的解析式；
(2)用列表法表示此函数；
(3)画出函数t的图象．
【解析】(1)由题设条件知，当x＝2时，t＝100，当x＝14时，t＝28，列出方程组 2a＋b2＝100，14a＋b14＝28.解得 a＝1，b＝196.
所以t＝x＋196x.又因为x≤20，x为正整数，
所以函数的定义域是{x|0＜x≤20，x∈N*}．
高中数学新教材必修第一册《3.1.2函数的表示法》导学案
1
高中数学新教材必修第一册《3.1.2函数的表示法》导学案
学习目标
1. 了解函数的表示方法；
2. 掌握函数解析式的多种求法.
预习导学
1. 函数的三种表示方法： 、 、
2. 函数的三种表示法对比：
函数的表示法 优点 缺点
法
法
法
课堂讲义
一、重难点：函数解析式的多种求法
方法1：待定系数法求函数解析式
.)(14))(()(.1的解析式，求满足如果一次函数例xfxxffxf
变式训练：
1.()(1)()29,()fxfxfxxfx已知是一次函数，且满足3求的解析式
2.()(0)0,(1)()2,()fxffxfxxfx已知是二次函数，且满足求的解析式
方法2：换元法（或配凑法）求函数解析式
2
例2.
方法3：构造方程组法求函数解析式
例3. ()()+2(-)=1,()fxfxfxxfx若满足关系式求的解析式
变式训练：1()3()+2()4,()fxfxfxfxx设满足求的解析式
二、规律总结：
求函数解析式的常用方法：
1. 待定系数法：
2. 换元法：
3. 配凑法：
4. 构造方程组法：
三、课堂小结：
这节课主要学习了哪些内容？
四、作业：
变式训练：已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x)的解析式; 已知f(x－1)=x2-4x+2,求f(x)的解析式;
2020高一数学新教材必修1教案学案-3.1.2-函数的概念及表示(第二课时)(解析版)
函数的概念（第二课时）
运用一 列表法
【例1】设f，g都是从A到A的映射(其中A＝{1,2,3})，其对应关系如下表：
x 1 、
2 3
f 3 1 2
g 3 《
2 1
则f(g(3))等于( )
A．1 B．2
C．3 D．不存在
【答案】C
【解析】由表格可知g(3)＝1，∴f(g(3))＝f(1)＝3。故选C。
【触类旁通】
、
1．（2019·广东高一月考）已知函数𝑓(𝑓)与𝑓(𝑓)的定义如图所示，则方程𝑓(𝑓(𝑓))=𝑓+1的解集是（ ）
𝑓 1 2 3
𝑓(𝑓) 1 3 ！
2
𝑓(𝑓) 2 3 1
A．{1} B．{1,2} C．{1,2,3} D．𝑓
【答案】A
【解析】∵f（1）=2，f（2）=3，f（3）=1，f（g（1））=2，f（g（2））=2，g（2））=3，
∴只有f（g（1））=2满足，因此方程𝑓(𝑓(𝑓))=𝑓+1的解集是{1}．故选：A．
、
2．（2019·遵义航天高级中学高一月考）给出函数𝑓(𝑓)，𝑓(𝑓)如下表，则𝑓(𝑓(𝑓))的值域为（ ）
A．{1,3} B．{1,2,3,4} C．{4,2} D．{1,2,3}
【答案】C
【解析】𝑓(𝑓(1))=𝑓(1)=4,𝑓(𝑓(2))=𝑓(1)=4,𝑓(𝑓(3))=𝑓(3)=2,𝑓(𝑓(4))=𝑓(3)=2,
所以值域为{4,2}，选C.
运用二 解析法
【例2】根据条件求下列各函数的解析式：
`
（1）已知2112fxxxx，求fx的解析式；
（2）若(1)2fxxx，则fx的解析式为
（3）已知fx是一次函数，且满足3121217fxfxx，求fx的解析式；
（4）已知fx满足12+=3fxfxx，求fx的解析式.
2020_2021学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2函数的表示法课时作业新人教A版必修第一册
课时作业(十二) 函数的表示法
[练基础]
1．(多选)下列给出的函数是分段函数的是( )
A．f(x)＝ x2＋1，1
B．f(x)＝ x＋1，x∈R，x2，x≥2.
C．f(x)＝ 2x＋3，1≤x≤5，x2，x≤1.
D．f(x)＝ x2＋3，x<0，x－1，x≥5.
2．已知f(x－1)＝1x＋1，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝11＋x B．f(x)＝1＋xx
C．f(x)＝1x＋2 D．f(x)＝1＋x
3．函数y＝x2|x|的图象的大致形状是(
)
4．已知函数f(x)＝3x－1，若f(g(x))＝2x＋3，则函数g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝23x＋43 B．g(x)＝23x－43
C．g(x)＝43x＋23 D．g(x)＝43x－23 5．已知f(x)＝ x，－1≤x≤1，1－x，x>1或x<－1.若f(x)≥14，则x的取值范围为________．
6．已知函数f(x)＝ x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2
(1)求f(－5)，f(－3)，ff－52的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
[提能力]
7．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
8．用函数M(x)表示函数f(x)和g(x)中的较大者，记为：M(x)＝max{f(x)，g(x)}．若f(x)＝|x|，g(x)＝1x2，则M(x)的大致图象为( )
9．已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；
(2)解不等式：f(x)>0；
(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．
[战疑难]
10．已知函数f(x)对任意正实数a，b都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．
新教材高中数学第三章分段函数第2课时教案新人教A版必修第一册
新教材高中数学新人教B版选择性必修第二册：
3.1.2 分段函数（第二课时）
【教学目标】
1．知识与技能
（1）掌握分段函数的定义
（2）会求分段函数的解析式，会求分段函数的定义域和函数值
（3）会运用分段函数的知识解决实际问题
2．过程与方法
（1）初步掌握解决分段函数问题的基本方法。
（2）通过教师引导，学生讨论，培养学生自学、分析和解决问题的能力。
3．情感、态度与价值观
培养理解和掌握分类讨论的数学思想方法；培养学生养成探究式学习、自主式学习、合作式学习等优秀的学习品质。
【教学重点、难点】
（1）重点：分段函数的概念；运用分段函数的知识解决实际问题
（2）难点：建立实际问题的分段函数关系
【教学方法】
讲、议结合，通过实际例子引出分段函数的定义，创设情境，激发兴趣。通过学生的主动参与，加深学生对分段函数的认识，同时寻找解决分段函数基本问题的基本方法。
【课时安排】 1课时
【教学过程】
一、复习函数的定义及表示方法
1、函数的定义
2、函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法
二、基础知识
分段函数：如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，这样的函数为分段函数.
思考：分段函数对于自变量x的不同取值对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？
（注意:分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是几个函数,只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则,需要用相应的解析式来表示.）
三、基础自测
1.函数1()1xfxx的定义域为（ ）
A.[1,1)(1,) B.(1,)
C.(1,) D.(1,1)(1,)
[解析]:由函数解析式得1010xx，解得1x，且1x.
故函数的定义域为[1,1)(1,)，选A. 2.若2(0)()(0)xxfxxx，则[(2)]ff（ ）