线性代数试题及答案 (1)
1 线性代数习题和答案 一、单项选择题（ 1.设行列式aaaa11122122=m，aaaa13112321=n，则行列式aaaaaa111213212223等于（ ） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n
2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（ ）
A. 13000120001 B. 10001200013
C. 13000100012 D. 12000130001 3.设矩阵A=312101214，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0 B. BC时A=0 C. A0时B=C D. |A|0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ ） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）
A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.12η1+12η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 2
9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A)C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ） A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 B.|A|必为1 C.A-1=AT D.A的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）
A.2334 B.3426
C.100023035 D.111120102 第二部分 非选择题（共72分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。
15.11135692536 .
16.设A=111111，B=112234.则A+2B= . 17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= . 19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 . 20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(数为 . 21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . 3
23.设矩阵A=01061332108，已知α=212是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 . 24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.设A=120340121，B=223410.求（1）ABT；（2）|4A|.
26.试计算行列式3112513420111533. 27.设矩阵A=423110123，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B. 28.给定向量组α1=2103，α2=1324，α3=3021，α4=0149. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。 29.设矩阵A=12102242662102333334. 求：（1）秩（A）； （2）A的列向量组的一个最大线性无关组。
30.设矩阵A=022234243的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D. 31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=xxxxxxxxx12223212132323444， 并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2. 33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； （2）η0，η1，η2线性无关。 答案：
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 4
11.A 12.B 13.D 14.C 二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6
16. 337137 17. 4 18. –10 19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1
24. zzzz12223242 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.解（1）ABT=120340121223410
=861810310. （2）|4A|=43|A|=64|A|，而 |A|=1203401212. 所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 311251342011153351111113100105530
=5111111550 =5116205506255301040. 27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而 （A-2E）-1=2231101211431531641.
所以 B=(A-2E)-1A=143153164423110123 5
=3862962129. 28.解一 2130130102243419053213010112013112
1035011200880014141035011200110000
1002010100110000, 所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，
即 230312243491231223123xxxxxxxxxx. 方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）. 29.解 对矩阵A施行初等行变换
A12102000620328209632
12102032830006200021712102032830003100000
=B.
（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3. （2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。 （A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是） 30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为 ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T.
经正交标准化，得η1=255550//，η2=2515451553///. λ=-8的一个特征向量为
(完整版)线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
C. 3D. 46.设两个向量组 α1，α2，⋯， αs 和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs （ α s + β s ）=0C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs （αs - βs ）=0D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（ ）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ，a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于（2.设矩阵 A=0 ，则 A - 1 等于（ 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于 41，2）的元素是（A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ，则行列式10.设 A 是一个 n （≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A ）α=0，则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A 的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A 的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ）222（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23） +（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a ）线性相关，则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵， A 的秩为 r （<n ） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A ）<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 ）B.|A|必为 1D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则（ ） 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 ， |A|=2 ， A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- β）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f （x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1，3 α2=， α=， α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。
线性代数期末试卷及答案1
2 线性代数（必修） A 卷（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分） 1. .已知行列式12121a a b b =，12123a a c c =，则121122a abc b c --=______.2. 设A 为2阶矩阵，且3=A ,则13--A =______.3. 齐次线性方程组123230x x x ++=的基础解系所含解向量的个数为______.4. 设3阶矩阵A 的特征值为－1，0，2，则|A |=______．5. 设向量α=(3，－4)T ，则α的长度||α||=______． 二、选择题（每小题3分，共15分）1. 设a ,b 为实数，且000101abb a -=--，则必有( )（A ）a =0,b =0 (B) a =1,b =0 (C) a =0,b =1 (D) a =1,b =1 2. 设4阶矩阵A 的元素均为3，则r(A )= ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）.4 3. 设A 为m ×n 矩阵，A 的秩为r ，则（ ）A. r =m 时，Ax =0必有非零解B. r =n 时，Ax =0必有非零解C. r <m 时，Ax =0必有非零解D. r <n 时，Ax =0必有非零解 4. 下列命题中错误．．的是（ ） （A ）只含一个零向量的向量组线性相关；（B ）由3个2维向量组成的向量组线性相关； （C ）由一个非零向量组成的向量组线性相关； （D ）两个成比例的向量组成的向量组线性相关5. 若向量α=（1，1，t ）与β=(1，1，1)正交，则t =（ ） A. 0 B. -1 C. -2 D. 1 三、 计算题（本题60分）1.（10分）计算4阶行列式1234234134124123D =。
课程考试试题学期 学年拟题人:校对人:拟题学院（系）: 适 用 专 业:2.（10分）已知矩阵112012435A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，112210B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （1）求1A -；（2）解矩阵方程XA B =。
线性代数试题及答案
线性代数（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
c)(A *kA )(B *A k n)(C *-A kn 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案 线性代数是数学的重点知识，多进⾏试题练习提⾼⾃⼰的能⼒。
以下是由店铺整理线性代数试题及答案，希望⼤家喜欢! 线性代数试题及答案(⼀) 说明：在本卷中，AT表⽰矩阵A的转置矩阵，A*表⽰矩阵A的伴随矩阵，E表⽰单位矩阵。
表⽰⽅阵A的⾏列式，r(A)表⽰矩阵A的秩。
⼀、单项选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分) 在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错癣多选或未选均⽆分。
1.设3阶⽅阵A的⾏列式为2，则 ( )A.-1B. C. D.1 2.设则⽅程的根的个数为( )A.0B.1C.2D.3 3.设A为n阶⽅阵，将A的第1列与第2列交换得到⽅阵B，若则必有( ) A. B. C. D. 4.设A,B是任意的n阶⽅阵，下列命题中正确的是( ) A. B. C. D. 5.设其中则矩阵A的秩为( )A.0B.1C.2D.3 6.设6阶⽅阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为( )A.0B.2C.3D.4 7.设向量α=(1，-2，3)与β=(2，k，6)正交，则数k为( )A.-10B.-4C.3D.10 8.已知线性⽅程组⽆解，则数a=( ) A. B.0 C. D.1 9.设3阶⽅阵A的特征多项式为则 ( )A.-18B.-6C.6D.18 10.若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则A的3个特征值可能为( )A.-1，-2，-3B.-1，-2，3C.-1，2，3D.1，2，3 ⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分) 请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
11.设⾏列式其第3⾏各元素的代数余⼦式之和为__________. 12.设则 __________. 13.设A是4×3矩阵且则 __________. 14.向量组(1，2),(2，3)(3，4)的'秩为__________. 15.设线性⽆关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表⽰，则r与s的关系为__________. 16.设⽅程组有⾮零解，且数则 __________. 17.设4元线性⽅程组的三个解α1，α2，α3，已知则⽅程组的通解是__________. 18.设3阶⽅阵A的秩为2，且则A的全部特征值为__________. 19.设矩阵有⼀个特征值对应的特征向量为则数a=__________. 20.设实⼆次型已知A的特征值为-1，1，2，则该⼆次型的规范形为__________. 三、计算题(本⼤题共6⼩题，每⼩题9分，共54分) 21.设矩阵其中均为3维列向量，且求 22.解矩阵⽅程 23.设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T问p为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和⼀个极⼤⽆关组. 24.设3元线性⽅程组 , (1)确定当λ取何值时，⽅程组有惟⼀解、⽆解、有⽆穷多解? (2)当⽅程组有⽆穷多解时，求出该⽅程组的通解(要求⽤其⼀个特解和导出组的基础解系表⽰). 25.已知2阶⽅阵A的特征值为及⽅阵 (1)求B的特征值; (2)求B的⾏列式. 26.⽤配⽅法化⼆次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换. 四、证明题(本题6分) 27.设A是3阶反对称矩阵，证明|A|=0. 线性代数试题及答案(⼆)【线性代数试题及答案】。
线性代数习题册(答案)
线性代数习题册答案第一章 行列式 练习 一 班级 学号1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ （3421）= 5 ; （2）τ （135642）= 6 ;（3）τ （13⋯ （2n-1）（2n ） ⋯42） = 2+4+6+ ⋯ +（2 n-2）= n （n-1）. 2．由数字 1 到 9 组成的排列 1274i56j9 为偶排列，则 i= 8 、 j= 3 3．在四阶行列式中，项 a 12a 23a 34a 41 的符号为 负 .= － 3 ＋ 3 +2= (2 )( 1)21 2 21） 2 1 2 = － 1＋2 2 15．计算下列行列式：－ 8）＋（－ 8 ）－（－ 4 ）或 －（－ 4）―（－ 4） = － 511 2） 111 13＋1＋ 1－（－ ）－（－ ）―（－ ）00 4． 0 421练习班级学号31．已知 3阶行列式det(a ij ) =1，则行列式det( a ij )= －1 . ( 1)3 111 1 1 2．234 = 24 9 161 a b c(1) a 1 b c a b 1 cx y x y (2) y x y xx y x y 1 0 110 0r1 r,rr30 1 1c3 c1 0 1 1a b 1c a b 1c111 a b cb1c0 1 21 0 3,则A41 A421 1 02 5 4113．已知 D=1 1用 1， 1，1，1 替换第4 行4．计算下列行列2 1 5 1 13 0 60 2 1 21 4 7 61 2 1 40 1 2 11 0 1 3 0 1 3 15．计算下列n 阶行列式：每行都加到第一行，并提公因式。
)(2 ) 21M13MLLM11ML1 1 n1a1 b a2 a3 L a n(3 ) a1 a2 b a3 L a n M M M M Ma1 a2 a3 L a n b练习班级学号x3 1x1 x21．设线性方程组x1 x2 x3 1 有惟一解，则满足的条件是什么？x1 x2 x3 11, 0, 1x1 x2 x3 x4 5x1 2x2 x3 4x4 22. 求解线性方程组12x1 3x2 x3 5x4 23x1 x2 2x3 11x4 0x1 x2 x3 03.已知齐次线性方程组x1 x2 x30 有非零解，求的值。