北京市通州区2019-2020学年九年级上期末考试数学试题含答案
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通州区2019-2020学年第一学期期末初三数学统一检测试题
2018.1
一、 选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1. 若反比例函数的图象经过点2,3，则该反比例函数的表达式为（ ）
A.
xy6 B. xy6 C. xy3 D. x
y3
2．已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ）
A．6 B．π C．3 D． 32
3. 如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影
子恰好落在地面的同一点. 此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，那么这棵树的高度为（ ）.
A．m5 B．m7 C．m5.7 D．m21
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上.若55ABD，则BCD的度数为（ ）
C
AOB
D
A．25 B．30 C．35 D．40
5. 二次函数
0
2
acbxaxy
的图象如图所示，acb42，则下列四个选项正确的是（ ）
A．0b，0c，0 B．0b，0c，0
-
-
C．0b，0c，0 D．0b，0c，0
6. 如图，⊙O的半径为4.将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O.则折痕AB的长为（ ）
A. 3 B. 32 C. 6 D. 34
7. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上.则Acos的值为
（ ）
A. 552 B. 2 C. 55 D. 21
8. 如图，在ABCRt△中，90A，4ACAB.点E为ABCRt△边上一点，以每秒1单位的速
度从点C出发，沿着BAC的路径运动到点B为止.连接CE，以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，
⊙C与线段BC交于点D.设扇形DCE面积为S，点E的运动时间为.则在以下四个函数图象中，最符合
扇形面积S关于运动时间的变化趋势的是（ ）
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9.请你写出一个顶点在x轴上的二次函数表达式 .
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10. 已知点
11,yx，22
,yx
在反比例函数xy2上，当021yy时，1x，2x的大小关系是____________.
11. 如图，角的一边在x轴上，另一边为射线OP.则._______tan
12. 如图，点D为ABC△的AB边上一点，2AD，3DB.若ACDB，则.____________AC
13.如图，AD，AE是正六边形的两条对角线.在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的
正确结论：（1）__________________________；（2）______________________.
14. 二次函数cbxxy2的部分图象如图所示，由图象可知，不等式
0
2
cbxx
的解集为
___________________.
15. ⊙O的半径为1，其内接ABC△的边2AB，则C的度数为______________.
y
x
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16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小霞的作法如下：
尺规作图：作已知角的角平分线．
已知：如图，已知BAC.
求作： BAC的角平分线AP.
（1） 如图，在平面内任取一点O；
（2） 以点O为圆心，AO为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；
（3） 连接DE，过点O作射线OP垂直线段DE，交⊙O于点P；
（4） 连接AP.
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老师说：“小霞的作法正确．”
请回答：小霞的作图依据是 ．
三、解答题（共9小题，17-22题每小题5分，23,24题每小题7分，25题8分，共52分）
17．计算：453046030tansintancos．
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18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数0kbkxy与反比例函数
0m
x
m
y
交于点
2,23A
，
aB,1
．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据函数图象，直接写出不等式
x
m
bkx＞
的解集．
19．如图，ABC△内接于⊙O.若⊙O的半径为6，60B，求AC的长．
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20. 如图，建筑物的高CD为17. 32米.在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角为60，旗杆顶部A的仰角
为20，请你计算旗杆的高度.（342.020sin，364.020tan，940.020cos，732.13，结
果精确到0.1米）
21. 如图，李师傅想用长为80米的栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD. 已知教学楼
外墙长50米，设矩形ABCD的边xAB米，面积为S平方米.
（1）请写出活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；
（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？
22. 如图，ABC△是等腰三角形，ACAB，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DEAB⊥，垂足
为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，1BE，求cosA的值．
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23. 如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边中点，点F为BC边中点；点G，H为AB边三等分点，I，
J
为CD边三等分点.小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示.那么，图2中四边形
GKLH的面积与图3中四边形KPOL
的面积相等吗？
（1）小瑞的探究过程如下
在图2中，小瑞发现，
ABCDGKLH
SS_______
；
在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下. 请你将小瑞的思路填写完整：
设aSDEP△，bSAKG△
∵AFEC∥
∴DAKDEP∽△△，且相似比为2:1，得到aSDAK4△
∵BIGD∥
∴ABMAGK∽△△，且相似比为3:1，得到bSABM9△
又∵ABCDDAGSbaS614△，ABCDABFSabS419△
∴
abbaS
ABCD
436624
∴ba____，
bS
ABCD_____，bSKPOL
_____
∴
ABCDKPOLSS_____，则GKLHKPOL
SS____
（填写“”，“”或“”）
（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD对边上的点.则
ABCDANML
SS_____
.
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24. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数
012
2
aaxaxy
的对称轴为bx．点mA,2在直线
3xy
上.
（1）求m，b的值；
（2）若点23，D在二次函数
012
2
aaxaxy
上，求a的值；
（3）当二次函数
012
2
aaxaxy
与直线3xy相交于两点时，设左侧的交点为11,yxP，若
131x
，求a的取值范围．
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25.点P的“d值”定义如下：若点Q为圆上任意一点，线段PQ长度的最大值与最小值之差即为点P的
“d值”，记为
P
d
.特别的，当点P，Q重合时，线段PQ的长度为0.
当⊙O的半径为2时：
（1）若点
0,21C
，4,3D，则Cd_________，Dd_________；
（2）若在直线22xy上存在点P，使得
2
P
d
，求出点P的横坐标；
（3）直线
0
3
3
bbxy
与x轴，y轴分别交于点A，B.若线段AB上存在点P，使得32Pd，
请你直接写出b的取值范围.
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2019-2020学年江苏省常州市九年级上期末数学试卷（含答案）
-2019-2020学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）美美专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如下： 尺码 39 40 41 42 43平均每天销售数量（件） 10 12 20 12 12该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数2．（2分）如图，是小明的练习，则他的得分是（ ）A．0分 B．2分 C．4分 D．6分3．（2分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：94．（2分）在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则cosA的值是（ ）A． B． C． D．5．（2分）已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）A．36πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm26．（2分）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．67．（2分）半径为r的圆的内接正三角形的边长是（ ）A．2r B． C． D．8．（2分）如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A． B． C． D．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9．（2分）tan60°= ．10．（2分）已知，则xy= ．11．（2分）一组数据6，2，﹣1，5的极差为 ．12．（2分）如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是 ．13．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= °．14．（2分）某超市今年l月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是 ．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有 ．16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为 ．三、解答题（共9小题，满分68分）17．（8分）（1）解方程：x（x+3）=﹣2；（2）计算： sin45°+3cos60°﹣4tan45°．18．（8分）体育老师对九年级甲、乙两个班级各10名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班成绩如下：甲班 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12乙班 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13（1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩；（2）哪个班的成绩比较整齐？19．（8分）校园歌手大赛中甲乙丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序． （1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．20．（6分）如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？21．（6分）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）当k的值取 时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）22．（6分）如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB 的高度．23．（8分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G分别在AC、BC上，边EF在AB上．（1）求证：△AED∽△DCG；（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由（2）若AD=2，AC=，求⊙O的半径．25．（10分）如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D （3，3）．（1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，圆心M的坐标是 ；（2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的最大值；（3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横- 坐标的取值范围．2019-2020学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）美美专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如下： 尺码 39 40 41 42 43平均每天销售数量（件） 10 12 20 12 12该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选：B．2．（2分）如图，是小明的练习，则他的得分是（ ）A．0分 B．2分 C．4分 D．6分【解答】解：（1）x2=1，∴x=±1，∴方程x2=1的解为±1，所以（1）错误；（2）sin30°=0.5，所以（2）正确；（3）等圆的半径相等，所以（3）正确；这三道题，小亮答对2道，得分：2×2=（4分）．故选：C．3．（2分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9【解答】解：∵OB=3OB′，∴，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴=．∴=，故选：D．4．（2分）在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则cosA的值是（ ）A． B． C． D．【解答】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=1，BC=2，∴AB===，∴cosA===，故选：C．5．（2分）已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为（ ） A．36πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2【解答】解：由勾股定理得：圆锥的母线长==10，∵圆锥的底面周长为2πr=2π×6=12π，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为12π，∴圆锥的侧面积为：×12π×10=60π．故选：C．6．（2分）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6【解答】解：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，即方程的另一个根是﹣3．故选：A．7．（2分）半径为r的圆的内接正三角形的边长是（ ）A．2r B． C． D．【解答】解：如图所示，OB=OA=r；，∵△ABC是正三角形，由于正三角形的中心就是圆的圆心，且正三角形三线合一，所以BO是∠ABC的平分线；∠OBD=60°×=30°，BD=r•cos30°=r•；根据垂径定理，BC=2×r=r．故选：B．8．（2分）如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C．两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D．两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．故选：D．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9．（2分）tan60°= ．【解答】解：tan60°的值为．故答案为：．10．（2分）已知，则xy= 6 ．【解答】解：∵=，∴xy=6．故答案为：6．11．（2分）一组数据6，2，﹣1，5的极差为 7 ．【解答】解：极差=6﹣（﹣1）=7．故答案为7．12．（2分）如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是 ．【解答】解：指针停止后指向图中阴影的概率是： =；故答案为：．13．（2分）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB=32°，则∠C= 58 °．【解答】解：如图，连接OB ， ∵OA=OB ，∴△AOB 是等腰三角形， ∴∠OAB=∠OBA ， ∵∠OAB=32°， ∴∠OAB=∠OBA=32°， ∴∠AOB=116°， ∴∠C=58°． 故答案为58．14．（2分）某超市今年l 月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是 20% ．【解答】解：设该超市销售额平均每月的增长率为x ，则二月份销售额为2（1+x ）万元，三月份销售额为2（1+x ）2万元， 根据题意得：2（1+x ）2=2.88，解得：x 1=0.2=20%，x 2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该超市销售额平均每月的增长率是20%．故答案为：20%．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有 ①②③④ ．【解答】解：∵∠A=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，故①正确；sinβ=sinC，故②正确；∵在Rt△ABC中sinB=，cosC=，∴sinB=cosC，故③正确；∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，∴sinα=cos∠β，故④正确；故答案为①②③④．16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为 （0，2），（﹣1，0），（﹣，1） ．【解答】解：∵点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），∴直线AB的解析式为y=﹣x+2，∵点P 是直线y=2x+2上的一动点，∴两直线互相垂直，即PA ⊥AB ，且C （﹣1，0）， 当圆P 与边AB 相切时，PA=PO ， ∴PA=PC ，即P 为AC 的中点，∴P （﹣，1）；当圆P 与边AO 相切时，PO ⊥AO ，即P 点在x 轴上， ∴P 点与C 重合，坐标为（﹣1，0）；当圆P 与边BO 相切时，PO ⊥BO ，即P 点在y 轴上， ∴P 点与A 重合，坐标为（0，2）；故符合条件的P 点坐标为（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）， 故答案为（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）．三、解答题（共9小题，满分68分） 17．（8分）（1）解方程：x （x+3）=﹣2； （2）计算：sin45°+3cos60°﹣4tan45°．【解答】解：（1）方程整理，得x 2+3x+2=0， 因式分解，得 （x+2）（x+1）=0， 于是，得 x+2=0，x+1=0， 解得x 1=﹣2，x 2=﹣1； （2）原式=×+3×﹣4×1=1+1.5﹣4 =﹣1.5．18．（8分）体育老师对九年级甲、乙两个班级各10名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班成绩如下：甲班 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12 乙班 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13（1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩；（2）哪个班的成绩比较整齐？【解答】解：（1）=（13+11+10+12+11+13+13+12+13+12）=12（分），=（12+13+13+13+11+13+6+13+13+13）=12（分）．故两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩均为12分；（2）S甲2=×[4×（13﹣12）2+3×（12﹣12）2+2×（11﹣12）2+（10﹣12）2]=1.2，S乙2=×[7×（13﹣12）2+（12﹣12）2+（11﹣12）2+（6﹣12）2]=4.4，∵S甲2＜S乙2，∴甲班的成绩比较整齐．19．（8分）校园歌手大赛中甲乙丙3名学生进入了决赛，名学生进入了决赛，组委会决定通过组委会决定通过抽签确定表演顺序． （1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．【解答】解：（1）∵甲、乙、丙三位学生进入决赛，∴P（甲第一位出场）=；（2）画出树状图得：∵共有6种等可能的结果，甲比乙先出场的有3种情况，∴P（甲比乙先出场）==．20．（6分）如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？【解答】解：△ABC和△DEF相似．理由如下：由勾股定理，得AB=2，AC=2，BC=2，DE=，DF=，EF=2，∵=， ==， ==，∴===，∴△ABC∽△DEF．21．（6分）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k 2，k是实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）当k的值取 ﹣2、0、2 时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）【解答】（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵△=（﹣5）2﹣4×1×（4﹣k2）=4k2+9＞0，∴不论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵方程有整数解，∴x=为整数，∴k取0，2，﹣2时，方程有整数解．22．（6分）如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．【解答】解：设AG=x．在Rt△AFG中，∵tan∠AFG=，∴FG=，在Rt△ACG中，∵∠GCA=45°，∴CG=AG=x，∵DE=10，∴x﹣=10，解得：x=15+5，∴AB=15+5+1=16+5．答：电视塔的高度AB约为（16+5）米．23．（8分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G分别在AC、BC上，边EF在AB上．（1）求证：△AED∽△DCG；（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠B=∠A=45°，∵四边形DEFG是正方形，∴∠AED=∠DEF=90°，DG∥AB，∴∠CDG=∠A ， ∵∠C=90°， ∴∠AED=∠C ， ∴△AED ∽△DCG ；（2）解：设AE 的长为x ，∵等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，∴∠A=∠B=45°，AB=4，∵矩形DEFG 的面积为4，∴DE •FE=4，∠AED=∠DEF=∠BFG=90°， ∴BF=FG=DE=AE=x ， ∴EF=4﹣2x ，即x （4﹣2x ）=4，解得x 1=x 2=． ∴AE 的长为．24．（8分）如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O ，C 为的中点，过点C 作直线CD ⊥AE 于D ，连接AC 、BC ．（1）试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由 （2）若AD=2，AC=，求⊙O 的半径．【解答】解：（1）相切，连接OC ， ∵C 为的中点，∴∠1=∠2， ∵OA=OC ， ∴∠1=∠ACO ， ∴∠2=∠ACO ， ∴AD ∥OC ， ∵CD ⊥AD ，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；（2）连接CE，∵AD=2，AC=，∵∠ADC=90°，∴CD==，∵CD是⊙O的切线，∴CD2=AD•DE，∴DE=1，∴CE==，∵C为的中点，∴BC=CE=，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3．∴⊙O的半径为1.5．25．（10分）如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D （3，3）．（1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，圆心M的坐标是 （﹣1，0） ；（2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的最大值；（3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横坐标的取值范围．【解答】解：（1）如图所示；M（﹣1，0）；故答案为（﹣1，0）．（2）连接MD，MG，ME，∵点G为弦EF的中点，EM=FM=，∴MG⊥EF，∵EF=4，∴EG=FG=2，∴MG=1，∴点G在以M为圆心，1为半径的圆上，∴当点G在线段DM延长线上时DG最大，此时DG=DM+GM，∵DM==5，∴DG的最大值为5+1=6；（3）设P点的横坐标为x，当P点位于线段MB及延长线上且P、Q两点间距离等于1，时， =，∴=或=解得|x|=2+或2﹣，p∵此时P点在第三象限，∴x＜0，∴x=﹣2﹣或﹣2+，即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为﹣2﹣＜x＜﹣2+；当P点位于线段BM及延长线上且P、Q两点间距离等于1时，则PQ：AM=|x|：|x M|，=，解得|x|=，∵此时P点在第一或二象限，∴x=±，即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为﹣＜x；综上所述，点P横坐标的取值范围为﹣＜x或﹣2﹣＜x＜﹣2+；。
北京市通州区2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题含解析
北京市通州区2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数12sin()24y x π=+的周期，振幅，初相分别是（ ）A ．,2,44ππB ．4,2,4ππ--C ．4,2,4ππD ．2,2,4ππ2．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列说法中正确的是 （ ） ①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱； ②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心(),x y ；③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度； ④相关指数2R 用来刻画回归的效果， 2R 越小，说明模型的拟合效果越好. A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③4．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，CA ⊥平面PAB ，23PA PB AB ===4AC =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．24πB ．32πC ．48πD ．64π5．若,a b ∈R ，则复数22(610)(45)a a b b i -++-+-在复平面上对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样D ．系统抽样7．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =;则AOB ∆的面积为（ ） A ．22B ．2C ．322D ．228．在200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ） A ．233197C C 种B ．()5142003197C C C -种 C ．233198C C 种D ．()233231973197C C C C +种9．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1APD ∠的取值范围是（0，2π] C ．11B D PC -三棱锥的体积为定值 D ．11DC D P ⊥10．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.611．若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．设2(5,2)N ξ~，则(37)P ξ<≤=__________．14．已知π⎰cos 6x dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的系数为__________． 15．已知函数()42423,0,3,0,x x ax x f x x x ax x ⎧-->=⎨-+<⎩有四个零点，则实数a 的取值范围是__________． 16．若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 是1CC 的中点，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P AB λ=.（1）证明：PN AM ⊥.（2）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值. （3）若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为4π，试确定P 点的位置. 18．已知函数()()263ln f x ax a x x =-++，其中a R ∈. (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当0a >时，若函数()f x 在区间[]1,3e 上的最小值为6-，求a 的取值范围.19．（6分）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，12AB AA ==，1AC =，M ，N 分别是11A B ，BC 的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面11ACC A ；（Ⅱ）求二面角M AN B--的余弦值.20．（6分）“过桥米线”是云南滇南地区特有的一种小吃.在云南某地区“过桥米线”有,,A B C三种品牌的店，其中A品牌店50家，B品牌店30家，C品牌店20家.（Ⅰ）为了加强对食品卫生的监督管理工作，该地区的食品安全管理局决定按品牌对这100家“过桥米线”专营店采用分层抽样的方式进行抽样调查，被调查的店共有20家，则,B C品牌的店各应抽取多少家？（Ⅱ）为了吸引顾客，所有品牌店举办优惠活动：在一个盒子中装有形状、大小相同的4个白球和6个红球.顾客可以一次性从盒中抽取3个球，若是3个红球则打六折（按原价的60%付费），2个红球1个白球打八折，1个红球2个白球则打九折，3个白球则打九六折.小张在该店点了价值100元的食品，并参与了抽奖活动，设他实际需要支付的费用为X，求X的分布列与数学期望.x(年)和维修费用y(万元),有以下的统计数据:x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5（Ⅰ）画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程ˆˆˆy bx a=+；（Ⅲ）估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？（附：线性回归方程中1122211()()()ˆˆˆn ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nxa y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑，其中11niix xn==∑，11niiy yn==∑）．22．（8分）设1()ln+,() 4.af x xg x axx-==-（I）若()f x的极小值为1，求实数a的值；（II）当1a=时，记()()()h x f x g x=⋅，是否存在整数．．λ，使得关于x的不等式2()h xλ≥有解？若存在求出λ的最小值，若不存在，说明理由.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】 利用2πT ω=求得周期，直接得出振幅为2，在1π24x +中令0x =求得初相. 【详解】 依题意，2π4π12T ==，函数的振幅为2，在1π24x +中令0x =求得初相为π4.故选C.【点睛】本小题主要考查()sin A x ωϕ+中,,A ωϕ所表示的含义，考查三角函数周期的计算.属于基础题.其中A 表示的是振幅，ω是用来求周期的，即2πT ω=，要注意分母是含有绝对值的.x ωϕ+称为相位，其中ϕ称为初相.还需要知道的量是频率1f T=，也即是频率是周期的倒数. 2．C 【解析】分析：将图1的正方形放在图2中①的位置出现重叠的面，不能围成正方体，再根据概率公式求解可得. 详解：由图共有4种等可能结果，其中将图1的正方形放在图2中①的位置出现重叠的面，不能围成正方体，则所组成的图形能围成正方体的概率是.故选：C.点睛：本题考查了概率公式和展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形，注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图. 3．D 【解析】 【分析】运用相关系数、回归直线方程等知识对各个选项逐一进行分析即可 【详解】①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越接近于1，相关性越强，故错误 ②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心()x y ，，故正确③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度，故正确 ④相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好，故错误 综上，说法正确的是②③ 故选D 【点睛】本题主要考查的是命题真假的判断，运用相关知识来进行判断，属于基础题 4．B 【解析】 【分析】 如图，由题意知，AC AB ⊥，BC 的中点E 是球心O 在平面ABC 内的射影，设点O E ，间距离为h ，球心O 在平面PAB 中的射影F 在线段AB 的高上，则有()22743h h +=+-，可得球的半径，即可求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.【详解】由题意知，AC AB ⊥，BC 的中点E 是球心O 在平面ABC 中的射影，设点O E ，间距离为h ，球心O 在平面PAB 中的射影F 在线段AB 的高上，23AB =，4AC =，23PA PB AB ===又平面PAB ⊥平面ABC ，PF AB ⊥，则PF ⊥平面ABC ，BC 27∴=P 到平面ABC 的距离为3，∴()22743h h +=+-，解得：1h =，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径1722R =+=，故可得外接球的表面积为2432R ππ=. 故选：B 【点睛】本题主要考查了棱锥的外接球的表面积的求解，考查了学生直观想象和运算求解能力，确定三棱锥P ABC -的外接球的半径是关键.5．D 【解析】分析：利用二次函数的性质可判定复数的实部大于零，虚部小于零，从而可得结果. 详解：因为2610a a -+=()23110a -+≥>，245b b -+-=()21210b ---≤-<，所以复数()()2261045a a b b i -++-+-在复平面上对应的点在第四象限，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 6．C 【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C. 考点：分层抽样． 7．C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线方程为1x =-，由3AF =得1(2,(,2A B 或1(2,(2A B -所以12AOB A B S OF y y ∆=⨯⨯-1122=⨯⨯=C ． 考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系． 8．D 【解析】分析：据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．详解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况， “有2件次品”的抽取方法有C 32C 1973种， “有3件次品”的抽取方法有C 33C 1972种， 则共有C 32C 1973+C 33C 1972种不同的抽取方法， 故选：D ．点睛：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最多”“最少”等情况的分类讨论． 9．B 【解析】【分析】根据线面位置关系进行判断． 【详解】∵11D A ⊥平面1AA P ，∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，A 正确；若P 是1A B 上靠近1A 的一个四等分点，可证此时1D PA ∠为钝角，B 错；由于1//BP CD ，则//BP 平面11B D C ，因此11P B D C -的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，C 正确；1D P 在平面11CC D D 上的射影是直线1D C ，而11⊥D C DC ，因此11DC D P ⊥，D 正确．故选B ． 【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查面面垂直、线面平行的判定，考查三垂线定理等，所用知识较多，属于中档题． 10．B 【解析】区间[22,31)内的数据共有4个，总的数据共有11个，所以频率为1．4,故选B ． 11．C 【解析】试题分析：()21cos 2cos 03f x x a x =-+'对x R ∈恒成立， 故()2212cos 1cos 03x a x --+，即245cos cos 033a x x -+恒成立， 即245033t at -++对[]1,1t ∈-恒成立，构造()24533f t t at =-++，开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()1103{1103f a f a -=-=+，解得1133a -．故选C ．【考点】三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性. 12．B 【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=1．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．0.6826 【解析】由正态分布中三个特殊区间上的概率知()0.6826P X μσμσ-<≤+=， ∴(37)(5252)0.6826P X P X <≤=-<≤+=． 答案：0.6826 14．【解析】分析：由微积分基本定理求出a ，再写出二项展开式的通项1r T +，令x 的指数为1，求得r ，从而求得x 的系数．详解：02cos()2sin()2066a x dx x ππππ=+=+=-⎰，二项式252()x x-展开式通项为251031552()()(2)rrr r r r r T C x C x x--+=-=-，令1031r -=，则3r =．∴x 的系数为335(2)C 80-=-．故答案为－1．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 15．()2,0- 【解析】 【分析】由题意可知()f x 是偶函数，根据对称性问题转化为直线y a =与曲线()330y x x x =->有两个交点.【详解】因为()f x 是偶函数，根据对称性，4230x x ax --=在()0,∞+上有两个不同的实根，即33a x x =-在()0,∞+上有两个不同的实根，等价转化为直线y a =与曲线()330y x x x =->有两个交点，而()()2'33311y x x x =-=+-，则当01x <<时，'0y <，当1x >时，'0y >，所以函数33y x x =-在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，于是min 102,0x x y yy ====-=，故()2,0.a ∈-故答案为：()2,0- 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 16．[)9,+∞ 【解析】 【分析】利用基本不等式将3ab a b =++变形为3ab ≥即可求得ab 的取值范围. 【详解】∵0a >，0b >，∴33ab a b =++≥，即30ab -≥3，即9ab ≥，当且仅当3a b ==时，等号成立. 故答案为：[)9,+∞. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求代数式的取值范围问题，属常规考题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）以AB ，AC ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断 0PN AM ⋅=，即PN AM ⊥；（2）设出平面ABC 的一个法向量，我们易表达出sin θ，然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的λ值，进而求出此时θ的正线值；（3）平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为4π，则平面PMN 与平面ABC 法向量的夹角余弦值的绝对值为2，代入向量夹角公式，可以构造一个关于λ的方程，解方程即可求出对应λ值，进而确定出满足条件的点P 的位置． 【详解】（1）证明：如图，以AB ，AC ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -．则()01P λ，，，11022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1012M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，从而11,1 22PNλ⎛⎫=--⎪⎝⎭，，1012AM⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，1110110222PN AMλ⎛⎫⋅=-⨯+⨯-⨯=⎪⎝⎭，所以PN AM⊥．（2）平面ABC的一个法向量为()001n=，，，则2sin sin cos21524PN nPN n PN nPN nπθλ⋅⎛⎫=-===⎪⋅⎝⎭⎛⎫-+⎪⎝⎭，，．而[0]2πθ∈，，当θ最大时，sinθ最大，tanθ无意义，2πθ=除外，由（※）式，当12λ=时，()max25sinθ=()maxtan2θ=．（3）平面ABC的一个法向量为()1001n AA==，，．设平面PMN的一个法向量为(),,x y zm=，由（1）得112MPλ⎛⎫=-⎪⎝⎭，，．由m NPm MP⎧⋅=⎨⋅=⎩得11()02212x y zx y zλλ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得()213213y xz xλλ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，令3x=，得()()32121mλλ=+-，，，∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为4π，∴()()()22212cos292141m nm nm nλλλ-⋅===⋅+++-＜，＞，解得12λ=-． 故点P 在11B A 的延长线上，且112A P =． 【点睛】本题考查的知识点是向量评议表述线线的垂直、平等关系，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式是解答此类问题的关键． 18． (1)240x y ++=；(1) [3，+∞）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，计算f （1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出a 的范围即可． 【详解】（1）当a ＝1时，f （x ）＝x 1﹣7x+3lnx （x ＞2）， ∴()3'27f x x x=-+，∴f（1）＝﹣6，f'（1）＝﹣1． ∴切线方程为y+6＝﹣1（x ﹣1），即1x+y+4＝2．（1）函数f （x ）＝ax 1﹣（a+6）x+3lnx 的定义域为（2，+∞），当a ＞2时，()()()()()22632133'26ax a x x ax f x ax a x x x-++--=-++==， 令f'（x ）＝2得12x =或3x a=， ①当301a≤＜，即a≥3时，f （x ）在[1，3e]上递增， ∴f（x ）在[1，3e]上的最小值为f （1）＝﹣6，符合题意；②当313e a ＜＜，即13a e ＜＜时，f （x ）在31a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减，在33e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递增， ∴f（x ）在[1，3e]上的最小值为()316f f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，不合题意； ③当33e a ≥，即10a e≤＜时，f （x ）在[1，3e]上递减， ∴f（x ）在[1，3e]上的最小值为f （3e ）＜f （1）＝﹣6，不合题意． 综上，a 的取值范围是[3，+∞）． 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．19． (1)见解析;(2)21.分析：解法一：依题意可知1,,AB AC AA 两两垂直，以A 点为原点建立空间直角坐标系A xyz -， （1）利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，即可证得线面平面；（2）求出两个平面的法向量，利用两个向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值. 解法二：利用空间几何体的点线面位置关系的判定定理和二面角的定义求解：（1）设AC 的中点为D ，连接1,DN A D ，证明四边形1A DNM 为平行四边形，得出线线平行，利用线面平行的判定定理即可证得线面平面；（2）以及二面角的平面角，在直角三角形中求出其平面角的余弦值，即可得到二面角的余弦值. 详解：解法一：依条件可知AB 、AC 、1AA 两两垂直， 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -.根据条件容易求出如下各点坐标：()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,0,0C -，()10,0,2A ，()10,2,2B ，()11,0,2C -，()0,1,2M ，1,1,02N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（Ⅰ）证明：∵1,0,22MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()0,2,0AB =， 是平面11ACC A 的一个法向量，且10022002MN AB ⋅=-⨯+⨯-⨯=， 所以MN AB ⊥.又∵MN ⊄平面11ACC A ，∴//MN 平面11ACC A ； （Ⅱ）设(),,n x y z =是平面AMN 的法向量， 因为()0,1,2AM =，1,1,02AN ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由00AM n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得020102y z x y ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 解得平面AMN 的一个法向量()4,2,1n =-， 由已知，平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，21cos ,2121m n m n n m ⋅===-⨯， ∴二面角M AN B --的余弦值是21.（Ⅰ）证明：设AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ， ∵D ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴1//2DN AB ， 又∵11112A M AB =，11//A B AB ， ∴1//A M DN ，∴四边形1A DNM 是平行四边形，∴1//A D MN ，∵1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ， ∴//MN 平面11ACC A ；（Ⅱ）如图，设AB 的中点为H ，连接MH ，∴1//MH BB ，∵1BB ⊥底面ABC ，∵1BB AC ⊥，1BB AB ⊥，∴MH AC ⊥，AH AB ⊥， ∴AB AC A ⋂=，∴MH ⊥底面ABC ，在平面ABC 内，过点H 做HG AN ⊥，垂足为G ， 连接MG ，AN HG ⊥，AN MH ⊥，HG MH H ⋂=， ∴AN ⊥平面MHG ，则AN MG ⊥， ∴MGH ∠是二面角M AN B --的平面角， ∵12MH BB ==，由AGH BAC ∆~∆，得HG =所以MG ==cos HG MGH MG ∠==，∴二面角M AN B --的余弦值是21. 点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．（Ⅰ）B 品牌店6家，应抽查C 品牌店4家；（Ⅱ）分布列见解析，()80.2E X = 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样每层按比例分配，即可求解；（2）求出随机变量X 的可能取值，并求出相应的概率，即可得到分布列，进而根据期望公式求解. 【详解】（Ⅰ）由题意得，应抽查B 品牌店30206100⨯=家， 应抽查C 品牌店20204100⨯=家； （Ⅱ）离散型随机变量X 的可能取值为60,80,90,96.于是()0346310201601206C C P X C ====，()12463104151801202C C P X C ⨯====， ()21463106639012010C C P X C ⨯====，()3046310419612030C C P X C ====.X 的分布列如下所以()11316080909680.2621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列和期望，求出随机变量的概率是解题关键，属于基础题.21． (1)详见解析;(2) ˆ0.70.35yx =+;(3) 当10x =时，ˆ7.35y =万元. 【解析】（1）直接将四个点在平面直角坐标系中描出；（2）先计算4i 1x ii y =∑，42i1xi =∑，再借助()()()1122211ˆˆˆn ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx ====⎧---⎪==⎪--⎨⎪=-⎪⎩∑∑∑∑计算出ˆ,b a ，求出回归方程；（3）依据线性回归方程0.70.5ˆ3yx =+求出当10x =时，ˆy 的值： 【试题分析】（1）按数学归纳法证明命题的步骤：先验证1n =时成立，再假设当()*n k k N =∈时，不等式成立，分析推证1n k =+时也成立：(1)(2)4i 1x 66.5ii y==∑； ¯ 4.5,= ¯ 3.5=422222i1x345686i ==+++=∑0.7,0.5ˆ3ba == 所求的线性回归方程：0.70.5ˆ3yx =+ (3)当10x =时，ˆ7.35y=万元 22．（I ）2a =；（II ）min =0λ 【解析】 【分析】（I ）求出()f x 的定义域以及导数，讨论a 的范围，求出单调区间，再结合()f x 的极小值为1，即可求得实数a 的值；（II ）求出()h x 的定义域以及导数，利用导数研究()h x 最小值的范围，即可求出λ。
人教版2018-2019学年九年级上学期期末考试数学试题(解析版)
人教版2018-2019学年九年级上学期期末考试数学试题(解析版）一、单选题：(每题只有一个正确答案，将正确答案序号填在表格中每题3分，共30分). 1．方程x2=3x的解为（）A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=32．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直; C．对角线互相平分D．对角线平分对角3．在一个不透明的口袋中，装有5个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出有一个球，摸到红球的概率是（）A．B．C．D．4．长度为下列各组数据的线段（单位：cm）中，成比例的是（）A．1，2，3，4 B．6，5，10，15 C．3，2，6，4 D．15，3，4，105．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则+等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．46．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．47．某果园2017年水果产量为100吨，2019年水果产量为196吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．196（1﹣x）2B．100（1﹣x）2=196;C．196（1+x）2=100;D．100（1+x）2=196 8．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，则CD的长是（）A．2.5 B．3 C．4 D．59．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2 10．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．2 B．C．D．二．填空题(每题3分,共15分)11．在一个不透明的口袋中，装有A，B，C，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是．12．方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为．13．如图：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有条．（填具体数字）14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．15．矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是．三、解答题(共55分)16．解方程：（1）（x+1）（x﹣3）=32 （2）2x2+3x﹣1=0（用配方法）17．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．（1）求证：AB=AF；（2）当AB=6，BC=10时，求的值．18．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．19．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是；（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．20．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（b，1）两点，（1）求反比例函数的表达式及点A，B的坐标（2）在x轴上找一点，使P A+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．参考答案与试题解析一.单选题：每题只有一个正确答案，将正确答案序号填在表格中每题3分，共30分. 1．方程x2=3x的解为（）A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵x2﹣3x=0，∴x（x﹣3）=0，则x=0或x﹣3=0，解得：x=0或x=3，故选：D．2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线平分对角【考点】多边形．【分析】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案．【解答】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项错误；B、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项错误；C、对角线互相平分，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项正确；D、对角线平分对角，矩形不具有此性质，故本选项错误；故选：C．3．在一个不透明的口袋中，装有5个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出有一个球，摸到红球的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】先求出袋子中球的总个数及红球的个数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：袋子中球的总数为5+2=7，而红球有5个，则摸出红球的概率为．故选D．4．长度为下列各组数据的线段（单位：cm）中，成比例的是（）A．1，2，3，4 B．6，5，10，15 C．3，2，6，4 D．15，3，4，10【考点】比例线段．【分析】根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可．【解答】解：A、1×4≠2×3，故本选项错误；B、5×15≠6×10，故本选项错误；C、2×6=3×4，故选项正确；D、3×15≠4×10，故选项错误．故选C．5．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则+等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=4、x1•x2=1，将+通分后可得，再代入x1+x2=4、x1•x2=1即可求出结论．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，∴x1+x2=4，x1•x2=1，+===4．故选D．6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，故选：B．7．某果园2017年水果产量为100吨，2019年水果产量为196吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．196（1﹣x）2B．100（1﹣x）2=196 C．196（1+x）2=100 D．100（1+x）2=196【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】2019年的产量=2017年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【解答】解：2014年的产量为100（1+x），2015年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，即所列的方程为100（1+x）2=196，故选：D．8．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，则CD的长是（）A．2.5 B．3 C．4 D．5【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】利用勾股定理列式求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB===10，∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=AB=×10=5．故选D．9．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．【解答】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．10．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．2 B．C． D．【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，菱形ABCD中，∵AB=2，∠A=120°，∴AD=2，∠ADC=60°，过A作AE⊥CD于E，则AE=P′Q，∵AE=AD•cos60°=2×=，∴点P′到CD的距离为，∴PK+QK的最小值为．故选B．二．填空题11．在一个不透明的口袋中，装有A，B，C，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】可以根据画树状图的方法，先画树状图，再求得两次摸到同一个小球的概率．【解答】解：画树状图如下：∴P（两次摸到同一个小球）==故答案为：【点评】本题主要考查了概率，解决问题的关键是掌握树状图法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．12．方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为﹣3．【考点】一元二次方程的解．【分析】先求出方程2x﹣4=0的解，再把x的值代入方程x2+mx+2=0，求出m的值即可．【解答】解：2x﹣4=0，解得：x=2，把x=2代入方程x2+mx+2=0得：4+2m+2=0，解得：m=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，先求出x的值，再代入方程x2+mx+2=0是解决问题的关键，是一道基础题．13．如图：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有6条．（填具体数字）【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】根据矩形性质得出DC=AB，BO=DO=BD，AO=OC=AC=8，BD=AC，推出BO=OD=AO=OC=8，得出△ABO是等边三角形，推出AB=AO=8=D C．【解答】解：∵AC=16，四边形ABCD是矩形，∴DC=AB，BO=DO=BD，AO=OC=AC=8，BD=AC，∴BO=OD=AO=OC=8，∵∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，∴AB=AO=8，∴DC=8，即图中长度为8的线段有AO、CO、BO、DO、AB、DC共6条，故答案为：6．【点评】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，矩形的对边相等．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE 的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．15．矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是24cm2．【考点】正方形的判定与性质；三角形中位线定理；矩形的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意，先证明四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，解答出即可．【解答】解：如图，连接EG、FH、AC、BD，设AB=6cm，AD=8cm，∵四边形ABCD是矩形，E、F、G、H分别是四边的中点，∴HF=6cm，EG=8cm，AC=BD，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∴四边形EFGH是菱形，∴S菱形EFGH=×FH×EG=×6×8=24cm2．故答案为24cm2．【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，证明四边形EFGH是菱形及菱形面积的计算方法，是解答本题的关键．三、解答题(共55分)16．解方程：（1）（x+1）（x﹣3）=32（2）2x2+3x﹣1=0（用配方法）【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）根据因式分解法可以解答本题；（2）根据配方法可以求得方程的解．【解答】解：（1）（x+1）（x﹣3）=32去括号，得x2﹣2x﹣3=32移项及合并同类项，得x2﹣2x﹣35=0∴（x﹣7）（x+5）=0∴x﹣7=0或x+5=0，解得，x1=7，x2=﹣5；（2）2x2+3x﹣1=0（用配方法）∴∴，∴．17．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．（1）求证：AB=AF；（2）当AB=6，BC=10时，求的值．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由在▱ABCD中，AD∥BC，利用平行线的性质，可求得∠FBC=∠AFB，又由BF是∠ABC的平分线，易证得∠ABF=∠AFB，利用等角对等边的知识，即可证得AB=AF；（2）易证得△AEF∽△CEB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值．【解答】（1）证明：∵BF平分∠ABC，∴∠CBF=∠AFB，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∵平行四边形ABCD，∴AB=AF，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∵平行四边形ABCD，∴AB=AF，（2）解：∵AB=6，∴AF=6，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴===，∴．18．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．【考点】相似三角形的应用；中心投影．【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【解答】解：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，∴MA∥CD∥BN，∴EC=CD=x，∴△ABN∽△ACD，∴=，即=，解得：x=6.125≈6.1．经检验，x=6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米19．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是；（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．【解答】解：（1）A，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为=；（2）1+4=5；2+3=5，但组合一共有3+2+1=6，故概率为=；（3）根据题意，画树状图：由树状图可知，共有16种等可能的结果：11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44．其中恰好是4的倍数的共有4种：12，24，32，44．所以，P（4的倍数）=．或根据题意，画表格：由表格可知，共有16种等可能的结果，其中是4的倍数的有4种，所以，P（4的倍数）=．20．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（b，1）两点，（1）求反比例函数的表达式及点A，B的坐标（2）在x轴上找一点，使P A+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称﹣最短路线问题．【分析】（1）把点A（1，a），B（b，1）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，b，再把点A 坐标代入反比例函数y=，即可得出结论；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时P A+PB 的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．【解答】解：（1）把点A（1，a），B（b，1）代入一次函数y=﹣x+4，得a=﹣1+4，1=﹣b+4，解得a=3，b=3，∴A（1，3），B（3，1）；点A（1，3）代入反比例函数y=得k=3，∴反比例函数的表达式y=；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时P A+PB 的值最小，∴D（3，﹣1），设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得，，解得m=﹣2，n=5，∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，令y=0，得x=，∴点P坐标（，0）．。
北京市通州区2019-2020学年高二下学期期末考试语文试题 Word版含答案
Evaluation Only. Created with Aspose.Words. Copyright 2003-2016 Aspose Pty Ltd.通州区2019- -2020学年第二学期高二年级期末考试语文试卷2020年7月本试卷共8页，150分，考试时长150分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上答题无效。
考试结束后，请将答题卡交回。
一、本大题共5小题，共18分。
阅读下面的材料，完成1-5题。
材料一火星是太阳系中与地球最相似且距离第二近的行星，因此成为目前除地球以外人类研究程度最高的行星，人类用空间探测器对火星进行探测的历史几乎贯穿整个人类航天史。
探测火星对研究地球生命的起源和演变，了解火星的气候、地质和资源，为今后在其上建立人类第二个家园做准备等，都具有重要的意义。
人类探测火星的方式与探测月球的方式基本相似，包括环绕探测、着陆探测、巡视探测、采样返回探测、载人登陆探测等五种。
其中采用环绕探测方式可以对火星进行普查；采用着陆探测和巡视探测方式可以对火星进行区城性详查；采用采样返回探测和载人登陆探测方式可以对火星进行区域性精查。
探测方式按前后顺序来说技术难度越来越大，因此先进行环绕探测。
然后进行着陆探测、巡视探测、采样返回探测，最终进行载人登陆探测。
目前，人类在探月的历程中，这五种探测方式都采用过，但每次发射基本上只采用其中的一两种探测方式。
与月球探测相比，由于火星距地球的距离比月球距地球的距离遙远得多，探测火星的难度也比探测月球的难度大得多，因此，至今人类对火星的探测只采用过环绕探测、着陆探测、巡视探测方式。
我国将在2020年首次发射火星探测器，并计划通过一次发射完成火星环绕、着陆和巡视三项探测任务。
起点很高，同时也具有很大的挑战性。
我国火星探测无论在巡视器上，还是轨道器上都有很多不同的有效载荷，可实现各种科学目标。
我国很早就开展了相关研究2016年6月初样方案就完成了，所以我们还是很有信心的。
辽宁省大连市沙河口区2019-2020学年九上期末数学试卷(含答案)
O 为位似中心，把线段 AB 放大，点 A 的对应点 A′的坐标为（4，0），则点 B 的对应点 B′
的坐标为
．
15．如图，若抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴无交点，则 a，b，c 应满足的关系是
．
16．如图，在边长为 1 的正方形网格中，A（1，1），B（4，4）．线段 AB 与线段 CD 存在 一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋
沙河口区2019~2020学年度第一学期期末质量检测试卷
九年级数学
注意事项： 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效。 2．本试卷共五大题，26 小题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项正确） 1．下列图形中，是中心对称图形的是
转中心的坐标为
．
三、解答题（本题共 4 小题，第 17、18、19 题各 9 分，第 20 题 12 分，共 39 分）
17．计算： 4sin 30 2 cos 45 3 tan 60
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18．如图，已知抛物线 y x2 2x 3 ． （1）用配方法将 y x2 2x 3 化成 y a(x h)2 k 的形式，并写出其顶点坐标； （2）直接写出该抛物线与 x 轴的交点坐标．
y
O
x
第 18 题
19．如图，在 O 中，点 C 是弧 AB 的中点，CD⊥OA 于 D，CE⊥OB 于 E，求证：CD=CE．
C
A
B
D
E
O
第 19 题
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为 A（ 4 ，1），B，C． （1）点 A，B，C 关于原点对称点分别为点 A1 ， B1 ， C1 ，写出点 A1 ， B1 ， C1 的坐标；
北京市丰台区第十二中学2019-2020学年九年级下学期3月月考数学试题(含答案及解析)
北京十二中2019～2020学年第二学期月考试题初三数学说明：本试卷共4页，共2道大题，25道小题，满分100分，考试时间为40分钟一、选择题（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个，每题4分，共52分）1.北京大兴国际机场直线距天安门约46公里，占地1400000平方米，相当于63个天安门广场！被英国《卫报》等媒体评为“新世界七大奇迹”榜首。
其中数据1400000用科学记数法应表示为（）A. 8⨯ D. 514101.410⨯⨯ B. 7⨯ C. 60.14101.410【答案】C【解析】【分析】利用科学记数法的表示形式进行解答即可【详解】科学记数法表示：1400 000=1.4×106故选：C．【点睛】此题考查科学记数法，解题关键在于掌握科学记数法是指把一个数表示成a×10的n次幂的形式（1≤a ＜10，n 为正整数．）2.若a为非零实数，则下列各式的运算结果一定比a大的是（）a+ B. 2a C. a D. 2aA. 1【答案】A【解析】【分析】根据实数的运算法则进行计算即可.【详解】A．a+1＞a，选项正确；B．当a＜0时2a＜a，选项错误；C．当a＞0时|a|=a，选项错误；D．当a＜0时2a＜a，选项错误；故选：A．【点睛】此题考查实数的大小比较，解题关键在于掌握一个数加1，减1，乘1，除以1，值的大小变化规律．基础题．3.下图均由正六边形与两条对角线所组成，其中不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐一进行判断即可得．【详解】A 、是轴对称图形，故不符合题意；B 、是轴对称图形，故不符合题意；C 、是轴对称图形，故不符合题意；D 、不是轴对称图形，故符合题意，故选D ．【点睛】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．4.在数轴上，点A 、B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向左平移1个单位长度，得到点C ．若CO BO =，则a 的值为（ ）A. 3-B. 2-C. 1-D. 1【答案】C【解析】【分析】根据CO=BO 可得点C 表示的数为-2，据此可得a 的值．【详解】解：∵点A 、B 在原点O两侧，分别表示数a ，2， ∴点A 在原点的左侧，∵将点A 向左平移1个单位长度，得到点C ，∴点C 在原点的左侧，∵CO=BO ， ∴点C 表示的数为-2，∴a=-2+1=-1．故选：C ．【点睛】本题考查的是数轴，相反数的几何意义，熟知相反数的几何意义是解答此题的关键．在数轴上，表示互为相反数的两个点，分别位于原点的两旁，并且到原点的距离相等．5.已知正多边形的一个内角为144°，则该正多边形的边数为（）A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】B【解析】【分析】根据正多边形的一个内角是144°，则知该正多边形的一个外角为36°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．【详解】解：∵正多边形的一个内角是144°，∴该正多边形的一个外角为180°-144°=36°，∵多边形的外角之和为360°，∴边数=360=10 36，∴这个正多边形的边数是10，故选：B．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°，此题难度不大．6.判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A. ﹣2B. ﹣12C. 0D.12【答案】A【解析】【分析】反例中的n满足n＜1，使n2-1≥0，从而对各选项进行判断．【详解】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选A．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．7.箱子内装有53颗白球及2颗红球，小芬打算从箱子内抽球，以每次抽出一球后将球再放回的方式抽53次球．若箱子内每颗球被抽到的机会相等，且前52次中抽到白球51次及红球1次，则第53次抽球时，小芬抽到红球的机率为何？（）A. 12B. 13C. 253D. 255【答案】D【解析】【分析】红球的个数除以球的总数即为所求的概率．【详解】解：∵一个盒子内装有大小、形状相同的53255+=个球，其中红球2个，白球53个， ∴小芬抽到红球的概率是：2253255=+． 故选D ．【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键．8.某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s 2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）A. 平均分不变，方差变大B. 平均分不变，方差变小C. 平均分和方差都不变D. 平均分和方差都改变 【答案】B【解析】【分析】根据平均数、方差的定义计算即可.【详解】∵小亮的成绩和其它39人的平均数相同，都是90分，∴40人的平均数是90分，∵39人的方差为41，小亮的成绩是90分，40人的平均分是90分，∴40人的方差为[41×39+(90-90)2]÷40<41， ∴方差变小，∴平均分不变，方差变小故选B.【点睛】本题考查了平均数与方差，熟练掌握定义是解题关键.9.当5b c +=时,关于x 的一元二次方程230x bx c +-=的根的情况为（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解.【详解】由已知，得()224312b c b c =-⨯⨯-=+△∵5b c +=∴5b c =-∴()()()222243125121240b c b c c c c =-⨯⨯-=+=-+=++△＞ ∴方程有两个不相等的实数根故答案为A .【点睛】此题主要考查根据参数的值判定一元二次方程根的情况，熟练掌握，即可解题.10.如图的ABC ∆中，AB AC BC >>，且D 为BC 上一点．今打算在AB 上找一点P ，在AC 上找一点Q ，使得APQ ∆与PDQ ∆全等，以下是甲、乙两人的作法：（甲）连接AD ，作AD 的中垂线分别交AB 、AC 于P 点、Q 点，则P 、Q 两点即为所求（乙）过D 作与AC 平行的直线交AB 于P 点，过D 作与AB 平行的直线交AC 于Q 点，则P 、Q 两点即为所求对于甲、乙两人作法，下列判断何者正确？（ ）A. 两人皆正确B. 两人皆错误C. 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确【答案】A【解析】【分析】 如图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA PD =，QA QD =，则根据“SSS ”可判断APQ DPQ ∆∆≌，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ 为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA DQ =，PD AQ =，则根据“SSS ”可判断APQ DQP ∆∆≌，则可对乙进行判断．【详解】解：如图1，PQ ∵垂直平分AD ，PA PD ∴=，QA QD =，而PQ PQ =，()APQ DPQ SSS ∴∆∆≌，所以甲正确；如图2，//PD AQ ，//DQ AP ，∴四边形APDQ 为平行四边形，PA DQ ∴=，PD AQ =，而PQ QP =，()APQ DQP SSS ∴∆∆≌，所以乙正确．故选A ．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定．11.某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ）A. aB. bC. cD. d【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，故选：D ．【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.如图，坐标平面上有一顶点为A 的抛物线，此抛物线与方程式2y ＝的图形交于B 、C 两点，ABC ∆为正三角形．若A 点坐标为()3,0-，则此抛物线与Y 轴的交点坐标为何？（ ）A. 90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 270,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()0,9 D. ()0,19【答案】B【解析】【分析】设()3,2B m --，()3,2C m -+，()0m >，可知2BC m =，再由等边三角形的性质可知233,23C ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，设抛物线解析式()23y a x =+，将点C 代入解析式即可求a ，进而求解.【详解】解：设()3,2B m --，()3,2C m -+，()0m > A 点坐标为()3,0-，2BC m ∴=，ABC ∆为正三角形，2AC m ∴=，C 60AO ∠=︒ ，233m ∴= 233,23C ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭设抛物线解析式()23y a x =+， 2233323a ⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭， 32a ∴=， ()2332y x ∴=+， 当0x =时，272y =； 故选B ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题的关键．13.随着时代的进步，人们对 2.5PM （空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中2.5PM 的值1y （3/ug m ）随时间t （h ）的变化如图所示，设2y 表示0时到t 时 2.5PM 的值的极差（即0时到t 时 2.5PM 的最大值与最小值的差），则2y 与t 的函数关系大致是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据极差的定义，分别从0t =、010t <≤、1020t <≤及2024t <≤时，极差2y 随t 的变化而变化的情况，从而得出答案．【详解】当0t =时，极差285850y =-=，当010t <≤时，极差2y 随t 的增大而增大，最大值为43；当1020t <≤时，极差2y 随t 的增大保持43不变；当2024t <≤时，极差2y 随t 的增大而增大，最大值为98；故选B ．【点睛】本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法．二、填空题（每题4分，共48分）14.若分式1x x -的值为0，则x 的值为__________． 【答案】0【解析】【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值． 【详解】∵分式1x x -的值为0， ∴x=0，x-1≠0，故答案为：0．【点睛】此题考查分式值为零的条件，解题关键在于掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．15.在平面直角坐标系中，点()4,2P 到x 轴的距离是__________． 【答案】2【解析】【分析】 根据点的坐标的意义求解．【详解】点P （4，2）到x 轴的距离为2．故答案为2．【点睛】此题考查点的坐标，解题关键在于掌握把有顺序的两个数a 和b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b ）．建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限；坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．16.不等式组x 12x 74⎧-⎪⎨⎪-+>⎩的解集是_____．【答案】2x -≤【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式12x ≤-，得：2x -≤， 解不等式+7>4x -，得：x<3，则不等式组的解集为2x -≤，故答案为2x -≤．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．17.(2013tan 602π-⎛⎫--︒+= ⎪⎝⎭__________．【答案】5【解析】【分析】根据二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，进行计算即可.【详解】原式=33+4-33+1⨯=5，故答案为：5.【点睛】此题考查二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题关键在于掌握运算法则.18.某超市销售A ，B ，C ，D 四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．这四种矿泉水某天的销售量如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是__________元．【答案】2.25【解析】【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．【详解】这天销售的矿泉水的平均单价是5×10%+3×15%+2×55%+1×20%=2.25（元），故答案为：2.25．【点睛】此题考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．19.当99x =时，代数式2221111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭的值为__________． 【答案】1100【解析】 【分析】先根据分式的混合运算化简原式，再把x=99，代入即可解答. 【详解】2221111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭=()()()21-11111x x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭=()()()211-1111x x x x x x x +-⎛⎫- ⎪--⎝⎭+ =1-11+1x x x - =1+1x 把99x =代入可得：11=99+1100， 故答案为：1100. 【点睛】此题考查分式化简求值，解题关键在于掌握运算法则.20.如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为2y ax bx =+，小强骑自行车从拱梁一端O 匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶到10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需__________秒．【答案】36【解析】【分析】10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则A ，B 一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O 到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC 之间的时间．【详解】如图所示：设在10秒时到达A 点，在26秒时到达B ，∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，∴A ，B 关于对称轴对称．则从A 到B 需要16秒，则从A 到D 需要8秒．∴从O 到D 需要10+8=18秒．∴从O 到C 需要2×18=36秒．故答案为：36．【点睛】此题考查二次函数的应用，注意到A 、B 关于对称轴对称是解题的关键．21.如图，直线()0y kx b k =+＜经过点()3,1A ，当13kx b x +<时，x 的取值范围为__________．【答案】3x >【解析】【分析】根据题意结合图象首先可得13y x =的图象过点A ，因此便可得13kx b x +<的解集. 【详解】解：∵正比例函数13y x =也经过点A ， ∴13kx b x +<的解集为3x >， 故答案为3x >．【点睛】本题主要考查函数的不等式的解，关键在于根据图象来判断，这是最简便的解题方法.22.如图,边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合,E 、F 分别是AD 、BA 的延长与⊙O 的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留π)【答案】π－1【解析】【分析】延长DC ，CB 交⊙O 于M ，N ，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【详解】解：延长DC ，CB 交⊙O 于M ，N ，则图中阴影部分的面积＝14×（S 圆O −S 正方形ABCD ）＝14×（4π−4）＝π−1， 故答案为π−1．【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 23.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴上，对角线BD x ∥轴，反比例函数()0,0k y k x x=>>的图象经过矩形对角线的交点E ，若点20A （，），04D （，），则k 的值为__________．【答案】20【解析】【分析】根据平行于x 轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B （x ，4）．利用矩形的性质得出E 为BD 中点，∠DAB=90°．根据线段中点坐标公式得出E （12x ，4）．由勾股定理得出AD 2+AB 2=BD 2，列出方程22+42+（x-2）2+42=x 2，求出x ，得到E 点坐标，代入y=k x ，利用待定系数法求出k ． 【详解】∵BD ∥x 轴，D （0，4）， ∴B 、D 两点纵坐标相同，都为4，∴可设B （x ，4）．∵矩形ABCD 的对角线的交点为E ，∴E 为BD 中点，∠DAB=90°．∴E （12x ，4）． ∵∠DAB=90°，∴AD 2+AB 2=BD 2，∵A （2，0），D （0，4），B （x ，4），∴22+42+（x-2）2+42=x 2，解得x=10，∴E （5，4）．∵反比例函数y=k x（k ＞0，x ＞0）的图象经过点E ， ∴k=5×4=20． 故答案为20．【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E 点坐标是解题的关键．24.某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用，已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘缆车，回程有10人搭乘缆车，若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有__________人．【答案】16【解析】【分析】设此旅行团有x 人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有y 人，根据题意列出二元一次方程，求出其解．【详解】设此旅行团有x 人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有y 人，根据题意得， 2003004100(15)(10)x y y y x +⎧⎨-+-⎩＝＝ ， 解得79x y ⎧⎨⎩＝＝， 则总人数为7+9=16（人）故答案为16．【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组． 25.如图，正方形ABCD 和Rt AEF ，10AB =，8AE AF ==，连接BF ，DE ．若AEF 绕点A 旋转，当ABF ∠最大时，ADE S =__________．【答案】24【解析】【分析】作DH ⊥AE 于H ，如图，由于AF=8，则△AEF 绕点A 旋转时，点F 在以A 为圆心，8为半径的圆上，当BF 为此圆的切线时，∠ABF 最大，即BF ⊥AF ，利用勾股定理计算出BF=6，接着证明△ADH ≌△ABF 得到DH=BF=6，然后根据三角形面积公式求解．【详解】作DH ⊥AE 于H ，如图，∵AF=8，当△AEF 绕点A 旋转时，点F 在以A 为圆心，8为半径的圆上，∴当BF 为此圆的切线时，∠ABF 最大，即BF ⊥AF ，在Rt △ABF 中，22108-=6，∵∠EAF=90°，∴∠BAF+∠BAH=90°，∵∠DAH+∠BAH=90°，∴∠DAH=∠BAF ，在△ADH 和△ABF 中AHD AFB DAH BAF AD AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∴△ADH ≌△ABF （AAS ），∴DH=BF=6，∴S △ADE =12AE•DH=12×6×8=24． 故答案为24．【点睛】此题考查旋转的性质，正方形的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．。
甘肃省庆阳市2019-2020学年九年级数学上期末试卷(含答案)
甘肃省庆阳市2018届九年级（上）期末数学试卷(解析版)一、选择题1．下列事件中是必然发生的事件是（）A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上B．射击运动员射击一次，命中十环C．在地球上，抛出的篮球会下落D．明天会下雨2．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（）A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．103．已知P（x，y）在第三象限，且|x|=1，|y|=7，则点P关于x轴对称的点的坐标是（）A．（﹣1.7）B．（1，﹣7）C．（﹣1，﹣7）D．（1，7）4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（）A．B．C．D．5．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A．B．C． D．6．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率C．抛一枚硬币，出现正面的概率D．任意写一个整数，它能被2整除的概率7．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315 8．二次函数y=x2+4x+3的图象可以由二次函数y=x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位9．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°10．如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论：①OC∥AE；②EC=BC；③∠DAE=∠ABE；④AC⊥OE，其中正确的有（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C= ．12．若（m﹣2）﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为．13．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于cm．14．如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是．15．将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是．16．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P 截得的弦AB的长为，则a的值是．17．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论： ①b 2＞4ac ； ②2a+b=0； ③a+b+c ＞0；④若点B （﹣，y 1），C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2． 其中正确结论是 ．三、解答题（共78分）18．（6分）计算：（3﹣π）0﹣+（﹣1）2011．19．（6分）先化简，再求值：，其中x 满足x 2﹣3x+2=0．20．（7分）已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．21．（7分） 如图，将小旗ACDB 放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A （﹣6，12），B （﹣6，0），C （0，6），D （﹣6，6）．以点B 为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°．（1）画出旋转后的小旗A′C′D′B′； （2）写出点A′，C′，D′的坐标；（3）求出线段BA 旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积．22．（8分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去，否则小亮去．（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．23．（8分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？24．（8分）如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB 上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）26．（9分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E，线段DE交AC于点F．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）线段DF与AB有怎样的关系？证明你的结论．27．（14分）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？2019-2020学年甘肃省庆阳市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列事件中是必然发生的事件是（）A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上B．射击运动员射击一次，命中十环C．在地球上，抛出的篮球会下落D．明天会下雨【考点】随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【解答】解：A、抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上是随机事件，故A错误；B、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故B错误；C、在地球上，抛出的篮球会下落是必然事件，故C正确；D、明天会下雨是随机事件，故D错误；故选：C．【点评】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（）A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10【考点】根与系数的关系．【分析】利用根与系数的关系表示出m+n与mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n与mn的值代入即可求出a的值．【解答】解：根据题意得：m+n=3，mn=a，∵（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=﹣6，∴a﹣3+1=﹣6，解得：a=﹣4．故选C【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．3．已知P（x，y）在第三象限，且|x|=1，|y|=7，则点P关于x轴对称的点的坐标是（）A．（﹣1.7）B．（1，﹣7）C．（﹣1，﹣7）D．（1，7）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】直接利用第三象限点的性质得出x，y的值，进而利用关于x轴对称点的性质得出是解题关键．【解答】解：∵P（x，y）在第三象限，且|x|=1，|y|=7，∴P（﹣1，﹣7），∴点P关于x轴对称的点的坐标是：（﹣1，7）．故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质以及第三象限点的坐标性质，正确记忆各象限内点的坐标性质是解题关键．4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式；轴对称图形．【分析】由随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，∴使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是：3÷5=．故选C．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义．5．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A．B．C． D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】本题可先由一次函数y=﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选D．【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．6．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率C．抛一枚硬币，出现正面的概率D．任意写一个整数，它能被2整除的概率【考点】利用频率估计概率．【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【解答】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项错误；B、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：=≈0.33；故此选项正确；C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项错误．故选：B．【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．7．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2=315，故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．8．二次函数y=x2+4x+3的图象可以由二次函数y=x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】把二次函数y=x2+4x+3化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函数y=x2的图象平移而得到．【解答】解：根据题意y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y=x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到．故选B．【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．9．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【分析】作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．【解答】解：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°，又OA=OB，∴∠CBA=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=∠AOB=60°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质．10．如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论：①OC∥AE；②EC=BC；③∠DAE=∠ABE；④AC⊥OE，其中正确的有（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个【考点】切线的性质；垂径定理．【分析】由C为弧EB中点，利用垂径定理的逆定理得到OC垂直于BE，根据等弧对等弦得到BC=EC，再由AB为直角，利用圆周角定理得到AE垂直于BE，进而得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到OC与AE平行，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到AB与DA垂直，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE，根据E不一定为弧AC中点，可得出AC与OE不一定垂直，即可确定出结论成立的序号．【解答】解：∵C为的中点，即，∴OC⊥BE，BC=EC，选项②正确；∴∠BFO=90°，∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，即∠BEA=90°，∴∠BFO=∠BEA，∴OC∥AE，选项①正确；∵AD为圆的切线，∴∠DAB=90°，即∠DAE+∠EAB=90°，∵∠EAB+∠ABE=90°，∴∠DAE=∠ABE，选项③正确；点E不一定为中点，故E不一定是中点，选项④错误，则结论成立的是①②③，故选C【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定，以及垂径定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．二、填空题11．圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C= 110°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=70°，∴∠C=110°，故答案为110°【点评】本题考查圆内接四边形的性质，记住圆内接四边形对角互补是解题的关键．12．若（m﹣2）﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为﹣2 ．【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：根据题意得：，解得：m=﹣2．故答案是：﹣2．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．13．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于7 cm．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等【解答】解：由折叠的性质知，AE=CE，∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm．故答案为：7．【点评】本题考查了翻折变换的知识，利用了折叠的性质．14．如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是6．【考点】圆锥的计算．【分析】根据弧长求得圆锥的底面半径和扇形的半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．【解答】解：∵弧长为6π，∴底面半径为6π÷2π=3，∵圆心角为120°，∴=6π，解得：R=9，∴圆锥的高为=6，故答案为：6．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够利用圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长求得圆锥的底面半径，难度一般．15．将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是y=﹣2（x﹣3）2﹣2，．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据抛物线解析式间的关系，可得顶点式解析式，根据绕它的顶点旋转180°，可得顶点相同，开口方向相反，可得答案．【解答】解：y=2x2﹣12x+16，顶点式y=2（x﹣3）2﹣2，抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是y=﹣2（x﹣3）2﹣2，故答案为：y=﹣2（x﹣3）2﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了绕定点旋转的规律．16．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P 截得的弦AB的长为，则a的值是．【考点】垂径定理；坐标与图形性质．【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB=2，∴AE=，PA=2，∴PE=1．∵点D在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P 的圆心是（2，a ）， ∴点D 的横坐标为2， ∴OC=2， ∴DC=OC=2， ∴a=PD+DC=2+． 故答案为：2+．【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x 与x 轴的夹角是45°．17．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论： ①b 2＞4ac ； ②2a+b=0； ③a+b+c ＞0；④若点B （﹣，y 1），C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2． 其中正确结论是 ①④ ．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①根据抛物线与x 轴交点个数可判断；②根据抛物线对称轴可判断；③根据抛物线与x 轴的另一个交点坐标可判断；④根据B 、C 两点离对称轴的距离的大小，可判断． 【解答】解：由函数图象可知抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2﹣4ac ＞0即b 2＞4ac ，故①正确； ∵对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，即2a ﹣b=0，故②错误；∵抛物线与x 轴的交点A 坐标为（﹣3，0）且对称轴为x=﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一交点为（1，0），∴将（1，0）代入解析式可得，a+b+c=0，故③错误；由|﹣+1|＞|﹣+1|，可知点B 离对称轴距离较远， ∴y 1＜y 2，故④正确；综上，正确的结论是：①④， 故答案为①④．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；抛物线与x 轴的交点个数，决定了b 2﹣4ac 的符号，此外还要注意x=1，﹣3对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．三、解答题（共78分）18．计算：（3﹣π）0﹣+（﹣1）2011．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．【分析】先利用零指数幂的意义和二次根式的除法法则运算，然后合并即可．【解答】解：原式=1﹣（﹣）﹣1=1﹣（2﹣）﹣1=1﹣2+﹣1=﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．19．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣3x+2=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；分式的化简求值．【分析】本题要对分式进行化简，可对分式中的分子分母进行因式分解，将可进行约分的式子约掉．然后根据方程x2﹣3x+2=0解出x的值，代入已化简的分式中．【解答】解：原式=，∵x2﹣3x+2=0，∴（x﹣2）（x﹣1）=0，∴x=1或x=2，当x=1时，（x﹣1）2=0，分式无意义．∴x=2，原式=2．【点评】本题考查了分式的化简和一元二次方程的解法，在解题时学生往往会忽略x的不可取问题．分式中分母不为0，因此x≠±1．20．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．（2）设方程的另一根为x1【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x，由根与系数的关系得：1，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．21．如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A（﹣6，12），B（﹣6，0），C（0，6），D（﹣6，6）．以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°．（1）画出旋转后的小旗A′C′D′B′；（2）写出点A′，C′，D′的坐标；（3）求出线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积．【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算．【分析】（1）根据平面直角坐标系找出A′、C′、D′、B′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据旋转的性质分别写出点A′，C′，D′的坐标即可；（3）先求出AB的长，再利用扇形面积公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）小旗A′C′D′B′如图所示；（2）点A′（6，0），C′（0，﹣6），D′（0，0）；（3）∵A（﹣6，12），B（﹣6，0），∴AB=12，∴线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积==36π．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积计算，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．22．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去，否则小亮去．（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能性结果，再找出其中数字之和小于4的结果数，然后根据概率公式求解；（2）利用概率公式计算出P（和不小于4），则P（和小于4）≠P（和不小于4），于是可判断游戏不公平，改变游戏规则后使数字之和小于4和数字之和不小于4的结果数相等即可．【解答】解：（1）画树状图：共有12种等可能性结果，其中数字之和小于4的有3种情况，所以P（和小于4）==，即小颖参加比赛的概率为；（2）该游戏不公平．理由如下：因为P（和不小于4）=，所以P（和小于4）≠P（和不小于4），所以游戏不公平，可改为：若数字之和为偶数，则小颖去；若数字之和为奇数，则小亮去．【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法．23．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．【解答】解：（1）S=y（x﹣40）=（x﹣40）（﹣10x+1200）=﹣10x2+1600x﹣48000；（2）S=﹣10x2+1600x﹣48000=﹣10（x﹣80）2+16000，则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．24．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到=4.5；，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．【解答】解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，=4.5；∴当t=时，y最大（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，。
天津市部分区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1.下列方程中有一个根为﹣1的方程是（）A. x2+2x＝0B. x2+2x﹣3＝0C. x2﹣5x+4＝0D. x2﹣3x﹣4＝0【答案】D【解析】【分析】利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断．【详解】解：A、当x＝﹣1时，x2+2x＝1﹣2＝﹣1，所以x＝﹣1不是方程x2+2x＝0的解；B、当x＝﹣1时，x2+2x﹣3＝1﹣2﹣3＝﹣4，所以x＝﹣1不是方程x2+2x﹣3＝0的解；C、当x＝﹣1时，x2﹣5x+4＝1+5+4＝10，所以x＝﹣1不是方程x2﹣5x+4＝0的解；D、当x＝﹣1时，x2﹣3x﹣4＝1+3﹣4＝0，所以x＝﹣1是方程x2﹣3x﹣4＝0的解．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的解即能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.下列成语描述的事件为随机事件的是（）A. 守株待兔B. 水中捞月C. 瓮中捉鳖D. 水涨船高【答案】A【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A.守株待兔是随机事件，故A符合题意；B.水中捞月是不可能事件，故B不符合题意；C.瓮中捉鳖是必然事件，故C不符合题意；D.水涨船高是必然事件，故D不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（）A. y＝2（x﹣1）2﹣3B. y＝2（x﹣2）2﹣3C. y＝2（x﹣1）2+3D. y＝2（x﹣2）2+3【答案】C【解析】【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．【详解】解：提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+5，配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2，即y＝2（x﹣1）2+3．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的三种形式，一般式：y=ax2＋bx ＋c ，顶点式：y=a(x-h)2+k ；两根式：y= ()12).a x x x x --（5.已知⊙O 中最长的弦为8cm ，则⊙O 的半径为( )cm ．A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】【分析】 ⊙O 最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．【详解】∵⊙O 中最长的弦为8cm ，即直径为8cm ，∴⊙O 的半径为4cm ．故选B.【点睛】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．6. 下列说法中正确的是（ ）A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件C. “概率为0.0001的事件”是不可能事件D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 【答案】B 【解析】 试题分析：A ．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误； B ．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项正确； C ．“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项错误； D ．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，选项错误． 故选B ． 考点：随机事件． 7.如图，已知AB 、AC 都是⊙O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M ，N ，若MN，那么BC 等于（）A. 5B. 5C. 5D. 10【答案】C【解析】【分析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点，故MN是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．【详解】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N分别是AB与AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴BC＝2MN＝5故选：C．【点睛】本题考查垂径定理、三角形中位线定理；熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．8.下列方程没有实数根的是（）A. x2﹣x﹣1＝0B. x2﹣6x+5＝0C. x2﹣3x+3＝0D. x2+x+1＝0【答案】D【解析】【分析】首先根据题意判断上述四个方程的根的情况，只要看根的判别式△= 2b-4ac的值的符号即可．【详解】解：A、∵△＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；B、∵△＝b2﹣4ac＝36﹣20＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；C 、∵△＝b 2﹣4ac ＝12﹣12＝0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；D 、∵△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查根的判别式．一元二次方程2+00ax bx c a +=≠（）的根与△= 2b -4ac 有如下关系：（1) △>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2) △=0⇔方程有两个相等的实数根；(3) △<0⇔方程没有实数根． 9.一个不透明的袋子中装有10个只有颜色不同的小球，其中2个红球，3个黄球，5个绿球，从袋子中任意摸出一个球，则摸出的球是绿球的概率为（ ） A. 15 B. 310 C. 13 D. 12【答案】D【解析】【分析】随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【详解】解：绿球的概率：P ＝510＝12， 故选：D ．【点睛】本题考查概率相关概念，熟练运用概率公式计算是解题的关键．10.边长为2的正六边形的面积为（ ）A. B. C. 6 【答案】A【解析】【分析】首先根据题意作出图形，然后可得△OBC 是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH 的长，继而求得正六边形的面积．【详解】解：如图，连接OB ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于H ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC ＝16×360°＝60°， ∵OB ＝0C ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝OC ＝2，∴它的半径为2，边长为2；∵在Rt △OBH 中，OH ＝OB•sin60°＝2×32， ∴边心距是：3；∴S 正六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×12×2×3＝63．故选：A ．【点睛】本题考查圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．11.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率均为x ，则所列方程正确的是（ ）A. 2(1)4400x +=B. 2(1) 1.44x += C. 210000(1)4400x +=D. 10000(12)14400x += 【答案】B【解析】【分析】直接根据题意得出第三季度投放单车的数量为：（1+x ）2=1+0.44，进而得出答案．【详解】解：设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x ，根据题意可得：（1+x ）2=1.44．故选：B ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．12.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc >；②930a b c ++=；③248b ac a -<；④50a b c ++>．其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】 根据图象可直接判断a 、c 的符号，再结合对称轴的位置可判断b 的符号，进而可判断①；抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④.【详解】解：①由图象可知：0a >，0c <，由于对称轴02b a ->，∴0b <，∴0abc >，故①正确； ②∵抛物线过(3,0)，∴3x =时，930y a b c =++=，故②正确； ③顶点坐标为：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图象可知：2424ac b a -<-，∵0a >，∴248ac b a -<-，即248b ac a ->，故③错误； ④由图象可知：12b a ->，0a >，∴20a b +<， ∵930a b c ++=，∴93c a b =--，∴5593422(2)0a b c a b a b a b a b ++=+--=--=-+>，故④正确； 故选C ．【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.二．填空题（共6小题）13.一元二次方程（x﹣5）（x﹣7）＝0的解为_____．【答案】x1＝5，x2＝7【解析】【分析】根据题意利用ab=0得到a=0或b=0，求出解即可.【详解】解：方程（x﹣5）（x﹣7）＝0，可得x﹣5＝0或x﹣7＝0，解得：x1＝5，x2＝7，故答案为：x1＝5，x2＝7.【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.抛掷一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上的概率是_____．【答案】1 2【解析】【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币，其等可能的情况有2个，求出正面朝上的概率即可．【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币，等可能的情况有：正面朝上，反面朝上，则P（正面朝上）=12．故答案为12．【点睛】本题考查了概率公式，概率=发生的情况数÷所有等可能情况数．15.已知点A（a，1）与点A′（5，b）是关于原点对称，则a+b =________．【答案】-6【解析】试题分析：根据关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数可知a＝－5，b＝－1，所以a＋b＝(－5)＋(－1)=－6，故答案为－6．16.某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．【答案】15【解析】【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．【详解】解：设利润为w元，则w＝（20﹣x）（x﹣10）＝﹣（x﹣15）2+25，∵10≤x≤20，∴当x＝15时，二次函数有最大值25，故答案是：15．【点睛】本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．17.一个扇形的弧长是83π，它的面积是163π，这个扇形的圆心角度数是_____．【答案】120°【解析】【分析】设扇形的半径为r，圆心角为n°．利用扇形面积公式求出r，再利用弧长公式求出圆心角即可．【详解】设扇形的半径为r，圆心角为n°．由题意：1816··233rππ=,∴r＝4，∴2416 3603 nππ=∴n＝120，故答案为120°【点睛】本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.18.如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP 于点F．①弦AB的长度为_____；②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为_____．【答案】(1). 23．(2). 3-1【解析】【分析】①在Rt△AOE中，解直角三角形求出AE即可解决问题．OF≤-，由此即可解②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，求出OH，FH，根据OF≥FH-OH，即31决问题．【详解】解：①如图，连接OA．∵OA＝OC＝2，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，∴AE＝OA•sin60°3∵OE⊥AB，∴AE＝EB，∴AB＝2AE＝故答案为②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，∵OA＝OC，AH＝HC，∴OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，∵∠COH＝30°，∴OH＝12OC＝1，HC，AC＝∵CF⊥AP，∴∠AFC＝90°，∴HF＝12AC，∴OF≥FH﹣OH，即1，∴OF1．1．【点睛】本题考查轨迹，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．三．解答题（共7小题）19.已知抛物线y=x2+bx+c的图像过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．求抛物线的解析式和顶点坐标.【答案】y=x2-2x-3，顶点坐标为（1，-4）.【解析】【分析】把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标. 【详解】∵抛物线经过A（-1，0），B（3，0）两点，∴10 930b cb c-+⎧⎨++⎩＝＝，解得b= -2，c= -3，∴抛物线解析式为y=x2-2x-3 ．∵ y=x2-2x-3=（x-1）2 -4，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）.【点睛】本题考查了待定系数法、二次函数的性质.20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，5），C（4，2）（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）将△ABC平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1C1；（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析，点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣1，﹣3），（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2）；（3）是，对称中心的坐标的坐标为（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）利用点A和1A坐标的关系确定平移的方向与距离，关于利用此平移规律写出B1、C1的坐标，然后描点即可；(2)利用关于点对称的点的坐标特征写出A2，B2，C2的坐标，然后描点即可；(3）连接A1 A2，B1 B2，C1 C2，它们都经过点P，从而可判断△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，再写出P点坐标即可．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣1，﹣3），（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2）；（3）△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，如图，对称中心的坐标的坐标为（﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21.现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．（Ⅰ）从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是_____；（Ⅱ）若从中随机抽取一张卡片，不放回，再从剩下的3张中随机抽取1张卡片，请用画树形图或列表的方法，求两次抽取的卡片都是轴对称图形的概率．【答案】（Ⅰ）14；（Ⅱ）12【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，直接利用概率公式求解可得；（Ⅱ）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】解：（Ⅰ）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为14，故答案为：14；（Ⅱ）画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果，则两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为612＝12．【点睛】本题考查列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率.22.已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧两点，∠BAC＝26°．（Ⅰ）如图1，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；（Ⅱ）如图2，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．【答案】（Ⅰ）∠ABC＝64°，∠ODC＝71°；（Ⅱ）∠ACD＝19°．【解析】【分析】（I）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的内角和得到∠ABC=65°，由等腰三角形的性质得到∠OCD=∠OCA＋∠ACD=70°，于是得到结论；(II）如图2，连接OC，根据圆周角定理和切线性质即可得到结论．【详解】解：（Ⅰ）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝26°，∴∠ABC＝64°，∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠ACD＝12∠AOD＝12×90°＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝26°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝71°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝71°；（Ⅱ）如图2，连接OC，∵∠BAC＝26°，∴∠EOC＝2∠A＝52°，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∴∠E＝38°，∵OD∥CE，∴∠AOD＝∠E＝38°，∴∠ACD＝12AOD＝19°．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边），设AB ＝xm ．（Ⅰ）若花园的面积是252m 2，求AB 的长；（Ⅱ）当AB 的长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？【答案】（Ⅰ）13m 或19m ；（Ⅱ）当AB ＝16时，S 最大，最大值为：256．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意得出长×宽=252列出方程，进一步解方程得出答案即可；（Ⅱ）设花园的面积为S ，根据矩形的面积公式得到S=x （28-x)=- 2x ＋28x=–()214x -+196，于是得到结果．【详解】解：（Ⅰ）∵AB ＝xm ，则BC ＝（32﹣x ）m ，∴x （32﹣x ）＝252，解得：x 1＝13，x 2＝19，答：x 的值为13m 或19m ；（Ⅱ）设花园的面积为S ，由题意得：S ＝x （32﹣x ）＝﹣x 2+32x ＝﹣（x ﹣16）2+256，∵a ＝﹣1＜0，∴当x＝16时，S最大，最大值为：256．【点睛】本题主要考查二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．24.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；(2)如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.【答案】（1）15°；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝12AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝12AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，从而得到DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，接着由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，∵CA＝DA，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，∴∠CDE＝75°−60°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝12 AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12 AC，∴BF＝BC，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，∴BE＝AB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△AFD≌△CBA，∴DF＝BA，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．25.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2（a是常数），（Ⅰ）若该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；（Ⅱ）不论a取何实数，该抛物线都经过定点H．①求点H的坐标；②证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．【答案】（Ⅰ）a ＝﹣12，抛物线与x 轴另一交点坐标是（0，0）；（Ⅱ）①点H 的坐标为（2，6）；②证明见解析.【解析】【分析】 (I ）根据该抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），可以求得的值及该抛物线与x 轴另一交点坐标； (II)①根据题目中的函数解析式可以求得点H 的坐标；②将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可证明点H 是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．【详解】（Ⅰ）∵抛物线y ＝x 2﹣2ax+4a+2与x 轴的一个交点为（﹣1，0），∴0＝（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+4a+2，解得，a ＝﹣12， ∴y ＝x 2+x ＝x （x+1），当y ＝0时，得x 1＝0，x 2＝﹣1，即抛物线与x 轴另一交点坐标是（0，0）；（Ⅱ）①∵抛物线y ＝x 2﹣2ax+4a+2＝x 2+2﹣2a （x ﹣2），∴不论a 取何实数，该抛物线都经过定点（2，6），即点H 的坐标为（2，6）；②证明：∵抛物线y ＝x 2﹣2ax+4a+2＝（x ﹣a ）2﹣（a ﹣2）2+6，∴该抛物线的顶点坐标为（a ，﹣（a ﹣2）2+6），则当a ＝2时，﹣（a ﹣2）2+6取得最大值6，即点H 是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．。
江苏省徐州市部分初中2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
3.关于 2,6,1,10,6 这组数据，下列说法正确的是（
）
A. 这组数据的平均数是 6 C. 这组数据的众数是 6
B. 这组数据的中位数是 1 D. 这组数据的方差是 10.2
【答案】 C
【解析】 【分析】 先把数据从小到大排列，然后根据算术平均数，中位数，众数的定义得出这组数据的平均数、中位数、众 数，再利用求方差的计算公式求出这组数据的方差，再逐项判定即可．
【详解】解：数据从小到大排列为： 1， 2 ， 6， 6 ，10 ，
中位数为： 6 ；
众数为： 6；
1
平均数为：
5 1
方差 ：
5
1 2 6 6 10
2
2
15 2 5
5；
2
65
故选： C．
2
65
2
10 5
10.4 ．
【点睛】本题考查的知识点是平均数，中位数，众数，方差的概念定义，熟记定义以及方差公式是解此题 的关键．
2019-2020 学年度第一学期期末检测
九年级数学试题
一、选择题：本大题共 8 个小题 ,每小题 3 分 ,共 24 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 .
1. 下列图形，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A 【解析】 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解： A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
1
A.
2
1
B.
3
1
C.
4
【答案】 D
）
1
D.
5
【解析】
【分析】
江苏省徐州市部分初中2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年度第一学期期末检测九年级数学试题一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列图形，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的知识点是识别轴对称图形与中心对称图形，需要注意的是轴对称图形是关于对称轴成轴对称；中心对称图形是关于某个点成中心对称．2.10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（）A. 12B.13C.14D.15【答案】D 【解析】【分析】由于10件产品中有2件次品，所以从10件产品中任意抽取1件，抽中次品的概率是21 105．【详解】解：()21P 105==次品 ． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率，根据题目找出全部情况的总数以及符合条件的情况数目是解此题的关键．3.关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（ ）A. 这组数据的平均数是6B. 这组数据的中位数是1C. 这组数据的众数是6D. 这组数据的方差是10.2 【答案】C【解析】【分析】先把数据从小到大排列，然后根据算术平均数，中位数，众数的定义得出这组数据的平均数、中位数、众数，再利用求方差的计算公式求出这组数据的方差，再逐项判定即可．【详解】解：数据从小到大排列为：1，2，6，6，10，中位数为：6；众数为：6； 平均数为：()112661055⨯++++=；方差：()()()()()2222211525656510510.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦． 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是平均数，中位数，众数，方差的概念定义，熟记定义以及方差公式是解此题的关键．4.已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为d ，若关于x 的方程x 2-2x+d=0有实数根,则点P ( )A. 在⊙O 的内部B. 在⊙O 的外部C. 在⊙O 上D. 在⊙O 上或⊙O 内部【答案】D【解析】【分析】先根据条件x2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0，求出d的范围，进而得出d与r的数量关系，即可判断点P和⊙O的关系..【详解】解：∵关于x的方程x2 -2x+d=0有实根，∴根的判别式△=（-2）2 -4×d≥0，解得d≤1，∵⊙O的半径为r=1,∴d≤r∴点P圆内或在圆上.故选：D.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径，即当d>r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.5.如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（）A. 180°﹣2αB. 2αC. 90°+αD. 90°﹣α【答案】D【解析】连接OC，则有∠BOC=2∠A=2α，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∴2∠OBC+2α=180°，∴∠OBC=90°-α，故选D.6.将函数图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（）A. 向左平移1个单位B. 向右平移3个单位C. 向上平移3个单位D. 向下平移1个单位【答案】D【解析】A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A点，故A不符合题意；B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A点，故B不符合题意；C.平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；D.平移后，得y=x2−1图象不经过A点，故D符合题意；故选D.7.已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（）A. B. C.4D.【答案】C【解析】【分析】根据圆内接正六边形的边长是1可得出圆的半径为1高为32，从而可得出面积．【详解】解：由题意可得出圆的半径为1，的∵△ABC 为正三角形，AO=1，CD AB ⊥，AD=BD ，AO=CO ， ∴1DO 2=，3CD 2=，∴AD 2==，∴AB =∴1322ABC S =⨯=V ． 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是正多边形的性质以及解直角三角形，根据圆内接正多边形的边长求出圆的半径是解此题的关键．8.如图，在Rt ABC ∆中，90C CD AB ∠=︒⊥，，垂足为点D ，一直角三角板的直角顶点与点D 重合，这块三角板饶点D 旋转，两条直角边始终与AC BC 、边分别相交于G H 、，则在运动过程中，ADG ∆与CDH ∆的关系是（ ）A. 一定相似B. 一定全等C. 不一定相似D. 无法判断 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件可得出A DCB ∠∠=，ADG CDH ∠∠=，再结合三角形的内角和定理可得出AGD CHD ∠∠=，从而可判定两三角形一定相似．【详解】解：由已知条件可得，ADC EDF CDB C 90∠∠∠∠====︒，∵A ACD ACD DCH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴A DCH ∠∠=，∵ADG EDC EDC CDH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴ADG CDH ∠∠=，继而可得出AGD CHD ∠∠=，∴ADG ~CDH V V ．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）9.方程290x -=的解为________.【答案】3x =±【解析】【分析】这个式子先移项，变成x 2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x 2=9，解得x =±3．故答案为3x =±．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a ≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2=b （b ≥0）；a （x +b ）2=c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．10.某一时刻，测得身高1.6m 的同学在阳光下的影长为2.8m ，同时测得教学楼在阳光下的影长为25.2m ，则教学楼的高为__________m .【答案】14.4【解析】【分析】 根据题意可知， 1.62.8=身高教学楼高影长教学楼影长，代入数据可得出答案．【详解】解：由题意得出：1.62.8=身高教学楼高影长教学楼影长，即，1.62.825.2=教学楼高解得，教学楼高=14.4．故答案为：14.4．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的应用以及平行投影，熟记同一时刻物高与影长成正比是解此题的关键．11.若32xy=，则x yy+的值为_____，【答案】52，【解析】分析】根据比例的合比性质变形得：325.22 x yy++==【详解】∵32 xy=，∴325.22 x yy++==故答案为5 2 .【点睛】本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．12.已知圆锥的侧面积为20πcm2，母线长为5cm，则圆锥底面半径为______cm．【答案】4【解析】【分析】由圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．【【详解】解：由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2， 根据圆锥的侧面展开扇形的弧长为：2405S l r π===8π， 再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 可得822l r πππ===4cm ． 故答案为：4．【点睛】本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．13.已知关于x 的方程230x mx m ++=的一个根为-2，则方程另一个根为__________．【答案】6【解析】【分析】将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解．【详解】解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；故原方程为：24120x x --=，解方程得：122,6x x =-=．故答案为：6．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，根据方程的一个解求出方程中参数的值是解此题的关键． 14.点P 在线段AB 上，且BP AP AP AB =.设4AB cm =，则BP =__________cm .【答案】(6-【解析】【分析】根据题意，将问题转化为解一元二次方程的求解问题即可得出答案．【详解】解：设BP=x ，则AP=4-x ， 根据题意可得，444x x x -=-， 整理为：212160x x -+=，利用求根公式解方程得：x 6===±∴16x =-264x =+>(舍去)．故答案为：6-．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽化出来的一元二次方程问题，将问题转化为一元二次方程求解问题，熟记一元二次方程的求根公式是解此题的关键．15.如图，O e 的直径AB 与弦CD 相交于点53E AB AC ==，，，则tan ADC ∠=______．【答案】34【解析】分析：由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC ，即可由tan∠ADC=tan∠ABC=AC BC 求得所求的值了. 详解：∵AB 是O e 的直径，，，ACB=90°，又，AC=3，AB=5，4=， ，tan，ABC=34AC BC =， 又，，ADC=，ABC， ，tan，ADC=34. 故答案为34.点睛：熟记“圆的相关性质和正切函数的定义”解得本题的关键.16.如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为_________________________．【答案】（32，2）．【解析】【详解】解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，设BE=DE=x，则AE=4-x，在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，∴（4-x）2+22=x2，∴x=52，∴BE=ED=52，AE=AD-ED=32，∴点E坐标（32，2）．故答案为：（32，2）．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），利用数形结合思想解题是关键．三、解答题（本大题共9小题，共84分）17.计算：（1）()2016032π-⎛⎫+︒-- ⎪⎝⎭； （2）解方程：2320x x -+=. 【答案】（1）6；（2）x 1=1,x 2=2 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及零次幂的相关知识求解即可； （2）用分解因式的方法求解即可．【详解】解：（1）原式=41+=4+3-1=6 （2）将原方程因式分解可得：(x-1)(x-2)=0， 即x-1=0或x-2=0 解得，x=1或x=2，所以方程的解为：11x =,22x =．【点睛】本题考查的知识点是实数的运算以及解一元二次方程，掌握负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数值以及解一元二次方程的方法等知识点是解此题的关键．18.现有三张分别标有数字-1,0,3的卡片，它们除数字外完全相同，将卡片背面朝上后洗匀. （1）从中任意抽取一张卡片，抽到标有数字3的卡片的概率为 ； （2）从中任意抽取两张卡片，求两张卡片上的数字之和为负数的概率. 【答案】（1）13；（2）13. 【解析】 【分析】（1）利用概率公式求解即可；（2）利用画树状图得出全部可能的情况，再找出符合题意的情况，即可得出所求概率． 【详解】解：（1）()1P 33=， ∴抽到标有数字3的卡片的概率为13；（2）解：用树状图列出所有可能出现结果：共有6种等可能结果，其中2种符合题意．∴P（数字之和为负数）=13．【点睛】本题考查的知识点是用树状图法求事件的概率，根据题意找出全部可能的情况，再找出符合题意的情况是解此题的关键．19.某校为了解每天的用电情况，抽查了该校某月10天的用电量，统计如下（单位：度）：（1）该校这10天用电量的众数是度，中位数是度；（2）估计该校这个月的用电量（用30天计算）.【答案】（1）113；113；（2）3240度.【解析】【分析】（1）分别利用众数、中位数的定义求解即可；（2）根据平均数的计算方法计算出平均用电量，再乘以总用电天数即可得解．【详解】解：（1）113度出现了3此,出现的次数最多，故众数为113度；将数据按从小到大的顺序排列，共10个数据，位于第5,6的数均为113，故中位数为113度；（2）130(9093204339114240)3240 10⨯+++++=（度）．答：估计该校该月的用电量为3240度．【点睛】本题考查的知识点是中位数、众数的概念定义以及算数平均线的计算方法，属于基础题目，易于理解掌握．20.如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为A （6,4），B （4,0），C （2,0）. （1）在y 轴左侧，以O 为位似中心，画出111A B C ∆，使它与ABC ∆的相似比为1:2； （2）根据（1）的作图，111tan A B C ∠= .【答案】（1）见解析；（2）-2 【解析】 【分析】（1）连接AO 并延长至1A ，使1AO 2AO =，同理作出点B ，C 的对应点，再顺次连接即可； （2）先根据图象找出三点的坐标，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）如图；（2）根据题意可得出()13,2A --，()12,0B -，()11,0C -， 设11A B 与x 轴的夹角为α，∴()111tan tan 180αtan α2A BC ∠=-=-=-．【点睛】本题考查的知识点是在坐标系中画位似图形，掌握位似图形的关于概念是解此题的关键． 21.如图，在一块长8m 、宽6m 的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽.【答案】花圃四周绿地的宽为1 m 【解析】 【分析】设花圃四周绿地的宽为x 米，根据矩形花圃的面积=矩形绿地面积的一半列方程求解即可． 【详解】解：设花圃四周绿地的宽为x m ， 由题意，得：（6-2x )(8-2x )=12⨯6×8， 解方程得：x 1=1,x 2=6(舍）， 答：花圃四周绿地的宽为1 m ．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，根据题意找出题目中的等量关系式是解此题的关键．22.某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元.试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件.设每件商品降价x 元时，日盈利为w 元.据此规律，解决下列问题： （1）降价后每件商品盈利 元，超市日销售量增加 件（用含x 的代数式表示）； （2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，超市的日盈利最大？最大为多少元？ 【答案】（1）(30-x );10x ；（2）每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元. 【解析】 【分析】（1）降价后的盈利等于原来每件的盈利减去降低的钱数；件降价1元，超市平均每天可多售出10件，则降价x 元，超市平均每天可多售出10x 件；（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=利润w ，化为一般式后，再配方可得出结论． 【详解】解：（1）降价后每件商品盈利(30-x)元；，超市日销售量增加10x 件； （2）设每件商品降价x 元时，利润为w 元根据题意得：w =(30-x )(100+10x )= -10x 2+200x +3000=-10(x -10)2+4000 ∵-10<0，∴w 有最大值，当x =10时，商场日盈利最大，最大值是4000元；答：每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，根据题意找出等量关系式列出利润w 关于x 的二次函数解析式是解题的关键．23.如图，已知ABC ∆中，3045ABC ACB ∠=︒∠=︒，，8AB =.求ABC ∆的面积.【答案】【解析】 【分析】过点A 作AD ⊥BC ,垂足为点D ，构造直角三角形，利用三角函数值分别求出AD 、BD 、CD 的值即可求三角形面积．【详解】解：过点A 作AD ⊥BC ,垂足为点D ， 在Rt △ADB 中，∵sin ADABC AB∠=， ∴sin AD AB ABC =⋅∠= 1842⨯= ∵cos BDABC AB∠=，∴cos 8BD AB ABC =⋅∠== 在Rt △ADC 中，∵45ACB ︒∠=， ∴45CAD ︒∠=， ∴AD =DC =4∴ 111()(448222ABC S BC AD BD CD AD ∆=⋅=+⋅=⨯+⨯=+【点睛】本题考查的知识点是利用勾股定理求三角形面积，通过作辅助线构造直角三角形结合三角函数值是解此题的关键．24.如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，9012ACB AB ∠=︒=，，过点C 的切线与AB 的延长线交于点D ，OE 交AC 于点F ，CAB E ∠=∠.（1）判断OE 与BC 的位置关系，并说明理由； （2）若3tan 4BCD ∠=，求EF 的长. 【答案】（1）OE ∥BC .理由见解析；（2）125【解析】 【分析】（1）连接OC ，根据已知条件可推出E ACO ∠∠=，进一步得出AFO EFC 90ACB ∠∠∠==︒=结论得以证明；（2）根据（1）的结论可得出∠E =∠BCD ，对应的正切值相等，可得出CE 的值，进一步计算出OE 的值，在Rt △AFO 中，设OF =3x ,则AF =4x ，解出x 的值，继而得出OF 的值，从而可得出答案． 【详解】解：（1） OE ∥BC .理由如下： 连接OC ，∵CD 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CD ， ∴∠OCE =90︒ ， ∴∠OCA +∠ECF =90︒， ∵OC =OA ， ∴∠OCA =∠CAB ． 又∵∠CAB =∠E ， ∴∠OCA =∠E ， ∴∠E +∠ECF =90︒，∴∠EFC =180O -(∠E +∠ECF ) =90︒． ∴∠EFC =∠ACB=90︒ ， ∴OE ∥BC ．(2)由(1)知，OE ∥BC ， ∴∠E =∠BCD ．在Rt △OCE 中，∵AB =12， ∴OC =6，∵tan E =tan ∠BCD =OCCE ， ∴468tan 3OC CE DCB ==⨯=∠． ∴OE 2=O C 2+CE 2=62+82， ∴OE =10又由（1）知∠EFC =90︒， ∴∠AFO =90︒．在Rt △AFO 中，∵tan A =tan E =34， ∴设OF =3x ,则AF =4x ．∵OA 2=OF 2+AF 2，即62=(3x )2+(4x )2，解得：65x =∴185OF =，∴18321055EF OE OF =-=-=．【点睛】本题是一道关于圆的综合题目，涉及到的知识点有切线的性质，平行线的判定定理，三角形内角和定理，正切的定义，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．25.如图，矩形OABC 中，O 为原点，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，点B 的坐标为（4,3），抛物线238y x bx c =-++与y 轴交于点A ，与直线AB 交于点D ，与x 轴交于C E ，两点.（1）求抛物线的表达式；（2）点P 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，与此同时，点Q 从点A 出发，在线段AC 上以每秒53个单位长度的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接DP DQ PQ 、、，设运动时间为t （秒）.①当t何值时，DPQ ∆得面积最小？②是否存在某一时刻t ，使DPQ ∆为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）233384y x x =-++；（2）① 32t =；②1234531724,3,,,2617t t t t t =====【解析】 【分析】（1）根据点B 的坐标可得出点A ，C 的坐标，代入抛物线解析式即可求出b ，c 的值，求得抛物线的解析式；（2）①过点Q 、P 作QF ⊥AB 、PG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ，推出△QF A ∽△CBA ，△CGP ∽△CBA ，用含t 的式子表示OF ，PG ，将三角形的面积用含t 的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；②由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意知：A (0,3),C (4,0)， ∵抛物线经过A 、B 两点，∴3316408c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得，343b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的表达式为：233384y x x =-++． (2)① ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B =90O ， ∴AC 2=AB 2+BC 2=5；由2333384x x -++=，可得120,2x x ==，∴D （2,3）． 过点Q 、P 作QF ⊥AB 、PG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ， ∵∠F AQ =∠BAC ， ∠QF A =∠CBA ， ∴△QF A ∽△CBA ．∴AQ QF AC BC=， ∴5335AQ QF BC t t AC =⋅=⋅=． 同理：△CGP ∽△CBA ，∴PG CP AB AB =∴CP PG AB AB =⋅，∴45PG t =， 1154162(5)2(3)22352DPQ ABC QAD PQC PBD S S S S S t t t t ∆∆∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-222229323323(3)3()3342322t t t t t =-+=-+-+=-+ 当32t =时，△DPQ 的面积最小.最小值为32．② 由图像可知点D 的坐标为(2,3)，AC=5,直线AC 的解析式为：3y 34x =-+．三角形直角的位置不确定，需分情况讨论： 当DPG 90∠=︒时，根据勾股定理可得出：()()22222255552t 3t 3434233434t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理，解方程即可得解；当DGP 90∠=︒时，可知点G 运动到点B 的位置，点P 运动到C 的位置，所需时间为t=3； 当PDG 90∠=︒时,同理用勾股定理得出：()()22222255552t 3t 3434233434t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-=-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 整理求解可得t 的值．由此可得出t 的值为：132t =,23t =,3176t =,42417t =,5176t =．【点睛】本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键．。