八年级下数学几何题(有答案)
八年级下期末复习5
如图1，四边形ABCD为正方形，E在CD上，∠DAE的平分线交CD于F，BG⊥AF于G，交AE
于H．
（1）如图1，∠DEA=60°，求证：AH=DF；
（2）如图2，E是线段CD上（不与C、D重合）任一点，请问：AH与DF有何数量关系并证明你
的结论；
（3）如图3，E是线段DC延长线上一点，若F是△ADE中与∠DAE相邻的外角平分线与CD的交
点，其它条件不变，请判断AH与DF的数量关系（画图，直接写出结论，不需证明）．
证明：（1）延长BG交AD于点S
∵AF是HAS的角的平分线，BS⊥AF
∴∠HAG=∠SAG，∠HGA=SGA=90°
又∵AG=AG
∴△AGH≌△AGS
∴AH=AS，
∵AB∥CD
∴∠AFD=∠BAG，
∵∠BAG+∠ABS=∠ABS+∠ASB=90°
∴∠BAG=∠ASB
∴∠ASB=∠AFD
又∵∠BAS=∠D=90°，AB=AD
∴△ABS≌△DAF
∴DF=AS
∴DF=AH．
（2）DF=AH．
同理可证DF=AH．
（3）DF=AH
如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点（点O不与A、C两点重合），过点O作直线MN
∥BC，直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．
（1）OE与OF相等吗？为什么？
（2）探究：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
（3）在（2）中，当∠ACB等于多少时，四边形AECF为正方形．（不要求说理由）
解：（1）如图所示：作EG⊥BC，EJ⊥AC，FK⊥AC，FH⊥BF，
因为直线EC，CF分别平分∠ACB与∠ACD，所以EG=EJ，FK=FH，
在△EJO与△FKO中，
∠AOE=∠CON ∠EJO=∠FKO EJ=FK ，
所以△EJO≌△FKO，即OE=OF
（2）当OA=OC，OE=OF时，四边形AECF是矩形，
证明：∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．
∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠FCD，
由∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠FCD=180°，
∴∠ECA+∠ACF=90°，即∠ECF=90°，
∴四边形AECF为矩形；
（3）由（2）可知，四边形AECF是矩形，要使其为正方形，再加上对角线垂直即可，即∠ACB=90°
（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为
F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间
存在的数量关系是什么？
即：FG=（AB+BC+AC）
（直接写出结果即可）
（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间
又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG
与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC
三边之间数量关系是
解如图
（1）FG=1 /2 （AB+BC+AC）；
（2）答：FG=1 /2 （AB+AC-BC）；
证明：延长AG交BC于N，延长AF交BC于M
∵AF⊥BD，AG⊥CE，
∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°
在Rt△AGC和Rt△CGN中
∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG
∴Rt△AGC≌Rt△CGN
∴AC=CN，AG=NG
同理可证：AF=FM，AB=BM．
∴GF是△AMN的中位线
∴GF=1/ 2 MN．
∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM
∴AB+AC-BC=MN
∴GF=1 /2 MN=1 /2 （AB+AC-BC）；
（3）线段FG与△ABC三边之间数量关系是：GF=1/ 2 （AC+BC-AB）．
已知：△ABC中，以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD和BCE，M为CD中点，N为
CE中点，P为AB中点．
（1）如图1，当∠ACB=120°时，∠MPN的度数为
；
（2）如图2，当∠ACB=α（0°＜α＜180°）时，∠MPN的度数是否变化？给出你的证明．
解：（1）∠MPN的度数为 60°；
（2）∠MPN的度数不变，仍是60°，理由如下：
证明：取AC、BC的中点分别为F，G，
连接MF、FP、PG、GN，
∵MF是等边三角形ACD的中位线，
∴MF=1 /2 AD=1 /2 AC，MF∥AD，
∵PG是△ABC的中位线，
∴PG=1/ 2 AC，PG∥AC，
∴MF=PG，
同理：FP=CG，
∴四边形CFPG是平行四边形，
∴∠CFP=∠CGP，
∴∠MFC+∠CFP=∠CGN+∠CGP，
即∠MFP=∠PGN，
∴△MFP≌△PGN（SAS），
∴∠FMP=∠GPN，
∵PG∥AC，
∴∠1=∠2，
在△MFP中，∠MFC+∠CFP+∠FMP+∠FPM=180°，
又∵∠MFC=60°，
∴∠CFP+∠FMP+∠FPM=120°，
∵∠CFP=∠1+∠3，
∴∠1+∠3+∠FMP+∠FPM=120°，
∵∠1=∠2，∠FMP=∠GPN，
∴∠2+∠3+∠GPN+∠FPM=120°，
又∵∠3+∠FPM+∠MPN+∠GPN+∠2=180°，
∴∠MPN=60°．
如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y=k/x
（x＞0）图象上一点，作AB⊥x轴于B点，AC⊥y轴于C点，
得正方形OBAC的面积为16．
（1） 求A点的坐标及反比例函数的解析式；．
（2）点P（m，16/3 ）是第一象限内双曲线上一点，请问：是否存在一条过P点的直线l与y轴正
半轴交于D点，使得BD⊥PC？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）连BC，将直线BC沿x轴平移，交y轴正半轴于D，交x轴正半轴于E点（如图所示），DQ
⊥y轴交双曲线于Q点，QF⊥x轴于F点，交DE于H，M是EH的中点，连接QM、OM．下列结
论：①QM+OM的值不变；②QM/OM
的值不变．可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．
解：（1）∵正方形OBAC的面积为16，
∴A（4，4）；（2分）
将A点代入反比例函数y=k /x （x＞0）中，得反比例函数的解析式：y=16/ x ；（2）将y=16/ 3 代
入y=16 /x 得：P(3，16 /3 )；
设存在点D，延长PC交x轴于E点；
∵∠COE=∠DOB=90°，∠ECO=∠DCP，
∴∠CEO=∠ODB；
而OC=OB，
∴△COE≌△BOD，∴OE=OD；
而C（0，4），P(3，16 /3 )，
∴直线CP的解析式为y=4 /9 x+4；
当y=0时，x=-9，
∴E（-9，0），
故D（0，9），
∴直线l的解析式为：y=-11/ 9 x+9
（3）选②，值为1．
连FM，
∵DE∥BC，
∴OE=OD=QF，而M是Rt△FHE的斜边中点，
∴EM=HM=FM；
∵∠OEH=∠QFM=45°，
∴△QMF≌△OME；
∴QM=OM；
∴QM OM =1．
湘教版八年级数学下册《1.2直角三角形的判定》同步测试题含答案
湘教版八年级数学下册《1.2直角三角形的判定》同步测试题含答案第1课时勾股定理A组·基础达标逐点击破知识点勾股定理1．已知a，b，c分别为△ABC的三边，a，b，c的对应角分别为∠A，∠B，∠C.下列说法错误的是（）A．若∠C=90∘，则a2+b2=c2B．若∠B=90∘，则a2+c2=b2C．若∠A=90∘，则b2+c2=a2D．总有a2+b2=c22．如图，在Rt△ABC中∠C=90∘，AC=3，BC=4，则AB=（）A．5 B．6 C．7 D．83．如图，在Rt△ABC的三边上，向外作三个正方形，其中两个的面积为S3=169，S2=144，则另一个的面积S1为（）A．50 B．30 C．25 D．1004．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线.已知AB=13，BC=24，则AD的长为（）A．5 B．6 C．8 D．105．如图①中b=__；如图②中，c=__.6．在Rt△ABC中∠C=90∘，且∠A，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c.（1）已知c=25，b=15，求a的长；（2）已知a=7，b=24，求c的长；（3）已知a:b=1:3，且c=10，求a，b的长.7．【数学文化】中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在Rt△ABC中∠ACB=90∘，AC=b，BC=a，AB=c.求证：a2+b2=c2.易错点考虑不周全导致错误8．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为（）A．3 B．2√5C．2√3D．2√5或2√3B组·能力提升强化突破9．如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作半圆，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（）A．9πB．92πC．94πD．3π10．【数学文化】如图，图①是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为（）A．24 B．36 C．40 D．4411．如图，在Rt△ABC中AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是（）A．√10−√2B．√6−√2C．2√2−2D．2√2−√612．如图，在Rt△ABC中∠C=90∘，AC=8，BC=4，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为____．13．如图，在△ABC中∠B=45∘，∠C=30∘，AB=4.（1）求AC与BC的长；（2）求△ABC的面积.C组·核心素养拓展素养渗透14．【几何直观】如图，在Rt△ABC中∠ACB=90∘，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts.（1）求边BC的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值.参考答案及解析第1课时勾股定理课堂导学例题引路【思路分析】已知∠C=90∘，则c是斜边，根据勾股定理计算即可.例1 （1）【规范解答】∵∠C=90∘，c=25，a=20∴b=√c2−a2=15.（2）【规范解答】∵∠C=90∘，a=6√2，b=2√6∴c=√a2+b2=4√6.（3）【规范解答】∵a:b=1:2∴设a=x，则b=2x.∵∠C=90∘，c=10∴a2+b2=c2即x2+(2x)2=102解得x=2√5（负值已舍去）.∴a=2√5，b=4√5.【思路分析】在直角三角形中，以两直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积.【规范解答】由勾股定理得S正方形F =S正方形A+S正方形B=32+42=25同理，S正方形G =S正方形C+S正方形D=22+32=13∴S正方形E =S正方形F+S正方形G=38.例2 38A组·基础达标逐点击破知识点勾股定理1．D 2．A 3．C 4．A5．12；306．（1）解：∵∠C=90∘，c=25，b=15∴a=√c2−b2=√252−152=20.（2）∵∠C=90∘，a=7，b=24∴c=√a2+b2=√72+242=25.（3）∵a:b=1:3,∴设a=x，则b=3x.∵∠C=90∘，c=10∴a2+b2=c2即x2+(3x)2=102.解得x=√10（负值已舍去）.∴a=√10，b=3√10.7．证明：∵大正方形的面积为c2，直角三角形的面积为12ab，小正方形的面积为(b−a)2∴c2=4×12ab+(b−a)2=2ab+a2−2ab+b2=a2+b2.∴a2+b2=c2.易错点考虑不周全导致错误8．DB组·能力提升强化突破9．C10．D[解析]如答图，设直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c.第10题答图∵图①中大正方形的面积是24∴a2+b2=c2=24∵小正方形的面积是4∴(b−a)2=a2+b2−2ab=4∴ab=10ab=24+2×10=44.∴图②中大正方形的面积为c2+4×12故选D.11．B[解析]如答图，过点C作CH⊥AB于点H.第11题答图∵AC=BC=2，∠ACB=90∘，CH⊥AB∴AB=√AC2+BC2=2√2AH=BH=CH=√2∵CD=AB=2√2∴DH=√CD2−CH2=√8−2=√6∴DB=√6−√2.故选B．12．3[解析]由折叠的性质，得AE=BE，设CE=x，则AE=BE=8−x，由勾股定理，得BC2+CE2= BE2，∴42+x2=(8−x)2解得x=3.∴CE的长为3.13．（1）解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D.∵∠B=45∘∴∠BAD=45∘.∴AD=BD.∵BD2+AD2=AB2∴2BD2=42.∴BD=AD=2√2.∵∠C=30∘∴AD=12AC.∴AC=4√2.∴CD=√AC2−AD2=2√6.∴BC=BD+CD=2√2+2√6.第13题答图（2）S△ABC=12BC⋅AD=12×(2√2+2√6)×2√2=4+4√3.C组·核心素养拓展素养渗透14．（1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√AB2−AC2=√52−32=4(cm).（2）由题意，得BP=tcm，分以下两种情况：①当∠APB=90∘时，如答图①所示.第14题答图①则点P与点C重合∴BP=BC=4cm ∴t=4÷1=4;②当∠BAP=90∘时，如答图②所示.第14题答图②则CP=(t−4)cm，∠ACP=90∘.在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP2=AC2+CP2在Rt△ABP中，由勾股定理，得AP2=BP2−AB2∴AC2+CP2=BP2−AB2.即32+(t−4)2=t2−52，解得t=254综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或25.4。
（完整版）初中数学几何题（超难）及答案分析
（完整版）初中数学⼏何题（超难）及答案分析⼏何经典难题1、已知：如图，O 是半圆的圆⼼，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初三）2、已知：如图，P 是正⽅形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三⾓形．（初⼆）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正⽅形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正⽅形．（初⼆）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．5、已知：△ABC 中，H 为垂⼼（各边⾼线的交点）（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初三）A P C D BA FG CE B O D D 2C 2 B 2 A 2D 1C 1B 1C B DA A 1 BF6、设MN 是圆O 外⼀直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，⾃A，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初三）7、如果上题把直线MN 由圆外平移⾄圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初三）8、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为⼀边，在△ABC 的外侧作正⽅形ACDE 和正⽅形CBFG ，点P是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的⼀半．N9、如图，四边形ABCD 为正⽅形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初⼆）10、如图，四边形ABCD 为正⽅形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．11、设P 是正⽅形ABCD ⼀边BC求证：PA ＝PF ．（初⼆）12、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）E E P13、已知：△ABC 是正三⾓形，P 是三⾓形内⼀点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初⼆）14、设P 是平⾏四边形ABCD 内部的⼀点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初⼆）15、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）16、平⾏四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的⼀点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．17、设P 是边长为1的正△ABC 内任⼀点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．AP C B PA D CB CB D AFPDECBA18、已知：P 是边长为1的正⽅形ABCD 内的⼀点，求PA ＋PB ＋PC 的最⼩值．19、P 为正⽅形ABCD 内的⼀点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正⽅形的边长．20、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．CCD解答1.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
八年级数学平行四边形30道经典题(含答案和解析)
八年级数学平行四边形30道经典题（含答案和解析）1.如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（）．A.1B.2C.3D.4答案：B.解析：∵平行四边形ABCD，AE平分∠BAD交BC于点E.∴∠BAE＝∠EAD,∠EAD＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝3.∴EC＝2.所以答案为B．考点：三角形——全等三角形——角平分线的性质定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AB的长为（）．A.13B.14C.15D.16答案：D解析：∵平行四边形ABCD，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.∴四边形ABEF为平行四边形.∴∠FAB＋∠ABE＝180°，∠FAE＝∠EAB，∠ABF＝∠FBE. ∴∠BAE＋∠ABF＝90°，AE⊥BF.∴四边形ABEF为菱形.设AE，BF交点为点O，则点O平分线段AE，BF.在△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，(12AE)2+(12BF)2=AB2.∵BF＝12，AB＝10.解得AE＝16.所以答案为D．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.四边形——菱形——菱形的判定.3.如图，已知平行四边形纸片ABCD的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D与点B重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则△ABE的周长为．答案：10.解析：依题可知，翻折轴对称BE＝DE,△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AD＝10．考点：四边形——平行四边形.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.4.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）．A. AB∥CD，AD∥BCB. AB＝CD，AD∥BCC. AB∥CD，AB＝CDD. ∠A＝∠C，∠B＝∠D答案：B.解析：如图：A选项，∵AB∥CD，AD∥BC .∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.B选项，根据AB＝CD和AD∥BC 可以是等腰梯形，错误，故本选项正确.C选项，∵AB∥CD，AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.D选项，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.故选B．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.5.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点C.（2）分别以A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D.（3）作直线AD．所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．答案：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线. 解析：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.尺规作图——过一点作已知直线的平行线.6.如图所示，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC，CF＝√3．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）求AB的长．答案：（1）证明见解析．（2）AB＝√3.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD.∴四边形ABDE是平行四边形．（2）由（1）知，AB＝DE＝CD．即D为CE中点．∵EF⊥BC.∴∠EFC＝90°．∵AB∥CD.∴∠DCF＝∠ABC＝60°．∴∠CEF＝30°．∴CE＝2CF＝2√3.∴AB＝CD＝√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.7.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，沿直线AE翻折△ABE，使B点落在点F处，连结CF并延长交AD于G点．（1）依题意补全图形．（2）连接BF 交AE 于点O ，判断四边形AECG 的形状并证明．（3）若BC ＝10，AB ＝203，求CF 的长．答案：（1）画图见解析． （2）四边形AECG 是平行四边形，证明见解析．（3）CF ＝6．解析：（1）依题意补全图形，如图：（2）依翻折的性质可知，点O 是BF 中点.∵E 是BC 边的中点. ∴EO ∥CG. ∵AG ∥CE.∴四边形AECG 是平行四边形．（3）在Rt △ABE 中.∵BE ＝12BC ＝5，AB ＝203.∴AE ＝253.∵S △BAE ＝12AB×BE ＝12AE×BO.∴BO ＝4. ∴BF ＝2BO ＝8. ∵BF ⊥AE ，AE ∥CG. ∴∠BFC ＝90°. ∴CF ＝6．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.几何变换——图形的对称——作图：轴对称变换.8.如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB为（）．A.20B.15C.10D.5答案：D.解析：∵平行四边形的周长为40.∴AB＋BC＝20.又∵△BOC的周长比△AOB的周长多10.∴BC－AB＝10.解得：AB＝5，BC＝15．故答案为：D．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质.9.如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′和B C′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为．答案：25.8解析：由折叠得，∠CBD＝∠EBD.由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB.∴∠EDB＝∠EBD.∴DE＝BE.设DE＝BE＝x，则AE＝4－x.在Rt△ABE中.AE2+AB2=BE2.(4−x)2+32=x2..解得x＝258∴DE的长为25．8考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF＝BO，且AE＝6，AD＝8．（1）求BF的长．（2）求四边形OFCD的面积．答案:（1）BF＝5．．（2）S四边形OFCD＝332解析：（1）∵四边形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90°.∴∠EAD＝180°－∠BAD＝90°.∵在Rt△EAD中，AE＝6，AD＝8.∴DE＝√AE2+AD2=10.∵DE∥AC，AB∥CD.∴四边形ACDE 是平行四边形． ∴AC ＝DE ＝6．在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°. ∵OA ＝OC. ∴BO ＝12AC ＝5．∵BF ＝BO. ∴BF ＝5． （2）取BC 中点为O.∴BG ＝CG.∵四边形ABCD 是矩形.∴OB ＝OD ，∠BCD ＝90°，CD ⊥BC ． ∴OG 是△BCD 的中位线． ∴OG ∥CD ．由（1）知，四边形ACDE 是平行四边形，AE ＝6. ∴CD ＝AE ＝6． ∴OG ＝12CD ＝3．∵AD ＝8. ∴BC ＝AD ＝8．∴S △BCD ＝12BC×CD ＝24，S △BOF ＝12BF×OG ＝152． ∴S 四边形OFCD ＝S △BCD －S △BOF ＝332．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定. 矩形——矩形的性质. 四边形基础——四边形面积.11. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，延长CD 到点F ，使DF ＝CD ，连接AC 、CE 、EF 、AF ．（1）求证：四边形ACEF是矩形．（2）求四边形ACEF的周长．答案：（1）证明见解析．（2）四边形ACEF的周长为：2＋2√3．解析：（1）∵DE＝AD，DF＝CD.∴四边形ACEF是平行四边形.∵四边形ABCD为菱形.∴AD＝CD.∴AE＝CF.∴四边形ACEF是矩形．（2）∵△ACD是等边三角形.∴AC＝1.∴EF＝AC＝1.过点D作DG⊥AF于点G，则AG＝FG＝AD×cos30°=√3.2∴AF＝CE＝2AG＝√3.∴四边形ACEF的周长为：AC＋CE＋EF＋AF＝1＋√3＋1＋√3＝2＋2√3．考点：三角形——等腰三角形——等边三角形的判定.锐角三角函数——解直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.矩形——矩形的判定.菱形——菱形的性质.四边形基础——四边形周长.12.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别是OA，OB，OC,OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形． （2）求证：四边形EFMN 是矩形．（3）连接DM ，若DM ⊥AC 于点M ，ON ＝3，求矩形ABCD 的面积．答案：（1）答案见解析． （2）证明见解析．（3）36√3．解析：（1）（2）∵点 E ，F 分别为OA ，OB 的中点.∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ．同理，NM ∥DC ，NM ＝12DC ．∵四边形ABCD 是矩形. ∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AC ＝BD. ∴EF ∥NM ，EF ＝NM.∴四边形EFMN 是平行四边形．∵点E ，F ，M ，N 分别OA ，OB ，OC ，OD 的中点. ∴OE ＝12OA ，OM ＝12OC ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.∴EM ＝OE ＋OM ＝12AC ． 同理可证FN ＝12BD ． ∴EM ＝FN ．∴四边形EFMN 是矩形．（3）∵DM ⊥AC 于点M.由（2）可知，OM ＝12OC. ∴OD ＝CD ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD. ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD. ∴△COD 是等边三角形. ∴∠ODC ＝60°. ∵NM ∥DC.∴∠FNM ＝∠ODC ＝60°. 在矩形EFMN 中，∠FMN ＝90°. ∴∠NFM ＝90°－∠FNM ＝30°. ∵ON ＝3.∴FN ＝2ON ＝6，FM ＝3√3，MN ＝3. ∵点F ，M 分别OB ，OC 的中点. ∴BC ＝2FM ＝6√3.∴矩形ABCD 的面积为BC×CD ＝36√3.考点：直线、射线、线段——直线、射线、线段的基本概念——线段中点、等分点.三角形——三角形基础——三角形中位线定理. 直角三角形——含30°角的直角三角形——勾股定理. 四边形——矩形——矩形的性质——矩形的判定.13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(-3，0) ，(2，0)，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是 ．答案：（5,4）.解析：由题意及菱形性质，得：AO＝3，AD＝AB＝DC＝5.根据勾股定理，得DO＝√AD2−AO2=√52−32=4.∴点C的坐标是（5,4）.考点：三角形——直角三角形——勾股定理的应用.四边形——菱形——菱形的性质.14.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为（）．√3A. 2√3B.3√3C. 6√3D.92答案：B.解析：∵四边形ABCD是矩形.∴∠A＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3．∵四边形BEDF是菱形.∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF，ED＝BE＝BF.∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF．∵EF＝AE＋FC，EO＝FO.∴AE＝EO＝CF＝FO.∴△ABE≌△OBE.∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO.∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°.∴在Rt△BCD中，BD＝2DC＝6.∴BC＝√BD2−DC2=3√3．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.菱形——菱形的性质.15.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．则小米的依据是．答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．解析：根据平行四边形定义可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；根据菱形的定义可知对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.菱形——菱形的判定.16.在数学课上，老师提出如下问题：如图1：将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2:（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D．（2）c点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠得到菱形的依据是．答案：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）.解析：如图，连接DF、DE.根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF.则四边形DECF恰为菱形．考点：四边形——菱形——菱形的判定.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.17.如图，在平行四边形ABCD中，点E，M分别在边AB，CD上，且AE＝CM．点F，N分别在边BC，AD上，且DN＝BF．（1）求证：△AEN≌△CMF．（2）连接EM，FN，若EM⊥FN，求证：四边形EFMN是菱形．答案：（1）证明见解析．（2）证明见解析．解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，∠A＝∠C.∵ND＝BF.∴AD－ND＝BC－BF.即AN＝CF.在△AEN和△CMF中.{AN=CM ∠A=∠C AN=CF.∴△AEN ≌△CMF．（2）由（1）△AEN ≌△CMF．∴EN＝FM.同理可证：△EBF ≌△MDB．∴EF＝MN.∵EN＝FM，EF＝MN.∴四边形EFMN是平行四边形.∵EM⊥FN.∴四边形EFMN是菱形．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的判定.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.菱形——菱形的判定.18.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC和CE∥AB，两线交于点E．（1）求证：四边形AECD是菱形．（2）若∠B＝60°，BC＝2，求四边形AECD的面积．答案：（1）证明见解析．（2）S菱形AECD＝2√3．解析：（1）∵AE∥DC，CE∥AB.∴四边形AECD是平行四边形.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.∴CD＝AD．∴四边形AECD是菱形．（2）连结DE．∵∠ACB＝90°，∠B＝60°.∴∠BAC＝30°.∴AB＝4，AC＝2√3．∵四边形AECD是菱形.∴EC＝AD＝DB.又∵CE∥DB.∴四边形ECBD是平行四边形. ∴ED＝CB＝2.∴S菱形AECD＝AC×ED2=2√3×22＝2√3．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.菱形——菱形的性质——菱形的判定.四边形基础——四边形面积.19.如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE＋PF的最小值等于．答案：√2.解析：∵线段AC是正方形ABCD的对角线.∴F对线段AC的对称点永远落在线段DC上.如图所示，做F对线段AC的对称点于F’，连接EF’，EF’的长就是PE＋PF的值.根据两平行线的距离定义，从一条平行线上的任意一点到另外一条直线做垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．∴PE＋PF的最小值等于垂线段EH的长度.根据平行线间的距离处处相等，可知EH＝AD.∵正方形ABCD的面积是2.∴AD＝EH＝√2.所以答案为√2.考点：几何变换——图形的对称——轴对称与几何最值.20.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）．A. S＝2B. S＝2.4C. S＝4D. S随BE长度的变化而变化答案：A.解析：法一：∵AC∥BF.∴S△AFC＝S△ABC＝2.法二：∵S△AFC＝S正方形ABCD＋S正方形EFGB＋S△AEF－S△FGC－S△ADC.∴设正方形EFGB的边长为a.∴S△AFC＝2×2+a2+12a(2−a)−12(2+a)a−12×2×2.＝4+a2+a−12a2−a−12a2−2.＝2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——正方形.21.将正方形A的一个顶点与正方形的对角线交点重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的．（几分之几）答案：12.解析：在图1中，∠GBF ＋∠DBF ＝∠CBD ＋∠DBF ＝90°.∴∠GBF ＝∠CBD ，∠BGF ＝∠CDB ＝45°，BD ＝BG. ∴ △FBG ≌△CBD.∴阴影部分的面积等于△DGB 的面积，且是小正方形的面积的14，是大正方形面积的18．设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y. 则有14X 2=18y 2. ∴y =√2x ．同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的14，为14y 2=12x 2.∴阴影部分的面积是正方形B 面积的12．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.四边形——正方形——正方形的性质.22. 如图，正方形 的对角线交于O ，OE ⊥AB ，EF ⊥OB ，FG ⊥EB ．若△BGF 的面积为1，则正方形ABCD 的面积为 ．答案：32.解析：∵两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.且OE ⊥AB 于点E ，EF ⊥OB 于点F ，FG ⊥EB 于点G. ∴E 为AB 的中点，F 为BO 的中点，G 为EB 的中点. ∴AB ＝EB ＝EO ＝12AB ，EF ＝BF ＝FO ，GF ＝BG ＝EG ＝12EB .∴BGAB =14.∴S△BGFS△BAD =(BGAB)2=116.∴S△BAD＝16.∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝32．故答案为32．考点：三角形——相似三角形——相似三角形的性质.四边形——正方形——正方形的性质.23.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．答案：（1）证明见解析．（2）1+12√14．解析：（1）如图1，延长EB交DG于点H.∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形.∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE.∴△ABC≌△ABE(SAS).∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE.∵△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°.∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴△DEH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°.∴∠DHE＝90°.∴DG⊥BE．（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M.∴∠AMD＝∠AMG＝90°.∵BD是正方形ABCD的对角线.∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中.∵∠MDA＝45°，AD＝2.∴AM＝DM＝√2．在Rt△AMG中.∵AM2+GM2=AG2.∴GM=√7.∵DG=DM+GM=√2+√7.∴S△ADG=12×DG×AM=12×(√2+√7)×√2=1+12√14．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.24.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．答案：32.解析：∵DE 为△ABC 的中位线.∴DE ＝12BC =4，点D 是线段AB 的中点. 又∵∠AFB ＝90°. ∴DF =12AB =52. ∴EF =DE −DF =32.所以答案为32.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.25. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为（ ）．A. 14B. 12C. 24D.48 答案：B解析：∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点．∴EF =HG =12AC ＝4，FG =EH =12BD ＝3，EF ∥HG ，FG ∥EH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．∵AC⊥BD.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积为3×4＝12．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.四边形——矩形——矩形的判定.四边形基础——四边形面积.26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝cm ．答案：6.解析：由题意，得：EFAB ＝12.在Rt△ABC中，D是AB的中点.∴CD＝EF＝12AB.又∵CD＝6.∴EF＝CD＝6cm.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.27.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点.那么CH的长是．答案：√5.解析：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°.延长AD交EF于M，连接AC、CF.则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－AB＝3－1＝2.∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形.∴∠ACD＝∠GCF＝45°.∴∠ACF＝90°.∵H为AF的中点.AF.∴CH＝12在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=√AM2+FM2=√42+22=2√5.∴CH＝√5.故答案为：√5.考点：三角形——直角三角形——直角三角形斜边上的中线——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.28.用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形.一定能够拼成的图形是（填序号）．答案：①④.解析：由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不一定能拼成菱形和正方形．由于等边三角形三个角均为60°，而直角三角形不一定含60°角，故个全等的直角三角形不一定能拼成等边三角形．两个全等的直角三角形一定能拼成矩形和等腰三角形，如图．考点：三角形——等腰三角形——等腰三角形的判定——等边三角形的判定.四边形——矩形——矩形的判定.菱形——菱形的判定——正方形——正方形的判定.29. 边长为a 的菱形是由边长为a 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h ，则称ah 为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ． （2）如图，A 、B 、C 为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为98）中的格点，则△ABC 的面积为 ．答案：（1）1:3.（2）12. 解析：（1）如图所示．∵“形变度”为3. ∴ah ＝3，即h ＝13a .∴一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为aℎa 2=ℎa =13． （2）在正方形网格中，△ABC 的面积为：6×6−12×3×3－12×3×6−12×3×6=272.由（1）可得，在菱形网格中，△ABC的面积为89×272=12．考点：式——探究规律——定义新运算.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——菱形——菱形的性质.30.有这样一个问题：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.求证：___________________________．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：．（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明：如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．答案：（1）求证：∠B＝∠D．证明见解析．（2）筝形的两条对角线互相垂直.（3）不成立．解析：（1）求证：∠B ＝∠D ．已知：如图，筝形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ．求证：∠B ＝∠D ． 证明：连接AC ，如图． 在△ABC 和△ADC 中.{AB =AD CB =CD AC =AC.∴△ABC ≌△ADC ． ∴∠B ＝∠D ．（2）筝形的其他性质．①筝形的两条对角线互相垂直． ②筝形的一条对角线平分一组对角． ③筝形是轴对称图形．（3）不成立．反例如图2所示．在平行四边形ABCD 中，AB≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC ＝∠ADC ，AC 平分BD ，但该四边形不是筝形．考点：四边形——平行四边形.。
八年级数学几何经典题【含答案】
八年级数学几何经典题【含答案】1、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．F 求证：∠DEN＝∠F．ENCDABM2、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．D求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．GCEPFAQB3、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．DAFEBC.4、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．ADFBC1E5、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．DA求证：PA＝PF．FBPCE6、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．ADFPBEC 7如图，△ABC中，∠C为直角，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE与正△ACD，DE与AB交于F。
求证：EF=FD。
8如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。
9、已知在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC与F,求证AF=EF2，3九年级数学【答案】∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
1.AC并取其中点QQN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和EG+FH2E,C由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。
4从而可得PQ=AI+BI 2=AB 2，从而得证3△A从而可得B ，G ，D 在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB 。
推出AE=AG=AC=GC ，可得△AGC 为等边三角形。
0，既得∠EAC=300，从而可得∠AEC=750。
第19章专题20：一次函数与几何综合题(四)-通用版八年级下册数学专题练
19章专题：一次函数与几何综合题（三）1.如图，把长方形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA ，OC 分别落在x ，y 轴的的正半轴上，连接AC ，且AC=45，AO=2CO ．（1）求点A ，C 的坐标；（2）将纸片OABC 折叠，使点A 与点C 重合（折痕为EF ），求折叠后纸片重叠部分△CEF 的面积； （3）求EF 所在直线的函数表达式，并求出对角线AC 与折痕EF 交点D 的坐标．（1）∵AC=45，AO=2CO ，∵AC 2=OC 2+OA 2， ∴80=OC 2+4OC 2，∴OC=4，OA=8，∴A （8，0），C （0，4）； （2）设AC 的解析式为y=kx+b ，则⎩⎨⎧=+=084b k b ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=421b k ， ∴AC 的解析式为y=-21x+4； 设AC 与EF 交于点D ，由折叠知EF 垂直平分AC ，所以D 是矩形ABOC 的中心， ∴FD=DE ，∴EF 、AC 互相垂直平分， ∴重合部分AECF 是菱形， 设CF=x ，则AF=x ，BF=8-x ， ∵AB=4，∠B=90°， ∴x 2=42+（8-x ）2， ∴x=5，即CF=5， ∴重合部分的面积=5×4=20；（3）∵AC ⊥EF ，直线AC 表达式中的k 值为：-21，∴直线EF 表达式中的k 值为2， ∵A （8，0），C （0，4），且D 为AC 中点， ∴D （4，2），设直线EF 的表达式为：y=2x+b ，将点D 的坐标代入上式并解得： 则直线EF 解析式为：y=2x-6．2. 如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点A （-2，0）点B （0，4）；点P 在直线AB 的右侧，且∠APB=45°．（1）若△ABP 为直角三角形，求点P 的坐标； （2）如图2，若点P 在第四象限，且∠BAP=90°，AP 与y 轴交于点M ，BP 与x 轴交于点N ，连接MN ，求证：P 是△OMN 的一个外角平分线交点．【解答】（1）∵△ABP 是直角三角形，且∠APB=45°，∴只有∠ABP=90°或∠BAP=90°，如图3，Ⅰ、当∠ABP=90°时，∵∠APB=∠BAP=45°，∴AB=PB ，过点P 作PC ⊥OB 于C ，∴∠BPC+∠CBP=90°， ∵∠CBP+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠BPC ，在△AOB 和△BCP 中，∠AOB=∠BCP=90°，∠ABO=∠BPC ，AB=BP ，∴△AOB ≌△BCP （AAS ），∴PC=OB=4，BC=OA=2， ∴OC=OB-BC=2，∴P （4，2）；Ⅱ、当∠BAP=90°时，过点P'作P'D ⊥OA 于D ，同Ⅰ的方法得，△ADP'≌△BOA ，∴DP'=OA=2，AD=OB=4，∴OD=AD-OA=2，∴P'（2，-2）；即：满足条件的点P （4，2）或（2，-2）； （2）如图2，由（2）知点P （2，-2），∵A （-2，0），∴直线AP 的解析式为y=-21x-1，∴M （0，-1），∴BM=5，同理：直线BP 的解析式为y=-3x+4，∴N （34，0），∴MN=35，过点P 作PH ∥AB 交x 轴于H ，∵∠BAP=90°，∴∠BAO+∠PAH=90°，∴∠BAO+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PAH ， 在△ABM 和△PAH 中，∠ABM=∠PAH ，AB=AP ，∠BAM=∠APH=90°， ∴△ABM ≌△PAH （ASA ），∴∠AMB=∠PHA ，AH=BM=5，∴∠PMG=∠PHA ，OH=AH-OA=3，∴H （3，0），∴NH=3-34=35=MN ，∵P （2，-2），M （0，-1），H （3，0），∴PM=5，PH=5，∴PM=PH ， ∴△PNM ≌△PNH （SSS ），∴∠AHP=∠PMN ，∴∠PMG=∠PMN ，即：MP 是△BMN 的一个外角的平分线．3. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y=21x+4经过点A （310，m ），与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，点D （0，-1），P （t ，0）（t ＞-8）（1）求m 的值和直线AD 的函数表达式；（2）连结CP ，当△BPC 是等腰三角形时，求t 的值；（3）若t=-4，点M ，N 分别在线段AB ，线段AD 上，当△PMN 是等腰直角三角形且∠MPN=45°时，求△PMN 的面积（1）直线y=21x+4经过点A （310，m ），则m=21×310+4=317， y=21x+4，令y=0，则x=-8，令x=0，则y=4，故点B 、C 的坐标分别为：（-8，0）、（0，4）； 设直线AD 的表达式为：y=kx-1，将点A 的坐标代入上式并解得：k=2， 故直线AD 的表达式为：y=2x-1； （2）点P （t ，0），点B 、C 的坐标分别为：（-8，0）、（0，4），PB 2=（t+8）2，PC 2=t 2+16，BC 2=80；当PB=PC 时，（t+8）2=t 2+16，解得：t=-3，当PB=BC 时，同理可得：t=-8+45（不合题意的值已舍去）；当PC=BC 时，同理可得：t=±8（舍去-8）；故t=-3或-8+45或8； （3）点P （-4，0），设点M （m ，21m+4），点N （n ，2n-1），①当∠PMN=90°时，如图1，PM=MN ，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，作GN ⊥MH 于点G ， ∵∠PMH+∠NMH=90°，∠NMH+∠MNG=90°， ∴∠PMH=∠MNG ，∠NGM=∠MHP=90°， ∴△NGM ≌△MHP （AAS ），∴GN=MH ，MG=PH ，即n-m=21m+4，21m+4-2n+1=m+4，解得：m=-2，故点M （-2，3）；△PMN 的面积=21PM 2=21（4+9）=213；②当∠MNP=90°时，MN=PN ，过点N 作x 轴的平行线交过点P 与y 轴的平行线于点H ，交过点M 与y 轴的平行线于点G ，同理可得：△MGN ≌△NHP （AAS ），则PH=GN ，HM=MG ，即1-2n=m-n ，n+4=21m+4-2n+1，解得：m=74，故点M （74，730），△PMN 的面积=21×（22PM ）2=49481；故答案为：213或49481．4. 直线y=-43x+6与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点A ． （1）求直线AB 与坐标轴围成的面积； （2）在x 轴上一动点P ，使△ABP 是等腰三角形；请直接写出所有P 点的坐标，并求出如图所示AP=PB 时点P 的坐标；（3）直线y=x+3与直线AB 相交于点C ，与x 轴相交于点D ；点Q 是直线CD 上一点，若△BQD 的面积是△BCD 的面积的两倍，求点Q 的坐标．（1）在当y=-43x+6中，令y=0时，x=8；当x=0时，y=6；∴△AOB 的面积=6×6×21=24； （2）如图，由（1）知A （0，6），B （8，0）， ∴OA=6，OB=8，∴AB=10， ∵△ABP 是等腰三角形；∴当AB=PB=10时，OP=18或2， ∴P （18，0）或（-2，0）， 当AB=AP 时，OP=OB=8， ∴P （-8，0）， 当AP=PB 时，如图所示：设OP=x ，则AP=BP=8-x ， 由AO 2+OP 2=AP 2，得：62+x 2=（8-x ）2，∴x=47此时P （47，0）；综上所述，点P 的坐标为（18，0）或（-2，0）或（-8，0）或P （47，0）；（3）由y=-43x+6以及y=x+3联立方程组求得x=712，y=733，∴C （712，733），∵△BQD 的面积是△BCD 的面积的两倍，∴Q 点的纵坐标为766或-766，把y=766代入y=x+3得x=745，把y=-766代入y=x+3得x=-787， 因此Q （745，766）或（-787，-766）．5. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y 1=kx+b 经过A （a ，0），B （0，b ）两点，且a 、b 满足（a-4）2+2-b =0，过点B 作BP ∥x 轴，交直线l 2：y 2=x 于点P ，连接PA ．（1）求直线AB 的函数表达式；（2）在直线l 2上是否存在一点Q ，使得S △BPQ =S △BPA ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点C （n ，0）是x 轴上的一个动点，点D 是y 轴上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线交直线l 1、l 2于点M 、N ，若△MND 是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的n 的值．（1）（a-4）2+2-b =0，则a=4，b=2，点A 、B 的坐标分别为：（4，0）、（0，2），把点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b 并解得：y=-21x+2； （2）存在，理由：点B （0，2），点P （2，2），则BP=2，S △APM =2， S △BPQ =S △BPA ，则点Q 的纵坐标为：0或4， 故点Q （0，0）或（4，4）；0，0）或（4，4）；（3）MN=|-21n+2-n|=|-23n+2|，x M =x N =n ，①当∠MDN=90°时，则x M =21MN ，即：21|-23n+2|=n ，解得：n=74或-4；②当∠DNM=90°（或∠DMN=90°）时，则x M =MN ，即|-23n+2|=n ，解得：n=54或4；符合条件的n 的值为：4或54或74或-4．。
人教版八年级数学下册正方形知识点及同步练习、含答案
学科：数学 教学内容：正方形【学习目标】1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系． 3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有： （1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 3．正方形的判定（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形； （4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．【基础知识精讲】1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行⎭⎬⎫)()2()()1(正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2．正方形的性质可归纳如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．【例题精讲】［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ．求证：矩形ABCD 是正方形．图4—50剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．∵DF＝CF，∴GF＝CF．∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，∴Rt△GFE≌Rt△CFE．∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．∴矩形ABCD是正方形．说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．图4—51对上述命题的证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．∴∠3＋∠2＝90°，∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．∴∠1＝∠2，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图4—52剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，∴∠OFA＋∠FAE＝90°又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，∴∠OEB＝∠OFA，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．图4—53剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．【同步达纲练习】1．选择题（1）下列命题中，假命题的个数是（）①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角都相等的四边形是正方形④对角线相等的菱形是正方形A．1 B．2 C．3 D．4（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直平分B．对角线相等C．邻边相等D．每条对角线平分一组对角（3）正方形的对角线与边长之比为（）A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．2∶1（4）以等边△ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°，③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且AP＝BQ＝CR＝DS ＝1，AB＝5，那么四边形PQRS的面积等于（）A．17 B．16 C．15 D．9（6）如图4－54，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于（）图4—54A．7 B．5 C．4 D．3（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A．213+B．213-C．3 D．2（8）如图4－55，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于（）图4—55A．45°B．55°C．65°D．75°2．填空题（1）已知正方形的面积是16 cm2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．（2）已知正方形的对角线长为22，则此正方形的周长为_____，面积为_____． （3）在正方形ABCD 中，两条对角线相交于O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，若正方形ABCD 的周长是16 cm ，则DE ＝_____cm ．（4）在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，那么∠AFC 等于_____度．3．如图4－56，已知正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF ．图4—56（1）求证：△BCE ≌△DCF ；（2）若∠BEC ＝60°，求∠EFD 的度数．4．已知：如图4－57，在正方形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，EB ＝21BC ，如果F 是AB 的中点，请你在正方形ABCD 上找一点，与F 点连结成线段，并证明它和AE 相等．图4—575．以△ABC 的AB 、AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA 交EF 于M 点．（1）求证：EM ＝FM ；（2）若使AM ＝21EF ，则△ABC 必须满足什么条件呢？图4—586．如图4－58，已知正方形ABCD 中，M 、F 分别在边AB 、AD 上，且MB ＝FD ，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，MN 与∠CBE 的平分线相交于N ．求证：DM ＝MN ．7．如图4－59，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE和BCFG．图4—59求证：AF＝DB；若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由．【思路拓展题】你会设计吗今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图4－60的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）图4—60参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B2．（1）4 42（2）8 4 （3）4 （4）112.53．（1）略（2）15°4．连结CF，可证△ABE≌△CBF或连结DF，让△ABE≌△DAF。
八年级数学几何三大变换(平移、旋转)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：平移、旋转、轴对称统称为几何三大变换.几何三大变换都是_________，只改变图形的_________，不改变图形的_____________.问题2：平移的思考层次分别是什么？问题3：旋转的思考层次分别是什么？几何三大变换（平移、旋转）一、单选题(共9道，每道8分)1.如图，将边长为3cm的等边三角形ABC沿BC方向向右平移2cm得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为( )cm．A.10B.11C.12D.13答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=10cm，高为7cm，若将梯形ABCD向右平移4cm得到梯形A′B′C′D′，则平移前后两梯形重叠部分的面积为( )cm2．A.28B.35C.42D.56答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质3.如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，，点A，B的坐标分别为（2，0）（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=3x-3上时，线段BC扫过的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质4.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数是90°，则∠B的度数是( )A.70°B.60°C.50°D.40°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质5.如图，E是正方形ABCD内一点，将△CDE绕点D按顺时针方向旋转90°后得到△ADF．若DE=3，则EF的长是( )A. B.C.3D.6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角，得到△DEC，CD与AB交于点F，连接AD．当旋转角α的度数为( )时，△ADF是等腰三角形．A.30°或60°B.20°或40°C.25°或50°D.20°或40°或60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质7.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为( )A. B.C. D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质8.如图所示直角三角板ABC，斜边AB=6，∠A=30°，现将其绕点C沿顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上．则三角板向左平移的距离为( )A.1B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质9.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则此时点A的对应点的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：作图二、填空题(共3道，每道9分)10.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着BC平移得到△A′B′C′，若重叠部分的面积为1cm2，则平移的距离AA′=____cm．答案：1解题思路：试题难度：知识点：平移的性质11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，如果cm，则四边形ABCD的面积为____cm2.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图—旋转变换12.如图，在等边三角形ABC中，点O是AC边上，且OA=3,OC=6,点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是____.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图。
人教版八年级数学下册专题复习(十一) 几何图形的面积等分
思维特训(十一)几何图形的面积等分方法点津面积等分基本模型：1．三角形的中线把三角形面积等分；2．夹在两条平行线间的距离相等，同底等高的两个三角形面积相等；3．过平行四边形对角线中点(对称中心)的任意一条直线把平行四边形面积等分．典题精练类型一作一个图形的面积等于已知图形1．(1)如图11－S－1①，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上．①写出图①中面积相等的三角形：________；②当点P在直线m上移动到任一位置时，总有________与△ABC的面积相等；(2)如图11－S－1②，已知一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC(或其延长线)于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积？图11－S－1类型二等分面积2．阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD是△ABC的中线，M为BC边上任意一点(不与点D重合)，过点M作一直线，使其等分△ABC的面积．他的作法是：如图11－S－2①，连接AM，过点D作DN∥AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线．请你参考小明的作法，解决下列问题：(1)如图②，在四边形ABCD中，AE平分四边形ABCD的面积，M为CD边上一点，过点M作一直线MN，使其等分四边形ABCD的面积(要求：在图②中画出直线MN，并保留作图痕迹)；(2)如图③，求作过点A的直线AE，使其等分四边形ABCD的面积(要求：在图③中画出直线AE，并保留作图痕迹)．图11－S－23．有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如三角形的中线所在的直线一定是三角形的“二分线”．解决下列问题：(1)在图11－S－3①中，试用三种不同的方法分别画出平行四边形ABCD的“二分线”；(2)解决问题：兄弟俩分家时，有原来共同承包的一块平行四边形田地ABCD，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口井P，如图②所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗(画图，并说明结果)?图11－S－34．我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：如图11－S－4①，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC，AC.显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于点E，则直线AE即为一条“好线”．(1)试说明：直线AE是“好线”的理由；(2)如图②，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过点F的“好线”，并对画图作适当说明(不需要说明理由)．图11－S－45．自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．(1)如图11－S－5①，已知△ABC，AC≠BC，过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．(2)如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC 于点E，已知AB＝3，BC＝8，CD＝5.求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”．(3)如图③，在△ABC中，AB＝BC＝6，AC＝8，请你作出△ABC的一条“等分积周线”EF(要求：直线EF不过△ABC的顶点，交边AC于点F，交边BC于点E)，并说明理由．图11－S－5典题讲评与答案详析1．解：(1)①图①中符合条件的三角形有：△CAB与△P AB，△BCP与△APC，△ACO 与△BPO.②△P AB(2)如图，连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，作直线EM，直线EM即为所求的直线．2．解：(1)如图①，连接AM，过点E作EN∥AM，交AD于点N，再作直线MN即可．(2)如图②，取对角线BD的中点O，连接AO，CO，AC，过点O作OE∥AC交CD于点E，直线AE就是所求直线．3．解：(1)答案不唯一，示例如下：(2)能解决这个问题．连接AC，BD相交于点O，过点O，P作直线与DC，AB分别交于点E，F，如图所示．则一人分四边形ADEF，一人分四边形CEFB.4．解：(1)∵OE∥AC，∴S△AOE＝S△COE，∴S△AOF＝S△CEF.又∵折线AOC能平分四边形ABCD的面积，∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是“好线”．(2)连接EF，过点A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则FG为一条“好线”．∵AG∥EF，∴S△AGE＝S△AFG. 设AE与FG的交点是O，则S△AOF＝S△GOE.又∵AE为一条“好线”，∴FG为一条“好线”．5．解：(1)不能．理由：如图①，取AB的中点D，连接CD，则S△ADC＝S△DBC，且过点C只能画CD一条直线平分△ABC的面积．∵AC≠BC，∴AD＋AC≠BD＋BC，∴过点C不能画出△ABC的一条“等分积周线”．(2)证明：如图②，连接AE，DE，设BE＝x，∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF.∵∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝8，CD＝5，∴在Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理，得AB2＋BE2＝CE2＋DC2，即32＋x2＝(8－x)2＋52，解得x＝5，∴BE＝5，CE＝3，∴AB＋BE＝CE＋DC，S△ABE＝S△DCE.∴AF＋AB＋BE＝DF＋CE＋DC.∵S四边形ABEF＝S△ABE＋S△AEF，S四边形DCEF＝S△DEF＋S△DCE，∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”．(3)如图③，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，作直线EF，则直线EF是△ABC的“等分积周线”．理由：由作图可得AF＝AC－FC＝8－6＝2，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝2.∵AB ＝BC，∴∠A＝∠C.在△ABF和△CFG中，AF＝CG，∠A＝∠C，AB＝CF，∴△ABF≌△CFG(SAS)，∴S△ABF＝S△CFG.又易得BE＝EG＝2，∴S△BFE＝S△EFG，∴S△EFC＝S四边形ABEF，AF＋AB＋BE＝CE＋CF＝10，∴直线EF是△ABC的“等分积周线”．。
八年级数学下第17章17.5的应用目标三几何问题习题沪科版
(2)若△DPQ的面积为31 cm2，求x的值. 解：易知 0≤x≤6. 由题意得 S△DPQ＝S 矩形 ABCD－S△ADP－S△CDQ－S△BPQ ＝AB·BC－12AD·AP－12CD·CQ－12BP·BQ＝6 ×12－12×12x－12×6(12－2x)－12(6－x) ·2x＝x2－ 6x＋36＝31，
解得x1＝1，x2＝5. ∴当△DPQ的面积为31 cm2时，x的值为1或5.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月21日星期一下午10时9分35秒22:09:3522.3.21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那
You made my day!
5 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P 从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B运动；同时，点 Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C运动．设运动 时间为x s.
(1)BP＝__(_6_－__x_)_ cm，CQ＝_(_1_2_－__2_x_) cm(用含x的式子表 示)；
左边，则剩下的绿地是一个矩形，根据矩形的面积公 式列方程求解即可．
2 【中考·襄阳】改善小区环境，争创文明家园，如图， 某社区决定在一块长(AD)16 m，宽(AB)9 m的矩形场地 ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行， 另外一条与AD平行，其余部分种草，要使草坪部分的 面积是112 m2，则小路的宽是多少米？
解：设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长度 为(69＋1－2x)m，根据题意， 得x(69＋1－2x)＝600， 整理，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20， 当x＝15时，70－2x＝40＞35，不符合题意，舍去； 当x＝20时，70－2x＝30，符合题意． 答：这个茶园的长和宽ห้องสมุดไป่ตู้别为30 m，20 m.
初二数学几何证明题技巧(含答案)
关系来证。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于 90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。
例 2. 已知：如图 4 所示，AB＝AC， ∠A = 90 ，AE = BF，BD = DC 。求证：FD⊥ED
A
E F
23
1
B
D
C
图4
证明一：连结 AD
AB = AC，BD = DC ∠1 + ∠2 = 90 ，∠DAE = ∠DAB ∠BAC = 90 ，BD = DC BD = AD ∠B = ∠DAB = ∠DAE
-1-
中线。本题亦可延长 ED 到 G，使 DG＝DE，连结 BG，证 EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。
说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：
（1）制造的全等三角形应分别包括求证边或者角； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形 2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的
例1. 已知：如图 1 所示， ABC 中， C = 90 ，AC = BC，AD = DB，AE = CF 。求证：DE＝DF
A E
D
CF
B
图1
分析：由 ABC 是等腰直角三角形可知， A = B = 45 ，由 D 是 AB 中点，可考虑连结 CD，易得 CD = AD ，
DCF = 45 。从而不难发现 DCF DAE
A D
B
C
图12
3. 已知：如图 13 所示，过 ABC 的顶点 A，在∠A 内任引一射线，过 B、C 作此射线的垂线 BP 和 CQ。设 M
为 BC 的中点。 求证：MP＝MQ