推荐九年级上数学(华师大版)导学案-2322相似图形的性质
初中数学华东师大九年级上册(2023年新编)第23章 图形的相似《2三角形中位线》教学设计
《三角形的中位线》教学设计一、教材分析：1、教材中所处的地位：本节课是华东师大数学教材九年级上册第二十三章第四节内容。
三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。
在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想。
由于解决这一问题需要师生、生生之间的合作与交流，利于发展学生的合作与交流的意识与能力；由于本节课学生需要经历观察、归纳、猜想、推理及应用的全过程，对于今后的学习具有重要的指导意义。
2、教学背景：通过教材和班级的实际情况，对教材中的三个地方需要稍加处理，才更适合我们的学生的实际情况，更符合学生的认知发展规律，抓住学生的最近发展区，提高课堂教学效率。
（1）设计困惑：①课堂上解决“如何把一个三角形分为四个全等的三角形”这个问题过于费时，学生很多想不到，就算是做出来也不明白为什么。
②教材中给出的定理证明方法为中位线倍长法，难度相当大，学生基本上都无法理解。
③中点四边形的证明如何作辅助线、为什么要这样作辅助线学生感到很困难。
（2）教材处理：①我校正在开展协同教育课题研究，学生是通过我校协同平台来完成学习任务的，于是我充分利用资源，让学生登陆协同平台完成我发布的作业，通过三个问题作铺垫：学生很快就搞定了。
②通过动画演示及教具演示，让学生直观感受中位线倍长法与旋转法、平行法的联系。
③通过教具演示，加上温馨提示，学生自然就明白作辅助线的奥妙了。
二、目标分析：1、教学目标：（一）知识目标：（1）理解三角形中位线的定义；（2）掌握三角形中位线定理证明及其应用。
（3）理解三角形中位线定理的本质与核心，培养学生的化归思想。
（新增）（二）能力目标：（1）通过动手操作与合作交流，发展学生的合作交流、实践操作及推理能力。
（2）通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高学生分析问题及解决问题的能力。
华东师大版初中数学九年级上册 第23章 图形的相似 23.3.3 相似三角形的性质学案
24.3.3相似三角形的性质
【学情分析】有了相似三角形的性质的基础，学生能较轻松学习本节相关内容。
【学习内容分析】本节通过探索相似三角形的对应边、对应高、对应角平分线、对应中线、周长、面积之间的比与相似比的关系。
【学习目标】
会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
【重难点预测】
重点：掌握相似三角形的性质 难点：灵活运用相似三角形的性质解决简单问题，特别是有关面积比问题。
【学习过程】 一、明确目标、自学指导
[学习目标] 会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
【自学指导】认真看P50－51的内容，思考：
1、相似三角形对应高的比等于相似比 相似三角形对应中线的比等于 ； 相似三角形对应角平分线的比等于 。
相似三角形的周长比等于
2、相似三角形的面积比等于相似比的
[巧记为：k ＝周长周长＝角平分线角平分线＝中线中线＝高高＝边边；2k ＝面积
面积] 4分钟后，比谁能正确地做出相关习题。
二、自主学习，检测练习。
1、学生看书，教师巡视，确保人人紧张看书。
2、检测练习：P52练习1、2、3，
三、合作探究、成果展示
1、个人独立自学后，小组内个人展示、交流。
2、全班展示：学生板演练习，学生自由更正，教师巡视，师生评价。
【教与学反思】
我的收获：我的疑问：。
【华师大版】202X九上数学：23.2-相似图形ppt教学课件
=FA : F1A1
对应边成比例
归纳 相似多边形的定义：
两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各 角对应相等 ，就称这两个多边形相似.
相似比:相似多边形对应边的比（相似比大于零）.
当堂练习
1．根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由．
不相似，因为这两个多边形对应角相等，但对应边不成比例.
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
2.相似多边形的定义： 两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各
华师版初中九年级上册数学精品教学课件 第23章 图形的相似第2节 相似图形
解：四边形和四边形相似,它们的对应角相等,即,.又,.四边形和四边形相似,它们的对应边成比例,即.,,,,,解得,即的长度为28.
知识点2 相似多边形的判定 难点
判定：两个边数相同的多边形,如果各边对应成比例,各角对应相等,就称这两个多边形相似.
第23章 图形的相似
23.2 相似图形
学习目标
1.掌握相似多边形的性质，并会运用其性质求对应边的长和对应角的度数.2.会判定两个多边形是否相似.
知识点1 相似多边形的性质 重点
性质：相似多边形的对应边成比例,对应角相等.敲黑板相似多边形的性质有两层含义：一是对应边成比例,根据此性质可列出比例式,求出某条边的长度;二是对应角相等,结合多边形的内角和定理,可求出某个角的度数.
,即.，
,,则.又,,,,即.综上，与的各边对应成比例，各角对应相等，与相似，甲的观点正确.
,，，新矩形与原矩形不相似，乙的观点正确.
如图（2）所示，根据题意，得，，则，，
链接教材 本题取材于教材第60页习题23.2第2题.中考真题和教材习题都考查了判定两个矩形是否相似.另外，中考真题还考查了判定两个直角三角形是否相似,综合性更强，难度更大.解决此类问题的关键是熟练掌握相似多边形的判定方法.
★★★
选择题、填空题
考点 相似多边形的判定
典例4 （河北中考）在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下：
对于两人的观点,下列说法正确的是( )
A
A.两人都对B.两人都不对C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对
[解析]如图（1）所示，过点作，分别交,于点,，把线段分别向两个方向延长，分别交,于点,，则，,.由三角形三边长关系和边互相平行知，，,,,,
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.2相似三角形的判定导学案1新版华东师大版
相似三角形的判定【学习目标】1. 两个三角形相似的判定方法1：有两个角对应相等的两个三角形相似。
2.会利用判定定理解答一些问题.【学习重难点】相似三角形的判定定理1【学习过程】一、课前准备1、两个矩形一定会相似吗？为什么？2、如何判断两个三角形是否相似？二、学习新知自主学习：1、观察你与你同伴的直角三角尺，同样角度（30°与60°，或45°与45°）让学生充分思考，并与伙伴交流后，它们相似吗？2、如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？3、任意画两个三角形（可以画在下面的格点图上），使其三对角对应相等．用刻度尺量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例．你能得出什么结论？图24.1.5（如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__________．）4、小组讨论后总结：得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．5、思考：如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？举例说明。
（你所用的两块不一样的直角三角尺）图24.3.3实例分析：例1、在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，证明△ABC∽△A′B′C′．证明:例2 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明:△ADE∽△EFC.（注意：推理必须步步有据）【随堂练习】1、(1)如图，AB与CD相交于点O，AC与BD不平行，当_________=__________或___________=____________时，△ AOC∽△DOB；(2)如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，则__________∽___________．2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则∠B=_________，∠A=________，因此△ABC∽_________∽_____________．3、如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上．(1)若∠1=∠2，则__________∽___________；(2)若∠2=∠B，则__________∽___________．4、如图，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC 相似，你添加的条件是_____________（只需填上你认为正确的一种情况即可）.【中考连线】在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是______和 __ ；并写出它的面积比 .【参考答案】随堂练习1、(1)∠A=∠D或∠C=∠B，△ AOC∽△DOB； (2)△AOB△DOC2、∠ACD∠BCD∠ACD∠CBD3、(1) △ADE△ACD (2) △ACD△ABC4、∠C=∠ADE（或∠B=∠AED等）中考连线分三种情况：（1）△ADC ∽△CDB 43；（2）△ADC∽△ACB45；（3）△CDB∽△ACB3 4。
华东师大版九年级数学上册《23章 图形的相似 23.3 相似三角形 相似三角形的性质》公开课教案_0
27.2 相似三角形的性质一、教学目标1．核心素养通过相似三角形性质的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力．2．学习目标(1)理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．相似三角形对应线段的比等于相似比.(2)理解并掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.(3)能利用相似三角形的性质解决一些简单问题．3．学习重点相似三角形性质定理的探索、理解及应用4．学习难点相似三角形性质定理的探索、理解及应用相似三角形的性质与判定的综合应用二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1 阅读教材P37，思考：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比吗？怎么证明？任务2 阅读教材P38-39，思考：相似三角形的周长有什么关系？相似三角形面积比与相似比有什么关系？（二）课堂设计1.知识回顾（1）全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等，对应高、对应中线、对应角平分线也分别相等.全等三角形的周长相等、面积相等.（2）相似三角形定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.（3）相似三角形的识别方法有：（4）相似三角形的特征：如右图，△ABC ∽C B A '''∆边：对应边成比例 C A AC C B BC B A AB ''=''='' 角：对应角相等 ⎪⎩⎪⎨⎧'∠=∠'∠=∠'∠=∠C C B B A A相似比：相似比=对应边的比值=C A AC C B BC B A AB ''=''=''. （5）我们预习本课相似三角形的性质有哪些？怎么证明？2．问题探究问题探究一 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比吗？●活动1 提出问题，引导探究问题：三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？探究：如图，△ABC ∽C B A '''∆，相似比为k ，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？如图，分别作△ABC 和 △C B A '''∆的对应高AD 和A ′D ′ .∵ △ABC ∽C B A '''∆， ∴ ∠B= ∠B ′ .又△ ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形， ∴△ ABD ∽ △A ′B ′D ′.∴.AD ABk A D A B==''''类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于k.证二组对应角相等 证三组对应边成比例 证二组对应边成比例，且夹角相等归纳：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.●活动2 例题讲解例1 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，矩形EFGH 内接于△ABC ，且长边FG 在BC 上，矩形相邻两边的比为1∶2，若BC ＝30cm ，AD ＝10cm ，求矩形EFGH 的周长．【知识点：相似三角形的性质应用；数学思想：数形结合】解：设HG ＝xcm ，则EH ＝2xcm. 易得AP ⊥EH.∵AD ＝10cm ，∴AP ＝(10－x)cm.∵四边形EFGH 为矩形，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ．∴102, .1030AP EH x x AD BC －即== 解得x=6．∴HG ＝6cm ，EH ＝12cm.∴矩形EFGH 的周长为36cm.点拨：当利用三角形相似求线段长，涉及三角形高时，可根据相似三角形对应高的比等于相似比求线段长.问题探究二 相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方？●活动1 阅读思考，合作探究阅读与思考：两个相似三角形的周长、面积有什么关系呢？探究：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？已知：△ABC ∽C B A '''∆，相似比为k. AD ⊥BC 于D ，C B D A ''⊥''于D '. 求：（1）△ABC 的周长△A ′B ′C ′的周长；（2）S △ABCS △A ′B ′C ′.解： （1）由△ABC ∽△A ′B ′C ′，得AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝AC A ′C ′＝k ， ∴AB ＋BC ＋AC A ′B ′＋B ′C ′＋A ′C ′＝AB A ′B ′＝k ， ∴△ABC 的周长△A ′B ′C ′的周长＝k ；（2）由S △ABCS △A ′B ′C ′＝12AB ·CD 12A ′B ′·C ′D ′＝AB A ′B ′·CD C ′D ′＝k ×k ＝k 2. 归纳结论：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. ●活动2 例题讲解例1：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB = 2DE ，AC = 2DF ，∠A=∠D ． 若△ABC 的边BC 上的高为6，面积为DEF 的边EF 上的高和面积．【知识点：相似三角形的判定与性质应用；数学思想：数形结合】解：在△ABC 和△DEF 中，∵ AB = 2DE ，AC = 2DF,∴21==AC DF AB DE ，又∠D=∠A ， ∴ △DEF ∽△ABC ，△DEF 与△ABC 的相似比为21. ∵△ABC 的边BC 上的高为6，面积为 ∴△DEF 的边EF 上的高为163,2⨯=面积为212⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭点拨：此题由“两边成比例且夹角相等的两三角形相似”，可证得 △DEF ∽△ABC ，再利用相似三角形性质求的高和面积.3．课堂总结【知识梳理】(1)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．相似三角形对应线段的比等于相似比.(2)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.【重难点突破】（1）应用相似三角形的性质，其前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，不能应用相应的性质．（2）在应用性质“相似三角形面积的比等于相似比的平方”时，要注意有相似比求面积必要平方，反过来，由面积比求相似必要开方．（3）当相似三角形的问题中出现高、中线或角平分线时，要考虑用相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比；当相似三角形中出现周长或面积时，要考虑用相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.（4）相似多边形除了对应角相等，对应边成比例外，也有对应线段的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方的性质，以后也可以直接利用.4．随堂检测1.已知△ABC ∽C B A '''∆，AB=4，10=''B A ，AD ⊥BC 于D ，C B D A ''⊥''于D '.则AD ：D A ''=（ ）A ．5：2B ．4：25C ．2：3D ．2：5【知识点：相似三角形性质】2.已知△ABC 与△DEF 相似，且它们对应角平分线的比为1：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：16【知识点：相似三角形性质】3.如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积为10平方厘米，则四边形BCED的面积为（）A．40平方厘米 B．30平方厘米 C．20平方厘米 D．10平方厘米【考点：相似三角形的判定与性质】4.如果两个相似三角形的面积比是8∶1，那么它们的周长比是( )2∶1A．8∶1 B．4∶1 C．64∶1 D．2【知识点：相似三角形性质】。
华师大版九年级数学上第23章图形的相似23.3.2(第二节)相似三角形的判定公开课教学设计
2.引导学生通过观察、猜想、验证等途径，自主探究相似三角形的判定方法，培养学生的动手操作能力和观察力。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队协作能力和表达能力，提高学生对知识的理解和运用能力。
4.注重培养学生的问题解决能力，引导学生运用所学知识解决实际问题时，能够灵活选择和运用判定方法。
-目的：拓展学生的知识面，提高学生解决复杂问题的能力。
4.小组合作题：分组讨论，共同解决一道相似三角形判定的问题，要求每组提交一份解题报告。
-目的：培养学生的团队协作能力和交流表达能力，共同提高。
5.思考题：请同学们思考，相似三角形判定方法在平面几何中还有哪些应用？举例说明。
-目的：激发学生的思考，提高学生对相似三角形知识体系的认识。
（四）课堂练习
1.设计练习：教师设计具有代表性的练习题，涵盖相似三角形的判定方法，让学生进行巩固。
-教师设计：这里有一些关于相似三角形判定的练习题，请同学们独立完成。
2.互动解答：学生互相讨论，解答练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
-教师指导：在解答练习题的过程中，如果遇到问题，可以与周围的同学讨论，我也会巡回解答你们的疑问。
-教师提问：同学们，我们之前学习了全等三角形的判定方法，谁能来说一说有哪些判定方法？
-学生回答：SSS、SAS、ASA、AAS等。
2.生活实例：展示生活中含有相似三角形的图片，如建筑物的立面图、摄影作品等，引导学生观察并发现相似三角形的美。
-教师引导：同学们，观察这些图片，它们有什么共同的特点？
-学生回答：它们都包含了相似的三角形。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：以生活中的实例，如摄影中的构图、建筑物的相似结构等，引出相似三角形的判定问题，激发学生的学习兴趣。
华师版九年级上册数学第23章 图形的相似 【学案】相似图形
相似图形一、学习目标1. 通过具体操作感知两个相似图形之间存在的边角关系。
2. 掌握相似多边形的两个特征：对应边成比例，对应角相等。
二、学习重点了解相似多边形的定义，探索并掌握相似多边形的本质特征。
三、自主预习1.课本第57页中“做一做”。
在两张相似的图形中，测出AB=____ ___，A B ''=___ ____，BC=____ ___，B C ''=_____ __，ABC ∠=____ ___，A B C '''∠=____ ___，用尺子动手测量并交流。
两个角之间有什么关系？请计算出______=''B A AB ，______=''C B BC两条线段的比值有什么关系？2．猜一猜：是否所有的相似图形都具有这样的特点？四、合作探究1．（任务一）：探究相似多边形的性质观察课本中第58页中图23.2.2的两个相似的四边形（1）量一量：AB=_______，BC=_______，CD=_______，DA=_______，B A '' =_______，C B ''=_______，D C ''=_______，D A '' =_______，∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______，∠D =_______，∠A '=_______，∠B ' =_______，∠C ' =_______，∠D '=_______。
（2）算一算。
______=''B A AB ，______=''C B BC ，______=''D C CD ，______=''AD DA。
（3）议一议：通过计算，当这两个四边形相似时，对应边与对应角有怎样的关系？（4）做一做：课本P58的两个相似的五边形，是否也具有上述一样的结果呢？（5）说一说：两个相似的多边形具有怎样的特征：相似图形的对应角 ，对应边成 。
九年级数学上册 第23章 图形的相似 相似三角形的判定导学案2 (新版)华东师大版
相似三角形的判定【学习目标】1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”及“三边对应成比例，两个三角形相似”的判定方法．3．能够灵活运用三角形相似的条件解决简单的问题．【学习重点】三角形相似的判定方法．【学习难点】【学习目标】1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”及“三边对应成比例，两个三角形相似”的判定方法．3．能够灵活运用三角形相似的条件解决简单的问题．【学习重点】三角形相似的判定方法．【学习难点】三角形相似的判定方法的灵活运用．情景导入 生成问题到目前为止，我们学会了哪些判定三角形相似的方法？自学互研 生成能力知识模块一 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似阅读教材P 67～P 69的内容．问题：1.观察右图，如果有一点E 在边AC 上移动，那么点E 在什么位置时能使△ADE 与△ABC 相似呢？2．图中△ADE 与△ABC 的一组对应边AD 与AB 的长度的比值为13，将点E 由点A 开始在AC 上移动，可以发现当AE 等于AC 的三分之一时，△ADE 与△ABC 似乎相似，此时AD∶AB＝__1∶3__．猜想：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．下面我们来证明上述猜想．已知：如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1，AB A 1B 1＝AC A 1C 1.求证：△ABC∽△A 1B 1C 1. 证明：在边AB 或它的延长线上截取AD ＝A 1B 1，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，则△ADE∽△ABC，∴AB AD ＝AC AE，∵AB A 1B 1＝AC A 1C 1，AD ＝A 1B 1，∴AE ＝A 1C 1，在△ADE 和△A 1B 1C 1中，∵AD ＝A 1B 1，∠A ＝∠A 1，AE ＝A 1C 1，∴△ADE≌△A 1B 1C 1，∴△ABC ∽△A 1B 1C 1. 结论：相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．范例：证明如图中的△AEB 和△FEC 相似．证明：∵AE FE ＝5436＝1.5，BE CE ＝4530＝1.5，∴AE FE ＝BE CE，又∵∠AEB＝∠FEC，∴△AEB ∽△FEC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)知识模块二 三边对应成比例的两个三角形相似探索：三边对应相等的两个三角形全等，那么三边对应成比例的两个三角形相似吗？在如图所示的方格图中任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边长的相同倍数，画完之后，用量角器度量并比较两个三角形对应角的大小，你得出了什么结论？结论：相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．范例：在△A BC 和△A′B′C′中，AB ＝6cm ，BC ＝8c m ，AC ＝10cm ，A ′B ′＝18cm ，B ′C ′＝24cm ，A ′C ′＝30cm ，试证明△ABC 与△A′B′C′相似．证明：∵AB A ′B ′＝618＝13，BC B ′C ′＝824＝13，AC A ′C ′＝1030＝13，∴AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝AC A ′C ′.∴AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝AC A ′C ′.∴△ABC ∽△A ′B ′C ′(三边成比例的两个三角形相似)． 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 相似三角形的判定定理2知识模块二 相似三角形的判定定理3检测反馈 达成目标1．如图，在△ABC 中，如果DE 与BC 不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB 的是( C )A ．∠ADE ＝∠CB ．∠AED ＝∠BC .AD AB ＝DEBC D .AD AC ＝AE AB(第1题图) (第2题图)2．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上一点，连结BD ，给出下列条件：①∠ABD＝∠ACB；②AB 2＝AD·AC；③AD·BC＝AB ·BD；④AB·BC＝AC·BD.其中单独能够判断△ABD∽△ACB 的个数是( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，如果AD ＝9，BD ＝16，那么CD ＝__12__，AC ＝__15__．4．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝8，点P 从B 点出发沿BA 方向以每秒1个单位移动；点Q 从A 出发沿AC 方向以每秒2个单位移动，当它们到达A 、C 后停止运动，试问经过几秒后，△ABC 与△APQ 相似？请说明理由．解：2秒或45秒 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
华东师大版九年级上册数学第23章《图形的相似》教案2
课题相似三角形的判定(一)【学习目标】1．初步掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题；2．经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，以及动手、动脑、手脑协调一致的习惯；3．发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，体会数学思维的价值．【学习重点】掌握有两个角相等的相似三角形判定定理．【学习难点】应用三角形相似的判定定理．一、情景导入生成问题问题：1.根据相似多边形的定义，你知道什么样的两个三角形相似吗？2．还有判断两个三角形相似的方法吗？3．思考：有没有其他简单的办法判断两个三角形相似？二、自学互研生成能力知识模块一两角对应相等的两个三角形相似阅读教材P64～P67的内容．问题：已知：如右图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1.求证：△ABC∽△A1B1C1.证明：在边AB或它的延长线上截取AD＝A1B1，过点D作BC的平行线交AC于点E，则△ADE∽△ABC.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.在△ADE与△A1B1C1中，∵∠A＝∠A1，∠ADE＝∠B＝∠B1，AD＝A1B1，∴△ADE≌△A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1.问题：如果两个三角形仅有一个角对应相等，那么这两个三角形相似吗？归纳：三角形相似的判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似．知识模块二两角对应相等的两个三角形相似的应用范例：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C与∠C′都是直角，∠A＝∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′.∴△ABC∽△A′B′C′(两角分别相等的两个三角形相似)．仿例1：如右图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.求证：△ADE∽△EFC.证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.又∵EF∥AB，∴∠EFC＝∠B，∴∠ADE ＝∠EFC，∴△ADE∽△EFC(两角分别相等的两个三角形相似)．仿例2：如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂线交BC于D，交AC于E，交BA的延长线于F，求证：BD·DC＝DE·DF.证明：∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，∵FD⊥BC，∴∠BDF＝∠CDE＝90°，∠B＋∠F＝90°，∴∠F＝∠C，∴△BDF∽△EDC，∴BDDE＝DFDC，∴BD·DC＝DE·DF三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一两角对应相等的两个三角形相似知识模块二两角对应相等的两个三角形相似的应用仿例(方法二)还可利用对顶角相等：∠AEF＝∠CED四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________课题相似三角形的判定(二)【学习目标】1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”及“三边对应成比例，两个三角形相似”的判定方法．3．能够灵活运用三角形相似的条件解决简单的问题．【学习重点】三角形相似的判定方法．【学习难点】三角形相似的判定方法的灵活运用．一、情景导入生成问题到目前为止，我们学会了哪些判定三角形相似的方法？二、自学互研生成能力知识模块一两边成比例且夹角相等的两个三角形相似阅读教材P67～P69的内容．问题：1.观察右图，如果有一点E在边AC上移动，那么点E在什么位置时能使△ADE与△ABC相似呢？2．图中△ADE与△ABC的一组对应边AD与AB的长度的比值为13，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE等于AC的三分之一时，△ADE与△ABC似乎相似，此时AD∶AB＝__1∶3__．猜想：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．下面我们来证明上述猜想．已知：如图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，ABA1B1＝ACA1C1.求证：△ABC∽△A1B1C1.证明：在边AB或它的延长线上截取AD＝A1B1，过点D作BC的平行线交AC于点E，则△ADE∽△ABC，∴ABAD＝ACAE，∵ABA1B1＝ACA1C1，AD＝A1B1，∴AE＝A1C1，在△ADE和△A1B1C1中，∵AD＝A1B1，∠A＝∠A1，AE＝A1C1，∴△ADE≌△A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1.结论：相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．范例：证明如图中的△AEB和△FEC相似．证明：∵AEFE＝5436＝1.5，BECE＝4530＝1.5，∴AEFE＝BECE，又∵∠AEB＝∠FEC，∴△AEB∽△FEC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)知识模块二三边对应成比例的两个三角形相似探索：三边对应相等的两个三角形全等，那么三边对应成比例的两个三角形相似吗？在如图所示的方格图中任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边长的相同倍数，画完之后，用量角器度量并比较两个三角形对应角的大小，你得出了什么结论？结论：相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．范例：在△ABC和△A′B′C′中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，试证明△ABC与△A′B′C′相似．证明：∵ABA′B′＝618＝13，BCB′C′＝824＝13，ACA′C′＝1030＝13，∴ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′.∴ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′.∴△ABC∽△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似)．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一相似三角形的判定定理2知识模块二相似三角形的判定定理3四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：______________________________________________________2．存在困惑：__________________________________________________课题相似三角形的性质【学习目标】1．掌握相似三角形的性质定理的内容及证明，使学生进一步理解相似三角形的概念；2．能运用相似三角形的性质定理来解决有关问题；3．通过由特殊情况猜想到一般情况，渗透由特殊到一般的数学思想，让学生感受数学的和谐美，并进一步养成严谨科学的学习品质．【学习重点】理解相似三角形的性质定理并能初步运用．【学习难点】相似三角形的性质定理的证明．一、情景导入生成问题1．什么叫相似三角形？2．如何判定两个三角形相似？3．相似三角形的对应边有什么特征？对应角有什么特征？二、自学互研生成能力知识模块一相似三角形对应边上的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方阅读教材P71～P72的内容．问题：两个三角形相似，除了对应边成比例，对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如在右图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比是k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？这两个三角形的面积之比又是多少？归纳：△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，且∠B＝∠B′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似，因此ADA′D′＝ABA′B′＝k.由此可以得出结论：相似三角形对应边上的高的比等于相似比．由ADA′D′＝BCB′C′＝k，可得S△ABCS△A′B′C′＝12AD·BC12A′D′·B′C′＝ADA′D′·BCB′C′＝k2.由此可以得出结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识模块二相似三角形对应角的平分线之比等于相似比、对应边上的中线之比等于相似比、周长之比等于相似比思考：如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的平分线，那么它们之间是否有与对应边上的高类似的关系？这两个三角形的周长又有什么关系？以周长为例探究一下：∵△ABC∽△A′B′C′，∴ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′＝k，∴AB＝kA′B′，BC＝kB′C′，AC＝kA′C′，∴C△ABCC△A′B′C′＝AB＋BC＋ACA′B′＋B′C′＋A′C′＝kA′B′＋kB′C′＋kA′C′A′B′＋B′C′＋A′C′＝k结论：相似三角形对应角的平分线之比等于相似比．相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．相似三角形的周长之比等于相似比．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一相似三角形对应边上的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方知识模块二相似三角形对应角的平分线之比、对应边上的中线之比、周长之比等于相似比四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：__________________________________________________2．存在困惑：______________________________________________课题相似三角形的应用【学习目标】1．通过例题教学使学生进一步理解和应用相似三角形的判定和性质，并熟练应用这些判定和性质解决实际生活中的有关问题；2．在教学过程中，通过鼓励学生个性化学习和大胆发言，让学生能主动参与、乐于探究、勤于思考．培养其分析问题和解决问题的能力，以及合作交流自主探索的新型学习观；3．通过对生活中数学问题的探讨，使学生经历理论与实际相结合的全过程，体验数学的实践性，知道数学来源于生活，而又服务于生活，从而激发其对数学学习的浓厚兴趣．【学习重点】通过建立相似三角形模型解决实际问题．【学习难点】如何从实际问题中抽象出相似三角形的模型．一、情景导入生成问题问题：1.识别两个三角形相似的方法有哪些？2．相似三角形有哪些性质？二、自学互研生成能力知识模块一相似三角形的应用一阅读教材P72～P74的内容．范例：古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′与金字塔的影长AB垂直，即可近拟算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB.解：∵太阳光线是平行光线，∴∠OAB＝∠O′A′B′.∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，∴△OAB∽△O′A′B′(两角分别相等的两个三角形相似)．∴OBO′B′＝ABA′B′，∴OB＝AB×O′B′A′B′＝274×12＝137(米)．答：金字塔的高度OB为137米．范例：如右图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB.解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABD＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角形相似)．∴ABEC＝BDCD.解得AB＝BD×ECCD＝120×5060＝100(米)．知识模块二相似三角形的应用二范例：如右图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点．且∠ADE＝∠C.求证：AD·AB＝AE·AC.证明：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似)．∴ADAC＝AEAB，∴AD·AB＝AE·AC.仿例1：如图，AE＝12EC，AD＝12DB，测得DE＝20米，求池塘宽BC是多少米？解：∵AC＝12EC，AD＝12DB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝AEAC＝13，∵DE＝20米，∴BC＝60米．答：池塘宽BC为60米．仿例2：小明在打网球时，使球恰好能过网，而且落在离网5米的位置上，已知如图，求球拍击球的高度h？(设网球作直线运动)解：∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴DE∥BC，∴DEBC＝ADAB，∵DE＝0.8，AD＝5，AB＝15，∴0.8BC＝515，∴BC＝2.4米．答：球拍击球高度为2.4米．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一相似三角形的应用一知识模块二相似三角形的应用二四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：______________________________________________________2．存在困惑：__________________________________________________。
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第2课时 相似图形的性质
学前温故
若△ABC≌△DEF，则AB＝____，BC＝____，AC＝____，∠A＝____，∠B＝____，∠C＝____.即
全等三角形的对应边____，对应角____．
新课早知
1．相似多边形对应边______，对应角____．
2．五边形ABCDE的五边长分别为50cm，20cm，35cm，38cm,40cm；另一个和它相似的五边形的最
短边长是10cm，则这个五边形的最长边为__________．
3．直角梯形的一个角是135°，则与之相似的一个梯形的四个角分别为__________．
4．如果两个多边形____________，__________，那么这两个多边形相似．
5．下列说法正确的是()．
A．两个三角形相似
B．两个矩形相似
C．两个等腰三角形相似
D．两个正方形相似
答案：学前温故
DEEFDF∠D∠E∠F相等相等
新课早知
1．成比例相等2.25cm
3．90°，90°，135°，45°
4．对应边成比例对应角相等
5．D
相似多边形的性质
【例题】
已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB＝15cm，A′B′＝10cm，∠A＝∠A′＝80°，∠B
＝∠B′＝90°，∠C＝70°.又BC＝20cm，C′D′＝12cm，AD＝16cm，试求∠C′、∠D、∠D′、B′C
′、A′D′的值．
分析：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，其中
就暗含着确定的对应关系．
解：由四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，得∠C＝∠C′＝70°，∠D＝∠D′，
且ABA′B′＝BCB′C′＝CDC′D′＝ADA′D′.
在四边形ABCD中，∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝120°，
所以∠D＝∠D′＝120°.
由AB＝15cm，A′B′＝10cm，BC＝20cm，C′D′＝12cm，AD＝16cm，
得1510＝20B′C′＝CD12＝16A′D′.
解得CD＝18cm，B′C′＝403cm，A′D′＝323cm.
点拨：(1)应用相似多边形的特征求边和角时，关键是找对对应边和对应角，从而列出等式，通过解方
程求解．(2)一般地，相等的角是对应角，对应角所夹的边是对应边；对应边所夹的角是对应角；最大(小)
的边是对应边；最大(小)的角是对应角．(3)我们在平日的学习中就要养成把对应顶点写在对应的位置上的
习惯．
1．如果六边形ABCDEF和六边形A′B′C′D′E′F′相似，∠B＝62°，则∠B′等于()．
A．26°B．118°C．62°D．54°
2．下图中有三个矩形，其中相似的是()．
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A．甲和乙B．甲和丙
C．乙和丙D．没有相似的矩形
3．△ABC与△DEF是两个相似三角形，∠A＝50°，∠B＝70°，∠D＝60°，则∠E的度数可以是____
__．
4．已知△ABC和△A′B′C′相似，其中AB＝12，BC＝10，AC＝6，A′B′＝24，B′C′＝20
，则A′C′＝__________.
5．如图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由．
6．如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和∠C的大小．
答案：1．C
2．B所有角都是直角，所以再找边对应成比例即可．甲和丙的对应边成比例．
3．50°或70°∠E可能和∠A对应，也可能和∠B对应，所以∠E的度数可以是50°或70°.
4．12根据题意，得ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′，
所以1224＝1020＝6A′C′.
所以A′C′＝12.
5．解：不相似，∠D＝360°－135°－95°－72°＝58°，而∠G＝360°－135°－72°－59°＝94°，不可能有
“对应角相等”．
6．分析：根据相似多边形的性质“对应角相等，对应边成比例”进行求解．在找对应边或对应角时，
一般地，相等的角是对应角，对应角所夹的边是对应边；对应边所夹的角是对应角；最大(小)的边是对应边；
最大(小)的角是对应角．
解：利用四边形的内角和，求得∠C′＝360°－∠A′－∠B′－∠D′＝90°.
根据相似多边形的性质得：∠C＝∠C′＝90°，x12＝1612＝24y，解得x＝16，y＝18.