高数复习提纲

极限导数与微分不定积分定积分极限 1. 数列的极限1. 数列极限lim n→∞x n =a 的概念及ε−N 定义。

2.收敛数列的性质：极限的唯一性、收敛数列的有界性、保号性以及收敛数列的子数列的性质。

[思考]如何证明数列{x n }发散？ 1. 找出数列{x n }的一个发散子列； 2. 找出数列{x n }的两个有不同极限的子列。

（例如数列{（−1）n}中，分别令n=2k 和n=2k+1得到两个子列，这两个子列的极限不相等。

）3. 函数的极限1. 函数极限的性质：极限的唯一性、局部有界性、局部保号性以及函数极限与数列极限的关系（海涅定理）。

2.两个重要的极限（1）limx→0sin x x=1;(2)lim n→∞(1+1n)n=e;（2）式一般还会变形为(1+x)1xx→0lim=e.[例] 求极限lim n→∞(n−1n+1)nlim n→∞(n−1n+1)n=lim n→∞(1−2n+1)n=lim n→∞(1−2n+1)−n+12∙(−2nn+1)=e lim n→∞−2nn+1=e −2[技巧]求形如lim x→a[1+f (x )]g (x )的极限时，把它化为lim x→a[1+f (x )]f (x )g (x )f (x )=e lim x→af (x )g (x )的形式，求出lim x→af (x )g (x )即可。

三．无穷小与无穷大 极限运算法则 1. 无穷小的定义与性质（课本P55~56）2.无穷小的运算法则。

关于高阶无穷小的运算，有如下规律：一般的，当x →0时，（1）ο(x n )+ο(x n )=ο(x n )（2）ο(x m )+ο(x n )=ο(x n )(m >n ) （3）ο(x m )∙ο(x n )=ο(x m+n ) （4）ο（k x n ）=ο(x n ) (k ≠0)记住这些规律对处理麦克劳林公式中的佩亚诺余项有很大帮助。

此外要说的是， 1.认为x →0时，ο(x n )−ο(x n )=0，这是不对的。

例如，x →0时，x 2=ο(x )，x 3=ο(x ),但x 2−x 3≠0； 2.认为x →0，m>n 时，有ο(x m )ο(x n )=ο(x m−n )，这也是不对的。

例如，x →0时，x 3=ο(x 2),x 4=ο(x),x 3x 4却是x →0时的无穷大。

3. 常见的无穷小代换。

x ～sin x ～tan x ～arcsin x x ～e x -1～ln(1+x) 1.cos x ～12x 2（1+x)n ～1+nxtan x −sin x ~12x 3这些常用的无穷小替换可以大大缩短求极限的运算量。

[注意]做等价无穷小的代换时，对分子或分母中的某个加项作代换，就可能出错。

必须将分子和分母的整体换成它们各自的等价无穷小。

例如，在求极限lim x→0tan x −sin x x3 时，如果将tan x ，sin x 均换成x ，那么分子成为0，得出极限为0.而事实上limx→0tan x−sin xx 3=lim x→0(tan xx ∙1−cos xx 2)=1×12=12即tan x -sin x ～12x 3(x →0). 2. 极限的四则运算（P50定理5） 在运算的时候注意先变形。

[例1]lim n→∞(1−122)(1−132)……（1−1n 2)原式=lim n→∞(12×32×23×43×……×n−1n×n+1n)=limn→∞n+12n= 12此外，还需要注意x趋于+∞和-∞时极限不同的情况。

[例2]求极限lim √4x2+x−1√x2+sin x原式=limx→∞√4+1x−1x2−1−1x√1+sin xx2=2−11=1 需要分类讨论？变形方法是分子分母同时除以|x|，因为注意到|x|=√x2,如果直接除以x，那么当x→-∞时，x=-√x2，相应的根式就该变号。

但是当x→-∞时，x|x|=-1,这点必须得注意到。

当时期中编答案的时候没注意到这个，在这里向大家道个歉。

四．闭区间上连续函数的性质1.初等函数的连续性2.闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理，零点定理，介值定理。

导数与微分一．导数的概念与求导法则1.函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)的定义limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f (x 0+Δx )−f(x 0)Δx=limx→x 0f (x )−f(x 0)x−x 0.2.函数f(x)在点x 0处可导与连续的关系。

（连续不一定可导，可导一定连续） [注意]利用定义求导时得注意分子分母中的Δx 系数统一lim Δx→0f (x 0+2Δx )−f(x 0)Δx=2limΔx→0f (x 0+2Δx )−f(x 0)2Δx=2f ′(x 0)此外还有一些变形得能看的出来limΔx→0f (x 0)−f(x 0−Δx)Δx =f ′(x 0)limℎ→0f (x 0+ℎ)+f (x 0−ℎ)−2f(x 0)ℎ2=f 〞(x 0)[例]设曲线y=f(x)与y=sin x 在原点相切，试求lim n→∞√nf(2n).解析：要善于发掘题干中“y=f(x)与y=sin x 在原点相切”，“f(0)=0,f ′(0)=1”这一隐含的条件。

当n →∞时，2n →0，lim n→∞nf(2n )=lim n→∞[n f(2n )−f(0)2n ∙2n ]=2f ′(0)=2所以lim n→∞√nf(2n).=√2.3.函数的求导法则这些运算规律相信大家高中的时候就已经练的滚瓜烂熟了，咱们再来简单地复习一下。

（1）（u ±v ）′=u ′±v′(2) (u ∙v)′=u′v +uv′ (∁u ）′=∁u′,∁为常数 (3) ( uv ) ′=u ′v−uv′v 2(v ≠0)（4）x=φ(y )是f (x )的反函数，则φ′(y )=1f ′(x)(5) y=f (u), u=g(x),y′x =y′u ∙u′xdy dx=dy du∙du dx还要各种基本函数的求导公式这是最基础的东西，必须牢记！此外还要补充的是，有的函数形式比较复杂，直接使用用复合函数求导法则运算量较大。

[例]求y=x √1−x 1+x的导数直接令u=√1−x 1+x，然后再用复合函数求导运算量太大。

不如先对两边取自然对数，得ln y =ln x +12[ln (1−x )−ln(1+x)] 再对两边求导，得y′y= 1x +12(11+x +1x−1)所以y ′=x √1−x1+x （1x + xx 2−1） 这就是对数求导法。

另外，像y=x x ,y=x sin x ,y=(1+x)x 这样的底数和指数均含有自变量的函数求导时也应该使用对数求导法。

如果函数由参数方程来确定，即{x =φ(t)y =ψ(t)，那么dy dx=dy dt∙dt dx= ψ′(t)φ′(t)值得注意的是，很多题都涉及到极坐标与直角坐标系互换关系：{x =r cos θy =r sin θ[例]求函数r=θsin θ的导数dy dx先将极坐标转换成直角坐标{x =θsin θcos θy =θsin 2θdy dx= dy dθdx dθ=sin θcos θ+θcos 2θsin 2θ+θsin 2θ1. 高阶导数 1. 初等函数的二阶导数求法。

在一阶导数的基础上继续求导即可。

[注意]在对参数方程求二阶导时注意变量。

例如，在求由参数方程{x =a cos ty =b sin t ,确定的函数y=f(x)的二阶导数d 2y d 2x 时,有的同学认为y ′=dydt dx dt=b cos t −a sin t= − b acot t,y′′= ba csc 2t上述解法中一阶导数是正确的，二阶导数d 2y d 2x是一阶导数dy dx关于x 的导数，而不是dy dx关于t 的导数。

正确的解法是d 2y d 2x= d dx (dy dx) =ddt (dy dx)∙dt dx= b acsc 2t ∙(−csc t a)=−b a2csc 3t. 2.sin x 、cos x 、e x 、x m 、ln(1+x)的n 阶导数公式 sin (n )(x )=sin(x +nπ2); cos (n )(x )=cos(x +nπ2);(e x )(n)=e x ;(x n )(m)=n(n -1)……(n -m+1)x n−m (n ≥m); [ln (1+x )](n ）=（−1）n−1(n−1)!x n.记住这些基本规律对求泰勒公式中的拉格朗日型余项有很大帮助。

还要补充的是，在求两个函数乘积的高阶导数时，那个莱布尼茨公式(P98)能记的就记，记不了就用归纳法找规律，毕竟在这上面不会出太难的题。

以下规律可能对解题有帮助(xe x )(n )= (n+x)e x (1ax+b )(n)=(−1)n n!a n(ax+b)n+1 [ln (ax +b )](n ）=（−1）n−1(n−1)!a n(ax+b)n3. 函数的微分求微分和求导非常相似，可微就是可导，微分公式无非就是在导数后面添加一个dx ,即dy=f ′(x )dx ,唯一需要提醒的就是后边的dx 别漏掉!四．微分中值定理1.理解罗尔定理和拉格朗日中值定理。

（P115，P117）看到ξ，端点函数值相等，存在实根等等字眼的时候就考虑使用微分中值定理啦，尤其以罗尔中值定理和拉格朗日中值定理最为重要，在此详细的说一下。

1. 使用之前先验证是否满足条件（连续、可导，罗尔的还需要端点函数值相等，缺一不可）2. 观察所给的形式构造出合适的函数，再利用中值定理证明。

下面通过期中考试的试题以及经典例题来说明。

[例1]叙述罗尔中值定理，并用它证明x 5+x -1=0. 叙述略。

设f(x)= x 5+x -1=0.f(x)在定义域内连续可导。

显然f(0)=-1,f(1)=1,所以f(x)=0在(0,1)上至少存在一正实根（零点定理）。

现只需证明这是唯一的实根。

用假设法，假设存在两不等实根x 1,x 2,即f(x 1)=f(x 2)=0,所以由罗尔中值定理可知存在一点ξ∈（x 1，x 2），使得f′(ξ)=0.但事实上，f′(x)=5x 4+1>0,与假设矛盾！因此假设不成立，即f(x)=0只存在一个正根。

[例2]设f(x)在[0，a,]上连续，在（0，a ）上可导，试证明存在ξ∈（0，a ）使得f(ξ)+ ξf′(ξ)=0.考虑到[x f(x)] ′=f(x)+x f′(x),因此设g(x)=x f(x),g ′(x)= =f(x)+x f′(x)容易验证g(x)满足罗尔定理的全部条件，因此存在ξ∈（0，a ）使得g ′(ξ)=f(ξ)+ ξf′(ξ)=0.关于怎样构造合适的函数还需要大家根据题中的形式以及自己的数感和经验来判断，这可以在后面所给的习题中多加体会。