江苏省天一中学2022-2021学年高一上学期数学 函数的概念 学案
3.1.1(第1课时)函数的概念 学案(含答案)
3.1.1（第1课时）函数的概念学案（含答案）3.13.1函数的概念与性质函数的概念与性质33..1.11.1函数及其表示方法函数及其表示方法第第11课时课时函数的概念函数的概念学习目标1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.知识点一函数的有关概念函数的定义给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数函数的记法yfx，xA定义域x 称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围即数集A称为函数的定义域值域所有函数值组成的集合yB|yfx，xA称为函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素定义域，对应关系与值域如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数特别提醒两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同思考定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗答案不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数1任何两个集合之间都可以建立函数关系2已知定义域和对应关系就可以确定一个函数3若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素4函数yfxx2，xA与uftt2，tA表示的是同一个函数一.函数关系的判断例11多选下列两个集合间的对应中，是A 到B的函数的有AA1,0,1，B1,0,1，fA中的数的平方BA0,1，B1,0,1，fA中的数的开方CAZ，BQ，fA中的数的倒数DA1,2,3,4，B2,4,6,8，fA中的数的2倍答案AD解析A选项121,020,121，为一一对应关系，是A到B的函数B选项00，11，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，不是A到B的函数C选项A中元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，不是A到B的函数D选项122,224,326,428，为一一对应关系，是A到B的函数2设Mx|0x2，Ny|0y2，给出如图所示的四个图形其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是A0B1C2D3答案B解析中，因为在集合M中当1x2时，在N中无元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是反思感悟1判断对应关系是否为函数的两个条件A，B必须是非空实数集A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系2根据图形判断对应关系是否为函数的方法任取一条垂直于x轴的直线l.在定义域内平行移动直线l.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内有两个或两个以上的交点，则不是函数跟踪训练11下列对应关系式中是A到B的函数的是AAR，BR，x2y21BA1,0,1，B1,2，y|x|1CAR，BR，y1x2DAZ，BZ，y2x1答案B解析对于A，x2y21可化为y1x2，显然对任意xAx1除外，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，1A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义2判断下列对应关系f是否为定义在集合A 上的函数AR，BR，对应关系fy1x2；A1,2,3，BR，f1f23，f34；A1,2,3，B4,5,6，对应关系如图所示解AR，BR，对于集合A中的元素x0，在对应关系fy1x2的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数由f1f23，f34，知集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在A上的函数集合A 中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素5和6与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数二.求函数的定义域.函数值和值域命题角度1求函数的定义域例2求下列函数的定义域1fxx12x11x；2fx5x|x|3；3fx3xx1.解1要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x10，1x0.解得x1，且x1，即函数定义域为x|x1，且x12要使函数有意义，自变量x的取值必须满足5x0，|x|30，解得x5，且x3，即函数定义域为x|x5，且x33要使函数有意义，自变量x的取值必须满足3x0，x10，解得1x3，所以这个函数的定义域为x|1x3延伸探究在本例3条件不变的前提下，求函数yfx1的定义域解由1x13得0x2.所以函数yfx1的定义域为0,2反思感悟求函数定义域的常用依据1若fx是分式，则应考虑使分母不为零2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零3若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义4若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义跟踪训练2函数y2x23x214x的定义域为________________答案，122,4解析由2x23x20，4x0，4x0，得x12或2x4，所以定义域为，122,4命题角度2求函数值例3已知fx12xxR，且x2，gxx4xR1求f1，g1,gf1的值；2求fgx解1f11211，g1145，gf1g15.2fgxfx412x412x1x2xR，且x2反思感悟求函数值的方法1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值2求fga的值应遵循由里往外的原则跟踪训练3已知fx11xxR，且x1，gxx22xR，则f2______，fg2______，fgx________.答案13171x23解析fx11x，f211213.又gxx22，g22226，fg2f611617.fgx11gx1x23.命题角度3求值域例4求下列函数的值域1y2x1，x1,2,3,4；2y3x1x1；3yxx.解1当x1时，y3；当x2时，y5；当x3时，y7；当x4时，y9.所以函数y2x1，x1,2,3,4的值域为3,5,7,92借助反比例函数的特征y3x14x134x1x1，显然4x1可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为y|y33设uxx0，则xu2u0，则yu2uu12214u0由u0，可知u12214，所以y0.所以函数yxx的值域为0，反思感悟求函数值域常用的四种方法1观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到2配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域3分离常数法此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；4换元法即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于fxaxbcxd其中a，b，c，d为常数，且a0型的函数常用换元法跟踪训练4求下列函数的值域1y2x1x3；2y2xx1.解1分离常数法y2x1x32x37x327x3，显然7x30，所以y2.故函数的值域为，22，2换元法设tx1，则xt21，且t0，所以y2t21t2t142158，由t0，再结合函数的图像如图，可得函数的值域为158，.三.同一个函数的判定例5多选下列各组函数表示同一个函数的是Afxx，gxx2Bfxx21，gtt21Cfx1x0，gxxxDfxx，gx|x|答案BC 解析A中，由于fxx的定义域为R，gxx2的定义域为x|x0，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数B中，函数的定义域.值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数C中，由于gxxx1的定义域为x|x0，故它们的定义域相同，所以它们是同一个函数D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数反思感悟在两个函数中，只有当定义域.对应关系都相同时，两函数才是同一个函数值域相等，只是前两个要素相等的必然结果跟踪训练5下列各组式子是否表示同一个函数为什么1fx|x|，tt2；2y1x1x，y1x2；3y3x2，yx3.解1fx与t的定义域相同，又tt2|t|，即fx与t的对应关系也相同，fx与t是同一个函数2y1x1x的定义域为x|1x1，y1x2的定义域为x|1x1，即两者定义域相同又y1x1x1x2，两函数的对应关系也相同故y1x1x与y1x2是同一个函数3y3x2|x3|与yx3的定义域相同，但对应关系不同，y3x2与yx3不是同一个函数1若Ax|0x2，By|1y2，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是答案B解析A中值域为y|0y2，故错误；C，D中值域为1,2，故错误2若fxx1，则f3等于A2B4C22D10答案A解析因为fxx1，所以f3312.3函数y1xx的定义域为Ax|x1Bx|x0Cx|x1或x0Dx|0x1答案D解析由题意可知1x0，x0，解得0x1.4如果函数yx22x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为A1,0,3B0,1,2,3Cy|1y3Dy|0y3答案A解析当x取0,1,2,3时，y 的值分别为0，1,0,3，则其值域为1,0,35下列四个图像中，不是以x为自变量的函数的图像是答案C解析根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数函数值与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足1知识清单1函数的概念2函数的定义域.值域3同一个函数的判定2方法归纳观察法.换元法.配方法.分离常数法3常见误区1定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应2自变量用不同字母表示不影响相同函数的判断。
高中数学第二章函数概念与基本初等函数I函数的概念互动课堂学案苏教版
2．2．1 函数的单调性互动课堂疏导引导2。
1.1 函数的概念和图象 1.函数的概念一般地，设A 、B 是两个非空的数集,如果按某种对应法则f ,对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，这样对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y =f (x )，x ∈A .其中所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y =f (x ）的定义域。
疑难疏引（1)构成函数的三要素：定义域，对应法则f ,值域.其中核心是对应法则f ，它是联系x 和y 的纽带,是对应得以实现的关键，对应法则可以由多种形式给出,可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应。
当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了,所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工"而成的“产品”。
因此,要确定一个函数,只要定义域与对应法则确定即可。
在函数符号y =f (x )中，f 是表示函数的对应关系，等式y =f （x )表明，对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下,可得到y ，因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径.函数符号y =f （x )是“y 是x 的函数”这句话的数学表示,它不表示“y 等于f 与x 的乘积”。
f （x ）可以是解析式，也可以是图象或数表.符号f （a ）与f (x ）既有区别又有联系.f （a ）表示当自变量x =a 时函数f (x )的值,是一个常量;而f （x )是自变量x 的函数，在一般情况下,它是一个变量.f （a ）是f （x ）的一个特殊值.值域是全体函数值所组成的集合。
在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定。
(2)关于函数的两个定义实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点,而高中定义却是从集合、对应的观点出发.初中阶段学习的函数的概念的优点是:直观,生动.高中阶段学习的函数的概念的优点:更具一般性。
高中数学 第二章 函数 2.1.1 函数的概念和图象(1)学案(无答案)苏教版必修1(2021年整
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函数的概念和图象（1）【学习目标】1． 通过现实生活中的实例体会函数是描述变量之间的依赖关系得重要模型,理解函数概念； 2． 了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域,会求一些简单函数的定义域并能说出他们的值域 。
【课前导学】一、复习回顾下列函数你认识吗?1）21y x =+ 2）221y x x =++ 3)1y x= 初中时候函数的定义：_________________________________________思考: y=1(x ∈R ）是函数吗？二、问题情境阅读课本23页的问题（1）、(2)、（3），并分别说出对其理解（1）这一变化过程中，有哪几个变量?(2）这几个变量的范围分别是多少？（3)如何用集合的语言来阐述上面3个例子中的共同特点？【课堂活动】一、建构数学：一般地，设A ．B 是两个_____的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的______元素x ，在集合B 中都有_______的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数（function),通常记作__________，其中，______________定义域（domain ）,对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应，我们将所有输出值y 组成的集合叫做函数的值域(range)．定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；（1)函数作为一种数学模型,主要用于刻画两个变量之间的关系；（2）函数的本质是一种对应；（3）y=f （x ）不一定是解析式,在不少问题中,对应法则f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式,如数表和图象,在研究函数时,除用符号f （x)表示外，还常用g （x)．F （x)．G(x)等符号来表示；(4)对应是建立在A 、B 两个非空的数集之间．可以是有限集，当然也就可以是单元集，如f （x )＝2x ，(x ＝0)注意：f(a ）是常量，f （x ）是变量，f(a ）是函数f(x ）中当自变量x=a 时的函数值．二、应用数学:例1 判断下列对应是否为函数：（1）1,0,x x x R x→≠∈； (2)x y →，这里2,,y x x N y R =∈∈．小结：练习: P26 3、4例2下列各组函数中，是否表示同一函数?为什么？A ．y ＝x 与y ＝（错误!)2； B ．y ＝错误!与y ＝错误!；C ．y ＝2x －1（x ∈R ）与y ＝2t －1（t ∈R)；D ．y ＝错误!·错误!与y ＝错误!小结：练习：同步练习P17例题3例3已知函数1 ()32f x xx=+++,（1）求函数的定义域（2）求2(3),()3f f-的值；（3）当a>0时，求(),(1)f a f a-的值．小结：练习：同步练习P17例题2例4＊。
5.1函数的概念(1)学案-2020-2021学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册
氾水高级中学2020-2021学年度高一数学导学活动单(37) 课 题函数的概念(1) 学习目标 1、进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；2、能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系刻画数学概念中的作用。
教学过程 学法指导 活动一：复习回顾 1、初中学过的函数的概念如何表述一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量 x 和y ，对于x 的 ， y 都有 与之对应，我们就说y 是x 的函数，x 是自变量。
2、常用的表示函数关系的方法(1) (2) (3)3、初中所学常见的函数模型(1)正比例函数的一般形式为：(2)反比例函数的一般形式为：(3)一次函数的一般形式为：(4)二次函数的一般形式：y活动二：活动探究类型 函数的概念的理解例1、判断下列对应是否为函数：(1)20x x x R x→≠∈，，； (2)x y →，这里y 2=x ，x ∈N ， y ∈R ；(3)当x 为有理数时，1x →，当x 为无理数时，0x →。
数学练习：判断下列对应是否为函数：(1)x →y ＝x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}；(2)16x y x →= ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}； (3)x →y ＝3x ＋1，x ∈R ，y ∈R 。
数学练习：判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数。
例2、设M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有变式拓展：如下图所示的对应x→y，能表示函数的是活动三：知识梳理1、函数的概念一般地，给定两个A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的实数x，在集合B中的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作：y= f (x)，x∈A，其中x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域(domain)。
2、函数的定义域和值域的概念(1)定义域：在函数y= f (x)，x∈A中，x叫做自变量，所有输入值x构成的集合A叫做函数的定义域(domain)；(2)值域：如果对于集合A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，我们将所有输出值y组成的集合{y|y= f (x)，x∈A}称为函数的值域(range)。
高中数学 第5章 函数概念与性质 5.2 函数的表示方法教学案(含解析)苏教版必修第一册-苏教版高一
5.2 函数的表示方法学习目标核心素养1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点) 通过学习本节内容，进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．观察教材第5．1节开头的3个函数问题，你能说出各种函数表达形式上的特点吗？如何用数学语言来准确地描述函数表示法？你能说出几种函数表示法的优缺点吗？1．函数的表示方法2．分段函数(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)有些函数能用三种方法来表示．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ 2．(一题两空)假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2－1，x <0，那么f (x )的定义域为，值域为．{x |x ≠0} {y |y >－1} [定义域为{x |x >0或x <0}＝{x |x ≠0}， 当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>－1，∴值域为{y |y >－1}．]3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元，试用三种方法表示函数y ＝f (x )．[解] 列表法：笔记本数x 1 2 345钱数y5 10 15 20 25解析法：y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 图象法：求函数解析式(1)f (x )为一次函数，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝－4x ＋6，那么f (x )＝． (2)f (x ＋1)＝x ＋2x ，那么f (x )＝．(3)f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，那么f (x )＝．(4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，假设f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，那么f (x )的解析式为．(5)假设f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2，那么f (x )＝．[思路点拨] (1)(3)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把x ＋1看作一个整体来求解．(4)用待定系数法求解．(5)可以把x －2x看作一个整体来求解．(1)－x ＋3 (2)x 2－1(x ≥1) (3)2x －13或－2x ＋1 (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0x 2＋4x ＋2，x ≤0(5)x 2＋4 [(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)＋b ， f (2x －1)＝a (2x －1)＋b ，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝4ax ＋2b ＝－4x ＋6，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－4，2b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，即函数f (x )的解析式为f (x )＝－x ＋3． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)， 那么x ＝t －1，x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)设所求函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，那么⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1，所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋4x ＋2，x ≤0.(5)f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2＋4，∴f (x )＝x 2＋4．]求函数解析式的常用方法1待定系数法：函数f x 的函数类型，求f x的解析式时，可根据类型设出其解析式，将条件代入解析式，得到含待定系数的方程组，确定其系数即可.2换元法：令t ＝g x ，注明t 的X 围，再求出f t 的解析式，然后用x 代替所有的t 即可求出f x ，一定要注意t 的X 围即为fx 中x 的X 围.3配凑法：f g x的解析式，要求f x 时，可从f g x的解析式中拼凑出“gx 〞，即用g x 来表示，再将解析式两边的g x 用x 代替即可.4代入法：y ＝f x的解析式求y ＝fg x 的解析式时，可直接用新自变量g x 替换y ＝f x 中的x .[跟进训练]1．(1)f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，那么f (x )＝．(2)假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＋1x ，那么f (x )＝．(1)x ＋2x(2)x 2－x ＋1(x ≠1)[(1)设f (x )＝k 1x ＋k 2x ，那么⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝k 1＋k 2＝3，f 2＝2k 1＋k 22＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，k 2＝2，∴f (x )＝x ＋2x．(2)令t ＝x ＋1x (t ≠1)，那么x ＝1t －1，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋(t －1)＝t 2－t ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．]分段函数[例2] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值．[思路点拨] 要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中．[解] 由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－23．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32， －2<－32<2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝94－3＝－34．1．(变结论)本例条件不变，假设f (a )＝3，某某数a 的值．[解] ①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，所以a ＋1＝3，所以a ＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3， 即a 2＋2a －3＝0．所以(a －1)(a ＋3)＝0，所以a ＝1或a ＝－3． 因为1∈(－2,2)，－3(－2,2)， 所以a ＝1符合题意．③当a ≥2时，2a －1＝3，所以a ＝2符合题意． 综合①②③，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2．2．(变结论)本例条件不变，假设f (m )>m (m ≤－2或m ≥2)，某某数m 的取值X 围． [解] 假设f (m )>m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－2，m ＋1>m 或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1>m ，即m ≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >1，所以m ≤－2或m ≥2．所以m 的取值X 围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的X 围，代入相应的解析式求值．2．分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用X 围；也可先判断每一段上的函数值的X 围，确定解析式再求解．3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值X 围的并集即可． 求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．方程组法求解析式1．解二元一次方程组的主导思想是什么？[提示] 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，①A －B ＝6，②[提示] 法一(代入消元法)：由②得A ＝B ＋6，代入①得B ＋6＋B ＝4，∴B ＝－1，代入A ＝B ＋6，得A ＝5，∴A ＝5，B ＝－1．法二(加减消元法)：①＋②得2A ＝10，∴A ＝5， ①－②得2B ＝－2，∴B ＝－1．3．探究2中，每个等式右边如果是代数式，如⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝x 2，A －B ＝4x ，能求A ，B 吗？[提示] 能求A ，B ．仍可以采用上述两种方法． 两式相加得2A ＝x 2＋4x ，∴A ＝x 2＋4x2，两式相减得2B ＝x 2－4x ，∴B ＝x 2－4x2．[例3] 求解析式．(1)f (x )＋2f (－x )＝1x，求f (x )；(2)2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．[思路点拨] 将f (x )与f (－x )，f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f (x )．[解] (1)∵f (x )＋2f (－x )＝1x，①用－x 替换x 得f (－x )＋2f (x )＝－1x，②②×2－①得3f (x )＝－2x －1x ＝－3x ，∴f (x )＝－1x．(2)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x替换x 得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x．方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数⎝ ⎛⎭⎪⎫f x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，互为相反数(f (－x )，f (x ))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用1x或－x 替换原式中的x 即可．[跟进训练]2．f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x ，那么f (x )的解析式为． f (x )＝－23x －x 3 [因为f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ，用1x 替换x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x ， 代入上式得f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2f x ＋1x ＋x ，解得f (x )＝－23x －x3．]1．函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法；(5)方程组法等．1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )C[先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C．]2．函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋2，那么f(10)＝．20[令3x＋1＝10，∴x＝3，代入得f(10)＝32＋3×3＋2＝20．]3．f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，那么f(x)＝．3x －2 [设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2．]4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)假设f (x 0)＝8，求x 0的值． [解] (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4． (2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)； 当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4．∴x 0＝4．。
函数的概念 教学设计 2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
函数的概念 教学设计【教学目标】1、让学生理解构成函数的三要素、函数概念的本质、抽象的函数符号)(x f 的意义。
2、在教师设置的问题引导下，学生通过自主学习、小组合作交流，反馈精讲、当堂训练，经历函数概念的形成过程，渗透归纳推理的学思想，发展学生的抽象思维能力。
3、在学习过程中，学会数学表达和交流，体验获得成功的乐趣，建立自信心。
【教学难重点】重点：理解函数的概念；难点：理解函数的概念和函数符号y = f (x)的含义。
教学过程设计(一)过程设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为五个阶段：(二)教学过程一、问题引出课题【学生】回忆初中所学的函数定义，以及学过的几类函数。
在一个变化过程中，有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫自变量．初中学过的函数有：一次函数、二次函数、反比例函数【教师】今天我们将从集合的观点，进一步学习函数的概念。
[设计意图]：利用初中所学函数知识，引出课题，易增加亲切感，有利于本节分析实例1、2、3学生讨论交流 得出函数概念 教师反馈精讲 当堂巩固训练教学的展开。
二、小组合作交流（一）一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2.问题：（1）炮弹飞行1s、10s、20s分别离地多高？（2）试分别用数集A、B表示时间t与高度h的取值范围。
（3）对于数集A中的每一个时间t，在数集B中是否都有唯一的h与之相对应？（二）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106km2)随时间t(单位：年)从1979～2001年的变化情况．图1问题：（1）根据图1中的曲线，分别用数集A和数集B表示图中的时间t和面积s的变化范围。
3.1.1 函数的概念 教学设计(优秀教案)
3.1.1 函数的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。
函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学.对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。
但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。
所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。
所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题.学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.A.通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;B.用集合与对应的思想理解函数的概念;C.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义;D.会求函数的定义域。
1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；2.教学难点：函数的概念及符号()y f x 的理解。
多媒体（单位：元）是他工作天数d 的函数吗？【答案】是函数，对应关系为w=350d,其中},6,5,4,3,2,1{2=∈A d}2100,1750,1400,1050,700,350{2=∈B w 。
2.思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？【答案】不是。
自变量的取值范围不一样。
问题3 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。
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函数(1)
——
函数的概念 改编：蒋星伟
[目标要求]
1、 理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依靠关系的一种数学模型；
2、 了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域．
[重点难点]
重点：函数的概念；
难点：对抽象符号()yfx的理解．
[典例剖析]
例1：某班级学号为1～6的同学参与数学测试的成果如下表所示, 试将学号和成果的对应关系用“箭头图”
表示在下图中．这种对应关系是函数关系吗？
学 号
1 2 3 4 5 6
成 绩
80 75 79 80 98 80
例2：(1) 下面各图中表示y是x的函数的是 _____________(填出全部满足条件的序号)
① ② ③ ④
(2)在下列各组函数中, ()fx与()gx表示同一函数的是______(填出全部满足条件的序号)
①()1fxxx, 2()gxxx ②2()fxx, 2()1gxx
③2()2xfx，3()2xgxx ④()fxx, (0)()(0)xxgxxx．
例3：(1) 设函数f(x)＝41－x，若f(α)＝2，则实数α＝________．
(2)已知函数31(0)()5(0)xxfxxx 求2()fa及(1)ff的值．
例4：求下列函数的定义域：
(1) 1()2fxx； (2)1()21fxxx．
例5：某汽车以52千米小时的速度从A地到260千米远处的B地, 在B地停留1.5小时后, 再以65千米
小时的速度返回A地． 试将汽车离开A地后行走的路程S表示为时间t的函数．
x
y
y
x
x
y
x
y
98
80
79
75
6
5
4
3
2
1