区域分解型并行预条件的一种粗网格校正算法
第３０卷第９期 ２０１３年９月 计算机应用与软件 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｖｏ１．３０ ＮＯ．９ Ｓｅｐ．２０１３
区域分解型并行预条件的一种粗网格校正算法
、吴建平 马怀发 赵军 宋君强 张卫民 （国防科技大学计算机学院湖南长沙４１００７３） （中国水利水电科学研究院流域水循环模拟与调控国家重点实验室北京１０００３８） 摘要 区域分解是并行计算的基本手段之一，在稀疏线性方程组迭代求解时，对不完全分解等串行计算时很有效的预条件，经 常采用区域分解的思想进行并行化。但区域分解的本质是利用局部解来近似全局解，从而必然存在较大误差，为此，提出一种粗网 格校正算法，通过非重叠子区域浓缩，每个非重叠子区域浓缩为一个超结点，形成一个含全局信息且阶数等于子区域个数的小线性 方程组，之后用其对原并行预条件进行校正。对块Ｊａｃｏｂｉ型、经典加性Ｓｃｈｗａｒｚ、以及因子组合型并行不完全分解预条件的实验表 明，粗网格校正能有效改善收敛性并提高求解效率。 关键词 区域分解 并行计算 稀疏线性方程组 预条件 粗网格校正 中图分类号ＴＰ３０１ 文献标识码Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００－３８６ｘ．２０１３．０９．００３
Ａ ＣｏＡＲＳＥ Ｇ砌ＣｏＲＲＥＣＴＩｏＮ ＡＬＧＯＲＩＴＨＭ ＦＯＲ ＤｏＭＡＩＮ ＤＥＣｏＭＰｏＳＩＴＩｏＮ ＢＡＳＥＤ ＰＡＲＡＬＬＥＬ ＰＲＥＣＯＮＤＩＴＩＯＮＥＲＳ
Ｗｕ Ｊｉａｎｐｉｎｇ Ｍａ Ｈｕａｉｆａ Ｚｈａｏ Ｊｕｎ Ｓｏｎｇ Ｊｕｎｑｉａｎｇ Ｚｈａｎｇ Ｗｅｉｍｉｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ＆ ｅ，娥・，Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｕｎｗｅｒｓｉｔｙ ｏｆＤｅｆｅｎｓｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００７３，Ｈｕｎａｎ，Ｃｈｉｎａ） 。（Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆＳｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｒｅｇｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｗａｔｅｒ Ｃｙｃｌｅ ｉｎ Ｒ＆ｅｒ Ｂａｓｉｎ，Ｃｈｉｎａ Ｉｎｓｔｈｕｔｅ ｏｆ Ｗａｔｅｒ－Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ ａｎｄ Ｈｙｄｒｏｐｏｗｅｒ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００３８，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｐａｒａｌｌｅｌ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ．Ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐａｒｓｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｉｔｅｒａｔｉｏｎｓ，ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒｓ ｉｎ ｓｅｒｉａｌ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｓｕｃｈ ａｓ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｆａｃｔｏｒｉｓａｔｉｏｎ，ｉｔ ｉｓ ｕｓｕａｌ ｔｏ ａｄｏｐｔ ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｄｅａｓ ｔｏ ｐａｒａｌｌｅｌｉｓｅ．Ｂｕｔ ｔｈｅ ｅｓｓｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｓ ｔｏ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｌｏｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ， ｗｈｉｃｈ ｍｕｓｔ ｌｅａｄ ｔｏ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｅｒｒｏｒｓ．Ｔｏ ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｉｓ ｅｒｒｏｒ，ａ ｃｏａｒｓｅ ｄ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎ—ｏｖｅｒｌａｐｐｅｄ ｓｕｂ—ｄｏｍａｉｎｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｉｔｈ ｅａｃｈ ｓｕｂ—ｄｏｍａｉｎ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｎｇ ｔｏ ａ ｓｕｐｅｒ ｎｏｄｅ．Ａ ｓｍａｌｌ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｓｍａｌｌ ｏｒｄｅｒ ｉｓ ｆｏｒｍｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｗａｙ，ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ａｎｄ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｉｓ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｄｏｍａｉｎｓ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅ ｃｏａｒｓｅ ｇａｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｃｏｒｒｅｃｔ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｐａｒａｌｌｅｌ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒｓ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｗｉｔｈ ｂｌｏｃｋ Ｊａｃｏｂｉ—ｔｙｐｅ，ｃｌａｓｓｉｃａｌ ａｄｄｉｔｉｖｅ Ｓｅｈｗａｒｚ，ａｎｄ ｆａｃｔｏｒｓ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ－ｂａｓｅｄ ｐａｒａｌｌｅｌ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｆａｃｔｏｒｉｓａｔｉｏｎ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ＣＯａｌ￣ｅ ｇａｄ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｃａｎ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｔｈｕｓ ｉｍｐｒｏｖｅｓ ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ Ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ Ｐａｒａｌｌｅｌ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｓｐａｒｓｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ Ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ Ｃｏａｒｓｅ ｇｒｉｄ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ
０引 言
稀疏线性方程组求解是对许多实际应用问题进行数值模 拟时的核心，经常出现于结构设计、油气资源探测、数值天气预 报、数值风洞、恒星大气分析与核爆模拟、数学规划、网络分析、经 济分析、离散Ｍａｒｋｏｖ链等领域。同时，随着待模拟问题规模的不 断增大，稀疏线性方程组求解时间所占的比重也越来越大。正因 如此，许多机构与学者投入了大量精力进行研究，提出了许多有 效的求解算法，其中迭代法以存储需求少、单次迭代计算量少、容 易控制、无需显式给出系数矩阵等优势受到普遍关注。 对稀疏线性方程组的迭代求解，目前最有效的是Ｋｒｙｌｏｖ子 空间类迭代算法，但这类迭代的收敛速度依赖于系数矩阵的特 征值分布，特征值分布越集中，收敛速度越快。为改善系数矩阵 特征值分布状况，必须引入预条件技术。目前，研究人员已经提 出了多种预条件，但有些串行计算时非常有效的预条件如不完 全分解在本质上是串行的，为对这种预条件进行并行化，区域分 解是有效方法之一＿Ｊ Ｊ。 在无重叠的区域分解中，可以简单地舍弃对应于子区域间 连接边的非零元，为节省计算量，每个块还可以采用不完全分解 或其它近似 。在重叠区域分解中，先计算出各个子区域上的 解，之后通过某种加权对重叠部分对应的分量进行平均来获取 全局解分量，这就是加性Ｓｃｈｗａｒｚ Ｊ，还可通过分裂权来进一步
收稿日期：２０１２—０７一Ｏ８。国家自然科学基金项目（６０８０３０３９，５１０７ ９１６４）；水利部公益性行业科研专项（２０１２０１０５３）；国家重点基础研究发 展计划项目（２００９ＣＢ７３３８０３）。吴建平，副研究员，主研领域：科学计算 与并行算法。马怀发，教授。赵军，副研究员。宋君强，研究员。张卫 民，研究员。
第９期 吴建平等：区域分解型并行预条件的一种粗网格校正算法 １１
进行改进 Ｊ。同时，限制加性Ｓｃｈｗａｒｚ与调和加性Ｓｃｈｗａｒｚ是加 性Ｓｃｈｗａｒｚ的一种变种 Ｊ，可以将通信量和通信次数减少一半。 已有研究表明，对加性Ｓｃｈｗａｒｚ和限制加性Ｓｃｈｗａｒｚ并行不完全 分解，当重叠度逐渐增加时两者均不趋向于对应的串行不完全 分解。文献中提出了一种基于因子组合的并行不完全分解，全 局不完全上、下三角因子通过对各子区域的上、下三角因子分别 各自组合得到，理论分析与数值实验表明，这种并行预条件的有 效性大为改善 。 虽然区域分解用于并行计算相当有效，但用区域分解型并 行预条件近似求解线性方程组时，必然存在误差，这种误差来源 于以局部解分量的某种加权平均结果作为全局分量的近似值。 为进一步改善区域分解型预条件的有效性，本文基于聚集型粗 网格构造思想，提出一种粗网格校正算法，计入全局信息对预条 件的影响。
１粗网格校正
考虑稀疏线性方程组 Ａｘ＝ｂ （１） 其中Ａ是ｎ阶矩阵，ｂ是ｎ维已知向量。矩阵 与一个有向图Ｇ ＝（ ，Ｅ）相对应，其中 ＝｛１，２，…，ｎ｝是结点集合，每一 个表示一个未知量，边集合为Ｅ＝｛（ｉ，Ｊ）：。 ≠０｝。 假设将图．Ｇ划分为Ｐ个互不重叠的子图，第ｋ个子图记为 Ｇ ＝（ ，Ｅ ），其中０≤ｋ＜Ｐ且所有 的并等于 。同时， 将 中的结点个数记为 ，记ｌ 是每个元素都是１的ｍ行ｎ 列矩阵。定义限制算子Ｒ为：
Ｒ＝ １Ｉ ｘｎ０
１１ 一ｌ 则从线性方程组 ＝ｒ可以得到一个粗网格线性方程组： Ａ ＝ｒ。 ・ （２） 其中： Ａ ＝ＲＡＲ ｒ ＝Ｒｒ 这样，Ｒ 就可以作为 的一个近似解。 假设对Ａｘ＝ｒ在迭代求解时，采用了预条件矩阵 作为Ａ 的近似，则未进行粗网格校正前，在每次迭代过程中，都需要求 解类似于Ｍｙ＝“的辅助线性方程组。现在，利用粗网格算子 Ａ ，以 ｕ作为式（２）的右端项，可求出（２）的解 ，则Ｒ 。 也是 Ａｘ＝“的一个近似解，故可以将（Ｒ ’ ＋ｖ）／２看成 的校正，称 之为加性校正，简记为ＡＣＯＲ，此时，近似解的计算公式为： （ ＋ Ａ Ｒｕ）／２ 值得注意的是，由于是用作预条件，每个分量均相差一个倍 数不会影响计算，因此在加性校正算法下，实际上可以只计算： 口＋ Ａ２１Ｒｕ － 相当于将预条件子 校正为： ＋Ｒ Ａ Ｒ （３） 性质１ 当矩阵Ａ和 都对称正定时，式（３）有定义且也 对称正定。 证明：当Ａ对称正定时，Ａ ＝ＲＡＲ 也对称。同时显然Ｒ是 满秩矩阵，Ａ 也正定，于是式（３）必定存在。此外，由于Ａ 正 定， 满秩，从而式（３）中的第二项也对称正定，因为 对称正 定，所以式（３）必定对称正定。 对加性校正式（３），在进行预条件迭代计算时，核心问题包 括：１）Ａ 的计算；２）从 计算Ｒｕ；３）求解Ａ。 ＝Ｒｕ；４）计算 ＋Ｒ 。下面结合对Ａ按行进行分布，向量进行相应分布的并行 计算方式，以及在每个处理器上均重复求解粗网格方程的思想进 行分析。 对Ａ 的计算，先对Ａ在每个子区域上的所有行进行求和， 之后再对得到的这一行按子区域上的点标号范围将列分成Ｐ部 分，每部分对应于一个子区域，对每部分中的元素分别进行求 和，就得到了Ａ 的相应一行。每个子区域上的行通过全收集操 作，就可以在每个处理器上均得到整个粗网格对应的系数矩阵 。因为Ａ 只与系数矩阵有关，所以只在进行系数矩阵生成或 装配时才需要进行形成Ａ 的相应操作。 对Ｒｕ的计算，相应于先分别对 在每个子区域上的所有分 量求和，每个子区域得到一个数，之后采用全收集在每个处理器 上得到整个 ｕ。在每个处理器上各自求解Ａ ＝Ｒｕ，均各自得 到 。保留对应于该处理器的那个分量，将该分量值累加到近 似解 在该处理器上的每一个分量上，即求出了 ＋Ｒ 。
２数值试验
本节以两个偏微分方程模型问题为例，对文中所提粗网格 校正算法的有效性进行实验验证。模型问题１是离散二维偏微 分方程边值问题。 ．２ ２ 『 ＋ ：０ （ ，ｙ）∈ ｛ａ ‘ Ｙ Ｌ （ ，ｙ）＝，（ ，ｙ） （ ，，，）∈ａ 得到的线性方程组，其中 ＝（０，１）Ｘ（０，１），ｆ（ ，Ｙ）＝ｅ ｓｉｎｙ。 模型问题２是离散三维偏微分方程边值问题。 ｆ ＋等＋ ＝０ （ ，Ｙ， ）∈ Ｉ ．＝ Ｌ ，， ∈Ｊ厶 １ Ｏｘ Ｙ Ｏｚ ｔｕ（ ，ｙ，Ｚ）＝ｇ（ ，Ｙ， ）（ ，Ｙ，ｚ）∈ 得到的线性方程组，其中 ：（０，１）×（０，１）Ｘ（０，１）， ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｅ （ｓｉｎｙ＋ｓｉｎｚ）。对模型问题进行离散时，在每个维 向上采用中心差分，且对模型问题２和模型问题３，离散步长分 别选用１／１００１、１／１２１ 从而得到的稀疏线性方程组分别为 １０００ 、１２０。阶。 因为这里的线性方程组全部对称正定，所以迭代法选为ＣＧ 法，且只对块Ｊａｃｏｂｉ型、带分裂权的加性Ｓｃｈｗａｒｚ、因子组合型并 行不完全分解预条件进行实验，分别记之为ＢＪ、ＡＳ和Ｆｃ。实验 中采用的串行预条件包括尼册与ＩＣＴ（１０，１Ｅ一３） 。在所有实 验中，初始猜测都选为０向量，且迭代的停机准则选为残量２范 数下降１０ 。倍。 实验结果如表１至表４所示，因为粗网格校正方程所对应 的线性方程组非常小，无论是计算量与通信量都微乎其微，同时 迭代次数相对计算时间而言更为稳定，随计算平台变化很小，且 每次运行得到不变的结果，所以这里只列出了迭代次数，未列出 计算时间。从表中可见，采用粗网格校正大大加快了ＣＧ法的 收敛速度，有时迭代次数甚至减少６０％以上，例如在表１中ＮＰ ＝６４、ＮＰ＝１２８时即是如此。同时，未采用粗网格校正时，迭代 次数一般随处理器个数的增加而增加，而采用粗网格校正后，迭 代次数一般随处理器个数的增加而减少。 （下转第１１８页）
求解接触问题的一种新的实验误差法
第３４卷第２期 ２００２年３月 力 学 学 报
ＡＣＴＡ ＭＥＣＨＡＮＩＣＡ ＳＩＮＩＣＡ Ｖ ｌ＿３４．Ｎｏ．２
Ｍａ“血．２ＯＯ２
求解接触问题的一种新的实验误差法
刘金朝
ｄＥ京大学地球物理系，北京１００８７１） 蔡永恩
（北京大学地球动力学研究中心，北京１００８７１）
摘要提出了一种带松弛因子的ＵＺＡＷ算法隶解实验误差法中蛤定状态下的位移和接触力满 足的等式方程，并证明了该算法是Ｒ超线性收敛的．整个区域技划分为多个子区域，不同子 区域位移场的隶解是独立的．还提出了一种带参数的以不完全因子分解为基础的预条件子共轭 梯度法求解不同子区域位移场，该算法在块体规模较大时更加有效．
关键词 实验误差法，接触， ＵＺＡＷ算法，超线性，区域分解法，预条件子，共轭梯度法
引 言
多变形体系统（多体系统）接触问题在工程和自然界中大量存在，如带断层或裂缝的拱坝稳
定性问题，地震震源破裂和滑坡问题等．其特点和难点是接触边界和接触力事先是未知的，当 考虑摩擦滑动时，能量变分原理不再成立＿ｌＪ＿目前求解接触问题的方法有实验误差法［２］，线性 互补【 ，非线性互补法１１】，罚函数法１４］和拉格朗日乘子法［５］等．
最早采用而且最常用的方法是实验误差法，即对状态进行开闭迭代 ，在给定状态下，需 要求解的是关于位移和接触力的等式方程．其优点是力学意义清晰，程序易实现．其缺点是，
当考虑滑动时，关于位移和接触力刚度矩阵是非对称不定的，如何快速求解一直是大家非常关 心的问题．
目前求解的方法有两种，其一是利用直接法同时求解位移和接触力＿２】＿由于与位移和接触
力方程有关的系数矩阵是变化、非对称和不定的，求解起来非常困难；另一种做法【ｚ１是先稍去 位移，得到接触力的方程，求得接触力后再回代求位移．其缺点是必须计算和存储接触力的有 关矩阵． 本文提出带松弛因子的ＵＺＡＷ算法 求解给定状态下位移和接触力满足的等式方程．第
～步的松弛因子的选取方式同最速下降法 】一样，其它步的松弛因子的选取方式同两点步长 梯度法【８ Ｊ一样．利用两点步长梯度法的收敛性，证明了该方法是Ｒ超线性收敛的． 在本文提出带松弛因子的ＵＺＡＷ算法的迭代过程中，可以采用直接法也可采用迭代法求
求解对角占有线性方程组的一种有效算法
第２５卷第４期 宁波工程学院学报 ２０１３年Ｉ２月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＮＩＮＧＢＯ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＯＦ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｖ０ｌ＿２５ Ｎｏ．４ Ｄｅｃ．２０１３
ＤＯＩ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１００８—７１０９．２０１３．０４．００９
求解对角占有线性方程组的一种有效算法
汪保．方晓健
（宁波５－程学院，浙江宁波３１５２１１）
摘要：针对线性方程组的求解，通过引入参数矩阵，提出一种求解线性方程组的迭代方法。为保证算法的收敛性， 使迭代矩阵的无穷范数最小，确定参数矩阵的参数，得到求解线性方程组的迭代格式，证明了算法求解对角占优线性方 程组是收敛的。数值结果表明了算法的有效性。 关键词：线性方程组；对角占优矩阵；有限差分；热传导方程 中图分类号：Ｏ２４１．８２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—７１０９（２０１３）０４—００４３—０５
引言
在自然科学和工程计算中。有许多问题的求解最终归结为线性方程组的求解。例如最ｄｘ－－－乘法，样
条函数插值，解非线性方程组，求解偏微分方程的差分法，有限元法和边界元法以及经济学中的投入产
出问题等。由于计算规模越来越大，模型误差、测量误差、计算误差（舍人误差）等各种形式误差的存在，
常常使获得的线性方程组中的系数矩阵和非齐次项信息具有某种程度的近似性（即扰动性），这种近似
性显然会使得线性方程组很难得到精确解，尤其当系数矩阵病态时，线性方程组求解问题的重要性尤
显突出。鉴于线性方程组问题在理论上的重要性和在工程计算中的应用性，多年来人们在这方面做了
广泛深入的研究和探讨，并取得了许多有价值的求解方法。直接法（如高斯消去法，平方根法等）在计算
机上求解小规模线性方程组非常快捷，但大多数直接法需要对系数矩阵进行分解，一般不能保持系数
矩阵的稀疏性。石虎等人ｆＪＪ介绍了一种求解有限元问题的直接并行算法——全主元高斯消去法。田希山
［３１利用高斯消去法并行求解线性方程组的方法。而迭代法却可以保留系数矩阵的稀疏性，减少计算机内
多重网格方法的一种并行模式—交错多重网格方法剖析
第２６卷 第４期 ２００２年８月 武汉理工大学学报（考垩袭差）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｗｕｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ （Ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ） Ｖ０１．２６ Ｎｏ．４ Ａｕｇｕｓｔ ２００２
多重网格方法的一种并行模式＊
——交错多重网格方法剖析
郭庆平 王伟沧 高 曙 卫加宁 高 洁
（武汉理工大学计算机科学与技术学院 武汉４３００６３）
摘要：剖析了多重网格方法的一种并行处理模式——交错多重网格方法，并以某椭圆型边值问题 为例，对这种并行处理模式的性状作了相应的分析和比较．对于交错多重网格方法中的计算复杂 度和通信复杂度，以及相应的处理机效率，文中也进行了定量分析． 关键词：交错多重网格；并行算法；区域分裂
中图法分类号：ＴＰ３９３．０２
交错多重网格并行算法
作为求解离散微分方程的一种迭代法，多重
网格方法有效地利用了迭代过程的误差校正特性 和对高频误差分量的光滑特性，改变了传统的作
法，作了变革性的构造．其敛速与步长ｈ无关，计
算工作量为０（Ⅳ）（Ⅳ为离散格点数）．总之，多重 网格法是一种高效率迭代法．
在求解边值问题的近似解方面，为了高效求
解大型方程组的需要，人们尝试并行处理．而区域 分解法是并行计算最活跃的研究和应用领域之
一．其基本方法是把一个复杂区域（或系统），按照
一定原则（如物理特性、几何形状、离散方式、算法 特点与处理器个数）分解成若干子系统，主要采用
高效快速迭代法求解原始问题． 基于以上原因，文献Ｅ１］提出了一种并行的多
重网格方法——交错多重网格法．其对边值问题
的并行处理有别于通常的区域分解方法．通常的
区域分解是将复杂区域分解成较小的子区域（重
叠或不重叠）的和集．而交错多重网格法的思路是
先将大区域离散划分成网格，然后于网格中交错 取点，分成若干较粗的子网格，将这些子网格置于
不同的处理器上，用通常的多重网格法计算其上 边值问题．最后，将这些不同处理器粗网格上的解 组合成大区域的网格上的近似解．
求解CMFD的改进流水线并行GMRES方法
Vol. 12, No. 1
Mar.2021第
12卷第
1期
2021 年
3 月现代应用物理
MODERN APPLIED PHYSICS
求解CMFD
的改进流水线并行GMRES
方法
郝琛
.，韩立会
.，程有莹
2
(1.哈尔滨工程大学核科学与技术学院
，哈尔滨
150001； 2.国家核应急响应技术支持中心
，北京
100080)
摘要
：基于经典的
Gram-Schmidt正交化方法，对求解大型稀疏非对称线性系统的广义极小残
差算法
(GMRES)进行重构，实现了每次迭代仅
1次全局通信即可完成全部点积计算，提出了异
步全局归约方法，可实现全局通信与其他信息传递及计算的有效重叠，最大限度地覆盖全局通信
造成的延迟；开发了流水线式并行
GMRES求解器，并应用于精细化中子物理计算程序
HNET
中。数值结果表明，本文开发的流水线式并行
GMRES求解器的计算速度显著高于标准
GMRES
算法，可实现
GMRES在大规模并行计算环境下高效求解
CMFD线性系统。
关键词
：粗网有限差分
；极小残差算法
；并行计算
；流水线式
；全局归约
中图分类号：
TP29
；TL32 文献标志码:
A DOI
： 10. 12061/j. issn. 2095 6223. 2021. 010205
An Improved Pipeline Parallel GMRES Method for Solving
Coarse Mesh Finite Difference Linear System
HAO Chen1 , HAN Li-hui1 , CHENG You-ying2
(1 . College of Nuclear Science and Technology , Harbin Engineering University , Harbin 150001 , China ;
2 . National Nuclear Emergency Response Technical Assistance Center , Beijing 100080 , China )
Fluent软件的多重网格并行算法及其性能
第33卷第1期2009年2月武汉理工大学学报(交通科学与工程版)
JournalofWuhanUniversityofTechnology(TransportationScience&Engineering)Vol.33No.1Feb.2009
Fluent软件的多重网格并行算法及其性能*
收稿日期:2008-08-11余江洪:男,31岁,硕士,工程师,主要研究领域为燃料电池计算机模拟*教育部高等学校博士学科点专项科研基金(批准号:20030497012,20050497014),材料复合新技术国家重点实验室2004年度重点基金项目资助余江洪1,3)肖金生1,2)朱宗柏1,4)
(武汉理工大学材料复合新技术国家重点实验室1)汽车工程学院2)武汉430070)
(中船重工第七一二研究所3)武汉430064)(武汉理工大学现代教育技术中心4)武汉430070)
摘要:Fluent软件是目前国际上比较流行的通用CFD软件包,用于模拟从不可压缩到高度可压缩范围内的复杂流动,对大规模问题可用并行多重网格方法进行求解.为了找出Fluent软件的最佳解题规模和并行粒度,以期最大限度地发挥软件和硬件的效能,对Fluent软件采用的多重网格并行算法进行了理论分析,通过实验,重点讨论了在并行求解过程中,不同的多重网格循环方法、区域分裂方法、解题的规模和计算节点数对并行性能的影响.结果证明,Fluent软件采用V循环的并行性能最好,HPCC还有很大的升级空间.关键词:燃料电池;多重网格;区域分裂;并行计算;Fluent中图法分类号:U463.63;TP338.6DOI:10.3963/j.issn.1006-2823.2009.01.035
Fluent软件是一种CFD(computationalfluid
dynamics)求解器,它可以求解各种复杂流动,包
二维结构化网格CFD LU-SGS时间推进并行算法
二维结构化网格CFD LU-SGS时间推进并行算法*
龚春叶1,2,3+，包为民1,2，汤国建2，王 玲1，刘 杰3，胡庆丰3
【摘 要】针对二维结构网格CFD（computational fluid dynamics）时间推进LU-SGS（lower-upper symmetric Gauss-Seidel）存在的强数据依赖的特点，提出了波阵面并行算法，设计了相应的数据结构，以及具有更好数据局部性的访存优化方法和分块通信优化方法。测试结果表明，并行算法可以取得与串行算法完全一致的计算结果，且具有较好的加速效果，在DMP（distributed memory processing）系统下与16个进程相比，64个进程的并行效率达到85.64%，在SMP（symmetric multiprocessing）系统下与16个进程相比，128个进程的并行效率达到83.68%。
【期刊名称】计算机科学与探索
【年(卷),期】2013(007)010
【总页数】8
【关键词】LU-SGS；计算流体动力学（CFD）；结构化网格；并行计算
+Corresponding author:E-mail:gongchunye@
1 引言
计算流体动力学（computational fluid dynamics，CFD）[1-2]是流体力学的一个重要分支，是以理论流体力学与计算技术为基础，对复杂流体进行数值模拟的学科。近几十年来，随着对流体规律认识的深入和工程应用的需要，CFD已发展成为一门独立的学科，在航空、航天、汽车、环境工程和船舶等方面得到广泛应用。在CFD中，首先需要通过有限差分、有限元或者有限体积等离散方法把计算区域离散化为网格，流场的状态由定义在网格节点（或网格单元）
上的速度、密度、压力、温度等特征量来表述。CFD模拟过程主要是对网格上的特征量进行迭代计算，网格数目与计算量直接相关。当网格数目多时整个计算量非常大，往往需要在高性能计算机上进行大规模并行计算。CFD常用的并行计算技术一般基于分区并行，但是分区并行存在分区太少负载均衡难以保障，以及分区太多可能导致边界退化等缺点。
【国家自然科学基金】_粗网格_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
序号科研热词推荐指数序号科研热词1数值模拟21数值模拟2对流参数化22对流扩散方程3大暴雨23多相流4中尺度系统24高分辨率5mm5模式25预条件子6量子门16预处理器7量子神经网络17非饱和水流8重网格化18非均质多孔介质9车牌字符识别19非全反射边界条件10计算方法110陆面模式11自适应细分111辐射扩散12网格划分112蒸汽驱13组合网格法(cgm)113自适应网格法14精细功率重构114自适应多尺度有限元方法15有限差分法115网格尺寸16有限元116组合网格17数值试井117线性源近似18快速自适应组合网格法(fac)118纳米流体19多群119粗网格20多分辨率表示120粗分类21单位分解121矩量法22半线性方程122相位恢复23井间干扰123电磁散射24二阶椭圆问题124电场积分方程25二重网格法125理查德方程26两重网格方法126特征线法27三角网格127特征混合有限元28voronoi图128热力粗糙度29pebi网格129源外推30水工结构31格子boltzmann32条件数33有限单元法34有限元法35收敛性36接触37指数函数插值38感应电流39差分格式40局部和并行算法41完全多重网格法42多尺度模拟43城市边界层44均匀化45地表能量平衡46土壤湿度47四边码48双重介质49区域分解算法50光强传播方程51傅里叶光学52代数多重网格(amg)2008年2009年53二维三温方程54两重网格法55rbf神经网络56newton-krvlov(nk)57c5g7-mox基准题
一种孔隙介质中地下水流并行计算方法
Ｃｏｍｐｕ￣ｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用
一种孔隙介质中地下水流并行计算方法
程汤培 ，王群 ，季晓慧 ，黄林显 ，徐腾
ＣＨＥＮＧ Ｔａｎｇｐｅｉ ，ＷＡＮＧ Ｑｕｎ ，ＪＩ Ｘｉａｏｈｕｉ ，ＨＵＡＮＧ Ｌｉｎｘｉａｎ ，ＸＵ Ｔｅｎｇ
１－中国地质大学（４Ｌ京）信息工程学院，北京１０００８３
２＿中国地质大学（北京）水资源与环境学院北京１０００８３
１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｇｅｏｓｃｉｅｎｃｅｓ（Ｂｅｉｊｉｎｇ），Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００８３，Ｃｈｉｎａ
２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｗａｔｅｒ Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ ａｎｄ Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｇｅｏｓｃｉｅｎｃｅｓ（Ｂｅｉｊｉｎｇ），Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００８３，Ｃｈｉｎａ
ＣＨＥＮＧ Ｔａｎｇｐｅｉ。ＷＡＮＧ Ｑｕｎ，ＪＩ Ｘｉａｏｈｕｉ，ｅｔ ａ１．Ｐａｒａｌｌｅｌ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒ ｆｌｏｗ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｉｎ ｐｏｒｏｕｓ
ｍｅｄｉａ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．２０１１。４７（２０）：２３４—２３７．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ａｎ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｐａｒａｌｌｅｌ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｌａｒｇｅ—ｓｃａｌｅ ｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒ ｆｌｏｗ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｉｎ ｐｏｒｏｕｓ
ｍｅｄｉａ，ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ ｉｎ ａ ｐｒｏｔｏｔｙｐｅ ｔｏｏ１．Ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａｄｏｐｔｅｄ ｔｏ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｒｅａ．Ｄｉｓ・ ｔｒｉｂｕｔｅｄ ｍｅｍｏｒｙ ａｎｄ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｆｏｒ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｓｔｏｒａｇｅ ａｎｄ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ—ｓｃａｌｅ
热传导方程有限差分法的MATLAB实现
２００９年７月
第２４卷第４期咸阳师范学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＸｉａｎｙａａｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＪｕｌ．２００９
Ｖ０１．２４Ｎｏ．４
［理论物理与应用物理学研究］
热传导方程有限差分法的ＭＡＴＬＡＢ实现
史策
（西安建筑科技大学理学院，陕西西安７１００５５）
摘要：对于有界热传导齐次方程的混合问题．用分离变量法求解往往很复杂。为了更好地
理解热传导方程的解，使用ＭＡＴＬＡＢ软件将方程的解用图像表示出来。通过区域转换的思想，
利用ＭＡＴＬＡＢ编程实现一定区域内热传导方程的有限差分方法，数值表明了方法的可行性和
稳定性。
关键词：热传导方程；有限差分；ＭＡＴＬＡＢ
中图分类号：０５５２文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—２９１４（２００９）０４—００２７－０３
近些年来。求解热传导方程的数值方法【ｌｌ取得进
展，特别是有限差分区域分解算法１２１，此类算法的特
点是在内边界处设计不同于整体的格式．将全局的
隐式计算化为局部的分段隐式计算。使人从感觉上
认为这样得到的解会比全局隐式得到的解的精度
差，但大量的数值实验表明事实正好相反。用区域分
解算法求得的解的精度更好。
ＭＡＴＬＡＢ具有强大的图形绘制功能【３１．为科学
计算和图形处理提供了很大的方便。用户只须指定
绘图方式，并提供充足的绘图数据，用很少的程序指
令就可得到直观、形象的图形结果。因此。近些年
来。越来越多的人开始使用ＭＡＴＬＡＢ来求解热传
导方程１４’５】。借助ＭＡＴＬＡＢ的数值计算和图形处理
技术［６１。我们可以绘制出热传导方程数值解的二维、三
维图形．从而可以更好地理解热传导方程解的意义。
一维热传导方程婴＝舻霎譬，
Ｏｔｄ髫。
是最简单的偏微分方程之一。其定解问题的数值解
法主要有有限元法和有限差分法等。对于有限元法
来说，适用处理复杂区域、精度可选；缺点在于内存
和计算量巨大。不易编程实现。对于有限差分法来
说，虽然比较直观、理论也比较成熟、精度可选；但是
不规则区域处理繁琐．网格生成可以使有限差分方
适用于GRAPES数值天气预报软件的ILU预条件子
适用于GRAPES数值天气预报软件的ILU预条件子
刘宇;曹建文
【期刊名称】《计算机工程与设计》
【年(卷),期】2008(29)3
【摘 要】探讨了一种适用于我国自主研发的数值天气预报模式软件GRAPES的不完全LU(ILU)分解预条件子.针对GRAPES模式所特有的具有对角优势结构的赫姆霍兹方程系数矩阵,提出了一种有效的ILU分解方案,并将分解得到的预条件子应用到模式核心的动力积分计算迭代算法中,从而达到加速算法收敛,提高模式软件整体性能的目的.
【总页数】4页(P731-734)
【作 者】刘宇;曹建文
【作者单位】中国科学院软件研究所,并行计算实验室,北京,100080;中国科学院软件研究所,并行计算实验室,北京,100080
【正文语种】中 文
【中图分类】TP39;TB115
【相关文献】
1.我国自主研制的全球/区域一体化数值天气预报系统GRAPES的应用与展望 [J],
陈德辉;薛纪善;沈学顺;孙健;万齐林;金之雁;李兴良
2.非静力模式GRAPES的预条件技术研究 [J], 吴建平;赵军;宋君强;张卫民;李晓梅
3.求解二维三温能量方程的基于AMG预条件子的Krylov子空间迭代法 [J], 肖映雄;舒适;阳莺 4.《数值天气预报辅助教材-Grapes模式》多媒体课件的制作和使用 [J], 范伶俐;管耀红;张兵;薛宇峰
5.稀疏近似逆与多层块ILU预条件技术 [J], 谷同祥;迟学斌;刘兴平
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