再会一次函数之最短路径问题 说课
求最短路径问题的策略与方法
教育实践与研究
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2015年第36期/B（
12）理科教学探索
求最短路径问题是历年数学中考中的常见
题型，在选择、填空和解答题中均有体现，其灵
活多变的考查形式，较易与其他知识融合的显
著特点，受到许多命题者的青睐。
在中考数学试题中，求最短路径问题常常
以求两条线段之和最小值的形式出现，并以特
殊三角形、特殊四边形和函数图象等初中数学
中的核心知识为载体，以考查学生灵活运用转
化、化归等数学思想方法为目的，通过操作探
究、推理论证、灵活求解的方式来解决问题。此
类问题的解决是以基本事实“两点之间线段最
短”为依据，以探寻转化方法为核心，实现对学
生综合运用数学知识解决问题能力的全面考
查。此类题目充满了探究性和思辨性，常常在中
档题和压轴题中出现。
如何利用基本事实“两点之间线段最短”，
解决最短路径问题呢？
一、建立数学模型
基本事实“两点之间线段最短”，从宏观上
说明了“两点之间的所有连线中，线段最短。”在解决问题时，此基本事实常常以下面的具体模
型呈现：
数学模型：如图
1，已知点
A、点
B在直线
l
的两侧，点
P是直线
l上的一个动点，连接
AB、
PA、
PB，则有
PA垣PB逸AB。
根据“两点之间线段
最短”这一基本事实可知：
PA垣PB逸AB，即当点
P与
AB和直线
l的交点
O重
合时，
PA垣PB=OA垣OB的
值最小，最小值即为线段
AB的长。因此，在求两条动线段之和的最小值
时，我们只要能够将两条线段转化为一条线上
的一个动点到两个定点（在这条线的两侧）的两
条线段之和的形式，就可以直接应用这个数学
模型来解决问题。
二、应用数学模型
结合
2015年全国各地中考数学试卷中，有
关求最短路径问题的部分题目，探究解决此类
问题的具体策略与方法。求最短路径问题的策略与方法
李会芳
（石家庄市新华区教育局教研室，河北石家庄
050051）
摘要：求最短路径问题是历年数学中考中的常见题型，常在中档题和压轴题中出现。
2015年全
一次函数的应用题解题技巧
一次函数的应用题解题技巧
好的，我明白你的要求了。下面是一篇关于一次函数应用题的解题技巧的文章，尽量用自然的语气和详细的描述来写。
---
想象一下，你站在一个小镇的中心，手里拿着一张地图，上面标着几个点，每个点代表一家商店。你的任务是找到一条路线，经过所有商店，而且路线要尽可能短。这个问题，其实就是一个典型的一次函数应用题。
首先，我们得知道一次函数是什么。简单来说，一次函数就像是直线的方程，它能描述一条直线的斜率和位置。在我们的小镇地图上，如果把商店看作坐标上的点，那么连接这些点的路线，就可以用一次函数来表示。
解这类问题，第一步是收集数据。你得先知道每家商店的坐标位置。有了这些数据，我们就可以开始画图了。在坐标纸上，把每个点标出来，然后用尺子把它们连起来。这时候，你可能会发现，直接连起来的线并不是最短的。这就需要我们用到一次函数的性质来优化路线。
接下来，我们要用到一次函数的斜率概念。斜率告诉我们，路线是向上爬升还是向下倾斜，以及爬升或下降的快慢。在我们的小镇地图上，斜率可以理解为路线的坡度。如果商店分布在不同的高度，那么选择一个合适的斜率，就能让路线既平缓又短。
现在，我们来具体操作一下。假设我们有三家商店，坐标分别是A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)。我们首先画出这三个点，然后用尺子大致连起来。这时候，我们看到的是一条折线。为了找到最短路线，我们可以尝试画一条直线，让它尽可能地接近这三个点。这条直线的方程，就是我们要找的一次函数。
我们用两点式来求这条直线的方程。比如，用点A和点B来求，得到的直线方程是y=1x+1。然后，我们用这条直线方程去计算点C的y值，看看它和实际的y值差距大不大。如果差距很大，说明这条直线不是最佳路线。我们需要调整斜率，或者尝试用点A和点C来求直线方程，看看效果如何。
通过不断尝试和调整，我们最终能找到一条最接近所有点的直线，这条直线的方程就是我们的一次函数。它不仅告诉我们路线的斜率，还告诉我们如何从一家商店到另一家商店，而且是最短的路径。
一次函数与一元一次不等式教案
一次函数与一元一次不等式经典教案
第一章：一次函数的概念与性质
1.1 函数的定义与性质
介绍函数的概念，引导学生理解函数的输入输出关系。
讲解函数的性质，如单调性、连续性等。
1.2 一次函数的定义与表达式
引入一次函数的概念，解释一次函数的表达式。
举例说明一次函数的图像特点，如直线等。
1.3 一次函数的斜率与截距
讲解一次函数的斜率与截距的定义。
引导学生通过斜率和截距理解一次函数的图像。
第二章：一次函数的图像与性质
2.1 一次函数的图像
讲解一次函数图像的形状和特点。
引导学生通过图像理解一次函数的单调性、增减性等性质。
2.2 一次函数的单调性
解释一次函数的单调性概念。
引导学生通过斜率判断一次函数的单调性。
2.3 一次函数的截距
讲解一次函数截距的性质和影响因素。
引导学生通过截距理解一次函数与y轴的交点。
第三章：一元一次不等式的概念与性质 3.1 不等式的定义与性质
介绍不等式的概念，解释不等式的基本性质。
讲解不等式的符号和运算规则。
3.2 一元一次不等式的定义与表达式
引入一元一次不等式的概念，解释一元一次不等式的表达式。
举例说明一元一次不等式的解法。
3.3 一元一次不等式的解法
讲解一元一次不等式的解法步骤。
引导学生通过图像和解法理解一元一次不等式的解集。
第四章：一元一次不等式的图像与性质
4.1 一元一次不等式的图像
讲解一元一次不等式的图像特点。
引导学生通过图像理解一元一次不等式的解集。
4.2 一元一次不等式的单调性
解释一元一次不等式的单调性概念。
引导学生通过斜率判断一元一次不等式的单调性。
4.3 一元一次不等式的解集
讲解一元一次不等式的解集的性质和表示方法。
引导学生通过解集理解一元一次不等式的解的意义。
第五章：一次函数与一元一次不等式的综合应用
5.1 一次函数与一元一次不等式的关系
讲解一次函数与一元一次不等式的联系。 引导学生通过一次函数的图像解决一元一次不等式的问题。
一次函数将军饮马问题
一次函数将军饮马问题
将军饮马问题是一个经典的数学问题，可以通过一次函数来解决。该问题描述了一个将军要饮马，但是附近只有一口井，且水源距离将军的位置较远。将军需要找到一个最短路径，将马引到井边喝水后，再返回原来的位置。
为了解决这个问题，我们可以使用一次函数来计算将军和井之间的最短路径。一次函数的一般形式是y = ax + b，其中a和b是常数，x和y分别表示横纵坐标。
在该问题中，我们可以将井的位置设为原点(0, 0)，将军的位置设为(x, y)，其中x和y是将军的横纵坐标。由于将军需要找到最短路径，我们需要找到一条经过原点的直线，使得这条直线与将军的位置最近。
通过计算斜率，我们可以得到直线的方程。斜率可以通过将军位置的纵坐标除以横坐标得到，即a = y / x。将b设为0，可以得到直线的方程y = (y
/ x)x。
通过观察可知，将军所在位置的横坐标x必须是正数，因为我们无法在负数位置进行移动，否则将无法找到最短路径。而纵坐标y可以是任何实数。当x取正无穷大时，直线趋近于y = x，当x取负无穷大时，直线趋近于y =
-x。
将军可以根据直线方程来判断，当他朝着直线上方的方向行进时，直线位于他的左侧，他需要向右走以接近直线。反之，如果他朝着直线下方行进，直线将位于他的右侧，他需要向左走。通过不断调整方向和移动，将军可以最终到达原点，喝到井水后再返回原来的位置。
总结一下，一次函数能够帮助将军解决饮马问题。将军根据直线方程y =
(y / x)x来判断移动方向，最终能够到达井的位置，完成饮马后再返回原来的位置。这个问题展示了数学在解决实际问题中的应用，同时也培养了人们对于空间感知和方向判断的能力。
课题：课本（七上）将军饮马及其拓展————最短路径问题导学案
课题：课本（七上）将军饮马及其拓展————最短路径
问题导学案
课题：课本（七上）将军饮马及其拓展————最短路径问题导学案
夏格庄中⼼中学 陈翠庆
【学习⽬标】：能利⽤轴对称、勾股定理解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作⽤，感悟转化思想．数形结合的思想
【学习重点：】 利⽤轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题．利⽤勾股定理构造直⾓三⾓形，求最短距离
学案说明：1、要求：请先独⽴思考解题思路和⽅法，然后⼩组合作交流，派代表说出思路及解决办法，或提出疑问2、带*号的题可作为课后题
【学习过程】
⼀、基础知识回顾1、轴对称的性质：_________________________________.
2、线段的性质：两点之间，_________最短.三⾓形三边的关系
3、勾股定理：____________________________________.
4、常见的轴对称图形有哪些？
⼆、问题探究 活动⼀（作⼀次轴对称）
如图，A 、B 是分别在河异侧的两村庄，现要在河边修建⼀个⽔泵站向两村庄送⽔，⽔泵站建在何处才能使所⽤⽔管最短？
问题2（七年级上册课本第48页第5题古希腊有名的将军饮马问题）如图，直线l 是草原上的⼀条河。将军从草原的A 地出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察。那么⾛什么样的路线⾏程最短呢？请在图中画出最短路线，并说明理由
⼩结：1、问题1中的点A 、B 是定点，点P 是在直线l 上的 点，当点P 运动到使线段AP 、BP 在 直线上时，PA+PB 最⼩_ _
B
2、利⽤轴对称把问题2中的A 、B 在直线l 同侧问题转化为 问题
变式1
如图所⽰,P 和Q 为⊿ABC 边AB 与AC 上两点在BC 上求作⼀点M.使∠PQM 得周长最⼩
变式2如图，E 为正⽅形ABCD 的边AB 上⼀点，AE ＝3，BE ＝1，P 是AC 上的动点，则⊿BEP 周长的最⼩值是________．
一次函数练习卷及最短路径问题(5,26)
一次函数练习卷及最短路径问题(5,26)
`1,已知abc≠0，而且 cba+=acb++bca+=p，那么直线y=px+p一定通过 象限
2,若y+b与x+a(a,b是常数)成正比例,且当x=3时,y=5;当x=2时,y=2,求y与x之间的关系式
3.如图，直线y=-x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B,点C在直线AB上，且AC=2BC,求点C的坐标.
4,如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．
5, 如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，）；试用含有a的代数式表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值；
（3）在x轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6,如图，在矩形ABCD中,AD,=4,∠DAC =30°,点P;E分别在AC,AD上，则PE + PD的最小值是
( ) A.2 B.23
C ,4
D 338
7.如图,已知菱形ABCD的周长为16,面积为83,E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为_ ，
8,以边长为2的正方形的中心0为端点，引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于A,B两点，则线段AB的最小值是
9,如图;在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形，则P,D(P,D两点不重合)两点间的最短距离为
10.已知直线y=43x-3交x轴于点A,交y轴于点B. (1)求点A,B的坐标;
【配套K12】中考数学 专题复习六 求最短路径问题
最新K12教育
教案试题 中考数学专题复习学案六 求最短路径问题
【专题思路剖析】
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。这类问题在中考中出现的频率很高，一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．
【典型例题赏析】
类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题
例题1：（2015•辽宁省盘锦,第15题3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 ．
考点： 轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
分析： 连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．
解答： 解：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=2，
∴∠BPC=90°，
∵E为BC的中点，
∴BE=BC=1，PE=BC=1， 最新K12教育
教案试题 ∴PE=BE，
∵∠DAB=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠PBE=60°，
∴△PBE是等边三角形，
∴PB=BE=PE=1，
∴PB+BE+PE=3；
故答案为：3．
点评： 本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
中考专题复习——最短路径问题
A
B C
D
A B C D A B
A B
L 图(2)EBDACP图(3)DBAOCP中考专题复习——路径最短问题
一、具体内容包括：
蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；
线段(之和)最短问题；
二、原理：
两点之间,线段最短;垂线段最短.(构建“对称模型”实现转化）
三、例题：
例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是 。
②如右图是一个长方体木块，已知AB=3，BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3,两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P,使PA+PB的和最小.请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。
③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为 .
四、练习题（巩固提高）
(一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4,假设一只蚂蚁在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计),圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为 。
3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm,底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为 .
4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点,DN＋MN的最小值为 。
中考专题复习最短路径问题
A B C D A B
A B L A B C
D
图(3)DBAOCP中考专题复习——路径最短问题
一、具体内容包括：
蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；
线段（之和）最短问题；
二、原理：
两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化）
三、例题：
例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是
。
②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。
③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为 。
四、练习题（巩固提高）
（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为 。
3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为 。
4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值第2题 张村
中考 函数专题13 一次函数-最值问题(老师版)
专题13 一次函数-最值问题
本专题是一次函数背景下的最值问题，题型上有三个方面，（1）函值性质中的最值问题；（2）几何图形中的最值问题；（3）利用一次函数性质解决生活中的最值问题；通过本专题的学习，让学生对最值问题的认知更全面，从而全面提升学生的分析和解决问题的能力。本专题适合教师对学生进行专题教学，也适合教师对学生进行个体辅导。
题型一：一次函数性质（增减性）最值问题
一、单选题
1．（2019·合肥寿春中学 ）设20k，关于x的一次函数31ykxx，当01x时的最小值是（ ）
A．k B．3k C．6k D．3
【答案】D
【解析】把一次函数31ykxx整理，得3133,ykxxkx判断出30k，根据一次函数的性质即可得到当01x时的最小值.
【详解】3133,ykxxkx
20,k 30k
故0x取最小值为3，故选:D.
【考点】一次函数0ykxbk的性质，当0k时，y随x的增大而增大.当k0时，y随x的增大而减小.
2．（2018·余姚市梁辉初级中学中考模拟）设0＜k＜2，关于x的一次函数y=（k-2）x+2，当1≤x≤2时，y的最小值是（ ）
A．2k-2 B．k-1 C．k D．k+1
【答案】A
【解析】先根据0＜k＜2判断出k-2的符号，再判断出函数的增减性，根据1≤x≤2即可得出结论．
【详解】∵0＜k＜2，∴k-2＜0，∴此函数是减函数，
∵1≤x≤2，∴当x=2时，y最小=2（k-2）+2=2k-2．故选A．
【考点】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，y随x的增大
而减小。
3．（2018·广东初二学业考试）一次函数yk1xk的大致图象如图所示，关于该次函数，下列说法错误的是( )