3.1.3《空间向量的数量积运算》课件

数学：3.1.3空间向量的数量积运算-PPT课件2

如图 OA、O不B共线，
A P t A B ( t R ) ，则可以用 O A 、 O B 表示 O P 如下： O
O P O A A P O A tA B O A t(O B O A )
(1 t)O A tO B
B
结论：设O为平面上任一点，则A、P、 P
B三点共线 O P ( 1 t)O A tO B 或：令x=1-t，y=t，则A、P、B三点共线 A
⒉掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；
⒊掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．一、证垂直二、求长度三、求夹角四、求投影
教学过程
一、几个概念
1）两个向量的夹角的定义如图，已知两个量a,非 b.在零空向间任取 O，一点
作OAa,OBb,则角 AO叫 B 做向a与量 b的夹角，
（x，y），使 g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n
∵ l·m=0,l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g ∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l⊥
三、典型例题
（教材P91例2）利用向量知识证明三垂线定理
已知P： O ,PA 分别是平的面垂线，O斜是 A线 PA，
1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
bC
a // b 的充要条件是存在实数，使 a b .

高中数学A版3.1.3空间向量的数量积运算优秀课件

（1）证明两直线垂直; （2）求两点之间的距离或线段长度; （3）证明线面垂直; （4）求两直线所成角的余弦值等等.
高考链接
1.（2006年四川卷）如图，已知正六边
形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最
大的是___A___. A. P1P2 ·P1P3
B. P1P2·P1P4
C. P1P2·P1P5 D. P1P2·P1P6
方法三:数形结合法，发现形的特殊性.
（2）已知 a 2 2 , b 2 , a b 2
2
则a，b所成的夹角为__1_3_5___.
分析:根据两向量夹角公式
a·b = a b cosa ,b （0 a,b π）
可得到所求结果.
2.选择
设a，b，c是任意的非零空间向量，且
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θO a
A
B
2.平面向量的数量积的主要性质
设a，b是两个非零向量
（1）a⊥b a×b=0数量积为零是判
定两非零向量垂直的充要条件;
（2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b 反向时, a·b=-|a|·|b|;特别地，a a = a 2 或 a = a a 用于计算向量的模;
2
2
AB' = AB + AA' = 2FG
FG / /AB'
由①知 EG∥AC
∴平面EFG//平面AB’C.
习题答案
1. B
2. 解:因为 AC = AB + AD + AA，
所以 | AC |2= ( AB + AD + AA )2
=| AB |2 + | AD |2 + | AA |2 + 2( AB·AD + AB·AA+ AD·AA )

高中数学 3.1.3空间向量的数量积运算课件新人教A版选修2-1

例 2.如图，在空间四边形 ABCD 中，AB 2 ，BC 3 ，
BD 2 3 ，CD 3 ，ABD 30 ，ABC 60 ，求
AB
与
CD
的夹角的余弦值新疆王新敞
奎屯
解：∵ CD BD BC ，
∴ AB CD AB BD AB BC
| AB | | BD | cos AB, BD
例1 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 a，如图所示，点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，求：
(1)A→B·A→C； (2)E→F·B→C.
【解】 (1)A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos〈A→B，A→C〉＝a×a×12＝a22.
(2)∵E，F 分别为 AB，AD 的中点， ∴E→F＝12B→D.
3．1.3空间向量的数量积运算
学习目标 1.理解空间向量的夹角与长度的概念． 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质. 3.掌握数量积的运算律及计算方法．
知新益能
1．向量的夹角 (1)如图，已知两个非零向量 a、b，在空间中任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a、b 的夹角，记作 _〈_a_，_b_〉__． (2)向量 a、b 的夹角〈a，b〉的范围是 _[0_，__π]____，当〈a，b〉＝π2时，则称向量 a、b 互相垂直，记作a_⊥__b ___.
利用向量解决垂直问题
证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a，b，c的线性形式，然后利用两个方向向量的数量积为零，说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
例4 在三棱锥SABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，求证：SC⊥AB.
证明：如图， S→C＝S→A＋A→C，A→B＝A→S＋S→B，则S→C·A→B＝(S→A＋A→C)·(A→S＋S→B) ＝－S→A2＋S→A·S→B＋A→C·A→S＋0 ＝S→A·(S→B－S→A－A→C) ＝S→A·(A→B－A→C)＝S→A·C→B＝0. ∴S→C⊥A→B，即 SC⊥AB.

高中数学3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算课件新人教A版选修2_1

(3)�� ·��1 .
分析:解答本题可先把各向量用同一顶点上的三条棱对应的向量表示出来,再代入向量的数量积进行运算.
解:如图,设�� =a, �� =b, ��1 =c, 则|a|=|c|=2,|b|=4,a· b=b· c=c· a=0.
3.1.3 空间向量的数量积运算
1.掌握空间向量的夹角与长度的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用向量的数量积判断向量共线与垂直.
1.向量的夹角
(1)如图,已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作 �� =a, �� =b,则∠AOB 叫做向量 a,b 的夹角,记作<a,b>. π (2)向量 a,b 的夹角<a,b>的范围是[0,π],如果<a,b>= ,
1 5
C. −5
D. −
1 5
)
解析:∵b=-5a, ∴a· b=-5a2=-5|a|2=-5. 答案:C
【做一做 2-2】在空间中,已知正三角形 ABC 的边长为 2,则�� · �� = _________________. 解析:∵|�� | = |�� | = 2, 且 < �� , �� >= 60° ,
.
2.向量的数量积 (1)已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作 a· b , 即a · b=|a||b|cos<a,b>. 零向量与任何向量的数量积为0. 特别地,a· a=|a||a|cos<a,a>=|a|2. (2)数量积满足的运算律: ①(λa)· b=λ(a· b); ②交换律:a· b=b· a; ③分配律:a· (b+c)=a· b+a· c.

3.1.3 空间向量的数量积运算

=|��||��|cos ∠AOB
=2×2×cos 60°=2.
(2)�� ·��=|��||��|cos <��, ��>
=|��||��|cos 180°
空间向量的数量积
定义性质运算律
—应用
-2-
3.1.3 空间向量的数量积运算
课前篇自主预习课堂篇探究学习
1.空间向量的夹角已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作��=a,��=b,则∠ AOB 叫做向量 a,b 的夹角,记作<a,b>,向量夹角的取值范围是[0,π]. 如果<a,b>=π2,那么向量 a,b 垂直,记作 a⊥b. 特别提醒1.由定义知,只有两个非零空间向量才有夹角,当两个非零空间向量共线同向时,夹角为0,共线反向时,夹角为π. 2.对空间任意两个非零向量a,b有:
①<a,b>=<b,a>;②<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>;③<-a,-b>=<a,b>.
-3-
3.1.3 空间向量的数量积运算
课前篇自主预习课堂篇探究学习
【做一做 1】在正四面体 ABCD 中,��与��的夹角等于( ) A.30° B.60° C.150° D.120° 解析<��, ��>=180°-<��, ��>=180°-60°=120°. 答案D 【思考】(1)若a·b=0,则一定有a⊥b吗? (2)若a·b>0,则<a,b>一定是锐角吗? 答案(1)若a·b=0,则不一定有a⊥b,也可能a=0或b=0. (2)当<a,b>=0时,也有a·b>0,故当a·b>0时,<a·b>不一定是锐角.

课件2：3.1.3两个向量的数量积

研一研·问题探究、课堂更高效
方法二设正方体的棱长为 2.
∴M→N·A→C＝12(B→C＋C→C1)·(A→B＋B→C)＝12B→C·A→B＋12B→C·B→C＋
12C→C1·A→B＋12C→C1·B→C
＝0＋12|B→C|2＋0＋0＝2，
又|A→C|＝2 2，|M→N|2＝|N→C|2＋|C→M|2＝2.
填一填·知识要点、记下疑难点
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量 a，b，在空间任
定义
取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则
∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角
记
法
〈a，b〉
范〈a，b〉∈_[_0_，__π_]__.当〈a，b〉＝π2
围
时，a__⊥____b
想一想:〈a，b〉与〈b，a〉相等吗?〈a,b〉与〈a,－b〉呢?
研一研·问题探究、课堂更高效
小结求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模，其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 3 如图所示，已知线段 AB 在平面 α 内，线段 AC⊥α，线段 BD⊥AB，线段 DD′⊥α 于 D′，如果∠DBD′＝30°，AB＝a，AC＝ BD＝b，求 CD 的长．
④|a·b|≤|a||b|
填一填·知识要点、记下疑难点
3. 异面直线 (1)异面直线的定义
_不___同__在__任__何__一__个__平__面__内____的两条直线叫做异面直线．
(2)两条异面直线所成的角
把异面直线___平__移___到__一__个__平__面__内______，这时两条直线的夹角 (__锐__角__或___直__角_____)叫做两条异面直线所成的角．如果所成的角是__直__角____，则称两条异面直线互相垂直．

课件1：3.1.3两个向量的数量积

由题意知，A→A′·A→′B′＝0，A→′B′·B→′B＝0， A→A′·B→′B＝|A→A′||B→′B|·cos〈A→A′，B→′B〉＝4×3×cos 120°＝－6， ∴|A→B|2＝42＋52＋32＋2×(0＋0－6)＝38， ∴|A→B|＝ 38，即 AB＝ 38.
【答案】 38
1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．
第三章空间向量与立体几何
§3.1.3 两个向量的数量积
高中数学选修2-1·同步课件
●三维目标 1.知识与技能掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握空间向量的数量积及其运算律． 2．过程与方法通过利用两个向量的数量积公式解决立体几何中的一些简单问题．
3．情感、态度与价值观激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度以及空间想象的能力． ●重点难点重点：空间向量的夹角，数量积的概念、计算方法及其应用．难点：空间向量数量积的几何意义以及立体几何问题的转化．
【思路探究】题中所涉及到的向量的模是多少？每小题中两个向量的夹角怎么求？
【自主解答】 (1)在空间四边形 ABCD 中，|A→B|＝|A→C|＝a，且〈A→B，A→C〉＝60°，
∴A→B·A→C＝a·acos 60 °＝12a2； (2)|A→D|＝a，|B→D|＝a，〈A→D，B→D〉＝60°， ∴A→D·B→D＝a2cos 60°＝12a2；
【思路探究】 (1)你能用O→A、O→B、O→C分别表示向量O→G与 B→C吗？
(2)如何用向量证明O→G⊥B→C？
【自主解答】
连结 ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，则|a|＝|b|＝|c|. 又O→G＝12(O→M＋O→N)

空间向量的数量积运算ppt课件

l m 0, l m 0 , l g 0,即l g.
gl
m
m n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
22
小结：通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题： 1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、证明线面垂直; 4、求两直线所成角的余弦值等等.
3.1.3空间向量的数量积运算
1
一、引入
1.共线向量定理：
空间中任意两个向量a, b (b 0)共线(a b )
的充要条件是存在实数，使得a b
2.共线向量定理的推论：
(1)若直线l过点A且与向量 a平行，则
点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
（1）存在实数t，使得AP t AB，即AP AB （2）存在实数t，使得OP OA t AB
另外 a b a c b c 及ab 0 a 0或b 0
10
已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．
11
练习1
如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：
∴ cos AB,CD AB CD 3 1 ，
| AB | | CD | 2 3 2
∴ AB 与 CD 的夹角的余弦值为 1 ． 2
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如 AB, BD 150 易错写成 AB, BD 30 ，注意推敲！
17
例 1:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

课件12：3.1.3 空间向量的数量积运算~3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

规律总结
证明两直线垂直，求两直线夹角，其关键环节都是取两直线的方向向量，将其用一组容易求数量积的不共面向量线性表示，证明两直线垂直，即证两直线方向向量的数量积为0；求两直线夹角利用两向量的夹角公式求解，需注意两向量夹角范围是[0，π]．
预习自测
1．下列式子中正确的是 ( D )
A．|a|·a＝a2
B．(a·b)2＝a2·b2
C．(a·b)c＝a(b·c)
D．|a·b|≤|a||b|
【解析】|a|·a 是与 a 共线的向量，a2 是实数，故 A 不对；
(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠a2·b2，故 B 错；
(a·b)c 与 c 共线，a(b·c)与 a 共线，故 C 错．
|a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|≤|a|·|b|.
2．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|等于 ( A )
A．22
B．48
C． 46
D．32
【解析】 ∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b，
|a－b|2＝a2＋b2－2a·b，
∴|a－b|2＝2(a2＋b2)－|a＋b|2＝2×(132＋192)－242＝484，
1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
规律总结
2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．

高中数学3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算课件新人教a选修2_1

(2)向量
a,b
的夹角<a,b>的范围是[0,π],如果<a,b>=
π 2
,
那么向量 a,b 互相垂直,记作 a⊥b.
知识拓展(1)当<a,b>=0时,两个向量同向共线;当<a,b>=π时,两
个向量反向共线.若a∥b,则<a,b>=0或π.
(2)对空间任意两个向量a,b,有以下两个特点:
①<a,b>=<b,a>;
A.5
B.
1 5
C. −5
D.
−
1 5
解析:∵b=-5a,
∴a·b=-5a2=-5|a|2=-5.
答案:C
【做一做 2-2】在空间中,已知正三角形 ABC 的边长为 2,则�� ·
�� = _________________.
解析:∵|��| = |��| = 2, 且 < ��, �� >= 60°,
③若 θ 为 a 与 ④|a·b|≤|a||b|.
b
的夹角,则
cos
θ=
|��|·|��|.
归纳总结两个向量的数量积,其结果是个数量,而不是向量,它的
值为两个向量的模与两个向量夹角的余弦值的乘积;对于两个非零
向量的数量积,其符号由夹角的余弦值的正负决定.
【做一做 2-1】在空间中,若|a|=1,b=-5a,则 a·b 等于( )
①(λa)·b=λ(a·b); ②交换律:a·b=b·a; ③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.