整式的乘法与因式分解单元测试卷附答案
整式的乘法与因式分解单元测试卷附答案 一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难） 1．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】 【分析】 首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分
解，再把a、b、c代入求值即可． 【详解】 a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac ＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac ＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a） 当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2 ＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2 ＝3． 故选D． 【点睛】 本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．
2．下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3 (m是整数)的因式的是 A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x2－1 【答案】B 【解析】 【分析】 将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案. 【详解】 因为m是整数， ∴将2x2＋mx－3分解因式： 2x2＋mx－3=（x-1）（2x+3）或2x2＋mx－3=（x+1）（2x-3），
故选：B. 【点睛】 此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.
3．已知243m-m-10m-m-m2，则计算：的结果为（ ）. A．3 B．-3 C．5 D．-5 【答案】A 【解析】 【分析】 观察已知m2-m-1=0可转化为m2-m=1，再对m4-m3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m2-m作为一个整体代入，逐次降低m的次数，使问题得以解决．
【详解】 ∵m2-m-1=0， ∴m2-m=1， ∴m4-m3-m+2=m2 (m2-m)-m+2=m2-m+2=1+2=3， 故选A． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m2-m作为一个整体出现，逐次降低m的次数.
4．化简22x的结果是（ ） A．x4 B．2x2 C．4x2 D．4x 【答案】C 【解析】 【分析】 利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可． 【详解】 (2x)²=2²·x²=4x²， 故选C. 【点睛】 本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方的运算法则.
5．如图，矩形的长、宽分别为a、b，周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为( )
A．60 B．30 C．15 D．16 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用矩形周长和面积公式得出a+b，ab，进而利用提取公因式法分解因式得出答案． 【详解】 ∵边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积6， ∴2（a+b）=10，ab=6， 则a+b=5， 故ab2+a2b=ab（b+a） =6×5 =30．
故选：B． 【点睛】 此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．
6．如果是个完全平方式，那么的值是（ ） A．8 B．-4 C．±8 D．8或-4 【答案】D 【解析】 试题解析：∵x2+（m-2）x+9是一个完全平方式，
∴（x±3）2=x2±2(m-2)x+9， ∴2(m-2)=±12， ∴m=8或-4． 故选D．
7．若（x2-x+m）（x-8）中不含x的一次项，则m的值为（ ） A．8 B．-8 C．0 D．8或-8
【答案】B 【解析】 （x2-x+m）（x-8）=322328889(8)8xxmxxxmxxmxm 由于不含一次项，m+8=0,得m=-8.
8．下列等式由左边向右边的变形中，属于因式分解的是 ( ) A．x2+5x－1=x(x+5)－1 B．x2－4+3x=(x+2)(x－2)+3x C．(x+2)(x－2)=x2－4 D．x2－9=(x+3)(x－3) 【答案】D 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】 解：A、右边不是积的形式，故A错误； B、右边不是积的形式，故B错误；
C、是整式的乘法，故C错误；
D、x2－9=(x+3)(x－3)，属于因式分解．
故选D． 【点睛】 此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
9．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2ab，则宽为（ ）
A．12 B．1 C．12ab D．
ab
【答案】C 【解析】 【分析】 用长方形的面积除以长可得. 【详解】
宽为:22222aababbababab= 12ab
故选：C 【点睛】 考核知识点：整式除法与面积.掌握整式除法法则是关键.
10．观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（ ） A．3，4 B．3，4 C．3，4 D．3，4 【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意可得规律为712abab
，再逐一判断即可.
【详解】 根据题意得，a，b的值只要满足712abab即可， A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；
B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意； C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意；
D.3+4=7,3×4=12，不符合题意. 故答案选A. 【点睛】 本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.
二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难） 11．如图，有一张边长为x的正方形ABCD纸板，在它的一个角上切去一个边长为y的正方形AEFG，剩下图形的面积是32，过点F作FH⊥DC，垂足为H.将长方形GFHD切下，与长方形EBCH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD的面积是____.
【答案】36. 【解析】 【分析】 根据题意列出2232,8xyxy，求出x-y=4，解方程组得到x的值即可得到答案. 【详解】 由题意得： 2232,8xyxy
∵22()()xyxyxy， ∴x-y=4， 解方程组48xyxy，得62xy， ∴正方形ABCD面积为236x， 故填：36. 【点睛】 此题考查平方差公式的运用，根据题意求得x-y=4是解题的关键，由此解方程组即可.
12．如果关于x的二次三项式24xxm在实数范围内不能因式分解，那么m的值可以是_________.（填出符合条件的一个值） 【答案】5 【解析】 【分析】 根据前两项，此多项式如用十字相乘方法分解，m应是3或-5；若用完全平方公式分解，m应是4，若用提公因式法分解，m的值应是0，排除3、-5、4、0的数即可. 【详解】 当m=5时，原式为245xx，不能因式分解， 故答案为：5. 【点睛】 此题考查多项式的因式分解方法，熟记每种分解的因式的特点及所用因式分解的方法，掌握技巧才能熟练运用解题.
13．如果9x2-axy+4y2是完全平方式，则a的值是____. 【答案】±12 【解析】 【分析】 根据完全平方式得出-axy=±2×3x2y，求出即可. 【详解】 解：9x2-axy+4y2=（3x±2y）2 即-axy=±2×3x2y 所以a=±12 【点睛】 本题考查了完全平方式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个a2-2ab+b2和a2+2ab+62是本题的易错点.
14．已知x、y为正偶数，且2296xyxy，则22xy__________. 【答案】40 【解析】 【分析】
整式的乘法与因式分解单元测试卷附答案
整式的乘法与因式分解单元测试卷附答案一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（）A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1【答案】C【解析】【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．故选：C．【点睛】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.2．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】【分析】设2为a，3为b，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根据正方形的面积公式将a、b代入，即可得出答案．【详解】解：设2为a，3为b，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，6张边长为3的正方形纸片的面积是6b2，∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，（b＞a）∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8，故选C ．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，用到的知识点是完全平方公式．3．已知n 16221++是一个有理数的平方，则n 不能取以下各数中的哪一个( ) A ．30B ．32C ．18-D ．9 【答案】B【解析】【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n 的值，然后选择答案即可．【详解】2n 是乘积二倍项时，2n +216+1=216+2×28+1=（28+1）2，此时n=8+1=9，216是乘积二倍项时，2n +216+1=2n +2×215+1=（215+1）2，此时n=2×15=30，1是乘积二倍项时，2n +216+1=（28）2+2×28×2-9+（2-9）2=（28+2-9）2，此时n=-18，综上所述，n 可以取到的数是9、30、-18，不能取到的数是32．故选B ．【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．4．已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=， 246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．无法确定【答案】A【解析】解：∵a 2﹣4b =7，b 2﹣4c =﹣6，c 2﹣6a =﹣18，∴a 2﹣4b +b 2﹣4c +c 2﹣6a =7﹣6﹣18，整理得：a 2﹣6a +9+b 2﹣4b +4+c 2﹣4c +4=0，即（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c ﹣2）2=0，∴a =3，b =2，c =2，∴此三角形为等腰三角形．故选A ．点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．5．下列运算正确的是A ．532b b b ÷=B ．527()b b =C ．248·b b b =D ．2·22a a b a ab -=+（）【答案】A【解析】选项A ， 532b b b ÷=，正确；选项B ， ()25b =10b ，错误；选项C ， 24·b b =6b ，错误；选项D ， 2·22a a b a ab -=-，错误.故选A.6．下列多项式中，能运用公式法进行因式分解的是（ ）A ．a 2+b 2B ．x 2+9C ．m 2﹣n 2D ．x 2+2xy+4y 2【答案】C【解析】试题分析：直接利用公式法分解因式进而判断得出答案．解：A 、a 2+b 2，无法分解因式，故此选项错误；B 、x 2+9，无法分解因式，故此选项错误；C 、m 2﹣n 2=（m+n ）（m ﹣n ），故此选项正确；D 、x 2+2xy+4y 2，无法分解因式，故此选项错误；故选C ．7．如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为144，小正方形的面积为4，若分别用x 、y （x y >）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中错误的是（ ）A ．22100x y +=B ．2x y -=C ．12x y +=D ．35xy =【答案】A【解析】【分析】 由正方形的面积公式可求x +y =12，x ﹣y =2，可求x =7，y =5，即可求解．【详解】由题意可得：（x +y ）2=144，（x ﹣y ）2=4，∴x +y =12，x ﹣y =2，故B 、C 选项不符合题意；∴x =7，y =5，∴xy =35，故D 选项不符合题意；∴x 2+y 2=84≠100，故选项A 符合题意． 故选A ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题需结合图形，利用等式的变形来解决问题．8．如图，矩形的长、宽分别为a、b，周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为()A．60 B．30 C．15 D．16【答案】B【解析】【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出a+b，ab，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．【详解】∵边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积6，∴2（a+b）=10，ab=6，则a+b=5，故ab2+a2b=ab（b+a）=6×5=30．故选：B．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．9．如果是个完全平方式，那么的值是（）A．8 B．-4 C．±8 D．8或-4【答案】D【解析】试题解析：∵x2+（m-2）x+9是一个完全平方式，∴（x±3）2=x2±2(m-2)x+9，∴2(m-2)=±12，∴m=8或-4．故选D．10．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是（）A．30 B．20 C．60 D．40【答案】A【解析】设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，表示出阴影部分的面积，结合大正方形与小正方形的面积之差是60即可求解.【详解】设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，则2260x y -=，∵S 阴影=S △AEC +S △AED =11()()22x y x x y y -+- =1()()2x y x y -+ =221()2x y - =1602⨯ =30.故选A.【点睛】 此题主要考查了平方差公式的应用，读懂图形和熟练掌握平方差公式是解此题的关键.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．若a-b=1，则222a b b --的值为____________．【答案】1【解析】【分析】先局部因式分解，然后再将a-b=1代入，最后在进行计算即可.【详解】解：222a b b --=（a+b ）（a-b ）-2b =a+b-2b=a-b=1【点睛】本题考查了因式分解的应用，弄清题意、并根据灵活进行局部因式分解是解答本题的关键.12．已知212()02a b -++=，则20192020a b =__________．【答案】12【分析】先利用绝对值和平方的非负性求得a 、b 的值，然后将20192020a b 转化为20192019()ab b ⋅的形式可求得.【详解】 ∵212()02a b -++= ∴a －2=0，12b +=0 解得：a=2，12b =- 20192020a b =20192019()a b b ⋅=()2019112⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=1 2故答案为：12【点睛】 本题考查绝对值和平方的非负性，解题关键是利用非负性，先得出a 、b 的值.13．在实数范围内因式分解：231x x +-=____________【答案】3322x x ⎛⎫⎛++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】利用一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可.【详解】令2310x x +-=∴1x =2x =∴231x x +-=x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭故答案为：3322x x ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，利用一元二次方程的解法即可解答，熟练掌握相关知识点是解题关键.14．计算： =_____．【答案】1【解析】【分析】根据平方差公式可以使本题解答比较简便.【详解】解：====1.【点睛】本题应根据数字特点，灵活运用运算定律会或运算技巧，灵活简算.15．4x(m－n)＋8y(n－m)2中各项的公因式是________.【答案】4(m－n)【解析】根据题意，先变形为4x(m－n)＋8y(m－n)2，把m-n看做一个整体，即可找到公因式4（m-n）.故答案为：4（m-n）.点睛：此题主要考查了提公因式法因式分解，根据公因式的特点，利用整体法确定公因式即可，关键是要把n-m与m-n变形为统一的式子.16．已知（a﹣2016）2+（2018﹣a）2=20，则（a﹣2017）2的值是 .【答案】9【解析】（a﹣2016）2+（2018﹣a）2=20，（a﹣2016）2+（a－2018）2=20，令t=a－2017，∴（t+1）2+（t－1）2=20,2t2=18，t2=9，∴（a﹣2017）2=9.故答案为9.点睛：掌握用换元法解方程的方法.17．因式分解：x3﹣4x=_____．【答案】x（x+2）（x﹣2）【解析】试题分析：首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式．即x3﹣4x=x（x2﹣4）=x（x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．18．因式分解：mn （n ﹣m ）﹣n （m ﹣n ）=_____．【答案】()()1n n m m -+【解析】mn(n-m)-n(m-n)= mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1)，故答案为n(n-m)(m+1).19．若21x x +=，则433331x x x +++的值为_____．【答案】4【解析】【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．【详解】∵21x x +=，∴()43222233313313313()1314x x x xx x x x x x x +++=+++=++=++=+=； 故答案为：4．【点睛】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．20．分解因式：3x 2-6x+3=__．【答案】3(x-1)2【解析】【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】 ()()22236332131x x x x x -+=-+=-.故答案是：3(x-1)2.【点睛】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．。
整式的乘法与因式分解单元测试题(Word版 含解析)
整式的乘法与因式分解单元测试题（Word版含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是( )A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意可得A=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）+1=（28-1）（28+1）+1=216根据21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；···因此可由16÷4=4，所以216的末位为6故选C点睛：此题是应用平方差公式进行计算的规律探索题，解题的关键是通过添加式子，使原式变化为平方差公式的形式；再根据2的n次幂的计算总结规律，从而可得到结果.2．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（）A．1 B．4 C．11 D．12【答案】C【解析】分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可.详解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12∴p+q=m，pq=-12.∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12∴m=-11或11或4或-4或1或-1.∴m的最大值为11.故选C.点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.3．若代数式x2＋ax＋64是一个完全平方式，则a的值是（）A．－16 B．16 C．8 D．±16【答案】D【解析】试题分析：根据完全平方式的意义，首平方，尾平方，中间加减积的2倍，可知a=±2×8=16.点睛：此题主要考查了完全平方式的意义，解题关键是明确公式的特点，即：完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方。
八年级整式的乘法与因式分解单元试卷(word版含答案)
八年级整式的乘法与因式分解单元试卷（word版含答案）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是( )A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意可得A=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）+1=（28-1）（28+1）+1=216根据21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；···因此可由16÷4=4，所以216的末位为6故选C点睛：此题是应用平方差公式进行计算的规律探索题，解题的关键是通过添加式子，使原式变化为平方差公式的形式；再根据2的n次幂的计算总结规律，从而可得到结果.2．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．【详解】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2＝3．故选D．【点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．3．已知20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+，则222a b c ab ac bc ++---的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】根据20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+分别求出a-b 、a-c 、b-c 的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成.【详解】∵20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+， 20192019201920201a b x x -=+--=-20192019201920212a c x x -=+--=-20192020201920211b c x x -=+--=-∴222a b c ab ac bc ++---2221(222222)2a b c ab ac bc =++--- 2222221(222)2a ab b a ac c b bc c =-++-++-+ 222111()()()222a b a c b c =-+-+- 222111(1)(2)(1)222=⨯-+⨯-+⨯- 11222=++ 3=故选D【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.4．如果多项式29x kx -+能用公式法分解因式，那么k 的值是( )A ．3B ．6C ．3±D ．6±【答案】D【解析】由于可以利用公式法分解因式，所以它是一个完全平方式222a ab b ±+，所以236k =±⨯=±.故选D.5．已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=， 246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．无法确定【答案】A【解析】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A．点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．6．下列分解因式正确的是（）A．x2-x+2=x（x-1）+2 B．x2-x=x（x-1）C．x-1=x（1-1x）D．（x-1）2=x2-2x+1【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、x2-x+2=x（x-1）+2，不是分解因式，故选项错误；B、x2-x=x（x-1），故选项正确；C、x-1=x（1-1x），不是分解因式，故选项错误；D、（x-1）2=x2-2x+1，不是分解因式，故选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做分解因式．掌握提公因式法和公式法是解题的关键．7．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（）A．(a＋1)(a－1)＝a2－1 B．a2－6a＋9＝(a－3)2C．x2＋2x＋1＝x(x＋2x)＋1 D．－18x4y3＝－6x2y2·3x2y【答案】B【解析】【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【详解】A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B、是因式分解，正确．C 、右边不是积的形式，错误；D 、左边是单项式，不是因式分解，错误．故选B ．【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．8．下列因式分解正确的是（ ）A ．()()2444x x x -=+- B ．()22211x x x +-=- C ．()()22x 22x 1x 1=-+- D ．()22212x x x x -+=-+ 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可.【详解】A. ()()2422x x x -=+-，故不正确； B. 221x x +-在实数范围内不能因式分解，故不正确；C. ()()()222x 2x 2=12x 1x 1--=+-，正确； D. ()22212x x x x -+=-+的右边不是积的形式，故不正确； 故选C.【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.9．不论x ，y 为何有理数，x 2+y 2﹣10x+8y+45的值均为（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．非负数【答案】A【解析】【详解】因为x 2+y 2－10x +8y +45=()()225440x y -+++>, 所以x 2+y 2－10x +8y +45的值为正数,故选A.10．小淇用大小不同的 9 个长方形拼成一个大的长方形 ABCD ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．(a + 1)(b + 3)B ．(a + 3)(b + 1)C ．(a + 1)(b + 4)D ．(a + 4)(b + 1)【答案】B【解析】【分析】 通过平移后，根据长方形的面积计算公式即可求解.【详解】 平移后，如图，易得图中阴影部分的面积是(a+3)(b+1).故选B.【点睛】本题主要考查了列代数式.平移后再求解能简化解题.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．设123,,a a a 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，n a 表示第n 个数(n 是正整数)，已知11a =，2214(1)(1)nn n a a a ，则2018a =___________.【答案】4035【解析】【分析】()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---整理得()()22n n 1a 1a 1++=-，从而可得a n+1-a n =2或a n =-a n+1，再根据题意进行取舍后即可求得a n 的表达式，继而可得a 2018.【详解】∵()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---，∴()()22n n n 14a a 1a 1++-=-，∴()()22n n 1a 1a 1++=-，∴a n +1=a n+1-1或a n +1=-a n+1+1，∴a n+1-a n =2或a n =-a n+1，又∵123a ,a ,a ⋯⋯是一列正整数，∴a n =-a n+1不符合题意，舍去，∴a n+1-a n =2，又∵a 1=1，∴a 2=3，a 3=5，……，a n =2n-1，∴a 2018=2×2018-1=4035，故答案为4035.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出a n+1-a n =2.12．多项式18x n+1-24x n 的公因式是_______.【答案】6x n【解析】运用公因式的概念，找出系数的最大公约数是6，相同字母的最低指数次幂是x n ，可得公因式为6x n ．故答案为：6x n.13．如果实数a ，b 满足a +b ＝6，ab ＝8，那么a 2+b 2＝_____．【答案】20【解析】【分析】【详解】∵6,a b +=∴222()236,a b a ab b +=++=∵ab=8，∴22a b +=36-2ab=36-2×8=20.【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练进行完全平方公式的变形是解题的关键.14．已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，则22x y +=__________.【答案】40【解析】【分析】根据22x y xy 96+=可知xy(x+y)=96，由x 、y 是正偶数可知xy≥4，x+y≥4，进而可知96 可分解成3种乘积的形式，分别计算即可得只有一种情况符合题意，即可求出x 、y 的值，根据x 、y 的值求得答案即可.【详解】∵22x y xy 96+=，∴xy(x+y)=96，∵x 、y 为正偶数，xy≥4，x+y≥4，∴96=2⨯2⨯2⨯2⨯2⨯3=6⨯16=8⨯12=4⨯24当xy(x+y)= 4⨯24时，无解，当xy(x+y)= 6⨯16时，无解，当xy(x+y)=8⨯12时，x+y=8，xy=12，解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，∴x 2+y 2=22+62=40.故答案为：40【点睛】本题考查因式分解，把96分解成所有约数的积再分情况求解是解题关键.15．若a ，b 互为相反数，则a 2﹣b 2=_____．【答案】0【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a ，b 互为相反数，∴a+b=0，∴a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）=0，故答案为0．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．16．若(x+p)与(x+5)的乘积中不含x 的一次项，则p ＝_____．【答案】-5【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a +b ）（m +n ）＝am +an +bm +bn 计算，再根据乘积中不含x 的一次项，得出它的系数为0，即可求出p 的值．【详解】解：（x +p ）（x +5）＝x 2+5x +px +5p ＝x 2+（5+p ）x +5p ，∵乘积中不含x 的一次项，∴5+p ＝0，解得p ＝﹣5，故答案为：﹣5．17．长、宽分别为a 、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，则a 2b +ab 2的值为_____．【答案】70．【解析】【分析】由周长和面积可分别求得a+b 和ab 的值，再利用因式分解把所求代数式可化为ab （a+b ），代入可求得答案【详解】∵长、宽分别为a 、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，∴a+b=142=7，ab=10， ∴a 2b+ab 2=ab （a+b ）=10×7=70，故答案为：70．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，把所求代数式化为ab （a+b ）是解题的关键．18．若21x x +=，则433331x x x +++的值为_____．【答案】4【解析】【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．【详解】∵21x x +=，∴()43222233313313313()1314x x x xx x x x x x x +++=+++=++=++=+=； 故答案为：4．【点睛】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．19．分解因式：3x 2-6x+3=__．【答案】3(x-1)2【解析】【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】()()222-+=-+=-.36332131x x x x x故答案是：3(x-1)2.【点睛】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．20．若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为________．【答案】12【解析】原式=2（m2+2mn+n2）-6，=2（m+n）2-6，=2×9-6，=12．。
【精选】整式的乘法与因式分解单元测试卷(含答案解析)
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）1．因式分解是多项式理论的中心内容之一，是代数中一种重要的恒等变形，它是学习数学和科学技术不可缺少的基础知识．在初中阶段，它是分式中研究约分、通分、分式的化简和计算的基础；利用因式分解的知识，有时可使某些数值计算简便．因式分解的方法很多，请根据提示完成下面的因式分解并利用这个因式分解解决提出的问题．（1）填空： ①()242221144x x x x ⎡⎤+=++-=⎢⎥⎣⎦（ ）22x -=（ ）（ ） ②()()242116=644⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦=（ ）（ ）=（ ）⨯ （ ） （2）解决问题，计算：4444116844115744⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】（1）①212x +，221122x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，②26，26，2211666622⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，42.530.5，；（2）14541 【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式计算可得；（2）利用前面所得规律变形即可．【详解】（1）()242221144x x x x ⎡⎤+=++-⎢⎥⎣⎦ 22212x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221122x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()2422211666624⎡⎤+=++-⎢⎥⎣⎦ 2211666622⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭42.530.5=⨯ 故答案为：①212x +，221122x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，②26，26，2211666622⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，42.530.5，； （2）4444116844115744⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222211116666888822221111555577772222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 42.530.372.556.530.520.556.542.5⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 14541= 【点睛】本题考查了因式分解的应用；熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．2．观察以下等式：（x+1)(x 2-x+1)=x 3＋1（x+3）（x 2-3x+9）=x 3+27（x+6）（x 2-6x+36）=x 3+216．．．．．． ．．．．．．(1)按以上等式的规律，填空：（a+b ）（___________________）=a 3+b 3(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立.(3)利用（1）中的公式化简：（x+y ）（x 2-xy+y 2）-（x-y ）（x 2+xy+y 2）【答案】（1）a 2-ab+b 2；（2）详见解析；（3）2y 3．【解析】【分析】（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）结合题目本身的特征，利用（1）中的公式直接运用即可．【详解】（1）（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3；（2）（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3-a 2b+ab 2+a 2b-ab 2+b 3=a 3+b 3；（3）（x+y ）（x 2-xy+y 2）-（x-y ）（x 2+xy+y 2）=x 3+y 3-（x 3-y 3）=2y 3．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式乘法法则，注意观察所给例题，找出其中的规律是解决本题的基本思路．3．你会对多项式(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．对于(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12．解法一：设x 2+5x ＝y ，则原式＝(y+2)(y+3)﹣12＝y 2+5y ﹣6＝(y+6)(y ﹣1)＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．解法二：设x 2+5x+2＝y ，则原式＝y(y+1)﹣12＝y 2+y ﹣12＝(y+4)(y ﹣3)＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．解法三：设x 2+2＝m ，5x ＝n ，则原式＝(m+n)(m+n+1)﹣12＝(m+n)2+(m+n)﹣12＝(m+n+4)(m+n ﹣3)＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：(1)(x 2+x ﹣4)(x 2+x+3)+10；(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x 2；(3)(x+y ﹣2xy)(x+y ﹣2)+(xy ﹣1)2．【答案】（1） (x+2)(x-1) (2 x x ++1)(2)(266x x ++)2(3) (x+y-xy-1)2【解析】【分析】（1）令m=2x x +,原式=()()4m 310m -++因式分解即可；（2）()()()()21236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x ,令n=256x x ++，再将原式=（n+2）n+x 2进行因式分解即可；（3）令a=x+y,b=xy ，代入原式即可因式分解.【详解】（1）令m=2x x +,原式=()()4m 310m -++=m 2-m-2=(m-2)(m+1)= (2x x +-2)(2x x ++1)=(x+2)(x-1) (2x x ++1)(2)()()()()21236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x , 令n=256x x ++，原式=（n+2）n+x 2=n 2+2n+x 2=(n+x)2=(266x x ++)2(3) 令a=x+y,b=xy ，原式=()()()2221a b a b --+-=(a-b)2-2(a-b)+1=(a-b-1)2=(x+y-xy-1)2【点睛】此题主要考查复杂的因式分解，解题的关键是读懂材料学会材料中因式分解的方法.4．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＝(1＋x )[1＋x ＋x (x ＋1)]＝(1＋x )2(1＋x )＝(1＋x )3.(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；(2)若分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；(3)分解因式：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)n (n 为正整数).【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n ＋1.【解析】【分析】（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．【详解】(1)提取公因式法，2（因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次）(2)2019，(1＋x)2020（分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019，则需应用上述方法2019次，结果是(1＋x)2020）(3)原式＝(1＋x)[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －1]＝(1＋x)2[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －2]＝(1＋x)3[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －3]＝(1＋x)n (1＋x)＝(1＋x)n ＋1.【点睛】本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.5．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]=(1+x )2(1+x )=(1+x )3(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.(2)若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .(3)分解因式：1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n (n 为正整数).【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x ＋1）2005；(3) (x ＋1)1n +【解析】【分析】（1）根据已知材料直接回答即可；（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x ），进而得出答案；（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案．【详解】（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．故答案为提公因式法，2次；（2）1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004，=（1+x ）[1+x+x （1+x ）+…+ x (x +1)2003]⋯=22003(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x +++++个=（1+x ）2005，故分解1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．（3）分解因式：1+x+x （x+1）+x （x+1）2…+x （x+1）n （n 为正整数）的结果是：（x+1）n+1．故答案为（x+1）n+1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．6．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为()x n +，得()()2x 4x m x 3x n -+=++则()22x 4x m x n 3x 3n -+=+++ {n 34m 3n +=-∴=．解得：n 7=-，m 21=- ∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值．【答案】()4,x + 20.【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1，因式是()x 3+的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2，因式是()2x 5-的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【详解】解：设另一个因式为()x a +，得()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+则()222x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+-- {2a 535a k -=∴-=-解得：a 4=，k 20=故另一个因式为()x 4+，k 的值为20【点睛】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．7．阅读下列材料：1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为：对于一个高于二次的关于x 的多项式，“x a =是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（x a -）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．例如：分解因式3223x x +-．∵1x =是32230x x +-=的一个解，∴3223x x +-可以分解为()1x -与另一个整式的乘积．设()()322231x x x ax bx c +-=-++ 而()()()()2321x ax bx c ax b a x c b x c -++=+-+--，则有 1203a b a c b c =⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩，得133a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而()()32223133x x x x x +-=-++运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）①运用上述方法分解因式323x x ++时，猜想出3230x x ++=的一个解为_______（只填写一个即可），则323x x ++可以分解为_______与另一个整式的乘积；②分解因式323x x ++；（2）若1x -与2x +都是多项式32x mx nx p +++的因式，求m n -的值．【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②3223=(1)(3)x x x x x +++-+；（2）3【解析】【分析】（1）①计算当x=-1时，方程成立，则323x x ++必有一个因式为（x+1）,即可作答； ②根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结论；（2））设32=(1)(2)x mx mx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解，然后列方程组求解即可．【详解】解：（1）①323x x ++，观察知，显然x=-1时，原式=0，则3230x x ++=的一个解为x=-1；原式可分解为（x+1）与另一个整式的积．故答案为：x=-1；（x+1）②设另一个因式为（x 2+ax+b ），（x+1）（x 2+ax+b ）=x 3+ax 2+bx+x 2+ax+b=x 3+（a+1）x 2+（a+b ）x+b∴a+1=0 ，a=-1， b=3∴多项式的另一因式为x 2-x+3．∴3223=(1)(3)x x x x x +++-+．（2）设32=(1)(2)x mx nx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解， ∴可得108420m n p m n p +++=⎧⎨-+-+=⎩①②， ∴②-①，得m-n=3∴m n -的值为3．【点睛】本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解是解题的关键．8．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）9；（4）x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x【解析】【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【详解】（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴225xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴x+y+z＝9，故答案为：9；（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．9．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到数字密码171920．（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）（2）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．【答案】（1）可以形成的数字密码是：212814、211428；（2）m的值是56，n的值是17．【解析】【分析】（1）先将多项式进行因式分解，然后再根据数字密码方法形成数字密码即可；（2）设x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，得到方程解出p、q、r，然后回代入原多项式即可求得m、n【详解】（1）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），当x＝21，y＝7时，x+y＝28，x﹣y＝14，∴可以形成的数字密码是：212814、211428；（2）设x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），∵当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，∴27+p＝24，27+q＝28，27+r＝34，解得，p＝﹣3，q＝1，r＝7，∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝x3+5x2﹣17x﹣21，∴3517m nn-=⎧⎨-=-⎩得，5617mn=⎧⎨=⎩即m的值是56，n的值是17．【点睛】本题属于阅读理解题型，考查知识点以因式分解为主，本题第一问关键在于理解题目中给到的数字密码的运算规则，第二问的关键在于能够将原多项式设成（x+p）（x+q）（x+r），解出p、q、r10．（观察）1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．（发现）根据你的阅读回答问题：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为；（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是．（类比）观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．猜想mn的最大值为，并用你学过的知识加以证明．【答案】（1）625；（2）a+b=50； 900；证明见解析.【解析】【分析】发现：（1）观察题目给出的等式即可发现两数相乘，积的最大值为625；（2）观察题目给出的等式即可发现a与b的数量关系是a＋b＝50；类比：由于m＋n＝60，将n＝60−m代入mn，得mn＝−m2＋60m＝−（m−30）2＋900，利用二次函数的性质即可得出m＝30时，mn的最大值为900．【详解】解：发现：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625．故答案为625；（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b=50．故答案为a+b=50；类比：由题意，可得m+n=60，将n=60﹣m代入mn，得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，∴m=30时，mn的最大值为900．故答案为900．【点睛】本题考查了因式分解的应用，配方法，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．。
整式的乘法与因式分解单元测试卷 (word版,含解析)
【详解】
由题意可得：（x+y）2=144，（x﹣y）2=4，∴x+y=12，x﹣y=2，故B、C选项不符合题意；∴x=7，y=5，∴xy=35，故D选项不符合题意；∴x2+y2=84≠100，故选项A符合题意．
故选A．
【点睛】
=(7a-8b)(-8a+8b)
=8(7a-8b)(b-a).
故选C.
6．如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为144，小正方形的面积为4，若分别用 、 （ ）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中错误的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
整式的乘法与因式分解单元测试卷 （word版，含解析）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
1．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为（）
=
= =34
∴
故选D.
点睛：本题主要考查了完全平方公式的应用，把(x－2 015)2＋(x－2 017)2化为(x－2 016+1)2＋(x－2 016-1)2，利用完全平方公式展开，化简后即可求得(x－2 016)2的值，注意要把x-2016当作一个整体.
5．把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果( )
D、原式=6a2，故D选项正确，符合题意，
《整式的乘法与因式分解》单元测试(带答案)
[分析]
先分别进行幂的乘方与积的乘方运算,然后再根据单项式乘除法的法则进行计算即可得.
[详解]原式＝A6•A6B2÷A2B
=A12B2÷A2B
=A10B,
故答案 A10B.
[点睛]本题考查了单项式乘除混合运算,熟练掌握各运算的运算法则以及确定好运算顺序是解题的关键.
12.目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米,而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米,已知1纳米= 米,用科学记数法将16纳米表示为__________________米.
4.已知多项式2x2＋Bx＋C分解因式为2(x－3)(x＋1),则B,C的值为()．
A.B＝3,C＝－1B.B＝－6,C＝2
C.B＝－6,C＝－4D.B＝－4,C＝－6
[答案]D
[解析]
[分析]
利用整式的乘法计算出2(x-3)(x+1)的结果,与2x2+Bx+C对应找到一次项的系数和常数项即可解题.
考点：因式分解.
10.已知 则 的大小关系是（）
A. B. C. D.
[答案]A
[解析]
[分析]
先把A,B,C化成以3为底数的幂的形式,再比较大小.
[详解]解：
故选A.
[点睛]此题重点考察学生对幂的大小比较,掌握同底数幂的大小比较方法是解题的关键.
二、填空题
11. =____________
[答案]
C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换,得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？．（填“是”或“否”）如果否,直接写出最后的结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
整式的乘法与因式分解单元测试卷附答案
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1： ____________________；方法2： ________________________；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式： 之间的等量关系．
_______________________________________________________；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知： ，求 的值；
②已知 ，则 的值是____．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）① ，②
【解析】
【分析】
（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；
（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（3）①依据a+b=5，可得（a+b）2=25，进而得出a2+b2+2ab=25，再根据a2+b2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x，a-2019=y，即可得到x+y=1，x2+y2=5，依据（x+y）2=x2+2xy+y2，即可得出xy= = ，进而得到 = ．
八年级数学：《整式的乘法与因式分解》单元测试题(含答案)
八年级数学：《整式的乘法与因式分解》单元测试题（含答案）一．选择题（共10小题）1．下列计算正确的是（）A．a﹣（b﹣c+d）＝a+b+c﹣d B．3x﹣2x＝1C．﹣x•x2•x4＝﹣x7D．（﹣a2）2＝﹣a42．已知a2+a﹣3＝0，那么a2（a+4）的值是（）A．﹣18 B．﹣12C．9 D．以上答案都不对3．如果a2n﹣1a n+5＝a16，那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．计算（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）的结果是（）A．1﹣3ab B．﹣3ab C．1+3ab D．﹣1﹣3ab 5．若等式x2+ax+19＝（x﹣5）2﹣b成立，则a+b的值为（）A．16 B．﹣16 C．4 D．﹣46．如果多项式y2﹣4my+4是完全平方式，那么m的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．±27．如图的面积关系，可以得到的恒等式是（）A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b28．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．2x（x+3）＝2x2+6x B．24xy2＝3x•8y2C．x2+2xy+y2+1＝（x+y）2+1 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）9．已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣110．如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2b﹣ab2的值为（）A．60 B．50 C．25 D．15二．填空题（共8小题）11．计算：0.6a2b•a2b2﹣（﹣10a）•a3b3＝．12．如果（nx+1）（x2+x）的结果不含x2的项（n为常数），那么n＝．13．若2018m＝6，2018n＝4，则20182m﹣n＝．14．如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，则剩下的钢板的面积为．15．已知m2﹣n2＝16，m+n＝6，则m﹣n＝．16．把a2﹣16分解因式，结果为．17．已知4×2a×2a+1＝29，且2a+b＝8，求a b＝．18．若实数a、b、c满足a﹣b＝，b﹣c＝1，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是三．解答题（共7小题）19．计算：（1）a3•a2•a4+（﹣a）2；（2）（x2﹣2xy+x）÷x20．（1）分解因式：x3﹣x（2）分解因式：（x﹣2）2﹣2x+421．①已知a＝，mn＝2，求a2•（a m）n的值．②若2n•4n＝64，求n的值．22．已知a+b＝，a﹣b＝．求：（1）ab；（2）a2+b2．23．如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化面积．24．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．（1）图b中，大正方形的边长是．阴影部分小正方形的边长是；（2）观察图b，写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的一个等量关系，并说明理由．25．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）52和200这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2n和2n﹣2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是神秘数吗？为什么．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列计算正确的是（）A．a﹣（b﹣c+d）＝a+b+c﹣d B．3x﹣2x＝1C．﹣x•x2•x4＝﹣x7D．（﹣a2）2＝﹣a4【分析】根据去括号、合并同类项、同底数幂的乘法和幂的乘方计算判断即可．【解答】解：A、a﹣（b﹣c+d）＝a﹣b+c﹣d，错误；B、3x﹣2x＝x，错误；C、﹣x•x2•x4＝﹣x7，正确；D、（﹣a2）2＝a4，错误；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．2．已知a2+a﹣3＝0，那么a2（a+4）的值是（）A．﹣18 B．﹣12C．9 D．以上答案都不对【分析】已知a2+a﹣3＝0则a2+a＝3，然后把所求的式子利用a2+a表示出来即可代入求解．【解答】解：∵a2+a﹣3＝0，∴a2+a＝3．a2（a+4）＝a3+4a2＝a3+a2+3a2＝a（a2+a）+3a2＝3a+3a2＝3（a2+a）＝3×3＝9．故选：C．【点评】本题考查了整式的化简求值，正确利用a2+a表示出所求的式子是关键．3．如果a2n﹣1a n+5＝a16，那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得出关于n的方程，解出即可．【解答】解：∵a2n﹣1a n+5＝a16，∴a2n﹣1+n+5＝a16，即a3n+4＝a16，则3n+4＝16，解得n＝4，故选：B．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，属于基础题，解答本题的关键掌握同底数幂的运算法则．4．计算（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）的结果是（）A．1﹣3ab B．﹣3ab C．1+3ab D．﹣1﹣3ab【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）＝1﹣3ab．故选：A．【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握运算法则是解题关键．5．若等式x2+ax+19＝（x﹣5）2﹣b成立，则a+b的值为（）A．16 B．﹣16 C．4 D．﹣4【分析】已知等式利用完全平方公式整理后，利用多项式相等的条件求出a与b 的值，即可求出a+b的值．【解答】解：已知等式整理得：x2+ax+19＝（x﹣5）2﹣b＝x2﹣10x+25﹣b，可得a＝﹣10，b＝6，则a+b＝﹣10+6＝﹣4，故选：D．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．如果多项式y2﹣4my+4是完全平方式，那么m的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【解答】解：∵多项式y2﹣4my+4是完全平方式，∴m＝±1，故选：C．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．如图的面积关系，可以得到的恒等式是（）A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【分析】根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：阴影部分的面积＝a2﹣b2；阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．8．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．2x（x+3）＝2x2+6x B．24xy2＝3x•8y2C．x2+2xy+y2+1＝（x+y）2+1 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．9．已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1【分析】根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：∵xy＝﹣3，x+y＝2，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝﹣6故选：A．【点评】本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．10．如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2b﹣ab2的值为（）A．60 B．50 C．25 D．15【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而得出把已知代入即可．【解答】解：由题意可得：a﹣b＝5，ab＝10，则a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝50．故选：B．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．二．填空题（共8小题）11．计算：0.6a2b•a2b2﹣（﹣10a）•a3b3＝a4b3．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝a2b×a2b2+10a4b3＝a4b3+10a4b3＝a4b3；故答案为：a4b3；【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．12．如果（nx+1）（x2+x）的结果不含x2的项（n为常数），那么n＝﹣1．【分析】根据多项式的运算法则把括号展开，再合并同类项；找到含有x的二次项并让其系数为0，即可求出n的值．【解答】解：（nx+1）（x2+x）＝nx3+nx2+x2+x＝nx3+（n+1）x2+x，∵（nx+1）（x2+x）的结果不含x2的项，∴n+1＝0，解得n＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查单项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键．13．若2018m＝6，2018n＝4，则20182m﹣n＝9．【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方解答即可．【解答】解：因为2018m＝6，2018n＝4，所以20182m﹣n＝（2018m）2÷2018n＝36÷4＝9，故答案为：9【点评】此题考查同底数幂的除法，关键是根据同底数幂的除法和幂的乘方法则计算．14．如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，则剩下的钢板的面积为π．【分析】由大圆面积减去两个小圆的面积表示出剩下的钢板面积即可．【解答】解：由题意得：剩下的钢板面积为：（）2π﹣（）2π﹣（）2π＝（a2+2ab+b2﹣a2﹣b2）＝π，故答案为：π．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．已知m2﹣n2＝16，m+n＝6，则m﹣n＝．【分析】根据（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，再把m2﹣n2＝16，m+n＝6，代入求解．【解答】解：∵m2﹣n2＝16，m+n＝6，∴（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，即6（m﹣n）＝16．∴m﹣n＝＝．故答案是：．【点评】本题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握公式是解题的关键．16．把a2﹣16分解因式，结果为（a+4）（a﹣4）．【分析】利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a2﹣16＝（a+4）（a﹣4）．故答案是：（a+4）（a﹣4）．【点评】考查了因式分解﹣运用公式法．能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．17．已知4×2a×2a+1＝29，且2a+b＝8，求a b＝9．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．【解答】解：∵4×2a×2a+1＝29，且2a+b＝8，∴22×2a×2a+1＝29，∴2+a+a+1＝9，解得：a＝3，故2×3+b＝8，解得：b＝2，∴a b＝32＝9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确应用同底数幂的乘法运算法则是解题关键．18．若实数a、b、c满足a﹣b＝，b﹣c＝1，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是3+【分析】利用完全平方公式将代数式变形：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，即可求代数式的值．【解答】解：∵a﹣b＝，b﹣c＝1，∴a﹣c＝+1∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝3+故答案为：3+【点评】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式将代数式变形是本题的关键．三．解答题（共7小题）19．计算：（1）a3•a2•a4+（﹣a）2；（2）（x2﹣2xy+x）÷x【分析】（1）根据同底数幂的乘法的法则计算即可；（2）根据多项式除单项式的法则计算即可．【解答】解：（1）a3•a2•a4+（﹣a）2＝a9+a2；（2）（x2﹣2xy+x）÷x＝x﹣2y+1．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，多项式除单项式，熟记法则是解题的关键．20．（1）分解因式：x3﹣x（2）分解因式：（x﹣2）2﹣2x+4【分析】（1）首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式（x﹣2）进而分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1）；（2）原式＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣4）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．21．①已知a＝，mn＝2，求a2•（a m）n的值．②若2n•4n＝64，求n的值．【分析】①利用同底数幂的乘法，找出原式＝a2+mn，再代入a，mn的值即可得出结论；②由2n•4n＝64可得出3n＝6，进而可求出n的值．【解答】解：①原式＝a2•a mn＝a2+mn＝（）4＝；②∵2n•4n＝2n•22n＝23n＝64，∴3n＝6，∴n＝2．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，解题的关键是：（1）利用同底数幂的乘法，找出原式＝a2+mn；（2）利用幂的乘法找出3n＝6．22．已知a+b＝，a﹣b＝．求：（1）ab；（2）a2+b2．【分析】（1）根据（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab代入数据即可得到结论；（2）由于a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，于是得到结论．【解答】解：（1）∵a+b＝，a﹣b＝．∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝7﹣5＝2，∴ab＝0.5（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝7﹣2×0.5＝6【点评】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方公式是：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．23．如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化面积．【分析】（1）绿化面积等于总面积减去中间正方形的面积；（2）代入a、b的值后即可求得绿化面积；【解答】解：（1）绿化的面积是（2a+b）（a+b）﹣a2＝2a2+3ab+b2﹣a2＝a2+3ab+b2；（2）当a＝3，b＝2时，原式＝9+3×2×3+4＝31平方米．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．（1）图b中，大正方形的边长是m+n．阴影部分小正方形的边长是m﹣n；（2）观察图b，写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的一个等量关系，并说明理由．【分析】（1）依据图形即可得到大正方形的边长是m+n，阴影部分小正方形的边长是m﹣n；（2）将等式（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn的左边或右边化简变形，即可得到结论成立．【解答】解：（1）由图b可得，大正方形的边长是m+n，阴影部分小正方形的边长是m﹣n；故答案为：m+n；m﹣n；（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．理由如下：右边＝（m+n）2﹣4mn＝m2+2mn+n2﹣4mn＝m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝左边，所以结论成立．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何证法，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．25．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）52和200这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2n和2n﹣2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是神秘数吗？为什么．【分析】（1）根据定义进行判断即可；（2）根据平方差公式进行计算，可得这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．【解答】解：（1）∵52＝142﹣122＝196﹣144∴52是神秘数∵200不能表示成两个连续偶数的平方差，∴200不是神秘数（2）是理由如下：∵（2n）2﹣（2n﹣2）2＝2×（4n﹣2）＝4（2n﹣1）∴这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数（3）设这两个连续奇数为：2n﹣1，2n+1 （x为正整数）∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．。
整式的乘法与因式分解单元测试卷及答案
欢迎来主页下载---精品文档第二十一章 整式的乘法与因式分解(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各式运算正确的是（ ）A.532a a a =+B.532a a a =⋅C.632)(ab ab = D.5210a a a =÷2. 计算232(3)x x ⋅-的结果是（ ）A. 56x B. 62x C.62x - D. 56x - 3．计算32)21(b a -的结果正确的是（ ） A. 2441b a B.3681b a C. 3681b a - D.5318a b -4. 44221625)(______)45(b a b a -=+-括号内应填（ ）A 、2245b a + B 、2245b a + C 、2245b a +- D 、2245b a -- 5.如图，阴影部分的面积是( ) A ．xy 27B ．xy 29C ．xy 4D ．xy 26.()()22x a x ax a -++的计算结果是( ) A. 3232x ax a +- B. 33x a -C.3232x a x a +-D.222322x ax a a ++- 7．下面是某同学在一次测验中的计算摘录 ①325a b ab+=； ②33345m n mn m n-=-；③5236)2(3x x x -=-⋅；④324(2)2a b a b a ÷-=-； ⑤()235aa =；⑥()()32a a a -÷-=-．其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D. 4个 8.下列分解因式正确的是( )A.32(1)x x x x -=-．B.2(3)(3)9a a a +-=- C. 29(3)(3)a a a -=+-. D.22()()x y x y x y +=+-. 9. 如(x ＋m )与(x ＋3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为( )．A ．0B ．3C ．－3D ．110. 若3x=15, 3y=5，则3x y-= ( )．A ．5B ．3C ．15D ．10二、填空题（本大题共有7小题，每空2分，共16分）11．计算(－3x 2y )·(213xy )＝__________． 12．计算22()()33m n m n -+--＝__________．13．201()3π+=________14. 当x __________时，(x －3)0＝1． 15. 若22210a b b -+-+=，则a = ，b ＝ 16.已知4x 2＋mx ＋9是完全平方式，则m ＝_________． 17. 已知5=+b a ，3ab =则22a b +=__________． 18. 定义2a b a b *=-，则(12)3**= ． 三、解答题（本大题共有7小题，共54分） 19．（9分）计算:（1）34223()()a b ab ÷ （2）))(()(2y x y x y x -+-+.(3)xy xy y x y x 2)232(2223÷+--校名 班级 姓名 学号密 封 线装 订 线 内 不 要 答 题20.（12分）分解因式：(1) 12abc －2bc 2； (2) 2a 3－12a 2＋18a ；(3) 9a(x －y)＋3b(x －y)； (4) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.21.（5分）先化简，再求值：()()()22x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中x=3,y=122. (5分) 请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．2224()19a x y b +， ， ，23．(8分)解下列方程与不等式(1) 3(7)18(315)x x x x -=--； （2）(3)(7)8(5)(1)x x x x +-+>+-.24. （7分）数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下：2962=(300－4)2=3002－2×300×(－4)+42 =90000+2400+16=92416老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案.25．(8分) 下面是某同学对多项式（x 2－4x +2）（x 2－4x +6）+4进行因式分解的过程．解：设x 2－4x =y原式=（y +2）（y +6）+4 （第一步） = y 2+8y +16 （第二步） =（y +4）2（第三步） =（x 2－4x +4）2（第四步） 回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______． A ．提取公因式 B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2－2x ）（x 2－2x +2）+1进行因式分解．参考答案1. B ；2.D ；3. C ； 4 .D ； 5．A 6．B ； 7．B ； 8．C. 9．C 10．B11．－x 3y 3；12．2249m n - ； 13.10914. ≠3 15．2, 1 16．12± ； 17. 19 18．-219．（1）32a b ；（2）222y xy + （3）2312x y xy --+20．(1)2bc(6 a －c)；(2)2a (a －3)2；(3) 3(x －y )(3a ＋b )；(4) (x ＋y ＋1)2. 21.x-y222．解：答案不惟一，如291(31)(31)b b b -=+-23.(1) 3x = (2) 1x <- 24.错在“－2×300×(－4)”,应为“－2×300×4”,公式用错.∴2962=(300－4)2=3002－2×300×4 +42=90000－2400+16=87616.25．（1）C ；（2）分解不彻底；4(2)x -（3）4(1)x -。
《整式的乘法与因式分解》单元综合检测题(带答案)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版人教版数学八年级上学期《整式的乘法与因式分解》单元测试考试时间：100分钟；总分：120分一、单选题(每小题3分,共30分)1．(2019·北京清华附中初二期中)如果(x +m )与(x ﹣4)的乘积中不含x 的一次项,则m 的值为( ) A ．4 B ．﹣4 C ．0 D ．12．(2018·富阳市实验中学初三期末)下列计算正确的是( )A ．(2a ﹣b)(﹣2a+b)=4a 2﹣b 2B ．(2a ﹣b)2=4a 2﹣2ab+b 2C ．(2a ﹣b)2=4a 2﹣4ab+b 2D ．(a+b)2=a 2+b 23．(2019·吉林东北师大附中初二月考)下列因式分解中,正确的是( )A ．x 2-4y 2=(x-4y)(x+4y)B ．ax+ay+a=a(x+y)C ．a(x-y)+b(y-x)=(x-y)(a-b)D ．4x 2+9=(2x+3)24．(2019·全国初一单元测试)化简(m ＋1)2－(1－m)(1＋m)的正确结果是( )A ．2m 2B ．2m ＋2C ．2m 2＋2mD ．05．(2019·眉山东辰国际学校初二期中)若9x 2＋mxy ＋16y 2是一个完全平方式,那m 的值是( ) A ．±12 B ．－12 C ．±24 D ．－246．(2019·眉山东辰国际学校初二期中)已知m 2+n 2+2m ﹣6n+10=0,则m+n 的值为( )A ．3B ．﹣1C ．2D ．﹣27．(2019·北京交通大学附属中学初二期中)计算结果为x 2－5x －6的是( )A ．(x －6)(x ＋1)B ．(x －2)(x ＋3)C ．(x ＋6)(x －1)D ．(x ＋2)(x －3)8．(2019·重庆市璧山区青杠初级中学校初二期中)下列算式能用平方差公式计算的是( )A.(2a ＋b)(2b-a)B.(x+1)(-x-1)C.(3x-y)(-3x ＋y)D.(-a-b)(-a ＋b) 9．(2019·北京初三)已知232a a -=,那么代数式()()2221a a -++的值为( )A.﹣9B.﹣1C.1D.910．(2019·上海初一期中)将多项式241x +加上一个单项式后,使它能成为另一个整式的完全平方,下列添加单项式错误的是( )A.4xB.4x -4C.4x 4D.4x -二、填空题(每小题4分,共24分)11．(2019·北京清华附中初二期中)若计算2x -1与ax +1相乘的结果中不含有x 的项,则a 的值为______________.12．(2019·九江市同文中学初二期中)分解因式：()()()2x y x y y x ----=________．13．(2019·福建初三)计算()()2211ab ab +--=_________.14．(2019·山西初三)若2322a b a b +=--=，,则224a b -=_________.15．(2019·九江市同文中学初一期中)若a ＋b ＝5,ab ＝3,则3a 2＋3b 2＝____________．16．(2019·湖北初二期中)若2(3)4x m x +-+是完全平方式,则数m 的值是________． 三、解答题一(每小题6分,共18分)17．(2019·河南初三)化简：2(2)(2)2(3)(1)x x x x x +---+-18．(2019·九江市同文中学初一期中)若x 2＋mx ＋n=(x －3)(x ＋4),求(m ＋n)2的值．19．(2019·吉林初二期中)请你将下式化简,再求值：(x +2)(x ﹣2)+(x ﹣2)2+(x ﹣4)(x ﹣1),其中x 2﹣3x ＝1．四、解答题二(每小题7分,共21分)20．(2018·江苏初一期末)把下列各式因式分解：(1)249-x (2)3222x x y xy +﹣21．(2019·九江市同文中学初一期中)计算(用简便方法)：(1)499×501；(2)20202－2019×2021.22．(2019·吉林初二期中)已知 x +y =4,xy =3．(1)求 x 2+y 2 的值；(2)求 x 3y +2x 2y 2+xy 3．五、解答题三(每小题9分,共27分)23．(2018·浙江中考真题)阅读理解：我们知道因式分解与整式乘法是互逆关系,那么逆用乘法公式()()()2x a x b x a b x ab ++=+++,即()()()2x a b x ab x a x b +++=++,是否可以因式分解呢？当然可以,而且也很简单.如()()()2243131313x x x x x x ++=+++⨯=++；()()()()2245151515x x x x x x --=+-+⨯-=+-.请你仿照上述方法分解因式：(1)2718x x -- (2)221213x xy y +-24．(2013·浙江中考真题)乘法公式的探究及应用．(1)如图1可以求出阴影部分的面积是(写成两数平方差的形式)；(2)比较图1、图2两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式(用式子表达)；(3)运用你所得到的公式,计算下列各题：①(2m+n﹣p)(2m﹣n+p) ②10.3×9.7．25．(2017·湖南中考真题)阅读下列材料：在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式(x2﹣4x+1)(x2﹣4x+7)+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝(y+1)(y+7)+9(第一步)＝y2+8y+16(第二步)＝(y+4)2(第三步)＝(x2﹣4x+4)2(第四步)请根据上述材料回答下列问题：(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果：；(3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解．参考答案一、单选题(每小题3分,共30分)1．(2019·北京清华附中初二期中)如果(x+m)与(x﹣4)的乘积中不含x的一次项,则m的值为() A．4 B．﹣4 C．0 D．1【答案】A【解析】【分析】先根据已知式子,可找出所有含x的项,合并系数,令含x项的系数等于0,即可求m的值.【详解】解:(x+m)(x-4)=x2+(m-4)x+4m,乘积中不含x的一次项,∴m-4=0,∴m=4.所以A选项是正确的.【点睛】本题主要考查多项式乘多项式,注意运算的准确性.2．(2018·富阳市实验中学初三期末)下列计算正确的是()A．(2a﹣b)(﹣2a+b)=4a2﹣b2B．(2a﹣b)2=4a2﹣2ab+b2C．(2a﹣b)2=4a2﹣4ab+b2D．(a+b)2=a2+b2【答案】C【解析】【分析】利用完全平方公式求解判定．【详解】A. (2a﹣b)(﹣2a+b)=-(2a﹣b)2,故A选项错误；B. (2a﹣b)2=4a2−4ab+b2,故B选项错误；C. (2a−b)2=4a2−4ab+b2,故C选项正确；D. (a+b)2= a2+2ab+b2,故D选项错误.故答案选：C.本题考查了完全平方公式,解题的关键是熟练的掌握完全平方公式.3．(2019·吉林东北师大附中初二月考)下列因式分解中,正确的是( )A．x2-4y2=(x-4y)(x+4y) B．ax+ay+a=a(x+y)C．a(x-y)+b(y-x)=(x-y)(a-b) D．4x2+9=(2x+3)2【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式和平方差公式,对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、应为x2-4y2=(x-2y)(x+2y),故本选项错误；B、应为ax+ay+a=a(x+y+1),故本选项错误；C、a(x-y)+b(y-x)=(x-y)(a-b),故本选项正确；D、应为4x2+12x+9=(2x+3)2,故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查了公式法提公因式法分解因式,运用提公因式法时,注意各项符号的变化,运用公式法的时候,注意公式的结构特征．4．(2019·全国初一单元测试)化简(m＋1)2－(1－m)(1＋m)的正确结果是( )A．2m2B．2m＋2 C．2m2＋2m D．0【答案】C【解析】解：(m+1) 2 -(1-m)(1+m)=m2+2m+1-1+m2=2m2+2m．故选C．点睛：本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用,能正确运用公式展开是解此题的关键．5．(2019·眉山东辰国际学校初二期中)若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式,那m的值是( )A．±12 B．－12 C．±24 D．－24【答案】C【解析】∵9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式,又∵(3x±4y)2=9x2±24xy＋16y2,故选：C.6．(2019·眉山东辰国际学校初二期中)已知m2+n2+2m﹣6n+10=0,则m+n的值为()A．3B．﹣1C．2D．﹣2【答案】C【解析】试题解析：m2+n2+2m-6n+10=0变形得：2222+++-+=++-=（）（）（）（）,m m n n m n2169130∴m+1=0且n-3=0,解得：m=-1,n=3,则m+n=-1+3=2．故选C．7．(2019·北京交通大学附属中学初二期中)计算结果为x2－5x－6的是( )A．(x－6)(x＋1) B．(x－2)(x＋3)C．(x＋6)(x－1) D．(x＋2)(x－3)【答案】A【解析】【分析】根据多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,把各选项计算出结果,即可得答案.【详解】A、(x-6)(x+1)=x2-5x-6；B、(x-2)(x+3)=x2+x-6；C.(x+6)(x-1)=x2+5x-6；D、(x+2)(x-3)=x2-x-6．故选A．【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则,合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．8．(2019·重庆市璧山区青杠初级中学校初二期中)下列算式能用平方差公式计算的是( )A.(2a＋b)(2b-a)B.(x+1)(-x-1)C.(3x-y)(-3x＋y)D.(-a-b)(-a＋b)【解析】【分析】平方差公式为(a+b)(a ﹣b)=a 2﹣b 2,根据公式的特点逐个判断即可．【详解】A 、不能用平方差公式进行计算,故本选项错误；B 、不能用平方差公式进行计算,故本选项错误；C 、不能用平方差公式进行计算,故本选项错误；D 、能用平方差公式进行计算,故本选项正确；故选:D ．【点睛】考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式及其公式特点是解本题的关键．9．(2019·北京初三)已知232a a -=,那么代数式()()2221a a -++的值为( ) A.﹣9B.﹣1C.1D.9【答案】D【解析】【分析】 原式利用完全平方公式化简,去括号合并得到最简结果,把已知等式整理后代入计算即可求出值．【详解】解：∵232a a -=,即223a a -=,∴原式22442226369a a a a a =-+++=-+=+=,故选：D ．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．(2019·上海初一期中)将多项式241x +加上一个单项式后,使它能成为另一个整式的完全平方,下列添加单项式错误的是( )A.4xB.4x -4C.4x 4D.4x -【答案】B【分析】完全平方公式：()222=2a b a ab b +++,此题为开放性题目．【详解】设这个单项式为Q,如果这里首末两项是2x 和1这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去2x 和1积的2倍,故Q=±4x ； 如果这里首末两项是Q 和1,则乘积项是22422x x =⋅,所以Q=44x ；如果该式只有24x 项,它也是完全平方式,所以Q=−1；如果加上单项式44x -,它不是完全平方式故选B.【点睛】此题考查完全平方式,解题关键在于掌握完全平方式的基本形式.二、填空题(每小题4分,共24分)11．(2019·北京清华附中初二期中)若计算2x -1与ax +1相乘的结果中不含有x 的项,则a 的值为______________.【答案】2.【解析】【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算,根据题意可知一次项系数为0,据此列出方程,解方程即可．【详解】解：(ax+1)(2x-1)=2ax 2+(2-a)x-1,∵结果中不含有x 的项∴2-a=0,解得,a=2,故答案为：2．【点睛】本题考查的是多项式乘多项式,多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加．12．(2019·九江市同文中学初二期中)分解因式：()()()2x y x y y x ----=________．【答案】()()21x y x y --+【解析】【分析】先把(y-x)转化为(x-y),然后提取公因式(x-y),再对余下的多项式整理即可．【详解】(x-y)(2x-y)-(y-x),=(x-y)(2x-y)+(x-y),=(x-y)(2x-y+1)．故答案是：()()21x y x y --+.【点睛】考查了提公因式法分解因式,把(y-x)转化为(x-y),整体思想的利用是解题的关键,要注意符号的变化． 13．(2019·福建初三)计算()()2211ab ab +--=_________.【答案】4ab【解析】【分析】利用平方差公式进行解答．【详解】解：(ab+1)2-(ab-1)2=(ab+1+ab-1)(ab+1-ab+1)=2ab×2=4ab ． 故答案是：4ab ．【点睛】考查了平方差公式,运用平方差公式计算时,关键要找相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相反项的平方．14．(2019·山西初三)若2322a b a b +=--=，,则224a b -=_________.【答案】-6【解析】【分析】根据平方差公式可以求得题目中所求式子的值．【详解】∵2a+b=-3,2a-b=2,∴4a 2-b 2=(2a+b)(2a-b)=(-3)×2=-6,故答案为：-6．【点睛】考查平方差公式,解答本题的关键是明确题意,利用平方差公式解答．15．(2019·九江市同文中学初一期中)若a ＋b ＝5,ab ＝3,则3a 2＋3b 2＝____________．【答案】57【解析】【分析】首先根据完全平方公式将22a b +用()a b +与ab 的代数式表示,然后把a b +,ab 的值整体代入计算．【详解】解：a b 5+=,ab 3=,223a 3b ∴+()23a b 6ab =+-,23563=⨯-⨯ 57=．故答案为：57.【点睛】本题考查完全平方公式,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式解题关键是要了解22a b +与()2a b +之间的联系．16．(2019·湖北初二期中) 若2(3)4x m x +-+是完全平方式,则数m 的值是________． 【答案】7或-1【解析】∵x 2+(m −3)x +4是完全平方式,∴m −3=±4,∴m =7或−1.故答案为：7或-1.三、解答题一(每小题6分,共18分)17．(2019·河南初三)化简：2(2)(2)2(3)(1)x x x x x +---+-【答案】43x -【解析】【详解】先去括号,再合并同类项化简求值.解：2(2)(2)2(3)(1)x x x x x +---+-22242621x x x x x =--++-+43x =-．【点睛】本题考查整式的混合运算,关键是公式的运用以及合并同类项.18．(2019·九江市同文中学初一期中)若x 2＋mx ＋n=(x －3)(x ＋4),求(m ＋n)2的值．【答案】121【解析】【分析】由题可知(3)(4)x x -+等于x 2＋mx ＋n ,将(3)(4)x x -+进行化简可得212x x +-,进而可求出m 和n 的值即可求出本题答案.【详解】∵(3)(4)x x -+,24312x x x =+--,212x x =+-,2x mx n =++,∴1m = ,12n =-,∴22()(112)121m n +=-=.【点睛】本题考查了多项式乘多项式,熟练掌握该知识点是本题解题的关键.19．(2019·吉林初二期中)请你将下式化简,再求值：(x +2)(x ﹣2)+(x ﹣2)2+(x ﹣4)(x ﹣1),其中x 2﹣3x ＝1．【答案】3x 2﹣9x +4,7【解析】【分析】运用平方差公式、完全平方公式和多项式的乘法的运算法则计算,再合并同类项,然后整体代入求值．【详解】(x +2)(x ﹣2)+(x ﹣2)2+(x ﹣4)(x ﹣1),＝x 2﹣4+x 2﹣4x +x 2﹣5x +4,＝3x 2﹣9x +4,当x 2﹣3x ＝1时,原式＝3x 2﹣9x +4,＝3(x 2﹣3x )+4,＝3×1+4, ＝7．【点睛】本题考查了平方差公式,完全平方公式,多项式的乘法,熟练掌握公式和运算法则是解题的关键,注意整体代入思想．四、解答题二(每小题7分,共21分)20．(2018·江苏初一期末)把下列各式因式分解：(1)249-x (2)3222x x y xy +﹣【答案】(1)(2x+3)(2x-3);(2)x(x-y)2【解析】分析：(1)直接利用平方差公式进行分解即可；(2)首先提取公因式x ,再利用完全平方公式进行二次分解即可．详解：(1)原式=(2x +3)(2x ﹣3)；(2)原式=x (x 2﹣2xy +y 2)=x (x ﹣y )2．点睛：本题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止．21．(2019·九江市同文中学初一期中)计算(用简便方法)：(1)499×501；(2)20202－2019×2021.【答案】(1)249999；(2)1.【解析】【分析】(1)原式变形后,利用平方差公式计算即可得到结果；(2)原式变形后,利用平方差公式化简,去括号合并即可得到结果．【详解】(1)原式＝(500－1)×(500＋1)＝5002－12＝249999；(2)原式＝20202－(2020－1)×(2020+1)＝20202－(20202－1)＝1．【点睛】本题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．22．(2019·吉林初二期中)已知x+y=4,xy=3．(1)求x2+y2 的值；(2)求x3y+2x2y2+xy3．【答案】(1)x2+y2=10；(2)48.【解析】【分析】(1)根据已知条件可算出(x+y)2,利用完全平方公式及其变形可求得结果.(2)对代数式进行提公因式xy,得到xy(x+y)2,再代已知条件即可.【详解】(1)∵x+y=4,∴(x+y)2=x2+2xy+y2=16∵xy=3∴x2+y2=(x+y)2-2xy=16-2×3=10(2)x3y+2x2y2+xy3=xy(x2+2xy+y2)=xy(x+y)2=3×42=48【点睛】本题考查了完全平方式的变形应用,解题关键是掌握完全平方公式中已知x+y(x-y),xy,x 2+y 2中任意两个式子,即可求出另一个代数式.五、解答题三(每小题9分,共27分)23．(2018·浙江中考真题)阅读理解：我们知道因式分解与整式乘法是互逆关系,那么逆用乘法公式()()()2x a x b x a b x ab ++=+++,即()()()2x a b x ab x a x b +++=++,是否可以因式分解呢？当然可以,而且也很简单.如()()()2243131313x x x x x x ++=+++⨯=++；()()()()2245151515x x x x x x --=+-+⨯-=+-.请你仿照上述方法分解因式：(1)2718x x -- (2)221213x xy y +-【答案】①()()29x x +-；②()()13x y x y +-【解析】【分析】(1)逆用乘法公式(x+a) (x+b)=x 2+(a+b)x+ab 即可．(2)逆用乘法公式(x+a) (x+b)=x 2+(a+b)x+ab 即可．【详解】(1)x 2-7x-18=(x+2)(x-9)；(2)x 2+12xy-13y 2=(x+13y)(x-y)．【点睛】本题考查因式分解的应用,解题的关键是学会逆用乘法公式(x+a) (x+b)=x 2+(a+b)x+ab,进行因式分解,属于中考常考题型．24．(2013·浙江中考真题)乘法公式的探究及应用．(1)如图1可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式)；(2)比较图1、图2两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式 (用式子表达)；(3)运用你所得到的公式,计算下列各题：①(2m+n ﹣p)(2m ﹣n+p) ②10.3×9.7．【答案】(1) a2﹣b2 (2)(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 (3)①4m2﹣n2+2np﹣p2②99.91【解析】分析：(1)利用正方形的面积公式就可求出；(2)仔细观察图形就会知道长,宽,由面积公式就可求出面积,建立等式就可得出；(3)利用平方差公式就可方便简单的计算.详解：(1) a2﹣b2；(2)(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2；(3)①原式=[2m+(n﹣p)]•[2m﹣(n﹣p)]=(2m)2﹣(n﹣p)2=4m2﹣n2+2np﹣p2；②原式=(10+0.3)×(10﹣0.3)=102﹣0.32=99.91点睛：此题主要考查了平方差公式的探究及应用,即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式.对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观.25．(2017·湖南中考真题)阅读下列材料：在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式(x2﹣4x+1)(x2﹣4x+7)+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝(y+1)(y+7)+9(第一步)＝y2+8y+16(第二步)＝(y+4)2(第三步)＝(x2﹣4x+4)2(第四步)请根据上述材料回答下列问题：(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果：；(3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解．【答案】(1)C；(2)(x﹣2)4；(3)(x+1)4．【解析】【分析】(1)根据完全平方公式进行分解因式；(2)最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；(3)根据材料,用换元法进行分解因式．【详解】(1)故选C；(2)(x2﹣4x+1)(x2﹣4x+7)+9,设x2﹣4x=y,则：原式=(y+1)(y+7)+9=y2+8y+16=(y+4)2=(x2﹣4x+4)2=(x﹣2)4．故答案为：(x﹣2)4；(3)设x2+2x=y,原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2=(x+1)4．【点睛】本题考查了因式分解﹣换元法,公式法,也是阅读材料问题,熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．。