保守力势能
作者黄运开 第 1 页 共 4 页 保守力 势能
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保守力 势能
一，力学中常见力的功
1， 万有引力的功
abrrrrrrbarMmGrMmG
r
MmGdrrMm
G
drrMmG-dAbababa22)(
rrrF
引力做功与路径无关。
2， 重力的功
)())((abhhhhybayxbamghmghmgdydyFdydxFFdAbaba
jiji
sF
重力做功与路径无关。
3， 弹性力的功
222212121abxxxxbakxkxkxdxkx
drFA
b
a
b
a
ii
弹性力做功与路径无关。
r
r
a
r
b
dr
F
M
m
b
a
x
F
ds
y
0
h
a
b
h
b
a
m
x
k
0
xa x
b
x
F
a
b
基本概念：保守力 势能 基本规律：保守力做功等于系统势能减少
教学基本要求：
1，掌握保守力的概念，能计算常见保守力的功。
2，掌握势能概念，会计算万有引力、重力、和弹性力的势能。
复习：p51-56
预习：p67-73
作业：p96 3-1
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【例】：试证明力做功与路径无关可表述为：Ld0rF
证：0babaabLbadddddrFrFrFrFrF
二，保守力
由上可见，万有引力、重力、弹性力作功的特点都是与路径无关；
人们将做功的大小只与物体始末位置有关，而与所经历的路径无关的这类力
叫做保守力。所以万有引力、重力、弹性力均是常见的保守力。它们都满足关系
0Ld
rF
保
三，势能
由保守力做功的表达式可以看出：
保守力做功＝某个只与质点位置有关的状态量的改变（负号表示“减少”）。
人们将这个只与位置有关的状态量叫“势能”。通常用EP表示。所以
“保守力做功＝势能的减少”可表示为：
)(PaPbPEEEA＝
保
说明：（1）势能是质点系中相互作用的物体所共有的。单个质点无势能可言。
（2）只有当保守力作为系统内力并做功时系统方可能有势能。
（3）势能差是绝对的，但势能却是相对的，它依赖于势能零点的选择。
CECEEEAPaPbPaPb)(＝
保
其中C为任意常数，选择得当，可以使EP的表达式获得最简形式。
一般221)()0)()0()()(kxxExmgyyEyrMmGrErPPP长处（弹性势能零点取弹簧原重力势能零点取地面处处引力势能零点取无穷远
综上所述保守力场中任意一点的势能可表示为：
零势点保守力aPaPadEErF.0
——物体在保守力场中任意一点的势能等于保守力将它从该点移到零势
点所做的功。
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四，势能曲线如下：
势能曲线的用途：
1，根据势能曲线可以讨论物体的运动，只有动能为正值时运动才可能发生；
2，利用势能曲线还可以求各个位置保守力
dx
dE
FdxFdxFdAdEdApxxpcos
【例】 一质点在几个力的作用下，沿半径为R的圆周运动，其中一个力是恒力
F=F0i，如图所示。当质点从A点沿逆时针方向走过四分之三圆周到达B点时恒
力F所做的功是多少？
解：
RFdxFFdsdAR000cossF
思考：该力是否保守力？
【例】质量为m的质点在外力作用下，其运动方程为r=Acosωti+Bsinωtj(SI),
式中A、B、ω都是正常数，试求：
（1）t=0时的速度；
（2）t=π/2ω时的速度；
（3）力在t1=0到t2=π/2ω这段时间内所做的功。
（4）该力是保守力吗？
解：
)(212121)3(2/)2(0)1(cossin222202BAmmvmvAAtBttBtAdtd
iv
jv
jirv
0
（4）判断该力是否保守力，条件是考察质点运动一周该力做功是否为零。
0)(212121222202BBmmvmvA
BTtjv
r
Ep(y)
Ep(x)
Ep(r)
y
x
0
0
0
o
x
R
A
B
y
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【例】竖直悬挂的弹簧振子系由质量为m、倔强系数为k的轻弹簧构成。试求以
质点平衡位置为坐标原点和势能零点时，系统势能表达式。
解：取质点、弹簧和地球为系统，
质点平衡处（x=0）： mgkl
任意位置处（x） ，质点受合力
kxlxkmgF)(
以平衡位置为势能零点，系统势能为
2
00
2
1
)(kxkxdxFdxxExx
注意，此表达式中包含了弹性势能和重力势能。
2
0
2
0
2
1
)()()()(21)()(kxxExExEmgxmgdxxEkxklxdxxlkxEGTxGxT
x
o
X
m
k
l
大学物理单元知识点归纳3)
因为物体对地球的引力不足以使地球产生 位移,所以对地球用动能定理有:
1 mgh m v 2 2
0 00
1 mgh m v 2 2 1 1 2 mg (z 1 z 2 ) m v mgz 1 m v 2 mgz 2 2 2
此即机械能守恒定律.所以地球上进行的力学实验中一般 不考虑地球能量的变化 系统的动能定理为:
M2
M1
M1 F dr F dr E p
M2
保守力的功 A 等于质点在始末两位置势能增量的负值 微分形式
dA dE p
A E p
（1）势能 为状态量，是状态（位置）的单值 函数。其数值还与零势能点的选取有关。
（2）势能属于物体与系统所共有。
讨论
1. 能量守恒定律可以适用于任何变化过程
2. 功是能量交换或转换的一种度量 3. 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在 机械运动范围内的体现
六.三个宇宙速度
第一宇宙速度
在地面上发射航天器，使之能绕地球圆轨道运行所需的最
小发射速度，即发射人造卫星所需的最小速度
Mm v2 GM G 2 m v r r r
取： EP ( M 0 ) 0 (势
M0(选参考点)
M0
M
F dr
势能是位置的函数，在数值上等 于从 M 到 势能零点 保守力所做的 功，该函数通常称作势能函数。 势能是系统具有的做功本领
讨论
（1） 因势能零点可以任选，所以某一点的势能值是相对的。
第三宇宙速度
在地面上发射航天器，使之不但能脱离地球引力场，还要脱 离太阳的引力场所需的最小发射速度。 计算在地球公转轨道上需以多大速度发射，才能脱离太阳的 引力场。代入太阳质量 Ms，地球到太阳的距离 Rs
高二物理竞赛课件：保守力 成对力的功 势能
保守力 成对力的功 势能 一、 保守力
根据各种力做功的特点，可将力分为保守力和 非保守力。 保守力（conservative force）：
做功与路径无关，只与始末位置有关的力。 如：重力、万有引力、弹性力以及静电力等。 非保守力（non-conservative force）： 做功不仅与始末位置有关，还与路径有关的力。 如：摩擦力、回旋力等。
摩擦力所做的功：
A4 Ff l cos180 1453 435(J)
（2）合力所做的功：
A A1 A2 A3 A4 165 J
返回 退出
（3）如改用起重机把木箱吊上汽车。 所用拉力 F' 至少要等于重力。这时拉力所做的功为
A Fl sin30 980 30 0.5 1.47 103(J)
重力所做的功
A2 Gl co（s 180 60） 980 3（ 0.5） 1.47 103(J)
正压力所做的功
A3 FNl cos90 0
返回 退出
根据牛顿第二定律：
FN F sin10 G cos30 0
FN G cos30 F sin10 727(N) Ff μFN 0.20 727 145(N)
例 柔软均质物体以初速v0 送上平台，物体前端在平台 上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间
的摩擦因数为 ，且 s ＞Ｌ，求初速度v0 。
解：
返回 退出
由动能定理：
返回 退出
重力的功 设物体m从a点沿任一曲线移动到b点。
在元位移 dr中，重力所做的元功为
dA mg cosds mgdh
返回 退出
弹性力的功 设光滑水平桌面一端固定 的轻弹簧(k)，另一端连接 质点 m，当质点由a点运 动到b点的过程中 ：
3-5保守力与非保守力_势能
陨石在“天外”时 rA
时，E pA＝0
落到地面时， rB=6.4×106 m
WAB
GmM 6.67 1011 5 103 6 1024 11 3.110 ( J ) 6 rB 6.4 10 19
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
5）保守力的功等于势能增量的负值
重力 弹力
WGAB (mgy2 mgy1 ) ( E p 2 E p1 )
WeAB
可统一写成
1 2 1 2 ( kx2 kx1 ) ( E p 2 E p1 ) 2 2 W保 E p ( E p 2 E p1 )
L
f 保 dr 0
保守力的环流为零（保守力沿任意闭合路径 的线积分叫做保守力的“环流”）。 描述矢量场基本性质的方程形式。
8
3-5 保守力与非保守力 势能
证明第二种表述： f 保 dr 0
L
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
F保
1
L
f 保 dr
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
讨论
1）只有保守力才有相应的势能 2）势能属于有保守力作用的体系（质点系） (对应一对内力作功之和) 3）势能与参考系无关(与相对位置有关) 4）质点系的内力可分为 保守内力 (作功与路径无关) 非保守内力 (作功与路径有关) 耗散力
10
3-5 保守力与非保守力 势能
3-5 保守力与非保守力 势能
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一. 重力作功与重力势能
dr dxi dyj
WG
B A
G mgj
y
y1 y2
保守力做功与势能ppt课件
AAB
B
ur F
drr
EkB
EkA
A
GmM GmM rB rA EkB EkA
或
GmM
GmM
( rB ) EkB ( rA ) EkA
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
结论：
B ur r
AAB F dr EkB EkA A
1. 质点在引力场中运动时，引力场作功（或正负）， 质点动能有相应变化（或增大或减小）。
x0 m
O
xO
P
x
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
解：(1) 以弹簧原长点O 为坐标原点，系统总势能：
(2) 若以重力与弹性力合力 的平衡位置为原点，则有：
任意位置 x 处的系统总势能：
x0 m
O
xO
P
x
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例4 已知地球半径 R，物体质量 m，处在地面 2R 处。 求势能: （1）地面为零势能点； （2）无限远处为零势能点。 解：
可得物体沿acd路径从a点移动到b点时重力做的总功
A mgr drr acb
mg
z2 z1
dz
mgz1
mgz2
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例2 设一劲度系数为k的轻弹簧放在光滑水平桌面上， 一端固定，另一端连接到质量为m的质点上。计算当 质点由a点运动到b点的过程中弹性力所做的功。
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
3.2.3 由势能函数确定保守力场
1. 积分关系
2. 微分关系
dA
v F
drv
Fxdx
保守力做功和势能变化的关系
保守力做功和势能变化的关系
保守力做功和势能变化的关系是一个基本的物理原理，它描述了一个物体在受到保守力作用下，其势能的变化与所受的保守力所做的功之间的关系。
首先，我们来定义保守力。
保守力是一个与路径无关的力，它只与物体的位置有关。
这意味着，如果一个物体沿着一个闭合回路运动，受到的保守力所做的总功为零。
常见的保守力有重力和弹性力。
当一个物体受到保守力作用时，它的势能会发生变化。
势能是描述物体位置所具有的能量。
根据势能的定义，势能的变化可以通过将物体从一个位置移动到另一个位置时保守力所做的功来计算。
根据物体在保守力作用下的势能变化，我们可以得出以下关系：
势能变化 = -保守力所做的功
这个关系可以解释为，当保守力对物体做正功时，物体的势能减少；反之，当保守力对物体做负功时，物体的势能增加。
这个关系也可以用数学公式来表示。
假设物体在从位置A移动到位置B时，保守力所做的功为W_AB，物体在位置A的势能为U_A，位置B
的势能为U_B，则势能变化为：
ΔU = U_B - U_A = -W_AB
其中，ΔU表示势能变化。
需要注意的是，这个关系只适用于保守力。
非保守力所做的功不能简单地与势能变化相联系。
非保守力所做的功还需要考虑其他能量转化形式，比如热能、摩擦力等。
总结起来，保守力做功和势能变化之间存在着简单的关系。
势能变化等于保守力所做的功的负值。
这个关系对于理解物体在保守力作用下的运动和能量转化非常重要。
§4.2 保守力与非保守力及势能
W保 E p ( E pb E pa ) F保 d r
b a
E 令： pb 0 (即势能零点)，则
1. 引入势能条件：
① 质点系。Leabharlann 能属于系统。 ② 保守力作功。Chapter 4. 功和能 作者：杨茂田
Chapter 4. 功和能 作者：杨茂田
§4.2 保守力与非保守力、势能
P.
§4.2 保守力与
非保守力、势能
Chapter 4. 功和能 作者：杨茂田
§4.2 保守力与非保守力、势能
P.
例题1：一马拉雪橇沿着圆弧路面极缓慢匀速运动,设圆 弧路面的半径为R，马队雪橇的拉力总平行于路面,雪橇 的质量为m，与路面的滑动摩擦系数为 ，当把雪橇 由低端拉上45圆弧时，摩擦力和重力对雪橇做功多少? 受力分析得：f 摩擦力做功
Chapter 4. 功和能 作者：杨茂田
§4.2 保守力与非保守力、势能
P.
归纳：
1. 你能证明万有引力作功与路径 1.重力势能： E p ( y ) mgy ( Ep( 0 ) 0 ) 无关吗？
1 2 E ( x ) kx 2. 弹性势能：2. p若选地表为万有引力势能零点，则 ( Ep( 0 ) 0 ) 2 Mm 引力势能表达式如何？ ( Ep( ) 0 ) 3. 万有引力势能： p ( r ) G E r
45
N mg cos
Wf
4 f .dr mg cos Rd
0
2 Wf mgR 2
重力做功
2 WG mgh mgR(1 ) 2
Chapter 4. 功和能 作者：杨茂田
大学物理：3_2保守力与非保守力
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
2）
重力作功
P mgk
dr dxi dyj dzk
W
B P dr
zB mgdz
A
zA
z
zA
zB
A
mg
B
(mgzB mgz A )
o
x
y
W mgdz 0
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
3 ） 弹性力作功
F
A Ek Ek0 Ek
A A外 A内 A外 A非 保 内 A保 内
保守内力的功和势能的关系
A保 内 E p 则有 A外 A非保内 （ E p） Ek
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
A外 A非保内 ( E p Ek )
机械能 E Ek Ep
则有 A外 A非 保 内 E
物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首 先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压 缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、 B、C、D 组成的系统
（A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 .
3、平衡点
dU 0 , 即 : f(x) 0 dx
(G
mr'Am)
重力功 弹力功
W (mgzB mgz A )
W
(
1 2
kxB2
1 2
kxA2
)
A
D
C
F dr F dr
ACB
ADB
B
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
保守力,势能
r1
o
●
r2 r1 r2
●
f12
f 21
●
dr2
●
m2
A1
A A2
两质点间的内力所做的总功只决定于两质点 的相对路径，与参考系的选择无关。
一对内力功的计算：
选择其中一个质点为参考点， 计算另一个质点相对参考质点运动时内力做的功 万有引力的功
WAB
1 1 Gm1m2 ( ) rB rA
●
dr1
m1
●
B1
●
B
B2
r1
o
●
r2 r1 r2
●
f12
f 21
●
dr2
●
m2
A1
A A2
dW f 21 dr21
系统由初位置A 运动到 末位置B， 两质点间的相互作用力 所做的总功
B
●
dr1
m1
●
B1
●
B
B2
WAB A dW o A1 B B A f 21 dr21 A f12 dr12
要确定系统在某一位置状态的势能 就必须选定某一位置状态作为参考位置状态， 并规定此参考位置状态的势能为零
把这一参考位置状态称作势能零点
选定了势能零点， 任一位置状态P 的势能
EP WP0
EP WP0
表示系统在位置状态P 的势能等于系统
从位置状态P 变化到势能零点，保守力做的功
所以势能只有相对意义，某一位置状态的势能值
L
●
m2
●
Gm1m2 ˆ dr 0 与保守力相对的称为 W r 2 r 耗散力，如摩擦力。 F dr 0 ——保守力的定义式
2.3 保守力、非保守力和势能
m'm
dW F dr G r3 r dr
m
A
r (t)
dr
m' r(t dt)
O
B
（3）万有引力作功
说明：r
dr
r
dr
cos
rdr
m'm
m' m
dW F dr G
r3
r dr G
r2
dr
m 由A 点移动到B点时F作功为
W
dw
rB
rA
G
m' m r2
dr
m
A
r (t)
保守力、非保守力 和势能
一、几种常见力作功的特点
（1）弹性力作功
F kxi
dW
F
dx
kxi dxi
o
kxdx
F
x
xA xB
W
dw
xB kxdx
xA
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .
（2）重力作 功
P mgk
dr
dxi
dyj
dzk
W
B
P
d r
zB mgdz
A
zA
(mgz B mgz A )
z
zA A
zB
mg
B
o
y
x
功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .
（3）万有引力作功
以
m' 为参考系，m
的位置矢量为 r
.
m'对 m 的万有引力为
F
G
m' m r3
1-4-2 保守力的功、势 能
保守力的功势能（1）重力的功XYZOa b∙∙∙gm rd m 在重力作用下由a 运动到b ，取地面为坐标原点⎰⋅=bard g m W ⎰++⋅-=ba )k dz j dy i dx (k )mg (⎰-=b az z mgdza b mgz mgz =-=初态量-末态量（2）万有引力的功rdr rMm G Wbar r ∙-=⎰3rdrr Mm G b ar r 3⎰-=)()(ba r Mm G r Mm G ---==初态量-末态量两个质点之间在引力作用下相对运动时，以M 所在处为原点, M 指向m 的方向为位矢的正方向。
m 受的引力方向与位矢方向相反。
rdr r d r r d r ==∙θcos rrMm G F3-=Mr abm（3）弹力的功∙∙∙弹簧振子ikx F-=221122()b ax x b a W kxi dxikx kx=-∙=--⎰222121b a kx kx -==初态量-末态量某些力对质点所做的功只与质点的始末位置有关,而与路径无关,这种力称为保守力。
典型的保守力：重力、万有引力、弹性力、电场力与保守力相对应的是耗散力典型的耗散力：摩擦力、粘滞阻力、磁力势能AB功是能的量度，给定两点A 、B ，保守力所做的功是一定的，即对应能量差是一定的，对应的这种能定义为势能，只与质点的位置有关。
)()(b E a E W P P ab -=定义了势能差保守力做正功等于相应势能的减少保守力做负功等于相应势能的增加选择b 点为势能为零,则0)(=b E P ab P W E (a)=质点在某一点a 的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点a 移动到零势能点时保守力所做的功rd F a E ar p∙=⎰零势能点保)(mgh E =重力2kx 21E =弹性rMm GE -=引力说明：（1）只有保守力的系统，才可引入相应的势能（2）计算势能必须规定零势能参考点（3）势能仅有相对意义，它与零势能点的选取有关，但两点间势能差与零势能点选取无关（4）势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的，不为单个物体所具有保守力与势能函数的关系一般说来，势能是位置的函数，若用E P (x,y,z)表示，那么zE F y E F x E F pz p y p x ∂∂-=∂∂-=∂∂-=,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=++=k z E j y E i x E k F j F i F F p p p z y x p E k z j yi x )( ∂∂+∂∂+∂∂-=pp E grdE -∇=-=质点所受保守力等于质点势能梯度的负值。