人教版九年级数学上册第22章：二次函数与平行四边形综合的压轴题(无答案)
在坐标平面内构造平行四边形压轴题
1．如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A
（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．若抛物线L2与抛物线L1关于直线x＝2对称．
（1）求抛物线L1与抛物线L2的解析式：（2）在抛物线L1上是否存在一点P，在抛物
线L2上是否存在一点Q，使得以BC为边，且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四
边形？若存在，求出P、Q两点的坐标：若不存在，请说明理由．
2．如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象M经过A（﹣1，0），C（2，﹣6）两点，顶
点为P．（1）求该二次函数的解析式和顶点P的坐标（2）设图象M的对称轴为l，点D
（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于l的对称
点为E，能否在图象M和l上分别找到点P，Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的是四边形
为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
3．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、
C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，
求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线
上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，
请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）
4．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A
（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（1）求抛物线的解析式和
直线AB的解析式．（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否
存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）
若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边
形时，直接写出满足条件的点P的坐标．
5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，直线y＝x+经过点A，与抛
物线的另一个交点为点C（3，m），线段PQ在线段AB上移动，PQ＝1，分别过点P、Q
作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D、G．（1）求抛物线的解析式；（2）设四
边形DEFG的面积为S，求S的最大值；（3）在线段PQ的移动过程中，以D，E，F，G
为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），
对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的
坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，
Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．
7.如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，
点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，
DC．
（1）求抛物线的函数表达式；（2）△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的
值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否
存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请
直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，
﹣3）顶点为D（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）点P在抛物线上，点Q在直线y＝x上，是否存在点P、Q使以点P、Q、C、O为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，
过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，
已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D
重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，
过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边
形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y
轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称
轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，
求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
11．如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点
B、C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动
点P（不与点B、C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、
Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标．
12．如图，对称轴为直线x＝1的抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，3）两点，与x轴的另
个交点为B，点D在y轴上，且OB＝3OD（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物
线上的一个动点P的横坐标为①当0＜t＜3时，求四边形CDBP的面积S与t的函数关
系式，并求出S的最大值 ②点Q在直线BC上，若以CD为边，点C、D、Q、P为顶点
的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
人教版初中数学九年级上册第22章：二次函数 练习题(含答案)
人教版初中数学九年级上册第22二次函数练习题一、选择题221axx a++-）提示：对于122-++=axaxy的图象，对称轴是直线ax21-=，当0>a时，021<-a，则抛物线的对称轴在y轴左侧，A、B、C、D四个选项均不符合；当0<a时，021>-a，则抛物线的对称轴在y轴右侧，只有B项图象符合，故选B2．抛物线247y x x=--的顶点坐标是（）A．(211)-，B．(27)-，C．(211)，D．(23)-，提示：11)2(114474222--=-+-=--=xxxxxy所以顶点坐标为(211)-，选A3．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图1所示，则点A(ac，bc)在（）．A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限提示：由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象可知：0,0><ca，∵对称轴0>x，在y轴右侧，即02>-ab，所以0>b，∴0,0><bcac，即点A(ac，bc)在第二象限选B4．把抛物线22y x=-向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A．22(1)y x=-+B．22(1)y x=--C．221y x=-+D．221y x=--提示：备选答案A是向左移，备选答案B是向右移，备选答案D是向下移，所以选D5．已知二次函数)0(2≠++=acbxaxy的图象如图2所示，有下列5个结论：①0>abc；②cab+<；③024>++cba；④bc32<；⑤)(bammba+>+，（1≠m的实数）其中正确的结论有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个A B C D图2提示：由图象可知：12,0,0=-><a b c a ，即b a 21-= ∴0>b 故①不正确；由1-=x 时，0<y 得0<+-c b a ，∴c a b +>，所以②不正确；由2=x 时，0>y ，即024>++c b a ，所以③正确；由b a 21-=及0<+-c b a 得④也正确；由1=x 时y 取最大值，故⑤正确，所以选B6．已知一次函数y = ax + b 的图象过点（－2，1），则关于抛物线y = ax 2－bx + 3的三条叙述： ① 过定点（2，1）， ② 对称轴可以是x = 1，③ 当a ＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3．其中所有正确叙述的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3提示：把(-2，1)代入b ax y +=得b a +-=21 把(-2，1)代入32+-=bx ax y 得3241++=b a ，上述两个同解，所以①成立，由对称轴1=x 得12=ab，得a b 2=，与b a +-=21矛盾，所以②不成立；由于y = ax 2－bx + 3与y 轴交于点(0，3)，所以抛物线的顶点最小值为3，③成立 ，所以选C二、填空题72＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m 的值为__________．提示：选择两组y x ,的值代入c bx x y ++=2得⎩⎨⎧++=-++=-c b c 12001 解得⎩⎨⎧-=-=12c b ∴122--=x x y 把2=x 代入122--=x x y 得 1144-=--=y 即1-=m8．抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋a 2＋2的一部分如图3所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是_________ 提示：抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋a 2＋2的对称轴为122-=-=aax 由图象可知抛物线与x 轴的一个交点为(-3，0)，到直线1-=x 的距离为2，∴另一个交点为(1，0)9．将抛物线22(1)3y x =+-向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为 ．提示：将抛物线22(1)3y x =+-向右平移1个单位为322-=x y ，再向上平移3个单位得到3322+-=x y 即22x y =图310．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图4所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．提示：由图象可知抛物线对称轴为1=x ，与x 轴交点(3，0)，可知另一交点为(-1，以一元二次方程220x x m -++=的解为11x =-，23x =；11．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图5所示，则点()P a bc ，在第 象限． 提示：由图象可知02,0,0<-><abc a ，所以0,0<<bc b 所以点()P a bc ，在第三象限12．如图6所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+- 的图象，那么a 的值是 ．提示：∵抛物线过原点O （0，0），∴012=-a∴1±=a ，又∵抛物线开口向下，∴0<a ∴1-=a13．如图7是一种带有黑白双色、边长是20cm 的正方形装饰瓷砖，用这样的四块瓷砖可以拼成如图8的图案．已知制作图7这样的瓷砖，其黑、白两部分所用材料的成本分别为0.02元／2cm 和0.01元／2cm ，那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是元（π取3.14，结果精确到0.01元）．图7 图8提示：设41圆半径为x ，阴影部分面积为40020441)20(2022+-=+-⨯=x x x x S ππ 因为阴影部分成本高，所以S 取最小值π400400-＝最小S ，π400＝白S图4图5图6所以最低成本＝73.68840001.040040002.0≈-⨯+-⨯πππ＝）（（元）三、解答题14．已知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B （1，0），且经过点C （2，8）。
(人教版)九年级上册数学第22章《二次函数》解答题
（人教版）九年级上册数学第22章《二次函数》解答题专题复习（含答案）一．解答题（共23小题）1．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是抛物线上的一个动点．（1）求直线BD的解析式；（2）当点P在第一象限时，求四边形BOCP面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BDP是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，求出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积．3．在水果销售旺季，某水果店购进一批优质水果，进价为20元/千克，利润不低于10%，且不超过40%，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.83229.628…售价x（元/千克）…22.62425.226…（1）某天这种水果的售价为24.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利168元，那么该天水果的售价为多少元？（3）售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大日利润是多少元？4．今年在全球大疫情的影响下，人们更加关注身边的空气质量．某电商代理销售A、B两种型号的智能空气净化器，已知每台A型智能空气净化器比每台B型智能空气净化器的售价高300元；4台A型的智能空气净化器的售价与5台B型的智能空气净化器的售价相等．（1）求每台A、B两种智能空气净化器的售价分别多少元？（2）若卖出每台A、B两种智能空气净化器的利润分别为200元与150元，七月份前平均每周可以分别卖出A、B型号智能空气净化器18台与20台；进入七月份后，开始降价促销，A、B两种型号的智能空气净化器都是每降价20元平均每周可多卖4台；问该电商要得到最大利润，问每台智能空气净化器应降价多少元，最大利润多少元？5．（2020春•岳麓区校级期末）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．（1）分别判断函数y＝x﹣1，y＝x2﹣2有没有不变值？如果有，请写出其不变长度；（2）函数y＝x2﹣bx﹣1且﹣2≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；（3）记函数y＝x2﹣4x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤5，求m的取值范围．6．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A 点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？7．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝2x在第一象限内交于点A（2，t）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过A点作直线AB平行x轴且交抛物线y＝ax2于点B，在x轴的正半轴上找一点C，使得OC＝AB，连接BC交y轴于点D，直线AD上是否存在一点Q使得△CAQ的面积与△CAB的面积相等？若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图1，抛物线y=−12x2+bx+c的对称轴为直线x=−32，与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD、PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG−√1010EG的值最小，求出PG−√1010EG的最小值．（3）如图2，点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，点K为平面内一点，当以A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时，请求出点N的坐标．9．有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展．如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）如图2，直线y=−34x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC．抛物线还满足：①a＜0，ab≠0，c＝2；①顶点D在以AB为直径的圆上．点P（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+c上任意一点，且t＝y0−√3x0．若t≤m+1136505恒成立，求m的最小值．10．如图所示，为了改造小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙的最大可使用长度12m）的空地上建造一个矩形绿化带．除靠墙一边（AD）外，用长为32m的栅栏围成矩形ABCD．设绿化带宽AB为xm，面积为Sm2（1）求S与x的函数关系式，并直接写求出x的取值范围；（2）绿化带的面积能达到128m2吗？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由；（3）当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为(−12，254)，点C（0，6）是抛物线与y的交点．（1）求抛物线与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左边）；（2）设直线y＝h（h为常数，0＜h＜6）与直线BC交于点D，与y交于点E，与AC交于点F，连AE，定点M 的坐标为（﹣2，0）．①求h为何值时，△AEF的面积S最大；①问：是否存在这样的直线y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）和点B（1，0），交y轴于点C（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标．13．已知抛物线解析式y=−12x2﹣2x+3（1）用配方法求该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）求该抛物线与x轴的交点坐标；（3）若把该抛物线向右平移3个单位，向下平移1个单位，求得到的抛物线解析式．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．15．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，△APC的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标．16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，对称轴为x＝﹣1，直线y＝﹣x+3与抛物线相交于A、D两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，且位于y＝﹣x+3的下方，求出△ADP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设点Q在y轴上，且满足∠OQA+∠OCA＝∠CBA，求CQ的长．17．如图，若m是正数，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A；直线a：y＝x+m与y轴交于点B；抛物线L：y＝x2+mx 的顶点为C，且L与x轴左交点为D．（1）若AB＝12，求m的值，此时在抛物线的对称轴上存在一点P使得△OBP的周长最小，求点P坐标；（2）当点C在直线l上方时，求点C与直线l距离的最大值；（3）在抛物线L和直线a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出m＝2020和m＝2020.5时“美点”的个数．18．如图1，抛物线W：y＝ax2﹣2的顶点为点A，与x轴的负半轴交于点D，直线AB交抛物线W于另一点C，点B的坐标为（1，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）过点C作CE⊥x轴，交x轴于点E，若AC平分∠DCE，求抛物线W的解析式；（3）若a=12，将抛物线W向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线W1，如图2，记抛物线W1的顶点为A1，与x轴负半轴的交点为D1，与射线BC的交点为C1．问：在平移的过程中，tan∠D1C1B是否恒为定值？若是，请求出tan∠D1C1B的值；若不是，请说明理由．19．在平面直角坐标系中，点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长．（1）如图1，取点M（1，0），则点M到直线l：y=12x﹣1的距离为多少？（2）如图2，点P是反比例函数y=4x在第一象限上的一个点，过点P分别作PM⊥x轴，作PN⊥y轴，记P到直线MN的距离为d0，问是否存在点P，使d0=2√105？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图3，若直线y＝kx+m与抛物线y＝x2﹣4x相交于x轴上方两点A、B（A在B的左边）．且∠AOB＝90°，求点P（2，0）到直线y＝kx+m的距离最大时，直线y＝kx+m的解析式．20．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（Ⅱ）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？21．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=−12x2+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x＝0和x＝5时所对应的函数值相等．一次函数y＝﹣x+3与二次函数y=−12x2+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y=−12x2+bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．23．函数y＝mx3m﹣1+4x﹣3是二次函数．（1）求m的值；（2）写出这个二次函数图象的对称轴：；（3）将解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：．参考答案与试题解析一．解答题（共23小题） 1．【解答】解：（1）对于y ＝﹣x 2+2x +3①，令x ＝0，则y ＝3，令y ＝﹣x 2+2x +3＝0，解得x ＝﹣1或3， 故点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）， ∵点D 与点C 关于x 轴对称，故点D （0，﹣3），设直线BD 的表达式为y ＝kx +b ，则{x =−30=3x +x ，解得{x =1x =−3，故直线BD 的表达式为y ＝x ﹣3；（2）连接BC ，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，由点B 、C 的坐标，同理可得，直线BC 的表达式为y ＝﹣x +3， 设点P （x ，﹣x 2+2x +3），则点H （x ，﹣x +3），则四边形BOCP 面积＝S △OBC +S △PHC +S △PHB =12×OB •OC +12×PH ×OB =12×3×3+12×3×（﹣x 2+2x +3+x ﹣3）=−32x 2+92x +92，∵−32＜0，故四边形BOCP 面积存在最大值，当x =32时，四边形BOCP 面积最大值为638，此时点P （32，154）；（3）存在，理由：①当∠PBD 为直角时，如上图所示，此时点P 与点C 重合，过点P 的坐标为（0，3）； ①当∠PDB 为直角时，由BD 的表达式知，直线BD 与x 轴的倾斜角为45°，当∠PDB 为直角时，即PD ⊥BD ，则直线PD 与x 轴负半轴的夹角为45°， 故设直线PD 的表达式为y ＝﹣x +t ，将点D 的坐标代入上式得，﹣3＝0+t ，解得t ＝﹣3， 故直线PD 的表达式为y ＝﹣x ﹣3①，联立①①并解得：x =3±√332， 故点P 的坐标为（3+√332，−9+√332）或（3−√332，−9−√332），综上，点P 的坐标为（3+√332，−9+√332）或（3−√332，−9−√332）或（0，3）．2．【解答】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），∴{0=x −x −3x 3=−3x ， ∴{x =−1x =2， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）由y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4得，D 点坐标为（1，4），∵y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴交于另一点B ，∴令y ＝0，﹣x 2+2x +3＝0，解得x ＝﹣1或3， ∴A （﹣1，0），B （3，0），∴CD =√(1−0)2+(4−3)2=√2， BC =√(3−0)2+(0−3)2=3√2， BD =√(3−1)2+(4−0)2=2√5，∵CD 2+BC 2＝（√2）2+（3√2）2＝20，BD 2＝（2√5）2＝20， ∴CD 2+BC 2＝BD 2，∴△BCD 是直角三角形； （3）如图，∵P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形， ∴点D 在PC 的垂直平分线上，∴点C 与点P 关于对称轴直线x ＝1对称， ∴点P 的坐标为（2，3）， ∵S 四边形PBCD ＝S △DCP +S △CBP ，∴S 四边形PBCD =12×2×（4﹣3）+12×2×3＝4． 3．【解答】解：（1）设水果的售价x 元/千克，而进价为20元/千克， 当利润不低于10%时，即售价不低于20（1+10%）＝22元/千克； 当利润不超过40%时，同理售价不高于28元/千克， 故x 的取值范围为：22≤x ≤28，把（22.6，34.8）和（24，32）代入一次函数表达式为y ＝kx +b ， 则{34.8=22.6x +x 32=24x +x ，解得{x =−2x =80， 故函数表达式为y ＝﹣2x +80（22≤x ≤28）， 当x ＝24.5时，y ＝﹣2×24.5+80＝31；售价为24.5元/千克，求当天该水果的销售量31千克；（2）设：利润为W ＝（x ﹣20）y ＝﹣2（x ﹣20）（x ﹣40）＝168， 解得：x ＝26或x ＝34（舍去），答：某天销售这种水果获利168元，那么该天水果的售价为26元/千克；（3）w ＝﹣2（x ﹣20）（x ﹣40），函数的对称轴为x ＝30， 而22≤x ≤28，故x ＝28（元/千克）时，函数取得最大值，此时，W ＝192（元）， 故：水果的售价为28元/千克时获利最大，最大利润192元． 4．【解答】解：（1）设每台A 、B 两种智能空气净化器的售价分别x 元和y 元，由题意得：{4x =5x x =x +300，解得{x =1500x =1200，故每台A 、B 两种智能空气净化器的售价分别1500元和1200元；（2）设每台智能空气净化器应降价x 元，此时利润最大，设总利润为w 元， 由题意得：w ＝（18+4x20）（200﹣x ）+（20+4x20）（150﹣x ）=−25x 2+32x +6600， ∵−25＜0，故w 有最大值，此时x =−x2x =40（元），w 的最大值为7240（元），故每台智能空气净化器应降价40元时，最大利润为7240元． 5．【解答】解：（1）由题意得：y ＝x ﹣1＝x ，无解，故不存在不变值； y ＝x 2﹣2＝x ，解得：x ＝2或﹣1，故存在不变值，q ＝2﹣（﹣1）＝3；（2）由题意得：y＝x2﹣bx﹣1＝x，解得：x=(x+1)±√x2+2x+52，q=√x2+2x+5，﹣2≤b≤3，解得：2≤q≤2√5．（3）如图1中，当图象G与直线y＝x的交点在第一象限时，P的最大值为5，最小值＞0，满足其不变长度q 满足0≤q≤5，∴m≤5，如图2中，当图象G经过原点时，m＝2，此时p的最大值为5最小值为0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，如图3中，当直线x＝m在y轴的左侧，翻折后的抛物线的解析式为y＝（x﹣2m+2）2﹣4，由{x =xx =(x −2x +2)2−4，消去y 得到x 2+（﹣4m +3）x +4m 2﹣8m ＝0， 当△＝0时，（﹣4m +3）2﹣4（4m 2﹣8m ）＝0， 解得m =−98，观察图象可知，m ＜−98时，满足条件，综上所述，满足条件的m 的值为2≤m ≤5或m ＜−98． 6．【解答】解：（1）∵点A （3，4）在直线y ＝x +m 上， ∴4＝3+m ． ∴m ＝1．设所求二次函数的关系式为y ＝a （x ﹣1）2．∵点A （3，4）在二次函数y ＝a （x ﹣1）2的图象上， ∴4＝a （3﹣1）2， ∴a ＝1．∴所求二次函数的关系式为y ＝（x ﹣1）2． 即y ＝x 2﹣2x +1．（2）①设P 、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E ． ∴PE ＝h ＝y P ﹣y E＝（x +1）﹣（x 2﹣2x +1） ＝﹣x 2+3x ．即h ＝﹣x 2+3x （0＜x ＜3）． ①存在．∵h ＝﹣（x −32）2+94， 又∵a ＝﹣1＜0，∴x =32时，h 的值最大，最大值为94．7．【解答】解：（1）把A （2，t ）代入y ＝2x 中，得t ＝4， ∴A （2，4），把A （2，4）代入y ＝ax 2中，得a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2； （2）设P 点的坐标为（m ，0）， 当OA ＝OP 时，有m 2＝22+42， 解得，m ＝2√5，或m ＝﹣2√5，∴此时P 点的坐标为P （﹣2√5，0）或（2√5，0）； 当OA ＝P A 时，有（m ﹣2）2+42＝22+42， 解得，m ＝0（舍），或m ＝4， ∴此时P 点坐标为（4，0），综上，在x 轴上存在一点P ，使△OAP 是以OA 为腰的等腰三角形，其P 点坐标为（﹣2√5，0）或（2√5，0）或（4，0）；（3）∵过A 点作直线AB 平行x 轴且交抛物线y ＝x 2于点B ， ∴B （﹣2，4）， ∴AB ＝4， ∵AB ＝OC ， ∴C （4，0），设直线BC 的解析式为：y ＝cx +d （c ≠0），则 {−2x +x =44x +x =0， 解得，{x =−23x =83，∴直线BC 的解析式为：y =−23x +83， ∴D （0，83），同理得，AC 的解析式为y ＝﹣2x +8，直线BO 的解析式为y ＝﹣2x ，直线AD 的解析式为y =23x +83，∴OB ∥AC ，当点Q 与B 点在直线AC 同旁时，∵△CAQ 的面积与△CAB 的面积相等，∴BQ ∥AC ，即Q 点在OB 上，为AD 与OB 的交点，联立方程组得：{x =−2x x =23x +83， 解得，{x =−1x =2， ∴此时Q （﹣1，2），当点Q 与B 点直线AC 两旁时，延长BA 到E ，使得AB ＝AE ＝4，过E 作EQ ′∥AC ，与AD 交于点Q ′，∴E （6，4），∵△CAQ 的面积与△CAB 的面积相等，∴EQ ′∥AC ，∴设EQ ′的解析式为y ＝﹣2x +n ，把E （6，4）代入y ＝﹣2x +n ，得n ＝16，∴EQ ′的解析式为y ＝﹣2x +16，联立方程组{x =−2x +16x =23x +83， 解得，{x =5x =6， ∴Q ′（5，6）；综上，直线AD 上存在一点Q 使得△CAQ 的面积与△CAB 的面积相等，其Q 点坐标为Q （﹣1，2）或（5，6）．8．【解答】解：（1）抛物线y =−12x 2+bx +c 的对称轴为直线x =−32，与x 轴交于点B （1，0）．∴{x =−32−12+x +x =0，解得{x =−32x =2， ∴抛物线的解析式为：y =−12x 2+−32x +2；（2）抛物线y =−12x 2−32x +2与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，∴A （﹣4，0），B （1，0），C （0，2）．∵点D 为线段AC 的中点，∴D （﹣2，1），∴直线BD 的解析式为：y =−13x +13， 过点P 作y 轴的平行线交直线EF 于点G ，如图1，设点P（x，−12x2−32x+2），则点G（x，−13x+13）．∴S△PDF=12xx⋅(x x−x x)=12×(−12x2−32x+2+13x−13)×2=−12x2−76x+53，当x=−76时，S最大，即点P（−76，22172），过点E作x轴的平行线交PG于点H，则tan∠EBA＝tan∠HEG=1 3，∴GH=√1010GE，故PG−√1010GE＝PG﹣HG＝PH为最小值，即点G为所求．联立{x=−12x2−32x+2x=−13x+3解得x1=−103，x2＝﹣1（舍去），故点E（−103，139），则PG−√1010GE的最小值为PH=22172−139=138．（3）①当AM是正方形的边时，（ⅰ）当点M在y轴左侧时（N在下方），如图2，当点M在第二象限时，过点A作y轴的平行线GH，过点M作MG⊥GH于点G，过点N作HN⊥GH于点H，∴∠GMA+∠GAM＝90°，∠GAM+∠HAN＝90°，∴∠GMA＝∠HAN，∵∠AGM＝∠NHA＝90°，AM＝AN，∴△AGM≌△NHA（AAS），∴GA＝NH＝4−32=52，AH＝GM，即y=−12x2−32x+2=52，解得x=−3±√52，当x=−3−√52时，GM＝x﹣（﹣4）=5−√52，y N＝﹣AH＝﹣GM=√5−52，∴x(−32，√5−52)．当x=−3+√52时，同理可得N（−32，−5+√52），当点M 在第三象限时，同理可得N （−32，−3+2√212）． （ⅱ）当点M 在y 轴右侧时，如图3，点M 在第一象限时，过点M 作MH ⊥x 轴于点H设AH ＝b ，同理△AHM ≌△MGN （AAS ），则点M （﹣4+b ，b −52）．将点M 的坐标代入抛物线解析式可得：b =3±√292（负值舍去） y N ＝y M +GM ＝y M +AH =1+2√292， ∴N （−32，1+2√292）． 当点M 在第四象限时，同理可得N （−32，−1+2√292）． ①当AM 是正方形的对角线时，当点M 在y 轴左侧时，过点M 作MG ⊥对称轴于点G ，设对称轴与x 轴交于点H ，如图4．∵∠AHN ＝∠MGN ＝90°，∠NAH ＝∠MNG ，MN ＝AN ，∴△AHN ≌△NGN （AAS ），设点N （−32，m ），则点M （−32−x ，52+m ），将点M 的坐标代入抛物线解析式可得m 1=12．m 2=−52（舍去），∴N (−32，12)，当点M 在y 轴右侧时，同理可得N （−32，−92）． 综上所述：N 点的坐标为：(−32，√5−52)或（−32，−5+√52）或（−32，−3+2√212）或（−32，1+2√292）或（−32，−1+2√292）或(−32，12)或（−32，−92）． 9．【解答】（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 为“和睦四边形”；（2）解：在直线y =−34x +6中，当x ＝0时，y ＝6；当y ＝0时，x ＝8，∴B （0，6），A （8，0），∴OB ＝6，OA ＝8，∴AB =√xx 2+xx 2=10，由题意得：AQ ＝5t ，AP ＝4t ，BQ ＝10﹣5t ，OP ＝8﹣4t ，连接PQ ，∵xx xx =5x 4x =54，xx xx =108=54， ∴xx xx =xx xx ，又∵∠BAO ＝∠QAP ，∴△AQP ∽△ABO ，∴∠APQ ＝∠AOB ＝90°，∴QP =√xx 2−xx 2=3t ，∵四边形BOPQ 为“和睦四边形”，∴①当OB ＝OP 时，6＝8﹣4t ，∴t =12；①当OB ＝BQ 时，6＝10﹣5t ，∴t =45；①当OP ＝PQ 时，8﹣4t ＝3t， ∴t =87；①当BQ ＝PQ 时，10﹣5t ＝3t ， ∴t =54，综上所述，t 的值为12或45或87或54；（3）解：在抛物线y ＝ax 2+bx +2中，顶点D 的坐标为（−x 2x ，8x −x 24x ），C （0，2）， ∵CD ＝OC ，∴CD 2＝OC 2，∴(8x −x 24x −2)2+(−x 2x )2=22①，∵D 在以AB 为直径的圆上，且在抛物线对称轴上， ∴△ADB 为等腰直角三角形， ∴x x =12xx ，∴8x −x 24x =12⋅√x 2−8x −x①， 联立①①，且ab ＜0，得a =−13，b =2√33，∴抛物线为x =−13x 2+2√33x +2，∵点P （x 0，y 0）是抛物线y ＝ax 2+bx +c 上任意一点，∴y 0=−13x 02+2√33x 0+2，∴t ＝y 0−√3x 0=−13x 02−√33x 0+2，∴当x 0=−√32时，t 有最大值94，∵t≤m+1136505恒成立，∴t最大值≤m+1136 505，∴94≤m+1136505，∴m≥1 2020，∴m的最小值为12020．10．【解答】解：（1）S＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x，（10≤x＜16）；（2）根据题意得，﹣2x2+32x＝128，解得：x＝8，当AB＝CD＝8时，BC＝16＞12，故绿化带的面积不能达到128m2；（3）∵S＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，∴当x＝10时，绿化带面积最大，S最大＝120m2．11．【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为(−12，254)，设抛物线的解析式为y＝a（x+12）2+254，又C（0，6）在抛物线上，∴6=14a+254，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+6，∴A（﹣3，0），B（2，0）；（2）设直线AC的解析式为y＝2x+6，同理可求得直线BC的解析式为y＝﹣3x+6，①E （0，h ），F （12h ﹣3，h ）， ∴S =12×y E ×EF =12×h ×（3−12h ）=−14h 2+32h =−14（h ﹣3）2+94，当h ＝3时，△AEF 的面积S 最大；①可求D （2−13h ，h ）， ∵M 的坐标为（﹣2，0），∴BM ＝4，当MB ＝MD 时，MD ＝4，∴(4−13x )2+h 2＝16，∴h =125或h ＝0，∵0＜h ＜6，∴h =125，∴D （65，125）；当MB ＝DB 时，19h 2+h 2＝16， ∴h ＝±6√105， ∴h =6√105，∴D （2−2√105，6√105）； 当MD ＝BD 时，∵MB 的中点为（0，0）∴D 点的横坐标为0，∴2−13h ＝0，∴h ＝6，∵0＜h ＜6，∴此时不成立；综上所述，存在直线y ＝h 使△BDM 是等腰三角形，当h =125时，点D 的坐标为（65，125）；当h =6√105时，点D 的坐标为（2−2√105，6√105）． 12．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +2）（x ﹣1）＝a （x 2+x ﹣2），故﹣2a ＝2，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣x +2；（2）设M （m ，n ），然后依据S △AOM ＝2S △BOC ，列方程可得：12⋅xx ×|x |=2×12×xx ×xx ， ∴12×2×|−x 2−x +2|=2，∴m 2+m ＝0或m 2+m ﹣4＝0，解得x =0或−1或−1±√172， ∴符合条件的点M 的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或(−1+√172，−2)或 (−1−√172，−2)． 13．【解答】解：（1）y =−12x 2﹣2x +3=−12（x 2+4x +4）+3+2=−12（x +2）2+5，则该抛物线的开口方向向下、对称轴是直线x ＝﹣2，顶点坐标是（﹣2，5）；（2）令y ＝0，则−12x 2﹣2x +3＝0． 整理，得y ＝0，x 2+4x ﹣6＝0．所以x ＝﹣2±√10，所以该抛物线与x 轴的交点坐标是（﹣2+√10，0），（﹣2−√10，0）；（3）抛物线y =−12（x +2）2+5向右平移3个单位，向下平移1个单位，得到的抛物线解析式：y =−12（x +2﹣3）2+5﹣1即y =−12（x ﹣1）2+4． 14．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +3）（x ﹣1）＝a （x 2+2x ﹣3）＝ax 2+2ax ﹣3a ，即﹣3a ＝2，解得：x =−23， 故抛物线的表达式为：x =−23x 2−43x +2，则点C （0，2），函数的对称轴为：x ＝1；（2）连接OP ，设点x (x ，−23x 2−43x +2)，则S ＝S 四边形ADCP ＝S △APO +S △CPO ﹣S △ODC =12×xx ×xx +12×xx ×|x x |−12×xx ×xx =12×3×(−23x 2−43x +2)+12×2×(−x )−12×2×1=−x 2−3x +2， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x =−32时，S 的最大值为174． 15．【解答】解：（1）∵二次函数过A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴设二次函数解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1），∵二次函数过C 点（0，﹣3），∴﹣3＝a （0+3）（0﹣1），解得，a ＝1，∴y ＝（x +3）（x ﹣1）＝x 2+2x ﹣3即二次函数解析式为y ＝x 2+2x ﹣3；（2）设直线AC 解析式为：y ＝kx +b ，∵A （﹣3，0），C （0，﹣3），∴{−3x +x =0x =−3， 解得，{x =−1x =−3， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，过点P 作x 轴的垂线交AC 于点G ，设点P 的坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），则G （x ，﹣x ﹣3），∵点P 在第三象限，∴PG ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x ﹣3﹣x 2﹣2x +3＝﹣x 2﹣3x ，∴x △xxx =12xx ⋅xx =12(−x 2−3x )×3=−32x 2−92x =−32(x +32)2+278， ∴当x =−32时，x 最大=278，点P （−32，−154）．，即S 的最大值是278，此时点P 的坐标是（−32，−154）．16．【解答】解：（1）∵对称轴为x ＝﹣1，∴−x 2x =−1， ∴b ＝2a ，∴y ＝ax 2+2ax ﹣5，∵y ＝﹣x +3与x 轴交于点A （3，0），将点A 代入y ＝ax 2+2ax ﹣5可得a =13；（2）y =13x 2+23x ﹣5与y ＝﹣x +3的交点D （﹣8，11），∴AD ＝11√2，设P （m ，13m 2+23m ﹣5），则过点P 与直线y ＝﹣x +3垂直的直线解析式为y ＝x +b ，将点P 代入解析式得到13m 2+23m ﹣5＝m +b ，∴b =13m 2−13m ﹣5， ∴过点P 与直线y ＝﹣x +3垂直的直线解析式为y ＝x +13m 2−13m ﹣5，两直线的交点为T （−16m 2+16m +4，16m 2−16m ﹣1）， ∴TP =√2|16m 2+56m ﹣4|=√26|（m +52）2−1214|， ∴当m =−52时，TP 有最小值为121√224， ∴P （−52，−5512），S =12×11√2×121√224=133124； （3）当Q 点在y 轴正半轴上时，过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点G ，连接QA ，由题意可求：OA ＝3，BO ＝5，OC ＝5，∴△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBA ＝45°，∵∠QAG ＝∠OCA +∠AQO ，∠OQA +∠OCA ＝∠CBA ，∴∠QAG ＝45°，∴△AQG 是等腰直角三角形，∴GQ ＝AG ，∵∠OCA ＝∠QCG ，∠QGC ＝∠AOC ，∴△OAC ∽△GQC ，∴xx xx=xx xx ， 在Rt △AOC 中，AC =√34， ∴3xx =xx +√34， ∴AG =3√342，∴xx xx =xx xx ，∴3xx=√34xx，∴CQ＝17；在y轴负半轴上截取OQ'＝OQ，连接AQ'，则∠OQA＝∠OQ'A，∴∠OQ'A+∠OCA＝∠OQA+∠OCA＝∠CBA＝45°，∴Q'也满足题意，此时Q'C＝OQ﹣OC＝CQ﹣OC﹣OC＝17﹣5﹣5＝7；综上所述：CQ的长为7或17．17．【解答】解：（1）当x＝0吋，y＝x+m＝m，∴B（0，m），∵AB＝8，而A（0，﹣m），∴m﹣（﹣m）＝12，∴m＝6，∴L：y＝x2+6x，∴L的对称轴x＝﹣3，又知O、D两点关于对称轴对称，则OP＝DP∴OB+OP+PB＝OB+DP+PB∴当B、P、D三共线时△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，当x＝﹣3吋，y＝x+6＝3，∴P（﹣3，3 ）；（2）y＝（x+x2）2−x24，∴L的顶点C(−x2，−x24)，∵点C在l上方，∴C与l的距离=−x24−(−x)=−14(x−2)2+1≤1，∴点C与l距离的最大值为1；（3）当m＝2020时，共有4042个美点，当m＝2020.5时，共有1011个美点．①当m＝2020时，抛物线解析式L：y＝x2+2020x直线解析式a：y＝x+2020联立上述两个解析式可得：x1＝﹣2020，x2＝1，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣2020和1之间（包括﹣2020和1）共有2022个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2022个整数点∴总计4044个点，∵这两段图象交点有2个点重复重复，∴美点”的个数：4044﹣2＝4042（个）；①当m＝2020.5时，抛物线解析式L：y＝x2+2020.5x，直线解析式a：y＝x+2020.5，联立上述两个解析式可得：x1＝﹣2020.5，x2＝1，∴当x取整数时，在一次函数y＝x+2020.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y ＝x 2+2020.5x 图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知﹣2020.5到1之间有1011个偶数，因此“美点”共有1011个．故m ＝2020时“美点”的个数为4042个，m ＝2020.5时“美点”的个数为1011个．18．【解答】解：（1）∵抛物线W ：y ＝ax 2﹣2的顶点为点A ，∴点A （0，﹣2）设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，∴{x =−2x +x =0 解得{x =2x =−2 ∴抛物线解析式为：y ＝2x ﹣2；（2）如图1，过点B 作BN ⊥CD 于N ，∵AC 平分∠DCE ，BN ⊥CD ，BE ⊥CE ，∴BN ＝BE ，∵∠BND ＝∠CED ＝90°，∠BDN ＝∠CDE ，∴△BND ∽△CED ，∴xx xx =xx xx ， ∴xx xx=xx xx ， ∵AO ∥CE ， ∴xx xx =xx xx =12=xx xx∴CE ＝2BE ，CD ＝2DB ，设BE ＝x ，BD ＝y ，则CE ＝2x ，CD ＝2y ，∵CD 2＝DE 2+CE 2，∴4y 2＝（x +y ）2+4x 2，∴（x +y ）（5x ﹣3y ）＝0，∴y =53x ， ∴点C （x +1，2x ），点D （1−53x ，0）∵点C ，点D 是抛物线W ：y ＝ax 2﹣2上的点，∴{2x =x (x +1)2−20=x (1−53x )2−2∴x +1＝（1−53x ）2，∴x 1＝0（舍去），x 2=3925，∴0＝a （1−53×3925）2﹣2，∴a =2532， ∴抛物线解析式为：y =2532x 2﹣2；（3）tan ∠D 1C 1B 恒为定值，理由如下：由题意可得抛物线W 1的解析式为：y =12x 2﹣2﹣m ，设点D 1的坐标为（t ，0）（t ＜0），∴0=12t 2﹣2﹣m ，∴2+m =12t 2， ∴抛物线W 1的解析式为：y =12x 2−12t 2， ∵抛物线W 1与射线BC 的交点为C 1， ∴{x =2x −2x =12x 2−12x 2 解得：{x 1=2−x x 1=2−2x ，{x 2=2+x x 2=2+2x（不合题意舍去）， ∴点C 1的坐标（2﹣t ，2﹣2t ），如图2，过点C 1作C 1H ⊥x 轴，过点C 作CG ⊥x 轴，∴C 1H ＝2﹣2t ，OH ＝2﹣t ，∴D 1H ＝D 1O +OH ＝2﹣t +（﹣t ）＝2﹣2t ，∴C 1H ＝D 1H ，且C 1H ⊥x 轴，∴∠C 1D 1H ＝45°，∵y =12x 2﹣2与x 轴交于点D ，∴点D （﹣2，0）∵y ＝2x ﹣2与y =12x 2﹣2交于点C ，点A∴点C （4，6）∴GC ＝6，DG ＝OD +OG ＝2+4＝6，∴DG ＝CG ，且CG ⊥x 轴，∴∠GDC ＝45°＝∠C 1D 1H ，∴C 1D 1∥CD ，∴∠D 1C 1B ＝∠DCB ，∴tan ∠D 1C 1B ＝tan ∠DCB ，如图3，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，∵∠CDB ＝45°，BF ⊥CD ，BD ＝OD +OB ＝2+1＝3，∴∠FDB ＝∠FBD ＝45°，∴DF ＝BF ，DB =√2DF ＝3，∴DF ＝BF =3√22 ∵点D （﹣2，0），点C （4，6），∴CD =√(−2−4)2+(0−6)2=6√2，∴CF ＝CD ﹣DF =9√22， ∴tan ∠D 1C 1B ＝tan ∠DCB =xx xx =13，∴tan ∠D 1C 1B 恒为定值．19．【解答】解：（1）如图1，设直线l ：y =12x ﹣1与x 轴，y 轴的交点为点A ，点B ，过点M 作ME ⊥AB ， ∵直线l ：y =12x ﹣1与x 轴，y 轴的交点为点A ，点B ， ∴点A （2，0），点B （0，﹣1），且点M （1，0），∴AO ＝2，BO ＝1，AM ＝OM ＝1，∴AB =√xx 2+xx 2=√1+4=√5，∵tan ∠OAB ＝tan ∠MAE =xx xx =xx xx ， ∴√5=xx 1， ∴ME =√55， ∴点M 到直线l ：y =12x ﹣1的距离为√55； （2）设点P （a ，4x ），（a ＞0） ∴OM ＝a ，ON =4x ， ∴MN =√xx 2+xx 2=√x 2+16x 2， ∵PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∠MON ＝90°，∴∠PMO ＝∠PNO ＝∠MON ＝90°，∴四边形PMON 是矩形，∴S △PMN =12S 矩形PMON ＝2，∴12×MN ×d 0＝2， ∴√x 2+16x 2×2√105=4， ∴a 4﹣10a 2+16＝0，∴a 1＝2，a 2＝﹣2（舍去），a 3＝2√2，a 4＝﹣2√2（舍去），∴点P （√2，2√2）或（2√2，√2），（3）如图3，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ， 设点A （a ，a 2﹣4a ），点B （b ，b 2﹣4b ），∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC +∠BOD ＝90°，且∠AOC +∠CAO ＝90°，∴∠BOD ＝∠CAO ，且∠ACO ＝∠BDO ，∴△AOC ∽△BOD ， ∴xx xx =xx xx ， ∴x 2−4x−x =x x 2−4x ∴ab ﹣4（a +b ）+17＝0，∵直线y ＝kx +m 与抛物线y ＝x 2﹣4x 相交于x 轴上方两点A 、B ，∴a ，b 是方程kx +m ＝x 2﹣4x 的两根，∴a +b ＝k +4，ab ＝﹣m ，∴﹣m ﹣4（k +4）+17＝0，∴m ＝1﹣4k ，∴y ＝kx +1﹣4k ＝k （x ﹣4）+1，∴直线y ＝k （x ﹣4）+1过定点N （4，1），∴当PN ⊥直线y ＝kx +m 时，点P 到直线y ＝kx +m 的距离最大，设直线PN 的解析式为y ＝cx +d ，∴{1=4x +x 0=2x +x 解得{x =12x =−1 ∴直线PN 的解析式为y =12x ﹣1，∴k ＝﹣2，∴m ＝1﹣4×（﹣2）＝9，∴直线y ＝kx +m 的解析式为y ＝﹣2x +9．20．【解答】解：（Ⅰ）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y ＝a （x ﹣3）2+5（a ≠0）， 将（8，0）代入y ＝a （x ﹣3）2+5，得：25a +5＝0，解得：a =−15， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y =−15（x ﹣3）2+5（0＜x ＜8）．（Ⅱ）当y ＝1.8时，有−15（x ﹣3）2+5＝1.8， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．21．【解答】解：（1）y ＝x 2﹣6x +5＝（x ﹣3）2﹣4；（2）二次函数的图象的对称轴是x ＝3，顶点坐标是（3，﹣4）；（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x ＝3，∴当x ≤3时，y 随x 的增大而减小．22．【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝c ，即（0，c ）．由当x ＝0和x ＝5时所对应的函数值相等，得（5，c ）．将（5，c ）（1，0）代入函数解析式，得{−252+5x +x =x −12+x +x =0， 解得{x =52x =−2．故抛物线的解析式为y =−12x 2+52x ﹣2；（2）联立抛物线与直线，得{x =−12x 2+52x −2x =−x +3，解得{x =2x =1，{x =5x =−2， 即B （2，1），C （5，﹣2）．由勾股定理，得AB =√(2−1)2+(1−0)2=√2；（3）如图： ，四边形ABCN 是平行四边形，证明：∵M 是AC 的中点，∴AM ＝CM ．∵点B 绕点M 旋转180°得到点N ，∴BM ＝MN ，∴四边形ABCN 是平行四边形，又∵AB =√2，BC ＝3√2，AC ＝2√5，∴AC 2＝AB 2+BC 2，∴∠ABC ＝90°，∴四边形ABCN 是矩形．23．【解答】解：（1）∵函数y ＝mx 3m ﹣1+4x ﹣3是二次函数，∴3m ﹣1＝2，解得：m ＝1；（2）由（1）得：y ＝x 2+4x ﹣3，故这个二次函数图象的对称轴为：直线x =−42×1=−2；故答案为直线x ＝﹣2：（3）∵y ＝x 2+4x ﹣5＝（x +2）2﹣9∴将解析式化成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式为：y ＝（x +2）2﹣9．故答案为y＝（x+2）2﹣9．。
人教版数学九年级上册 第22章 《二次函数》章末复习题(含答案)
第22章《二次函数》章末复习题限时：120分钟满分：120分一．选择题（每题3分，共36分）1．抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标为（）A．（3，﹣4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣3，4）2．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（，y3），则y1，y 2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y23．对抛物线：y＝﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（）A．与x轴有两个交点B．开口向上C．与y轴的交点坐标是（0，3）D．顶点坐标是（1，﹣2）4．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h＝﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是（）A．1米B．5米C．6米D．7米5．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2+bx+c＝0的一个根7．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x+1）2+2 B．y＝﹣（x﹣1）2+4 C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+48．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）＝1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x29．已知二次函数y＝ax2的图象开口向上，则直线y＝ax﹣1经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限10．下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是（）A．B．C．D．11．已知拋物线y＝﹣x2+2，当1≤x≤5时，y的最大值是（）A．2 B．C．D．12．小明从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＜0，②abc＞0，③a﹣b+c＞0，④2a﹣3b＝0，⑤4a+2b+c＞0，你认为其中正确信息的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（每题4分，共,20分）13．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，则抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过象限．14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是．15．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是．16．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，在飞机着陆滑行中，最后2s滑行的距离是m．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限．设m＝a+b+c，则m的取值范围是．三．解答题（共64分）18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．19．为倡导节能环保，降低能源消耗，提倡环保型新能源开发，造福社会．某公司研发生产一种新型智能环保节能灯，成本为每件40元．市场调查发现，该智能环保节能灯每件售价y（元）与每天的销售量为x（件）的关系如图，为推广新产品，公司要求每天的销售量不少于1000件，每件利润不低于5元．（1）求每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设该公司日销售利润为P元，求每天的最大销售利润是多少元？（3）在试销售过程中，受国家政策扶持，毎销售一件该智能环保节能灯国家给予公司补贴m（m≤40）元．在获得国家每件m元补贴后，公司的日销售利润随日销售量的增大而增大，则m的取值范围是（直接写出结果）．20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，则点P的坐标为；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．22．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…0 ﹣2 ﹣2 0 4 …（1）求该二次函数的表达式；（2）当y≥4时，求自变量x的取值范围．23．如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx ﹣3与x轴的另一个交点为点B（2，0），点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；（3）连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．参考答案一．选择1．解：∵y＝x2﹣6x+5，＝x2﹣6x+9﹣9+5，＝（x﹣3）2﹣4，∴抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标为（3，﹣4）．故选：A．2．解：根据题意，得y 1＝1+6+c＝7+c，即y1＝7+c；y 2＝4﹣12+c＝﹣8+c，即y2＝﹣8+c；y3＝9+2+6﹣18﹣6+c＝﹣7+c，即y3＝﹣7+c；∵7＞﹣7＞﹣8，∴7+c＞﹣7+c＞﹣8+c，即y1＞y3＞y2．故选：B．3．解：A、∵△＝22﹣4×（﹣1）×（﹣3）＝﹣8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；B、∵二次项系数﹣1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；C、当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），本选项错误；D、∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2），本选项正确．故选：D．4．解：∵高度h和飞行时间t满足函数关系式：h＝﹣5（t﹣1）2+6，∴当t＝1时，小球距离地面高度最大，∴h＝﹣5×（1﹣1）2+6＝6米，故选：C．5．解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1＝0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）×1＝﹣4k+16≥0，k≤4；②当k﹣3＝0时，y＝2x+1，与x轴有交点．故选：B ．6．解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，故A 选项错误； ∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，故C 选项错误；∵对称轴x ＝1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；故B 选项错误； ∵对称轴x ＝1，∴另一个根为1+2＝3，故D 选项正确． 故选：D ．7．解：由原抛物线解析式可变为：y ＝（x +1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2），与y 轴交点的坐标为（0，3）， 又由抛物线绕着它与y 轴的交点旋转180°，∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点（0，3）中心对称， ∴新的抛物线的顶点坐标为（1，4）， ∴新的抛物线解析式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+4． 故选：B ．8．解：用作图法比较简单，首先作出y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）图象，任意画一个（开口向上的，与x 轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1，这时与x 轴的交点就是x 1，x 2，画在同一坐标系下，很容易发现： 答案是：x 1＜a ＜b ＜x 2． 故选：C ．9．解：∵二次函数y＝ax2的图象开口向上，∴a＞0；又∵直线y＝ax﹣1与y轴交于负半轴上的﹣1，∴y＝ax﹣1经过的象限是第一、三、四象限．故选：D．10．解：A、根据图象可知，函数在实数范围内是增函数，即函数y随x增大而增大；故本选项错误；B、根据图象可知，函数在对称轴的左边是减函数，函数y随x增大而减小；函数在对称轴的右边是增函数，即函数y随x增大而增大；故本选项错误；C、根据图象可知，函数在两个象限内是减函数，但是如果不说明哪个象限内是不能满足题意的；故本选项错误；D、根据图象可知，函数在实数范围内是减函数，即函数y随x增大而减小；故本选项正确．故选：D．11．解：∵拋物线y＝﹣x2+2的二次项系数a＝﹣＜0，∴该抛物线图象的开口向下；而对称轴就是y轴，∴当1≤x≤5时，拋物线y＝﹣x2+2是减函数，＝﹣+2＝．∴当1≤x≤5时，y最大值故选：C．12．解：①由二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上可知a＞0，图象与y轴交点在负半轴，c＜0，正确；②由图象可知x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，正确；③对称轴x＝﹣＞0，a＞0，b＜0，abc＞0，正确；④对称轴x＝﹣＝，﹣3b＝2a，2a﹣3b＝﹣6b，错误；⑤由图象可知x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，正确．所以①②③⑤四项正确．故选：C．二．填空题（共5小题）13．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，∴△＝b2+4c＜0，∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c中，二次项系数﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，∵判别式＝（﹣b）2﹣4×（﹣1）×c＝b2+4c＜0，∴抛物线与x轴无交点，∴抛物线在x轴的下方，∴抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过第三、四象限；故答案为：三、四．14．解：∵点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x＝＝3．故答案为：x＝3．15．解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∴c＝3．取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3．故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．16．解：当y取得最大值时，飞机停下来，则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当t＝18时，y＝594，所以600﹣594＝6（米）故答案是：6．17．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（0，﹣3）、（﹣1，0），∴c ＝﹣3，a ﹣b +c ＝0， 即b ＝a ﹣3， ∵顶点在第四象限， ∴﹣＞0，＜0，又∵a ＞0， ∴b ＜0，∴b ＝a ﹣3＜0，即a ＜3，b 2﹣4ac ＝（a +c ）2﹣4ac ＝（a ﹣c ）2＞0∵a ﹣b +c ＝0， ∴a +b +c ＝2b ＜0， ∴a +b +c ＝2b ＝2a ﹣6， ∵0＜a ＜3，∴a +b +c ＝2b ＝2a ﹣6＞﹣6， ∴﹣6＜a +b +c ＜0． ∴﹣6＜m ＜0． 故答案为：﹣6＜m ＜0． 三．解答题（共6小题）18．解：（1）令y ＝0，即0＝ax 2﹣4ax ， 解得x 1＝0，x 2＝4， ∴A （0，0），B （4，0）．答：点A 、B 的坐标为：（0，0），（4，0）； （2）①设直线PC 解析式为y ＝kx +b ， 将点C （2，1），P （1，﹣a ）代入解得：k ＝1+a ，b ＝﹣3a ﹣1，∴直线PC 解析式为y ＝（1+a ）x ﹣3a ﹣1， 当x ＝4时，y ＝3a +3， 所以点Q 的纵坐标为3a +3．②∵当点Q 在B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，3a+3≥0，∴a≥﹣1∴当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线只能与点Q相交，∴﹣1≤a＜0当a＞0时，抛物线开口向上，只能与点P相交，当x＝1时，y＝﹣a，y＝﹣3a，所以抛物线与点P不相交．综上：a的取值范围是：﹣1≤a＜019．解：（1）设每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝kx+b，把（1500，55）与（2000，50）代入y＝kx+b得，，解得：，∴每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝﹣x+70，当y≥45时，﹣x+70≥45，解得：x≤2500，∴自变量x的取值范围1000≤x≤2500；（2）根据题意得，P＝（y﹣40）x＝（﹣x+70﹣40）x＝﹣x2+30x＝﹣（x ﹣1500）2+22500，∵﹣＜0，P有最大值，当x＜1500时，P随x的增大而增大，∴当x＝1500时，P的最大值为22500元，答：每天的最大销售利润是22500元；（3）由题意得，P＝（﹣x+70﹣40+m）x＝﹣x2+（30+m）x，∵对称轴为x＝50（30+m），∵1000≤x≤2500，∴x的取值范围在对称轴的左侧时P随x的增大而增大，50（30+m）≥2500，解得：m≥20，∴m的取值范围是：20≤m≤40．故答案为：20≤m≤40．20．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，把x＝0代入中，得：y＝2，∴C点坐标是（0，2），又B（3，0）∴直线BC的解析式为，∵∴∴＝，由S△BCD ＝2S△AOC得：∴，整理得：m2﹣3m+2＝0解得：m1＝1，m2＝2∵0＜m＜3∴m的值为1或2；（3）存在，理由：设：点M的坐标为：（m，n），n＝﹣x2+x+2，点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），①当BC是平行四边形的边时，当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B，同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M），故：m+3＝1，n﹣2＝s或m﹣3＝1，n+2＝s，解得：m＝﹣2或4，故点M坐标为：（﹣2，﹣）或（4，﹣）；②当BC为对角线时，由中点公式得：m+1＝3，n+3＝2，解得：m＝2，故点M（2，2）；综上，M的坐标为：（2，2）或（﹣2，）或（4，）．21．解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点在抛物线上，∴，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣；（2）连接BC，如图1所示，∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，连接BC，如图1所示，设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），且过B（5，0），C（0，﹣）∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，当x＝2时，y＝1﹣＝﹣，∴P（2，﹣），故答案为：（2，﹣）；（3）存在点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形．如图2所示，①当点N 在x 轴下方时， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，C （0，﹣），∴N 1（4，﹣）；②当点N 在x 轴上方时，如图，过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D ，在△AN 2D 与△M 2CO 中，∴△AN 2D ≌△M 2CO （ASA ）， ∴N 2D ＝OC ＝，即N 2点的纵坐标为．∴x 2﹣2x ﹣＝，解得x ＝2+或x ＝2﹣， ∴N 2（2+，），N 3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N 的坐标为（4，﹣）或（2+，）或（2﹣，）． 22．解：（1）根据表中可知：点（﹣1，﹣2）和点（0，﹣2）关于对称轴对称， 即对称轴是直线x ＝﹣，设二次函数的表达式是y ＝a （x +）2+k ，把点（﹣2，0）和点（0，﹣2）代入得：，解得：a＝1，k＝﹣，y＝（x+）2﹣＝x2+x﹣2，所以该二次函数的表达式是y＝x2+x﹣2；（2）当y＝4时，y＝x2+x﹣2＝4，解得：x＝﹣3或2，所以当y≥4时，自变量x的取值范围是x≤﹣3或x≥2．23．解：（1）在y＝﹣x﹣3中，当y＝0时，x＝﹣6，即点A的坐标为：（﹣6，0），将A（﹣6，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3；（2）设点D的坐标为：（m，m2+m﹣3），设DE交AC于F，则点F的坐标为：（m，﹣m﹣3），∴DF＝﹣m﹣3﹣（m2+m﹣3）＝﹣m2﹣m，∴S△ADC ＝S△ADF+S△DFC＝DF•AE+•DF•OE＝DF•OA＝×（﹣m2﹣m）×6 ＝﹣m2﹣m＝﹣（m+3）2+，∵a＝﹣＜0，∴抛物线开口向下，存在最大值，∴当m＝﹣3时，S△ADC又∵当m＝﹣3时，m2+m﹣3＝﹣，∴存在点D（﹣3，﹣），使得△ADC的面积最大，最大值为；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D（﹣4，﹣3），根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．②作点D（﹣4，﹣3）关于x轴的对称点D′（﹣4，3），直线AD′的解析式为y＝x+9，由，解得或，此时直线AD′与抛物线交于D（8，21），满足条件，综上所述，满足条件的点D坐标为（﹣4，﹣3）或（8，21）。
【3套】人教版九年级数学上册第22章“二次函数”综合单元测试卷(含答案)
人教版九年级数学上册第22章“二次函数”综合单元测试卷（含答案）一．选择题1．抛物线y ＝﹣（x ﹣3）2+1的顶点坐标为（ ）A ．（3，1）B ．（﹣3，1）C ．（1，3）D ．（1，﹣3）2．函数y ＝﹣+3与y ＝﹣﹣2的图象的不同之处是（ ） A ．对称轴 B ．开口方向C ．顶点D ．形状 3．已知二次函数＝B 2﹣B ﹣2（≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当﹣为整数时，ab 的值是（ ）A ．或1B ．或1C ．或D ．或4．已知二次函数y ＝ax 2+x +a （a ﹣2）的图象经过原点，则a 的值为（ ）A ．0或2B ．0C ．2D ．无法确定5．将抛物线＝2+4+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的表达式是（ ）A ．＝（+1）2﹣4B ．＝﹣（+1）2﹣4C ．＝（+3）2﹣4D ．＝﹣（+3）2﹣46．已知二次函数y ＝2（x ﹣3）2+1，下列说法：①其图象开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝﹣3；③当x ＝3时，函数有最大值1；④当x ＜3时，y 随x 增大而减小，其中正确说法的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知抛物线＝B 2（＞0），过A （﹣2，1），B （1，2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）A ．1＞0＞2B ．2＞0＞1C ．1＞2＞0D ．2＞1＞08．已知二次函数y ＝ax 2+k 的图象如图所示，则对应a ，k 的符号正确的是（ ）A．a＞0，k＞0 B．a＞0，k＜0 C．a＜0，k＞0 D．a＜0，k＜0 9．若关于x的方程x2﹣mx+n＝0没有实数解，则抛物线y＝x2﹣mx+n与x轴的交点有（）A．2个B．1个C．0个D．不能确定10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为x＝1．给出下列结论，其中正确的结论有（）①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可由抛物线y＝ax2平移得到，则a的值是．12．已知函数y＝（m+3）x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为13．已知二次函数＝2+2B+2，当＞2时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是．14．已知抛物线y＝﹣2（x+k）2﹣3，当x≥1时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是．15．如果函数y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数，则m的值为．16．如图，抛物线与直线交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）抛物线的解析式；（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止．若使点M在整个运动中用时最少，则点E的坐标．三．解答题17．已知二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（﹣2，3）（1）求a的值，并写出这个二次函数的解析式；（2）求出此抛物线上纵坐标为3的点的坐标．18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（3，0）和点B（4，3）．（1）求二次函数的表达式（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．19．已知开口向上的抛物线y＝ax2﹣4x+|a|﹣6经过点（0，﹣5）．（1）求a的值．（2）当x取何值时，y有最小值？并求出这个最小值．20．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C．（1）求B、C的坐标；（2）点P是抛物线对称轴l上的一动点，连结PA、PC，当PA+PC的值最小时，求点P 的坐标．21．二次函数y＝（x﹣2）2﹣4与x轴交于A、B两点，（A点在B点左边）顶点为C，（1）填下表并在如图方格中画出二次函数y＝（x﹣2）2﹣4的图象；．（2）求S△ABC22．如图，足球场上守门员徐杨在O处抛出一高球，球从离地面1m处的点A飞出，其飞行的最大高度是4m，最高处距离飞出点的水平距离是6m，且飞行的路线是抛物线一部分．以点O为坐标原点，竖直向上的方向为y轴的正方向，球飞行的水平方向为x轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．（参考数据：4≈7）（1）求足球的飞行高度y（m）与飞行水平距离x（m）之间的函数关系式；（2）在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？（精确到个位）（3）若对方一名1.7m的队员在距落点C3m的点H处，跃起0.3m进行拦截，则这名队员能拦到球吗？23．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点与C点是直线y＝x﹣3与x轴、y轴的交点．D为线段AB上一点．（1）求抛物线的解析式及A点坐标．（2）若点D在线段OB上，过D点作x轴的垂线与抛物线交于点E，求出点E到直线BC 的距离的最大值．（3）D为线段AB上一点，连接CD，作点B关于CD的对称点B′，连接AB′、B′D①当点B′落坐标轴上时，求点D的坐标．②在点D的运动过程中，△AB′D的内角能否等于45°，若能，求此时点B′的坐标；若不能，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：抛物线y＝﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标为（3，1）．故选：A．2．解：y＝﹣+3与y＝﹣﹣2，a＝，b＝0，对称轴都是y轴，开口方向都向上，形状相同，y＝x2+3的顶点坐标是（0，3），y＝﹣﹣2的顶点坐标是（0，﹣2），即它们的顶点坐标不同．故选：C．3．解：∵二次函数＝2﹣﹣2（≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），∴a＞0，﹣＞0，a+b﹣2＝0，∴a＞0，b＞0，b＝2﹣a，∴2﹣a＞0，解得，a＜2，∴0＜a＜2，∵a﹣b为整数，∴a﹣（2﹣a）＝2a﹣2为整数，∴a＝，b＝或a＝1，b＝1或a＝，b＝，∴当a＝，b＝时，ab＝，当a＝1，b＝1时，ab＝1，当a＝，b＝时，ab＝，由上可得，ab的值是或1，故选：A．4．解：∵二次函数y＝ax2+x+a（a﹣2）的图象经过原点，∴0＝a×02+0+a（a﹣2）且a≠0，解得，a＝2，故选：C．5．解：抛物线＝2+4+3＝（x+2）2﹣1，则它的顶点坐标为（﹣2，﹣1），点（﹣2，﹣1）向左平移1个单位，再向下平移3个单位所得对应点的坐标为（﹣3，﹣4），所以所得抛物线的解析式为＝（+3）2﹣4．故选：C．6．解：∵二次函数y＝2（x﹣3）2+1，∴该函数图象开口向上，故①错误；其图象的对称轴为直线x＝3，故②错误；当x＝3时，函数有最小值1，故③错误；当x＜3时，y随x增大而减小，故④正确；故选：A．7．解：∵抛物线＝2（＞0），∴抛物线开口向上，顶点是原点，对称轴为y轴，有最小值0，∵|﹣2|＞|1|，∴1＞2＞0，故选：C．8．解：∵二次函数y＝ax2+k的图象开口向下，顶点在y轴上，∴a＜0，k＞0，故选：C．9．解：x2﹣mx+n＝0没有实数解，则抛物线y＝x2﹣mx+n与x轴没有交点，故选：C．10．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确，∵x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故③错误，④∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，把b＝﹣2a代入得：3a+c＞0，故④正确；故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：由于抛物线y＝ax2平移后的形状不变，故a不变，所以a＝﹣1．故答案是：﹣1．12．解：∵函数y＝（m+3）x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，∴或（m+3）＝0，解得，m＝﹣1或m＝﹣3，故答案为：m＝﹣1或m＝﹣3．13．解：二次函数＝2+2+2的对称轴是直线y＝﹣＝﹣m，a＝1＞0，抛物线的图象开口向上，当x＞﹣m时，y随x的增大而增大，∵当＞2时，y随x的增大而增大，∴﹣m≤2，解得：m≥﹣2，故答案为：m≥﹣2．14．解：∵y＝﹣2（x+k）2﹣3，∴对称轴为x＝﹣k，∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，∵当x≥1时，y随x的增大而减小，∴﹣k≤1，解得k≥﹣1，故答案为：k≥﹣1．15．解：∵y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数，∴m2+m＝2，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣2．故答案为：﹣2．16．解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y＝x2+mx+n，得．解得．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，故答案为y＝x2﹣x+3；（2）∵A（0，3），C（3，0），∴OA＝OC＝3，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°，过点E作EN⊥y轴于N，如图2．在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，∴点M在整个运动中所用的时间为+＝DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，∴四边形OCD′N是矩形，∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．对于y＝x2﹣x+3，当y＝0时，有x2﹣x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝3．∴D（2，0），OD＝2，∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，∴NE＝AN＝AO﹣ON＝3﹣1＝2，∴点E的坐标为（2，1），故答案为（2，1）．三．解答题（共8小题）17．解：（1））∵抛物线y＝ax2经过点（﹣2，3），∴4a＝3，∴，∴二次函数的解析式为y＝；（2）∵抛物线上点的纵坐标为3，∴3＝，解得x＝±2，∴此抛物线上纵坐标为3的点的坐标为（﹣2，3），（2，3）．18．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3）．∴，解得，∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵y═x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为x＝2．19．解：（1）∵开口向上的抛物线y＝ax2﹣4x+|a|﹣6经过点（0，﹣5），∴，解得，a＝1，即a的值是1；（2）由（1）知a＝1，则y＝x2﹣4x+1﹣6＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∴当x＝2时，y取得最小值，这个最小值是﹣9．20．解：（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x＝3或﹣1，x＝0，则y＝﹣3，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）；（2）如图，函数的对称轴为：x＝1，点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC交对称轴于点P，则点P为所求，将点BC的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：故直线BC的表达式为：y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，故点P（1，﹣2）．21．解：（1）当x＝0时，y＝4﹣4＝0，当x＝2时，y＝0﹣4＝﹣4，故答案为：0，﹣4，函数图象如下：（2）S △ABC ＝×AB ×|y C |＝＝8．22．解：（1）当h ＝4时，y ＝a （x ﹣6）2+4，又A （0，1） ∴1＝a （0﹣6）2+4，∴a ＝﹣，∴y ＝﹣（x ﹣6）2+4；（2）令y ＝0，则0＝﹣（x ﹣6）2+4，解得：x 1＝4+6≈13，x 2＝﹣4+6＜0（舍去）∴球飞行的最远水平距离是13米；（3）当x ＝13﹣3＝10时，y ＝＞1.7+0.3＝2， ∴这名队员不能拦到球．23．解：（1）当x ＝0时，y ＝ax 2+bx +6＝6，则C （0，6）， 设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣6）， 把C （0，6）代入得a •1•（﹣6）＝6，解得a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣（x +1）（x ﹣6），即y ＝﹣x 2+5x +6；（2）连接AC ，与对称轴交点即为所求点M ，设AC 所在直线的解析式为y ＝mx +n ，将A （6，0），C （0，6）代入，得：，解得：，则AC 所在直线解析式为y ＝﹣x +6，又y ＝﹣x 2+5x +6＝﹣（x ﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x ＝，在直线y ＝﹣x +6中当x ＝时，y ＝，则M 的坐标为（，）；（3）设P 点坐标为（x ，﹣x 2+5x +6）， 存在4个点P ，使△ACP 为直角三角形．PC 2＝x 2+（﹣x 2+5x ）2，PA 2＝（x ﹣6）2+（﹣x 2+5x +6）2，AC 2＝62+62＝72，当∠PAC ＝90°，∵PA 2+AC 2＝PC 2，∴（x ﹣6）2+（﹣x 2+5x +6）2+72＝x 2+（﹣x 2+5x ）2，整理得x 2﹣4x ﹣12＝0，解得x 1＝6（舍去），x 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，﹣8）； 当∠PCA ＝90°，∵PC 2+AC 2＝PA 2，72+x 2+（﹣x 2+5x ）2＝（x ﹣6）2+（﹣x 2+5x +6）2，整理得x 2﹣4x ＝0，解得x 1＝0（舍去），x 2＝4，此时P 点坐标为（4，10）； 当∠APC ＝90°，∵PA 2+AC 2＝PC 2，∴（x ﹣6）2+（﹣x 2+5x +6）2+x 2+（﹣x 2+5x ）2＝72， 整理得x 3﹣10x 2+20x +24＝0，x 3﹣10x 2+24x ﹣4x +24＝0， x （x 2﹣10x +24）﹣4（x ﹣6）＝0， x （x ﹣4）（x ﹣6）﹣4（x ﹣6）＝0，（x ﹣6）（x 2﹣4x ﹣4）＝0， 而x ﹣6≠0，所以x 2﹣4x ﹣4＝0，解得x 1＝2+2，x 2＝2﹣2，此时P 点坐标为（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）；综上所述，符合条件的点P 的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．24．解：（1）∵B 点与C 点是直线y ＝x ﹣3与x 轴、y 轴的交点． ∴B （3，0），C （0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为，令y ＝0，，解得x 1＝﹣2，x 2＝3， ∴A （﹣2，0），（2）设E 点到直线BC 的距离为d ，E 点横坐标为m ，F （m ，m ﹣3）， ∵B （3，0），C （0，﹣3）， ∴∠OBC ＝45°，如图1，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，则△EFH 为等腰直角三角形，∴EH ＝，EF ＝y F ﹣y E ＝m ﹣3﹣（，＝（0≤m ≤3），＝，当时，EF 的最大值为，∴d＝EF＝＝．即E到BC的最大距离为．（3）①点B′在以C为圆心，CB为半径的圆C上；（Ⅰ）当B′点落在x轴上时，D（0，0）；1（Ⅱ）当B′点落在y轴上时，如图2，CB′＝CB＝3，∵∠OB′D＝45°∴OD＝OB’＝3﹣3，∴；②分别画出图形进行讨论求解：（Ⅰ）∠B′DA＝45°时，如图2，OB′＝3﹣3，B′（0，3﹣3）（Ⅱ）如图3，连接CB′，∠B′DA＝∠CBD＝45°，∴DB′∥BC，可得四边形DB′CB是菱形，B′（﹣3，﹣3）．（Ⅲ）∠B′AD＝45°，如图4，连接CB′，过点B′分别作坐标轴的垂线，垂足为E、F，设线段FB’的长为m，B′E＝AE＝2﹣m，可得CF＝5﹣m，在直角三角形CFB’中，m2+（5﹣m）2＝（3）2，解得m＝，故B′（），（Ⅳ）如图5，∠AB′D＝45°，连接CB’，过点B′作y轴的垂线，垂足为点F，由轴对称性质可得，∠CB′D＝∠CBD＝45°，所以当∠AB′D＝45°时，点A在线段CB′上，∴，设线段FB′的长为2m，FC＝3m，（2m）2+（3m）2＝（3，解得：m＝，B′（﹣，综合以上可得B′坐标为（0，）或或（）或（﹣）．人教版九年级上册第二十二章二次函数单元检测（含答案）(2)一．选择题1．若函数y ＝（3﹣m ）x ﹣x +1是二次函数，则m 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．±3D ．92．已知抛物线y ＝x 2+bx +c 的顶点坐标为（1，﹣3），则抛物线对应的函数解析式为（ ） A ．y ＝x 2﹣2x +2B ．y ＝x 2﹣2x ﹣2C ．y ＝﹣x 2﹣2x +1D ．y ＝x 2﹣2x +13．在同一坐标系中，一次函数y ＝ax +1与二次函数y ＝x 2+a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数y ＝﹣2x 2﹣8x +m 的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1＜x 2＜﹣2，则（ ） A ．y 1＜y 2 B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1、y 2的大小不确定5．在抛物线y ＝x 2﹣4x +m 的图象上有三个点（﹣3，y 1），（1，y 2），（4，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ．y 2＜y 3＜y 1B ．y 1＜y 2＝y 3C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 3＜y 2＜y 16．抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）过A （4，4），B （2，m ）两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0＜d ≤1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≤2或m ≥3B ．m ≤3或m ≥4C ．2＜m ＜3D ．3＜m ＜47．已知二次函数y ＝（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数y 的最小值为5，则h 的值是（ ） A ．﹣1B ．﹣1或5C ．5D ．﹣58．二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2+3图象的对称轴是（ ） A ．直线x ＝1B ．直线x ＝﹣1C ．直线x ＝3D ．直线x ＝﹣39．当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为4，则a 的值为（ ） A ．﹣2B ．4C ．4或3D ．﹣2或310．已知函数y ＝，当y ＝5时，x 的值是（ ）A ．6B ．﹣C ．﹣或6D ．±或611．如图为二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象，在下列说法中：①ac ＜0；②a +b +c ＞0；③方程ax 2+bx +c ＝0的根是x 1＝﹣1，x 2＝3； ④b 2﹣4ac ＞0；⑤当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；正确的说法有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二．填空题12．若函数是二次函数，则m 的值为 ．13．如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①y ＝ax 2；②y ＝bx 2；③y ＝cx 2；④y ＝dx 2．比较a ，b ，c ，d 的大小，用“＞”连接为 ．14．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1，点A 、B 是二次函数图象上的两点，AB ∥x 轴且与y 轴交于点C （点C 在二次函数图象于y 轴交点的下方），有下列结论：①ac ＜0；②方程ax 2+bx +c ＝0的两根是x 1＝﹣1，x 2＝3；③函数有最小值，最小值是a +b +c ；④当x ＞0时，y 随x 的增大而减小；⑤BC ＝3AC ．其中正确的结论的序号是 ．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y ＝a 1x 2，②y ＝a 2x 2，③y ＝a 3x 2的图象，比较a 1、a 2、a 3大小是 ．16．在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y ＝x 2﹣2x ﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，﹣2）在x 轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x 轴上方）．因为抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣2在2＜x ＜3这一段经过x 轴，也就是说，当x 取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x 2﹣2x ﹣2＝0在2、3之间有根．进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程x 2﹣2x ﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a﹣b．则M、N的大小关系为M N．（填“＞”、“＝”或“＜”）18．用配方法将二次函数y＝x2+x化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是．三．解答题19．已知抛物线y＝x2﹣4x+3．（1）该抛物线的对称轴是，顶点坐标；（2）选取适当的数据填入如表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；（3）根据图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围．20．设实数a，b满足：3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b＝0，求u＝9a2+72b+2的最小值．21．抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6．（1）用配方法求顶点坐标，对称轴； （2）x 取何值时，y 随x 的增大而减小？（3）x 取何值时，y ＝0；x 取何值时，y ＞0；x 取何值时，y ＜0．22．点P （x ，y ）是抛物线y ＝x 2上的一个动点（不与原点重合），点A 的坐标为（3，0），若△OPA 的面积为S ．（1）求出S 关于x 的函数解析式；（2）S 是否存在最小值？若存在，请求出S 的最小值；若不存在，请说明理由．23．已知二次函数y ＝x 2+x +a 的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，且+＝1，求a 的值．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2﹣x +c 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，直线y ＝﹣x +b 与抛物线相交于点A ，D ，与y轴交于点E ，已知OB ＝，OC ＝2．（1）求a ，b ，c 的值；（2）点P 是抛物线上的一个动点，若直线PE ∥AC ，连接PA 、PE ，求tan ∠APE 的值； （3）动点Q 从点C 出发，沿着y 轴的负方向运动，是否存在某一位置，使得∠OAQ +∠OAD＝30°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，用20m的篱笆围成一个矩形的花圃．设连墙的一边为x（m），矩形的面积为y（m2）．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x＝3时，矩形的面积为多少？26．合肥周谷堆农副产品批发市场某商铺购进一批红薯，通过商店批发和在淘宝网上进行（百斤）与时间x（x为整数，销售，首月进行了销售情况的统计．其中商店日批发量y1（百斤）与时间x（x为单位：天）的部分对应值如下表所示；在淘宝网上的日销售量y2整数，单位：天）的部分对应值如图所示．（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y与x之间的1函数关系式；（2）求y与x之间的函数关系式；2（3）设这个月中，日销售总量为y，求y与x之间的函数关系式；并求出当x为何值时，日销售总量y最大，最大值为多少？参考答案一．选择题1．解：∵函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，∴m2﹣7＝2，且3﹣m≠0，解得：m＝﹣3．故选：B．2．解：A、y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，顶点坐标为（1，1），不合题意；B、y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，顶点坐标为（1，﹣3），符合题意；C、y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3，顶点坐标为（﹣1，3），不合题意；D、y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，顶点坐标为（1，0），不合题意．故选：B．3．解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选：C．4．解：∵y＝﹣2x2﹣8x+m，∴此函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝﹣2，∵x1＜x2＜﹣2，两点都在对称轴左侧，a＜0，∴对称轴左侧y随x的增大而增大，∴y1＜y2．故选：A．5．解：y＝x2﹣4x+m的对称轴为x＝2，（﹣3，y1），（1，y2），（4，y3）三点到对称轴的距离分别为5，1，2，∴y1＞y3＞y2，故选：A．6．解：把A（4，4）代入抛物线y＝ax2+bx+3得：16a+4b+3＝4，∴16a+4b＝1，∴4a+b＝，∵对称轴x＝﹣，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，∴∴，∴||≤1，∴或a，把B（2，m）代入y＝ax2+bx+3得：4a+2b+3＝m2（2a+b）+3＝m2（2a+﹣4a）+3＝m﹣4a＝m，a＝，∴或，∴m≤3或m≥4．故选：B．7．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5，解得：h＝5或h＝1（舍）．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．8．解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3图象的对称轴是直线x＝1，故选：A．9．解：当y ＝4时，有x 2﹣2x +1＝4， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝3．∵当a ≤x ≤a +1时，函数有最小值4， ∴a ＝3或a +1＝﹣1， ∴a ＝3或a ＝﹣2， 故选：D ．10．解：∵函数y ＝，∴当x ≤2时，x 2﹣1＝5，得x 1＝﹣，x 2＝（舍去），当x ＞2时，x ﹣1＝5，得x ＝6，故当y ＝5时，x 的值是或6，故选：C ． 11．解：∵抛物线开口方向、与y 轴的交点在x 轴的下方， ∴a ＞0，c ＜0， ∴ac ＜0，故①正确； 由图象可知当x ＝1时，y ＜0， ∴a +b +c ＜0，故②不正确；由图象可知抛物线与x 轴交与（﹣1，0）和（3，0）两点，∴方程ax 2+bx +c ＝0的根是x 1＝﹣1，x 2＝3，且b 2﹣4ac ＞0，故③、④正确； ∵抛物线与x 轴交与（﹣1，0）和（3，0）两点，∴抛物线对称轴为直线x ＝＝1，且抛物线开口向下，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故⑤正确； 综上可知正确的结论有4个， 故选：A ．二．填空题（共7小题）12．解：若y ＝（m ﹣3）x m 2﹣7是二次函数， 则m 2﹣7＝2，且m ﹣3≠0， 故（m ﹣3）（m +3）＝0，m ≠3，解得：m 1＝3（不合题意舍去），m 2＝﹣3， ∴m ＝﹣3． 故答案为：﹣3．13．解：由抛物线的开口方向和大小可知，a ＞b ＞0，c ＜d ＜0， ∴a ＞b ＞d ＞c ， 故答案为：a ＞b ＞d ＞c ．14．解：由抛物线的开口向下可得a ＜0，由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可得c ＞0， ∴ac ＜0，故①正确；由抛物线的与x 轴的交点的横坐标分别为﹣1和3可得，y ＝0即ax 2+bx +c ＝0时，x 1＝﹣1，x 2＝3，故②正确；由对称轴x ＝1及a ＜0可得，当x ＝1时，函数有最大值，最大值是a +b +c ，故③错误； 结合图象可得：当0＜x ＜1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，故④错误． 当a ＝﹣1，C （0，﹣5）时，抛物线的解析式为y ＝﹣（x +1）（x ﹣3）， 令y ＝﹣5，得﹣（x +1）（x ﹣3）＝﹣5， 整理得x 2﹣2x ﹣8＝0， 解得x 1＝﹣2，x 2＝4， 此时AC ＝2，BC ＝4， 可得BC ＝2AC ，故⑤错误． 综上所述：①、②正确． 故答案为①、②． 15．解：∵三个二次函数的图象开口都向上， ∴a 1、a 2、a 3都为正数，∵在y ＝ax 2中，a 的绝对值越大，抛物线开口越小， ∴a 1＞a 2＞a 3， 故答案为：a 1＞a 2＞a 3．16．解：观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为﹣1时，函数值大于0，因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在﹣1＜x＜0这一段经过x轴，也就是说，当x取﹣1、0之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在﹣1、0之间有根．我们取﹣1和0的平均数﹣0.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为﹣1的函数值异号，所以这个根在﹣1与﹣0.5之间，取﹣1和﹣0.5的平均数﹣0.75，计算可知，对应的数值为0.0625，与自变量为﹣0.5的函数值异号，所以这个根在﹣0.75与﹣0.5之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于﹣0.5﹣（﹣0.75）＝0.25＜0.3，该近似解为﹣0.75，故答案为﹣0.75．17．解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，M﹣N＝4a+2b﹣（a﹣b）＝4a+2b+c﹣（a﹣b+c）＜0，即M＜N，故答案为：＜18．解：y＝x2+x，＝x2+x+﹣，＝（x+）2﹣．故应填：y＝（x+）2﹣．三．解答题（共8小题）19．解：（1）抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴是x＝﹣＝﹣＝2，x＝﹣＝﹣＝2，y＝＝＝﹣1，顶点坐标是（2，﹣1）；（2）列表：描点：在平面直角坐标系中描出各点，连线：用平滑的线连接起来；（3）观察图象，函数图象在x轴上方的部分相应自变量的取值范围，得x＜1或x＞3时，y＞0．20．解：由3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b＝5（a﹣2b）+（a﹣2b）（3a﹣4b）＝（a﹣2b）（3a﹣4b+5）＝0，（6分）所以a﹣2b＝0，或3a﹣4b+5＝0．（8分）①当a﹣2b＝0，即a＝2b时，u＝9a2+72b+2＝36b2+72b+2＝36（b+1）2﹣34，于是b＝﹣1时，u的最小值为﹣34，此时a＝﹣2，b＝﹣1．（13分）②当3a﹣4b+5＝0时，u＝9a2+72b+2＝16b2+32b+27＝16（b+1）2+11，于是b＝﹣1时，u的最小值为11，此时a＝﹣3，b＝﹣1．（18分）综上可知，u的最小值为﹣34．（20分）21．解：（1）∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x＝2；（2）∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，∴当x＞2时，y随x的增大而减小；（3）令y＝0，即﹣2x2+8x﹣6＝0，解得x＝1或3，抛物线开口向下，∴当x＝1或x＝3时，y＝0；当1＜x＜3时，y＞0；当x＜1或x＞3时，y＜0．22．解：（1）根据题意得：S＝OA•y＝x2；（2）当x＝0时，S最小，最小值为0．23．解：y ＝x 2+x +a 的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点， ∴x 1+x 2＝﹣1，x 1•x 2＝a ，∵+＝＝＝1，∴a ＝﹣1+或a ＝﹣1﹣；∵△＝1﹣4a ＞0， ∴a ＜，∴a ＝﹣1﹣；24．解：（1）∵OB ＝，OC ＝2，∴B （，0），C （0，2），把B （，0），C （0，2）代入y ＝ax 2﹣x +c 得，解得，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣x +2，当y ＝0时，﹣x 2﹣x +2＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝，则A （﹣2，0），把A （﹣2，0）代入y ＝﹣x +b 得﹣1+b ＝0，解得b ＝﹣1；（2）易得直线AC 的解析式为y ＝x +2，（0，﹣1），∵直线PE ∥AC ，∴直线PE 的解析式为y ＝x ﹣1，解方程组得或，则P 点坐标为（﹣3，﹣4）或（，0）；当P 点坐标为（，0），即P 点与B 点重合，tan ∠APE ＝＝＝，此时∠ABH＝30°，当P 点坐标为（﹣3，﹣4）时，作AH ⊥PE 于H ，如图2，PB ＝＝8，∵S △APB ＝×4×3＝6，∴AH＝＝，∴BH＝AH＝，∴PH＝8﹣＝，在Rt△APH中，tan∠APH＝＝＝，综上所述，tan∠APE的值为或；（3）存在．如图2，在Rt△OAC中，tan∠OAC＝＝，∴∠CAO＝30°，∠ACO＝60°，∴AC＝2OC＝4，∵∠OAQ+∠OAD＝30°，∴∠CAQ＝∠OAD，作QF⊥AC于F，如图，设Q（0，t），在Rt△CQF中，CQ＝2﹣t，CF＝CF＝，FQ＝，∴AF＝AC﹣CF＝4﹣＝3+t，∵∠QAF＝∠OAE，∴Rt△AQF∽Rt△AEO，∴FQ：OE＝AF：AO，即（2﹣t）：1＝（3+t）：2，解得t＝，此时Q（0，），易得Q（0，）关于x轴的对称点（0，﹣）也满足条件，综上所述，点Q的坐标为（0，）或（0，﹣）．25．解：（1）设连墙的一边为x （m ），矩形的面积为y （m 2）， 则另一边长为：（20﹣2x ）m ，∴y 关于x 的函数解析式为：y ＝x （20﹣2x ）＝﹣2x 2+20x ；（2）当x ＝3时，矩形的面积为：y ＝﹣2×32+20×3＝42（cm 2）．26．解（1）根据观察可设y 1＝ax 2+bx +c ，将（0，0），（5，25），（10，40）代入，得：，解得，∴y 1与t 的函数关系式为：y 1＝﹣x 2+6x （0≤x ≤30，且为整数）；（2）当0≤x ≤10时，设y 2＝kx ， ∵（10，40）在其图象上， ∴10k ＝40， ∴k ＝4，∴y 2与t 的函数关系式为：y 2＝4x ， 当10≤x ≤30时，设y 2＝mx +n ，将（10，40），（30，60）代入得，解得，∴y 2与x 的函数关系式为：y 2＝x +30，综上所述，y 2＝；（3）依题意得y ＝y 1+y 2，当0≤x ≤10时，y ＝﹣x 2+6x +4x ＝﹣x 2+10x ＝﹣（x ﹣25）2+125，∴x ＝10时，y 最大＝80；当10＜x ≤30时，y ＝﹣x 2+6x +x +30＝﹣x 2+7x +30＝﹣（x ﹣）2+，∵x 为整数，∴x ＝17或18时，y 最大＝91.2， ∵91.2＞80，∴当x ＝17或18时，y 最大＝91.2（百件）．人教版九年级数学上册第22章二次函数单元测试卷含答案一、选择题（共8题；共24分）1.二次函数y=x2-2x+3顶点坐标是（）A. （-1，-2）B. （1，2）C. （-1，2）D. （0，2）2.已知抛物线y=(x−4)2-3与y轴交点的坐标是（）A. （0，3）B. （0，-3）C. （0，）D. （0，-）3.二次函数y= 的图象（）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位4.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为（）A. y=2(x-1)2-3B. y=2(x-1)2+3C. y=2(x+1)2-3D. y=2(x+1)2+35.已知二次函数的图象如下图所示，则四个代数式，，，中，值为正数的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个6.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①2a ﹣b=0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣2）2﹣2．其中正确的是（）A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④7.已知一次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，-4），则下列结论中错误的是（）A. b2＞4acB. ax2+bx+c≥-6C. 若点（-2，m），（-5，n）在抛物线上，则m＞nD. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1二、填空题（共10题；共30分）9.若抛物线的开口向上，则的取值范围是________．10.抛物线的顶点坐标是________．11.若A（，），B（，），C（1，）为二次函数y= +4x﹣5的图象上的三点，则、、的大小关系是________．12.抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为：________．13.把二次函数y=﹣2x2+4x+3化成y=a（x﹣m）2+k的形式是________．14.如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________．15.将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为________16.二次函数y=x2+（2m+1）x+（m2﹣1）有最小值﹣2，则m=________．17.若二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是________．18.抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件：（1）4a﹣b=0；（2）a﹣b+c＞0；（3）与x轴有两个交点，且两交点的距离小于2．以下有四个结论：①a＜0；②c＞0；③ac= b2；④ ＜a＜．则其中正确结论的序号是________．三、解答题（共9题；共66分）19.如图，一块矩形草地的长为100m，宽为80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，这时草坪的面积为y（m2）．求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．20.已知抛物线C1：y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点．（1）求k的值；（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k？请写出具体的平移方法；（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k上，且n＜t，直接写出m的取值范围．21.直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图像指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．22.如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），B两点，交y轴于点D．（1）求点B、点D的坐标，（2）判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．23.某产品每件成本28元，在试销阶段产品的日销售量y（件）与每件产品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示．为维持市场物价平衡，最高售价不得高出83元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？24.已知，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点D为CB的中点，将线段DB绕点D旋转，点B的对应点为点G，当点G 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点G的坐标；（3）如图2，若点D为直线BC或直线AC上的一点，E为x轴上一动点，抛物线对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．25.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方），若FG=2 DQ，求点F的坐标．26.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．27.已知如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，M是AC的中点，点N在AB上（不同于A、B），将△ANM绕点M逆时针旋转90°得△A1PM（1）画出△A1PM（2）设AN=x，四边形NMCP的面积为y，直接写出y关于x的函数关系式，并求y的最大或最小值．参考答案一、单选题1.B2.C3.C4.C5.A6.D7.C8.C二、填空题9.a＞2 10.（0，-1）11.＜＜12.y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）13.y=﹣2（x﹣1）2+5 14.直线x=2 15.16.17.1 18.①三、解答题19.解：设中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，草坪的面积为y（m2），根据题意得出：y=100﹣80﹣80x﹣100x+x2=x2﹣180x+8000（0＜x＜80）20.解：（1）根据题意得：△=16﹣8k=0，解得：k=2；（2）C1是：y1=2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2，抛物线C2是：y2=2（x+1）2﹣8．则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；（3）当x=1时，y2=2（x+1）2﹣8=0，即t=0．在y2=2（x+1）2﹣8中，令y=0，解得：x=1或﹣3．则当n＜t时，即2（x+1）2﹣8＜0时，m的范围是﹣3＜m＜1．21.解：∵y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，∴x=0时，y=6，∴A（0，6），y=0时，x=8，∴B（8，0），∵过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），BC=5，∴C（3，0）．设抛物线m的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8），将A（0，6）代入，得24a=6，解得a= ，∴抛物线m的解析式为y= （x﹣3）（x﹣8），即y= x2﹣x+6；函数图像如下：当抛物线m的函数值大于0时，x的取值范围是x＜3或x＞8．22.解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，∵与x轴交于点A（3，0），∴0=4a+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，令x=0，可得y=3∴B点坐标为（﹣1，0），D点坐标为（0，3）；（2）∵A（3，0），D（0，3），C（1，4），∴AD==3，CD==，AC==2，∴AD2+CD2=（3）2+（）2=20=（2）2=AC2，∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形，∴S △ACD=AD•CD=×3×=3．23.解：（1）当30＜x≤40时，设此段的函数解析式为：y=kx+b，解得，k=﹣3，b=156∴当30＜x≤40时，函数的解析式为：y=﹣3x+156；当40＜x≤80时，设此段函数的解析式为：y=mx+n，解得，m=，n=56，∴当40＜x≤80时，函数的解析式为：y=；当80＜x≤83时，y=16；由上可得，y与x之间的函数关系式是：y=；（2）当30＜x≤40时，w=（x﹣28）y=（x﹣28）（﹣3x+156）=﹣3x2+240x﹣4368=﹣3（x﹣40）2+432∴当x=40时取得最大值，最大值为w=432元；当40＜x≤80时，w=（x﹣28）y=（x﹣28）（）==，∴当x=70时，取得最大值，最大值为w=882元；当80＜x≤83时，w=（x﹣28）×16∴当x=83时，取得最大值，最大值为w=880元；由上可得，当x=70时，每日点的销售利润最大，最大为882元，即要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为70元，此时每日销售利润是882元．24.（1）由A（-3，0）和B（2，0），得：即= ax²+bx+4∴∴∴.（2）易得C（0,4），则BC= .由可对称轴为x= ,则可设点G的坐标为，∵点D是BC的中点∴点D的坐标为，由旋转可得，DG=DB∴……………∴………∴点G的坐标为或（3）①当BE为对角线时，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以此时D即为对称轴与AC 的交点或对称轴对BC的交点，F为点D关于x轴的对称点，设，∵C，A，∴，∴，∴，∴当时，，∴D，∴F；易得。
人教版九年级数学上册 第22章二次函数 综合测试卷
人教版九年级数学上册第22章二次函数综合测试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题（共10小题，3*10=30）1．下列各式中，y是x的二次函数的是( )A．y＝4 x2B．y＝x＋8C．y＝2x2＋3x－2D．y2＝x2＋3x+72．抛物线y＝x2＋1的顶点坐标是( )A．(1,0)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,1)3．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )A．y＝－3(x－1)2＋3B．y＝3(x－1)2＋3C．y＝－3(x＋1)2＋3D．y＝3(x＋1)2＋34．在平面直角坐标系内，把抛物线y＝(x－1)2向左平移4个单位长度，那么所得抛物线的解析式是( )A．y＝(x－5)2B．y＝(x＋3)2C．y＝(x－1)2＋4D．y＝(x－1)2－45．如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为－1，则一次函数y＝(a－b)x＋b的图象大致是( )6. 对于抛物线y＝－(x＋2)2，下列结论正确的个数为( )①抛物线的开口向下；②对称轴是直线x＝－2；③图象不经过第一象限；④当x＞－2时，y随x的增大而减小．A．4B．3C．2D．17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＞0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0，其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．48．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点(－1，0)和(4，0)，那么下列说法正确的是( )A．ac＞0B．b2－4ac＜0C．对称轴是直线x＝2.5D．b＞09．已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为( )A．1或－2 B．－2或 2C. 2 D．110．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2－4ac＞0；③9a－3b＋c＝0；④若点(－0.5，y1)，(－2，y2)均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a－2b＋c＜0.其中正确的个数有( )A．2 B．3C．4 D．5二．填空题（共8小题，3*8=24）11．抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是__________.12. 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象如图，根据图象写出此函数的一条性质：_____________________．13．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图，当y<0时，自变量x的取值范围是_____________.14．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是__________.15 抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点个数是__________.16．某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为_______________________.17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2经过平移得到抛物线y＝12x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为__________.18．抛物线y＝－x2＋6x－9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x 轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是__________.三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(2，1)，求二次函数的解析式．20．(8分) 已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.写出△ABC的面积y与BC 的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长．21．(8分) 某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月(按30天计算)，这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天(1≤x≤30且x为整数)的销售量为y件．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？22．(10分) 已知在平面直角坐标系内，抛物线y＝x2＋bx＋6经过x轴上两点A，B，点B 的坐标为(3，0)，与y轴相交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)求△ABC的面积．23．(10分) 已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0)，(－3m，0)(m≠0)．(1)求证：4c＝3b2；(2)若该函数图象的对称轴为直线x＝1，试求二次函数的最小值．24．(10分) 已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时，求二次函数的解析式；(2)如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标．25．(12分) 用19 m长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD长表示窗框的宽，EF＝0.5 m(铝合金条的宽度忽略不计)．(1)求窗框的透光面积S(m2)与窗框的宽x(m)之间的函数解析式；(2)如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？(3)当窗框的透光面积不小于10 m2时，直接写出x的取值范围．参考答案1-5CCABD 6-10ADDDB11. (1,2)12. 图象的对称轴为直线x ＝1(答案不唯一)13. －1＜x ＜314. 315. 2个16. y ＝－12x 2＋10x ＋1200(0＜x ＜60) 17. 418. (9，0)19. 解：∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，又顶点在y ＝x ＋1上，那么顶点的横坐标是1，设此函数的解析式是y ＝a(x －1)2＋2，再把(2，1)代入函数中可得a(2－1)2＋2＝1，解得a ＝－1，故函数解析式是y ＝－(x －1)2＋2，即y ＝－x 2＋2x ＋120. 解：y ＝12x(20－x)＝－12x 2＋10x. 解方程48＝－12x 2＋10x ， 得x 1＝12，x 2＝8，∴△ABC 的面积为48时，BC 的长为12或8.21. 解：(1)由题意可知y ＝2x ＋40(2)根据题意可得：w ＝(145－x －80－5)(2x ＋40)＝－2x 2＋80x ＋2400＝－2(x －20)2＋3200，∵a ＝－2＜0，∴函数有最大值，∴当x ＝20时，w 有最大值为3200元，∴第20天的利润最大，最大利润是3200元22. 解：(1)把点B 的坐标(3，0)代入抛物线y ＝x 2＋bx ＋6得0＝9＋3b ＋6，解得b ＝－5，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－5x ＋6；(2)∵抛物线的表达式y ＝x 2－5x ＋6，令y ＝0，即x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.令x ＝0，则y ＝6.∴A(2，0)，B(3，0)，C(0，6)．∴AB ＝1，OC ＝6，S △ABC ＝12×1×6＝3. 23. 解：(1)由题意，m ，－3m 是一元二次方程x 2＋bx －c ＝0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得m ＋(－3m)＝－b ，m·(－3m)＝－c ， ∴b ＝2m ，c ＝3m 2，∴4c ＝12m 2，3b 2＝12m 2，∴4c ＝3b 2(2)由题意得－b 2＝1，∴b ＝－2， 由(1)得c ＝34b 2＝34×(－2)2＝3， ∴y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴二次函数的最小值为－424. 解：(1)∵二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)，∴代入二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1，得m 2－1＝0，解得m ＝±1.∴二次函数的解析式为y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x.(2)∵m ＝2，∴二次函数的解析式为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴抛物线的顶点为D(2，－1)．当x ＝0时，y ＝3，∴点C 的坐标为(0,3)．∴C ，D 两点的坐标分别为C(0,3)，D(2，－1)．25. 解：(1)由题意可知AF ＝BE ＝CD ＝x m ，AB ＝EF ＝0.5 m ，BC ＝GH ＝DE ，∴AC ＝0.5＋19－3x －13＝(6.5－x)m ， ∴S ＝AC·CD ＝(6.5－x)·x ，即S ＝－x 2＋6.5x(0<x<6)(2)∵S ＝－x 2＋6.5x ＝－(x －134)2＋16916，∴当x ＝134时，S 最大值＝16916， 即当CD ＝AC ＝134 m 时，窗框的透光面积最大，最大透光面积是16916m 2 (3)52≤x≤4。
人教版九年级数学上册第22章二次函数 单元综合测试题(含解析)
2022-2023学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》单元综合测试题（附答案）一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．下列函数中不属于二次函数的是（）A．y＝（x+1）（x﹣2）B．y＝（x+1）2C．y＝2（x+2）2﹣2x2D．y＝1﹣x22．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x+1）2+4B．y＝（x﹣1）2+4C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+2 3．已知抛物线y＝x2﹣x+1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2022的值为（）A．2020B．2021C．2022D．20234．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得抛物线解析式为（）A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x﹣8）2+1D．y＝2（x﹣8）2﹣35．抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝﹣3D．x＝36．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足表格：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）7．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数），A（﹣3，y1）B（3，y2）C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞1B．x＜﹣3或x＞1C．﹣4＜x＜1D．﹣3＜x＜1 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．ac＜0B．b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜0 11．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣5、最大值0B．有最小值﹣3、最大值6C．有最小值0、最大值6D．有最小值2、最大值612．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当时，y＜0；（3）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0二、填空题（本大题共6小题，共24分）13．顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为．14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为．15．把二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位后得到y＝2（x﹣1）2，则y＝ax2+bx+c图象顶点坐标是．16．如图，一为运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，此运动员将铅球推出m．17．是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是．18．如图，线段AB＝8，点C是AB上一点，点D、E是线段AC的三等分点，分别以AD、DE、EC、CB为边作正方形，则AC＝时，四个正方形的面积之和最小．三、解答题（本大题共7小题，共60分）19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象写出A、B、C三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；（2）求出此抛物线的顶点坐标和对称轴．20．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出方程ax2+bx+c＜0时x的取值范围；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．21．如图是二次函数y＝（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）设计费能达到24000元吗？为什么？（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？23．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？24．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若点P（m，﹣m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标．（注：抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣）25．如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（B 点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．参考答案一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．解：A、y＝（x+1）（x﹣2）是二次函数，故此选项不合题意；B、y＝（x+1）2是二次函数，故此选项不合题意；C、y＝2（x+2）2﹣2x2＝8x+8不是二次函数，故此选项符合题意；D、y＝1﹣x2是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．2．解：y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2．故选：D．3．解：∵抛物线y＝x2﹣x+1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m+1＝0，∴m2﹣m+2022＝m2﹣m+1+2021＝2021．故选：B．4．解：抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1的顶点坐标为（4，﹣1），∵向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，∴平移后的函数图象的顶点坐标为（8，﹣3），∴平移后所得抛物线解析式为y＝2（x﹣8）2﹣3，故选：D．5．解：∵﹣1，3是方程a（x+1）（x﹣3）＝0的两根，∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交点横坐标是﹣1，3，∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是直线x＝＝1．故选：A．6．解：∵x＝﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选：B．7．解：抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝2，所以A（﹣3，y1）到直线x＝2的距离为5，B（3，y2）到直线x＝2的距离为1，C（4，y3）到直线的距离为2，所以y2＜y3＜y1．故选：C．8．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误．故选：B．9．解：函数的对称轴为：x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），则另外一个交点坐标为：（﹣3，0），故：y＜0时，x＜﹣3或x＞1，故选：B．10．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线交于y轴的正半轴，∴c＞0，∴ac＞0，A错误；∵﹣＞0，a＞0，∴b＜0，∴B正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，C错误；当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，D错误；故选：B．11．解：由二次函数的图象可知，∵﹣5≤x≤0，∴当x＝﹣2时函数有最大值，y最大＝6；当x＝﹣5时函数值最小，y最小＝﹣3．故选：B．12．解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x＝1，所以，当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误；根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确；综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，共24分）13．解：设顶点式y＝a（x+2）2﹣5，将点（1，﹣14）代入，得a（1+2）2﹣5＝﹣14，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+2）2﹣5，即y＝﹣x2﹣4x﹣9．14．解：∵对称轴为直线x＝2的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x＝2对称，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（6，0），AB＝6﹣（﹣2）＝8．故答案为：8．15．解：y＝2（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位后得到y＝2（x﹣1）2，∴二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为：y＝2（x+1）2﹣3，∴二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，﹣3），故答案为：（﹣1，﹣3）．16．解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，解之得x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．故答案为：10．17．解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，故﹣2＝4a，a＝﹣，故y＝﹣．18．解：设AC为x，四个正方形的面积和为y．则BC＝8﹣x，AD＝DE＝EC＝，∴y＝3×（）2+（8﹣x）2＝x2﹣16x+64＝，∴x＝﹣＝6时，四个正方形的面积之和最小．故答案为6．三、解答题（本大题共7小题，共60分）19．解：（1）根据二次函数的图象可知：A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5），把A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5）代入y＝ax2+bx+c可得，解得．即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝y＝（x﹣1）2﹣4，∴此抛物线的顶点坐标（1，﹣4），和对称轴x＝1．20．解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和3；（2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0；（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x＝2，开口向下，即当x＞2时，y随x的增大而减小；（4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，则k＜2．21．解：（1）∵抛物线解析式为y＝（x+m）2+k的顶点为M（1，﹣4）∴y＝（x﹣1）2﹣4令y＝0得（x﹣1）2﹣4＝0令y＝0得（x﹣1）2﹣4＝0解得x1＝3，x2＝﹣1∴A（﹣1，0），B（3，0）（2）∵△P AB与△MAB同底，且S△P AB＝S△MAB，∴|y P|＝×4＝5，即y P＝±5又∵点P在y＝（x﹣1）2﹣4的图象上∴y P≥﹣4∴y P＝5，则（x﹣1）2﹣4＝5，解得x1＝4，x2＝﹣2∴存在合适的点P，坐标为（4，5）或（﹣2，5）．22．解：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，∴另一边长为（8﹣x）米，∴S＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x，其中0＜x＜8；（2）能，∵设计费能达到24000元，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷2000＝12（平方米），即﹣x2+8x＝12，解得：x＝2或x＝6，∴设计费能达到24000元．（3）∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，S最大值＝16，∴当x＝4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．23．解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）当x＝2时，30+x＝32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．24．解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1＝0，解得a＝﹣．所以二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1；（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的对称轴为直线x＝2，且经过原点O（0，0），∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），∴△AOB的面积＝×4×1＝2；（3）∵点P（m，﹣m）（m≠0）为抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1上一点，∴﹣m＝﹣（m﹣2）2+1，解得m1＝0（舍去），m2＝8，∴P点坐标为（8，﹣8），∵抛物线对称轴为直线x＝2，∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（﹣4，﹣8）．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4）（0＜x＜8），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，∴S△PBC＝PD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．∵﹣1＜0，∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），∴MN＝|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|＝|﹣m2+2m|．又∵MN＝3，∴|﹣m2+2m|＝3．当0＜m＜8时，有﹣m2+2m﹣3＝0，解得：m1＝2，m2＝6，∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；当m＜0或m＞8时，有﹣m2+2m+3＝0，解得：m3＝4﹣2，m4＝4+2，∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．综上所述：M点的坐标为（4﹣2，﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2，﹣﹣1）．。
难点解析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数专项训练试题(解析卷)
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为2(0)y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒 2、如图，抛物线()21:12G y a x =++与抛物线()22:21H y x =---交于点()1,2B -，且它们分别与y 轴交于点D 、E ．过点B 作x 轴的平行线，分别与两抛物线交于点A 、C ，则以下结论： ①无论x 取何值，2y 总是负数；②抛物线H 可由抛物线G 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当31x -<<时，随着x 的增大，12y y -的值先增大后减小；④四边形AECD 为正方形．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．③④D ．①②③3、如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax 2的图象与正方形有公共顶点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．139a ≤≤B ．119a ≤≤ C ．133a ≤≤ D ．113a ≤≤ 4、若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为12x =-，24x =，则二次函数2y ax bx c =++的对称轴为直线（ ）A ．3x =-B ．3x =C ．1x =D ．1x =-5、二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，由图象可知该抛物线与x 轴的交点坐标是（ ）A ．（﹣1，0）和（5，0）B ．（1，0）和（5，0）C ．（0，﹣1）和（0，5）D ．（0，1）和（0，5） 6、如果y=（m -2）x 2m m -是关于x 的二次函数，则m =（ ）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．m 不存在7、在平面直角坐标系中，将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()221y x =+-D ．()221y x =-- 8、若y=（m ＋1）265mm x --是二次函数，则m= （ ） A ．－1 B ．7C ．－1或7D ．以上都不对 9、已知抛物线P ：243(0)y x ax a ，将抛物线P 绕原点旋转180°得到抛物线P '，当13x ≤≤时，在抛物线P '上任取一点M ，设点M 的纵坐标为t ，若3t ≤，则a 的取值范围是（ ）A ．104a <≤ B ．304a <≤ C ．1344a ≤< D ．34a ≥ 10、使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）A ．18B ．36C ．41D ．58第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、抛物线12m y x x -=+是二次函数，则m =___．2、对于任意实数a ，抛物线22y x ax a b =+++与x 轴都有公共点．则b 的取值范围是_______．3、把抛物线221y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___．4、已知关于x 的一元二次方程220x x a --=，有下列结论：①当1a >-时，方程有两个不相等的实根；②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根；③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．5、若函数2y x x c =++的图像与坐标轴有三个交点，则c 的取值范围是________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ，其项点为D ．（1）填空：抛物线的解析式为 ；（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，设点P 的横坐标为t ，过点P 作y 轴的平行线交AC 与M ，当t 为何值时，线段PM 的长最大，并求其最大值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E 的坐标；若不能，请说明理由．2、小明和小丽先后从A 地出发同一直道去B 地， 设小丽出发第min x 时， 小丽、小明离B 地的距离分别为1y m 、2y m ，1y 与x 之间的数表达式11802250y x =-+，2y 与x 之间的函数表达式是22101002000y x x =--+．（1）小丽出发时，小明离A 地的距离为 m ．（2）小丽发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？3、已知二次函数2y x mx n =++的图象经过点P （﹣3，1），对称轴是直线 1x =-．（1）求m 、n 的值；（2）如图，一次函数y =kx +b 的图象经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图象相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，PA ：PB =1：5，求一次函数的表达式．4、某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y （个）与销售单价x （元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．(1)求遮阳伞每天的销出量y （个）与销售单价x （元）之间的函数关系式；(2)设遮阳伞每天的销售利润为w （元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？5、如图所示，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线3x =，抛物线与x 轴交于()2,0A -、B 两点，与y 轴交于点()0,4C ．（1）求抛物线的解析式；（2）连结BC，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点P，使PBC的面积最大？最大面积是多少？-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据二次函数图像的对称性，求出对称轴，即可得到答案.【详解】解：根据题意，炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴为：61711.52x+==秒，∵第12秒距离对称轴最近，∴上述时间中，第12秒时炮弹高度最高；故选：C.【考点】本题考查了二次函数的性质和对称性，解题的关键是掌握二次函数的对称性进行解题.2、B【解析】【分析】①根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；②先求抛物线G 的解析式，再根据抛物线,G H 的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；③先根据题意得出31x -<<时，观察图像可知12y y >，然后计算12y y -，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出,,,A E C D 的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可．【详解】①2(2)0x -≥，2(2)0x ∴--≤，∴()22211y x =---≤-， ∴无论x 取何值，2y 总是负数，故①正确； ②抛物线()21:12G y a x =++与抛物线()22:21H y x =---交于点()1,2B -， 1,2x y ∴==，即22(11)2a -=++，解得1a =-，∴抛物线()21:12G y x =-++，∴抛物线G 的顶点(1,2)-，抛物线H 的顶点为(2,1)-，将(1,2)-向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为(2,1)-，即将抛物线G 向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线H ，故②正确； ③()1,2B -，将2y =-代入抛物线()21:12G y x =-++， 解得123,1x x =-=，(3,2)A ∴--，将2y =-代入抛物线()22:21H y x =---， 解得123,1x x ==，(3,2)C ∴-，31x -<<，从图像可知抛物线G 的图像在抛物线H 图像的上方，12y y ∴>2212(1)2[(2)1]66y y x x x -=-++----=-+∴当31x -<<，随着x 的增大，12y y -的值减小，故③不正确；④设AC 与y 轴交于点F ，()1,2B -，(0,2)F ∴-，由③可知(3,2)A ∴--，(3,2)C -，AF CF ∴=，6AC =，当0x =时，121,5y y ==-，即(0,1),(0,5)D E -，6DE ∴=，3DF EF ==，∴四边形AECD 是平行四边形，,AC DE AC DE =⊥，∴四边形AECD 是正方形，故④正确，综上所述，正确的有①②④，故选：B ．【考点】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识．3、A【解析】【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a 的值即可解决问题．【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，当抛物线经过（3，1）时，a=19， 观察图象可知19≤a≤3，故选：A ．【考点】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4、C【解析】【分析】根据两根之和公式可以求出对称轴公式．【详解】解：∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根为−2和4，∴x 1＋x 2＝−b a＝2． ∴二次函数2y ax bx c =++的对称轴为x ＝−2b a ＝12×2＝1． 故选：C ．【考点】 本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．5、A【解析】首先根据图像得出抛物线的对称轴和其中一个交点坐标，然后根据二次函数的对称性即可求得另一个交点坐标．【详解】解：由图像可得，抛物线的对称轴为2x=，与x轴的一个交点坐标为（5，0），∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），故选：A．【考点】此题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的对称性，解题的关键是根据二次函数的对称性求出与x轴的另一个交点坐标．6、A【解析】【分析】根据二次函数的定义知m2-m=2，且m-20≠，解出即可.【详解】依题意²220m mm-=⎧⎨-≠⎩，解得m=-1,故选：A..【考点】此题主要考查二次函数的定义，需要注意二次项系数不为零..7、B【解析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．【详解】解：∵2y x 的顶点坐标为（0，0）∴将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1）， ∴所得抛物线对应的函数表达式为()221y x =++，故选B【考点】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．8、B【解析】【分析】令x 的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．【详解】由题意得：m 2-6m-5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1，∴m=7，故选：B ．【考点】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．9、A【解析】【分析】先求出抛物线P '的解析式，再列出不等式240x ax -+，求出其解集0x 或4x a ，从而可得当x =1时，，有3t ≤成立，最后求出a 的取值范围．【详解】解：∵抛物线P ：243(0)y x ax a ，将抛物线P 绕原点旋转180°得到抛物线P '， ∴抛物线P 与抛物线P '关于原点对称，设点（x ，y ）在抛物线P ’上，则点（-x ，-y ）一定在抛物线P 上，∴243y x a x∴抛物线P '的解析式为243y x ax ，∵当13x ≤≤时，在抛物线P '上任取一点M ，设点M 的纵坐标为t ，若3t ≤，即3y ≤令243=3x ax -++，∴240x ax -+=，解得：10x =或24x a =，设24y x ax =-+，∵24y x ax =-+开口向下，且与x 轴的两个交点为（0，0），（4a ，0），即当13x ≤≤时，240y x ax =-+≤要恒成立，此时3t ≤，∴当x =1时，240y x ax =-+≤即可，得：-1+40a ， 解得：14a ≤， 又∵0a > ∴104a <≤故选A【考点】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．10、C【解析】【分析】根据已知三点和近似满足函数关系y =ax 2+bx +c (a ≠0)可以大致画出函数图象，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案.【详解】解：由图表数据描点连线，补全图象可得如图，抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃，∴旋钮的旋转角度x 在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气， 故选C ，【考点】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数图象的对称性质，判断对称轴位置是解题关键，综合性较强，需要有较高的思维能力，用图象法解题是本题考查的重点．二、填空题1、3【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数且a ≠0）的函数叫做二次函数，进行求解即可．【详解】解：∵抛物线12m y x x -=+是二次函数，∴12m -=，∴3m =，故答案为：3．【考点】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键在于能够熟知二次函数的定义．2、14b ≤- 【解析】【分析】由题意易得24440a a b --≥，则有2b a a ≤-，然后设2t a a =-，由无论a 取何值时，抛物线22y x ax a b =+++与x 轴都有公共点可进行求解．【详解】解：由抛物线22y x ax a b =+++与x 轴都有公共点可得：0∆≥，即24440a a b --≥，∴2b a a ≤-，设2t a a =-，则b t ≤，要使对于任意实数a ，抛物线22y x ax a b =+++与x 轴都有公共点，则需满足b 小于等于t 的最小值即可， ∴221124t a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，即t 的最小值为14-， ∴14b ≤-； 故答案为14b ≤-． 【考点】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的综合是解题的关键．3、224y x x =+【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．【详解】解：抛物线221y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：22(1)13y x =++-，即：224y x x =+故答案为：224y x x =+．【考点】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．4、①③④【解析】【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵一元二次方程220x x a --=，∴2(2)41()44a a ∆=--⨯⨯-=+；∴当440a +>，即1a >-时，方程有两个不相等的实根；故①正确；当12440•0a x x a +>⎧⎨=->⎩，解得：10a -<<，方程有两个同号的实数根，则当0a >时，方程可能有两个异号的实根；故②错误； 抛物线的对称轴为：212x -=-=，则当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确； 由3a >，则223a x x =->，解得：3x >或1x <-；故④正确；∴正确的结论有①③④；故答案为：①③④．【考点】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．5、14c <且0c ≠ 【解析】【分析】由抛物线2y x x c =++与坐标轴有三个公共点，与y 轴有一个交点，易知抛物线不过原点且与x 轴有两个交点，继而根据根的判别式即可求解．【详解】解：∵抛物线2y x x c =++与坐标轴有三个公共点，∵抛物线与y 轴有一个交点（0，c ）,c ≠0，∴抛物线与x 轴有两个交点，∴22=4=141b ac c ∆--⨯⨯＞0，且0c ≠， 解得：14c <且0c ≠，故答案为：14c <且0c ≠． 【考点】 本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数．三、解答题1、（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）当t=12时，PM 有最大值，最大值为94；（3）（0，1，． 【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可解决；（2）依题意得P （t ，﹣t 2+2t +3），表示M 点坐标，再求出PM 长的函数表达式，依据二次函数性质求最值；（3）运用配方法求顶点D 坐标，由以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能为平行四边形，且EF ∥BD ，可得EF ＝BD ，设点E （m ，m +1），则F （m ，﹣m 2+2m +3），EF ＝22m m --，建立方程求解即可求得符合题意的点E 坐标．【详解】解：（1）把A （﹣1，0），C （2，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c 得，10423b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得，23b c =⎧⎨=⎩， 抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；故答案为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）设直线AC 的解析式为y=mx+n ，把A （﹣1，0），C （2，3）代入得， 023m n m n -+=⎧⎨+=⎩， 解得，11m n =⎧⎨=⎩， 直线AC 的解析式为y=x+1，依题意得，P （t ，﹣t 2+2t +3），M(t,t+1),PM=﹣t 2+2t +3-(t+1)= ﹣t 2+t +2=-(t-12)2+94,当t=12时，PM 有最大值，最大值为94；（3）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4∴顶点D （1，4），把x=1代入y=x+1得，y=2，∴B （1，2），BD ＝2，设点E （m ，m +1），则F （m ，﹣m 2+2m +3），EF ＝22m m --， ∵EF ∥BD ，∴当EF ＝BD 时，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能为平行四边形． ∴22m m --＝2，当222m m --=-时，解得：m 1＝0，m 2＝1（舍去），当222m m --=时，解得m 3，m 4∴点E 的坐标为：（0，1． 【考点】 本题属于中考压轴题，与二次函数有关的代数几何综合题，涉及知识点多，综合性较强，难度较大，解题时必须熟练掌握并灵活运用相关性质和定理，还要注意数形结合，分类讨论；此题主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形性质等．2、（1）250；（2）当小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m【解析】【分析】（1）由x=0时，根据1y -2y 求得结果即可；（2）求出两人相距的函数表达式，求出最小值即可．【详解】解（1）当x=0时，1y =2250，2y =2000∴1y -2y =2250-2000=250（m ）故答案为：250（2）设小丽出发第 min x 时，两人相距Sm ，则()21802250101002000S x x x =-+---+即21080250S x x =-+其中010x ≤≤ 因此，当8042210b x a -=-=-=⨯时 S 有最小值，224410250(80)904410ac b a -⨯⨯--==⨯也就是说，当小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m【考点】此题主要考查了二次函数的性质的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．3、（1）m =2，n =﹣2；（2）一次函数的表达式为y =x +4【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴可求得m 的值，把点P 的横、纵坐标代入抛物线解析式，可求得n 的值；（2）过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，利用相似三角形的对应边成比例，可求点B 的坐标，进而用待定系数法求得一次函数的解析式．【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线1x =-， ∴﹣21m ⨯=﹣1， ∴m =2∵二次函数y =x 2+mx +n 的图象经过点P （﹣3，1），∴9﹣3m +n =1，得出n =3m ﹣8．∴n =3m ﹣8=﹣2．（2）∵m =2，n =﹣2，∴二次函数的解析式为y =x 2+2x ﹣2．过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，则PC ∥BD ，如图所示．∴APC ABD △△．∴PC PA BD AB=．∵P（﹣3，1），∴PC=1．∵PA：PB=1：5，∴1BD=16．∴BD=6．∴点B的纵坐标为6．把y=6代入y=x2+2x﹣2得，6=x2+2x﹣2．解得x1=2，x2=﹣4（舍去）．∴B（2，6）．∵一次函数的图象经过点P和点B，∴3126k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得14kb=⎧⎨=⎩．∴一次函数的表达式为y=x+4．【考点】本题考查了一次函数、二次函数、相似三角形、待定系数法等知识点，构造相似三角形和待定系数法是解题的关键．4、 (1)y＝﹣10x+540；(2)当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元【解析】【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由销售单价为28元时，每天的销售量为260个；销售单价为30元时，每天的销量为240个；列方程组求解即可；（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，再由二次函数的性质求解即可；(1)解：设一次函数关系式为y＝kx+b，由题意可得：26028 24030k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：10540kb=-⎧⎨=⎩，∴函数关系式为y＝﹣10x+540；(2)解：由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，∵﹣10＜0，二次函数开口向下，∴当x＝37时，w有最大值为2890，答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．【考点】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．5、（1）213442y x x =-++；（2）存在，当4m =时，PBC 面积最大为16，此时点P 点坐标为()4,6． 【解析】【分析】（1）用待定系数法解答便可；（2）设点P 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，连结PC 、PB 、PO ．根据对称性求出点B 的坐标，根据PBC POC POB BOC S S S S =+-得到二次函数关系式，最后配方求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线过点()0,4C ，∴4c =．∵抛物线的对称轴为直线3x =，∴可设抛物线为()2394y a x a =--+． ∵抛物线过点()2,0A -，∴25940a a -+=，解得14a =-． ∴抛物线的解析式为213(3)442y x =--++，即213442y x x =-++． （2）存在，设点P 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，连结PC 、PB 、PO ．∵点A 、B 关于直线3x =对称，且()2,0A -∴()8,0B ．∴PBC POC POB BOC S S S S =+-2111314844822422m m m ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 28m m =-+2(4)16m =--+．∵10a =-<∴当4m =时，PBC 面积最大为16，此时点P 点坐标为()4,6．【考点】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，三角形面积公式以及二次函数的最值求法，根据图形得出PBC POC POB BOC SS S S =+-由此得出二次函数关系式是解答此题的关键．。
人教版九年级数学上册作业课件 第二十二章 二次函数 专题训练(五) 二次函数与几何图形综合
(3)如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可 得N(－2，－3)或N′(0，－3)，当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，x＝ 2时，y＝4＋4－3＝5，∴N″(2，5).综上所述，满足条件的点N的坐标为 (－2，－3)或(0，－3)或(2，5)
＋2x－3＝0，解得 x＝－3 或 1，∴A(－3，0)
(2)如图 1 中连接 AD，CD.∵点 D 到直线 AC 的距离取得最大，∴此 时△DAC 的面积最大，设直线 AC 解析式为：y＝kx＋b，∵点 A(－3，0)， C(0，－3)， ∴b－＝3－k＋3，b＝0， 解得kb＝＝－－13，，
∴直线 AC 的解析式为 y＝－x－3，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于点 G，设点 D 的坐标为(x，x2＋2x－3)，则 G(x，－x－3)，∵点 D 在第三象限，∴DG＝－x －3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x，∴S△ACD＝12 DG·OA＝12 (－x2－3x)×3＝－32 x2 －92 x＝－32 (x＋32 )2＋287 ，∴当 x＝－32 时，S 最大＝287 ，此时点 D(－32 ，－145 )， ∴点 D 到直线 AC 的距离取得最大时，D(－32 ，－145 )
(1)若点 A 的横坐标为 8. ①用含 m 的代数式表示 M 的坐标； ②点 P 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 m 的值；若不能，请 说明理由． (2)当 m＝2 时，若点 P 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满 足条件的所有直线 OA 的函数解析式．
解：(1)①∵点 A 在 y＝14 x2 的图象上，横坐标为 8，∴A(8，16)，∴ 直线 OA 的解析式为 y＝2x，∵点 M 的纵坐标为 m，∴M(12 m，m)
3．(2020·武汉)将抛物线 C：y＝(x－2)2 向下平移 6 个单位长度得到抛物 线 C1，再将抛物线 C1 向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2.
人教版九年级数学 上册 第二十二章 二次函数 单元综合与测试(含答案)
第二十二章 二次函数 单元复习与检测题（含答案）一、选择题1、下列结论正确的是( )A.二次函数中两个变量的值是非零实数;B.二次函数中变量x 的值是所有实数;C.形如y=ax 2+bx+c 的函数叫二次函数;D.二次函数y=ax 2+bx+c 中a,b,c 的值均不能为零 2、抛物线的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．轴上D ．轴上3、已知抛物线y=x 2﹣8x+c 的顶点在x 轴上，则c 等于（ ） A ．4B ．8C ．﹣4D ．164、把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( ).A ． ()231y x =+-B ．()233y x =++C ．()231y x =--D ．()233y x =-+ 5、关于抛物线y=x 2﹣2x+1，下列说法错误的是（ ） A ．开口向上 B ．与x 轴有两个重合的交点C ．对称轴是直线x=1D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小6、二次函数223y x x =--的图象如上图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）． A ．－1＜x ＜3B ．x ＜－1C ． x ＞3D ．x ＜－1或x ＞37、将函数y=x 2+6x+7进行配方正确的结果应为（ ） A 、y=（x+3）2+2 B 、y=（x-3）2+2C 、y=（x+3）2-2D 、y=（x-3）2-28、抛物线y=a （x-h ）2+k 向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到y=x 2+1，则h 、k 的值是（ ）A ．h=-2，k=-2B ．h=2，k=4C ．h=1，k=4D ．h=2，k=-2 9、进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价。
若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A 、2(1)y a x =-B 、2(1)y a x =-C 、2(1)y a x =- D 、2(1)y a x =- 10、关于平行四边形的对称性的描述，错误的是（ ）A ．平行四边形一定是中心对称图形;B ．平行四边形一定是轴对称图形;C ．平行四边形的对称中心是两条对角线的交点;D ．平行四边形的对称中心只有一个二、填空题11、用一根长为8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为________.12、若点P 和Q （1，）都在抛物线上，则线段PQ 的长为 。
人教版数学九年级上册第22章二次函数单元综合测试(含答案)
第 1 页 共 48 页人教版数学九年级上册第22章二次函数单元综合测试（含答案） 一、精心选一选（每题3分，共30分）1．若抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第一象限，与x 轴的两个交点分布在原点两侧，则点（a ，ac）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若双曲线)0(≠=k xky 的两个分支在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的图象大致是图中的（ ）xyOxyO xyO O yx DCBA3．如图是二次函数c bx ax y ++=2的图象，则一次函数bc ax y +=的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若点（2，5），（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是（ ）A ．直线1=xB ．直线2=xC ．直线3=xD ．直线4=x 5．已知函数772--=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．47- kB ．047≠-≥k k 且C ．47-≥kD ．047≠-k k 且6．函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于一元二次方程ax 2+bx+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根Oyx第 2 页 共 48 页C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根7．现有A ，B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），用小莉掷A 立方体朝上的数字为x ，小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，y ），那么他们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y=－x 2+4x 上的概率为（ ） A ．118 B ．112 C ．19 D ．168．已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 2）都在函数y=x 2的图象上，则（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 3 9．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c<0；②a －b+c<0；③b+2a<0；④abc>0，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③ 第9题图 10. 已知二次函数y x x =++29342，当自变量x 取两个不同的值x x 12,时，函数值相等，则当自变量x 取x x 12+时的函数值与（ ）。