苏教版高中数学(必修4)3.2《二倍角的三角函数》ppt课件2
苏教版高中数学(必修4)3.2《二倍角的三角函数》ppt课件3
α 1 cos α tan 2 1 cos α
2
π α kπ ，k Z 2 2
α 1 cos α tan 2 sin α
α sin α tan 2 1 cos α
课堂讲练互动 中小学课件
例1.化简
(2)当M (a) 2时, 解得a
10 3
或a 6
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小结:
对公式我们不仅要会直接的运用，还 要会逆用、还要会变形用，还要会与 其它的公式一起灵活的运用。
a 2 2
a 4
2
1 2
a 4
0 x 2 0 x 1
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当0 1即0 a 2时
a 2
f ( x) 大
a 2
a2 4
1 2
a 4
当 1即a 2时 当sin x 1时 f ( x) 大 a
1 2
(2)增区间为 :
[2k 34 , 2k 54 )k z
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（3）f(x)定义域不关于原点对称。 即不是奇函数，也不是偶函数。
(4) f ( x 2 ) log1 [sin(x 2 ) cos(x 2 )]
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解法4：
1 原式 (sin α sin β cos α cos β ) 2sin α sin β cos α cos β cos 2α cos 2 β 2
2
1 1 cos ( ) sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 2 2
1 cos sin cos 2 cos 2 cos 2 2
苏教版必修4高中数学3.2《二倍角的三角函数》ppt课件1
2019/8/27
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15
谢谢欣赏！
2019/8/27
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16
k ，Z
：
知识点2：
对于 C2能否有其它表示形式？
cos 2 2cos2 1 cos 2 1 2sin2
注意
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题。 ②二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角 相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。
C2α ＝___________ ＝____2_ta_nα____
1－tan2α
T2α
知识点1：
二 sin 2 2sin cos
α R
倍
角 cos 2 cos2 sin2
α R
公 式
tan
2
2 1
tan tan2
k 24
,且
k 2
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
2tanx 1- tan知0＜α＜＜β＜π，又sinα=0.6，cos（α+β）=－0.8
，则sinβ等于（ ）
解A.析0 ：∵0＜Bα2 .＜0或 0＜.9β6＜2 π，∴C32π.＜0.9α6+β＜
苏教版高中数学必修4课件 3.2 二倍角的三角函数课件4
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
SJ·数学 必修4
教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
析
教
当
学 方
1.能用二倍角公式导出半角公式．
堂 双
案 设
2.能运用所学三角函数的公式进行简单的恒等变
基 达
计 课标解读 换．(重点)
标
课
前 自
3.会用三角函数解决一些简单的实际问题．(难点)
课 时
主
作
教 学
线 PT，且 PT＝1，∠PAB＝α，问 α 为何值时，四边形 ABTP
当 堂
方
双
案 设
的面积最大？
基 达
计
标
【思路探究】 首先根据题意画出图形，然后根据圆的
课
前 自
几何性质和四边形面积的求法，将四边形的面积表示为三角
课 时
主
作
导 学
函数的形式，最后利用三角函数的性质解决．
业
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
30°＋
3 2 cos
2θ
教
堂
师
互 动 探 究
＝1－
3 2 cos
2θ＋
3 2 cos
2θ＝1.
备 课 资 源
菜单
SJ·数学 必修4
教
易
学
错
教 法
利用和、差、倍角公式研究函数的性质
易
误
分
辨
析
求函数 f(x)＝5 3cos2x＋ 3sin2x－4sin xcos x，x∈ 析
2018高中数学必修4课件：第3章3.2二倍角的三角函数 精品
3xsin x)＋12cos 2x·(sin 3xcos x－cos 3xsin x)＝12sin 4x＋12
cos 2xsin 2x＝34sin 4x，
所以
f1π6＝34sinπ4＝3
8
2 .
13
规律方法 1．给值求值问题求解的要点是利用公式建立已知式 子和所求式子之间的联系．注意从角、函数名称、幂、形 式等几个方面着手寻求解题思路．
2．当遇到π4±x 这样的角时可利用角的互余关系和诱 导 公 式 ， 将 条 件 与 结 论 沟 通 ． cos 2x ＝ sin π2－2x ＝ 2sin π4－x · cos π4－x · cos2x ＝ sin π2＋2x ＝ 2sin π4＋x cosπ4＋x.
sin 2x x2－2sin2x22sin
x2cos
x2＋2sin2x2＝
4sin2x2csoins22x2x－sin2x2＝4sisni2nx2c2oxs
＝ x
xx
4sin 2cos 2cos 4sin2x2cos x
x ＝
1
tan
x. 2
规律方法 1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低． 2．证明三角恒等式的方法：(1)从复杂的一边入手， 证明一边等于另一边；
[变式训练] 已知 f(x)＝sin 3xcos3x＋cos 3xsin3x，求
f1π6的值． 解 ： f(x) ＝ sin 3xcos3x ＋ cos 3xsin3x ＝ sin 3x · cos
1＋cos 2x x· 2 ＋cos
3x·sin
1－cos x· 2
2x＝12(sin
3xcos
江苏省宿迁市高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数 苏教版必修4
(2)求函数的最值及取得最值时x的取值集合；
(3)求函数的单调区间.
2.已知函数 y 2 a s in 2x 23 a s in x c o sx a b 的定义域
是
[0
,
2
] ，值域是[-5，1]，求a,b的值.
例题:
1.求函数 ysin2x2cosx 1 ,(x R ) 的值域.
4.函数 y4sinx3cos2x的最大值是_______
例题:
Hale Waihona Puke 1.已知圆O的半径为10cm,矩形ABCD内接于圆,求 矩形ABCD的最大面积.
D
C
O
A
B
C
B
D OA
2.在半圆形钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能 使这个矩形的面积最大?
3A.B如C图D,,已求知矩半形径AB为C1D,圆的心最角大为面积3 .的扇形有一内接矩形
二倍角的三角函数
复习回顾
1.二倍角的三角函数
sin2 =2sincos 简记
S2
2.公式的灵活运用:
cos2=cos2 － sin2 简记 C2 (1)1sin(sincos)2
=2cos2－1
22
=1－2sin2
(2)1cos2cos2
tan2= 2tan 1tan2
3
2
值域为[ 3 1,1] ,求a,b的值.
2.已知不等式 cos2x2sinx3m0,x [0,]
2
恒成立,求实数m的取值范围.
3.已知关于x的不等式 x2co s 4 xsin 60,x R
恒成立,求 的取值范围.
变1:求函数 ysin2x2co sx 1 ,x (0 ,)的值域.
高中新课程数学(苏教版必修四)3.2 二倍角的三角函数
1－cos 2α sin α＝ . 2
2
(3)升降幂公式，升幂时由倍角到单角，降幂时由单角到倍角 升幂公式：1＋cos α＝2cos 2，1－cos α＝2sin 2. 1 1 2 降幂公式：cos α＝ (1＋cos 2α)，sin α＝ (1－cos 2α). 2 2
2 2α 2α
题型一 求三角函数徝 1 【例 1】 已知 sin α＋cos α＝3， 且 0＜α＜π， 求 sin 2α， cos 2α， tan 2α 的值．
π π 2α· cos4＋cos 2α· sin4
4 2 3 2 2 ＝ × ＋ －5 × ＝ . 5 2 2 10
题型二
化简求值
【例 2】 求值：(1)sin 10° sin 50° sin 70° ； 1＋sin 4α＋cos 4α (2) ； 1＋sin 4α－cos 4α sin 50° 1＋ 3tan 10° －cos 20° (3) . cos 80° 1－cos 20°
2
1 4 解方程 x －3x－9＝0，得
2
1＋ 17 1－ 17 x1＝ 6 ，x2＝ 6 ， ∵α∈(0，π)， ∴sin α＞0，
1＋ 17 1－ 17 ∴sin α＝ 6 ，cos α＝ 6 . 8 ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－9， 17 cos 2α＝cos α－sin α＝－ ， 9
[思路探索] 属于倍角公式的直接应用．
1 解 法一 ∵sin α＋cos α＝ ， 3 1 ∴sin α＋cos α＋2sin αcos α＝9.
2 2
8 4 ∴sin 2α＝－9且 sin αcos α＝－9＜0. ∵0＜α＜π，sin α＞0， ∴cos α＜0. ∴sin α－cos α＞0. ∴sin α－cos α＝ sin α－cos α2
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数1同课异构课件 苏教版必修4
2tan 公式变形：
tan21tan2
co 2 s1si2 n
1co 2 s2co 2 s
公式特点
公式左端的角是右 端角的二倍
降 (升)
1 cc o 2 o 2 s c so 2 2 s sis 2n i2 n
幂 公 式
(1si2n)si2n 1sin2(sincos)2 11sin22si2n(sincos)2
5
cos1sin2 1 ( 3 )2 4
5
5
s in 2 2 s inc o s
2(
3)(
4 )
24
cos212sin212(35)2 57 2 5
5 25
ta2n 2ta n 24co 2 s co 2 ssi2 n
1ta2n 7
12sin2
2cos2 1
注意：1、符号法则；2、灵活运用公式 。
tan 1tta an n ttaa n n
二倍角公式：
s2 i n 2 sic n os S 2
c2 o c s2 o s s2 in C 2
ta2n1 2ttaa2n n
T 2
k
2
,且
4
k
，kZ
2
二倍角公式
si2 n2si n co s
co 2 s co 2 ssi2 n12sin22cos21
灵活运用公式
si2 n2si n co ss in 4 2 s in 2 c o s ２
sin ２sincos
co 2 s co 2 ssi2 n
12sin2
22
sin ２sincos
2
44
2cos21
cos２ xcos2
苏教版高中数学必修四课件3.2二倍角的三角函数(1)
2
12
3．那么如何由一些已知的条件来求呢sin？2
复习巩固建构数学
sin( ) sin cos coss sin sin
tan( ) tan tan 1 tan tan
2
的二倍，3是00的二15倍0 ，的二倍1是50等等．理解30二0 倍角是相对的．
②余弦二倍角公式有三种形式，要恰当地选择以便简化运算过程．
③对二倍角公式要学会灵活应用（顺用、逆用、变用）．
数学运用
例1. 设 ( π , π) sin 5 , 求sin 2, cos 2, tan 2的值.
2
24
在三角里面还有一个非常重要的等式s，in用2 这个co等s2 1
式进行代换的话，二倍角的余弦公式又可以得到这样两个形式：
cos 2 2 cos2 1 cos 2 1 2 sin2
注意点：
①对“二倍角”的认识，如 2 是 的二倍，4 是的2二倍，是
cos2 π sin2 π
8
8
2 tan15 1 tan 2 15
（2）已知
sin
0.8,
0,
π 2
,
求 sin
2 ,
cos
2的值．
小结
1.本节课主要学习了二倍角的几组公式：
(1) sin 2 2sin cos
(2)＝co1s-2＝ cos2 sin2 2sin 2 2cos2 1
2
13
例2．求证：
1 sin 2 cos 2 tan 1 sin 2 cos 2
例3． 已知sin( π )sin( π ) 1 , ( π , π),求sin 2的值．
苏教版高中数学必修4§3.2 二倍角的三角函数.docx
高中数学学习材料唐玲出品§3.2 二倍角的三角函数 课时目标1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝________________，sin α2cos α2＝____________； (2)C 2α：cos 2α＝________________＝______________＝________________；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝________________，sin 2α2cos α＝________________； (2)1＋sin α＝________________________________________， 1－sin α＝_________________________________________；(3)sin 2α＝________，cos 2α＝____________.(4)1－cos α＝________，1＋cos α＝________.一、填空题1.3－sin 70°2－cos 210°的值是________． 2．求值：cos 20°cos 40°cos 80°＝________.3．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是________． 4．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________． 5．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为________． 6．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______． 7．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______. 8．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________. 9.在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．10．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)＝________. 二、解答题11．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .12．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4，求sin 2x －2sin 2x1＋tan x 的值．能力提升13．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．14．已知函数y ＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的周期为π2. (1)求ω的值；(2)当0≤x ≤π4时，求函数的最大值、最小值及相应x 的值．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1 (n ∈N *)． 2．二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2. §3.2 二倍角的三角函数知识梳理1．(1)2sin αcos α 12sin α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2．(1)cos α sin α (2)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22 ⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22 (3)1－cos 2α2 1＋cos 2α2(4)2sin 2α2 2cos 2α2作业设计1．2解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2. 2.18解析 原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18. 3．2解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 4.459解析 设α为该等腰三角形的一底角， 则cos α＝23，顶角为180°－2α. ∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 5．－79解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α) ＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79. 6．π解析 f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 7．3 解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 8.π6解析 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0. ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)． ∴α＝π6. 9.725解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75. ∴cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 10.145解析 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 11．证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 12．解 sin 2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x＝sin 2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x＝sin 2x 1－tan x 1＋tan x＝sin 2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵5π4<x <7π4，∴－3π2<π4－x <－π. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－34. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫2×1625－1×⎝⎛⎭⎫－34＝－21100. 13．解 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝cos 20°sin 20°·cos 10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 20° ＝2cos 10°·sin (－10°)sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1. 14．解 (1)y ＝32sin 2ωx ＋12(1＋cos 2ωx ) ＝sin (2ωx ＋π6)＋12. ∵T ＝π2，∴ω＝2. (2)由(1)得y ＝sin(4x ＋π6)＋12. ∵0≤x ≤π4， ∴π6≤4x ＋π6≤76π. ∴－12≤sin(4x ＋π6)≤1，∴0≤y ≤32. 当sin(4x ＋π6)＝1时，y max ＝32， 此时4x ＋π6＝π2，∴x ＝π12. 当sin(4x ＋π6)＝－12时，y min ＝0， 此时4x ＋π6＝7π6，∴x ＝π4.。
高中数学第三章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数(1)课件苏教版必修4
2
,k Z)
因此，在这些公式中，我们只要令 后，就可以得到二倍角的 三角函数值．
sin 2 2 sin cos cos 2 cos 2 sin 2 2 tan k tan 2 2 ( k 且 ,k Z) 1 tan 2 2 4
2
的二倍，300 是 150 的二倍，150的二倍是 30 0等等．理解二倍角是相对的． ②余弦二倍角公式有三种形式，要恰当地选择以便简化运算过程． ③对二倍角公式要学会灵活应用（顺用、逆用、变用）．
数学运用
例1. 设 (
2
, ) sin
5 , 求 sin 2 , cos 2 , tan 2的值. 13
1 sin 2 cos 2 tan 例2．求证： 1 sin 2 cos 2
例3． 已知 sin(
1 ) sin( ) , ( , ), 求 sin 2的值． 4 4 6 2
练习
（1）利用倍角公式求下列各式的值. ① sin
高中数学 必修4
创设情境
1 设 ( , ), sin , 如何来求 sin 2呢 ? 2 2
1. 这里，三角函数值为特殊值，可以先求出角再求解．若不是特殊值呢？
2．设
5 ( , ), sin , 求 sin 2 2 12
3．那么如何由一些已知的条件来求 sin 2 呢？
内部文件，请勿外传
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sin 2 2 sin cos
2 2 2 2 2 cos 1 cos 2 cos sin (2) ＝1- 2 sin ＝