2018版高中数学第二章数列2.2.1等差数列的概念课件苏教版必修5
高中数学必修5课件：第2章2-1-2数列的性质和递推关系
n 3n＋1
为递
增数列．
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第二章 数列
方法二：∵n∈N*，∴an>0，
n＋1
∵
an＋1 an
＝
3n＋4 n
＝
n＋13n＋1 3n＋4n
＝
3n2＋4n＋1 3n2＋4n
＝1＋
1 3n2＋4n
3n＋1
>1，∴an＋1>an，∴数列3nn＋1为递增数列．
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第二章 数列
方法三：令f(x)＝3x＋x 1(x≥1)，则 f(x)＝133x3＋x＋1－1 1＝131－3x＋1 1， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴数列3nn＋1是递增数列．
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第二章 数列
(2)∵bn＝aan＋n 1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58. 故b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
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第二章 数列
数列的单调性问题
已知数列{an}的通项公式为an＝
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝
an an＋1
构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}
的前4项．
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第二章 数列
解析： (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
4分 6分 8分
10分
12分
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第二章 数列
【苏教版】高中数学必修五第1课时：2.1《数列》课时讲义(江苏省启东中学)
【苏教版】高中数学必修五第2章数列§2.1 数列的概念及其通项公式课时讲义【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用。
难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式。
【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。
2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的7列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．． 这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这7组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。
高中数学必修5第二章等差数列知识点
等差数列1、等差数列的概念：1 2,n n d a a n n N d -=-≥∈（）为常数（用来判断数列是否为等差数列）2、等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a ；推广：d m n a a m n )(-+=，从而mn a a d m n --=。
3、等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥⇔=+ 4、等差数列的前n 项和公式： ①22111()(1)1()2222n n n a a n n d S na d n a d n An Bn +-==+=+-=+ （其中A 、B 是常数，所以当0d ≠时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0）②特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法：（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列；（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++⇔=+≥⇔=+；（3）数列{}n a 是等差数列n a kn b ⇔=+（其中b k ,是常数）；（4）数列{}n a 是等差数列2n S An Bn ⇔=+,（其中A 、B 是常数）。
6、等差数列的证明方法：定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．7、提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
高中数学第2章数列2.2-2.2.2等差数列的通项公式课件苏教版必修5
1．如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一 项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列叫作等差 数列．这个常数叫作等差数列的公差．
2．如果数列{an}是公差为 d 的等差数列，则 a2＝a1 ＋d；a3＝a2＋d＝a1＋2d．
3．等差数列的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d．
知识点 1 等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项 所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差 数列，这个常数叫作等差数列的公差．应当注意的是： (1)在定义中，之所以说“从第 2 项起”，首先是因 为首项没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从 第 2 项起，而是从第 3 项起，
题型 1 等差数列定义及其应用
[典例 1] 在等差数列中，am＝n，an＝m(m≠n)，则
am＋n 为( )
Hale Waihona Puke A．m－nB．0C．m2
D．n2
高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和
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第二章 数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [思路点拨]
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第二章 数列
[规范解答] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
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第二章 数列
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数
求和
na1＋an
公式 Sn＝_____2________
首项、公差与项数 Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
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第二章 数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方 法就是解方程组．
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第二章 数列
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢 管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示] 六层 等腰梯形
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第二章 数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如 图所示，则这样共有多少钢管？
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第二章 数列
由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0， 从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝n(7－n)， 当n>4时，Tn＝Sn－S4＋(－S4) ＝Sn－2S4＝n(n－7)－2×4×(4－7) ＝n2－7n＋24
∴Tn＝nn2－7－7nn＋，2n4≤，4n，>4.
高中数学第二章数列2.2.1等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教B版必修5
第二十三页，共42页。
【解】 由题意可知，，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，且首项 a1＝200，公差 d ＝－20.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20) ＝－20n＋220. 若 an<0，则该公司经销这一产品将亏损， 由 an＝－20n＋220<0，解得 n>11， 即从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损.
解得
a1＝1， d＝3
或
a1＝16， d＝－3，
∴d＝3 或－3.
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法二：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48，及 a2＋a24＝a3＋a23＝2a13. 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34，及 a3＋a4＝a2＋a5 得 2(a2＋a5)＝34， 即 a2＋a5＝17. 解aa22＋·a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝＝41.3， ∴d＝a55－－2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－－2a2＝4－313＝－3.
第十九页，共42页。
【自主解答】 由题图可知，从第 1 年到第 6 年平均每个养鸡场出产的鸡
数成等差数列，记为{an}，公差为 d1，且 a1＝1，a6＝2；从第 1 年到第 6 年的养 鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为 d2，且 b1＝30，b6＝10；从第 1 年到 第 6 年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则 cn＝anbn.
第九页，共42页。
4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝________. 【解析】 在等差数列{an}中，由于 a7＋a9＝a4＋a12，所以 a12＝(a7＋a9)－ a4＝16－1＝15. 【答案】 15
2018版高中数学苏教版必修五学案：2.2.1 等差数列的概念
2．2.1等差数列的概念学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一等差数列的概念思考给出以下三个数列：(1)0,5,10,15,20；(2)4,4,4,4，…；(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.它们有什么共同的特征？梳理一般地，如果一个数列从第________项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．知识点二等差中项的概念思考所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.梳理如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝a＋b2，我们把A＝a＋b2叫做a和b的等差中项．知识点三等差数列的判定与证明思考1如何判定有穷数列为等差数列？思考2如何判定无穷数列为等差数列？梳理一般地，要判定和证明数列{a n}为等差数列，只需证明a n＋1－a n＝d始终成立．类型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n－a n(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数．＋1跟踪训练1下列是等差数列的有________．(填序号)①3,4,5,6,7,8，…；②1，－1，－3，－5，－7，…；③2,2,2,2，…；④5,55,555,5555，….类型二等差中项例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．反思与感悟在等差数列{a n}中，由定义有a n＋1－a n＝a n－a n－1(n≥2，n∈N*)，即a n＝a n＋1＋a n－12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪训练2若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．类型三等差数列的证明例3已知数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5.求证{a n}是等差数列．反思与感悟为了确保从第二项起，每一项减前一项的差始终是同一个常数．当证明项数较多或者无穷的数列为等差数列时，不宜逐项验证，而需证a n＋1－a n＝d.跟踪训练3数列{a n}中，a n＝2n，求证{ln a n}为等差数列．1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d ＝________.2．已知在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于________．3．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，则公差d 的值为________． 4．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，试证明{a n }不是等差数列．1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法：(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．任意两个实数a ，b 的等差中项即为它们的平均值a ＋b 2，等差数列{a n }中，从第2项起，每一项都是它前后邻项的等差中项．答案精析问题导学知识点一思考 从第2项起，每项减去它的前一项所得的差是同一个常数．梳理二 常数 公差知识点二思考 插入的数分别为3,2，a ＋b 2，0. 知识点三思考1 因为有穷数列项数有限，可逐项验证从第二项起，是否每一项减前一项所得的差始终相等即可．思考2 因为无穷数列项数无限多，逐项验证不可行，需要证明a n ＋1－a n ＝d ，n ∈N *. 题型探究例1 解 由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列． 跟踪训练1 ①②③解析 由等差数列定义可知①②③均为等差数列．对于④，55－5≠555－55，故不是． 例2 解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，∴b ＝－1＋72＝3. 又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.跟踪训练2 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8.又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10.两式相加，得m ＋n ＝6.所以m 和n 的等差中项为m ＋n 2＝3. 例3 证明 ∵a n ＝2n ＋5，∴a n ＋1＝2(n ＋1)＋5.∴a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2，n ∈N *，∴{a n }是公差为2的等差数列．跟踪训练3 证明 ln a n ＋1－ln a n＝ln a n ＋1a n ＝ln 2n ＋12n ＝ln 2.n ∈N *， ∴{ln a n }是公差为ln 2的等差数列．当堂训练1．－2 2.60° 3.234．证明 a 1＝1，a 2＝22＝4，a 3＝32＝9.∵a 2－a 1＝4－1＝3，a 3－a 2＝9－4＝5，∴a 2－a 1≠a 3－a 2，∴{a n }不是等差数列．。
高中数学必修5课件：第2章2-2-2等差数列的性质
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
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第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
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第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
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第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
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第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
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第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前n项和(一)课件新
解 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，
1 1 2 ∴bn＝4(bn＋1) －4(bn－1＋1)2
1 2 ＝4(bn－b2 n－1＋2bn－2bn－1).
2 整理，得 b2 － b n n－1－2bn－2bn－1＝0，
∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0，
∵b n ∴Sn＝25n＋ (n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169， 2 ∴当n＝13时，Sn有最大值169.
又因为an－an－1＝(2n－4)－[2(n－1)－4]＝2(n≥2)，所以{an}是等
差数列.
(2)数列{an}的前n项和Sn＝35n－2n2，求使Sn最大的n.
解 35 2 1 225 由 Sn＝35n－2n ＝－2(n－ 4 ) ＋ 8 .
2
当且仅当n＝9时，Sn最大.故n＝9. 规律方法
n＝1， S1 一般地，an与Sn有如下关系：an＝ Sn－Sn－1 n≥2.
3.等差数列前n项和的最值
d 2 d (1)因为等差数列前n项和可变为Sn＝ n ＋(a1－ )n，若 2 2 d≠0， 则从二次函数的角度看： 当d>0时， Sn有 最小 值；
当d<0时， Sn有 最大 值； 且n取最接近对称轴的自然数时， Sn取到最值.
(2)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有 最大 值，
要点二 由数列的Sn求通项an 例2 (1) 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn ＝ n2 － 3n ，求证数列 {an}是等差数列. 证明 a1＝S1＝1－3＝－2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4，
当n＝1时，2n－4＝－2＝a1，∴an＝2n－4.
2018年高中数学第二章数列2.2第二课时等差数列的性质课件苏教版选修5
[小试身手]
1．在等差数列 an 中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝________.
解析：∵ an 为等差数列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2， 即a6＝2×2－4＝0. 答案：0
2．x＋1与y－1的等差中项为10，则x＋y＝________.
解析：(x＋1)＋(y－1)＝2×10，∴x＋y＝20. 答案：20
∴2ac＝b(a＋c)． ∵a，b，c成等差数列．∴2b＝a＋c. a＋c2 ∴2ac＝ 2 ，∴(a－c)2＝0. ∴a＝c.又2b＝a＋c，∴a＝b＝c. 这与a，b，c成等差数列且公差d≠0矛盾． 1 1 1 故a，b， c不可能成等差数列.
等差数列性质的应用
[典例] (1)等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8. (2)数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{an}是等差 数列，求a5＋a8.
本例求解主要用到了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq. 对于此性质，应注意必须是两项相加等于两项相加，否则 不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋ a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.
解析：由m和2n的等差中项为4，则m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，则2m＋n＝10. 两式相加，得m＋n＝6. m＋n 6 所以m与n的等差中项为 2 ＝2＝3. 答案：3
1 1 1 3．已知正数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证： a， b， c 不 可能成等差数列． 1 1 1 2 1 1 证明：假设a，b， c成等差数列，则b＝a＋ c.
(1)若三数a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即b为a， c的等差中项，反之，也成立，这个结论在已知等差数列的 题中经常用到． (2)证明一个数列是等差数列，除利用定义证明an＋1－an ＝d外，利用等差中项公式也是一种常用到的方法，即证： 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．