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中考数学 复习 《图形的旋转》练习题(含答案)

中考复习每日一练第三十讲《图形的旋转》一．选择题1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，四边形AOBC绕点O顺时针方向旋转得到四边形DOEF，下列说法正确的是（）A．旋转角是∠BODB．AO＝EOC．若连接CO，FO，则CO＝FOD．四边形AOBC和四边形DOEF可能不全等3．若点M（2，b﹣3）关于原点对称点N的坐标是（﹣3﹣a，2），则a，b的值为（）A．a＝﹣1，b＝1 B．a＝1，b＝﹣1 C．a＝1，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣14．已知点A（﹣1，），O为坐标原点，连结OA．将线段OA绕点O按逆时针方向旋转30°得到线段OA′，则点A′的坐标为（）A．（1，﹣）B．（﹣2，）C．（﹣，2）D．（﹣，1）5．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，且点D在AC上，下列说法错误的是（）A．AC平分∠BAE B．AB＝AD C．BC∥AE D．BC＝DE6．如图，将△ABC绕点C（0，）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a，﹣b﹣） C．（﹣a，﹣b+） D．（﹣a，﹣b+2）7．在四张完全相同的卡片上．分别画有等腰三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．18．如图，把一个直角三角板△ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD，则∠BD C的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°9．已知点P（x，y）在第二象限，|x|＝6，|y|＝8，则点P关于原点的对称点的坐标为（）A．（6，8）B．（﹣6，8）C．（﹣6，﹣8）D．（6，﹣8）10．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，其中有：①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝DE；④∠A＝∠EBC，四个结论，则结论一定正确的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．如图，将Rt△ABC绕着直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接AA'，若∠CA'B'＝25°，则∠BAA'＝度．12．如图，在△ADE中，∠DAE＝80°，将△ADE绕点A顺时针旋转α得△ABC，若AC平分∠DAE，则α＝；若AC平分∠BAE，则α＝．13．如图，A点的坐标为（0，4），B点的坐标为（4，2），C点的坐标为（6，2），D点的坐标为（4，﹣2），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是．14．在△ABC中∠ACB＝45°，，BC＝12，以AB为直角边、A为直角顶点作等腰直角三角形ABD，则CD＝．15．两块大小相同，含有30°角的三角板如图水平放置，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点E′恰好落在AB上时，△CDE旋转的角度是度．16．如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝8，将△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则△OBB1的面积为．17．如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（﹣3，0），C是线段AB的中点，D为x轴上一个动点，以AD 为直角边作等腰直角△ADE（点A，D，E以顺时针方向排列），其中∠DAE＝90°，则点E的横坐标等于，连结CE，当CE达到最小值时，DE的长为．18．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，顶点B为（﹣4，0），顶点C为（1，0），将△ABC关于y轴轴对称变换得到△A1B1C1，再将△A1B1C1关于直线x＝2（即过（2，0）垂直于x轴的直线）轴对称变换得到△A2B2C2，再将△A2B2C2关于直线x＝4轴对称变换得到△A3B3C3，再将△A3B3C3关于直线x＝6轴对称变换得到△A4B4C4…，按此规律继续变换下去，则点A10的坐标为．三．解答题19．在正方形网格图中，若每个小正方形的边长是1，△A 1B 1C 1与△ABC 关于点O 对称．（1）画出△A 1B 1C 1．（2）A 1B 1与AB 的位置关系是 ．（3）点P 在直线CO 上，BP +AP 的最小值是 ．20．如图，是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A ，B ，C ，D 均在格点上，在网格中将点D 按下列步骤移动：第一步：点D 绕点A 顺时针旋转180°得到点D 1第二步：点D 1绕点B 顺时针旋转90°得到点D 2；第三步：点D 2绕点C 顺时针旋转90°回到点D ；（1）请用圆规画出点D →D 1→D 2→D 经过的路径；（2）所画图形是 对称图形；（3）写出所画图形的周长和所画图形围成的面积．（结果保留π）周长：面积：21．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A、与y轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（﹣6，0），直线BC与直线AB关于y轴对称．（1）求△ABC的面积；（2）如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；（3）如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N 是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM+NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明．22．实验探究：如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，交于BD、CE点P．【问题发现】（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD、CE的关系是（“相等”或“不相等”），请直接写出答案；【类比探究】（2）若AB＝3，AD＝5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，在图中作出旋转后的图形，并求出此时PD的长；【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请直接写出旋转过程中线段PD的最小值为．23．【材料阅读】我们曾解决过课本中的这样一道题目：如图1，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，延长BA至F，使AF＝CE，连接DE，DF．……提炼1：△ECD绕点D顺时针旋转90°得到△FAD；提炼2：△ECD≌△FAD；提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式．【问题解决】（1）如图2，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠，点C落在G处，EG交AB于点F，连接DF．可得：∠EDF＝°；AF，FE，EC三者间的数量关系是．（2）如图3，四边形ABCD的面积为8，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，连接AC．求AC的长度．（3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E在边AB上，∠DCE＝45°．写出AD，DE，EB 间的数量关系，并证明．24．阅读材料：如图1，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在BC上，BD＝BE，∠ADC＝α，∠BEF＝180°﹣2α，延长CA，EF交于点G，GA＝GF，求证AD＝EF．分析：等腰三角形是一种常见的轴对称图形，几何试题中我们常将一腰所在的三角形沿着等腰三角形的对称轴进行翻折，从而构造轴对称图形．①小明的想法是：将BE放到△BEF中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BDH＝∠BEF交BC于H （如图2）．②小白的想法是：将BD放到△BDC中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BEH＝∠BDC交BD的延长线于H（如图3）．请你从上述俩种方法中一种或按照自己的方法解决问题；经验拓展：如图4，等边△ABC中，D是AC上一点，连接BD，E为BD上一点，AE＝AD，过点C作CF⊥BD 交BD的延长线于点F，∠ECF＝60°，若BE＝a，DF＝b，求DE的长（用含a，b的式子表示）．参考答案一．选择题1．解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形．故本选项正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；故选：A．2．解：∵四边形AOBC绕点O顺时针方向旋转得到四边形DOEF，∴旋转角是∠AOD，OA＝OD，四边形AOBC和四边形DOEF全等，故A、B、D选项错误；若连接CO，FO，则CO＝FO，故C选项正确，故选：C．3．解：∵点M（2，b﹣3）关于原点对称点N的坐标是（﹣3﹣a，2），∴2＝3+a，b﹣3＝﹣2，解得：a＝﹣1，b＝1．故选：A．4．解：如图，作AH⊥x轴于H，作A′E⊥x轴于E．∵A（﹣1，），∴OH＝1，AH＝，∴tan∠AOH＝＝，∴∠AOH＝60°，∠OAH＝30°，∴OA＝OA′＝2OH＝2，∵∠AOA′＝30°，∴∠A′OE＝30°，∴A′E＝OA′＝1，OE＝A′E＝，∴A′（﹣，1），故选：D．5．解：将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，BC＝DE，故A、B、D选项正确；∵∠C＝∠E，但∠C不一定等于∠DAE，∴BC不一定平行于AE，故C选项，错误；故选：C．6．解：设A′（m，n），∵CA＝CA′，C（0，），A（a，b），∴∴m＝﹣a，n＝2﹣b，∴A′（﹣a，2﹣b），故选：D．7．解：∵等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：．故选：C．8．解：∵△EBD由△ABC旋转而成，∴△ABC≌△EBD，∴BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，∴∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝150°，∴∠BDC＝（180°﹣150°）＝15°；故选：A．9．解：∵|x|＝6，|y|＝8，∴x＝±6，y＝±8，∵x＜0，y＞0，∴x＝﹣6，y＝8，即点P的坐标是（﹣6，8），关于原点的对称点的坐标是（6，﹣8），故选：D．10．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①、③错误；∴∠ACD＝∠BCE，∴∠A＝∠ADC＝（180°﹣∠ACD），∠CBE＝（180°﹣∠BCE），∴∠A＝∠EBC，故④正确；∵∠A+∠ABC不一定等于90°，∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误；故选：A．二．填空题（共8小题）11．解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC＝A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CA′A＝45°，∠CA′B′＝∠BAC＝25°，∴∠BAA′＝180°﹣65°﹣45°＝70°，故答案为：70．12．解：由旋转的性质得：∠BAC＝∠DAE＝80°，∴∠1＝∠2＝α，若AC平分∠DAE，则α＝∠2＝∠DAE＝40°；若AC平分∠BAE，则AC与AD重合，α＝∠DAE＝80°；故答案为：40°；80°．13．解：如图，旋转中心为P（2，0）或（5，5）．故答案为（2，0）或（5，5）．14．解：将△ACD绕着点A逆时针旋转90°得到△AEB，连接BE，则AE＝AC＝，∠CAE＝∠BAD＝90°，BE＝CD，∴△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE＝45°，EE＝AC＝5，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝90°，∴BE＝＝＝13，∴BE＝CD＝13．故答案为：13．15．解：∵三角板是两块大小且含有30°的角，∴CE′是△ACB的中线，∴CE′＝BC＝BE′，∴△E′CB是等边三角形，∴∠BCE′＝60°，∴∠ACE′＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30．16．解：∵在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝8，∴AB ＝＝10，∵点D 为AB 的中点，∴OD ＝AB ＝2.5cm ．∵将△AOB 绕顶点O ，按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处，∴OB 1＝OB ＝8，∴B 1D ＝OB 1﹣OD ＝3，过D 作DH ⊥OB 于H ，过B 1A 作B 1G ⊥BC 于G ，∴DH ∥B 1G ，∴△ODH ∽△OB 1G ， ∴＝， ∵DH ＝＝＝3， ∴， ∴B 1G ＝，∴△OBB 1的面积＝×8＝， 故答案为：．17．解：如图，把线段AC 绕点A 逆时针旋转90°，得到AC ′，连接C ′D ，则C ′为定点（2，），在△ACE 和△AC ′D 中∴△ACE ≌△AC ′D （SAS ）∴C ′D ＝CE ．当C′D⊥OD时，C′D最小，CE最小值为，∴OD＝2，过E作EG⊥OA于G，EH⊥x轴于H，则四边形EHOG是矩形，∴EG＝OH，∵∠AGE＝∠AOD＝∠EAD＝90°，∴∠AEG+∠EAO＝∠EAO+∠OAD＝90°，∴∠AEG＝∠OAD，∵AE＝AD，∴△AEG≌△DAO（AAS），∴AG＝OD＝2，EG＝OA＝4，∴点E的横坐标等于﹣4，∴EH＝OG＝2，DH＝2+4＝6，∴DE＝＝2，故答案为：﹣4，2．18．解：△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，顶点B为（﹣4，0），顶点C为（1，0），∴BC＝5∴A（﹣1.5，2.5）将△ABC关于y轴轴对称变换得到△A1B1C1，∴A1（1.5，2.5）再将△A1B1C1关于直线x＝2轴对称变换得到△A2B2C2，∴A2（2.5，2.5）再将△A2B2C2关于直线x＝4轴对称变换得到△A3B3C3，∴A3（5.5，2.5）再将△A3B3C3关于直线x＝6轴对称变换得到△A4B4C4，∴A4（6.5，2.5）…按此规律继续变换下去，A5（8.5，2.5），A6（9.5，2.5），A7（11.5，2.5）则点A10的坐标为（15.5，2.5），故答案为：（15.5，2.5）．三．解答题（共6小题）19．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）观察图形可知：A 1B1∥AB，故答案为：A1B1∥AB；（3）如图，连接A1B，交OC于点P，∵点A与A1关于点O对称，∴PA＝PA1∴BP+AP＝BP+A1P＝BA1＝＝BP+AP的最小值是BA1的长为．故答案为．20．解：（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示．（2）所画图形是轴对称图形；故答案为：轴．（3）周长＝π•4+π•4＝8π．面积＝4（﹣×4×4）＝16π﹣32．故答案为8π，16π﹣32．21．解：（1）∵A（﹣6，0），∴OA＝6，∵∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴OA＝OB＝6，∵AB，AC关于y轴对称，∴OA＝OC＝6，∴△ABC的面积＝×AC×OB＝×12×6．（2）过E作EF⊥x轴于F，延长EA交y轴于H．∵△BDE为等腰直角三角形∴DE＝DB，∠BDE＝90°∵∠BDE＝90°∴∠EDF+∠BDO＝90°∵∠BOD＝90°∴∠BDO+∠DBO＝90°∴∠EDF＝∠DBO（同角的余角相等）∵EF⊥X轴∴∠BOF＝∠EFD＝90°，在△DEF与△BDO中∠EDF＝∠DBO∠BOF＝∠EFDDE＝DB∴△DEF≌△BDO（AAS），∴DF＝BO＝AO，EF＝OD；∴AF＝EF，∴∠EAF＝45°，∴△AOH为等腰直角三角形．∴OA＝OH，∴H（0，﹣6）∴直线EA的解析式为：y＝﹣x﹣6；（3）如图3中，作点N关于AF的对称点N′（N′在射线AE上），连接ON′交AF于M．∵OM+MN＝OM+MN′＝ON′当点N运动时，ON′最短为点O到直线AE的距离，即点O到直线AE的垂线段的长，∵∠OAE＝30°，OA＝6，∴当ON′⊥AE时，ON′＝OA＝3，所以OM+NM的值为3．22．解：（1）BD、CE的关系是相等．理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，DA＝EA，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE．故答案为：相等．（2）如图2，3即为旋转后的图形．①如图2，当C在AD上时，由（1）知△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC又∵∠PCD＝∠ACE，∴△PCD～△ACE，∴又∵CE＝＝＝CD＝AD﹣AC＝5﹣3＝2∴，解得；如图3，当C在AD反向延长线上时，同理△PEB～△ABD＝∵BD＝BE＝AE﹣AB＝5﹣3＝2∴＝解得PB＝∴PD＝DB+PB＝+＝．答：此时PD的长为或．（3）如图4所示，以点A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在圆A下方与圆A相切时，PD的值最小．在Rt△ACE中，CE＝＝＝4 在Rt△ADE中，DE＝＝＝5∵四边形ABPC是正方形，∴PC＝AB＝3∴PE＝PC+CE＝3+4＝7在Rt△DEP中，PD＝＝＝1 ∴线段PD的最小值为1．故答案为：1．23．【问题解决】解：（1）由折叠的性质可得△CDE≌△GDE，∴CD＝DG，∠CDE＝∠GDE，∠DCE＝∠DGE＝90°，在Rt△DAF和Rt△DGF中，，∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），∴∠ADF＝∠GDF，AF＝FG．∴∠EDF＝∠EDG+∠FDG＝＝45°，EF＝FG+EG＝AF+EC；故答案为：45°，AF+EC＝FE．（2）如图，延长CD到E，使DE＝BC，连接AE．∵AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴AE＝AC，∠EAD＝∠CAB．∴∠EAC＝90°．∵四边形ABCD的面积为8，可得△ACE的面积为8．∴．解得，AC＝4．（3）AD2+BE2＝DE2．证明如下：如图2：将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCH，连接EH．∴DC＝HC，∠DCE＝∠ECH＝45°，∠CAD＝∠CBH＝45°，∵CE＝CE，∴△CEH≌△CED（SAS）．∴EH＝ED．∴∠ABC+∠CBH＝∠EBH＝90°．∴HB2+BE2＝EH2．∵AD＝BH，∴AD2+BE2＝DE2．24．阅读材料：证明：①小明的想法：如图2中：将BE放到△BEF中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BDH＝∠BEF交BC于H．∵∠BDH＝∠BEF，∠B＝∠B，BD＝BE，∴△BDH≌△BEF（ASA）∴∠BFE＝∠BHD，EF＝DH，∵∠BEF＝180°﹣2α，∴∠BDH＝180°﹣2α，且∠BDH+∠CDH+∠ADC＝180°，∠ADC＝α，∴∠ADC＝∠CDH，∵GA＝GF，∴∠GAF＝∠GFA，且∠GFA＝∠BFE＝∠BHD，∴∠GAF＝∠BHD，∴∠DAC＝∠DHC，且∠ADC＝∠CDH，DC＝DC，∴△ADC≌△HDC（AAS）∴AD＝DH，∴AD＝EF；②小白的想法：如图3中：将BD放到△BDC中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BEH＝∠BDC交BD的延长线于H．∵∠BEH＝∠BDC，BE＝BD，∠B＝∠B，∴△BEH≌△BDC（ASA），∴∠H＝∠C，EH＝CH，∠BEH＝∠BDC，∴∠ADC＝∠CEH＝α，∵∠BEF＝180°﹣2α＝180°﹣∠GEC，∴∠FEH＝∠HEC＝∠ADC＝α，∴△ADC≌△FEH（ASA），∴AD＝EF．经验拓展：如图4中，延长AE到M，使得AM＝AC，连接DM交CE于O，作MN⊥BF于N．连接AO，BM，CM．∵AD＝AE，AM＝AC，∴EM＝CD，∠AMC＝∠ACM，∵CM＝MC，∴△ECM≌△DMC（SAS），∴∠ECM＝∠DMC，∴OM＝OC，∵AE＝AD，∴AO垂直平分线段EF，∠AEO＝∠DAO，∵MN⊥BF，CF⊥BF，∴MN∥CF∥OA，∴∠NME＝∠EAO，∠DCF＝∠DAO，∴∠NME＝∠DCF，∵∠MNE＝∠F＝90°，∴△MNE≌△CFD（AAS），∴DF＝EN＝b，MN＝CF，∵∠FBC+∠FCB＝∠FBC+60°+∠FCD＝90°，∴∠FBC+∠FCD＝30°，∵AB＝AM＝AC，∴∠CBM＝∠CAM＝∠FCD，∴∠FBC+∠CBM＝30°，∴MN＝BN•tan30°＝（a﹣b），∴CF＝MN＝（a﹣b），∵∠ECF＝60°，∴EF＝CF•tan60°＝a﹣b，∴DE＝EF﹣DF＝a﹣2b．。

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中考数学专题复习旋转的综合题附详细答案

中考数学专题复习旋转的综合题附详细答案

一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB=42，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C ′． （1）求抛物线C 的函数表达式；（2）若抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． （3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点P ′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PMP ′N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2142y x =-+；（2）2＜m ＜23）m =6或m 173． 【解析】试题分析：（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （2，0），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A （220）代入可得a =12-，由此即可解决问题； （2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()2142y x m =--，由()22142142y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-=，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(428020280m m m ⎧-->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），利用待定系数法即可解决问题．试题解析：（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （22，0），设抛物线的解析式为24y ax=+，把A （22，0）代入可得a =12-，∴抛物线C 的函数表达式为2142y x =-+．（2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()2142y x m =--，由21421(42x y x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-= ，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(428020280m m m ⎧-->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解得2＜m ＜22，∴满足条件的m 的取值范围为2＜m ＜22． （3）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．理由：1情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，∴PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，∴M （m +2，m ﹣2），∵点M 在2142y x =-+上，∴()212242m m -=-++，解得m 173或173（舍弃），∴m 17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），把M （m ﹣2，2﹣m ）代入2142y x =-+中，()212242m m -=--+，解得m =6或0（舍弃），∴m =6时，四边形PMP′N是正方形．综上所述：m=6或m=17﹣3时，四边形PMP′N是正方形．2．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示).【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°)【解析】【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论；(2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可.【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF，∴∠BAE=∠FEA，∴AB∥FE，∴四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF，∴四边形ABEF是菱形；（2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B∴∠1＝∠2又AM＝NM，AB＝MG∴△ABM≌△MGN∴∠B＝∠3，NG＝BM∵MG＝AB＝BE∴EG＝AB＝NG∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－又在菱形ABEF中，AB∥EF∴∠FEC＝∠B=∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90°②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN.同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90°综上所述，∠FEN＝－90°∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3)当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°)【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN 的最小值.3．平面上，Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放，∠B ＝90°，AC ＝2CE ＝m ，BC ＝n ，半圆O 交BC 边于点D ，将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ，旋转角记为α（0°≤α≤180°）（1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝ °，CD ＝ ；（2）试判断：旋转过程中BDAE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长；（4）若m ＝6，n ＝2，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3）55；（4）BD=101143． 【解析】试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CECB CA=即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题．（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可． 试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =12n ．故答案为90°，12n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD =32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m．故答案为nm．（2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵CD BC nCE AC m==，∴△ACE ∽△BCD ，∴BD BC nAE AC m==．（3）如图4中，当α=∠ACB 时．在Rt △ABC 中，∵AC =10，BC =8，∴AB =22AC BC -=6．在Rt △ABE 中，∵AB =6，BE =BC ﹣CE =3，∴AE =22AB BE +=2263+=35，由（2）可知△ACE ∽△BCD ，∴BD BCAE AC=，∴35=810，∴BD =1255．故答案为1255． （4）∵m =6，n =42，∴CE =3，CD =22，AB =22CA BC -=2，①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切．在Rt △DBC 中，BD =22BC CD +=224222+（）（）=210． ②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，作EM ⊥AB 于M ．∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°，∴四边形BCEM 是矩形，∴342BM EC ME ===，，∴AM =5，AE =22AM ME +=57，由（2）可知DB AE =223，∴BD =21143． 故答案为210或21143．点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．4．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA=6，点D 是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，猜想：△CDE的形状是三角形．（2）请证明（1）中的猜想（3）设OD=m，①当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）3；②当m=2或14时，以D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形．【解析】【分析】（1）由旋转的性质猜想结论；（2）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（3）①当6＜m＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，分四种情况讨论：a）当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；b）当0≤m＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m；c）当6＜m＜10时，此时不存在；d）当m＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m=14．【详解】（1）等边；（2）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE 是等边三角形．（3）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得：BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD3，∴△BDE的最小周长=CD3；②存在，分四种情况讨论：a）∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；b）当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°．∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°．∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴m=2；c）当6＜m＜10时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；d）当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14，∴m=14．综上所述：当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．5．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P 处，再折出PB、PC，最后用笔画出△PBC(图1)．（1）求证：图1中的PBC是正三角形：（2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN．①求证：IH=IJ②请求出NJ的长；（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12-63（3）33＜a ＜43，a ＞43 【解析】分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC ，PB=CB ，得出PB=PC=CB 即可；（2）①利用“HL”证Rt △IHM ≌Rt △IJN 即可得；②IJ 上取一点Q ，使QI=QN ，由Rt △IHM ≌Rt △IJN 知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x ，则IQ=QN=2x 、QJ=3x ，根据IJ=IQ+QJ 求出x 即可得；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可． （1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB 与DC 重合，得到折痕EF ∴PB=PC∵沿折痕BG 折叠纸片，使点C 落在EF 上的点P 处 ∴PB=BC ∴PB=PC=BC∴△PBC 是正三角形： （2）证明：①如图∵矩形AHIJ ∴∠H=∠J=90° ∵△MNJ 是等边三角形 ∴MI=NI在Rt △MHI 和Rt △JNI 中MI NIMH NJ =⎧⎨=⎩∴Rt △MHI ≌Rt △JNI （HL ） ∴HI=IJ②在线段IJ 上取点Q ，使IQ=NQ∵Rt △IHM ≌Rt △IJN ，∴∠HIM=∠JIN，∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°，∴∠HIM=∠JIN=15°，由QI=QN知∠JIN=∠QNI=15°，∴∠NQJ=30°，设NJ=x，则IQ=QN=2x，QJ=22=3QN NJ-x，∵IJ=6cm，∴2x+3x=6，∴x=12-63，即NJ=12-63（cm）．（3）分三种情况：①如图：设等边三角形的边长为b，则0＜b≤6，则tan60°=3=2ab，∴a=3b，∴0＜b≤63=33；②如图当DF与DC重合时，DF=DE=6，∴a=sin60°×DE=32=33当DE与DA重合时，a=63sin603==︒∴33a＜3③如图∵△DEF是等边三角形∴∠FDC=30°∴DF=643 cos303==︒∴a＞43点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．6．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．（1）若CA=CB，CE=CD①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算的值．【答案】（1）①BE=AD，BE⊥AD；②见解析；（2）125．【解析】试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD，BE⊥AD；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，根据∠ACB=∠ECD=90°得出∠ACD=∠BCE，然后结合AC=BC，CD=CE得出△ACD≌△BCE，则AD=BE，∠CAD=∠CBF，根据∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°得出∠AFG+∠CAD=90°，从而说明垂直；首先根据题意得出△ACD∽△BCE，然后说明∠AGE=∠BGD=90°，最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线段转化成已知的线段得出答案．试题解析：（1）①解：BE=AD，BE⊥AD②BE=AD，BE⊥AD仍然成立证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=BC CD=CE ∴△ACD≌△BCE∴AD=BE ∠CAD=∠CBF ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4 ∴△ACD∽△BCE∴∠CAD=∠CBE ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD ∴∠AGE=∠BGD=90°∴，．∴．∵，，∴考点：三角形全等与相似、勾股定理．7．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析【解析】试题分析：（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出O C′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．试题解析：（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．-．【答案】（1）BQ=CP；（2）成立：PC=BQ；（3）434【解析】试题分析：（1）结论：BQ=CP．如图1中，作PH∥AB交CO于H，可得△PCH是等边三角形，只要证明△POH≌△QPB即可；（2）成立：PC=BQ．作PH∥AB交CO的延长线于H．证明方法类似（1）；（3）如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF．设CE=CO=a，则FC=FP=2a，EF3，在Rt△PCE中，表示出PC，根据PC+CB=4，可得方程a a+=，求出a即可解决问题；62)24试题解析：解：（1）结论：BQ=CP．理由：如图1中，作PH∥AB交CO于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等边三角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等边三角形，∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP，∵∠OPQ=∠OCP=60°，∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ．（2）成立：PC =BQ ．理由：作PH ∥AB 交CO 的延长线于H ．在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，∠A =30°，点O 为AB 中点，∴CO =AO =BO ，∠CBO =60°，∴△CBO 是等边三角形，∴∠CHP =∠COB =60°，∠CPH =∠CBO =60°，∴∠CHP =∠CPH =60°，∴△CPH 是等边三角形，∴PC =PH =CH ，∴OH =PB ，∵∠POH =60°+∠CPO ，∠QPO =60°+∠CPQ ，∴∠POH =∠QPB ，∵PO =PQ ，∴△POH ≌△QPB ，∴PH =QB ，∴PC =BQ ．（3）如图3中，作CE ⊥OP 于E ，在PE 上取一点F ，使得FP =FC ，连接CF ．∵∠OPC =15°，∠OCB =∠OCP +∠POC ，∴∠POC =45°，∴CE =EO ，设CE =CO =a ，则FC =FP =2a ，EF =3a ，在Rt △PCE 中，PC =22PE CE + =22(23)a a a ++ =(62)a +，∵PC +CB =4，∴(62)24a a ++=，解得a =4226-，∴PC =434-，由（2）可知BQ =PC ，∴BQ =434-．点睛：此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。

中考数学总复习图形的旋转-精练精析含答案解析

中考数学总复习图形的旋转-精练精析含答案解析

图形的变——图形的旋转2一．选择题（共9小题）1．下面图形中，是中心对称图形的是（）A．B． C． D．2．在下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3将两个全等的直角三角形纸片构成如图的四个图形，其中属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣3）5．将点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（）A．（﹣5，﹣3） B．（1，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（5，﹣3）6．在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），P点关于x轴的对称点为P2（a，b），则=（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣47．下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．8．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）A．（，）B．（，） C．（，） D．（，4）9．如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为（）A．（，1）B．（，﹣1）C．（1，﹣）D．（2，﹣1）二．填空题（共8小题）10．如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B=100°，∠F=50°，则∠α的度数是_________ ．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C旋转得到△EDC，使点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则图中△CDF的面积为_________ ．12．如图，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，如图，将△DEF绕点D旋转，点D与AB的中点重合，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，则重叠部分（△DMN）的面积为_________ ．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，A′B′与AC相交于点D，那么= _________ ．14．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是AC上的点，如果△ABC绕点A逆时针旋转后与△ADE重合，那么旋转角是_________ 度．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为AB的中点，将△ACD绕着点C逆时针旋转，使点A落在CB的延长线A′处，点D落在点D′处，则D′B长为_________ ．16．如图，在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，将△ADC绕点A按逆时针方向旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），则AC在运动过程中所扫过的面积为_________ ．17．如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△ADE的位置，点B落在AC边上的点D处，设旋转角为α （0°＜α＜90°）．若∠B=125°，∠E=30°，则∠α=_________ °．三．解答题（共7小题）18．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．（1）求证：DA∥BC；（2）猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想．19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将矩形绕点C按顺时针方向旋转，使点B落在线段AC上，得矩形CEFG，边CD与EF交于点H，连接DG．（1）CH= _________ ．（2）求DG的长．20．如图，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点）．（1）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△CDE．写出点B对应点D和点A对应点E的坐标．（2）若以格点P、A、B为顶点的三角形与△CDE相似但不全等，请写出符合条件格点P的坐标．21．如图所示的直面直角坐标系中，△OAB的三个顶点坐标分别为O（0，0），A（1，﹣3）B（3，﹣2）．（1）将△OAB绕原点O逆时针旋转90°画出旋转后的△OA′B′；（2）求出点B到点B′所走过的路径的长．22．（1）如图，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC．求证：AB=DE．（2）如图，已知点A（﹣3，4），B（﹣3，0），将△OAB绕原点O顺时针旋转90°，得到△OA1B1．①画出△OA1B1，并直接写出点A1、B1的坐标；②求出旋转过程中点A所经过的路径长（结果保留π）．23推理证明：如图1，在正方形ABCD和正方形CGFE中，连结DE、BG，设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，求证：S1=S2．猜想论证：如图2，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG，连结DE、BG，设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，猜想S1、S2的数量关系，并加以证明．拓展探究：如图3，在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=30°，把△ABC沿AC翻折到△ACE，过点A作AD∥CE 交BC于点D，在线段CE上存在点P，使△ABP的面积等于△ACD的面积，请你直接写出CP的长．24．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；（2）当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数；（3）如图3，如果α=45°，AB=2，AE=，求点G到BE的距离．图形的变——图形的旋转2参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．下面图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形．分析：根据中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．点评：本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．在下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B． C．D．考点：中心对称图形．分析：根据中心对称图形的概念求解．解答：解：A、不是中心对称图形．故A选项错误；B、不是中心对称图形．故B选项错误；C、是中心对称图形．故C选项正确；D、不是中心对称图形．故D选项错误．故选：C．点评：本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3将两个全等的直角三角形纸片构成如图的四个图形，其中属于中心对称图形的是（）A． B．C．D．考点：中心对称图形．专题：常规题型．分析：根据中心对称图形的概念求解．解答：解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；B、不是中心对称图形，故B选项错误；C、是中心对称图形，故C选项正确；D、不是中心对称图形，故D选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣3）考点：关于原点对称的点的坐标．专题：常规题型．分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．解答：解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．故选：A．点评：关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．5将点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（）A．（﹣5，﹣3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（5，﹣3）考点：关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．分析：首先利用平移变化规律得出P1（1，3），进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P2的坐标．解答：解：∵点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，∴P1（1，3），∵点P2与点P1关于原点对称，∴P2的坐标是：（﹣1，﹣3）．故选；C．点评：此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的平移规律，正确把握坐标变化性质是解题关键．6在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），P点关于x轴的对称点为P2（a，b），则=（）A．﹣2 B2 C． 4 D．﹣4考点：关于原点对称的点的坐标；立方根；关于x轴、y轴对称的点的坐标．专题：计算题．分析：利用关于原点对称点的坐标性质得出P点坐标，进而利用关于x轴对称点的坐标性质得出P2坐标，进而得出答案．解答：解：∵P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），∴P（3，），∵P点关于x轴的对称点为P2（a，b），∴P2（3，﹣），∴==﹣2．故选：A．点评：此题主要考查了关于原点对称点的性质以及关于x轴对称点的性质，得出P点坐标是解题关键．7下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B． C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形；简单几何体的三视图．分析：先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确．故选：D．点评：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．8．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）A．（，）B．（，）C（，）D．（，4）考点：坐标与图形变化-旋转．专题：计算题；压轴题．分析：过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出O′D、BD，再求出OD，然后写出点O′的坐标即可．解答：解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A（2，），∴OC=2，AC=，由勾股定理得，OA===3，∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB=2OC=2×2=4，由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，∴O′D=4×=，BD=4×=，∴OD=OB+BD=4+=，∴点O′的坐标为（，）．故选：C．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．9．如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为（）A．（，1）B．（，﹣1）C．（1，﹣）D．（2，﹣1）考点：坐标与图形变化-旋转；等边三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：设A1B1与x轴相交于C，根据等边三角形的性质求出OC、A1C，然后写出点A1的坐标即可．解答：解：如图，设A1B1与x轴相交于C，∵△ABO是等边三角形，旋转角为30°，∴∠A1OC=60°﹣30°=30°，∴A1B1⊥x轴，∵等边△ABO的边长为2，∴OC=×2=，A1C=×2=1，又∵A1在第四象限，∴点A1的坐标为（，﹣1）．故选：B．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．二．填空题（共8小题）10．如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B=100°，∠F=50°，则∠α的度数是50°．考点：旋转的性质．专题：计算题．分析：由△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，根据旋转的性质得到∠C=∠F=50°，∠BAE=80°，再根据三角形的内角和定理得到∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣100°﹣50°=30°，由此可得到∠α的度数．解答：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，∴∠C=∠F=50°，∠BAE=80°，而∠B=100°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣100°﹣50°=30°，∴∠α=80°﹣30°=50°．故答案为：50°．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线的夹角定义旋转角；也考查了三角形的内角和定理．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C旋转得到△EDC，使点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则图中△CDF的面积为．考点：旋转的性质．专题：计算题．分析：先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．解答：解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2 ，AB=2BC=4，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD=AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=∠BCA﹣∠BCD=30°，∵∠EDC=∠B=60°，∴∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD=AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2 =，∴S△CDF=DF×CF=×=．故答案为：．点评：本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．12．如图，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，如图，将△DEF绕点D旋转，点D与AB的中点重合，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，则重叠部分（△DMN）的面积为．考点：旋转的性质．分析：作辅助线，利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性质，列方程求解解答：解：如图所示：过点D作DK⊥AC于点K，则DK∥BC，又∵点D为AB中点，∴DK=BC=3．∵DM=MN，∴∠MND=∠MDN，由∠MDN=∠B，∴∠MND=∠B，又∵∠DKN=∠C=90°，∴△DKN∽△ACB，∴=，即=，得KN=．设DM=MN=x，则MK=x﹣．在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK2+DK2=MD2，即：（x﹣）2+32=x2，解得x=，∴S△DMN=MN•DK=××3=．故答案为：．点评：此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的性质和勾股定理等知识，得出（x﹣）2+32=x2是解题关键．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，A′B′与AC相交于点D，那么= ．考点：旋转的性质．专题：计算题．分析：作CH⊥AB于H，先在Rt△ABC中，根据余弦的定义得到cosB==，设BC=3x，则AB=5x，再根据勾股定理计算出AC=4x，在Rt△HBC中，根据余弦的定义可计算出BH=x，接着根据旋转的性质得CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，所以根据等腰三角形的性质有B′H=BH=x，则AB′=x，然后证明△ADB′∽△A′DC，再利用相似比可计算出B′D与DC的比值．解答：解：作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB==，设BC=3x，则AB=5x，AC==4x，在Rt△HBC中，cosB==，而BC=3x，∴BH=x，∵Rt△ABC绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，∴CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，∵CH⊥BB′，∴B′H=BH=x，∴AB′=AB﹣B′H﹣BH=x，∵∠ADB′=∠A′DC，∠A′=∠A，∴△ADB′∽△A′DC，∴=，即=，∴=．故答案为．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形相似的判定与性质以及锐角三角形函数．14．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是AC上的点，如果△ABC绕点A逆时针旋转后与△ADE重合，那么旋转角是45°度．考点：旋转的性质．分析：根据等腰直角三角形的性质得到∠EAD=∠CAB=45°，然后根据旋转的性质得AE与AC重合，AD与AB重合，则∠DAB等于旋转角．解答：解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠EAD=∠CAB=45°，∵△ABC绕点A逆时针旋转后与△ADE重合，∴AE与AC重合，AD与AB重合，∴∠DAB等于旋转角，∴旋转角为45°．故答案为45°．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为AB的中点，将△ACD绕着点C逆时针旋转，使点A落在CB的延长线A′处，点D落在点D′处，则D′B长为．考点：旋转的性质．分析：由题意画出图形，过D′作D′E⊥BC，根据勾股定理可求出D′E的长，根据BC的长=3，可求出BE的长，再利用勾股定理即可求出D′B的长．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵点D为AB的中点，∴CD=AD=BD=AB=2.5，过D′作D′E⊥BC，∵将△ACD绕着点C逆时针旋转，使点A落在CB的延长线A′处，点D落在点D′处，∴CD′=AD=A′D′，∴D′E==1.5，∵A′E=CE=2，BC=3，∴BE=1，∴BD′==，故答案为：．点评：本题考查了勾股定理的运用、直角三角形斜边上的中线的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质，题目的综合性较强，正确的画出旋转后的图形是解题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，将△ADC绕点A按逆时针方向旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），则AC在运动过程中所扫过的面积为π．考点：旋转的性质；扇形面积的计算．分析：利用勾股定理列式求出AC，根据旋转的性质可得∠CAF=∠BAD=90°，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：在矩形ABCD中，∵AD=4，DC=3，∴AC===5，由旋转的性质得，∠CAF=∠BAD=90°，∴AC在运动过程中所扫过的面积==π．故答案为：π．点评：本题考查了旋转的性质，扇形面积的计算，矩形的性质，熟记性质并求出∠CAF的度数是解题的关键．17如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△ADE的位置，点B落在AC边上的点D处，设旋转角为α （0°＜α＜90°）．若∠B=125°，∠E=30°，则∠α=25 °．考点：旋转的性质．专题：计算题．分析：根据旋转的性质得∠C=∠E=30°，∠DAB=α，然后根据三角形内角和定理计算出∠CAB=25°，从而得到∠α=25°．解答：解：∵△ABC绕点A逆时针方向旋转到△ADE的位置，点B落在AC边上的点D处，∴∠C=∠E=30°，∠DAB=α，∵∠CAB+∠C+∠B=180°，∴∠CAB=180°﹣30°﹣125°=25°，∴∠α=25°．故答案为25．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．三．解答题（共7小题）18．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．（1）求证：DA∥BC；（2）猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．分析：（1）利用等边三角形的判定与性质得出∠DAB=∠ABC，进而得出答案；（2）首先利用旋转的性质以及全等三角形的判定方法得出△DBG≌△ABF（SAS），进而得出△BGF为等边三角形，求出DF=DG+FG=AF+AF=2AF．解答：（1）证明：由旋转的性质可知：∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB=60°，∴∠DAB=∠ABC，∴DA∥BC；（2）猜想：DF=2AF，证明如下：如图，在DF上截取DG=AF，连接BG，由旋转的性质可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF，在△DBG和△ABF中，，∴△DBG≌△ABF（SAS），∴BG=BF，∠DBG=∠ABF，∵∠DBG+∠GBE=α=60°，∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°，又∵BG=BF，∴△BGF为等边三角形，∴GF=BF，又∵BF=AF，∴FG=AF，∴DF=DG+FG=AF+AF=2AF．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质和等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定方法是解题关键．19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将矩形绕点C按顺时针方向旋转，使点B落在线段AC上，得矩形CEFG，边CD与EF交于点H，连接DG．（1）CH= ．（2）求DG的长．考点：旋转的性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）利用勾股定理列式求出AC，根据旋转的性质可得CE=BC，然后根据△ABC和△CEH相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；（2）过点G作GM⊥CD于M，然后求出△ABC和△GMC相似，根据相似三角形对应边成比例求出CM、MG，再求出DM，然后利用勾股定理列式计算即可得到DG．解答：解：（1）在矩形ABCD中，∵AB=4，BC=3，∴AC===5，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转得矩形CEFG，∴CE=BC=3，∵∠BAC+∠ACB=90°，∠ECH+∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ECH，又∵∠B=∠CEH=90°，∴△ABC∽△CEH，∴=，即=，解得CH=；故答案为：；（2）如图，过点G作GM⊥CD于M，∵∠ACB+∠ACD=∠GCM+∠ACD=90°，∴∠ACB=∠GCM，又∵∠B=∠GMC=90°，∴△ABC∽△GMC，∴==，即==，解得CM=，MG=，∴DM=CD﹣CM=4﹣=，在Rt△DMG中，DG===．点评：本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟记性质并确定出相似三角形是解题的关键，难点在于（2）作辅助线构造成相似三角形．20．如图，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点）．（1）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△CDE．写出点B对应点D和点A对应点E的坐标．（2）若以格点P、A、B为顶点的三角形与△CDE相似但不全等，请写出符合条件格点P的坐标．考点：作图-旋转变换；相似三角形的性质．专题：作图题．分析：（1）找到旋转角度、旋转中心、旋转方向后可得出各点的对应点，进而顺次连接即可得出答案；（2）可找能使△PAB是直角三角形且PA=2AB或（PB=2AB）的P．解答：解：（1）所作图形如下：由图形可得：D（2，3），E（2，1）、（2）所作图形如下：由图形可得：P（3，4）或（1，4）．点评：本题考查旋转作图及相似三角形的性质，难度不大，在进行旋转作图时一定要明确旋转角度、旋转中心、旋转方向．21．如图所示的直面直角坐标系中，△OAB的三个顶点坐标分别为O（0，0），A（1，﹣3）B（3，﹣2）．（1）将△OAB绕原点O逆时针旋转90°画出旋转后的△OA′B′；（2）求出点B到点B′所走过的路径的长．考点：作图-旋转变换；弧长的计算．专题：作图题．分析：（1）根据旋转角、旋转方向、旋转在中心找到各点的对应点顺次连接即可；（2）先求出OB 的长度，然后根据弧长公式即可计算．解答：解：（1）所作图形如下所示：（2）∵OB=，∴==π．点评：本题考查旋转作图，掌握画图的方法和图形的特点是关键；旋转时点经过的路径为一段弧长．22．（1）如图，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC．求证：AB=DE．（2）如图，已知点A（﹣3，4），B（﹣3，0），将△OAB绕原点O顺时针旋转90°，得到△OA1B1．①画出△OA1B1，并直接写出点A1、B1的坐标；②求出旋转过程中点A所经过的路径长（结果保留π）．考点：作图-旋转变换；全等三角形的判定与性质；弧长的计算．分析：（1）根据∠1=∠2，可得出∠BCA=∠ECD，然后利用SAS证明△ABC≌△DEC，继而可得出AB=DE；（2）①分别作出A、B绕点O顺时针旋转90°后的点A1、B1，然后顺次连接A1B1、A1O、B1O，并写出点A1、B1的坐标；②点A的路径为以OA为半径的弧长，根据弧长公式计算即可．解答：（1）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，即∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE．（2）解：①如图所示：A1（4，3），B1（0，3）；②如图，在Rt△OAB中，∵OB2+AB2=OA2，∴OA==5，∴l==，因此点A所经过的路径长为．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及根据旋转变换作图，解答本题的关键是作出各点旋转后的对应点．23．推理证明：如图1，在正方形ABCD和正方形CGFE中，连结DE、BG，设△DCE的面积为S1，△BCG 的面积为S2，求证：S1=S2．猜想论证：如图2，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG，连结DE、BG，设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，猜想S1、S2的数量关系，并加以证明．拓展探究：如图3，在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=30°，把△ABC沿AC翻折到△ACE，过点A作AD∥CE 交BC于点D，在线段CE上存在点P，使△ABP的面积等于△ACD的面积，请你直接写出CP的长．考点：几何变换综合题．分析：推理证明：过点E作EM⊥DC于M点，过点G作GN⊥BC交BC的延长线于N点，先证明△CME≌△CNG求得EM=GN，然后根据三角形的面积公式即可证得；猜想论证：，过点E作EM⊥DC于M，过点B作BN⊥GC交GC的延长线于点N，根据旋转的性质得出CE=CB，CG=CD，进而得出∠1=∠3，从而得出△CME≌△CNB，通过全等得出EM=BN，然后根据三角形的面积公式即可证得；拓展探究：先根据AD∥CE得出∠DAC=∠ACE=30°，进而得出∠BAD=90°，DM=AD，BN⊥EC，然后通过解直角三角函数求得AD，从而得出DM，最后根据三角形面积公式和已知条件得出PN=DM，即可求得CP的长；解答：证明：如图1，过点E作EM⊥DC于M点，过点G作GN⊥BC交BC的延长线于N点，∴∠EMC=∠N=90°，∵四边形ABCD和四边形ECGF为正方形，∴∠BCD=∠DCN=∠ECG=90°，CB=CD，CE=CG，∴∠1=90°﹣∠2，∠3=90°﹣∠2，∴∠1=∠3．在△CME和△CNG中∴△CME≌△CNG（ASA）．∴EM=GN．又∵S1=CD•EM，S2=CB•GN，∴S1=S2；猜想论证：猜想：S1=S2，证明：如图2，过点E作EM⊥DC于M，过点B作BN⊥GC交GC的延长线于点N，∴∠EMC=∠N=90°，∵矩形CGFE由矩形ABCD旋转得到的，∴CE=CB，CG=CD，∵∠ECG=∠ECN=∠BCD=90°，∴∠1=90°﹣∠2，∠3=90°﹣∠2，∴∠1=∠3．在△CME和△CNB中∴△CME≌△CNB（ASA）．∴EM=BN．又∵S1=CD•EM，S2=CG•BN，∴S1=S2；拓展探究：cm或cm．证明：如图3，作DM⊥AC于M，延长BA，交EC于N，∵AB=AC=10cm，∠B=30°，∴∠ACB=∠ABC=30°，∴∠BAC=120°，根据对折的性质，∠ACE=∠ACB=30°，∵AD∥CE，∴∠DAC=∠ACE=30°，∴∠BAD=90°，DM=AD，∴BN⊥EC，∵AD=tan∠ABD•AB，AB=10cm，∴AD=tan30°×10=，∴DM=×=，∵S△ABP=AB•PN，S△ADC=AC•DM，S△ABP=S△ADC，AB=AC，∴PN=DM=，在RT△ANC中∠ACN=30°，AC=10cm，∴NC=cos∠ACN•AC=cos30°×10=5，∵在EC上到N的距离等于的点有两个，∴P′C=cm，P″C=cm，∴CP的长为：cm或cm．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角函数的应用等，找出两个三角形的高的关系是本题的关键．24．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；（2）当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数；（3）如图3，如果α=45°，AB=2，AE=，求点G到BE的距离．考点：几何变换综合题．分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再根据余角的性质，可得∠BAE=∠DAG，然后利用“SAS”证明△ABE≌△ADG，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）分两种情况：①E在BC的右边，连接AC，AF，CF，利用点A，C，E，F四点共圆求解，②E在BC 的左边，连接AC，AF，FG，CG，首先确定DG和CG在同一条直线上，再利用点A，C，G，F四点共圆求解．（3）根据平行线的判定，可得AB与GE的关系，根据平行线间的距离相等，可得△BEG与△AEG的关系，根据根据勾股定理，可得AH与BE的关系，再根据勾股定理，可得BE的长，根据三角形的面积公式，可得G到BE的距离．解答：（1）证明：如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°，又∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°，∴∠BAE=∠DAG．∴在△ABE与△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE=DG；（2）解：①如图3，连接AC，AF，CF，∵四边形ABCD与AEFG是正方形，∴∠ACD=∠AFE=45°，∵∠DCE=90°∴点A，C，E，F四点共圆，∵∠AEF是直角，∴AF是直径，∴∠ACF=90°，∵∠ACD=45°，∴∠FCD=45°②如图4，连接AC，AF，FG，CG由（1）知∵△ABE≌△ADG，∴∠ABE=∠ADG=90°，∴DG和CG在同一条直线上，∴∠AGD=∠AGC=∠BAG，∵四边形ABCD与AEFG是正方形，∴∠BAC=∠BAE=45°，∴∠BAG+∠GAC=45°，∠BAG+∠BAF=45°，∴∠AGD+∠GAC=45°，∴∠BAG+∠BAF+∠AGD+∠GAC+∠AGF=180°，∴点A，C，G，F四点共圆，∵∠AGF是直角，∴AF是直径，∴∠ACF=90°，∴∠FCD=90°+45°=135°．（3）解：如图5，连接GB、GE，由已知α=45°，可知∠BAE=45°．又∵GE为正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°．∴AB∥GE．∵，AB与GE间的距离相等，∴GE=8，．过点B作BH⊥AE于点H，∵AB=2，∴．∴．∴．设点G到BE的距离为h．∴．∴．即点G到BE的距离为．点评：本题主要考查了几何变换综合题．涉及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等积式及四点共圆周的知识，综合性强．解题的关键是运用等积式及四点共圆周判定及性质求解．。

备考2019年中考数学考点过关练习：图形的旋转综合(含答案)

备考2019年中考数学考点过关练习：图形的旋转综合(含答案)

备考2019年中考数学考点过关练习：图形的旋转综合一．选择题1．如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数为（）A．55°B．75°C．85°D．90°2．下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④等边三角形中，是中心对称图形的有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④3．如图，在△ABC中，∠C＝20°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC 交于点F，则∠AFB的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°4．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，则下列结论中有（）个是正确的．①∠DAF＝45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2＝DE2A．4B．3C．2D．15．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝10°，则∠ABE是（）A．75°B．78°C．80°D．92°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△ABC，M是BC 的中点，P是A’B’的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（）A．8B．6C．4D．5），C（﹣2，0）．将△7．在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（2，0），B（0，OAB绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△OA′B′（（其中点A旋转到点A′的位置），设直线AA′与直线BB′相交于点P，则线段CP长的最小值是（）A．B．C．2D．8．如图，四边形ABCD为正方形，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF的长为（）A．B．C．D．9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝116°，则∠α的大小是（）A ．64°B ．36°C ．26°D ．22°10．如图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的，如图②，移动正方形A 的位置，使正方形B 的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B 面积的（）A ．二．填空题B ．C ．D ．11．如图，△ABC 为等边三角形，D 是△ABC 内一点，将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACP 位置，则∠PAD ＝°．12．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，AB ＝5cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△FBE ，则点E 与点C 之间的距离是cm ．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，D是A'B'的中点，连接BD，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段BD的最大值为．14．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至EBGF的位置，连接AC，EG，取AC，EG 的中点M，N连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN＝．15．如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，联结B′C′，当α+β＝60°时，我们称△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”，如果等边△ABC的边长为a，那么它所得的“双旋三角形”中B′C′＝（用含a的代数式表示）．16．如图，正方形ABCD的边长为，点E是正方形ABCD内一点，将△BCE绕着点C顺时针旋转90°，点E的对应点F和点B，E三点在一条直线上，BF与对角线AC相交于点G，若DF＝6，则GF的长为．17．如图，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∠ADC ＝45°，AD ＝1，CD ＝3，则BD ＝．18．在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点P '（﹣y +1，x +2），我们把点P '（﹣y +1，x +2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2019的坐标为．19．如图，将△ABC 的边AB 绕着点A 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB ′，边AC 绕着点A 逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC ，连接B ′C ′，当α+β＝60°时，我们称△AB ′C ’是△ABC 的“双展三角形”，已知一直角边长为2的等腰直角三角形，那么它的“双展三角形”的面积为．20．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ，若点A 、D 、E 在同一条直线上，∠ACD ＝70°，则∠EDC 的度数是．三．解答题21．将一副三角尺的直角重合放置（∠B ＝30°，∠C ＝45°），如图1所示，（1）图1中∠BEC 的度数为；（2）三角尺AOB 的位置保持不动，将三角尺COD 绕其直角顶点O 顺时针方向旋转：①当旋转至图2所示位置时，恰好OD ∥AB ，求此时∠AOC 的大小；②若将三角尺COD 继续绕O 旋转，直至回到图1位置，在这一过程中，是否会存在△COD 其中一边能与AB 平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠AOC 的大小；如果不存在，请说明理由．22．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ＝4，CD ＝3．（1）如图1，求△BCD 的面积；（2）如图2，M 是CD 边上一点，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°，可得线段BN ，过点N 作NQ ⊥BC ，垂足为Q ，设NQ ＝n ，BQ ＝m ，求n 关于m 的函数解析式．（自变量m 的取值范围只需直接写出）23．如图，将一个直角三角形纸片AOB ，放置在平面直角坐标系中，点A （3，3），点B （3，0），点O （0，0），将△AOB 沿OA 翻折得到△AOD （点D 为点B 的对应点）．（Ⅰ）求OA 的长及点D 的坐标：（Ⅱ）点P 是线段OD 上的点，点Q 是线段AD 上的点．①已知OP ＝1，AQ ＝，R 是x 轴上的动点，当PR +QR 取最小值时，求出点R 的坐标及点D 到直线RQ 的距离；②连接BP ，BQ ，且∠PBQ ＝45°，现将△OAB 沿AB 翻折得到△EAB （点E 为点O 的对应点），再将∠PBQ 绕点B 顺时针旋转，旋转过程中，射线BP ，BQ 交直线AE 分别为点M ，N ，最后将△BMN 沿BN 翻折得到△BGN （点G 为点M 的对应点），连接EG ，若的坐标（直接写出结果即可）．，求点M24．如图，把直角三角形ABC 按逆时针方向旋转到△EBD 的位置，使得A 、B 、D 三点在一直线上．（1）旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？（2）AC 与DE 的位置关系怎样？请说明理由．25．将一副直角三角尺按图1摆放，其中∠C ＝90°，∠EDF ＝90°，∠B ＝60°，∠F ＝45°，等腰直角三角尺的直角边DF 恰好垂直平分AB ，与AC 相交于点G ，BC ＝4（1）求DG 的长；（2）如图2．将△DEF 绕点D 按顺时针方向旋转，直角边DF 经过点C ，另一直角边DE 与AC 相交于点H ，分别过点H ，D 作AB ，BC 的垂线，垂足分别为点M ，N ．猜想HM 与CN 之间的数量关系，并证明；（3）如图3，在旋转的过程中，若△DEF 两边DE ，DF 与△ABC 两边AC ，BC 分别交于K 、cm ．T 两点，则KT 的最小值为．26．如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）判断A E、BE、BC之间的数量关系（直接写出结果，不必证明）；（2）如图2，过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角a（0°＜a＜＜144°）得到△AE'F'，连结CE'，BF′，求证：CE'＝BF'：（3）在（2）的旋转过程中，当a＝时，CE'∥AB？（请直接写出结果）．27．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD、AF．（1）求∠CFA度数；（2）求证：AD∥BC．28．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BD交CE于点F．（1）如图2，当α＝45°时，求证：CF＝EF；（2）在旋转过程中，①问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；②连接CD，当△CDF为等腰直角三角形时，求tan的值．29．综合与实践数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题．动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．将三角形纸片ABC进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将△ABC沿折痕DE展开，然后将△DEC绕点D逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C的对应点分别是点F，G，射线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N，线段DG与边AC交于点P．数学思考：（1）求DC的长；（2）在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：①如图2，当GF∥BC时，求AM的长；②如图3，当GF经过点B时，AM的长为；③当△DEC绕点D旋转至DE平分∠FDG的位置时，试在图4中作出此时的△DFG和射线GF，并直接写出AM的长．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）30．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD、CE的交点．（1）判断线段BD与CE的关系，并证明你的结论；（2）若AB＝8，AD＝4，把△ADE绕点A旋转，①当∠EAC＝90°时，求PB的长；②求旋转过程中线段PB长的最大值．参考答案一．选择题1．解：根据旋转的性质可知：∠C＝∠A＝110°，在△COD中，∠COD＝180°﹣110°﹣40°＝30°．旋转角∠AOC＝85°，所以∠α＝85°﹣30°＝55°．故选：A．2．解：平行四边形，矩形，菱形是中心对称图形．故选：A．3．解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE，∴∠CAE＝60°，∵∠C＝20°，∴∠AFC＝100°，∴∠AFB＝80°．故选：C．4．解：由旋转可知：△BAE≌△CAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴∠EAF＝∠BAC＝90°，∵∠EAD＝45°，∴∠EAD＝∠FAD＝45°，∴AD平分∠EAF，∵AD＝AD，AE＝AF，∴△DAE≌△DAF（SAS），故①③正确，∴DE＝DF，∵∠ACF∠B＝∠ACB＝45°，∴∠DCF＝90°，∴DF2＝CD2+CF2，∵DF＝DE，BE＝CF，∴BE2+CD2＝DE2，故④正确，无法判断△ABE≌△ACD，故②错误．故选：B．5．解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝45°．∴∠DAC＝45°﹣10°＝35°．在△BEC和△ADC中∴△BCE≌△ACD（SAS）．∴∠EBC＝∠DAC＝35°．∴∠ABE＝∠EBC+∠DAC＝80°．故选：C．6．解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝8，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝8，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝4，∵CM＝BM＝2，又∵PM≤PC+CM，即PM≤6，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故选：B．7．解：∵△OAB是直角三角形，点P在以AB为直径的圆上运动，∵A（2，0），B（0，），∴AB＝4，AB的中点为（1，），∵C（﹣2，0），∴CP的最小值为2故选：B．8．解：如图，连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，由旋转可得，AB＝AE＝1＝AD，AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝45°＝∠DAC，∴∠CAE＝∠FAD，∴△ADF≌△AEC（SAS），∴DF＝CE，由旋转可得，AB＝AE＝1，∠BAE＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝1，∠ABE＝60°，∴∠EBG＝30°，∴EG＝BE＝，BG＝∴CG＝1﹣∴Rt△CEG，中，CE＝＝＝＝，﹣2；＝＝，∴DF＝故选：A．，9．解：如图设BC交C′D′于K．在四边形ABKD ′中，∵∠B ＝∠D ′＝90°，∠BKD ′＝∠1＝116°，∴∠BAD ′＝180°﹣116°＝64°，∵∠BAD ＝90°，∴∠DAD ′＝90°﹣64°＝26°，故选：C ．10．解：设正方形B 对角线的交点为O ，如图1，设正方过点O 作边的垂线，则OE ＝OM ，∠EOM ＝90°，∵∠EOF +∠EON ＝90°，∠MON +∠EON ＝90°，∴∠EOF ＝∠MON ，在△OEF 和△OMN 中，∴△OEF ≌△OMN （ASA ），∴阴影部分的面积＝S 四边形NOEP +S △OEF ＝S 四边形NOEP +S △OMN ＝S 四边形MOEP ＝S 正方形CTKW ，即图1中阴影部分的面积＝正方形B 的面积的四分之一，同理图2中阴影部分烦人面积＝正方形A 的面积的四分之一，∵图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的，∴正方形B 的面积＝正方形A 的面积的2倍，∴图2中重叠部分面积是正方形B 面积的，故选：D ．二．填空题（共10小题）11．解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°，∵将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACP ，∴∠DAP ＝∠BAC ＝60°，故答案为：60．12．解：连接EC ，即线段EC 的长是点E 与点C 之间的距离，在Rt △ACB 中，由勾股定理得：BC ＝∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△FBE ，∴BC ＝BE ，∠CBE ＝60°，∴△BEC 是等边三角形，∴EC ＝BE ＝BC ＝4cm ，故答案为：4．13．解：连接CD ，＝＝4（cm ），在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠ABC ＝60°，∴∠A ＝30°，∴AB ＝A ′B ′＝2BC ＝4，∵DB ′＝DA ′，∴CD ＝A ′B ′＝2，∴BD ≤CD +CB ＝4，∴BD 的最大值为4，14．解：连接BM、BN，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC＝10，∵M为AC中点，∴BM＝AC＝5．∵矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至EBGF的位置，∴BM＝BN，且∠MBN＝90°，∴MN＝BM＝5．故答案为5．15．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝a，∠BAC＝60°，∵△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”，∴α+β＝60°，AB′＝AB＝a，AC′＝AC＝a，∴∠B′AC＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，作AH⊥B′C′于H，如图，则B′H＝C′H，在Rt△AB′H中，AH＝AB′＝a，∴B′H＝AH＝a，a．∴B′C′＝2A′H＝16．解：作CH ⊥BF 于H ，GK ⊥BC 于K ．∵四边形ABCD 是正方形，∴CB ＝CD ，∠BCD ＝90°，∵∠ECF ＝90°，∴∠BCD ＝∠ECF ，∴∠BCE ＝∠DCF ，∵CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF （SAS ），∴BE ＝DF ＝6，∵CE ＝CF ，∠ECF ＝90°，CH ⊥EF ，∴EH ＝HF ，∴CH ＝HE ＝HF ，设CH ＝HE ＝HF ＝a ，在Rt △BCH 中，∵BC 2＝BH 2+CH 2，∴50＝（6+a ）2+a 2，解得a ＝1或﹣7（舍弃），∴CH ＝HE ＝HF ＝1，BF ＝8，∵tan ∠CBH ＝∴8k ＝5∴k ＝∴BG ＝，，＝5＝＝，设GK ＝k ，BK ＝7k ，则GK ＝CK ＝k ，k ＝，∴FG＝BF﹣BG＝8﹣故答案为．＝，17．解：如图，过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE．∵∠DAE＝90°，∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AE＝AD＝1，DE＝，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴CD＝BE＝3，∠AEB＝∠ADC＝45°，∴∠BED＝90°，∴BD＝故答案为．＝＝．18．解：根据题意得点P1的坐标为（2，0），则点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（﹣3，3），点P4的坐标为（﹣2，﹣1），点P5的坐标为（2，0），…，而2019＝4×504+3，所以点P2019的坐标与点P3的坐标相同，为（﹣3，3）．故答案为（﹣3，3）．19．解：如图1中，当△AB′C′是△ABC的“双展三角形”时，作C′D⊥B′A交B′A的延长线于D，在C′D上取一点F，使得FA＝FC，连接AF．∵B ∠B ′AC ′＝60°+45°＝105°，∴∠DAC ′＝75°，∵∠D ＝90°，∴∠DC ′A ＝15°，∵FA ＝FC ′，∴∠FAC ＝∠FC ′A ＝15°，∴∠AFD ＝∠FAC +∠FC ′A ＝30°，设AD ＝x ，则AF ＝FC ′＝2x ．DF ＝∵AB ＝BC ＝2，∠B ＝90°，∴AC ＝AC ′＝2，x ，在Rt △ADC ′中，则有x 2+（解得x ＝x +2x ）2＝（2）2，﹣1（负根已经舍弃），∴DC ′＝2x +x ＝+1，+1．∴S △AB ′C ′＝•AB ′•C ′D ＝如图2中，当△A ′BC ′是△ABC 的“双展三角形”时，作C ′D ⊥B ′A 交A ′B 的延长线于D ．由题意：∠A ′BC ′＝60°+90°＝150°，∴∠C ′BD ＝30°，∴C ′D ＝BC ′＝1，∴S △A ′BC ′＝•BA ′•C ′D ＝1，综上所述，满足条件的故答案为+1或1．+1或1．20．解：由题意可知：CA ＝CE ，∠ACE ＝90°，∴∠E ＝∠CAE ＝45°，∵∠ACD ＝70°，∴∠DCE ＝20°，∴∠EDC ＝180°﹣∠E ﹣∠DCE ＝180°﹣45°﹣20°＝115°，故答案为115°．三．解答题（共10小题）21．解：（1）∠CAE ＝180°﹣∠BAO ＝180°﹣60°＝120°，∴∠BEC ＝∠C +∠CAE ＝45°+120°＝165°，故答案为：165°．（2）①∵OD ∥AB ，∴∠BOD ＝∠B ＝30°，又∠BOD +∠BOC ＝90°，∠AOC +∠BOC ＝90°，∴∠AOC ＝∠BOD ＝30°．′②存在，如图1，当AB ∥OC 时，则∠COB ＝∠B ＝30°，∴∠AOC ＝90°+30°＝120°；如图2，当AB ∥CD 时，延长DO 交AB 于D ′，∴∠AD ′O ＝∠D ＝45°，∴∠AOD ′＝75°，∴∠AOC ＝∠AOD ′+90°＝165°；如图3，当AB ∥OD 时，∠DOB ＝∠B ＝30°，∴∠AOC ＝∠DOB ＝30°；如图4，当AB∥OD时，∠AOD＝∠A＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°；如图5，当AB∥OC时，∴∠AOC＝∠A＝60°；如图6，当AB∥CD时，∠1＝∠A＝60°，∴∠AOC＝60°﹣45°＝15°；综上所述，∠AOC的度数为：15°，30°，60°，120°，150°，165°．22．解：（1）过点D作DE⊥BC，则∠DEB＝90°．∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE＝60°．∴在Rt△CDE中，∠CDE＝30°．∴CE＝CD＝．∴DE＝＝．∴△BCD的面积为BC DE＝×4×＝（2）方法一：连接AN，∵线段BM绕点B逆时针旋转60°得到线段BN，∴NB＝MB，∠NBM＝60°．∵∠MBC+∠MBA＝∠MBA+∠NBA．∴∠MBC＝∠NBA，∵AB＝BC，∴△MBC≌△NBA（SAS）．∴∠NAB＝∠BCM＝120°．连接AC，∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠NAB+∠BAC＝180°．∴N，A，C三点在一条直线上．∵NQ＝n，BQ＝m，∴CQ＝4﹣m．∵NQ⊥BC，∴∠NQC＝90°．∴在Rt △NQC 中，NQ ＝CQ •tan ∠NCQ ．∴n ＝即n ＝﹣（4﹣m ）．m +4．所以n 关于m 的函数解析式为：n ＝﹣m +4（≤m ≤2）．方法二：∵线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BN ，∴NB ＝BM ，∠NBM ＝60°．∵∠MBC +∠MBA ＝∠MBA +∠NBA ．∴∠MBC ＝∠NBA ，∵AB ＝BC ，∴△MBC ≌△NBA ．∴∠NAB ＝∠BCM ＝120°．设AB 与NQ 交于H 点，∵NQ ⊥BC ，∴∠HQB ＝90°．∵∠ABC ＝60°，∴∠BHQ ＝∠NHA ＝30°．∴∠HNA ＝180°﹣30°﹣120°＝30°．∴NA ＝AH ．∴在Rt △BHQ 中，HQ ＝BQ •tan ∠HBQ ＝又∵BH ＝2m ，∴AH ＝4﹣2m ．过点A 作AG ⊥NH ，∴NG ＝GH ．m ．在Rt△AGH中，GH＝AH cos∠AHN＝∴NH＝2GH＝4∵NQ＝N H+HQ，∴n＝﹣﹣2（4﹣2m）＝2﹣m，m．m+4．所以n关于m的函数解析式为：n＝﹣m+4（≤m≤2）．23．解：（Ⅰ）如图1中，∵A（3，3），B（3，0），∴AB＝OB＝3，∠ABO＝90°，∴∠BOA＝45°，∵将△AOB沿OA翻折得到△AOD，∴∠AOD＝∠AOB＝45°，∴∠BOD＝90°，∴点D在y轴的正半轴上，∴D（0，3）．（Ⅱ）①如图1中，作点P关于点O的对称点K，连接KQ交OB于R′，此时PR′+QR′的值最小．作DH⊥QK于H．由题意：K （0，﹣1），Q （，3）．∴直线KQ 的解析式为y ＝∴R ′（，0），x ﹣1，令y ＝0，得到x ＝，∵DH ⊥KQ ，∴直线KQ 的解析式为y ＝﹣x +3，由，解得，∴H （∴DH ＝∴R ′（，），＝．，0），点D 到直线KQ 的距离为②如图2中，易证△ABM ≌△EBG （SAS ），∴∠BAM ＝∠BEC ＝45°，∵∠AEB ＝45°，∴∠GEN ＝90°，∵，∴可以假设EN ＝12k ，EG ＝5k ，则NG ＝MN ＝13k ，∵AM ＝EG ＝5k ，∴5k +13k +12k ＝3∴k ＝∴AM ＝，，，作MH ⊥AB 于H ，∵∠MAH ＝45°，AM ＝∴AH ＝MH ＝，可得M （，）．24．解：（1）直角三角形ABC 按逆时针方向旋转到△EBD 的位置，∴旋转中心是点B ，旋转角是90°；（2）AC ⊥DE ，理由：延长DE 交AC 于F ，∵把直角三角形ABC 按逆时针方向旋转到△EBD 的位置，∴∠C ＝∠D ，∠DBE ＝∠ABC ＝90°，∴∠C +∠A ＝∠D +∠A ＝90°，∴∠DFA ＝90°，∴AC ⊥DE ．，25．解：（1）如图1中，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝4∴AB ＝2BC ＝8，，∠CAB ＝30°∵DF 垂直平分线段AB ，∴AD ＝DB ＝4，×＝4．在Rt △ADG 中，DG ＝AD tan30°＝4（2）结论：CN ＝理由：如图2中，HM ．∵∠ACB ＝90°，AD ＝DB ，∴CD ＝DA ＝DB ，∵∠B ＝60°，∴△BDC 是等边三角形，∴∠DCB ＝∠CDB ＝60°，∵∠ACB ＝∠CDH ＝90°，∴∠MDH ＝∠HCD ＝30°，∴CD ＝DH ，∵∠DHM ＝∠DCN ＝60°，∠DMH ＝∠DNC ＝90°，∴△DMH ∽△DNC ，∴＝＝，∴CN ＝HM ．（3）如图3中，连接CD ．∵∠KCT ＝∠KDT ＝90°，∴∠KCT +∠KDT ＝180°，∴K ，D ，T ，C 四点共圆，∴KT 是该圆的直径，当CD 是该圆的直径时，KT 的长最短，此时KT ＝CD ＝AB ＝426．解：（1）∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝（180°﹣36°）＝72°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ＝×72°＝36°，∴∠BEC ＝∠A +∠ABE ＝36°+36°＝72°，∴∠ABE ＝∠A ，∠BEC ＝∠C ，∴AE ＝BE ，BE ＝BC ，∴AE ＝BE ＝BC ，故答案为：AE ＝BE ＝BC ；（2）证明：∵AB ＝AC ，EF ∥BC ，∴AE ＝AF ，由旋转的性质得，∠E ′AC ＝∠F ′AB ，AE ′＝AF ′，在△CAE ′和△BAF ′中，，∴△CAE ′≌△BAF ′（SAS ），∴CE ′＝BF ′；．（3）解：由（1）可知AE＝BC，由旋转知，AE'＝AE，∴AE'＝BC，如图，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，①当点E'与点M重合时，∵CM∥AB，∴四边形ABCM是等腰梯形，∴∠BAM＝∠ABC＝72°，又∵∠BAC＝36°，∴α＝∠CAM＝36°；②当点E′与点N重合时，∵CE′∥AB，∴∠AMN＝∠BAM＝72°，∵AM＝AN，∴∠ANM＝∠AMN＝72°，∴∠MAN＝180°﹣72°×2＝36°，∴α＝∠CAN＝∠CAM+∠MAN＝36°+36°＝72°，综上所述，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．故答案为：36°或72°．27．解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝60°，BC＝AC∵等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC ∴CF＝BC，∠BCF＝90°，AC＝CE∴CF＝AC∵∠BCF＝90°，∠ACB＝60°∴∠ACF＝∠BCF﹣∠ACB＝30°∴∠CFA＝（180°﹣∠ACF）＝75°（2）∵△ABC和△EFC是等边三角形∴∠ACB＝60°，∠E＝60°∵CD平分∠ACE∴∠ACD＝∠ECD∵∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，CA＝CE，∴△ECD≌△ACD（SAS）∴∠DAC＝∠E＝60°∴∠DAC＝∠ACB∴AD∥BC28．（1）证明：如图2中，∵∠EAC＝∠DAB，AE＝AC，AD＝AB，∴∠AEC＝∠ACE＝∠ADB＝∠ABD，∵∠ADB＝∠CDF，∴∠FDC＝∠FCD，∴FD＝FC，∵∠EDC＝90°，∴∠DEF+∠ECD＝90°，∠FDE+∠FDC＝90°，∴∠FED＝∠FDE，∴FE＝FD，∴EF＝FC．（2）①解：如图1中，结论仍然成立．理由：连接AF．∵∠FCA＝∠ABF，∴A，B，C，F四点共圆，∴∠AFC+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥EC，∵AE＝AC，∴EF＝CF．②如图3﹣1中，当CF＝CD，∠FCD＝90°时，连接AF，作CH⊥BF于H．设CF＝CD＝a．则DE＝＝a，DF＝a，∵CF＝CD，CH⊥DF，∴HF＝HD，∴CH＝DF＝∴BC＝DE＝∴BH＝a，a，＝a，∵AE＝AC，EF＝CF，∴AF平分∠EAC，∵A，B，C，F四点共圆，∴∠CAF＝∠CBH＝α，∴tanα＝＝＝．如图3﹣2中，当DF＝DC，∠CDF＝90°时，作DH⊥CF于H，连接AF．设CD＝DF＝m．则CF ＝EF ＝∴DE ＝BC ＝∴BD ＝∴tan α＝a ，DH ＝CF ＝＝＝2a ，＝．a ，a ，29．解：（1）如图1中，∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠A ＝90°，∴DE ∥AB ，∵AE ＝EC ，∴BD ＝DC ，在Rt △ABC 中，∵AB ＝6，AC ＝8，∴BC ＝∴CD ＝BC ＝5．（2）结论：MF ＝ME ．理由：如图1中，连接DM ，＝＝10，∵∠DFM ＝∠DEM ＝90°，DM ＝DM ，DF ＝DE ，∴Rt △DMF ≌Rt △DME （HL ），∴MF ＝ME ．（3）①如图2中，作AH ⊥BC 于H ，交FG 于K ．易知AH ＝∴DF ＝KH ＝3，＝，四边形DFKH 是矩形，∴AK ＝AH ﹣KH ＝，∵KM ∥CH ，∴＝，∴＝，∴AM ＝3．②如图3中，∵DG ＝DB ＝DC ，∴∠G ＝∠DBG ，∵∠G ＝∠C ，∴∠MBC ＝∠C ，∴BM ＝MC ，设BM ＝MC ＝x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2＝AB 2+AM 2，∴62+（8﹣x ）2＝x 2，∴x ＝，∴AM＝AC﹣CM＝8﹣故答案为．＝．③尺规作图如图4﹣1所示．作DR平分∠CDF，在DR上截取DG＝DC，分别以D，G为圆心，DE，CE为半径画弧，两弧交于点F，△DFG即为所求．如图4﹣1中，连接DM，设DG交AC于T，作TH⊥CD于H，作DK平分∠CDG交TH于K，作KJ⊥DG于J．易证△DEM≌△DHK（AAS），推出EM＝HK，只要求出HK即可．∵TE⊥DE，TH⊥DC，DG平分∠CDE，∴TE＝TH，设TE＝TH＝x，在Rt△TCH中，x2+22＝（4﹣x）2，∴x＝，∴DT＝＝，∵DK平分∠CDT，KJ⊥DT，KH⊥CD，∴KJ＝KH，设KJ＝KH＝y，在Rt△KTJ中，y2+（﹣3）2＝（﹣y）2，∴y＝3∴EM＝3﹣6，﹣6，∴AM＝AE﹣EM＝4﹣（3﹣6）＝10﹣3．30．解：（1）结论：BD＝CE，BD⊥CE．理由如图1中，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠CAE，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE．∠ACE＝∠ABD设CP与AB交于点O，∵∠AOC＝∠BOP∴∠BPC＝∠OAC＝90°∴BD⊥CE；（2）解：a：如图2中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝4．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝4，同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA ＝∠ECA ．∵∠PEB ＝∠AEC ，∴△PEB ∽△AEC ．∴∴＝＝，，，∴PB ＝b ：如图3中，当点E 在BA 延长线上时，BE ＝AB +AE ＝12．∵∠EAC ＝90°，∴CE ＝＝4，同（1）可证△ADB ≌△AEC ．∴∠DBA ＝∠ECA ．∵∠PEB ＝∠AEC ，∴△PEB ∽△AEC ．∴∴＝＝，，，或．∴PB ＝∴PB 的长为（3）a 、如图4中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 下方与⊙A 相切时，PB 的值最小．理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE 最小，因此PB最小）∵AE⊥EC，∴EC＝＝4，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝4∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝4，∴PB＝BD﹣PD＝4﹣4．，b、如图5中，以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE 最大，因此PB最大）∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝4，同（1）可证△ADB≌△AEC∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°，BE ＝CE ＝4∴∠ADP ＝∠DAE ＝∠AEP ＝90°，∴四边形AEPD 是矩形，∴P D ＝AE ＝4，∴PB ＝BD +PD ＝4∴PB 最大值是4+4．+4；，。

中考数学总复习《平移、旋转与轴对称》专题测试卷及答案

中考数学总复习《平移、旋转与轴对称》专题测试卷及答案

中考数学总复习《平移、旋转与轴对称》专题测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A层·基础过关1.数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡儿心形线”.其中不是轴对称图形的是( )2.如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC=5，BE=2，则CF的长是( )A.2B.2.5C.3D.53.如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段A'B'，则点B的对应点B'的坐标是( )A.(-3，-1)B.(-3，-3)C.(-1，-3)D.(-1，-2)4.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α(0°<α<180°)，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD=24°，则旋转角α的度数为( )A.24°B.28°C.48°D.66°5.(2024·连云港中考)如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80 cm，则图中阴影图形的周长是( )A.440 cmB.320 cmC.280 cmD.160 cm6.如图，在平面直角坐标系中，D(4，-2)，将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB的位置.则点B的坐标为( )A.(2，4)B.(4，2)C.(-4，-2)D.(-2，4)7.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点(网格线的交点)A，B，C，D的坐标分别为(7，8)，(2，8)，(10，4)，(5，4).(1)以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1;(2)直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积;(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标.B层·能力提升8.(2024·牡丹江中考)下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )9.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，S△ABC=2√3，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A'B'C，使得点A'恰好落在AB上，A'B'与BC交于点D，则S△A'CD为( )A.√3+1B.3√34C.√32D.2√3-110.(2024·临夏州中考)如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，将△ABC 沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'=1AD，则平移前后两三3角形重叠部分的面积是.11.(2024·盐城中考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，点D是AC 的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF.连接CF，当CF∥AB时，CF=.12.(2024·苏州中考)如图，△ABC中，∠ACB=90°，CB=5，CA=10，点D，E分别在AC，AB边上，AE=√5AD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF.若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD=.C层·素养挑战13.(2024·成都中考)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°.【初步感知】的值. (1)如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究BDCE【深入探究】(2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM 的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长.【拓展延伸】(3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积;若不能，请说明理由.参考答案A层·基础过关1.数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡儿心形线”.其中不是轴对称图形的是(B)2.如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC=5，BE=2，则CF的长是(A)A.2B.2.5C.3D.53.如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段A'B'，则点B的对应点B'的坐标是(A)A.(-3，-1)B.(-3，-3)C.(-1，-3)D.(-1，-2)4.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α(0°<α<180°)，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD=24°，则旋转角α的度数为(C)A.24°B.28°C.48°D.66°5.(2024·连云港中考)如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80 cm，则图中阴影图形的周长是(A)A.440 cmB.320 cmC.280 cmD.160 cm6.如图，在平面直角坐标系中，D(4，-2)，将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB的位置.则点B的坐标为(A)A.(2，4)B.(4，2)C.(-4，-2)D.(-2，4)7.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点(网格线的交点)A，B，C，D的坐标分别为(7，8)，(2，8)，(10，4)，(5，4).(1)以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1;(2)直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积;(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标.【解析】(1)如图，△A1B1C1即为所求;(2)以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积=10×8-2×12×2×4-2×12×4×8=40;(3)如图，点E即为所求，点E的坐标为(6，6).(答案不唯一)B层·能力提升8.(2024·牡丹江中考)下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(C)9.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，S△ABC=2√3，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A'B'C，使得点A'恰好落在AB上，A'B'与BC交于点D，则S△A'CD为(C)A.√3+1B.3√34C.√32D.2√3-110.(2024·临夏州中考)如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，将△ABC 沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'=13AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是4√39.11.(2024·盐城中考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，点D是AC 的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF.连接CF，当CF∥AB时，CF=2+√6.12.(2024·苏州中考)如图，△ABC中，∠ACB=90°，CB=5，CA=10，点D，E分别在AC，AB边上，AE=√5AD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF.若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD=103.C层·素养挑战13.(2024·成都中考)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°.【初步感知】的值. (1)如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究BDCE【深入探究】(2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM 的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长.【拓展延伸】(3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积;若不能，请说明理由.【解析】(1)∵AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°∴△ABC≌△ADE(SAS)，AC=AE=√32+42=5，∴∠DAE=∠BAC∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC即∠CAE=∠BAD∵ADAE =ABAC=35，∴△ADB∽△AEC∴BDCE =AB AC=35;(2)连接CE，延长BM交CE于点Q，连接AQ交EF于P，延长EF交BC于N，如图:由(1)得△ADB∽△AEC∴∠ABD=∠ACE∵BM是△ABC的中线∴BM=AM=CM=12AC=52∴∠MBC=∠MCB，∵∠ABD+∠MBC=90°∴∠ACE+∠MCB=90°，即∠BCE=90°∴AB∥CE∴∠BAM=∠QCM，∠ABM=∠CQM又∵AM=CM∴△BAM≌△QCM(AAS)，∴BM=QM∴四边形ABCQ是平行四边形∵∠ABC=90°∴四边形ABCQ是矩形∴AB=CQ=3，BC=AQ=4，∠AQC=90°，PQ∥CN，∴EQ=√AE2-AQ2=√52-42=3 ∴EQ=CQ，∴PQ是△CEN的中位线∴PQ=12CN设PQ=x，则CN=2x，AP=4-x∵∠EPQ=∠APD，∠EQP=90°=∠ADP，EQ=AD=3 ∴△EQP≌△ADP(AAS)∴EP=AP=4-x∵EP2=PQ2+EQ2∴(4-x)2=x2+32，解得x=78∴AP=4-x=258，CN=2x=74∵PQ∥CN，∴△APF∽△CNF∴APCN =AFCF，∴AP+CNCN=AF+CFCF=ACCF∵AC=5，∴258+7474=5CF，∴CF=7039;(3)C，D，E三点能构成直角三角形，理由如下:①当AD在AC上时，DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形，如图，∴S△CDE=12CD·DE=12×(5-3)×4=4;②当AD在CA的延长线上时，DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形，如图∴S△CDE=12CD·DE=12×(5+3)×4=16;③当DE⊥EC时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q，如图∵AQ⊥EC，DE⊥EC，DE⊥AD∴四边形ADEQ是矩形∴AD=EQ=3，AQ=DE=4∵AE=AC=5，∴EQ=CQ=12CE∴12CE=3，∴CE=6∴S△CDE=12DE·CE=12×4×6=12;④当DC⊥EC时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q，交DE于点N，如图∵DC⊥EC，AQ⊥EC，∴AQ∥DC∵AC=AE，AQ⊥EC∴EQ=CQ，∴NQ是△CDE的中位线∴ND=NE=12DE=2，CD=2NQ∵∠AND=∠ENQ，∠ADN=∠EQN=90°∴∠DAN=∠QEN∴tan∠DAN=tan∠QEN，∴NDAD =NQ EQ∴NQEQ =23，∴NQ=23EQ∵NQ2+EQ2=NE2，∴(23EQ)2+EQ2=22解得EQ =6√1313∴CE =2EQ =12√1313，NQ =23EQ =4√1313 ∴CD =2NQ =8√1313，∴S △CDE =12CD ·CE =12×8√1313×12√1313=4813. 综上所述，直角三角形CDE 的面积为4或16或12或4813.。

2020年《冲刺中考·数学》最新模考分类冲刺小卷27： 《图形的旋转》(全国通用)(含答案)

2020年《冲刺中考·数学》最新模考分类冲刺小卷27： 《图形的旋转》(全国通用)(含答案)

最新模考分类冲刺小卷27：《图形的旋转》一．选择题1．（2020•河南模拟）如图△ABO的顶点分别是A（3，1），B（0，2），O（0，0），点C，D分别为BO，BA的中点，连AC，OD交于点G，过点A作AP⊥OD交OD的延长线于点P．若△APO绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点P的坐标是（）A．（2，1）B．（2，2）C．（1，2）D．A（1，1）2．（2020•碑林区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝7，BC＝12，E为边AD的中点，点F 为边CD上一点，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到EH，若点H恰好在线段BF上，则CF的长是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 3．（2020•九龙坡区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，且B′恰好落在AB上，M是BC的中点，N是A′B′的中点，连接MN，则C到MN的距离是（）A．B．C．D．4．（2020•顺德区校级模拟）在平面直角坐标系中，点（﹣6，5）关于原点的对称点的坐标是（）A．（6，5）B．（6，5）C．（6，﹣5）D．（﹣6，﹣5）5．（2020•蜀山区校级模拟）如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为（）A．1 B．C．2 D．2 6．（2020•南岗区校级一模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，则BD＝（）A．5 B．5.5 C．6 D．7 7．（2020•安阳模拟）如图，矩形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），若矩形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2017秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣1，﹣3）C．（﹣2，0）D．（1，﹣3）8．（2020•河南模拟）如图，已知点O（0，0），P（1，2），将线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，则第19秒时，点O的对应点坐标为（）A．（0，0）B．（3，1）C．（﹣1，3）D．（2，4）9．（2020•锦江区校级模拟）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．65°10．（2020•南昌模拟）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，则下列结论不正确的是（）A．∠EAF＝45°B．△EBF为等腰直角三角形C．EA平分∠DAF D．BE2+CD2＝ED211．（2020•河南模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O…依此规律，得到等腰直角三角形A2020OB2020，则点B2020的坐标为（）A ．（22019，22019）B ．（﹣22019，22019）C ．（﹣22020，22020）D ．（22020，22020） 12．（2020•河北模拟）如图所示，A 1（1，），A 2（），A 3（2，），A 4（3，0）．作折线A 1A 2A 3A 4关于点A 4的中心对称图形，再做出新的折线关于与x 轴的下一个交点的中心对称图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P 从原点O 出发，沿着折线一每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t ．当t ＝2020时，点P 的坐标为（ ）A ．（1010，）B ．（2020，）C ．（2016，0）D ．（1010，）二．填空题13．（2020•武汉模拟）如图，在直角三角形△ABC 内部有一动点P ，∠BAC ＝90°，连接PA ，PB ，PC ，若AC ＝6，AB ＝8，求PA +PB +PC 的最小值 ．14．（2020•哈尔滨模拟）如图，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至长方形CE'F'D'旋转角为α，当点D'恰好落在EF边上时，旋转角α的大小为°．15．（2020•和平区模拟）在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得线段MA'．（Ⅰ）如图①，线段MA'的长＝．（Ⅱ）如图②，连接A'C，则A'C长度的最小值是．16．（2020•江西模拟）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝80°，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△DBE，若DE∥BC，则旋转的最小度数为．17．（2020•市中区一模）如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC的四等分点（靠近点B 的位置），F为B边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．18．（2020•市中区一模）如图，正方形ABCD的边长为1，AC、BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣；③∠AFG＝135°；④BC+FG ＝．其中正确的结论是．（填入正确的序号）19．（2020•道里区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4cm，点D为△ABC 内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC 重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为cm．20．（2020•江津区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E 是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为．三．解答题21．（2020•福建模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，将△ABC绕点C 逆时针旋转60°得到△DGC，再将△ABC沿AB所在直线翻折得到△ABE，连接AD，BG，延长BG交AD于点F，连接CF．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若GF＝2，求四边形AECD的面积．22．（2020•槐荫区一模）△ABC和△CDE都是等腰三角形，∠BAC＝∠EDC＝120°．（1）如图1，A、D、C在同一直线上时，＝，＝．（2）在图1的基础上，固定△ABC，将△CDE绕C旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），如图2，连接AD、BE．①的值有没有改变？请说明理由．②拓展研究：若AB＝1，DE＝，当B、D、E在同一直线上时，请计算线段AD的长．23．（2020•河南模拟）如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现如图①，当∠ACB＝∠AED＝60°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则∠CEB的度数为，线段AE、BE、CE之间的数量关系是；（2）拓展探究如图②，当∠ACB＝∠AED＝90°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE．请判断∠CEB 的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝2，AE＝2，连接CE、BD，在△AED绕点A旋转的过程中，当DE⊥BD时，请直接写出EC的长．24．（2020•烟台一模）如图1，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，D为OB边上一点，过D点作DC⊥AB交AB于C，连接AD，E为AD的中点，连接OE、CE．观察猜想（1）①OE与CE的数量关系是；②∠OEC与∠OAB的数量关系是；类比探究（2）将图1中△BCD绕点B逆时针旋转45°，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；拓展迁移（3）将△BCD绕点B旋转任意角度，若BD＝，OB＝3，请直接写出点O、C、B在同一条直线上时OE的长．25．（2020•历下区一模）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．26．（2020•长春模拟）【问题情境】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，连结CD，点E为CB 上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE＝CF．（不需要证明）【探索发现】如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，连结CD，点E为CB 的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边△ABC中，AB＝4，点D是AB中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C 重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F．当CF＝2CE时，CE＝．参考答案一．选择题1．解：∵点C，D分别为BO，BA的中点，∴点G是三角形的重心，∴AG＝2CG，∵B（0，2），∴C（0，1），∵A（3，1），∴AC＝3，AC∥x轴，∴CG＝1，AG＝2，∵OC＝1，∴OC＝CG∴△COG是等腰直角三角形，∴∠CGO＝45°，∴∠AGP＝45°，∵AP⊥OD，∴△AGP是等腰直角三角形，∴AG边上的高为1，∵AG边上的高也是中线，∴P（2，2），∵2020＝4×55，∴每4次一个循环，第2020次旋转结束时，P点返回原处，∴点P的坐标为（2，2）．故选：B．2．解：过H点作MN⊥AD，则MN∥CD，∵AB＝7，BC＝12，E为边AD的中点，∴AE＝ED＝6，∵∠FEH＝90°，∴∠MEH +∠DEF ＝90°， ∵∠DEF +∠DFE ＝90°， ∴∠MEH ＝∠DFE ， 在△MEH 和△DFE 中∴△MEH ≌△DFE （AAS ）， ∴ME ＝DF ，MH ＝DE ＝6， ∴HN ＝7﹣6＝1， 设CF ＝x ．则DF ＝7﹣x ， ∴ME ＝7﹣x ，∴BN ＝AM ＝6﹣（7﹣x ）＝x ﹣1， ∵NH ∥CF ， ∴△BNH ∽△BCF ， ∴＝，即＝，整理为x 2﹣x ﹣12＝0，解得x 1＝4，x 2＝﹣3（舍去） ∴CF 的长是4， 故选：C ．3．解：如图，作CH ⊥MN 于H ，连接NC ，作MJ ⊥NC 交NC 的延长线于J ．∵∠ACB＝90°，BC＝4，∠A＝30°，∴AB＝A′B′＝2BC＝8，∠B＝60°．∵CB＝CB′，∴△CBB′是等边三角形，∴∠BCB′＝60°，∵BN＝NA′，∴CN＝NB′＝A′B′＝4，∵∠CB′N＝60°，∴△CNB′是等边三角形，∴∠NCB′＝60°，∴∠BCN＝120°，在Rt△CMJ中，∵∠J＝90°，MC＝2，∠MCJ＝60°，∴CJ＝MC＝，MJ＝CJ＝3，∴MN＝＝＝2，∵•NC•MJ＝•MN•CH，∴CH＝，故选：A．4．解：点P（﹣6，5）关于原点对称点的坐标是（6，﹣5），故选：B．5．解：如图，过点B作BH⊥AC于H点，作射线HE，∵△ABC是等边三角形，BH⊥AC，∴AH＝2＝CH，∵∠BED＝∠BHD＝90°，∴点B，点D，点H，点E四点共圆，∴∠BHE＝∠BDE＝45°，∴点E在∠AHB的角平分线上运动，∴当AE⊥EH时，AE的长度有最小值，∵∠AHE＝45°，∴AH＝AE＝2，∴AE的最小值为，故选：B．6．解：连接BE，如图，∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，∴∠BCE＝60°，CB＝CE，BD＝AE，∴△BCE为等边三角形，∴BE＝BC＝4，∠CBE＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，AE＝＝5，∴BD＝5．故选：A．7．解：∵矩形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），∴D（﹣1，），过D作DE⊥x轴于点E，则OD＝2，DE＝2，∴，tan∠DOE＝，∴∠DOE＝60°，∵60°×2017÷360°＝336，∵，又∵旋转336周时，D点刚好回到起始位置，∴第2017秒时，矩形绕点O逆时针旋转336周，此时D点在x轴负半轴上，∴此时D点的坐标为（﹣2，0），故选：C．8．解：如图所示，∵线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，每4秒一个循环，19＝4×4+3，∴3×90°＝270°，∴19秒后点O旋转到点O'的位置，∠OPO'＝90°，如图所示，过P作MN⊥y轴于点M，过O'作O'N⊥MN于点N，则∠OMP＝∠PNO'＝90°，∠POM＝∠O'PN，OP＝PO'，∴△OPM≌△PO'N（AAS），∴O'N＝PM＝1，PN＝OM＝2，∴MN＝1+2＝3，点O'离x轴的距离为2﹣1＝1，∴点O'的坐标为（3，1），故选：B．9．解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD，∴∠AOB＝∠COD＝15°，∠AOC＝∠BOD＝40°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝55°，故选：B．10．解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，∴△ABF≌△ACD，∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°；故选项A不合题意；∵△DAC≌△FAB，∴AD＝AF，∠DAC＝∠FAB，∴∠FAD＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAC+∠BAE＝∠FAB+∠BAE＝∠FAE＝45°，∴∠FAE＝∠DAE＝45°，∴EA平分∠DAF，故选项C不合题意；在△FAE和△DAE中∴△FAE≌△DAE（SAS），∴EF＝ED．在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠BAC＝90°，∠ABC＝∠C＝45°，∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴∠BAF＝CAD，AF＝AD，BF＝CD，∠ABF＝∠C＝45°，∴∠EBF＝90°，∴BE 2+BF 2＝EF 2，∴BE 2+DC 2＝DE 2；故选项D 不合题意； 由题意无法得到△EBF 是等腰直角三角形； 故选项B 符合题意， 故选：B ．11．解：∵△AOB 是等腰直角三角形，OA ＝1， ∴AB ＝OA ＝1， ∴B （1，1），将Rt △AOB 绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A 1OB 1，且A 1O ＝2AO ， 再将Rt △A 1OB 1绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰三角形A 2OB 2，且A 2O ＝2A 1O …，依此规律，∴每4次循环一周，B 1（2，﹣2），B 2（﹣4，﹣4），B 3（﹣8，8），B 4（16，16）， ∵2020÷4＝505，∴点B 2020与B 同在一个象限内， ∵﹣4＝﹣22，8＝23，16＝24， ∴点B 2020（22020，22020）． 故选：D ．12．解：由题意OA 1＝A 3A 4＝A 4A 5＝A 7A 8＝2，A 1A 2＝A 2A 3＝A 5A 6＝A 6A 7＝1， ∴点P 从O 运动到A 8的路程＝2+1+1+2+2+1+1+2＝12， ∴t ＝12，把点P 从O 运动到A 8作为一个循环， ∵2020÷12＝168余数为4，∴把点A 3向右平移168×3个单位，可得t ＝2020时，点P 的坐标，∵A（2，），168×6＝1008，1008+2＝1010，3∴t＝2020时，点P的坐标（1010，），故选：A．二．填空题（共8小题）13．解：如图，将△ACP绕点C顺时针旋转60°得到△ECF，连接PF，BE，作EH⊥BA交BA 的延长线于H．由旋转的旋转可知：PA＝EF，△PCF，△ACE是等边三角形，∴PF＝PC，∴PA+PB+PC＝EF+FP+PB，∵EF+FP+PB≥BE，∴当B，P，F，E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵∠BAC＝90°，∠CAE＝60°，∴∠HAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵EH⊥AH，AE＝AC＝6，∴EH＝AE＝3．AH＝EH＝3，∴BE＝＝＝2，∴PA+PB+PC的最小值为2．故答案为2．14．解：∵将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至长方形CE'F'D'旋转角为α，∴CD＝CD'＝2，∵cos∠D'CE＝＝，∴∠D'CE＝60°，∴∠DCD'＝α＝30°，故答案为：30．15．解：（Ⅰ）∵M是AD边的中点，∴MA＝1，∵线段MA绕点M旋转得线段MA'．∴MA'＝1，故答案为：1；（Ⅱ）如图②，作ME⊥CD于点E．∵菱形ABCD中，∠A＝60°，∴∠EDM＝60°，在直角△MDE中，DE＝MD•cos∠EDM＝×1＝，ME＝MD•sin∠EDM＝，则EC＝CD+ED＝2+＝，在直角△CEM中，MC＝＝＝，当A'在MC上时A'C最小，则A′C长度的最小值是：﹣1，故答案为﹣1．16．解：∵在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝80°，∴∠C＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△DBE，∴∠E＝∠C＝40°，∵DE∥BC，∴∠CBE＝∠E＝40°，∴旋转的最小度数为40°，故答案为：40°．17．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝2+3＝5，故答案为：5．18．解：∵正方形ABCD的边长为1，∴∠BCD＝∠BAD＝90°，∠CBD＝45°，BD＝，AD＝CD＝1．由旋转的性质可知：∠HGD＝BCD＝90°，∠H＝∠CBD＝45°，BD＝HD，GD＝CD，∴HA＝BG＝﹣1，∠H＝∠EBG＝45°，∠HAE＝∠BGE＝90°，∴△HAE和△BGE均为直角边为﹣1的等腰直角三角形，∴AE＝GE．在Rt△AED和Rt△GED中，，∴Rt△AED≌Rt△GED（HL），∴∠AED＝∠GED＝（180°﹣∠BEG）＝67.5°，AE＝GE，∴∠AFE＝180°﹣∠EAF﹣∠AEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠AEF，∴AE＝AF．∵AE＝GE，AF⊥BD，EG⊥BD，∴AF＝GE且AF∥GE，∴四边形AEGF为平行四边形，∵AE＝GE，∴平行四边形AEGF是菱形，故①正确；∵HA＝﹣1，∠H＝45°，∴AE＝﹣1，∴△HED的面积＝DH×AE＝（﹣1+1）（﹣1）＝1﹣，故②正确；∵四边形AEGF是菱形，∴∠AFG＝∠GEA＝2×67.5°＝135°，故③正确；∵四边形AEGF是菱形，∴FG＝AE＝﹣1，∴BC+FG＝1+﹣1＝，故④不正确．故答案为：①②③．19．解：过点A作AG⊥DE于点G，由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，∴∠AED＝∠ADG＝45°，在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3cm，在Rt△AFG中，GF＝＝cm，AF＝2FG＝2cm，∴CF＝AC﹣AF＝4﹣2＝2cm，故答案为：2．20．解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝＝5，∴OM＝＝5，∵OF+MF≥OM，∴OF≥5﹣2，∴线段OF长的最小值为5﹣2．故答案为：5﹣2．三．解答题（共6小题）21．证明：（1）∵△ABC绕点C旋转得到△DGC，∴AC＝CD，∠DCG＝∠ACB＝60°，CG＝CB，∴△ACD是等边三角形，△CBG是等边三角形，∴∠DAC＝60°，∠CGB＝∠AGF＝60°，BG＝BC＝CG，∴△AFG是等边三角形，∴AG＝FG，∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴AC＝2BC，且BC＝CG，∴AG＝CG，∴AG＝BG＝FG＝CG，∴四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC＝90°，∴四边形ABCF是矩形；（2）∵△ABC绕点C旋转得到△DGC，△ABC沿AB所在直线翻折得到△ABE，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴DC＝AC＝AE，∠DCG＝∠ACB＝∠AEC＝60°，∴∠AEC+∠DCE＝180°，∴DC∥AE，且AD∥CE，∴四边形AECD为平行四边形．又∵AC＝2CB，∴AC＝CE＝AE，∴四边形AECD为菱形，∵GF＝2，∴AC＝CE＝4，CB＝2，∴AB＝＝＝6，∴S＝4×6＝24．四边形AECD22．解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于H，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AH⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BH＝CH，∴AC＝2AH，CH＝AH，∴BC＝2AH，∵∠BAC＝∠EDC＝120°，∴AB∥DE，∴，故答案为：，；（2）①没有改变，理由如下：∵将△CDE绕C旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），∴∠ACD＝∠BCE，∵AB＝AC，DE＝CD，∴，且∠BAC＝∠EDC＝120°，∴△ABC∽△DEC，∴＝，且∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴；②如图2，当B、D、E在同一直线上时，过点C作CN⊥BE于N，连接AD，∵AC＝AB＝1，∴BC＝，∵∠CDE＝120°，∴∠BDC＝60°，且CD＝DE＝，CN⊥BE，∴DN＝CD＝，CN＝DN＝∵BN＝＝＝，∴BE＝，∵，∴AD＝．23．解：（1）在△ABC为等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝60°，同理：AE＝AD，∠ADE＝∠EAD＝60°，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝AD，∠AEC＝∠ADB，∵点B、D、E在同一直线上，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠AEC＝120°，∵DE＝AE，∴BE＝DE+BD＝AE+CE，故答案为120°，BE＝AE+CE；（2）在等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AB＝AC，∠CAB＝45°，同理，AD＝AE，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴，∠DAE＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∴△ACE∽△ABD，∴，∴∠AEC＝∠ADB，BD＝CE，∵点B、D、E在同一条直线上，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝135°，∴∠AEC＝135°，∵DE＝AE，∴BE＝DE+BD＝AE+CE；（3）由（2）知，△ACE∽△ABD，∴BD＝CE，在Rt△ABC中，AC＝2，∴AB＝AC＝2，①当点E在点D上方时，如图③，过点A作AP⊥BD交BD的延长线于P，∵DE⊥BD，∴∠PDE＝∠AED＝∠APD，∴四边形APDE是矩形，∵AE＝DE，∴矩形APDE是正方形，∴AP＝DP＝AE＝2，在Rt△APB中，根据勾股定理得，BP＝＝6，∴BD＝BP﹣AP＝4，∴CE＝BD＝2；②当点E在点D下方时，如图④同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝4，∴BD＝BP+DP＝8，∴CE＝BD＝4，即：CE的长为2或4．24．解：（1）①如图1中，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°，∵∠AOD＝90°，AE＝DE，∴OE＝AD，EC＝AD，∴OE＝OC．②∵EO＝EA＝ED，EC＝EA＝ED，∴∠EAO＝∠EOA，∠EAC＝∠ECA，∵∠OED＝∠EAO+∠EOA＝2∠EAO，∠DEC＝∠EAC+∠ECA＝2∠EAC，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，∴∠OEC＝2（∠OAE+∠EAC）＝90°，∴∠OEC＝2∠OAB，故答案为OE＝EC，∠OEC＝2∠OAB．（2）结论成立．理由：如图2中，延长OE到H，使得EH＝OE，连接DH，CH，OC．由题意△AOB，△BCD都是等腰直角三角形，∴∠A＝∠ABO＝∠DBC＝∠CDB＝45°，∵AE＝ED，∠AEO＝∠DEH，OE＝EH，∴△AEO≌△DEH（SAS），∴AC＝DH，∠A＝∠EDH＝45°，∴∠CDH＝∠OBC＝90°，∵OA＝OB，BC＝CD，∴DH＝OB，∴△HDC≌△OBC（SAS），∴CH＝OC，∠HCD＝∠OCB，∴∠HCO＝∠DCB＝90°，∴∠COE＝∠CHE＝45°，∵OE＝EH，∴CE⊥OE，∴∠OEC＝90°，∴∠OEC＝2∠OAB，OE＝OC．（3）①如图3﹣1中，当点C落在OB上时，连接EC．由（1）（2）可知△OEC是等腰直角三角形，∵BC＝BD＝1，OB＝3，∴OC＝OB﹣BC＝3﹣1＝2，∴OE＝OC＝．②如图3﹣2中，当点C落在OB的延长线上时，连接EC．同法可得OE＝OC＝（3+1）＝2，综上所述，OE的长为或2．25．解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，故答案为60°；②由（1）知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∴AC＝CE+CD，故答案为AC＝CE+CD；（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴BC＝AC，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴AC＝CE+CD；（3）由（2）知，△ABD≌△ACE，∴ACE＝∠ABD，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BCE+∠DAE＝180°，∴点A，D，C，E在以DE为直径的圆上，∵AC与DE交于点F，∴AF是直径DE上的一点到点A的距离，即：当AF⊥DE时，AF最小，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠ACB＝45°，∵∠ADE＝45°，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AF最小＝AC＝4．26．解：【问题情境】证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，∴CD⊥AB，CD＝BD＝AD＝AB，∠BCD＝∠B＝45°，∴∠BDC＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF；【探索发现】成立，理由：∵在Rt△ABC中，D为AB中点，∴CD＝BD，又∵AC＝BC，∴DC⊥AB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DE⊥DF，∴∠EDB+∠BDF＝∠CDF+∠BDF＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴∠ADF＝∠CDE，∴AF＝CE，∴CF＝BE；【类比迁移】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵∠FDE＝60°，∴∠BDF＝120°﹣∠ADE，∠AED＝120°﹣∠ADE，∴∠BDF＝∠AED，∴△ADE∽△BDF，∴，∵点D为AB中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2，AC＝BC＝4，∵CF＝2CE，∴设CE＝x，则CF＝2x，当点E在线段AC上时，∴AE＝4﹣x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝3﹣，x＝3+（不合题意，舍去），∴CE＝3﹣，如图④，当点E在AC的延长线上时，∵AE＝4+x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝﹣1+，（负值舍去），∴CE＝﹣1+．综上所述，CE＝3﹣或﹣1+，故答案为：3﹣或﹣1+．。

2020年全国中考数学试题分类(13)——图形的旋转(含答案)

2020年全国中考数学试题分类(13)——图形的旋转(含答案)

2020年全国中考数学试题分类（13）——图形的旋转一．旋转的性质（共20小题）1．（2020•陕西）如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上．若将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△OA ′B ′，A 、B 的对应点分别为A ′、B ′，则A 、B ′之间的距离为（ ）A ．2√5B ．5C ．√13D ．√102．（2020•德阳）如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠ABC ＝90°．将Rt △ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到△A 'BC '．此时恰好点C 在A 'C '上，A 'B 交AC 于点E ，则△ABE 与△ABC 的面积之比为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34 3．（2020•大连）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°．将△ABC 绕点B 逆时针旋转得到△A ′BC ′，使点C 的对应点C ′恰好落在边AB 上，则∠CAA ′的度数是（ ）A ．50°B ．70°C ．110°D ．120°4．（2020•绵阳）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝7，AD ＝4，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A ′B ′C ，当A ′B ′恰好经过点D 时，△B ′CD 为等腰三角形，则AA ′＝（ ）A ．25√185B ．2√3C ．√13D ．√145．（2020•孝感）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，连接EF ，过点A 作EF 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点G ．若BG ＝3，CG ＝2，则CE 的长为（ ）A ．54B ．154C ．4D ．92 6．（2020•河北）如图，将△ABC 绕边AC 的中点O 顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△CDA 与△ABC 构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB ＝AD ，”和“∴四边形…”之间作补充，下列正确的是（ ）A ．嘉淇推理严谨，不必补充B ．应补充：且AB ＝CDC ．应补充：且AB ∥CDD ．应补充：且OA ＝OC7．（2020•天津）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点B 的对应点E 恰好落在边AC 上，点A 的对应点为D ，延长DE 交AB 于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AC ＝DEB ．BC ＝EF C ．∠AEF ＝∠D D ．AB ⊥DF8．（2020•齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A 顺时针旋转，使BC ∥DE ，如图②所示，则旋转角∠BAD 的度数为（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°9．（2020•苏州）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝108°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB 'C '．若点B '恰好落在BC 边上，且AB '＝CB '，则∠C '的度数为（ ）A ．18°B ．20°C ．24°D ．28°10．（2020•聊城）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠C ＝30°，将Rt △ABC 绕点A 旋转得到Rt △AB ′C ′，使点B 的对应点B ′落在AC 上，在B ′C ′上取点D ，使B ′D ＝2，那么点D 到BC 的距离等于（ ）A ．2（√33+1） B ．√33+1 C ．√3−1 D ．√3+111．（2020•绍兴）如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，连结CP ，过点A 作AH ⊥CP 交CP 的延长线于点H ，连结AP ，则∠P AH 的度数（ ）A ．随着θ的增大而增大B ．随着θ的增大而减小C ．不变D ．随着θ的增大，先增大后减小12．（2020•海南）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝1cm ，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt △AB 'C '，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．√3cmD ．2√3cm13．（2020•菏泽）如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转角α，得到△ADE ，若点E 恰好在CB 的延长线上，则∠BED 等于（ ）A ．α2B ．23αC ．αD ．180°﹣α14．（2020•阜新）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2．将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°，得到△A 1BC 1，则AC 边的中点D 与其对应点D 1的距离是 ．15．（2020•眉山）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2．将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转至△AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处，则CC 1的长为 ．16．（2020•天水）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作∠EAF ＝45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ．若DF ＝3，则BE 的长为 ．17．（2020•滨州）如图，点P 是正方形ABCD 内一点，且点P 到点A 、B 、C 的距离分别为2√3、√2、4，则正方形ABCD 的面积为 ．18．（2020•金华）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是cm．（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为cm．19．（2020•广州）如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，AB'，AC'分别交对角线BD 于点E，F，若AE＝4，则EF•ED的值为．20．（2020•玉林）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD=√22AB．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G．设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2．当AB＝2时，求AH的长．二．旋转对称图形（共1小题）21．（2020•镇江）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转°后能与原来的图案互相重合．三．中心对称（共3小题）22．（2020•绍兴）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B 停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形23．（2020•泰安）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（﹣1，1），C（3，1）．△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M的坐标为．24．（2020•台州）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD 的面积为．（用含a，b的代数式表示）四．中心对称图形（共3小题）25．（2020•黄石）下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．26．（2020•天水）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．27．（2020•呼伦贝尔）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．五．关于原点对称的点的坐标（共1小题）28．（2020•淮安）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣2，﹣3）六．坐标与图形变化-旋转（共6小题）29．（2020•青岛）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（0，4）B．（2，﹣2）C．（3，﹣2）D．（﹣1，4）30．（2020•枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．（−√3，3）B．（﹣3，√3）C．（−√3，2+√3）D．（﹣1，2+√3）31．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，点G的坐标是（﹣2，1），连接OG，将线段OG绕原点O旋转180°，得到对应线段OG'，则点G'的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）32．（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C （1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C 的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为．33．（2020•烟台）如图，已知点A （2，0），B （0，4），C （2，4），D （6，6），连接AB ，CD ，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为 ．34．（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是 ．七．作图-旋转变换（共6小题）35．（2020•广西）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别是A （1，1），B （4，1），C （5，3）．（1）将△ABC 向左平移6个单位长度得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1，并写出点A 1，C 1的坐标．（2）请画出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 2B 2C 2．36．（2020•巴中）如图所示，△ABC在边长为1cm的小正方形组成的网格中．（1）将△ABC沿y轴正方向向上平移5个单位长度后，得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1，并求出A1B1的长度；（2）再将△A1B1C1绕坐标原点O顺时针旋转180°，得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，求线段AB在变换过程中扫过图形的面积和．37．（2020•贵港）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（4，1），C（4，3）．（1）画出将△ABC向左平移5个单位得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2．38．（2020•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A（4，4），B（1，1），C（4，1）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O1顺时针旋转90°得到△A2B2C2，弧AA2是点A所经过的路径，则旋转中心O1的坐标为；（3）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．39．（2020•桂林）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（，）中心对称．40．（2020•常州）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．八．利用旋转设计图案（共1小题）41．（2020•枣庄）如图的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转或平移得到的是（ ）A ．B ．C ．D ．九．几何变换综合题（共9小题） 42．（2020•锦州）已知△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形（√22OA ＜OM ＝ON ），∠AOB ＝∠MON ＝90°．（1）如图1：连AM ，BN ，求证：△AOM ≌△BON ；（2）若将△MON 绕点O 顺时针旋转，①如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：BN 2+AN 2＝2ON 2；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若OB ＝4，ON ＝3，请直接写出线段BN 的长．43．（2020•葫芦岛）在等腰△ADC 和等腰△BEC 中，∠ADC ＝∠BEC ＝90°，BC ＜CD ，将△BEC 绕点C 逆时针旋转，连接AB ，点O 为线段AB 的中点，连接DO ，EO ．（1）如图1，当点B 旋转到CD 边上时，请直接写出线段DO 与EO 的位置关系和数量关系；（2）如图2，当点B 旋转到AC 边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若BC ＝4，CD ＝2√6，在△BEC 绕点C 逆时针旋转的过程中，当∠ACB ＝60°时，请直接写出线段OD 的长．44．（2020•沈阳）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．（1）如图1，当α＝60°时，①求证：P A ＝DC ；②求∠DCP的度数；（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出P A和DC的数量关系．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP=√31，请直接写出点D到CP的距离为．45．（2020•长春）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．46．（2020•鄂尔多斯）（1）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；②在①中所画图形中，∠AB′B＝°．（2）【问题解决】如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．（3）【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k 为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．47．（2020•十堰）如图1，已知△ABC≌△EBD，∠ACB＝∠EDB＝90°，点D在AB上，连接CD并延长交AE于点F．（1）猜想：线段AF与EF的数量关系为；（2）探究：若将图1的△EBD绕点B顺时针方向旋转，当∠CBE小于180°时，得到图2，连接CD并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E 作EG ⊥CB ，垂足为点G ．当∠ABC 的大小发生变化，其它条件不变时，若∠EBG ＝∠BAE ，BC ＝6，直接写出AB 的长．48．（2020•包头）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，Rt △ABC 绕点C 按顺时针方向旋转得到Rt △A ′B ′C ，A ′C 与AB 交于点D ．（1）如图1，当A ′B ′∥AC 时，过点B 作BE ⊥A ′C ，垂足为E ，连接AE ．①求证：AD ＝BD ；②求α△αααα△ααα的值； （2）如图2，当A ′C ⊥AB 时，过点D 作DM ∥A ′B ′，交B ′C 于点N ，交AC 的延长线于点M ，求αααα的值．49．（2020•东营）如图1，在等腰三角形ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD ＝AE ，连接BE ，点M 、N 、P 分别为DE 、BE 、BC 的中点．（1）观察猜想．图1中，线段NM 、NP 的数量关系是 ，∠MNP 的大小为 ．（2）探究证明把△ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP 、BD 、CE ，判断△MNP 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝1，AB ＝3，请求出△MNP 面积的最大值．50．（2020•威海）发现规律（1）如图①，△ABC 与△ADE 都是等边三角形，直线BD ，CE 交于点F ．直线BD ，AC 交于点H ．求∠BFC 的度数．（2）已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．若∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度数．应用结论（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK．求线段OK长度的最小值．2020年全国中考数学试题分类（13）——图形的旋转参考答案与试题解析一．旋转的性质（共20小题）1．【解答】解：如图，由旋转的性质作出△A 'OB '，连接AB '，∵每个小正方形的边长均为1，∴AB '=√22+32=√13，故选：C ．2．【解答】解：∵∠A ＝30°，∠ABC ＝90°，∴∠ACB ＝60°，∵将Rt △ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到△A 'BC '，∴BC ＝BC '，∠ACB ＝∠A 'C 'B ＝60°，∴△BCC '是等边三角形，∴∠CBC '＝60°，∴∠ABA '＝60°，∴∠BEA ＝90°，设CE ＝a ，则BE =√3a ，AE ＝3a ，∴αααα=13， ∴αααα=34， ∴△ABE 与△ABC 的面积之比为34．故选：D ．3．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°，∴∠CAB ＝90°﹣∠ABC ＝90°﹣40°＝50°，∵将△ABC 绕点B 逆时针旋转得到△A ′BC ′，使点C 的对应点C ′恰好落在边AB 上，∴∠A ′BA ＝∠ABC ＝40°，A ′B ＝AB ，∴∠BAA ′＝∠BA ′A =12（180°﹣40°）＝70°，∴∠CAA '＝∠CAB +∠BAA ′＝50°+70°＝120°．故选：D ．4．【解答】解：过D 作DE ⊥BC 于E ，则BE ＝AD ＝4，DE ＝7，设B ′C ＝BC ＝x ，则DC =√2x ，∴DC 2＝DE 2+EC 2，即2x 2＝49+（x ﹣4）2，解得：x ＝5（负值舍去），∴BC ＝5，AC =√74，在AB 上取一点F ，使得BF ＝BC ＝5，连接DF ，则△DFC ∽△CB ′B ，且相似比为√2：1，∴AF ＝7﹣5＝2，∵AD ＝4，∴DF ＝2√5，∴BB ′=√2=√10， ∵将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A ′B ′C ，∴∠DB ′C ＝∠ABC ＝90°，B ′C ＝BC ，A ′C ＝AC ，∠A ′CA ＝∠B ′CB ，∴△A ′CA ∽△B ′CB ，∴α′αα′α=αααα，∴AA ′=√745×√10=25√185， 故选：A ．5．【解答】解：如图所示，连接EG ，由旋转可得，△ADE ≌△ABF ，∴AE ＝AF ，DE ＝BF ，又∵AG ⊥EF ，∴H 为EF 的中点，∴AG 垂直平分EF ，∴EG ＝FG ，设CE ＝x ，则DE ＝5﹣x ＝BF ，FG ＝8﹣x ，∴EG ＝8﹣x ，∵∠C ＝90°，∴Rt △CEG 中，CE 2+CG 2＝EG 2，即x 2+22＝（8﹣x ）2，解得x =154， ∴CE 的长为154，故选：B ．6．【解答】解：∵CB ＝AD ，AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故应补充“AB ＝CD ”，故选：B ．7．【解答】解：由旋转可得，△ABC ≌△DEC ，∴AC ＝DC ，故A 选项错误，BC ＝EC ，故B 选项错误，∠AEF ＝∠DEC ＝∠B ，故C 选项错误，∠A ＝∠D ，又∵∠ACB ＝90°，∴∠A +∠B ＝90°，∴∠D +∠B ＝90°，∴∠BFD ＝90°，即DF ⊥AB ，故D 选项正确，故选：D ．8．【解答】解：如图，设AD与BC交于点F，∵BC∥DE，∴∠CF A＝∠D＝90°，∵∠CF A＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，∴∠BAD＝30°故选：B．9．【解答】解：∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴∠C＝24°，∴∠C'＝∠C＝24°，故选：C．10．【解答】解：方法一：∵在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，∴BC＝2√3，AC＝4，∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2√3，∴B′C＝2，延长C′B′交BC于F，∴∠CB′F＝∠AB′C′＝90°，∵∠C＝30°，∴∠CFB′＝60°，B′F=√33B′C=2√33，∵B′D＝2，∴DF＝2+2√3 3，过D作DE⊥BC于E，∴DE=√32DF=√32×（2+2√33）=√3+1，方法二：过B′作B′F⊥BC于F，B′H⊥DE于H，则B′F＝HE，B′H＝EF，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，∴BC＝2√3，AC＝4，∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2√3，∴B′C＝2，∴B′F=12AB＝1，∴HE＝1，∵∠B′HD＝∠HEC＝90°，∴∠HB′C＝∠C＝30°，∴∠DB′H＝60°，∴∠B′DH＝30°，∴B′H＝1，DH=√3，∴DE=√3+1，故选：D．11．【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BP A＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BP A＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BP A＝135°＝∠CP A，∵∠CP A＝∠AHC+∠P AH＝135°，∴∠P AH＝135°﹣90°＝45°，∴∠P AH的度数是定值，故选：C．12．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，∴AC=12AB，则AB＝2AC＝2cm．又由旋转的性质知，AC′＝AC=12AB，B′C′⊥AB，∴B′C′是△ABB′的中垂线，∴AB′＝BB′．根据旋转的性质知AB ＝AB ′＝BB ′＝2cm ．故选：B ．13．【解答】解：∵∠ABC ＝∠ADE ，∠ABC +∠ABE ＝180°，∴∠ABE +∠ADE ＝180°，∴∠BAD +∠BED ＝180°，∵∠BAD ＝α，∴∠BED ＝180°﹣α．故选：D ．14．【解答】解：连接BD 、BD 1，如图，∵∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，∴AC =√22+22=2√2，∵D 点为AC 的中点，∴BD =12AC =√2，∵△ABC 绕点B 逆时针旋转60°，得到△A 1BC 1，∴BD 1＝BD ，∠DBD 1＝60°，∴△BDD 1为等边三角形，∴DD 1＝BD =√2．故答案为√2．15．【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处，∴AB 1=12BC ，BB 1＝B 1C ，AB ＝AB 1，∴BB 1＝AB ＝AB 1，∴△ABB 1是等边三角形，∴∠BAB 1＝∠B ＝60°，∴∠CAC 1＝60°，∵将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转至△AB 1C 1的位置，∴CA ＝C 1A ，∴△AC 1C 是等边三角形，∴CC 1＝CA ，∵AB ＝2，∴CA ＝2√3，∴CC 1＝2√3．故答案为：2√3．16．【解答】解：法一：由题意可得，△ADF ≌△ABG ，∴DF ＝BG ，∠DAF ＝∠BAG ，∵∠DAB ＝90°，∠EAF ＝45°，∴∠DAF +∠EAB ＝45°，∴∠BAG +∠EAB ＝45°，∴∠EAF ＝∠EAG ，在△EAG 和△EAF 中，{αα=αααααα=αααααα=αα，∴△EAG ≌△EAF （SAS ），∴GE ＝FE ，设BE ＝x ，则GE ＝BG +BE ＝3+x ，CE ＝6﹣x ，∴EF ＝3+x ，∵CD ＝6，DF ＝3，∴CF ＝3，∵∠C ＝90°，∴（6﹣x ）2+32＝（3+x ）2，解得，x ＝2，即BE ＝2，法二：设BE ＝x ，连接GF ，如下图所示，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABE ＝∠GCF ＝90°，∵△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，∴∠CAF ＝90°，GA ＝F A ，∴△GAF 为等腰直角三角形，∵∠EAF ＝45°，∴AE 垂直平分GF ，∴∠AEB +∠CGF ＝90°，∵在Rt △AEB 中，∠AEB +∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CGF ，∴△BAE ∽△CGF ，∴αααα=αααα， ∵CF ＝CD ﹣DF ＝6﹣3＝3，GC ＝BC +BG ＝BC +DF ＝6+3＝9， ∴α3=69，∴x ＝2，即BE ＝2，故答案为：2．17．【解答】解：如图，将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBM ，连接PM ，过点B 作BH ⊥PM 于H ．∵BP ＝BM =√2，∠PBM ＝90°，∴PM =√2PB ＝2，∵PC ＝4，P A ＝CM ＝2√3，∴PC 2＝CM 2+PM 2，∴∠PMC ＝90°，∵∠BPM ＝∠BMP ＝45°，∴∠CMB ＝∠APB ＝135°，∴∠APB +∠BPM ＝180°，∴A ，P ，M 共线，∵BH ⊥PM ，∴PH ＝HM ，∴BH ＝PH ＝HM ＝1，∴AH ＝2√3+1，∴AB 2＝AH 2+BH 2＝（2√3+1）2+12＝14+4√3，∴正方形ABCD 的面积为14+4√3．解法二：连接AC ，利用勾股定理求出AC 即可．故答案为14+4√3．18．【解答】解：（1）当E ，F 两点的距离最大时，E ，O ，F 共线，此时四边形ABCD 是矩形， ∵OE ＝OF ＝1cm ，∴EF ＝2cm ，∴AB ＝CD ＝2cm ，∴此时四边形ABCD 的周长为2+2+6+6＝16（cm ），故答案为16．（2）如图3中，连接EF 交OC 于H ．由题意CE ＝CF =25×6=125（cm ）， ∵OE ＝OF ＝1cm ，∴CO 垂直平分线段EF ，∵OC =√αα2+αα2=√(125)2+12=135（cm ）， ∵12•OE •EC =12•CO •EH ， ∴EH =1×125135=1213（cm ），∴EF ＝2EH =2413（cm ）∵EF ∥AB ，∴αααα=αααα=25， ∴AB =52×2413=6013（cm ）．故答案为6013． 19．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC ＝∠ADB ＝45°，∵把△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB 'C '，∴∠EAF ＝∠BAC ＝45°，∵∠AEF ＝∠DEA ，∴△AEF ∽△DEA ，∴αααα=αααα，∴EF •ED ＝AE 2，∵AE ＝4，∴EF •ED 的值为16，故答案为：16．20．【解答】（1）证明：∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC ＝BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形，∵OA ＝OB ＝OC ＝OD =√22AB ，∴OA 2+OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，即AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是正方形；（2）解：∵EF ⊥BC ，EG ⊥AG ，∴∠G ＝∠EFB ＝∠FBG ＝90°，∴四边形BGEF 是矩形，∵将线段DH 绕点H 顺时针旋转90°，得到线段HE ，∴∠DHE ＝90°，DH ＝HE ，∴∠ADH +∠AHD ＝∠AHD +∠EHG ＝90°，∴∠ADH ＝∠EHG ，∵∠DAH ＝∠G ＝90°，∴△ADH ≌△GHE （AAS ），∴AD ＝HG ，AH ＝EG ，∵AB ＝AD ，∴AB ＝HG ，∴AH ＝BG ，∴BG ＝EG ，∴矩形BGEF 是正方形，设AH ＝x ，则BG ＝EG ＝x ，∵s 1＝s 2．∴x 2＝2（2﹣x ），解得：x =√5−1（负值舍去），∴AH =√5−1．二．旋转对称图形（共1小题）21．【解答】解：连接OA ，OE ，则这个图形至少旋转∠AOE 才能与原图象重合，∠AOE =360°5=72°．故答案为：72．三．中心对称（共3小题）22．【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：B．23．【解答】解：将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，如图所示：所以点M的坐标为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．24．【解答】解：如图，连接DK，DN，∵∠KDN＝∠MDT＝90°，∴∠KDM＝∠NDT，∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），∴S△DKM＝S△DNT，∴S四边形DMNT＝S△DKN=14a，∴正方形ABCD的面积＝4×14a+b＝a+b．故答案为（a+b）．四．中心对称图形（共3小题）25．【解答】解：A、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．26．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．27．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．五．关于原点对称的点的坐标（共1小题）28．【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣3，﹣2）．故选：C．六．坐标与图形变化-旋转（共6小题）29．【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求，则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．故选：D．30．【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°=√3，∴OH＝2+1＝3，∴B′（−√3，3），故选：A．31．【解答】解：由题意G与G′关于原点对称，∵G（﹣2，1），∴G′（2，﹣1），故选：A．32．【解答】解：由题意得，作出如下图形：N 点坐标为（﹣1，0），N 点关于A 点对称的N 1点的坐标为（﹣3，0），N 1点关于B 点对称的N 2点的坐标为（5，4），N 2点关于C 点对称的N 3点的坐标为（﹣3，﹣8），N 3点关于A 点对称的N 4点的坐标为（﹣1，8），N 4点关于B 点对称的N 5点的坐标为（3，﹣4），N 5点关于C 点对称的N 6点的坐标为（﹣1，0），此时刚好回到最开始的点N 处，∴其每6个点循环一次，∴2020÷6＝336……4，即循环了336次后余下4，故N 2020的坐标与N 4点的坐标相同，其坐标为（﹣1，8）．故答案为：（﹣1，8）．33．【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P 点，P （4，2）．故答案为（4，2）．34．【解答】解：∵点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；∴OP 1＝1，OP 2＝2，∴OP 3＝4，如此下去，得到线段OP 4＝23，OP 5＝24…，∴OP n ＝2n ﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．七．作图-旋转变换（共6小题）35．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，∴A1（﹣5，1）C1（﹣1，3）；（2）如图，△A2B2C2即为所求．36．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，α1α1=3√2αα；（2）如图，△A2B2C2即为所求，B2（4，﹣4）；（3）在（1）（2）的条件下，线段AB在变换过程中扫过图形的面积和为：5×3+12π×（4√2）2−12π×（√2）2＝（15+15π）cm2．37．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．38．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）旋转中心O1的坐标为（2，0），故答案为（2，0）；（3）设旋转半径为r，则r2＝22+42＝20，∴阴影部分的图形面积为：α阴影=14⋅αα2−12×2×4−12×2×2+12×1×1=5π−112．39．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称．故答案为：﹣2，0．40．【解答】解：（1）如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．∴∠ACB ＝60°，∠FCE ＝∠BAC ＝30°，AC ＝CF ，∴∠ACF ＝30°，∴∠BAC ＝∠FCD ，在△ABC 和△CDF 中，{∠ααα=∠ααααααα=αααααα=αα，∴△ABC ≌△CDF （AAS ），∴FD ＝BC ＝1，法二：∵∠ECF ＝∠FCD ＝30°，FD ⊥CD ，FE ⊥CE ，∴DF ＝EF ，∵EF ＝BC ＝1，∴DF ＝1．故答案为1；（2）线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E 落在CF 上的点H 处．S 阴＝S △EFC +S 扇形ACF ﹣S 扇形CEH ﹣S △AHC ＝S 扇形ACF ﹣S 扇形ECH =30⋅α⋅22360−30⋅α⋅(√3)2360=α12． 故答案为α12．（3）如图2中，过点E 作EH ⊥CF 于H ．设OB ＝OE ＝x ．在Rt △ECF 中，∵EF ＝1，∠ECF ＝30°，EH ⊥CF ，∴EC =√3EF =√3，EH =√32，CH =√3EH =32， 在Rt △BOC 中，OC =√αα2+αα2=√1+α2， ∴OH ＝CH ﹣OC =32−√1+α2，在Rt △EOH 中，则有x 2＝（√32）2+（32−√1+α2）2，解得x =√73或−√73（不合题意舍弃），∴OC =1+(√73)2=43， ∵CF ＝2EF ＝2，∴OF ＝CF ﹣OC ＝2−43=23． 八．利用旋转设计图案（共1小题）41．【解答】解：由题意，选项A ，C ，D 可以通过平移，旋转得到，选项B 可以通过翻折得到． 故选：B ．九．几何变换综合题（共9小题）42．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠AOB ＝∠MON ＝90°，∴∠AOM ＝∠BON ，∵AO ＝BO ，OM ＝ON ，∴△AOM ≌△BON （SAS ）．（2）①证明：如图2中，连接AM ．同法可证△AOM≌△BON，∴AM＝BN，∠OAM＝∠B＝45°，∵∠OAB＝∠B＝45°，∴∠MAN＝∠OAM+∠OAB＝90°，∴MN2＝AN2+AM2，∵△MON是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∴NB2+AN2＝2ON2．②如图3﹣1中，设OA交BN于J，过点O作OH⊥MN于H．∵△AOM≌△BON，∴AM＝BN，∠OAM＝∠OBN，∵∠AJN＝∠BJO，∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，∴MN＝3√2，MH＝HN═OH=3√2 2，∴AH=√αα2−αα2=42−(3√22)2=√462，∴BN＝AM＝MH+AH=√46+3√22．如图3﹣2中，同法可证AM＝BN=√46−3√22．43．【解答】解：（1）DO⊥EO，DO＝EO；理由：当点B旋转到CD边上时，点E必在边AC上，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，点O是AB的中点，∴OE＝OA=12AB，∴∠BOE＝2∠BAE，在Rt△ABD中，点O是AB的中点，∴OD＝OA=12AB，∴∠DOE＝2∠BAD，∴OD＝OE，∵等腰△ADC，且∠ADC＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠DOE＝∠BOE+∠DOE＝2∠BAE+2∠BAD＝2（∠BAE+∠DAE）＝2∠DAC＝90°，∴OD⊥OE；（2）仍然成立，理由：如图2，延长EO到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，∵O是AB的中点，∴OA＝OB，∵∠AOM＝∠BOE，∴△AOM≌△BOE（SAS），∴∠MAO＝∠EBO，MA＝EB，∵△ACD和△CBE是等腰三角形，∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠CAD＝∠ACD＝∠EBC＝∠BCE＝45°，∵∠OBE＝180°﹣∠EBC＝135°，∴∠MAO＝135°，∴∠MAD＝∠MAO﹣∠DAC＝90°，∵∠DCE＝∠DCA+∠BCE＝90°，∴∠MAD＝∠DCE，∵MA＝EB，EB＝EC，∴MA＝EC，∵AD＝DC，∴△MAD≌△ECD，∴MD＝ED，∠ADM＝∠CDE，∵∠CDE+∠ADE＝90°，∴∠ADM+∠ADE＝90°，∴∠MDE＝90°，∵MO＝EO，MD＝DE，∴αα=12αα，OD⊥ME，∵αα=12αα，∴OD＝OE，OD⊥OE；（3）①当点B在AC左侧时，如图3，延长EO到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，同（2）的方法得，△OBE≌△OAM（SAS），∴∠OBE＝∠OAM，OM＝OE，BE＝AM，∵BE＝CE，∴AM＝CE，在四边形ABECD中，∠ADC+∠DCE+∠BEC+∠OBE+∠BAD＝540°，∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠DCE＝540°﹣90°﹣90°﹣∠OBE﹣∠BAD＝360°﹣∠OBE＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD，∵∠DAM+∠OAM+∠BAD＝360°，∴∠DAM＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD，∴∠DAM＝∠DCE，∵AD＝CD，∴△DAM≌△DCE（SAS），∴DM＝DE，∠ADM＝∠CDE，∴∠EDM＝∠ADM+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，∵OM＝OE，∴OD＝OE=12ME，∠DOE＝90°，在Rt△BCE中，CE=√22BC＝2√2，过点E作EH⊥DC交DC的延长线于H，在Rt△CHE中，∠ECH＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°﹣45°＝30°，∴EH=12CE=√2，根据勾股定理得，CH=√3EH=√6，∴DH＝CD+CH＝3√6，在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE=√αα2+αα2=2√14，∴OD=√22DE＝2√7，②当点B在AC右侧时，如图4，同①的方法得，OD＝OE，∠DOE＝90°，连接DE，过点E作EH⊥CD于H，在Rt△EHC中，∠ECH＝30°∴EH=12CE=√2，根据勾股定理得，CH=√6，∴DH＝CD﹣CH=√6，在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE＝2√2，∴OD=√22DE＝2，即：线段OD的长为2或2√7．44．【解答】（1）①证明：如图1中，∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，∴PB＝PD，∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，∴△ABC，△PBD是等边三角形，∴∠ABC＝∠PBD＝60°，∴∠PBA＝∠DBC，∵BP＝BD，BA＝BC，∴△PBA≌△DBC（SAS），∴P A＝DC．②解：如图1中，设BD交PC于点O．∵△PBA≌△DBC，∴∠BP A＝∠BDC，∵∠BOP＝∠COD，∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°．（2）解：结论：CD=√3P A．理由：如图2中，∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝120°，∴BC ＝2•AB •cos30°=√3BA ，BD ═2BP •cos30°=√3BP ，∴αααα=αααα=√3，∵∠ABC ＝∠PBD ＝30°，∴∠ABP ＝∠CBD ，∴△CBD ∽△ABP ，∴αααα=αααα=√3，∴CD =√3P A ．（3）过点D 作DM ⊥PC 于M ，过点B 作BN ⊥CP 交CP 的延长线于N ． 如图3﹣1中，当△PBA 是钝角三角形时，在Rt △ABN 中，∵∠N ＝90°，AB ＝6，∠BAN ＝60°，∴AN ＝AB •cos60°＝3，BN ＝AB •sin60°＝3√3，∵PN =√αα2−αα2=√31−27=2，∴P A ＝3﹣2＝1，由（2）可知，CD =√3P A =√3，∵∠BP A ＝∠BDC ，∴∠DCA ＝∠PBD ＝30°，∵DM ⊥PC ，∴DM =12CD =√32如图3﹣2中，当△ABP 是锐角三角形时，同法可得P A ＝2+3＝5，CD ＝5√3，DM =12CD =5√32，综上所述，满足条件的DM 的值为√32或5√32． 故答案为√32或5√32．45．【解答】解：（1）当点P 与B 重合时，5t ＝4，解得t =45．（2）在Rt △ABC 中，∵∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，∴AC =√αα2+αα2=√42+32=5，∴sin A =35，cos A =45， 如图①中，当点P 在线段AB 上时，在Rt △APE 中，AE ＝AP •cos A ＝4t ，∴EC ＝5﹣4t ．如图③中，当点P 在线段BC 上时，在Rt △PEC 中，PC ＝7﹣5t ，cos C =35， ∴EC ＝PC •cos C =35（7﹣5t ）=215−3t ． （3）当△PDQ 是等腰直角三角形时，则PE ＝DE ，如图④中，当点P 在线段AB 上时，在Rt △APE 中，PE ＝P A •sin A ＝3t ，∵DE ＝AC ﹣AE ﹣CD ＝5﹣4t ﹣2t ＝5﹣6t ，∵PE ＝DE ，∴3t ＝5﹣6t ，∴t =59．如图⑤中，当点P 在线段BC 上时， 在Rt △PCE 中，PE ＝PC •sin C =45（7﹣5t ）=285−4t ，∵DE ＝CD ﹣CE ＝2t −35（7﹣5t ）＝5t −215，∴285−4t ＝5t −215， 解得t =4945．∵△PDQ 是锐角三角形，∴观察图象可知满足条件的t 的值为0＜t ＜59或4945＜t ＜75．（4）如图⑥中，当点P 在线段AB 上，QM ∥AB 时，过点Q 作QG ⊥AB 于G ，延长QM 交BC 于N ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵PB ∥MN ∥DH ，PM ＝DM ，∴BN ＝NH ，在Rt △PQG 中，PQ ＝2PE ＝6t ，∴QG =45PQ =245t ，在Rt △DCH 中，HC =35DC =65t ，∵BC ＝BH +CH =245t +245t +65t ＝3，解得t =518．如图⑦中，当点P 在线段BC 上，QM ∥BC 时，过点D 作DH ⊥BC 于H ，过点P 作PK ⊥QM 于K ．∵QM ∥BC ，DM ＝PM ，∴DH ＝2PK ，在Rt △PQK 中，PQ ＝2PE =85（7﹣5t ），∴PK =35PQ =2425（7﹣5t ），在Rt △DCH 中，DH =45DC =85t ，∵DH ＝2PK ，∴85t ＝2×2425（7﹣5t ）， 解得t =65， 综上所述，满足条件的t 的值为518或65．46．【解答】解：（1）①如图1中，△AB ′C ′即为所求．②由作图可知，△ABB ′是等腰直角三角形，∴∠AB ′B ＝45°，故答案为45．（2）如图2中，过点E 作EH ⊥CD 交CD 的延长线于H ．∵∠C ＝∠BAE ＝∠H ＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，∴∠B＝∠EAH，∵AB＝AE，∴△ABC≌△EAH（AAS），∴BC＝AH，EH＝AC，∵BC＝CD，∴CD＝AH，∴DH＝AC＝EH，∴∠EDH＝45°，∴∠ADE＝135°．（3）如图3中，连接AC，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝2k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG=√αα2+αα2=√4α2+9．∴BD＝CG=√4α2+9．47．【解答】解：（1）延长DF到K点，并使FK＝DC，连接KE，如图1所示，∵△ABC≌△EBD，∴DE＝AC，BD＝BC，∴∠CDB＝∠DCB，且∠CDB＝∠ADF，∴∠ADF＝∠DCB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠ADF+∠FDE＝90°，∴∠ACD＝∠FDE，∵FK+DF＝DC+DF，∴DK＝CF，在△ACF 和△EDK 中，{αα=αααααα=αααααα=αα，∴△ACF ≌△EDK （SAS ），∴KE ＝AF ，∠K ＝∠AFC ，又∠AFC ＝∠KFE ，∴∠K ＝∠KFE∴KE ＝EF∴AF ＝EF ，故AF 与EF 的数量关系为：AF ＝EF ．故答案为：AF ＝EF ；（2）仍然成立，理由如下：延长DF 到K 点，并使FK ＝DC ，连接KE ，如图2所示，设BD 延长线DM 交AE 于M 点，∵△ABC ≌△EBD ，∴DE ＝AC ，BD ＝BC ，∴∠CDB ＝∠DCB ，且∠CDB ＝∠MDF ，∴∠MDF ＝∠DCB ，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠DCB ＝90°，∵∠EDB ＝90°，∴∠MDF +∠FDE ＝90°，∴∠ACD ＝∠FDE ，∵FK +DF ＝DC +DF ，∴DK ＝CF ，在△ACF 和△EDK 中，{αα=αααααα=αααααα=αα，∴△ACF ≌△EDK （SAS ），∴KE ＝AF ，∠K ＝∠AFC ，又∠AFC ＝∠KFE ，∴∠K ＝∠KFE ，∴KE ＝EF ，∴AF ＝EF ，故AF 与EF 的数量关系为：AF ＝EF ．（3）当点G 在点B 右侧时，如图3所示，过点E 作EG ⊥BC 交CB 的延长线于G ， ∵BA ＝BE ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∵∠BAE ＝∠EBG ，∴∠BEA ＝∠EBG ，∴AE ∥CG ，∴∠AEG +∠G ＝180°，∴∠AEG ＝90°，∴∠ACG ＝∠G ＝∠AEG ＝90°，∴四边形AEGC 为矩形，∴AC ＝EG ，且AB ＝BE ，∴Rt △ACB ≌Rt △EGB （HL ），∴BG ＝BC ＝6，∠ABC ＝∠EBG ，又∵ED ＝AC ＝EG ，且EB ＝EB ，∴Rt △EDB ≌Rt △EGB （HL ），∴DB＝GB＝6，∠EBG＝∠ABE，∴∠ABC＝∠ABE＝∠EBG＝60°，∴∠BAC＝30°，在Rt△ABC中，由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：AB＝2BC＝12．当点G在点B左侧时，如图4所示，由旋转知，∠ABC＝∠ABE，AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵∠BAE＝∠EBG＝2∠ABC＝2∠ABE，∴∠BAE＝∠AEB＝2∠ABE，∵∠AEB+∠BAE+∠ABE＝180°，∴2∠ABE+2∠ABE+∠ABE＝180°，∴∠BAE＝36°，∴∠ABC＝36°，在Rt△ABC中，cos36°=αααα，∴AB=ααααα36°=6ααα36°，即满足条件的AB＝12或6ααα36°．48．【解答】解：（1）①∵A ′B ′∥AC ，∴∠B ′A ′C ＝∠A ′CA ，∵∠B ′A ′C ＝∠BAC ，∴∠A ′CA ＝∠BAC ，∴AD ＝CD ，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°﹣∠ACD ，∵∠ABC ＝90°﹣∠BAC ，∴∠CBD ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ，∴AD ＝BD ；②∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝4，∴AB =√22+42=2√5，∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠ACB ＝90°，∵∠BCE ＝∠ABC ，∴△BEC ∽△ACB ，∴αααα=αααα，即αα2=2√5， ∴CE =25√5，∵∠ACB ＝90°，AD ＝BD ， ∴CD =12AB =√5， ∴CE =25CD ，∴S △ACE =23S △ADE ，∵AD ＝BD ，∴S △ABE ＝2S △ADE ，∴α△αααα△ααα=13；（2）∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°＝∠A ′CB ′，∴AB ∥CN ，∴△MCN ∽△MAD ，∴αααα=αααα，∵α△ααα=12αα⋅αα=12αα⋅αα，∴αα=αα⋅αααα=4×22√5=45√5，∴AD =√αα2−αα2=85√5，∵DM ∥A ′B ′，。

2022年中考数学复习：旋转类综合体专项训练(含答案)

2022年中考数学复习：旋转综合体专项训练1．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转一定的角度α得到DEC ，点A ，B 的对应点分别是点D ，E ．(1)如图①，当点E 恰好在AC 边上时，连接AD ，求①ADE 的度数；(2)如图①，当60α=时，若点F 为AC 边上的动点，当①FBC 为何值时，四边形BFDE 为平行四边形？请说出你的结论并加以证明2．综合与实践问题：如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，GF ⊥CD ，垂足为F ．证明与推断(1)①四边形CEGF 的形状是 ；②AGBE的值为 ； 【探究与证明】(2)在图1的基础上，将正方形CEGF 绕点C 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，并说明理由；【拓展与运用】(3)如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF 在旋转过程中，AG 和GE 的位置关系是 ．3．若①ABC ，①ADE 为等腰三角形，AC ＝BC ，AD ＝DE ，将①ADE 绕点A 旋转，连接BE ，F 为BE 中点，连接CF ，DF ．(1)若①ACB ＝①ADE ＝90°，如图1，试探究DF 与CF 的关系并证明； (2)若①ACB ＝60°，①ADE ＝120°，如图2，请直接写出CF 与DF 的关系．4．在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点A ，点)(0),30B m m AOB >∠=︒．以点O 为中心，逆时针旋转OAB ，得到OCD ，点,A B 的对应点分别为,C D ．记旋转角为α．(1)如图①，当点C 落在OB 上时，求点D 的坐标；(2)如图①，当45α=︒时，求点C 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点D 的坐标（直接写出结果即可）．5．如图，30HAB ∠=︒，点B 与点C 关于射线AH 对称，连接AC ．D 点为射线AH 上任意一点，连接CD ．将线段CD 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CE ，连接BE ．（1）求证：直线EB 是线段AC 的垂直平分线；（2）点D 是射线AH 上一动点，请你直接写出ADC ∠与ECA ∠之间的数量关系．6．已知如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，△BAC=α（α>90︒），F 为BC 中点，D 为BC 延长线上一点，以点A 为中心，将线段AD 逆时针旋转α得到线段AE ，连接CE ，DE ．(1)补全图形并比较△BAD 和△CAE 的大小； (2)用等式表示CE ，CD ，BF 之间的关系，并证明；(3)过F 作AC 的垂线，并延长交DE 于点H ，求EH 和DH 之间的数量关系，并证明．7．一副三角尺（分别含30°，60°，90°和45°，45°，90°）按如图所示摆放，边OB ，OC 在直线l 上，将三角尺ABO 绕点O 以每秒10°的速度顺时针旋转，当边OA 落在直线l 上时停止运动，设三角尺ABO 的运动时间为t 秒．（1）如图，①AOD ＝ °＝ ′； （2）当t ＝5时，①BOD ＝ °； （3）当t ＝ 时，边OD 平分①AOC ；（4）若在三角尺ABO 开始旋转的同时，三角尺DCO 也绕点O 以每秒4°的速度逆时针旋转，当三角尺ABO 停止旋转时，三角尺DCO 也停止旋转．在旋转过程中，是否存在某一时刻使①AOC ＝2①BOD ，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．8．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标物上，点B 坐标为()3,3．将正方形ABCO 绕点A 顺时针旋转角度()090αα︒<<︒，得到正方形ADEF ，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ．连AP 、AG ．（1）求证：AOG①ADG；∠的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（2）求PAG（3）当12∠=∠时，求直线PE的解析式（可能用到的数据：在Rt中，30°内角对应的直角边等于斜边的一半）．（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，等腰Rt①ABC中，AB＝AC，D为线段BC上的一个动点，E为线段AB上的一个动点，使得CD=．连接DE，以D点为中心，将线段DE顺时针旋转90°得到线段DF，连接线段EF，过点D作射线DR①BC交射线BA于点R，连接DR，RF．（1）依题意补全图形；（2）求证：①BDE①①RDF；（3）若AB＝AC＝2，P为射线BA上一点，连接PF，请写出一个BP的值，使得对于任意的点D，总有①BPF为定值，并证明．10．在①ABC中，AB＝AC，①BAC＝90°，D为平面内的一点．（1）如图1，当点D在边BC上时，BD＝2，且①BAD＝30°，AD＝；（2）如图2，当点D在①ABC的外部，且满足①BDC﹣①ADC＝45°，求证：BD AD；（3）如图3，若AB ＝4，当D 、E 分别为AB 、AC 的中点，把①DAE 绕A 点顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α≤180°）直线BD 与CE 的交点为P ，连接P A ，直接出①P AB 面积的最大值 ．11．已知：①ABC 为等边三角形，且AB ＝4，点D 在直线BC 上运动，线段DA 绕着点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，连接AE 和BE ，直线AE 交直线BC 于点F ． （1）如图，当点D 在点C 左侧时，求证：CD ＝BE ；（2）若①ABC 的面积等于①ABF 面积的4倍，直接写出线段CD 的长；（3）在（2）的条件下，若点E 关于直线AD 的对称点为点G ，连接DG 交线段AC 于点M ，DE 交线段AB 于点N ，连接MN ，直接写出线段MN 的长．12．已知在①ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝BC ＝（1）如图1，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，直接写出点B ，C 的坐标； （2）如图2，过点C 作①MCN ＝45°交AB 于点M ，N ，且AM =1，求MN 的长度；（3）如图3，过点C 作①MCN ＝45°，当点M ，N 分布在点B 异侧时，线段AM ，BN 和MN 满足怎样的数量关系？并给予证明．13．如图，在①ABC 中，AC ＝ BC ，①ACB ＝ 90°，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE ①BD 于E ．（1）求证：①CAE ＝①CBD ；（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE ． ①依题意补全图形；①用等式表示线段EF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明．14．把两个等腰直角ABC 和ADE 按如图1所示的位置摆放，将ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角为α（0360α︒<<︒）．（1）如图1，BD 与EC 的数量关系是___________，BD 与EC 的位置关系是___________；（2）如图2，（1）中BD 和EC 的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．（3）如图3，当点D 在线段BE 上时，BEC ∠=___________． （4）当旋转角α=__________时，ABD △的面积最大．15．如图，在Rt ①ABC 中，BC ＝4，AC ＝2，①ACB ＝90°，矩形BDEF 的边BF ＝1，BD ＝2，矩形BDEF 可以绕点B 在平面内旋转，连接AE 、BE 、CD ． （1）证明：①ABE ①①CBD ；（2）当A 、E 、F 三点共线时，求CD 的长；（3）设AE 的中点为M ，连接FM ，直接写出FM 的最大值．16．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点A 的坐标为()5,0，点B 的坐标为()0,3，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．（1）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（2）如图①，当点D 落在线段BE 上时，连接AB ，AD 与BC 交于点H ． ①求证：ADB AOB ≅△△； ①求点H 的坐标．（3）点K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE 得面积，直接写出S 的取值范围．17．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且6,8,10PA PB PC ===，若将PAC △绕点A 顺时针旋转后得到P AB '△，（1）求旋转角的度数；（2）求点P 与点P '之间的距离； （3）求APB ∠的度数．18．如图在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y 34=-x +b 分别交x 轴，y 轴于点A 、B ，OA ＝4，①OBA 的外角平分线交x 轴于点D ．（1）求点D 的坐标；（2）点P 是线段BD 上一点（不与B 、D 重合），过点P 作PC ①BD 交x 轴于点C ，设点P 的横坐标为t ，△BCD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，PC 的延长线交y 轴于点E ，当PC ＝PB 时，将射线EP 绕点E 旋转45°交直线AB 于点F ，求F 点坐标．19．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为对角线AC 上一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转60︒，点E 的对应点为F ，连接BE ，AF ，CF ．（1）求证：B ，C ，F 三点共线；（2）若点G 为BE 的中点，连接AG ，求证：2AF AG =．20．如图，在四边形ABCD中，BC=CD，△BCD=α°，△ABC+△ADC=180°，AC、BD交于点E．将△CBA 绕点C顺时针旋转α°得到△CDF（点B、A的对应点分别为点D、F）．（1）画出旋转之后的图形（不要求写画法，保留画图痕迹）；（2）求证：△CAB=△CAD；（3）若△ABD=90°，AB=3，BD=4，△BCE的面积为1S，△CDE的面积为2S，求1S:2S的值．参考答案：1．解：①将ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到①DEC，E点在AC上，①CA=CD，①ECD=①BCA=30︒，(180︒−30︒)=75︒，①①CAD=①CDA=12又①①DEC=①ABC=90︒，①①ADE=90°-75︒=15︒；(2)①FBC=30︒时，四边形BFDE为平行四边形，①①FBC=①ACB=30︒，①①ABF=①A=60︒，①BF=CF=AF，①ABF是等边三角形，①BF=AB，①将ABC绕点C顺时针旋转60︒得到DEC，①DE=AB，BCE是等边三角形，①DEC=①ABC=90︒，①①CBE=①BEC=60︒，①①EBF=①EBC-①FBC=30︒，①①DEB+①EBF=180︒，①DE=BF，//DE BF，①四边形BFDE为平行四边形．2．①正方形；．理由：如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∠BCA ＝45°，∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，∴∠CEG ＝∠CFG ＝∠ECF ＝90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE ＝∠ECG ＝45°，∴EG ＝EC ，∴四边形CEGF 是正方形，∵AC BC ,，∴AG ＝AC ﹣CGBC ﹣EC ，∴AG BE(2)结论：AG ，理由：如图2中，连接CC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴AC BC由①得四边形GECF 是正方形，∴∠GEC ＝∠ECF ＝90°，GE ＝EC ，∴△EGC 为等腰直角三角形．∴CG CE∴AC CG BC EC=∴△ACG ∽△BCE ，∴AG CG BE EC∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG ；(3)如图3中，连接CG ，∵∠CEF ＝45°，点B 、E ，∴∠BEC ＝135°．∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC ＝∠BEC ＝135°．∴∠AGF ＝∠AGC +∠CGF ＝135°+45°＝180°，∴点A ，G ，F 三点共线，∴∠AGE ＝∠AGF ﹣∠EGF ＝180°﹣90°＝90°，∴AG ⊥GE ，故答案为：AG ⊥GE ．3．(1)DF =CF 且DF ①CF ；延长CF 至点M ，使CF =FM ，连接ME ，MD ，CD ，延长DE 交CB 延长线于点N ，如图1，①BF=EF，CF=FM，①BFC=①EFM，①①BFC①①EFM（SAS），①EM=BC=AC，①FME=①FCB，①BC①EM，①①N=①MEN，在四边形ACND中，①ACB=①ADE=90°，①①N+①CAD=360°-（①ACB+①ADE）=180°，又①①MEN+①MED=180°，①①MED=①CAD，又AD=DE，EM=AC，①①MED①①CAD（SAS），①DM=DC，①MDE=①CDA，①①MDC=①NDC+①MDE=①NDC+①CDA=①ADE=90°，①①DCM为等腰直角三角形，①点F是CM中点，CM=CF，DF①CF；①DF=12(2)DF①CF且CF；延长CF至点M，使CF=FM，连接ME，MD，CD，延长ED交BC延长线于点N，如图2，①BF=EF，CF=FM，①BFC=①EFM，①①BFC①①EFM（SAS），①EM =BC =AC ，①FME =①FCB ，①BC //EM ，①①N =①NER ，①①ACB =60°，①①ACN =120°，①①ADE =120°，①①ADN =60°，①①N +①CAD =360°-（①ACN +①ADN ）=180°，①①DER +①DEM =180°，①①DEM =①CAD ，又 AD =DE ，EM =AC ，①①MED ①①CAD （SAS ），①DM =DC ，①MDE =①CDA ，①①DCM 为等腰三角形，①①CDM =①ADE =120°，①F 是CM 的中点，①DF ①CF①60CDF ∠=︒①30DCF ∠=︒①CD =2DE由勾股定理得，222CE DE CD +=①2224CE DE DE +=解得，CF （负值舍去）①DF ①CF 且CF ．4．(1)如图，过点D 作DE OA ⊥，垂足为E ．① 0A ，B m ）0m （＞），① AB OA ⊥，OA =AB m =．① 30AOB ∠=︒，① 22OB AB m ==．在Rt OAB 中，由222OA AB OB +=，得2234m m +=．解得1m =．① 1AB =，2OB =．① OCD 是由OAB 旋转得到的，① 2OD OB ==，30DOC AOB ∠=∠=︒．① 60DOE DOC BOA ∠=∠+∠=︒．① 9030ODE DOE ∠=︒-∠=︒．① 112OE OD ==． 在Rt OED 中，DE =① 点D 的坐标为（．(2)如图，过点C 作CT OA ⊥，垂足为T ．由已知，得45COT ∠=︒．① 9045OCT COT ∠=︒-∠=︒．① OT CT=．① OCD是由OAB旋转得到的，① OC OA==在Rt OTC△中，由222T TO C OC+=，得OT CT=① 点C的坐标为．(3)如图①中，过点D作DJ①OA于点J，在DJ上取一点K，使得DK=OK，设OJ=m．①①DOC=30°，①COT=45°，①①DOJ=75°，①①ODJ=90°-75°=15°，①KD=KO，①①KDO=①KOD=15°，①①OKJ=①KDO+①KOD=30°，①OK=DK=2m，KJ，①OD2=OJ2+DJ2，①22=m2+（2m）2，解得m=，①OJ DJ①D⎫⎪⎪⎝⎭．5．（1）证明：连接AE，DB，CB①点B 与点C 关于射线AH 对称，30HAB ∠=︒ ①CD BD =，AC AB =①30HAB HAC ∠∠==︒①260CAB HAC ∠∠==︒①ABC 为等边三角形，60ACB ∠=︒ ①60DCE ∠=︒①DCE ACD ACB ACD ∠∠∠∠-=- ECA DCB ∠=∠①在ECA △和DCB 中，EC DC ECA DCB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()ECA DCB SAS ≅△△①BD EA =①DC BD EC ==，①AE EC =又AB BC =①EB 垂直平分AC（2）分两种情况来讨论：第一种情况，如图，当点D 在ABE △内部时：①点B 与点C 关于射线AH 对称，①90CFA ∠=︒①90ADC CFA DCB DCB ∠=∠+∠=︒+∠ ①ECA DCB ∠=∠①90ADC ECA ∠=︒+∠第二种情况，如图，当点D 在ABC 外部时： ①点B 与点C 关于射线AH 对称，①90CFA ∠=︒①90ADC CFA DCB DCB ∠=∠-∠=︒-∠ ①ECA DCB ∠=∠①90ADC ECA ∠=︒-∠6．如图，即为补全的图形，根据题意可知BAC DAE α∠=∠=，①BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠．(2)由旋转可知AD AE =，①在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()BAD CAE SAS ≅，①BD CE =．①BD BC CD =+，①CE BC CD =+．①点F 为BC 中点，①2BC BF =，①2CE BF CD =+，即2CE CD BF -=．(3)如图，连接AF ，作AN DE ⊥，①AB=AC ，F 为BC 中点，①90AFD ∠=︒，12FAB FAC α∠=∠=． 根据作图可知90AND ∠=︒，①180AFD AND ∠+∠=︒，①A 、F 、D 、N 四点共圆，①AFN ADN ∠=∠．①AD AE =，AN DE ⊥，①EN DN =，11(180)9022AFN ADN DAE α∠=∠=︒-∠=︒-． ①11909022AFN FAC αα∠+∠=︒-+=︒． ①90AFH FAC ∠+∠=︒，且点H 在线段DE 上，①点H 与点N 重合，①EH DH =．7．（1）①180AOD AOB COD ∠=︒-∠-∠，3045AOB COD ∠=︒∠=︒，，①10510560=6300AOD '∠=︒=⨯．故答案为：105，6300；（2）当5t =时，即三角尺ABO 绕点O 顺时针旋转了51050⨯︒=︒，如图，ABO 即为旋转后的图形．由旋转可知50BOM ∠=︒，①180180455085BOD COD BOM ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为85；（3）当三角尺绕点O 顺时针旋转到如图所示的ABO 的位置时，边OD 平分①AOC ．①224590AOC COD ∠=∠=⨯︒=︒，①90AOM ∠=︒①90903060BOM AOB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ①60610t ==； 故答案为：6；（4）①当边OA 落在直线l 上时停止运动时， ①180150=1510t -≤． 当OA 和OC 重合时，即有10418030t t +=︒-︒， 解得：757t =． ①当757t ≤时，1801030415014AOC t t t ∠=︒--︒-=︒-， 当757t >时，1030418014150AOC t t t ∠=+︒+-︒=-︒． 当OB 和OD 重合时，即有10418045t t +=︒-︒， 解得：13514t =①当13514t ≤时，1801045413514BOD t t t ∠=︒--︒-=︒-， 当13514t >时，1045418014225BOD t t t ∠=+︒+-︒=-︒． ①可根据2AOC BOD ∠=∠分类讨论，①当13514t ≤时，有15014=2(13514)t t ︒-︒-， 解得：607t =，符合题意； ①当13575147t <≤时，即有150142(14225)t t ︒-=-︒ 解得：1007t =，符合题意； ①当757t >时，即有141502(14225)t t -︒=-︒解得：150157t =>，不符合题意舍； 综上，可知当607t =或1007t =时，2AOC BOD ∠=∠． 8．（1）证明：在Rt△AOG 和Rt△ADG 中，AO AD AG AG=⎧⎨=⎩ ①AOG ①ADG （HL ）．（2）在Rt ①ADP 和Rt ①ABP 中，AD AB AP AP=⎧⎨=⎩ ΔΔADP ABP ∴≅（HL ）， 则DAP BAP ∠=∠；ΔΔAOG ADG ≅，1DAG ∴∠=∠；又190DAG DAP BAP ∠+∠+∠+∠=︒，2290DAG DAP ∴∠+∠=︒，45DAG DAP ∴∠+∠=︒，PAG DAG DAP ∠=∠+∠，45∴∠=︒PAG ；ΔΔAOG ADG ≅，DG OG ∴=，ΔΔADP ABP ≅，DP BP ∴=，PG DG DP OG BP ∴=+=+．（3）解：ΔΔAOG ADG ≅，AGO AGD ∴∠=∠，又190AGO ∠+∠=︒，290PGC ∠+∠=︒，12∠=∠，AGO PGC ∴∠=∠，又AGO AGD ∠=∠，AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠，又180AGO AGD PGC ∠+∠+∠=︒，180360AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠=︒÷=︒，12906030∴∠=∠=︒-︒=︒；∴在Rt ΔAOG 中，2,3AG OG OA ==，222AG OG OA =+∴222(2)3OG OG =+ 解得OGG ∴点坐标为0)，3CG =在Rt ΔPCG 中，2PG CG =，222PG CG PC =+∴222(2)CG CG PC =+， ∴3PC =，P ∴点坐标为：(3，3)，设直线PE 的解析式为：y kx b =+，则033b k b +=+=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴直线PE 的解析式为3y =-．（4）①如图1，当点M 在x 轴的负半轴上时，AG MG =，点A 坐标为(0,3)，∴点M 坐标为(0,3)-．①如图2，当点M 在EP 的延长线上时，由（3），可得60AGO PGC ∠=∠=︒，EP ∴与AB 的交点M ，满足AG MG =，A 点的横坐标是0，GM ∴的横坐标是3，∴点M 坐标为3)．综上，可得点M 坐标为(0,3)-或3)．9．（1）如图，（2）DR ①BC90RDB ∴∠=︒将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ，90,EDF ED FD ∴∠=︒=BDR EDF ∴∠=∠即BDE EDR EDR RDF ∠+∠=∠+∠BDE RDF ∴∠=∠ ABC 是等腰直角三角形90BDR ∠=︒45BRD ∴∠=︒BRD ∴是等腰直角三角形BD DR ∴=∴①BDE ①①RDF ；（2）如图，当24PB AB ==时，使得对于任意的点D ，总有①BPF 为定值，证明如下，ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==BC ∴=DC =设DE a =，则CD =，①BDE ①①RDF ,DR BD ∴==，FR BR a == ABC 是等腰直角三角形，45EBD ∴∠=︒DR BC ⊥45BRD ∴∠=︒BDR ∴是等腰直角三角形，42BR a ∴==-()4422PR BP BR a a ∴=-=--=①BDE ①①RDF ,45FRD EBD ∴∠=∠=︒90BRF BRD DRF ∴∠=∠+∠=︒1tan 22RF a BPF RP a ∴∠=== BPF ∴∠为定值10．证明：（1）如图1，将①ABD 沿AB 折叠，得到①ABE ，连接DE ，①AB ＝AC ，①BAC ＝90°，①①ABC ＝45°，①将①ABD 沿AB 折叠，得到①ABE ，①①ABD ①①ABE ，①AE ＝AD ，BE ＝BD ，①ABE ＝①ABD ＝45°，①BAD ＝①BAE ＝30°，①①DBE ＝90°，①DAE ＝60°，且AD ＝AE ，BE ＝BD ，①①ADE 是等边三角形，DE =，①AD ＝DE =故答案为：（2）如图2，过点A 作AE ①AD ，且AE ＝AD ，连接DE ，①AE ①AD ，①①DAE ＝①BAC ＝90°，①①BAE ＝①DAC ，且AD ＝AE ，AB ＝AC ，①①BAE ①①CAD （SAS ）①①ACD＝①ABE，①①ACD+①DCB+①ABC＝90°，①①DCB+①ABC+①ABE＝90°，①①BOC＝90°，①AE＝AD，AE①AD，①DE=，①ADE＝45°，①①BDC﹣①ADC＝45°，①①BDC＝①ADC+45°＝①EDC，且DO＝DO，①DOB＝①DOE＝90°，①①DOB①①DOE（ASA）①BD＝DE，①BD=；（3）如图3，连接PC交AB于G点①①DAE绕A点旋转①AD=AE，AB=AC,①①DAE=①BAC=90°①①DAB=①EAC①①DAB①①EAC①①DBA=①ECA①①PGB=①AGC①①BPC=①GAC=90°①①BPC为直角三角形①点P在以BC中点M为圆心，BM为半径的圆上，连接PM交AB所在直线于点N，当PM①AB时，点P到直线AB的距离最大，①①BAC=90°①A 、P 、B 、C 四点共圆①PM ①AB ，①N 是AB 的中点①M 是BC 的中点①MN =122AC = ①AB ＝AC ＝4，①CB =22442，①BM =PM =12BC =，①PN ＝2 ，①点P 到AB 所在直线的距离的最大值为：PN ＝2 ． ①①P AB的面积最大值为12AB ×PN ＝4． 11．（1）证明：ABC 是等边三角形60,BAC AB AC ∴∠=︒=线段DA 绕着点D 顺时针旋转60°得到线段DE ， 60,DAE DA DE ∴∠=︒=ADE ∴是等边三角形DAC DAE CAE BAC CAE EAB ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠ 即DAC EAB ∠=∠∴ADC AEB △≌△∴CD BE =（2）ABC 是等边三角形，AB ＝4，则60BAC ∠=︒过点A 作AM BC ⊥，则1302BAH BAC ∠=∠=︒ Rt ABH 中，122BH AB ==AH ∴=142ABC S ∴=⨯⨯△①ABC 的面积等于①ABF 面积的4倍ABF S ∴=△11sin 60422ABF S BF AB =⋅⨯︒=⨯=△ 1BF ∴= ①当F 点在B 点的左侧时，如图，60ACB ABC ∠=∠=︒120ACD ∴∠=︒ADC AEB △≌△ADC AEB ∴∠=∠，BE DC =60ABC ∠=︒60EBF ABE ABC ∴∠=∠-∠=︒60FBE FCA ∴∠=∠=︒又AFC EFB ∠=∠AFC EFB ∴∽FB BE FC AC∴= 4,1AC BC AB BF ====413FC ∴=-=14433FB AC BE FC ⋅⨯∴=== 43CD EB ∴==①当F 点在B 点的右侧时，如图，ADC AEB △≌△60ACD EBA ∴∠=∠=︒60ABC ∠=︒18060EBF ABC ABE ∴∠=︒-∠-∠=︒BE AC ∴∥FEB FAC ∴∽FB BE FC AC∴= 1,4,145FB AC FC BC BF ===+=+=45FB AC BE FC ⨯∴== 45CD EB ∴==综上所述CD 的长为43或45（3）如图，点E 关于直线AD 的对称点为点G ，ADE 是等边三角形60ADE ADG ∴∠=∠=︒，AE AD =AEN ADM ∴∠=∠60=︒60,60MAD DAB CAB EAB DAB DAE ∠+∠=∠=︒∠+∠=∠=︒MAD NAE ∴∠=∠MAD NAE ∴=AM AN ∴=60MAN ∠=︒AMN ∴是等边三角形MN AN ∴=由（2）可得45BE =，FEB FAC ∽ 445525EF BF BF AF FC BC BF ∴====+过点A 作AH BC ⊥，则AH =,2CH HB ==，3HF HB BF =+=AF ∴=425EF AF ∴==AE AF EF ∴=-==60,ABE AEN EAB NAE ∠=∠=︒∠=∠∴BEA ENA ∽BE BA EN EA∴= 则BE EA EN BA ⨯=60,ADN ABE AND ENB ∠=∠=︒∠=∠ADN EBN ∴∽AD AN EB EN∴= 即AN EB EN AD ⨯= BE EA AN EB BA AD ⨯⨯∴= EA AD AN AB⨯∴=AE AD =,4AB =2926142500AN ⎝⎭∴== 即92612500MN =12． 解：（1）如图1，过点C 作CD ①x 轴于D ，①在①ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝BC＝①4AB = ，①点B （4，0），①CD ①AB ，①AD ＝CD ＝12AB ＝12×4＝2，①点C 的坐标为（2，2）；（2）如图，把①ACM 绕点C 逆时针旋转90°得到①BCM ′，连接M ′N ，①90ACB ∠=︒，AC ＝BC ，①①ABC 是等腰直角三角形，①①CAB ＝①CBA ＝45°，由旋转的性质得，45AM BM CM CM CAM CBM ACM BCM '''==∠=∠=︒∠=∠'、、，，①454590M BN ABC CBN ∠'=∠+∠'=︒+︒=︒ ，①①MCN ＝45°，①90904545M CN BCN BCM BCN ACM MCN ∠'=∠+∠'=∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒ ， ①MCN M CN ∠=∠' ，在①MCN 和①M ′CN 中，①CM CM MCN M CN CN CN ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①MCN M CN SAS '≌（）， ①MN M N =' ，在Rt M NB ' 中，222BM BN M N +='' ，①222AM BN MN += ，1AM =，①3MN BN AB AM +=-=，1BM '= ，设MN x =，则BN =3x -，()22213-x x ∴+=，解得：53x =， 53MN ∴=； （3）AM 2+BN 2＝MN 2，证明如下：如图3，把①BCN 绕点C 顺时针旋转90°得到ACN ' ，①90ACB ∠=︒，AC ＝BC ，①①ABC 是等腰直角三角形，①①CAB ＝①CBA ＝45°，由旋转的性质得，135AN BN CN CN CAN CBN '='=∠'=∠=︒，， ， ①1354590MAN ∠'=︒-︒=︒，①点N '在y 轴上，①①MCN ＝45°，①904545MCN ∠'=︒-︒=︒，①MCN MCN ∠=∠' ，在①MCN 和①MCN ′中，①CN CN MCN MCN CM CM =''⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()MCN MCN SAS ≅' ，①MN MN =' ，在Rt AMN ' 中，222AM AN MN +''= ，①222AM BN MN +＝ ．13．（1）如图1，①90ACB ∠=︒，AE BD ⊥，①90ACB AEB ∠=∠=︒，又①12∠=∠，①CAE CBD ∠=∠；（2）①补全图形如图2；①EF BE =.理由如下：在AE 上截取AM ，使AM BE =.又①AC CB =，CAE CBD ∠=∠，①ΔΔACM BCE ≌，①CM CE =，ACM BCE ∠=∠，又①90ACB ACM MCB ∠=∠+∠=︒，①90MCE BCE MCB ∠=∠+∠=︒，①ME =，又①射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒，后得到AF ，且90AEF ∠=︒，①EF AE AM ME BE ==+=.14．解：（1）如图：BD 与EC 的数量关系是相等，理由如下：,AB AC AD AE ==，AB AD AC AE ∴-=-，BD EC ∴=；BD 与EC 的位置关系是垂直，理由如下：AB AC ⊥， 又点,D E 分别在,AB AC 上，BD EC ⊥；（2）成立：理由分别如下：如图：根据旋转的性质可得：,,AD AE AB AC BAD CAE ==∠=∠， ()ABD ACE SAS ∴≌，BD EC ∴=，作BD 的延长线交EC 于点F ，交AC 于点G ，如下图：由ABD ACE SAS △≌△()可知，ABD ACE ∠=∠，AGB FGC ∠=∠，AGB FGC ∴∽，90GAB GFC ∴∠=∠=︒，GF CF ∴⊥，即BD EC ⊥；（3）当点D 在线段BE 上时，90BAD BAC DAC DAC ∠=∠-∠=︒-∠，90CAE DAE DAC DAC ∠=∠-∠=︒-∠，BAD CAE ∴∠=∠，又AB AC =，AD AE =，()BAD CAE SAS ∴∆≅∆，180135ADB AEC ADE ∴∠=∠=︒-∠=︒，451354590BEC AEC ∴∠=∠-︒=︒-︒=︒；（4）由题意知，点D 的轨迹在以A 为圆心，AD 为半径的圆， 在ABD ∆中，当AB 为底时，点D 到AB 的距离最大时，ABD ∆的面积最大， 故如图所示，当AD AB ⊥时，ABD ∆的面积最大，∴旋转角为90︒或270︒，故答案为：90︒或270︒．15．解：（1）在Rt ①ABC 中，BC ＝4，AC ＝2，①ACB ＝90°，AB ∴=在Rt ①BDE 中，BF ＝1，BD ＝2，BE ∴=121tan ,tan 242ED AC EBD ABC BD BC ∴∠==∠=== EBD ABC ∴∠=∠EBD ABD ABC ABD ∴∠-∠=∠-∠ABE CBD ∴∠=∠24AB BE BC BD ===∴①ABE ①①CBD ；（2）当A 、E 、F 三点共线时，分两种情况讨论： ①90AED ∠=︒，如图，在Rt ①AFB 中，222AB BF AF =+21(2)20AE ∴++=2(2)19AE ∴+=2AE ∴=①ABE ①①CBDAE CD ∴=CD ∴= ①如图，90AFB ∠=︒在Rt ①AFB 中，22220119AF AB BF =-=-=AF ∴=2AE AF EF ∴=+=EBD ABC ∠=∠90EBF ABC ∴∠+∠=︒EBF ABC FBC DBF FBC ∴∠+∠+∠=∠++∠24AB BE BC BD ===∴①ABE ①①CBDAE CD ∴=CD ∴=综上所述，CD =CD =（3）如图，延长EF 至点G ，使得EF =FG ，连接BG ，此时①BEG 是等腰三角形， 当G B A 、、三点共线，此时FM 最大//BD GEG DBA ∴∠=∠9090180DBA FBD GBF G FBD GBF ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒， 此时，G B A 、、三点共线，F M 、分别是BE 、AE 的中点，FM ∴是①EGA 的中位线，111==()222FM AG AB BG ∴+==16．解：（1）如图①中，(5,0)A ，(0,3)B ，5OA ∴=，3OB =，四边形AOBC 是矩形，3AC OB ∴==，5OA BC ==，90OBC C ∠=∠=︒，矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到，5AD AO ∴==，在Rt ADC 中，4CD ，1BD BC CD ∴=-=，(1,3)D ∴．（2）①如图①中，由四边形ADEF 是矩形，得到90ADE ∠=︒，点D 在线段BE 上，90ADB ∴∠=︒，由（①）可知，AD AO =，又AB AB =，90AOB ∠=︒，()Rt ADB Rt AOB HL ∴≌．①如图①中，由ADB AOB ∆≅∆，得到BAD BAO ∠=∠，又在矩形AOBC 中，//OA BC ，CBA OAB ∴∠=∠，BAD CBA ∴∠=∠，BH AH ∴=，设AH BH m ==，则5HC BC BH m =-=-，在Rt AHC 中，222AH HC AC =+，2223(5)m m ∴=+-，175m ∴=， 175BH ∴=， 17(5H ∴，3)． （3）如图①中，当点D 在线段BK 上时，DEK ∆的面积最小，最小值113(522DE DK ==⨯⨯=当点D 在BA 的延长线上时，①D E K ''的面积最大，最大面积113(522D E KD =⨯''⨯'=⨯⨯=． 17．解：（1）∵P AB ∆'由PAC ∆绕点A 旋转得到，∴P AB PAC ∆≅∆'，∴P AB PAC ∠=∠'，P A PA '=，∵60BAC PAC PAB ∠=∠+∠=︒，∴60P AB PAB ∠+∠='︒，即：60P AP ∠='︒，∴旋转角度数为60︒；（2）如图所示，连接P P '，∵60P AP ∠='︒，P A PA '=，∴P AP ∆'为等边三角形，∴6P P PA '==,即点P 与点P '之间的距离为6；（3）在P PB ∆'中，由（1）得：10P B PC ='=，6P P '=，8PB =，∴222P B P P PB ''=+，∴P PB ∆'为直角三角形，∴90P PB ∠='︒，由（1）得60APP ∠='︒，∴150APB P PB APP ∠=∠+='∠'︒，∴APB ∠的度数为150︒．18．（ 1 ）①OA ＝4，①A （4，0），把A （4，0）代入34y x b =-+， 得：b ＝3，过点D 作DH ①AB 于点H ，则DH ＝DO ，BH ＝BO ，①当x ＝0时，y ＝3，①B （0，3），①OA ＝4，BO ＝BH ＝3，在Rt OAB 中，①5AB ，AD ＝DO +OA ＝DH +4， ①1122ABD S AD OB AB DH =⋅⋅=⋅⋅， ①()1143522DH DH ⨯+⨯=⨯⋅， 解得：DH ＝6，①OD ＝6，①点D 的坐标为（﹣6，0），（2）过点P 作PE ①OD 于点E ，则△DPE ①①DBO ，①点P 在直线BD 上，且点P 的横坐标为t ，①DE ＝t +6，①OD ＝6，OB ＝3，在Rt OBD △中，BD ==①①DPE ①①DBO ， ①DP DE DB DO =，66t +，解得：)6DP t =+， ①PC ①BD ， ①①PDC ①①ODB ， ①PC DP OB OD=，①)6236t PC +=，①)6PC t =+，①)()1115154566=22884BCD S BD PC t t t =⋅⋅=⨯+=++； （3）作PH 垂直于x 轴于点H ，设射线EP 绕点E 逆时针旋转45°交x 轴于点K ，顺时针旋转45°交x 轴于点G ．①①BPC ＝90°，①BOC ＝90°①B ，P ，C ，O 四点共圆，①PC PB =,①45PCB PBC ∠=∠=︒，①①POC ＝①PBC ＝45°，①90PHO ∠=︒,①45HPO POC ∠=∠=︒,①PH ＝HO ，①DH ＝6﹣HO ＝6﹣PH ，①DHP DOB ∽, ①663PH DO PH BO -==， 得PH ＝2，①HC ＝CO ＝1，①OE ＝2，①点(0,2)E -,①①KEP ＝①DBC ，①PEB ＝①BDC ，①①KEP +①PEB ＝①DBC +①BDC ，即①KEO ＝①BCO ，①OE ：GK ＝CO ：BO ＝1：3，①GK ＝6，①K （﹣6，0），设直线KE 的解析式为：y kx b =+，则62y k b b =-+⎧⎨-=⎩，解得：132k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，， ①直线KE 为：y 13=-x ﹣2， 联立方程组：123334y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得x ＝12，y ＝﹣6，①F 1（12，﹣6），①①KEP +①PEG ＝90°，①①DEG ＝90°，①①OEG ＝①ODE ，①OG ：OE ＝OE ：OD ＝1：3，①OG 23=； ①G （23，0）， 设直线EG 的解析式为：y mx n =+， 则20=32m n n⎧+⎪⎨⎪-=⎩，解得：32m n =⎧⎨=-⎩， ①直线EG 的解析式为：y ＝3x ﹣2， 联立方程组：32334y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 解得x 43=，y ＝2， ①F 2（43，2）， 综上所述：F 的坐标为（12，﹣6）或（43，2）． 19．证明：（1）①四边形ABCD 是菱形，①ABC ＝60°， ①AB ＝BC ＝AD ＝CD ，①ADC ＝①ABC ＝60°，①①ADC 是等边三角形，①AD ＝AC ＝AB ＝BC ，①①ACB 是等边三角形，①①ACB ＝①ACD ＝60°，①①ADC ＝①EDF ＝60°，①①ADE ＝①CDF ，①将线段DE 绕点D 逆时针旋转60︒，点E 的对应点为F ， ①DE DF =,在①ADE 和①CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ADE ①①CDF （AAS ），①60DCF DAE ∠=∠=︒,①180DCF BCD ∠+∠=︒，①B ，C ，F 三点共线；（2）如图，过点B 作BH ①AC ，交AG 的延长线于点H ，①BH ①AC ，①①H ＝①GAE ，①ABH ＋①BAC ＝180°，①①ABH ＝120°＝①ACF ，①点G 为BE 的中点，①BG ＝GE ，在①AGE 和①HGB 中，H GAE AGE BGH BG GE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①AGE ①①HGB （AAS ），由（1）得AE CF =,①AE ＝BH ＝CF ，AG ＝GH ＝12AH ，在①ABH 和①ACF 中，AB AC ABH ACF BH CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABH ①①ACF （SAS ），①AF ＝AH ，①AF ＝2AG ．20．（1）如图①CDF 即为旋转之后的图形；（2）证明：由旋转旋转可知：①CAB ①①CFD ，①①CDF =①CBA ，①F =①CAB ，CA =CF ，①①CBA +①CDA =180°，①①CDF +①CDA =180°，①A 、D 、F 三点共线，①AC =CF ，①①F =①CAD ，①①CAB =①CAD ；（3）过点E 作EM ①AF 于点M ，过点C 作CN ①BD 于点N ， ①①ABE =①AME =90°，在①ABE 和①AME 中，EAB EAM ABE AME AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ①①ABE ①①AME （AAS ），①AM =AB =3，BE =ME ，①①ABD =90°，AB =3，BD =4，①5AD ==,①DM =2，设BE EM x ==，则4DN x =-,①()222x 24x +=-，解得 1.5x =，①BE =1.5，DE =2.5， ①12113::225S S BE CN DE CN =⋅⋅=.。

备战中考数学——旋转的综合压轴题专题复习含答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为_____；（3）在（1）的条件下，若CD=6，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．【答案】(1)见解析（2）AD=BE+DE （3）8【解析】试题分析：（1）延长DA到F，使DF=DE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得证；（2）在AD上截取DF=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得到AD=BE+DE；（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD，然后求出AD的长，再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解．试题解析：（1）证明：如图①，延长DA到F，使DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°．又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，∵CE CFACF BCEAC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即AD+BE=DE；（2）解：如图②，在AD上截取DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°．又∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，∵CE CFACF BCEAC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD=AF+DF=BE+DE，即AD=BE+DE；故答案为：AD=BE+DE．（3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=45°+45°=90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴CD=DF=DE=6．∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，∴AD=1×6=2，∴AE=AD+DE=2+6=8．12点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度不是很大，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM 上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，猜想：△CDE的形状是三角形．（2）请证明（1）中的猜想（3）设OD=m，①当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）3；②当m=2或14时，以D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形．【解析】【分析】（1）由旋转的性质猜想结论；（2）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（3）①当6＜m＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，分四种情况讨论：a）当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；b）当0≤m＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m；c）当6＜m＜10时，此时不存在；d）当m＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m=14．【详解】（1）等边；（2）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形．（3）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得：BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=23，∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4；②存在，分四种情况讨论：a）∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；b）当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°．∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°．∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴m=2；c）当6＜m＜10时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；d）当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14，∴m=14．综上所述：当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．3．如图①，在ABCD中，AB=10cm，BC=4cm，∠BCD=120°，CE平分∠BCD交AB于点E.点P从A点出发，沿AB方向以1cm/s的速度运动，连接CP，将△PCE绕点C逆时针旋转60°，使CE与CB重合，得到△QCB，连接PQ.（1）求证：△PCQ是等边三角形；（2）如图②，当点P在线段EB上运动时，△PBQ的周长是否存在最小值？若存在，求出△PBQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图③，当点P在射线AM上运动时，是否存在以点P、B、Q为顶点的直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.（1）（2）（3）【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析；（3）t为2s或者14s.【解析】分析：（1）根据旋转的性质，证明△PCE≌△QCB，然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质证得△BCE为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到△PBQ的周长为4+CP，然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可；（3）根据点的移动的距离，分类讨论求解即可.详解：（1）∵旋转∴△PCE≌△QCB∴CP=CQ，∠PCE =∠QCB，∵∠BCD=120°，CE平分∠BCD，∴∠PCQ=60°，∴∠PCE +∠QCE=∠QCB+∠QCE=60°，∴△PCQ为等边三角形.（2）存在∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=60 ，∵在平行四边形ABCD 中，∴AB∥CD∴∠ABC=180°﹣120°=60°∴△BCE为等边三角形∴BE=CB=4∵旋转∴△PCE≌△QCB∴EP=BQ，∴C△PBQ=PB+BQ+PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=4+CP∴CP⊥AB时，△PBQ周长最小当CP⊥AB时，CP=BCsin60°=∴△PBQ周长最小为4＋（3）①当点B与点P重合时，P,B,Q不能构成三角形②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠CPE=∠CQB，∠CPQ=∠CPB+∠BPQ=60°则：∠BPQ+∠CQB＝60°，又∵∠QPB+∠PQC+∠CQB+∠PBQ=180°∴∠CBQ=180°—60°—60°=60°∴∠QBP=60°，∠BPQ＜60°，所以∠PQB可能为直角由（1）知，△PCQ为等边三角形，∴∠PBQ=60°，∠CQB＝30°∵∠CQB＝∠CPB∴∠CPB=30°∵∠CEB＝60°，∴∠ACP＝∠APC=30°∴PA=CA=4，所以AP=AE-EP=6-4=2÷=s所以t＝212③当6＜t＜10时，由∠PBQ＝120°＞90°，所以不存在④当t＞10时，由旋转得：∠PBQ=60°，由（1）得∠CPQ=60°∴∠BPQ=∠CPQ+∠BPC=60°+∠BPC，而∠BPC＞0°，∴∠BPQ＞60°∴∠BPQ=90°，从而∠BCP=30°，所以AP=14cm所以t=14s综上所述：t为2s或者14s时，符合题意。

2020初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题填空题专项训练1(附答案详解)

∴AM＝AN，
∵∠AMH＝∠ANG＝90°，
∴Rt△AMH≌Rt△ANG（HL），
∴HM＝GN，
∵∠AMF＝∠ANF＝90°，AF＝AF，
∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），
∴FM＝FN，
∴FG＝FH，
∴FG+DF＝FH+DF＝DH＝x，
∴EG＝BH＝ ﹣x，
∴y＝S△AEG＝ •EG•AN＝ ，
(1)如图①，已知点A(-1，a)，B(b，10)在函数y＝2x2＋2的图象上，若A’、B’是A、B旋转后的对应点，连结OA’，OB’，则S△OA’B’=____.
(2)如图②，曲线与直线 相交于点M、N，则S△OMN为_________.
20．如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝_____．
【详解】
解：设AC交BD于H，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．
∵AB＝AD＝1，∠B＝30°，AM⊥BD，
∴AM＝ AN＝ ，BM＝DM＝ ，
∴BD＝EC＝ ，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAH＝∠EAG，
∵AB＝AE，∠B＝∠E＝30°，
∴△BAH≌△EAG（ASA），
∴AH＝AG，BH＝EG，
∵△ABD≌△ACE，
14．如图，在▱ABCD中，∠A=70°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1=______．
15．将抛物线y＝2（x﹣1）2+3绕它的顶点旋转180°后得到的抛物线 的函数表达式为_____．
16．如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若 ， ， ．则 ＝_______．

中考数学总复习之图形的旋转综合训练(30题)

中考数学总复习之图形的旋转综合训练（30题）1．如图，点A在射线OX上，OA＝a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°（0＜n≤360）到OA′，那么点A′的位置可以用（a，n°）表示．（1）按上述表示方法，若a＝3，n＝37，则点A′的位置可以表示为；（2）在（1）的条件下，已知点B的位置用（3，74°）表示，连接A′A、A′B．求证：A′A＝A′B．2．如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．（1）求证：BD＝CE；（2）如图2，连接F A，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．3．如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC＝6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN．（1）作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH＝∠B时，判断点N是否在直线AB上，并说明理由；（2）若∠ABC＝30°，NC∥AB，求以MC、MN为邻边的正方形的面积S．4．如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E 是否全等，并说明理由．5．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．6．下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G，G关于y轴的对称图形为G1，关于x轴的对称图形为G2．则将图形G1绕点顺时针旋转度，可以得到图形G2．（2）在图2中分别画出G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2．将图形G1绕点（用坐标表示）顺时针旋转度，可以得到图形G2．（3）综上，如图3，直线l1：y＝﹣2x+2和l2：y＝x所夹锐角为α，如果图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，那么将图形G1绕点（用坐标表示）顺时针旋转度（用α表示），可以得到图形G2．7．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．8．如图，是边长为1的小正方形组成的8×8方格，线段AB的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（2，1）和（﹣1，3）．（1）画出该平面直角坐标系xOy；（2）画出线段AB关于原点O成中心对称的线段A1B1；（3）画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）9．如图，在2×6的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．（1）在图1中画一个锐角三角形，使P为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．（2）在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P旋转180°后的图形．10．如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）．（1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）；（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）；（3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．11．如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点B绕点E旋转180°得到点F，画出点F，再在AC上画点G，使DG∥BC；（2）在图（2）中，P是边AB上一点，∠BAC＝α．先将AB绕点A逆时针旋转2α，得到线段AH，画出线段AH，再画点Q，使P，Q两点关于直线AC对称．12．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．（1）在图中画出点O的位置．（2）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（3）在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C1．13．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；（2）连接CC1，△ACC1的面积为；（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．14．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．15．数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）16．如图，在△ABC中，，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，DF．（1）如图1，求证：；（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．17．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC 重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是；（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CE＝AE；（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．18．在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC．基础理解：（1）如图1，若AD＝4，BD＝3，求的值；证明与拓展：（2）如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转度，得到△AD1E1，连接BD1，CE1．①求证：＝；②如图3，若∠BAC＝90°，AB＜AC，AD＝6，△ADE在旋转过程中，点D1恰好落在DE上时，连接EE1，＝，则△E1D1E的面积为．19．【特例感知】（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA 上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3，连接BC．①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是；②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值．20．在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为；（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．21．【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝3．【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．（1）如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D 首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．（4）如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是．22．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD 上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF＝AE；（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值．23．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O 逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在直线AC上，连接BD，将DB 绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．（1）求证：BC＝AB；（2）当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求的值；（3）过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD＝2CD，请直接写出的值．25．如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；（2）延长ED交直线BC于点F．①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为；②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数并说明理由．26．如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D 重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H．【尝试初探】（1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由．【深入探究】（2）若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值．【拓展延伸】（3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n 的代数式表示）．27．如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE 交直线CD于点F．（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出的值．28．在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC ＝150°时，请直接写出的值．29．在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD（CE≥CA），BC＝CD，∠D＝α，∠ACB+∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD．（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝，∠ABP＝（用含α的代数式表示）；（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；（3）若∠ABC＝60°，BC＝+1，将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．30．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF∥AM交直线AN于点F，在AM上取点E，使∠AEB＝∠ACB．（1）当AM与线段BC相交时，①如图1，当α＝60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为．②如图2，当α＝90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．（2）当tanα＝，AB＝5时，若△CDE是直角三角形，直接写出AF的长．。

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