哈工大现代控制理论复习题

Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】《现代控制理论》复习题1 一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。（ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。（ × ）2. 若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定是能控的。（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。（ √ ）4. 对系统Axx，其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵A的特征值都具有负实部是一致的。

二、（15分）考虑由下式确定的系统： 233)(2ssssG 试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。解：能控标准形为能观测标准形为对角标准形为三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统求其状态转移矩阵。解：解法1。

容易得到系统状态矩阵A的两个特征值是2,121，它们是不相同的，故系统的矩阵A可

以对角化。矩阵A对应于特征值2,121的特征向量是

取变换矩阵 1112121T，则 21111T

因此， 20011TATD 从而，解法2。拉普拉斯方法由于

故 ttttttttAteeeeeeeeAsILet2222112222])[()( 解法3。凯莱-哈密尔顿方法将状态转移矩阵写成 AtaItaeAt)()(10

系统矩阵的特征值是-1和-2，故 )(2)()()(10210tataetataett 解以上线性方程组，可得 tttteetaeeta2120)(2)(

因此， ttttttttAteeeeeeeeAtaItaet2222102222)()()( 四、（15分）已知对象的状态空间模型CxyBuAxx,,是完全能观的，请画出观测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。解观测器设计的框图：观测器方程：其中：x~是观测器的维状态，L是一个n×p维的待定观测器增益矩阵。观测器设计方法：

由于 )](det[])(det[)](det[TTTTLCAILCAILCAI

因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L，使得TTTLCA具有给定的观测器极点。具体的方法有：直接法、变换法。五、（15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。解连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：

线性时不变系统Axx在平衡点0ex处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩

阵Q，李雅普诺夫矩阵方程QPAPAT有惟一的对称正定解P。在具体问题分析中，可以选取Q = I。

考虑二阶线性时不变系统： 21211110xxxx

原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程 IPAPAT

其中的未知对称矩阵 22121211ppppP 将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得进一步可得联立方程组

从上式解出11p、12p和22p，从而可得矩阵 12/12/12/322121211ppppP

根据塞尔维斯特方法，可得 045det02321P 故矩阵P是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。六、（10分）已知被控系统的传递函数是试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1 ± j。解系统的状态空间模型是

将控制器 xkku10 代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程

该闭环系统的特征方程是 )2()3()det(012kkAIc 期望的闭环特征方程是 22)1)(1(2jj 通过 22)2()3(2012kk 可得 222301kk 从上式可解出 0101kk

因此，要设计的极点配置状态反馈控制器是 2110xxu 《现代控制理论》复习题2 一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。（ × ）1. 对一个系统，只能选取一组状态变量；（ √ ）2. 由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性；

（ × ）3. 若传递函数BAsICsG1)()(存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控不能观的；（ × ）4. 若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；（ √ ）5. 状态反馈不改变系统的能控性。二、（20分）已知系统的传递函数为（1）采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；（2）采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。答:（1）将G(s)写成以下形式：

这相当于两个环节31s和552ss串连，它们的状态空间模型分别为：

11113xyuxx和1212255uxyuxx

由于11uy，故可得给定传递函数的状态空间实现是：将其写成矩阵向量的形式，可得：对应的状态变量图为：串连分解所得状态空间实现的状态变量图（2）将G (s)写成以下形式：

它可以看成是两个环节35.0s和55.2s的并联，每一个环节的状态空间模型分别为：和由此可得原传递函数的状态空间实现：进一步写成状态向量的形式，可得：对应的状态变量图为：并连分解所得状态空间实现的状态变量图?

三、（20分）试介绍求解线性定常系统状态转移矩阵的方法，并以一种方法和一个数值例子为例，求解线性定常系统的状态转移矩阵；答：求解状态转移矩阵的方法有：方法一直接计算法：根据状态转移矩阵的定义来直接计算，只适合一些特殊矩阵A。方法二通过线性变换计算状态转移矩阵，设法通过线性变换，将矩阵A 变换成对角矩阵或约当矩阵，进而利用方法得到要求的状态转移矩阵。

方法三拉普拉斯变换法：])[(11AsILeAt。方法四凯莱-哈密尔顿方法根据凯莱-哈密尔顿定理和，可导出Ate具有以下形式：

其中的)(),(),(120tttn均是时间 t 的标量函数。根据矩阵A有n个不同特征值和有重特征值的情况，可以分别确定这些系数。举例：利用拉普拉斯变换法计算由状态矩阵所确定的自治系统的状态转移矩阵。由于故四、（10分）解释状态能观性的含义，给出能观性的判别条件，并举例说明之。答：状态能观性的含义：状态能观性反映了通过系统的输出对系统状态的识别能力，对一个零输入的系统，若它是能观的，则可以通过一段时间内的测量输出来估计之前某个时刻的系统状态。状态能观的判别方法：对于n阶系统

1. 若其能观性矩阵1noCACAC列满秩，则系统完全能观 2. 若系统的能观格拉姆矩阵非奇异，则系统完全能观。举例：对于系统其能观性矩阵的秩为2，即是列满秩的，故系统是能观的。五、（20分）对一个由状态空间模型描述的系统，试回答：（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是什么？（2）简单叙述两种极点配置状态反馈控制器的设计方法；（3）试通过数值例子说明极点配置状态反馈控制器的设计。答：（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件：系统是能控的。（2）极点配置状态反馈控制器的设计方法有直接法、变换法、爱克曼公式法。 ① 直接法验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。设状态反馈控制器u =?Kx，相应的闭环矩阵是A?BK，闭环系统的特征多项式为

由期望极点n,,1可得期望的闭环特征多项式

通过让以上两个特征多项式相等，可以列出一组以控制器参数为变量的线性方程组，由这组线性方程可以求出极点配置状态反馈的增益矩阵K。 ② 变换法验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。将状态空间模型转化为能控标准型，相应的状态变换矩阵设期望的特征多项式为而能控标准型的特征多项式为所以，状态反馈控制器增益矩阵是（3）采用直接法来说明极点配置状态反馈控制器的设计考虑以下系统设计一个状态反馈控制器，使闭环系统极点为2?和?3。该状态空间模型的能控性矩阵为该能控性矩阵是行满秩的，所以系统能控。设状态反馈控制器将其代入系统状态方程中，得到闭环系统状态方程其特征多项式为由期望的闭环极点? 2和?3，可得闭环特征多项式通过可得由此方程组得到因此，要设计的极点配置状态反馈控制器六、（20分）给定系统状态空间模型Axx （1）试问如何判断该系统在李雅普诺夫意义下的稳定性？（2）试通过一个例子说明您给出的方法；（3）给出李雅普诺夫稳定性定理的物理解释。答：（1）给定的系统状态空间模型Axx是一个线性时不变系统，根据线性时不变系统稳定性的李雅普诺夫定理，该系统渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q，矩阵方程

QPAPAT有一个对称正定解矩阵P。因此，通过求解矩阵方程QPAPAT，若能得到一个对称正定解矩阵P，则系统是稳定的；若得不到对称正定解矩阵P，则系统是不稳定的。一般的，可以选取Q = I。（2）举例：考虑由以下状态方程描述的二阶线性时不变系统：

原点是该系统的惟一平衡状态。求解李雅普诺夫方程：QPAPAT，其中的未知矩阵将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得为了计算简单，选取Q =2I，则从以上矩阵方程可得：求解该线性方程组，可得：即判断可得矩阵P是正定的。因此该系统是渐近稳定的。（3）李雅普诺夫稳定性定理的物理意义：针对一个动态系统和确定的平衡状态，通过分析该系统运动过程中能量的变化来判断系统的稳定性。具体地说，就是构造一个反映系统运动过程中能量变化的虚拟能量函数，沿系统的运动轨迹，通过该能量函数关于时间导数的取值来判断系统能量在运动过程中是否减少，若该导数值都是小于零的，则表明系统能量随着时间的增长是减少的，直至消耗殆尽，表明在系统运动上，就是系统运动逐步趋向平缓，直至在平衡状态处稳定下来，这就是李雅普诺夫意义下的稳定性。

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现代控制理论试题与答案

现代控制理论试题与答案现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对⼀个线性定常系统,可⽤常微分⽅程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输⼊联系起来;现代控制理论⽤状态空间法分析系统,系统的动态特性⽤状态变量构成的⼀阶微分⽅程组描述,不再局限于输⼊量,输出量,误差量,为提⾼系统性能提供了有⼒的⼯具.可以应⽤于⾮线性,时变系统,多输⼊-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输⼊-输出动态关系的运动⽅程式或传递函数,建⽴系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是⾮唯⼀的.3.对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观⼦系统为渐近稳定第⼀章控制系统的状态空间表达式1.状态⽅程:由系统状态变量构成的⼀阶微分⽅程组2.输出⽅程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态⽅程和输出⽅程总合,构成对⼀个系统完整动态描述4.友矩阵:主对⾓线上⽅元素均为1:最后⼀⾏元素可取任意值;其余元素均为05.⾮奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1A Tz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意⾮奇异阵(变换矩阵),空间表达式⾮唯⼀6.同⼀系统,经⾮奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第⼆章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)2.线性定常⾮齐次⽅程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某⼀初始状态x(t0),转移到指定的任⼀终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态⽅程中系统矩阵A和控制矩阵b3.⼀般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后⼀⾏相对应的⼀⾏元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各⾏元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的⼀列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析⽅便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最⼩实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解⽆穷多,但其中维数最⼩的那个状态空间表达式是最常⽤的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每⼀个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输⼊端与参考输⼊相加形成控制律,作为受控系统的控制输⼊.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采⽤输出⽮量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态⽮量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引⼊⼀个动态⼦系统来改善系统性能5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平⾯上所期望的位置,以获得所希望的动态性能 (1)采⽤状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控(2)对完全能控的单输⼊-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件[1]∑0完全能控[2]动态补偿器的阶数为n-1(3)对系统⽤从输出到x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观 7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输⼊-单输出系统,不能采⽤输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常⼯作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定 (1)对系统采⽤状态反馈能镇定的充要条件是其不能控⼦系统渐近稳定(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观⼦系统是输出反馈能镇定的,其余⼦系统是渐近稳定的(3)对系统采⽤输出到x 反馈实现镇定充要条件是其不能观⼦系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输⼊输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的⼀个输⼊所控制,每个输⼊也仅能控制相应的⼀个输出11.系统解耦⽅法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦 12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u u y y 222++=+ ，试求其状态空间最⼩实现。

现代控制理论1-8三习题库

12.线性变换不改变系统的（状态空间，传递函数矩阵）。
13.若矩阵A的n个特征值互异，则可通过线性变换将其化为角阵，雅可比阵）。
14.状态变量是确定系统状态的（最小，最大）一组变量。
15.以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交（线性，非线性）
空间，称之为_,（传递函数，状态空间）。
1.试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
自动控制领域的科学研究方法，已经由最早的经典控制中以输入输出模型为主，发展为
现今的现代控制中以状态空间模型为主。因而，“现代控制理论”是从事自动化专业必备的
知识。“现代控制理论”的教学目标是使学生牢固树立线性系统中状态空间的概念、进一步理解系统稳定性这一控制学科最为重要的概念，掌握能控与能观、状态反馈与状态估计等核
重点内容：逆矩阵、线性无关与线性相关定义、非齐次方程求解、哈密顿定理、定号性理论等。
系统的数学描述可分为哪两种类型
自然界存在两类系统：静态系统和动态系统，有何区别现代控制理论研究的主要内容是什么
现代控制理论研究对象
现代控制理论所使用的数学工具有哪些现代控制理论问题的解决方法是什么
第二章（单元）：
心方法。通过本课程学习，使学生做到各章概念融会贯通，解题方法灵活运用，分析解决实际问题。从宏观角度把握课程的体系结构，建立起现代控制理论的基本框架。主要培养学生
以下三个方面的能力：
1、分析建模能力
根据系统的工作原理或实验数据，建立合理的数学模型。
2、认知和理解能力理解与Leabharlann 握能控性、能观测性与系统设计的关系，
合。这些信息对于确定系统（过去，未来）的行为是充分且必要
的。
10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时，

哈工大研究生控制理论 17试题

1. 简答 10分1）状态方程的解分为哪两部分？解的响应性质由什么决定？2分2）写出线性定常连续系统的李雅普诺夫方程，并指出其李雅普诺夫函数。

2分3）写出线性定常系统能控性矩阵，并给出系统能控的充要条件。

2分4）画出状态观测器框图，并说明反馈增益阵的作用。

4分2. 列写状态空间表达，10分1）单摆摆锤质量m ，摆锤质心到转动轴距离l 。

受控制力矩u 、粘性摩擦力矩（粘性摩擦力矩系数B ）和重力矩作用。

忽略单摆臂重量以及摆锤绕自身质心的转动惯量。

以控制力矩为输入，单摆角度为输出，列写其状态空间表达。

2.5分2）系统传递函数为3320.13443y s s u s s s++=++，将其转化为状态空间表达。

2.5分 3）已知控制系统传递函数方块图如图所示，r 为指令输入，d 为干扰输入，y 为系统输出。

求系统的状态空间表达。

5分3. 回答以下问题。

12分1）系统的状态方程为0145X X ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，设采样间隔T=0.01s ，试求离散化后状态方程（即X (k +1)与X (k )的关系）。

计算结果可保留自然指数。

7分2）已知线性定常系统的矩阵指数为22222222t tt t At t t t t e e e e e e e e e --------⎡⎤--=⎢⎥-+-+⎣⎦，试利用矩阵指数性质求系统特征阵及矩阵指数阵的逆矩阵。

5分4. 系统的状态方程为：12321233x x x x x =⎧⎨=--⎩，利用李雅普诺夫第二法判定其稳定性。

8分5. 系统状态方程为：010000100231X X u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，要求闭环系统响应无超调无振荡，响应达到95%的时间为0.3s 。

试求状态反馈增益阵K 以及输入增益K r 。

10分。

现代控制理论复习总纲

现代控制理论复习总纲判断题部分 5题×2＝10一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在括号里打√，反之打×。

1、具有对角标准形状态空间描述的系统可以看成是由多个一阶环节串联组成的系统。

(× ) 2、传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。

(√ ) 3、状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都具有物理意义。

( × ) 4、输出变量是状态变量的部分信息，因此一个系统状态能控意味着系统输出能控。

(× ) 5、等价的状态空间模型具有相同的传递函数。

(√ )6、若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控的。

(× )7、若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的。

( √ )8、若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。

(√ )9、状态反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。

(× ) 10、如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。

(× ) 11.描述系统的状态方程不是唯一的。

√12.用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。

×13.对单输入单输出系统，如果1()C sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控或者不可观测。

√ 14.对多输入多数出系统，如果1()sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控。

× 15.李雅普诺夫直接法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。

√16.李雅普诺夫函数是正定函数，李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性。

√ 17.线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。

√ 18.用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。

现代控制理论大题

1、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R 2上的电压为输出量的输出方程。

并画出相应的模拟结构图。

解：（1）由电路原理得：112212111122211111L L c L L cc L L di R i u udt L L L di R i u dt L L du i i dtcc=--+=-+=-222R L u R i =112211112221011000110L L L L c c R ii L L L R i i u L L u u cc⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦[]12220L R L c i u R i u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）模拟结构图为：2、试从高阶微分方程385y y y u ++= 求得系统的状态方程和输出方程解：1．解：选取状态变量1x y =，2x y = ，3x y = ，可得12233131835x x xx x x x u y x ===--+=写成1000010835xx u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦[]10y x =3三、已知系统1、2的传递函数分别为2122211(),()3232s s g s g s s s s s -+==++-+求两系统串联后系统的最小实现。

解112(1)(1)11()()()(1)(2)(1)(2)4s s s s g s g s g s s s s s s -+++==⋅=++---最小实现为[]010,10401xx u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4、将下列状态方程u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11 4321 化为能控标准形。

解 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==7111Ab bU C 11188P ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=43412P 1314881148P-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦. 101105C A PAP-⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==1011 43418181Pb b Cu x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10 51010 . 5、利用李亚普诺夫第一方法判定系统1211xx -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦的稳定性。

现代控制理论试题与答案

现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.3.对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为05.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控(2)对完全能控的单输入-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件[1]∑0完全能控[2]动态补偿器的阶数为n-1(3)对系统用从输出到x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观 7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定 (1)对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的(3)对系统采用输出到x 反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输入输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制,每个输入也仅能控制相应的一个输出11.系统解耦方法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦 12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u uy y 222++=+ ，试求其状态空间最小实现。

《现代控制理论》复习卷

学校班级姓名学籍号考生答题不得超过此密封线《现代控制理论》复习卷一、计算题（10分×2）1、已知非线性系统 ⎩⎨⎧--=+-=2112211sin 2x a x x x x x试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。

解：显然原点为一个平衡点，根据克拉索夫斯基方法，可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=11111112cos 21cos 2121cos 21cos 211a x x a x a x F 因为 02<-；所以，当0)cos 21(42cos 21cos 212211111>--=----x a a x x 时，该系统在原点大范围渐近稳定。

解上述不等式知，491>a 时，不等式恒成立。

即491>a 时，系统在原点大范围渐近稳定。

2、计算状态空间表达式的传递函数。

解：()0111,,10,23123s A b c sI A s -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()31adj 2s sI A s -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭()()2det 3232sI A s s s s -=-+=-+ ()()()2adj 4det 32c sI A b s g s sI A s s ⋅-⋅-==--+。

二、转换题（10分×2）1、求定常控制系统的状态响应。

解：11t tt At t tt t tt e te te e e t t tee te -------+⎛⎫+⎛⎫== ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ()()()()00tA t s Atx t e x e bu s ds -=+⎰10⎛⎫= ⎪⎝⎭。

2、已知系统u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011 ，试将其化为能控标准型。

解：1210c u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1112201c u -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦[][][]1111221122010101c p u -⎡⎤===-⎢⎥-⎣⎦[][]11112122221100p p A ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦11221112211,11P P --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控标准型为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101010 。

哈工大自动控制理论考卷及答案

哈工大春季学期自动控制理论试题一．试用化简方块图的方法，求系统的传递函数)()(S R S Y 。

[15分]第 1 页（共 9 页）草纸（草纸内不得答题）二．系统结构图为[15分]求：1，为使闭环系统稳定，确定K的取值范围。

2，当K为何值时，系统出现等幅振荡，并确定等幅振荡的频率。

、草纸（草纸内不得答题）三．系统结构图如下，当要求系统的单位阶跃响应()y t 具有超调量%20=P σ，调节时间 2.2S t =秒（0.02∆=）。

求：（1）确定前置放大器K 的放大倍数及内反馈系数τ的值。

（2）在动态指标所确定的1K 及τ下，当输入信号分别为)(1)(t t r =、t t r =)(、221)(t t r =时，系统的稳态误差?)(=∞SS e 。

[15分]、草纸（草纸内不得答题）试绘出系统根轨迹的大致图形，并从根轨迹图上回答下述问题：1）系统根轨迹放大系数（根迹增益）的稳定范围，临界稳定时的振荡频率。

2）系统根轨迹放大系数为何值时，系统的阶跃响应含振荡分量。

3）系统根轨迹放大系数为何值时，系统的阶跃响应呈单调形式。

第4 页（共9 页）、草纸（草纸内不得答题）技术指标要求：相角稳定裕量：050≥γ；剪切频率：15≥C ω秒-1。

当t t r =)(时，01.0)(=∞SS e 。

试求?)(=s G C(注：系统的固有特性、校正特性及校正后的特性均应画在给出的对数坐标纸上。

)、草纸（草纸内不得答题）非线性部分的描述函数XX N π4)(=。

试分析系统的稳定性，如存在自持振荡，请计算出振荡的频率和振幅。

第 7 页（共 9 页）、草纸（草纸内不得答题）七．回答下列各问 [17分] 1．在下述图中，各控制系统的开环幅相频率特性如图所示，P 为各开环传递函数在s 平面右半部的极点数，试判断各闭环系统的稳定性。

[4分]P=2P=0P=1P=02．a 、b 两最小相位系统其开环渐近对数幅频特性如图所示 [4分]ωa) b)试述a 、b 两系统的超调量、调节时间有何变化？并说明理由。

现代控制理论习题集及解答（后两部分）

2
16（北航2002）已知两个系统S1和S2的状态方程及输出方程分别为：
S1 :
X1
=
⎡0 ⎢⎣−3
1⎤ −4⎥⎦
X1
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
u1
y1 = [1
−1] X 1
S2 : x2 = −2x2 + u2 y2 = x2 若两个系统按串联方式连接： u1 S1 y1, u2 S2 y2
（1）求串联系统S的状态方程及输出方程;
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
u1
,
y1 = [1
−1] X1
显然状态完全能控（思考为什么？）
∵
⎡C ⎤ ⎢⎣CA⎥⎦
=
⎡2 ⎢⎣−3
1⎤ −2⎥⎦
满秩，故状态完全能观测。
系统S2 ： x2 = −2x2 + u2 , y2 = x2
状态完全能控且状态完全能观测。
⎡0 1 −4⎤
系统S ： ∵ ⎡⎣B
AB
A2B⎤⎦ = ⎢⎢1
⎢⎣ 1 0 −1⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
y = [1 1 0]x
⎡c⎤
⎡1 1 0⎤
解：
rank
⎢ ⎢
cA
⎥ ⎥
=
rank
⎢⎢−1
−3
−1⎥⎥ = 3 = n
⎢⎣cA2 ⎥⎦
⎢⎣ 0 5 0 ⎥⎦
⎡2 0 0⎤ (2)x = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ x,
⎢⎣0 3 1⎥⎦
y = [1 1 1]x
⎡c⎤
⎡1 1 1⎤
可绘出状态变量图:
y1 = [1
−1] X 1
由图可得，
⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡0⎤
Z = ⎢⎢−3 −4

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