人教A版2019高中数学选修1-2练习：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.2_含解析
第三章 3.1 3.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．复数z＝－2＋i，则复数z在复平面内对应的点位于导学号 18674345( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 复数z在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限．
2．若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为导学号 18674346( C )
A．0 B．－3
C．－3i D．3
[解析] 复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i.
3．复数z＝1＋(2－sin θ)i在复平面内对应的点所在的象限为导学号 18674347( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵1>0,2－sin θ>0，
∴复数对应的点在第一象限．
4．复数z与它的模相等的充要条件是导学号 18674348( D )
A．z为纯虚数 B．z是实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
[解析] ∵z＝|z|，∴z为实数且z≥0.
5．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为导学号 18674349( A )
A．1或3 B．1
C．3 D．2
[解析] 依题意可得m－32＋m－12＝2，解得m＝1或3，故选A．
6．复数z＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为导学号 18674350( B )
A．2cosα2 B．－2cosα2
C．2sinα2 D．－2sinα2
[解析] |z|＝1＋cos α2＋sin2 α＝2＋2cos α＝4cos2 α2＝2|cos α2|.
∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，
∴2|cosα2|＝－2cosα2，故选B．
二、填空题
7．(2016·广西南宁高二检测)设复数z＝1＋2i，则|z|＝ 5 .导学号 18674351
[解析] |z|＝12＋22＝5.
8．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内的对应点在第三象限，则实数x的取值范
围是__(1,2)__.导学号 18674352
[解析] 由已知，得 x2－6x＋5<0x－2<0，
解得1
9．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的
取值范围.导学号 18674353
[解析] ∵z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i，
由题意得 m2＋m－1＞04m2－8m＋3＞0，
解得m＜－1－52或m＞32，
即实数m的取值范围是m＜－1－52或m＞32.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是
导学号 18674354( A )
A．－45
[解析] 由条件知，(x－1)2＋(2x－1)2<10，
∴5x2－6x－8<0，∴－45
导学号 18674355( C )
A．复数z对应的点在第一象限
B．复数z一定不是纯虚数
C．复数z对应的点在实轴上方
D．复数z一定是实数
[解析] ∵2t2＋5t－3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，
∴方程有两根，2t2＋5t－3的值可正可负，∴A、B不正确．
又t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，
∴D不正确，∴C正确．
3．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为导学号 18674356( D )
A．1 B．2
C．5 D．3
[解析] |z|＝2，复数z对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，|z－i|表示圆上的点
到(0,1)的距离，最大为2＋1＝3.
4．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于导学号 18674357( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵
π
2
<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.∴复数z对应的点(sin 2，cos 2)位于第四象限．
二、填空题
5．已知复数z1＝－1＋2i、z2＝1－i、z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A、B、C，若
OC→＝x OA→＋y OB→(x、y∈R)，则x＋y的值是__5__.导学号 18674358
[解析] 由复数的几何意义可知，
OC→＝xOA→＋yOB→，即
3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i.
由复数相等可得
y－x＝32x－y＝－2，解得
x＝1
y＝4
.∴x＋y＝5.
6．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tan θ的值为
1
2
.导学号 18674359
[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，
∴tan θ＝12.
7．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝
__12__.导学号 18674360
[解析] 由条件知 m2＋2m－3≠0m2－9＝0，
∴m＝3，∴z＝12i，∴|z|＝12.
三、解答题
8．已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在复平面的第几象限
内？复数z的对应点的轨迹是什么曲线？导学号 18674361
[解析] a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.
由实部大于0，虚部小于0可知，复数z的对应点在复平面的第四象限内．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＝a2－2a＋4，y＝－(a2－2a＋2)．
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．
所以复数z的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．
C级 能力提高
1．设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
导学号 18674362
[解析] 解法一：|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.
这表明向量OZ→的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.
因此，满足条件的点Z的集合是以原点O为原点，以5为半径的圆．
解法二：设z＝x＋yi(x、y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.
∵|3＋4i|＝5，∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．
2．已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i，证明对一切实数m，该复数z所对应的点
不可能位于第四象限.导学号 18674363
[解析] 设z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i对应的点Z(m2＋m－6，m2＋m－2)位于第四象
限，
则有 m2＋m－6>0，m2＋m－2<0，解得 m>2或m<－3，－2
该复数所对应的点不可能位于第四象限．
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修2-2
(2)(1＋ 3 )i可看作0＋(1＋ 3 )i＝a＋bi， 所以实部a＝0，虚部b＝1＋ 3. 答案：0，1＋ 3 (3)(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0， 所以a＝〒1. 答案：〒1
【要点探究】 知识点1 数系的扩充与分类
1.数系扩充的脉络 自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系.
2 m 【变式训练】m取何实数时，复数 z＝ m 6＋ m 2－2m－ 15 i. m3
(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？
m 2 2m 15 0， 【解析】(1)因为z为实数，所以 m 3 0， m 5或m 3， 所以 m 3，
(2)代数式中各字母的名称:
实部
虚部
虚数单位
(3)复数z=a+bi 的分类及满足条件
实数 _____b=0 ，
复数a＋bi(a，b∈R)
虚数 _____b≠ 0
纯虚数a=0,b≠0，
非纯虚数a≠0,b≠0.
2.复数的相等 a＝c且b＝d ，b，c，d∈R). a＋bi＝c＋di ___________(a 3.复数集
m 2 4 0, ③要使z为纯虚数，必有 2 m 3m 2 0, m 2且m 2, 所以 m 1或m 2.
所以m＝1，故m＝1时，z为纯虚数．
【延伸探究】把题(1)中的“纯虚数”改为“实数”,则结果如 何? 【解析】复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,而|a|=-a,所以 a≤0.
【误区警示】复数概念易错点 (1)注意虚部不是bi,而是b.还要特别注意,要保证实部、虚部 有意义.
(2)形如bi的数不一定是纯虚数,只有限定条件b∈R且b≠0时,
成才之路·人教A版数学选修课件2-2 3.1.1
，∴m＝－3.
第三章
3.1
3.1.1
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6 ． (2014·微山一中高二期中 ) 实数 m 分别取什么数值时，
复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0. [解析 ] 由 m2 ＋ 5m＋ 6 ＝0 得， m ＝－ 2或 m ＝－ 3 ，由 m2 － 2m－15＝0得m＝5或m＝－3.
成两部分去认识它． 3 ．形如 bi 的数不一定是纯虚数，只有限定条件 b∈R 且 b≠0时，形如bi的数才是纯虚数．
第三章
3.1
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(2)集合表示：
第三章
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牛刀小试 3．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝( A．－1 C．±1 B．1 D．不存在 (a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1 )
[答案] C
[ 方法规律总结 ]
1. 判断一个含有参数的复数在什么情况
下是实数、虚数、纯虚数，首先，参数的取值要保证复数有意 义，然后按复数表示实数、虚数、纯虚数等各类数的充要条件 求解． 2 ．对于复数 z ＝ a＋ bi(a 、 b∈R) ，既要从整体的角度去认
识它，把复数 z 看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解
第三章
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全国通用版版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一复数的概念及代数表示思考为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理(1)复数①定义：把集合C＝{a＋b i|a，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．(2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母C表示．知识点二两个复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i (a，b，c，d∈R)，我们规定：a ＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.知识点三 复数的分类(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：1．若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( × ) 2．复数z ＝b i 是纯虚数．( × )3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ )类型一 复数的概念例1 (1)给出下列几个命题： ①若z ∈C ，则z 2≥0； ②2i－1虚部是2i ； ③2i 的实部是0；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ⑤实数集的补集是虚数集． 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 (1)C (2)±2，5解析 (1)令z ＝i∈C ，则i 2＝－1<0，故①不正确． ②中2i －1的虚部应是2，故②不正确． ④当a ＝0时，a i ＝0为实数，故④不正确，∴只有③，⑤正确．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b －2＝3，∴a ＝±2，b ＝5.反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． 跟踪训练1 下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ③实数集是复数集的真子集． 其中正确说法的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 B解析 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数．对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误．对于②，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B. 类型二 复数的分类例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是(1)虚数；(2)纯虚数．考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 解 (1)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2.∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数． (2)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3.∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．引申探究1．若本例条件不变，m 为何值时，z 为实数．解 由已知得，复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6. 复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2.∴当m ＝－2时，复数z 是实数．2．已知i 是虚数单位，m ∈R ，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i ，则当m ＝________时，z为纯虚数． 答案 3或－2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0，解得m ＝3或－2.反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是 (1)纯虚数；(2)实数． 考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数解 (1)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2－2m －7)＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.(2)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3.类型三 复数相等例 3 (1)已知x 0是关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0(m ∈R )的实根，则m 的值是________． 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案112解析 由题意，得x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0， 即(x 20＋x 0＋3m )＋(－2x 0－1)i ＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3m ＝0，－2x 0－1＝0⇒m ＝112.(2)已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值． 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1.反思与感悟 (1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．跟踪训练3 复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________. 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 5解析 因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5.1．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2i D ．1＋2i考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 B解析 由i 2＝－1，得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为( )A．－1 B．2C．1 D．－1或2考点复数的分类题点由复数的分类求未知数答案 D解析因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.3．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．其中真命题的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．6考点复数的概念题点复数的概念及分类答案 B解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．4．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________________．考点复数的概念题点复数的概念及分类答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．5．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案－2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2－3x －2)>1，log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，得x ＝－2.1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.一、选择题1．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 B解析 因为a ，b ∈R ，当“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数，也可能b ＝0，即a ＋b i ＝0∈R ”．而当“复数a ＋b i 是纯虚数”，则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件． 2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A ．2－2i B ．－5＋5i C ．2＋i D.5＋5i考点 复数的概念 题点 求复数的实部和虚部 答案 A解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知复数－5＋2i 的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A. 3．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y的值为( )A.12 B ．2 C ．0 D ．1 考点 复数相等题点 由复数相等求参数 答案 D解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y＝20＝1.4．下列命题中：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集； ③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 A解析 ①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错；②③错，故选A. 5．若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D.k 2π＋π4(k ∈Z ) 考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 答案 B解析 由题意，得⎩⎨⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π4，θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z . 6．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为( )A ．7B ．－17C ．－7D ．－7或－17考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 答案 C解析 ∵复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数， ∴cos θ－45＝0，sin θ－35≠0，∴sin θ＝－35，∴tan θ＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7.7．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( ) A ．3＋i B ．3－i C ．－3－i D ．－3＋i考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 B解析 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i ，故选B. 二、填空题8．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 答案 －2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0即m ＝－2.9．已知z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i.则m ＝1是z 1＝z 2的______条件．考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 充分不必要解析 当z 1＝z 2时，必有m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，显然m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．10．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________． 考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 答案 0或1解析 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， 所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或1.11．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数，则实数a 的取值范围是________________． 考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 答案 (－∞，－1)∪(－1，＋∞)解析 若复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 是纯虚数，则a 2－2a －3＝0，|a －2|－1≠0，解得a ＝－1，∴当a ≠－1时，复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数． 12．已知log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，且n ∈N *，则m ＋n ＝________.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 答案 1或2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧log 12(m ＋n )≥－1， ①－(m 2－3m )＝0. ②由②，得m ＝0或m ＝3.当m ＝0时，由12log (m ＋n )≥－1，得0<n ≤2，∴n ＝1或n ＝2.当m ＝3时，由12log (m ＋n )≥－1，得0<n ＋3≤2，∴－3<n ≤－1，即n 无自然数解．∴m ，n 的值分别为m ＝0，n ＝1或m ＝0，n ＝2. 故m ＋n 的值为1或2.三、解答题13．实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，m －1≠0， 且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.四、探究与拓展14．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值． 考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ， 得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ， 故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.15．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足M ∩N ⊆M ，且M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，①或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.③由①，得a＝－3，b＝±2，由②，得a＝±3，b＝－2，③中，a，b无整数解，不符合题意．综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.。
人教版高中数学选修2-2练习：第3章数系的扩充与复数的引入3.2.1
第三章3.2A 级基础稳固一、选择题1．若复数z 知足z＋(3－ 4i) ＝ 1，则z 的虚部是导学号84624765 ( B ) A．－ 2B． 4C．3D．－ 4[分析 ] 2．若z＝ 1－ (3－ 4i) ＝－ 2＋ 4i，应选 B ．z1＝ 2 ＋ i ， z2＝ 3 ＋ ai(a ∈R )，且z1＋ z2所对应的点在实轴上，则 a 的值为导学号84624766 (D)A ． 3 C．1 [分析 ]B． 2D．－ 1z1＋ z2＝ 2＋ i ＋ 3＋ ai ＝ (2＋ 3)＋(1 ＋a)i ＝ 5＋ (1＋ a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴ 1＋ a＝ 0，∴ a＝－ 1.3．复平面上三点 A，B， C 分别对应复数 1,2i,5 ＋2i，则由 A， B，C 所组成的三角形是导学号84624767 (A)A ．直角三角形C．锐角三角形[分析 ]|AB|＝ |2i－ 1|＝5， |AC|＝ |4＋ 2i|＝B．等腰三角形D．钝角三角形20， |BC|＝ 5，∴|BC|2＝ |AB |2＋ |AC|2.应选 A ．4．□ABCD 中，点 A、 B、 C 分别对应复数4＋ i 、 3＋ 4i、 3－5i ，则点 D 对应的复数是导学号 84624768 ( C)A ． 2－ 3i B． 4＋ 8iC．4－ 8i D． 1＋ 4i→对应的复数为 (3＋4i) － (4＋ i)＝ (3－ 4)＋ (4－ 1)i＝－ 1＋3i，[分析 ] AB设点 D 对应的复数为→z，则 DC 对应的复数为 (3－5i) － z.由平行四边形法例知→ →AB＝ DC ，∴－ 1＋ 3i ＝(3－ 5i) － z，∴z＝ (3－ 5i) － (－ 1＋ 3i)＝ (3＋ 1)＋ (－ 5－ 3)i ＝4－ 8i.故应选 C．二、填空题5．已知对于 2k 的值分别x 的方程 x ＋ (k ＋ 2i)x ＋ 2＋ ki ＝ 0 有实根，则这个实根以及实数x 0＝ 2，x 0＝－2， . 导学号 84624769为或k ＝－ 2 2， k ＝ 22[分析 ]方程的实根必定合适方程，设x ＝ x 0 为方程的实根，代入整理后得 a ＋ bi ＝ 0 的 形式，由复数相等的充要条件，可得对于x 0 和 k 的方程组，经过解方程组可得x 及 k 的值．5 126．已知 z 1＝ cos α＋ isin α， z 2＝ cos β－ isin β 且 z 1－ z 2＝ 13＋ 13i ，则 cos(α＋ β)的值为12. 导学号 84624770 [分析 ]∵ z 1＝ cos α＋ isin α， z 2＝ cos β－ isin β，512∴ z 1－ z 2＝ (cos α－cos β)＋i(sin α＋sin β)＝ 13＋ 13i ，5①cos α－cos β＝ 13 ∴12②sin α＋ sin β＝13① 2＋② 2 得 2－ 2cos(α＋ β)＝ 1，1即 cos(α＋ β)＝ .2三、解答题7．已知平行四边形→ →对应的复数分别是3＋ 2i 与 1＋ 4i ，两对角线 ACABCD 中，AB 与AC 与 BD 订交于 P 点 . 导学号 84624771→(1)求 AD 对应的复数；→(2)求 DB 对应的复数； (3)求△ APB 的面积．→ → → → → →[分析 ] (1)因为 ABCD 是平行四边形，所以 AC ＝ AB ＋ AD ，于是 AD ＝AC －AB ，而 (1＋4i) － (3＋ 2i)＝－ 2＋2i ，→ 2＋ 2i. 即 AD 对应的复数是－→ → →，而 (3＋ 2i) － (－2＋ 2i) ＝5，(2)因为 DB ＝ AB － AD→ 即 DB 对应的复数是 5.→ 1 →1 → 1 ，－2 ，(3)因为 PA ＝CA ＝－2 AC ＝ －22→ ＝1→＝ 5，0 ，PB2DB2→ → 5 ，于是 PA ·PB ＝－ 4→ 17 → 5而 |PA|＝ 2 ， |PB|＝ 2，所以 17 5 5，2 ··cos ∠ APB ＝－ 42所以 cos ∠APB ＝－17，故 sin ∠ APB ＝417，17171 → →故 S △APB ＝ 2|PA||PB|sin ∠ APB1 17 5 417 5. ＝ × 2 × × ＝ 2 2 17 25即△ APB 的面积为 2.B 级 修养提高一、选择题1． (2016 福·州高二检测 )已知复数 z 1＝ (a 2－ 2)－3ai ，z 2 ＝a ＋ (a 2＋ 2)i ，若 z 1＋ z 2 是纯虚数，那么实数 a 的值为 导学号 84624772 (C )A ． 1B ． 2C ．－ 2D ．－2或 1[分析 ]a 2－ 2＋ a ＝0，? a ＝－ 2.由 z 1＋ z 2＝ a 2－ 2＋a ＋ (a 2－ 3a ＋ 2)i 是纯虚数，得a 2－ 3a ＋ 2≠02． 设复数 z 知足 |z － 3－ 4i|＝1，则 |z|的最大值是 导学号 84624773 ( D )A ． 3B ． 4C ．5D ． 6[分析 ]因为 |z － 3－ 4i|＝ 1，所以复数 z 所对应点在以 C(3,4)为圆心，半径为1 的圆上，由几何性质得 |z|的最大值是32＋ 42＋ 1＝ 6.二、填空题3． (2016 大·连高二检测 )在平行四边形 OABC 中，各极点对应的复数分别为 z 0＝ 0，z A＝2＋ ai ， z B ＝－ 2a ＋ 3i ， z C ＝－ b ＋ ai ，则实数 a － b 为 __－ 4__. 导学号 846247742[分析 ]→ → →因为 OA ＋ OC ＝ OB ，a所以 2＋ 2i ＋ (－ b ＋ ai)＝－ 2a ＋3i ，2－ b ＝－ 2a ，所以 a＋ a ＝ 3， 得 a －b ＝－ 4.21，z 2∈ C ，|z 1＋ z 2|＝ 2 1 21－ z 22 2 . 导学号 84624775 4．已知 z2，|z |＝ 2，|z |＝ 2，则 |z|为 [分析 ] 由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z 1， z 2 的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z 1 －z 2|＝ 22.三、解答题5．已知复平面内平行四边形ABCD ， A 点对应的复数为→2＋ i ，向量 BA 对应的复数为 1→＋2i ，向量 BC 对应的复数为 3－ i ，求： 导学号 84624776(1)点 C ，D 对应的复数；(2)平行四边形 ABCD 的面积．[分析 ] → →3－ i ，(1)因为向量 BA 对应的复数为 1＋ 2i ，向量 BC 对应的复数为→所以向量 AC 对应的复数为 (3－ i)－ (1＋ 2i) ＝2－ 3i.→ → →又 OC ＝OA ＋AC ，所以点 C 对应的复数为 (2＋ i) ＋ (2－ 3i)＝ 4－ 2i.→ → 因为 AD ＝ BC ，→所以向量 AD 对应的复数为 3－ i ，→即 AD ＝ (3，－ 1)．→设 D(x ， y)，则 AD ＝ (x － 2，y － 1)＝ (3，－ 1)，x － 2＝ 3， x ＝5，所以，解得y － 1＝－ 1，y ＝ 0.所以点 D 对应的复数为 5.→ → → →(2)因为 BA ·BC ＝|BA||BC|cosB ，→ → 3－ 22BA ·BC所以 cosB ＝ → → ＝5× 10＝10.|BA||BC|所以 sinB ＝7210 .→ →72所以 S ＝ |BA ||BC|sinB ＝ 5× 10×＝ 7，10所以平行四边形 ABCD 的面积为 7.6．(2016 ·杭州高二检测 )已知 |z|＝ 2，求 |z ＋ 1＋ 3i|的最大值和最小值 . 导学号 84624777[分析 ] 设 z ＝ x ＋ yi ，则由 |z|＝ 2 知 x 2＋y 2＝ 4，故 z 对应的点在以原点为圆心， 2 为半径的圆上，∴ |z＋ 1＋ 3i|表示圆上的点到点 ( －1，－ 3)的距离．又∵点 (－ 1，－ 3)在圆 x2＋ y2＝ 4 上，∴圆上的点到点 (－1，－ 3)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即 |z＋ 1＋ 3i|的最大值和最小值分别为4和 0.。
人教A版高中数学选修2-2作业：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.1 课后
第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2iB ．2＋iC ．－5＋5iD ．5＋5i解析 ∵2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2，∴新复数为2－2i.故选A ． 2．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝( D ) A ．0B ．2C ．52D ．5解析 ∵2＋a i ＝b －i ，a ，b ∈R ，∴b ＝2，a ＝－1，∴a 2＋b 2＝5.故选D ． 3．已知复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( D ) A ．π4B ．π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，得θ＝k π＋π4(k ∈Z )，故选D ．4．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( C ) A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4解析 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.5．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( C ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 (a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≠0，a －b ＝0⇔a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0是该复数为纯虚数的充要条件，所以a ＝b 是该复数为纯虚数的必要不充分条件．6．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( B )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 二、填空题7．复数1－i 的虚部的平方是__1__. 解析 1－i 的虚部为－1，虚部的平方为1.8．已知复数z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为__±1__；若z 是虚数，则m 的取值范围是__(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)__；若z 是纯虚数，则m 的值为__0__.解析 z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i ，若z 是实数，则m 2－1＝0，解得m ＝±1； 若z 是虚数，则m 2－1≠0，解得m ≠±1；若z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m 2－1≠0，解得m ＝0.9．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1＞z 2，则a 的值为__0__.解析 由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a ＜16，解得a ＝0.三、解答题10．若方程x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 有实根，求实数m 的值，并求出此实根．解析 设实根为x 0，代入方程，并由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，消去m ，得x 0＝±1，所以m ＝±2.因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1； 当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1.11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0，m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)若z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数． (3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m ＋3≠0，m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．如果log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，求自然数m ，n 的值． 解析 ∵log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(m ＋n )<1，m 2－3m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n <2，m ＝0或m ＝3，∵m ，n 是自然数，∴m ＝0，n ＝1.由Ruize收集整理。
数系的扩充与复数的引入 (2).
课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。
复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。
类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。
用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。
（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。
复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。
二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充习题 苏教版选修22
1 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充习题 苏教版选修2-2 明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
1．复数的有关概念 (1)复数 ①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部． ②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi. (2)复数集 ①定义：全体复数所组成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C表示． 2．复数的分类及包含关系
(1)复数(a＋bi，a，b∈R) 实数b＝虚数b 纯虚数a＝非纯虚数a (2)集合表示：
3．复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.
[情境导学] 2
为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数．数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题． 探究点一 复数的概念 思考1 为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？ 答 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数． 思考2 如何理解虚数单位i? 答 (1)i2＝－1. (2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律． (3)由于i2＜0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立． (4)若i2＝－1，那么i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1. 思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？ 答 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部． 思考4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？ 答 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 思考5 复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？ 答 不一定，只有当m∈R，n∈R，则m、n才是该复数的实部、虚部． 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数． ①2＋3i；②－3＋12i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0. 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数． 反思与感悟 复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理 3
的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念课件新人教A版选修2208031100
(3)要使 z 为纯虚数，必须有
2 m －4≠0， 2 m －3m＋2＝0.
m≠－2且m≠2， 所以 m＝1或m＝2，
所以 m＝1，即 m＝1 时，z 为纯虚数．
探究三 [典例 3]
复数相等
根据下列条件，分别求实数 x，y 的值．
(1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.
二、复数的分类 1．复数：a＋bi(a，b∈R) 实数b＝0 纯虚数a＝0 虚数b≠0 非纯虚数a≠0 2．集合表示
三、复数相等的充要条件 设 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔ a＝c 且 b＝d .
[双基自测]
1．复数 3－i 的虚部为( A． 1 C． i ) B．－1 D．－i
解析：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为 b，故选 B.
答案：B
2．下列复数中，和复数－1＋i 相等的复数为( A．－1－i C．1＋i B．1－i D．i2＋i
)
解析：∵i2＝－1，∴i2＋i＝－1＋i，故选 D.
答案：D
3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( A．m＝± 1 C．m＝1 B．m＝－1 D．m≠1
解得 m＝0. ∴当 m＝0 时，z 为纯虚数．
解答复数的分类问题的方法： 解决这类复数的分类问题时，主要依据复数 z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、 纯虚数的充要条件进行求解， 列出相应的等式或不等式组求出参数的值或范围， 但若已知的复数 z 不是 a＋bi(a，b∈R)的形式，应先化为这种形式，得到复数 的实部、虚部再进行求解．
[解析] (1)若 z 为实数，则
m≠－1， 即 m＝－2或m＝－1，
高中数学选修1-2学案：3.1.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念[学习目标] 1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.知识点一复数的引入在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋b i(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋b i(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋b i|a，b∈R}，称i为____________.思考(1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25.(2)虚数单位i有哪些性质？知识点二复数的概念、分类1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋b i的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做__________.a叫做复数的________，b叫做复数的______.(2)复数的表示方法：复数通常用字母________表示，即________.(3)复数集定义：__________所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.2.复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：思考 (1)两个复数一定能比较大小吗？(2)复数a ＋b i 的实部是a ，虚部是b 吗？知识点三 复数相等复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔________.即它们的实部与虚部分别对应相等. 思考 (1)若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).z ＝0，则a ＋b 的值为多少？(2)若复数z 1，z 2为z 1＝3＋a i(a ∈R )，z 2＝b ＋i(b ∈R )，且z 1＝z 2，则a ＋b 的值为多少？题型一 复数的概念例1 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.反思与感悟 复数a ＋b i(a ，b ∈R )中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部.跟踪训练1 下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0.A.0B.1C.2D.3题型二 复数的分类例2 设z ＝log 12(m －1)＋ilog 2(5－m )(m ∈R ).(1)若z 是虚数，求m 的取值范围；(2)若z 是纯虚数，求m 的值.反思与感悟 将复数化成代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，根据复数的分类：当b ＝0时，z 为实数；当b ≠0时，z 为虚数；特别地，当b ≠0，a ＝0时，z 为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题.跟踪训练2 实数k 为何值时，复数z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.题型三 两个复数相等例3 (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值.(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值.反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.跟踪训练3已知复数z＝3x－1－x＋(x2－4x＋3)i＞0，求实数x的值.1.若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于()A.{－1}B.{1}C.{1，－1}D.∅2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，13.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A.±1B.±iC.±2iD.±2i4.已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，则实数m的值为________.5.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋m i＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________.1.复数的代数形式z＝a＋b i(a，b∈R)是解决问题的基础，明确其实部、虚部.2.根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化.[答案]精析知识梳理知识点一虚数单位思考 (1)在有理数集中：x 4－25＝(x 2＋5)(x 2－5)．在实数集中：x 4－25＝(x 2＋5)(x 2－5)＝(x 2＋5)(x ＋5)(x －5)．在复数集中：x 4－25＝(x 2＋5)(x 2－5)＝(x 2＋5)(x ＋5)(x －5)＝(x ＋5i)(x －5i)(x ＋5)(x －5)．(2)虚数单位i 有如下几个性质：①i 的平方等于－1，即i 2＝－1；②实数与i 可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立；③i 的乘方：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)．知识点二1．(1)虚数单位 实部 虚部(2)z z ＝a ＋b i (3)全体复数思考 (1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小．(2)不一定，对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，实部才是a ，虚部才是b .知识点三a ＝c 且b ＝d思考 (1)0；(2)4.题型探究例1 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．跟踪训练1 A [①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，所以③是假命题．故选A.]例2 解 (1)因为z 是虚数，故其虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＞0，5－m ＞0，5－m ≠1，解得1＜m ＜5，且m ≠4.(2)因为z 是纯虚数，故其实部log 12(m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0， m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝1，5－m ＞0，5－m ≠1，解得m ＝2.跟踪训练2 解 由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i.(1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4. (4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1. 例3 解 (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. (2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715. 跟踪训练3 解 ∵z ＞0，∴z ∈R ，∴x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3. ∵z ＞0，∴3x －1－x ＞0，且x 2－4x ＋3＝0.对于不等式3x －1－x ＞0，x ＝1满足，x ＝3不满足，故x ＝1. 当堂检测1．C [因为i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，所以A ＝{i ，－1，－i,1}，又B ＝{1，－1}，故A ∩B ＝{1，－1}．]2．C [令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.] 3．C4．1或2[解析] ∵M ∪N ＝N ，∴M ⊆N ， ∴m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i ＝－1或m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4， 解得m ＝1或m ＝2.故实数m 的值是1或2.5．1[解析] 关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，可得n 2－(2＋i)n ＋1＋m i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2－2n ＋1＝0，m －n ＝0. 所以m ＝n ＝1.。
人教A版数学选修2-2抢分教程课件：第3章+数系的扩充与复数的引入
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预
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习 案
●规律方法
救 案
· 素
·
复数的几何意义包含两种情况
素
养
养
养 成
(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该
培 优
点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面
课 堂
内点的坐标问题．
课 后
探 究
(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是
提 升
案
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· 对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量 ·
堂 探
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数学(A)·选修2-2ຫໍສະໝຸດ 第三章 数系的扩充与复数的引入
课
短
前 预
课前预习案·素养养成
板 补
习
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案 ·
基础知识整合
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素
素
养
养
养 成
复数的几何意义
培 优
1．复平面
课 堂
建立了直角坐标系来表示 ___复__数___的平面叫做复平
课 后
探
究 案
面，__x_轴___叫做实轴，___y_轴___叫做虚轴．显然，实轴上的
养 成
(1)当实数 x 满足xx22＋ －x2－ x－6＜ 15＜0，0，
素 养
培 优
即－3＜x＜2 时，点 Z 在第三象限．
课 堂 探
究
(2)当实数 x 满足xx22＋ －x2－ x－6＞ 15＜0，0，
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