2019年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)

翻折后可得：OP⊥AE，OB⊥AE，又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB=O，
∴AE⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，
∴AE⊥PB．
（II）设点C到平面PAB的距离为d，
由题意得，OP⊥平面ABCE时，四棱锥P-ABCE体积最大，
∵OP=OB= ，∴PB= ，
∵AP=AB=1，∴S△PAB= = ，
18.解：（I）估计第一车间生产时间小于75min的人数为200× =60（人），……..（2分）
估计第二车间生产时间小于75min的人数为
400×（0.025+0.0Байду номын сангаас）×10=300（人）；……………………．（4分）
（II）第一车间生产时间平均值约为
= ×（60×2+70×4+80×10+90×4）=78（min），……………………………．（5分）
9.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．
根据折线图和条形图，下列结论错误的是（ ）
∴f（x）≥f（ ）=a+aln ．………………………………………………………………（6分）
∵关于x的不等式f（x）＜2有解，∴a+aln ＜2，
∵a＞0，∴ ＜0，………（7分）
令g（x）=lnx+1-x，∴g′（x）= ，………………………………………（9分）
在（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，在（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
分组
频数
[55，65）
2
[65，75）
4
[75，85）
10
[85，95]
4
合计
20
第一车间样本频数分布表
（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；
（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中，至少1人生产时间小于65min的概率．
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.sin210°的值为（ ）
A. B.- C. D.-
2.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（ ）
A.{-1，0，1，2}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{0，1}
3.在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
用B1、B2、B3、B4代表生产时间大于或等于65min，且小于75min的工人；
抽取2人基本事件空间为Ω={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），
（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）}共15个基本事件；……………………………………………..（9分）
（2）法一：设M（x0，y0）（x0≠0），N（x1，y1），
∵MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，
∴直线NB1： ……①直线NB2： ……②
由①，②解得： ，
又∵ ，
∴ ，
四边形MB2NB1的面积 ，
∵ ，
∴当 时，S的最大值为 ．
法二：设直线MB1：y=kx-3（k≠0），则直线NB1： ……①
直线MB1与椭圆C： 的交点M的坐标为 ，
则 ，即 ，即ρ=4cosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）．……………………………………………（5分）
（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，
得 ，……………………………（7分）
即 ，t1，t2为方程的两个根，
∴t1t2=-3，………………（9分）
∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-3|=3．………………………………………（10分）
设事件A=“2人中至少1人生产时间小于65min”，
则事件A={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）}共9个基本事件；………………………………………………（10分）
∴P（A）= = ．……………………………………………………（12分）
23.解：（Ⅰ）f（x）≤4⇔ 或 或 ，
解得- ≤x≤2，
故不等式f（x）≤4的解集为{x|- ≤x≤2}
（Ⅱ）∵f（x）= ，∴f（x）min= ，即m= ，
又a，b，c∈R+且a+b+c= ，z则2a+2b+2c=1，设x= ，y= ，z= ，
∵x2+y2≥2xy，2xy≤x2+y2=2a+1+2b+1=2a+2b+2，
（1）若 ，求△ABC的面积；
（2）若点D在BC边上且BD=2DC，AD=BD，求BC的长．
18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．
①四个侧面都是直角三角形；
②最长的侧棱长为 ；
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；
④外接球的表面积为24π．
其中正确的描述为______．
16.已知数列{an}中，a1=2，an+1= （n∈N*），则 =______
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.在△ABC中，AB=6， ．
同理：2yz≤2a+2c+2，2xz≤2c+2a+2，
∴2xy+2yz+2xz≤2a+2b+2+2b+2c+2+2c+2a+2=8，
∴此时f′（x）= ，在（0， ）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（ ，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）的极小值点为x= ，无极大值点．…………（4分）
（Ⅱ）∵f′（x）= ，其中x＞0且a＞0，
∴在（0， ）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（ ，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
则直线MB2的斜率为 ，∴直线NB2：y=2kx+3……②
由①，②解得N点的横坐标为 ，因此四边形MB2NB1的面积 ，
当且仅当 时，S取得最大值 ．
22.解：（Ⅰ）直线l1的参数方程为 ，
即 （t为参数）．………………………………………（2分）
设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），
A. B.8C. D.
12.已如函数f（x）= ，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）=2，则x1+x2的取值范围是（ ）
A.[2，+∞）B.（-∞，2]C.（2，+∞）D.（-∞，2）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数 的最小正周期为π，则ω=______，若 ，则sin2α=______．
19. （I）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，
∵AB∥CE，AB=CE，
∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，
∴△ADE为等边三角形，
∴在等腰梯形ABCD中，∠C=∠ADE= ，∠DAB=∠ABC= ，
∴在等腰ADB中，∠ADB=∠ABD= ，
∴∠DBC= - = ，即BD⊥BC，∴BD⊥AE，
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（ ）
A.6
B.24
C.120
D.720
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，a4=2，则S5=（ ）
A.0B.10C.15D.30
6.已知 、 是两个单位向量，且夹角为 ，则（ -2 ）•（-2 + ）=（ ）
∴g（x）≤g（1）=0，………………………………………………………………………（10分）
∴ ＜0等价于 ＞0且 ．
∴a的取值范围是a＞0且a≠2．………………………………………………………（12分）
21.解：（1）∵ ，∴ ，又 ，且a2=b2+c2，
∴a2=18，b2=9，
因此椭圆C的方程为 ．
A.2012-2013年研发投入占营收比增量相比2017-2018年增量大
B.该企业连续12年研发投入逐年增加
C.2015-2016年研发投入增值最大
D.该企业连续12年研发投入占营收比逐年增加
10.函数 的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=8x上一点A到焦点F的距离为4，若点P为抛物线C准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（ ）
14.已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为______．
15. 我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：