《高三数学总复习》高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第7章 立体几何-6
高考数学一轮复习第7章 第1节 空间几何体的结构及其表面积、体积
1 / 31 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握
1.考查形式
高考在本章一般命制2道小题、1道解答题，分值约占22分．
2．考查内容
(1)小题主要考查三视图、几何体体积与表面积计算，此类问题属于中档题目；对于球与棱柱、棱锥的切接问题，知识点较整合，难度稍大．
(2)解答题一般位于第18题或第19题的位置，常设计两问：第(1)问重点考查线面位置关系的证明；第(2)问重点考查空间角，尤其是二面角、线面角的计算．属于中档题目.
空间几何体的结构及其表面积、体积
[考试要求]
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.
3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.
4.了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式． 2 / 31
1．多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 互相平行且相等 相交于一点，
但不一定相等 延长线交于
一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
2．正棱柱、正棱锥的结构特征
(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
3．旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且
相等，垂直
于底面 长度相等且
相交于一点 延长线交
于一点 —
轴截面 全等的矩形 全等的
等腰三角形 全等的
等腰梯形 圆
侧面
展开图 矩形 扇形 扇环 — 旋转
数学一轮复习第七章立体几何第7讲立体几何中的向量方法学案含解析
20217
第7讲 立体几何中的向量方法
[考纲解读] 1。理解直线的方向向量及平面的法向量，并能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．(重点)
2.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理，并能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．(难点)
［考向预测］ 从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容．预测2021年高考将会以空间向量为工具证明平行与垂直以及进行空间角的计算．试题以解答题的形式呈现，难度为中等偏上。
1．用向量证明空间中的平行关系
(1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合）⇔错误!v1∥v2⇔v1＝λv2.
（2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量为v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y,使v＝错误!xv1＋yv2。
（3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔错误!v⊥u⇔错误!v·u＝0。
（4）设平面α和β的法向量分别为u1，u2,则α∥β⇔错误!u120217
∥u2⇔u1＝λu2。
2．用向量证明空间中的垂直关系
(1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔错误!v1⊥v2⇔错误!v1·v2＝0.
（2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u,则l⊥α⇔错误!v∥u⇔错误!v＝λu.
(3）设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔错误!u1⊥u2⇔错误!u1·u2＝0。
3．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ a与b的夹角β
范围 错误!(0°，90°］ ［0°,180°］
求法 cosθ＝错误!错误! cosβ＝错误!
4．直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝错误!错误!,φ的取值范围是［0°，90°]． 20217
2022版新教材高考数学一轮复习第7章立体几何微专题进阶课7立体几何中的动态问题学案含解析新人教B版
高考复习资料
1 / 4 第7章 立体几何
立体几何中的动态问题
立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹长度及动角的范围及涉及的知识点，多年来是复习的难点．
求动点的轨迹(长度)
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM∥平面A1DE，则动点M的轨迹长度为( )
A．π4 B．2
C．2 D．π
B 题目解析：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则DA1→＝(2,0,2)，DE→＝(0,2,1)，则平面A1DE的一个法向量为n＝(2,1，－2)．设M(x,2，z)，则AM→＝(x－2,2，z)．由AM→·n＝0，得2(x－2)＋2－2z＝0⇒x－z＝1，故点M的轨迹为以BC，BB1的中点为端点的线段，长为12＋12＝2.故选B.
已知边长为1的正方形ABCD与CDEF所在的平面互相垂直，点P，Q分别是线段BC，DE上的动点(包括端点)，PQ＝2.设线段PQ的中点的轨迹为s，则s的长度为( )
A.π4 B.π2
C.22 D.2
A 题目解析：如图，以DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设P(m,1,0)(0≤m≤1)，Q(0,0，n)(0≤n≤1)，M(x，y，z)．由高考复习资料
2 / 4 中点坐标公式易知x＝m2，y＝12，z＝n2，
即m＝2x，n＝2z.①
因为|PQ|＝m2＋n2＋1＝2，
所以m2＋n2＝1，②
把①代入②得，4x2＋4z2＝1.
即x2＋z2＝14.
因为0≤m≤1,0≤n≤1，
所以0≤x≤12，0≤z≤12.
所以PQ中点M的轨迹方程为 x2＋z2＝140≤x≤12，0≤z≤12，y＝12.
轨迹s为在垂直于y轴的平面内，半径为12的四分之一圆周．
所以s的长度为14×2π×12＝π4.故选A.
高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案7-6
第7章 第6节
一、选择题
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：
①(A1D1→－A1A→)－AB→；
②(BC→＋BB1→)－D1C1→；
③(AD→－AB→)－2DD1→；
④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→.
其中能够化简为向量BD1→的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案：A
解析：①(A1D1→－A1A→)－AB→＝AD1→－AB→＝BD1→；
②(BC→＋BB1→)－D1C1→＝BC1→－D1C1→＝BD1→；
③(AD→－AB→)－2DD1→＝BD→－2DD1→≠BD1→；
④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→＝B1D→＋DD1→＝B1D1→≠BD1→，综上①②符合题意．
2．在四面体O－ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→可表示为(用a，b，c表示)．( )
A.12a＋14b＋14c B.12a＋13b－12c
C.13a＋14b＋14c D.13a－14b＋14c
答案：A
解析：OE→＝OA→＋12AD→＝OA→＋12×12(AB→＋AC→)
＝OA→＋14×(OB→－OA→＋OC→－OA→)
＝12OA→＋14OB→＋14OC→＝12a＋14b＋14c.
3．若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( )
A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．m(a＋b)＝m a＋mb D．(a·b)c＝a(b·c) 答案：D
4．已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则AB→＋12(BD→＋BC→)等于( )
A.AG→ B.CG→
C.BC→ D.12BC→
答案：A
解析：如图所示：
12(BD→＋BC→)＝BG→，AB→＋BG→＝AG→.
第7章立体几何专练14—小题综合练习(二)-2021届高三数学一轮复习
小题综合练习（二）
一、单选题
1．设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m，( )
A．若l，则 B．若，则lm
C．若//l，则// D．若//，则//lm
解：对于A，l，且l，根据线面垂直的判定定理，得，A正确；
对于B，当，l，m时，l与m可能平行，也可能垂直，B错误；
对于C，当//l，且l时，与可能平行，也可能相交，C错误；
对于D，当//，且l，m时，l与m可能平行，也可能异面，D错误．
故选：A．
2．鳖臑biē nào是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥是一个鳖臑，其中，，，且，，，则三棱锥的外接球的体积是
A． B． C． D．
解：如图，
由，，且，可得平面，
则，又，且，， )ABCDABBCABBDBCCD6AB3BC2DCABCD()4933432493436ABBCABBDBCBDBABBCDABCDBCCDABBCBCDAC
则为三棱锥的外接球的直径．
，，，，
故三棱锥的外接球的半径为，
则三棱锥的外接球的体积是．
故选：．
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为
A．17斛 B．25斛 C．41斛 D．58斛
解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，则，，
米堆的体积为（尺，
米堆的斛数为（斛．
故选：．
4．已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且，若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到ADABCD6AB3BC2DC2226327ADABCD72ABCD347343()326VD()r12104r20r2211120()666.674312Vrh3)66.67411.62)CSABCDABCD//ADBC120BADSAD23SAABPSABCDP
(江苏专版)高考数学一轮复习 第十三章 立体几何 13.3 垂直的判定与性质讲义-人教版高三全册数学
word 1 / 18 §13.3 垂直的判定与性质
考纲解读
考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017
1.线面垂直的判定与性质 1.线面垂直的证明
2.线面垂直的性质应用 B 16题
14分 解答题 ★★★
2.面面垂直的判定与性质 1.面面垂直的证明
2.面面垂直的性质应用 B 15题
14分 解答题 ★★★
分析解读 空间垂直问题是某某高考的热点内容,主要考查线面垂直和面面垂直的判定与性质运用,复习时要认真掌握解决垂直问题常用的方法,识别一些基本图形如:锥体、柱体的特征.
五年高考
考点一 线面垂直的判定与性质
1.(2016某某理,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则以下说法正确的是.
①m∥l;②m∥n;③n⊥l;④m⊥n.
答案 ③
2.(2015某某,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
求证:(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1.
证明 (1)由题意知,E为B1C的中点,
又D为AB1的中点,因此DE∥AC.
又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,
所以DE∥平面AA1C1C. word
2 / 18
(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,
BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1⊂平面BCC1B1,
所以BC1⊥AC.
因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,
因此BC1⊥B1C.
因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,
所以BC1⊥平面B1AC.
2021版理科数学全国通用版备战一轮复习(课件 课时跟踪检测)：第八章 立体几何 (2)
第八章
立体几何
第二节
空间几何体的表面积与体积
A级·基础过关
|固根基|
1.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为 ( )
A．312 B．34
C．612 D．64
解析：选A 易知三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，又三棱锥A－B1BC1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.
2．(2020届大同调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )
A．11π B．14π3
C．28π3 D．16π
解析：选C 由三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥，记为三棱锥A－BCD，将该三棱锥放在长方体中，如图所示，其中AB⊥平面BCD，AB＝2，△BCD为边长为2的正三角形．设
O1为正△BCD的中心，O为三棱锥A－BCD外接球的球心，R为外接球的半径．连接OO1，OB，O1B，则OO1⊥平面BCD，OO1＝1，BO1＝23×2×32＝233，则OB2＝R2＝12＋2332＝73，所以该几何体外接球的表面积S＝4πR2＝4π×73＝28π3，故选C．
3.如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间是高l为6124的圆柱，上、下两端均是半径r为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，该球的直径为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 实心金属几何体的体积V＝43πr3＋πr2l＝43π×8＋π×4×6124＝1256π.设实心球的半径为R，由体积相等得43πR3＝1256π，所以R＝52，所以该球的直径为2R＝5.
4.如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为( )
A．42π2
B．22π2
2016届高三数学一轮阶段性测试题9《立体几何》(含解析)新人教A版
阶段性测试题九(立体几何)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(文)(2014·辽宁师大附中期中)已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β
③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β
④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
其中正确命题的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] D
[解析] 由线面垂直的性质知①正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，∴②正确；由m⊥α，m∥n知n⊥α，又n⊂β，∴α⊥β，∴③正确；如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD与平面ADD1A1分别为α、β，CC1为m，则m∥α，α∩β＝n，但m与n不平行，∴④错，故选D．
(理)(2014·浙江台州中学期中)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题
①若a⊥b，a⊥α，则b∥α
②若a∥α，α⊥β，则a⊥β
③a⊥β，α⊥β，则a∥α
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
其中正确的命题的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] ①中可能有b⊂α；②中a⊂β，或a∥β，a与β斜交，a⊥β，都有可能；③中可能有a⊂α；若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，又b⊥β，∴α⊥β，∴④正确，故选B．
2．(2014·山东省博兴二中质检)设m、n是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
C．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
专题8.9 《空间向量与立体几何》单元测试卷-2021年新高考数学一轮复习学与练(原卷版)
专题8.9 《空间向量与立体几何》单元测试卷
一、单选题
1．（2021·湖南湘潭·月考（理））已知正四棱锥PABCD的高为7，且2AB，则正四棱锥PABCD的侧面积为（ ）
A．22 B．4 C．62 D．82
2．（2020·北京高三二模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（ ）
A．2 B．22
C．23 D．4
3．（2020·四川武侯·成都七中月考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．32 B．1 C．13 D．12
4．（2019·陕西西安·高新一中高二期末（理））如图，在四面体OABC中，1G是ABC的重心，G是1OG上的一点，且12OGGG，若OGxOAyOBzOC，则(,,)xyz为（ ）
A．111(, , )222 B．222(, , )333
C．111(, , )333 D．222(, , )999
5．（2020·云南高三月考（理））如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，异面直线1BC与EF所成角最小时，其余弦值为（ ）
A．0 B．12 C．105 D．1116
6．（2020·河北正定中学高三月考）已知平面，，和直线l，下列命题中错误的是（ ）
A．若，//，则
B．若，则存在l，使得//l
C．若a，，l，则l
D．若，//l，则l
7．（2020·山东济宁·高二月考）在正方体1111ABCDABCD中，棱AB，11AD的中点分别为E，F，则直线EF与平面11AADD所成角的正弦值为（ ）
A．306 B．255 C．66 D．55
8．（2020·山东济宁·高二月考）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上（包括边界．．．．）移动，且满足11BPDE，则线段1BP的长度的最大值为（ ）
高考数学一轮总复习单元质检卷七空间向量与立体几何北师大版
1 单元质检卷七 空间向量与立体几何
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.(2021湖南衡阳月考)下列说法正确的是( )
A.三点确定一个平面
B.如果一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任意一条直线
C.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直
D.平行于同一平面的两条直线互相平行
2.平面α外的一条直线l上有相异的三个点A，B，C，且三个点到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )
A.l⊥α B.l∥α
C.l与α相交 D.l∥α或l⊂α
3.(2021山东济宁二模)“直线m垂直平面α内的无数条直线”是“m⊥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.一个正四棱锥的底面边长为2，高为√3，则该正四棱锥的表面积为( )
A.8 B.12 C.16 D.20
5.(2021广东清远一中开学考试)把一个已知圆锥截成一个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为1∶3，母线长为6 cm，则已知圆锥的母线长为( )
A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.12 cm
6.(2021河南安阳一中月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1成的角为 ( )
A.π2 B.π3 C.π4 D.π6
7. 2
(2020河北博野中学高三开学考试)如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为D1C1的中点.过点B1，E，A的平面截该正方体所得的截面周长为 ( )
A.6√2+4√5 B.4√2+2√5
C.5√2+3√5 D.8√2+4√5
8.(2021河北石家庄质量检测二)在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥PC，PA=AC=√2，BC=a，动点Q从B点出发，沿外表面经过棱PC上一点到点A的最短距离为√10，则该棱锥的外接球的表面积为( )