一元二次方程压轴题(含答案)
一元二次方程
1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．
（1）用含p的代数式表示q；
（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．
2．设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．
3．（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．
4．（江苏模拟）已知关于x的方程x2－(a＋b＋1)x＋a＝0（b≥0）有两个实数根x1、x2，且x1≤x2．
（1）求证：x1≤1≤x2
（2）若点A（1，2），B（12，1），C（1，1），点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使a＋b＝54？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（福建模拟）已知方程组y2＝4xy＝2x＋b有两个实数解x＝x1y＝y1和x＝x2y＝y2，且x1x2≠0，x1≠x2．
（1）求b的取值范围；
（2）否存在实数b，使得1x1＋1x2＝1？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．
6．（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．
7．（四川某校自主招生）已知实数x、y满足x＋y＝3a－1x2＋y2＝4a2－2a＋2 ，求xy的取值范围．
8．（福建某校自主招生）已知方程(ax＋1)2＝a2(1－x2)（a＞1）的两个实数根x1、x2满足x1＜x2，求证：
－1＜x1＜0＜x2＜1．
（答案）
1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．
（1）用含p的代数式表示q；
（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2
∴22＋2p＋q＋1＝0，整理得：q＝－2p－5
（2）∵△＝p2－4q＝p2－4(－2p－5)＝p2＋8p＋20＝(p＋4)2＋4
无论p取任何实数，都有(p＋4)2≥0
∴无论p取任何实数，都有(p＋4)2＋4＞0，∴△＞0
∴抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点
N E F
M x y y2
y1 （3）∵抛物线y1＝x2＋px＋q与抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的对称轴相同，都为直线x＝－p2，且开口大小相同，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1可由抛物线y1＝x2＋px＋q沿y轴方向向上平移一个单位得到
∴EF∥MN，EF＝MN＝1
∴四边形FEMN是平行四边形
由题意得S四边形FEMN＝EF·|－p2|＝2，即|－p2|＝2
∴p＝±4
2．（安徽某校自主招生）设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．
解：∵△＝52－4(－m2＋1)＝4m2＋21
∴不论m取何值，方程x2－5x－m2＋1＝0都有两个不相等的实根
∵x2－5x－m2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m2
∵|α|＋|β|≤6，∴α2＋β2＋2|αβ|≤36，即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ|≤36
∴25－2(1－m2)＋2|1－m2|≤36
当1－m2≥0，即－1≤m≤1时，25≤36成立
∴－1≤m≤1 ①
当1－m2＜0，即m＜－1或m＞1时，得25－4(1－m2)≤36
解得－152≤m≤152
∴－152≤m＜－1或1＜m≤152 ②
综合①、②得：－152≤m≤152
3．（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．
解：（1）∵x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根
∴a－6≠04a2－4a(a－6)≥0 即a≠6a≥0
假设存在实数a使－x1＋x1x2＝4＋x2成立，则4＋(x1＋x2)－x1x2＝0
∴4＋－2aa－6－aa－6＝0，得a＝24
∵a＝24满足a≥0且a≠6
∴存在实数a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立
（2）∵(x1＋1)(x2＋1)＝(x1＋x2)＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝－aa－6
∴要使(x1＋1)(x2＋1)为负整数，则只需a为7，8，9，12
4．（江苏模拟）已知关于x的方程x2－(a＋b＋1)x＋a＝0（b≥0）有两个实数根x1、x2，且x1≤x2．
（1）求证：x1≤1≤x2
（2）若点A（1，2），B（12，1），C（1，1），点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使a＋b＝54？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由根与系数的关系得：x1＋x2＝a＋b＋1，x1x2＝a
∴a＝x1x2，b＝x1＋x2－x1x2－1
∵b≥0，∴x1＋x2－x1x2－1≥0
∴1－x1－x2＋x1x2≤0
∴(1－x1)(1－x2)≤0
又∵x1≤x2，∴1－x1≥0，1－x2≤0
即x1≤1，x2≥1
∴x1≤1≤x2
（2）∵x1＋x2＝a＋b＋1，a＋b＝54，∴x1＋x2＝94
①当点P（x1，x2）在BC边上运动时
则12≤x1≤1，x2＝1
∴x1＝94－x2＝94－1＝54＞1
故在BC边上不存在满足条件的点P
②当点P（x1，x2）在AC边上运动时
则x1＝1，1≤x2≤2
取x2＝54，则x1＋x2＝94，即a＋b＝54
故在AC边上存在满足条件的点P（1，54）
③当点P（x1，x2）在AB边上运动时
则12≤x1≤1，1≤x2≤2，易知x2＝2x1
∵x1＋x2＝94，∴x1＝34，x2＝32
又∵12＜34＜1，1＜32＜2
故在AB边上存在满足条件的点（34，32）
综上所述，当点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动时，在BC边上没有满足条件的点，而在AC、AB边上存在满足条件的点，它们分别是（1，54）和（34，32）
5．（福建模拟）已知方程组y2＝4xy＝2x＋b有两个实数解x＝x1y＝y1和x＝x2y＝y2，且x1x2≠0，x1≠x2．
（1）求b的取值范围；
（2）否存在实数b，使得1x1＋1x2＝1？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由已知得4x＝(2x＋b)2，整理得4x2＋(4b－4)x＋b2＝0
∵x1≠x2，∴△＞0，即(4b－4)2－16b2＞0，解得b＜12
又∵x1x2≠0，∴b24≠0，∴b≠0 O x y
1 1 2
C A
B 综上所述，b＜12且b≠0
（2）∵x1＋x2＝1－b，x1x2＝b24，∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝4(1－b)b2＝1得
∴b2＋4b－4＝0，解得b＝－2±22
∵－2＋22＝2(2－1)＞12，∴b＝－2＋22不合题意，舍去
∴b＝－2－22
6．（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．
解：∵a＋b＋c＝0，abc＝8，∴a，b，c都不为零，且a＋b＝－c，ab＝8c
∴a，b是方程x2＋cx＋8c＝0的两个实数根
∴△＝c2－4×8c≥0
当c＜0时，c2－4×8c≥0恒成立
当c＞0时，得c3≥32，∴c≥342
故c的取值范围是c＜0或c≥342
7．（四川某校自主招生）已知实数x、y满足x＋y＝3a－1x2＋y2＝4a2－2a＋2 ，求xy的取值范围．
解：∵(x－y)2≥0，∴x2＋y2≥2xy
∴2(x2＋y2)≥(x＋y)2
∴2(4a2－2a＋2)≥(3a－1)2
即a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3
∵xy＝12[(x＋y)2－(x2＋y2)]
＝12[(3a－1)2－(4a2－2a＋2)]
＝12(5a2－4a－1)
＝52(a－25)2－910
∴当a＝25时，xy有最小值－910；当a＝3时有最大值16
∴－910≤xy≤16
8．（福建某校自主招生）已知方程(ax＋1)2＝a2(1－x2)（a＞1）的两个实数根x1、x2满足x1＜x2，求证：
－1＜x1＜0＜x2＜1．
证明：将原方程整理，得2a2x2＋2ax＋1－a2＝0
令y＝2a2x2＋2ax＋1－a2，由于a＞1，所以这是一条开口向上的抛物线
当x＝0时，y＝1－a2＜0，∴原方程有一个正根和一个负根
O x y
1 -1 x1 x2 又∵x1＜x2，∴x1＜0＜x2
又当x＝1时，y＝2a2＋2a＋1－a2＝(a＋1)2＞0
当x＝－1时，y＝2a2－2a＋1－a2＝(a－1)2＞0
∴－1＜x1＜0＜x2＜1
中考数学——一元二次方程的综合压轴题专题复习含详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm的两段；
（2）两正方形面积之和为48时，，，∵， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．
考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．
2．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【解析】
【分析】 作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．
【详解】
解：
如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
备战中考数学压轴题专题复习——一元二次方程的综合附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．某建材销售公司在2019年第一季度销售,AB两种品牌的建材共126件，A种品牌的建材售价为每件6000元，B种品牌的建材售价为每件9000元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a，B种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A种品牌的建材的销售量增加了1%2a，B种品牌的建材的销售量减少了2%3a，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a，求a的值.
【答案】（1）至多销售A品牌的建材56件;(2)a的值是30.
【解析】
【分析】
（1）设销售A品牌的建材x件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可.
【详解】
（1）设销售A品牌的建材x件.
根据题意，得60009000126966000xx，
解这个不等式，得56x，
答：至多销售A品牌的建材56件.
（2）在（1）中销售额最低时，B品牌的建材70件，
根据题意，得
12260001%561%90001%701%6000569000701%2323aaaaa，
令%ay，整理这个方程，得21030yy，
解这个方程，得1230,10yy，
∴10a（舍去），230a，
即a的值是30.
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
2．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.
备战中考数学—一元二次方程的综合压轴题专题复习附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．
【答案】△ABC的周长为10．
【解析】
【分析】
分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值，由b+c=a可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．
【详解】
当a＝4为腰长时，将x＝4代入原方程，得：214421402kk
解得：52k
当52k时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∴此时△ABC的周长为4+4+2＝10；
当a＝4为底长时，△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣12）＝（2k﹣3）2＝0，
解得：k＝32，
∴b+c＝2k+1＝4．
∵b+c＝4＝a，
∴此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形．
∴△ABC的周长为10．
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．
2．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？ 【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【解析】
【分析】
备战中考数学一元二次方程-经典压轴题附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．
①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
【答案】（1）28（2）①76%②75，84%
【解析】
试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；
（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；
②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
②设润滑用油量是x千克，则
x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，
整理得：x2﹣65x﹣750=0，
（x﹣75）（x+10）=0，
解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），
60%+1.6%（90﹣x）=84%，
答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
考点：一元二次方程的应用
中考数学一元二次方程-经典压轴题及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．解方程： 2212xx6x9（）
【答案】124xx23，
【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.
试题解析：因式分解，得
2212xx3（）（）
开平方，得
12xx3，或12xx3（）
解得124xx23，
2．已知关于x的一元二次方程2204mmxmx.
（1）当m取什么值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当4m时，求方程的解.
【答案】（1）当1m且0m时，方程有两个不相等的实数根；（2）1354x，2354x.
【解析】
【分析】
（1）方程有两个不相等的实数根，，代入求m取值范围即可，注意二次项系数≠0；
（2）将4m代入原方程，求解即可.
【详解】
（1）由题意得：24bac =22404mmm，解得1m.
因为0m，即当1m且0m时，方程有两个不相等的实数根.
（2）把4m带入得24610xx，解得1354x，2354x.
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.
3．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x为何值时，活动区的面积达到21344m
【答案】当13xm时，活动区的面积达到21344m
【解析】
【分析】
根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.
【详解】
解:设绿化区宽为y，则由题意得
502302xy.
即10yx
列方程: 50304(10)1344xx
解得13x (舍)，213x.
中考数学压轴题专题一元二次方程的经典综合题附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．
（1）当a=﹣11时，解这个方程；
（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；
（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．
【答案】（1）123,4xx（2）54a≤（3）-4
【解析】
分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；
（2）根据判别式即可求出a的范围；
（3）根据根与系数的关系即可求出答案．
详解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；
（2）∵方程有两个实数根12xx，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得54a：；
（3）∵12xx，是方程的两个实数根，222211221122101011xxaxxaxxaxxa，，，．
∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴221122229xxxx，把22112211xxaxxa， 代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得：a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣4．
点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．
2．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．
【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出y的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．
3．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】（1）5；（2）180
中考数学压轴题专题复习—一元二次方程的综合附详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知关于x的方程230xxa①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程2(1)320kxxa②有实数根，又k为正整数，求代数式2216kkk的值．
【答案】0.
【解析】
【分析】
由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．
【详解】
解：设方程①的两个实数根分别为x1、x2
则12123940xxxxaa＝＝＝ ，
由条件，知12121211xxxxxx=3，
即33a，且94a，
故a＝－1，
则方程②为(k-1)x2+3x+2=0，
Ⅰ.当k-1=0时，k=1,x=23，则22106kkk.
Ⅱ.当k-1≠0时，=9-8（k-1）=17-6-8k≥0，则178k，
又k是正整数，且k≠1，则k=2，但使2216kkk无意义.
综上，代数式2216kkk的值为0
【点睛】
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，
2．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长． 【答案】（1）k＞34；（2）15.
【解析】
【分析】
（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为22mn，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.
二次函数与一元二次方程压轴题(含答案)
2020中考数学 二次函数与一元二次方程压轴题（含答案）
【例1】（1）抛物线cbxaxy2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若ABC是直角三角形，则ac= .
（2）为使方程bxx311322 有四个不同的实数根，则实数b的取值范围为 .
【例2】设一元二次方程0622kkxx的根分别满足下列条件：①两根均大于1；②一根大于1，另一根小于1；③两根均大于1且小于4．试求实数k的取值范围．
【例3】如果抛物线1122mxmxy与x轴交于A，B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b，
（1）求m的取值范围；
（2）若1:3:ba，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；
（3）设（2）的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线是否存在一点P，使得PAB面积等于BCM的面积的8倍？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【例4】 设p是实数，二次函数ppxxy22的图像与x轴有2个不同的交点A0,1x，B0,2x．
（1）求证：032221pxpx；
（2）若A，B两点之间距离不超过32p，求p的最大值．
【例5】是否存在这样的实数k，使得二次方程023122kxkx有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试述理由．
【例6】设m，n为正整数，且2m.如果对一切实数t，二次函数mtxmtxy332的图象与x轴的两个交点间的距离不小于nt2，求m，n的值．
能力训练
A级
1．已知二次函数2242mmxxy的图象与x轴有两个交点A，B，顶点为C，若△ABC的面积为24，则m= .
2．把抛物线213xy向上平移k个单位，所得抛物线与x轴相交于点A(1x，0)和B(2x，0)，已知9262221xx，那么平移后的抛物线的解析式为 .
中考数学—一元二次方程组的综合压轴题专题复习及详细答案
中考数学—一元二次方程组的综合压轴题专题复习及详细答案
一、一元二次方程
1．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．
【答案】△ABC的周长为10．
【解析】
【分析】
分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值，由b+c=a可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．
【详解】
当a＝4为腰长时，将x＝4代入原方程，得：214421402kk
解得：52k
当52k时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∴此时△ABC的周长为4+4+2＝10；
当a＝4为底长时，△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣12）＝（2k﹣3）2＝0，
解得：k＝32，
∴b+c＝2k+1＝4．
∵b+c＝4＝a，
∴此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形．
∴△ABC的周长为10．
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．
2．解下列方程：
（1）x2﹣3x=1．
（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22xx ;(2)12223,223yy
【解析】
试题分析：（1）利用公式法求解即可；
（2）利用直接开方法解即可；
试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x2﹣3x﹣1=0，
∵b2﹣4ac=13＞0
∴．
∴12313313,22xx．
中考数学—一元二次方程组的综合压轴题专题复习含详细答案
中考数学—一元二次方程组的综合压轴题专题复习含详细答案
一、一元二次方程
1．解下列方程：
（1）x2﹣3x=1．
（2）12（y+2）2﹣6=0．
【答案】(1)12313313,22xx ;(2)12223,223yy
【解析】
试题分析：（1）利用公式法求解即可；
（2）利用直接开方法解即可；
试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x2﹣3x﹣1=0，
∵b2﹣4ac=13＞0
∴．
∴12313313,22xx．
（2）（y+2）2=12，
∴或，
∴12223,223yy
2．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【解析】
【分析】
作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．
【详解】 解：
如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB＝12•PB•QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．
根据题意，12 •（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t2＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．
3．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．