连续系统离散化处理基本方法

连续系统离散化处理的基本方法

在数字计算机上对连续系统进行仿真时,首先遇到的问题就是如何解决数字计算机在数值及时间上的离散性与被仿真系统数值及时间上的连续性这一基本问题。

从根本意义上讲,数字计算机所进行的数值计算仅仅就是“数字”计算,它表示数值的精度受限于字长,这将引入舍入误差;另一方面,这种计算就是按指令一步一步进行的,因而,还必须将时间离散化,这样就只能得到离散时间点上系统性能。用数字仿真的方法对微分方程的数值积分就是通过某种数值计算方法来实现的。任何一种计算方法都只能就是原积分的一种近似。因此,连续系统仿真,从本质上就是对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统进行离散化,并选择合适的数值计算方法来近似积分运算,由此得到的离散模型来近似原连续模型。如何保证离散模型的计算结果从原理上确能代表原系统的行为,这就是连续系统数字仿真首先必须解决的问题。

设系统模型为:),,(t u y f y

=&,其中u (t )为输入变量,y (t )为系统变量;令仿真时间间隔为h ,离散化后的输入变量为)(?k t u

,系统变量为)(?k t y ,其中k t 表示t=kh 。如果)()(?k k t u t u

≈,)()(?k k t y t y ≈,即0)()(?)(≈-=k k k u t u t u t e ,0)()(?)(≈-=k k k y t y t y t e (对所有k=0,1,2,…),则可认为两模型等价,这称为相似原理(参见图2、1)。

,随着计,也称为仿真建模关于稳定性的详细讨论将在2、4节中进行。 (2)准确性:有不同的准确性评价准则,最基本的准则就是:

绝对误差准则:δ≤-=)()(?)(k k k y t y t y

t e 相对误差准则:δ≤-=

)(?)()(?)(k k k k y t y

t y t y t e 其中δ 规定精度的误差量。

(3)快速性:如前所述,数字仿真就是一步一步推进的,即由某一初始值)(0t y 出发,逐步计算,得到)(,),(),(21k t y t y t y Λ,每一步计算所需时间决定了仿真速度。若第k 步计算对应的系统时间间隔为,1k k k t t h -=+计算机由)(k t y 计算)(1+k t y 需要的时间为T k ,则,若T k =h k 称为实时仿真,T k h k ,对应于离线仿真。 &,已知系统变量y 的初始条件y t y ()00=,现

在要求y 随时间变化的过程y t ()。计算过

程可以这样考虑(参见图2、2):首先求出初始

点y t y ()00=的f t y ()00，,微分方程可以

)(≈k y t e 图2、1

33 写作:

y t y f t y dt t t

()(,)=+?00

(2、1) 图2、2所示曲线下的面积就就是y t (),由于难以得到f(y,u,t)积分的数值表达式,人们对数值积分方法进行了长期探索,其中欧拉法就是最经典的近似方法。

欧拉法用矩形面积近似表示积分结果,也就就是当t=t 1时,y t ()1的近似值为y 1 : y y t y t f t y 11000=?+?()()?， (2、2)

重复上述作法,当t t =2时

y y t y t t f t y 2212111=?+-?()()()，

所以,对任意时刻t k+1,有:

y y t y t t f t y κκκκκκκ+++=?+-?111()()()， (2、3) 令t t h κκκ+-=1称为第κ步的计算步距。若积分过程中步距不变h h κ=,可以证明,欧拉法的截断误差正比于h 2。

为进一步提高计算精度,人们提出了“梯形法”。 梯形法近似积分形式如式(2、4)所示,令:t t h h κκκ+-=1＝已知:t t =κ时y t ()κ的近似值y κ,那么:

y y t y h f t y f t y κκκκκκκ++++=?++111112

()[(,)(,)] (2、4) 可见,梯形法就是隐函数形式。采用这种积分方法最简单的预报?校正方法就是用欧拉法估计初值,用梯形法校正,即:

y y h f t y f t y i i κκκκκκ++++?++111112

()

()[(,)(,)] (2、5) y y h f t y i κκκκ+?+?1()

(,) (2、6) 式(2、6)称作预报公式,采用欧拉法,式(2、5)为校正公式,采用梯形法。用欧拉法估计一次y i κ+1()的值,代入校正公式得到y κ+1的校正值y i κ++11()。设ε就是规定的足够小正整数,称作允许误差,若i =0,

i +1=1称作第一次校正;i i =+=112，称作第二次校正;通过反复迭代,直到满足y y i i κκε+++-≤111,这时y i κ++11()就是满足误差要求的校正值。

上述方法就是针对(2、3)式所示的微分方程在已知初值情况下进行求解,因此也称为微分方程初值问题数值计算法,为统一起见,本书中称为数值积分法。连续系统数字仿真的离散化方法有两类,它们就是数值积分方法与离散相似方法,本文讨论数值积分法。

数值积分方法采用递推方式进行运算,而采用不同的积分方法会引进不同的计算误差,为了提高计算精度,往往会增加运算量。就同一种积分算法而言,为提高计算精度,减小积分步距h ,计算量增大,影响系统运算速度。因此,计算精度与速度就是连续系统仿真中常迂到的一对矛盾,也就是数字仿真中要求解决的问题之一。也就就是说,选择合适的算法、合适的软、硬件环境,在保证计算精度的前提下,考虑怎样提高仿真的速度。