2019_2020学年高中数学第三章函数的概念与性质3.3幂函数课件新人教A版必修1
3.3 幂函数
-1-
首页
课标阐释
思维脉络
1.通过具体实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的 解析式.
1
2.结合幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x2的图象,理解 它们的变化规律. 3.能利用幂函数的基本性质解决相关的实际问题.
课前篇 自主预习
一二
一、幂函数的定义 1.(1)函 数y=2x与y=x2有什么不同? 提示:在函数y=2x中,常数2为底数,自变量x为指数,故为指数函数; 而在函数y=x2中,自变量x为底数,常数2为指数,故为幂函数.
一二
4.做一做
3
(1)函数 y=������2的图象是( )
课前篇 自主预习
(2)已知幂函数 f(x)=xa 的图象经过点(2, 2),则函数 f(x)为( ) A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B.偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增 D.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减
一二
课前篇 自主预习
3
解析:(1)∵函数 y=������2的定义域是[0,+∞),∴排除选项 A 和 B.
∵32>1,∴曲线应该是下凸型递增的.
(2)幂函数 f(x)=xa 的图象经过点(2, 2),
∴2a=
2,解得
a=1,∴函数
f(x)=������
1 2
.
2
∴函数 f(x)是非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增.
答案:(1)C (2)C
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法 随堂演练
幂函数的概念
例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函
数,试确定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利
用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法 随堂演练
幂函数的图象 例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系 为( ) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 分析:利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质,结合所给图 象分析并判断a,b,c的大小关系. 解析:由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a. 答案:A
答案:1
课前篇 自主预习
一二
二、幂函数的图象及性质
1
1.在同一平面直角坐标系中,幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=������2,y=x-1 的 图象如下图所示.
一二
课前篇 自主预习
(1)它们的图象都过同一定点吗? 提示:是的,都过定点(1,1). (2)上述5个函数中,在(0,+∞)内是增函数的有哪几个?是减函数的 呢? 提示:在(0,+∞)内是增函数的有:y=x,y=x2,y=x3,y=������12.在(0,+∞)内是 减函数的有:y=x-1. (3)上述5个函数中,图象关于原点对称,是奇函数的有哪几个?图 象关于y轴对称,是偶函数的呢? 提示:图象关于原点对称,是奇函数的有:y=x,y=x3,y=x-1;图象关于 y轴对称,是偶函数的有:y=x2.
何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法 随堂演练
课堂篇 探究学习
变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3) ������������2-������-2 的图象不过原点,求 实数m的取值.
解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2; 当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件; 当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件. 综上所述,m=1或m=2.
在R 上是 增函 数
在[0,+∞) 上是增函 数
在(0,+∞)上是 减函数,在 (-∞,0)上是减 函数
公共点 (1,1)
一二
课前篇 自主预习
3.判断正误: (1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.
() (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).( )
答案:(1)× (2)×
1 ������4
,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数
为
.
解析:函数y=
1 ������4
=x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以
Hale Waihona Puke 它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是幂
函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不是同一函数,所以y=1不是幂函数.
1
(2) 函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x-1 及 y=������2解析式有什么共同特征? 提示:底数是自变量,自变量的系数为1;指数为常数;幂xα的系数为 1;解析式等号右边只有1项. 2.填空 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
一二
课前篇 自主预习
3.做一做
在函数y=
解:根据幂函数的定义,
得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;
当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.
反思感悟判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为
y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任
低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法 随堂演练
反思感悟1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知
2a>2b>2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是a>b>c.
2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:
(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.
(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图
课前篇 自主预习
一二
2.填表 幂函数的性质
幂函数 y=x y=x2
y=x3
1
y=x2
y=x-1
定义域 R
R
R
[0,+∞)
(-∞,0)∪ (0,+∞)
值域 R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
(-∞,0)∪ (0,+∞)
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
非奇非 偶函数
奇函数
在R
单调性
上是 增函
数
在[0,+∞)上 是增函数, 在(-∞,0]上 是减函数
-1-
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思维脉络
1.通过具体实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的 解析式.
1
2.结合幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x2的图象,理解 它们的变化规律. 3.能利用幂函数的基本性质解决相关的实际问题.
课前篇 自主预习
一二
一、幂函数的定义 1.(1)函 数y=2x与y=x2有什么不同? 提示:在函数y=2x中,常数2为底数,自变量x为指数,故为指数函数; 而在函数y=x2中,自变量x为底数,常数2为指数,故为幂函数.
一二
4.做一做
3
(1)函数 y=������2的图象是( )
课前篇 自主预习
(2)已知幂函数 f(x)=xa 的图象经过点(2, 2),则函数 f(x)为( ) A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B.偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增 D.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减
一二
课前篇 自主预习
3
解析:(1)∵函数 y=������2的定义域是[0,+∞),∴排除选项 A 和 B.
∵32>1,∴曲线应该是下凸型递增的.
(2)幂函数 f(x)=xa 的图象经过点(2, 2),
∴2a=
2,解得
a=1,∴函数
f(x)=������
1 2
.
2
∴函数 f(x)是非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增.
答案:(1)C (2)C
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探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法 随堂演练
幂函数的概念
例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函
数,试确定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利
用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法 随堂演练
幂函数的图象 例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系 为( ) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 分析:利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质,结合所给图 象分析并判断a,b,c的大小关系. 解析:由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a. 答案:A
答案:1
课前篇 自主预习
一二
二、幂函数的图象及性质
1
1.在同一平面直角坐标系中,幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=������2,y=x-1 的 图象如下图所示.
一二
课前篇 自主预习
(1)它们的图象都过同一定点吗? 提示:是的,都过定点(1,1). (2)上述5个函数中,在(0,+∞)内是增函数的有哪几个?是减函数的 呢? 提示:在(0,+∞)内是增函数的有:y=x,y=x2,y=x3,y=������12.在(0,+∞)内是 减函数的有:y=x-1. (3)上述5个函数中,图象关于原点对称,是奇函数的有哪几个?图 象关于y轴对称,是偶函数的呢? 提示:图象关于原点对称,是奇函数的有:y=x,y=x3,y=x-1;图象关于 y轴对称,是偶函数的有:y=x2.
何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法 随堂演练
课堂篇 探究学习
变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3) ������������2-������-2 的图象不过原点,求 实数m的取值.
解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2; 当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件; 当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件. 综上所述,m=1或m=2.
在R 上是 增函 数
在[0,+∞) 上是增函 数
在(0,+∞)上是 减函数,在 (-∞,0)上是减 函数
公共点 (1,1)
一二
课前篇 自主预习
3.判断正误: (1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.
() (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).( )
答案:(1)× (2)×
1 ������4
,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数
为
.
解析:函数y=
1 ������4
=x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以
Hale Waihona Puke 它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是幂
函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不是同一函数,所以y=1不是幂函数.
1
(2) 函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x-1 及 y=������2解析式有什么共同特征? 提示:底数是自变量,自变量的系数为1;指数为常数;幂xα的系数为 1;解析式等号右边只有1项. 2.填空 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
一二
课前篇 自主预习
3.做一做
在函数y=
解:根据幂函数的定义,
得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;
当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.
反思感悟判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为
y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任
低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法 随堂演练
反思感悟1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知
2a>2b>2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是a>b>c.
2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:
(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.
(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图
课前篇 自主预习
一二
2.填表 幂函数的性质
幂函数 y=x y=x2
y=x3
1
y=x2
y=x-1
定义域 R
R
R
[0,+∞)
(-∞,0)∪ (0,+∞)
值域 R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
(-∞,0)∪ (0,+∞)
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
非奇非 偶函数
奇函数
在R
单调性
上是 增函
数
在[0,+∞)上 是增函数, 在(-∞,0]上 是减函数
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高中数学人教A版必修第一册3.3幂函数课件-
4
时，
y
4
x3
是偶函数.综上，实数
m
的值是
4，
故选 A.
C 7.在同一坐标系内，函数 y xa (a 0) 和 y ax 1 的图象可能为( ) a
A.
B.
C.
D.
解析：若 a 0 ，则 y xa 在 (0, ) 上是增函数， y ax 1 在 R 上是增函数且其图象 a
与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，选项 C 可能，选项 B 不可能；若 a 0 ，则 y xa 在
所以 m 5 ，则 f (x) x5 .
（2）
f
(x)
x5
1 x5
， 要使函数有意义，则 x 0 ，
即定义域为 (,0) (0, ) ，其关于原点对称.
f
(x)
1 (x)5
1 x5
f
(x) ，
该幂函数为奇函数.
当 x 0 时，根据幂函数的性质可知 f (x) x5 在 (0, ) 上为减函数，
1 3
D.2
解析：因为函数 f (x) (m2 5m 7)xm1(m R) 是幂函数，所以 m2 5m 7 1 ，
解得 m 2 或 m 3 .当 m 2 时， f (x) x3 是奇函数，不符合题意，舍去；当 m 3 时，
f (x) x4 是偶函数，符合题意.故由 f (2a 1) f (a) 得， f ( 2a 1) f ( a ) ，又因为
A 5.如图，下列 3 个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是( )
A.①
y
x1
，②
y
1
x2
，③
y
1
x3
C.①
y
1
x3
高中数学(新人教A版)必修第一册：第3章章末 函数概念与性质 课件【精品课件】
．
②如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变
量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
减函数 ．
么就说函数f(x)在区间D上是
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那
么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．
例6 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且
f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+ )上是减函数
1 2 8
1 2 1
2
而2a a 1 2(a ) 0, 3a 2a 1 3( a ) 0
1
【解】 (1)当 a＝0 时，f(x)＝x ，显然是奇函数；
当 a≠0，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且 f(1)＋f(－1)≠0，
所以此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设∀x1<x2∈[1,2]，
x2－x1
1
则 f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋ x x ＝(x1－x2)ax1＋x2－x x ，
1 2
第三章 函数的概念与性质
章末总结
教学目标及核心素养
教学目标
1.掌握函数的概念；
2.了解分段函数，会画分段函数的图像；
3.理解函数性质并且熟练运用；
x 即x
x 1
所以，
6时，等号成立。
②如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变
量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
减函数 ．
么就说函数f(x)在区间D上是
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那
么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．
例6 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且
f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+ )上是减函数
1 2 8
1 2 1
2
而2a a 1 2(a ) 0, 3a 2a 1 3( a ) 0
1
【解】 (1)当 a＝0 时，f(x)＝x ，显然是奇函数；
当 a≠0，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且 f(1)＋f(－1)≠0，
所以此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设∀x1<x2∈[1,2]，
x2－x1
1
则 f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋ x x ＝(x1－x2)ax1＋x2－x x ，
1 2
第三章 函数的概念与性质
章末总结
教学目标及核心素养
教学目标
1.掌握函数的概念；
2.了解分段函数，会画分段函数的图像；
3.理解函数性质并且熟练运用；
x 即x
x 1
所以，
6时，等号成立。
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栏目导航
自
主
预 PPT模板：/moban/
PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/
历史课件：/kejian/lish i/
1.结合幂函数的图
易混点)
象，培养直观想象
2．结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图
的数学素养． 2．借助幂函数的性
象，掌握它们的性质．(重点、难点)
质，培养逻辑推理
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 的数学素养.
科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wul i/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/she ngwu/
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lish i/
x 是自变量， α 是常数．
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y
＝x－1 的图象如图所示：
栏目导航
3．幂函数R 奇偶性 奇
y＝x2
R
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3.3 幂函数(课件)高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)原创精品
1
−2
,定义域(0,+∞)且单调递减.
所以a +2> 8-2a>0，
解得： 2<a<4
方法：逆向运用函数的单调性，把函数式的不等关系化归
为参数式的不等关系，从而解出参数范围.
思
素养
维
1.已知f(x)=(k2-k-1)xk(k∈R)是幂函数，且在区间
(0,+∞)内函数图象是上升的.
逻
辑
推
理
+
数
形
结
向右与x轴无限接近.
练一练
1. 如图所示，曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，
已知α分别取－1,1， ，2四个值，则图象C1，C2，C3，
C4对应的α依次为____________．
答案：2，1， ，-1
练一练
2.已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2， 2)，求这个函数
的解析式．
3．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
y=x3
(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形
的边长c＝ ，这里c是S的函数；
y=
1
2
(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平
1
均速度v＝
km/s，即v＝t-1，这里v是t的函数．
观察(1)～(5)中的函数解析式，它们有什么共同特征？
y=x-1
1 幂函数
幂函数的概念:
交点,符合题意.
2.已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y= +m的图象有且只
有一个交点,求正实数m的取值范围.
数
形
结
高中数学人教A版必修第一册课件3.3幂函数课件
又
t＝x－1 1在[－1，1)上是减函数，
a≥(x
)1
－1
＝－1. 2
m ax
综上知 a≥－1. 2
A 级 基础巩固
一、选择题
1.(2020·濮阳模拟)已知函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2＋2m－3 是幂函数，且其图象
与两坐标轴都没有交点，则实数 m＝( A )
A.－1
B.2
C .3
D.2 或－1
10.已知幂函数 f (x)＝(m－1)2xm2－4m＋2 在(0，＋∞)上单调递增，函数 g(x)＝2x －k.
(1)求 m 的值； (2)当 x∈[1，2)时，记 f(x)，g(x)的值域分别为集合 A，B，设 p：x∈A，q：x∈B， 若 p 是 q 成立的必要条件，求实数 k 的取值范围.
f (x)的对称轴为x 2
因此设 f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在 y＝f(x)的图象上所以 3a＝3，则 a＝1.
故 f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.
考点二：二次函数的解析式
【训练 2】 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4，3)，它在 x 轴上截得的线段长为
(4a
b)x
4a
2b
c
化简得34a16ba04b
c解得bc
3 4a
f (x) ax2 bx c(a 0)在x轴上截得线段长为2
令y 0, ax2 bx c 0中| x1 x2 |
(x1 x2 )2 4x1x2 2,
( b )2 4 c 2 2a a
联立解方程组得ba
7.函数 f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若 f(x)有最小值－2，则 f(x)的最大值为1___.
第三章-3.3-幂函数高中数学必修第一册人教A版
3
<<
3
或
2
< −1.
故实数的取值范围为 −∞, −1 ∪
2 3
,
3 2
.
题型4 幂函数的奇偶性
例15 (2024·江苏省镇江市期末)幂函数 满足下列性质：（1）对定义域中任意的,
有 = − ；（2）对 0, +∞ 中任意的1 ，2 1 ≠ 2 ，都有
(2 − 1 )[ 2 − 1 ] < 0，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式
例11 比较下列各题中两个数的大小：
3
4
3
4
（1）2.3 ，2.4 ；
3
4
【解析】∵ = 为[0, +∞)上的增函数，且2.3 < 2.4，
3
4
3
4
∴ 2.3 < 2.4 .
（2）
2
3
2
−
，
3
−2
3
3
2
−
；
【解析】∵ = 为 0, +∞ 上的减函数，且 2 < 3，
3
∴
2
−2
3
>
3
= − （答案不唯一）
__________________________．
【解析】由题意知幂函数 满足性质：对定义域中任意的,有 = − ，则
为偶函数， 又函数 满足对 0, +∞ 中任意的1 ，2 1 ≠ 2 ，
都有 2 − 1 [ 2 − 1 ] < 0，
D.1 ，4 ，2 ，3
)
图3.3-5
【解析】由于在第一象限内直线 = 1的右侧，幂函数 = 的图
<<
3
或
2
< −1.
故实数的取值范围为 −∞, −1 ∪
2 3
,
3 2
.
题型4 幂函数的奇偶性
例15 (2024·江苏省镇江市期末)幂函数 满足下列性质：（1）对定义域中任意的,
有 = − ；（2）对 0, +∞ 中任意的1 ，2 1 ≠ 2 ，都有
(2 − 1 )[ 2 − 1 ] < 0，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式
例11 比较下列各题中两个数的大小：
3
4
3
4
（1）2.3 ，2.4 ；
3
4
【解析】∵ = 为[0, +∞)上的增函数，且2.3 < 2.4，
3
4
3
4
∴ 2.3 < 2.4 .
（2）
2
3
2
−
，
3
−2
3
3
2
−
；
【解析】∵ = 为 0, +∞ 上的减函数，且 2 < 3，
3
∴
2
−2
3
>
3
= − （答案不唯一）
__________________________．
【解析】由题意知幂函数 满足性质：对定义域中任意的,有 = − ，则
为偶函数， 又函数 满足对 0, +∞ 中任意的1 ，2 1 ≠ 2 ，
都有 2 − 1 [ 2 − 1 ] < 0，
D.1 ，4 ，2 ，3
)
图3.3-5
【解析】由于在第一象限内直线 = 1的右侧，幂函数 = 的图
高中数学 3.3幂函数课件 新人教A版必修1
(C)ax ay
(D)ax ya
4.已知y=f(x)是幂函数,且2f(2)=f(3), 则f(x)的表达式是____________
l g2 l g3
f (x) x 2
5.判断函y数 x在区间 0，
上的单调性，并的证结明论 . 你
6.有幂函数若干个，每个函数具有三条性质之一:
(1)是奇函数;(2)是 , 上的增函数;(3)函数图
(-∞,+∞)↑ [0,+∞)↑
2、在第 一象限 是递增 函数。
奇函数 (-∞,+∞)↑
名称
y x1
图y 象
-1 1 O1 x
-1
定义域 (-∞,0)∪
(0,+∞)
y
y x2
1
(-∞,0)∪
-1 O 1 x (0,+∞)
-1
奇偶性 奇函数
偶函数
单调性 (-∞,0)↓ (0,+∞) ↓
(-∞,0) ↑ (0,+∞) ↓
即：
(
7
)
8 7
1
8
习题：利用幂函数的性质，比较下面各组中两个值的大小
1
1
1、(0.3)3_<_ _(0._31)3
10 3
2、(0.9)1.3_< _1_.1)_ 1.3 (1.30
3、(1.8)0.2_<_ 1_.9)_0.2( 0.20
4、(2.1)0.3_<_1 _.9)_ 0.3( 0.30
幂函数由于指数α的不同，它们的定义域也不同，性 质（有界性、单调性、奇偶性）也不同。
讨论幂函数的性质：
主要分α>0和α<0两大类情况去讨论它们的定义域、单调 性、奇偶性。
高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.3 幂函数课件 a高一第一册数学课件
1 (2)3
[(1)∵y＝x12＝x－2，∴是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象
多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f12＝
[解] (1)因为函数y＝x－52在(0，＋∞)上为减函数， 又3<3.1，所以3－52>3.1－52. (2)4.125>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，而(－1.9) －35<0，所以4.125>3.8－23>(－ 1.9)－35.
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第三十一页，共三十三页。
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象，掌握它们的性质．(重点、难点)
性质，培养逻辑推
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 理的数学素养.
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自主预习 探新知
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1．幂函数的概念 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量， α 是常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12， y＝x－1的图象如图所示：
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第三十二页，共三十三页。
第三章 函数的概念(gàiniàn)与性质
内容(nèiróng)总结
No
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1 2
高中数学人教A版必修第一册课件3.3幂函数课件
又 ln π>1>22－1212＝ 22>31， 所以 f(ln π)>f((22－1212))>f13，则 b>c>a.
考点一 幂函数的图象和性质
1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限 为六个区域，即 x＝1，y＝1，y＝x 所分区域．根据 α<0，0<α<1， α＝1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函 数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是 解题的关键．
(2)当α>0 时，幂函数 y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.( √ )
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( × )
(3)确定二次函数解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b2.( ×
(2)常见的五种幂函数的图象
i幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一 定不会出现在第四象限； ii幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的 图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
考点三 二次函数的图象及应用 补充例题 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)＝f(2－x)，若函数 y＝
m
|x2－2x－3|与 y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 xi＝
人教A版高中数学必修第一册3.3幂函数【课件】
α
∴f(2)=,∴2 =,解得 α=-2,
∴f(x)=x-2.
f(x)的图象如图所示.
f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递
增区间为(-∞,0).
反思感悟
1.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四
象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第
(2)y= 的图象位于第一象限,因为函数为增函数,所以函数图
象是上升的,函数 y= -1 的图象可看作由 y= 的图象向下平
移 1 个单位长度得到(如选项 A 中的图象所示),将 y= -1 的图
象关于 x 轴对称后即为选项 B 中的图象.
答案:(1)B (2)B
探究二 幂函数的性质及其应用
对称,且在区间(0,+∞)内单调递减,求满足(2a-1) <(3-a) 的实
数 a 的取值范围.
解:∵函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴3m-9<0,解得 m<3.
又 m∈N*,∴m=1,2.
又函数图象关于 y 轴对称,∴3m-9 为偶数,故 m=1,Leabharlann -
-
-
∴有(2a-1) <(3-a) .∵y= 在区间(-∞,0),(0,+∞)内均单调递减,
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)1.13,1.23;
(2)4.8-3,4.9-3;
(3) -
-
, -
-
.
解:(1)设f(x)=x3,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,