大学数学概率论10第10讲(第二章)
[理学]青岛大学概率论课件概率第二章
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i 1
i 1
随机变量的数学期望。
(i 1,2,)
(1)
29
例3 设 为离散型随机变量，其分布列为
P{
(1)k
2k } k
1 2k
k 1,2,
试问: 的数学期望是否存在？
30
二、常用分布的数学期望
1） 单点分布
E c
2）两点分布
E p
3）二项分布 ~ B(n, p) E np
4）普阿松分布 ~ P( ) 5）几何分布 ~ G( p)
2）几何分布的无记忆性
定理：设 服从几何分布 G( p) ，m为任意整数，则
P( m k m) P( k) pqk1
6. 超几何分布
P(
k)
C
k M
C
nk N -M
CnN
注：背景
, k 0,1,,min( n, M )
9
§2.2 多维随机变量及其分布
一、二维随机变量及其分布
1. 定义
0, 1, 2，3 1
定义1：设（, F, P）是概率空间, =()是 定义在上的实值函数， 如果x R, 有
{ () x} F
则称为随机变量。
定义2（离散型随机变量）
随机变量
离散型 非离散型奇连异续型型
2
二、离散型随机变量的分布列
1. 定义
定义3: 设离散型随机变量的可能取值为 xi (i 1,2,)
例5 已知随机变量和的分布列为：
~
1 1
0 1
11
4 2 4
~
0 1
1 1
2 2
且P{ =0}=1 (1)求和的联合分布列 (2)问和是否独立？为什么？
19
《概率论与数理统计(第二版)》第二章随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
解 当x<-1时,因为事件{X≤x}=⌀,所以 F(x)=0 当-1≤x<0时,有 F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)=0.3 当0≤x<1时,有 F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0) =0.3+0.6=0.9
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
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随机变量与数字特征
第二章 随机变量与数字特征 2.1两类随机变量 例1 在10件同类型产品中,有3件次品,现任取2件,用一个变量X表示“2件中的次品数”,X的取值是随机的,可能的取值有0,1,2.显然“X=0”表示次品数为0,它与事件“取出的2件中没有次品”是等价的.可以看出,“X=1”等价于“恰好有1件次品”,“X=2”等价于“恰好有2件次品”.于是由古典概率可以求出:
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
2.3分布函数与函数的分布 2.3.1 随机变量的分布函数 定义2.3 设X是一个随机变量,称函数 F(x)=P(X≤x) 为随机变量X的分布函数.分布函数也记作FX(x).
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
例3 在“测试电子管寿命”这一试验中,用Z表示它的寿命(单位为小时),则Z的取值随着试验结果的不同而在连续区间(0,+∞)上取不同的值,当试验结果确定后,Z的取值也就确定了. 上面三个例子中的变量X,Y,Z具有下列特征: (1)取值是随机的,事前并不知道取到哪一个值; (2) 所取的每一个值,都相应于某一随机现象; (3) 所取的每个值的概率大小是确定的.
概率论与数理统计第二章笔记
交通学院 学号1126002026 姓名 吕立正 课堂笔记第二章 随机变量及其分布 §1.随机变量与分布函数一、随机变量的概念定义：假设Ω为试验E 的样本空间，对任意的ω∈Ω都赋予一个实数X （ω）与之对应，则实值函数X （）称为随机变量，一般用X ，Y ，Z 或者,ξη 注：1、Z （ω）由ω唯一确定2、随机变量X 与实数x 的区别3、对实数x ，事件{X ≤x}有一定的概率，P{X ≤x} 二、分布函数定义：设（Ω, ,P ）为概率空间，还为定义在Ω上的随机变量，对任意x ∈R ，一元实值函数F （x ）= P{X ≤x}，称为r ，v ，X 的概率分布函数，简称分布函数 注：1、F （x ）= P{X ≤x}，x ∈R2、分布函数是指描述随机变量分布的根本方法3、分布函数的性质性质1、（单调性）对任意的12X X ≤，有F （1X ）≤F （2X ） 注：P （a X b <≤）=F （b ）-F （a ）P （a X b ≤≤）= F （b ）-F （a ）+P （X=a ）P （a X b ≤<）= F （b ）-F （a ）+P （X=a ）-P （X=b ） P （a X b <<）= F （b ）-F （a ）-P （X=b ） P （X a ≤）= F （a ） P （a X <）=1- F （a ） 性质2、（有界性）：0≤F （x ）1≤ 性质3、()lim ()1x F F x →+∞+∞==()lim ()0x F F x →-∞-∞==性质4、(右连续性) 对任意x ∈R ，有F （x+0）=F （x ）证明：设x A ={X ≤x+ 1n} 则123......A A A ⊇⊇⊇且n ={}n A X x +∞=-∞⋂≤所以F(x)=P{X ≤x}=P(1n n A ∞=⋂)=lim ()n n P A →+∞=n +11lim (x+)=lim ()n n P X F x n→+∞→∞≤+由F(x)的单调性 F(x)=F(x+0)例：设r.v.X 的分布函数为F(x)=A+Barctanx x ∈R 求待定系数A.B 由F(+∞)=1 F(-∞)=0 得到lim (arctan )12x A B x A B π→+∞+=+=lim(arctan x)=a-02x A B B π→∞+= 所以A=12 B= 1π第二节 离散型r .v .及其分布一．基本概念定义：设X 为样本空间Ω的随机变量，若存在一个有限或可列无限集B ，使得P{X ∈B}=1则称X 为离散型r . v . 设其所有可列取值为{k X } K=1.2.3……n …则k P =P (X=k X ) K=1.2.3…..n …则称为X 的概率分布列[注]：1.概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的方法之一分布矩阵1212........................n n x x x p p p ⎛⎫⎪⎝⎭3.非负性：k P >0.k=1.2….. 归一性：K kP ∑=14.求离散型r . v . 分布列的步骤Step1：列出r . v . X 的所有可能取值 Step2：计算几个取值对应的概率例：甲乙两队进行比赛，规定谁先赢三局获胜。
概率论与数理统计第二章_随机变量及其分布精品教案
第二章随机变量及其分布为了深入研究随机事件及其概率，本章将引进随机变量的概念，从而使人们能够进一步应用数学方法来分析和研究随机事件的概率及其性质，更深刻地揭示随机现象的统计规律性．§2.1 离散型随机变量的概率分布2.1.1 随机变量的定义一些随机试验的结果本身就是由数量来表示的．例如，掷一颗骰子，观察其点数，则可能的结果分别用1、2、3、4、5、6来表示；另一些随机试验的结果本身与数量无关，但我们可以根据问题的需要，人为的给它们建立一个对应关系．例如，从一批产品中随机抽取一个产品检验，用0表示“抽到次品”，用1表示“抽到合格品”．这启发我们引进一个变量，用其取值来刻画随机事件，帮助我们更深入地研究随机现象．定义1 设E是随机试验，{}ωXω是定义在Ω上Ω=为E的样本空间，()的单值实函数，如果对任一实数x ，{()}X x ω≤是一随机事件，则称)(ωX X =为随机变量．随机变量常用大写字母X 、Y 、Z 等表示，其取值用小写字母x 、y 、z 等表示．顾名思义，随机变量就是“其值随机会而定”的变量，一方面，它是试验结果的函数，与通常的函数概念没什么不同；另一方面，它的取值具有随机性，在试验前，我们不能预知它将取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这里，究竟取何值，要到试验做过后才能确定．随机变量的概念在概率论中十分重要．引入随机变量的概念后，就可以通过其取值来研究随机事件，从而把对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，为我们运用各种数学工具深入研究随机现象奠定了基础．例1 （1）考查射击某一目标100次中命中的次数，某厂100台机器在一天中需要维修的机器数等都可以用一个随机变量X 来表示，它可能取0，1，…，100中的任一非负整数；（2）一部电梯一年内出现故障的次数，城市某十字路口一分钟内通过的机动车数，单位时间内到达某公交车站等车的人数等都可以用随机变量X 来表示，它所有可能的取值为一切非负整数；（3）洗衣机的使用寿命X （单位：h ）是一个可以在（0，+∞）上取值的随机变量，{X >5000}表示“洗衣机使用寿命超过5000 h ”这一事件．类似的，测量误差X 也是一个随机变量，它可能的取值为)(∞+-∞，上任意实数，{0.3x <}表示“测量的误差在(0.30.3)-，内”．（4）汽车司机刹车时，轮胎接触地面的点的位置X 是在[0，r π2]上取值的随机变量，其中r 是轮胎的半径．由上面可以看出,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内。
概率论与数理统计第二章 随机变量及其分布
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例4: 甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数 较多者为胜. 假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概 率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率 各为多少？ 解 每一盘棋可看作0-1试验. 设X为10盘棋赛中甲赢的 盘数，则 X ～ b(10, 0.6) . 按约定，甲只要赢6盘或6盘 以上即可获胜. 所以
定义：若随机变量X所有可能的取值为x1，x2，…，xi，…，且 X 取这些值的概率为 P(X=xi)= pi , i=1, 2, ... (*)
则称(*)式为离散型随机变量X 的分布律。 分布律的基本性质： (1) 表格形式表示: pi 0, i=1，2，... (2)
i
pi 1
X pk
x1 p1
这里n=500值较大，直接计算比较麻烦. 利用泊松定理作近似计算: n =500, np = 500/365=1.3699>0 ，用 =1.3699 的泊松分布作近似 计算：
(1.3669) 5 1.3669 P{ X 5} e 0.01 5!
23
例2: 某人进行射击，其命中率为0.02，独立射击400次，试求击 中的次数大于等于2的概率。 解 将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击中 击的次数，则X~B(400, 0.02)其分布律为
k 0,1
14
(2) 二项分布 设在一次伯努利试验中有两个可能的结果，且有 P(A)=p 。则在 n 重伯努利试验中事件 A发生的次数 X是一个 离散型随机变量，其分布为
P ( X k ) C nk p k q n k
k =0, 1, 2 ,, n
称X 服从参数为n，p的二项分布，记为 X~b(n, p) 对于n次重复一个0-1试验. 随机变量X表示: n次试验中, A发生的次数. 如： 掷一枚硬币100次, 正面出现的次数X服从二项分布. b(100, 1/2) 事件 X～
概率论第二章小结
则称 X 在(a, b)上服从均匀分布，记为 X ~U (a, b).
(5) 指数分布
若随机变量 X 的概率密度为
1 x 1 e , x 0, f ( x) 0, 其它.
0
则称 X 服从参数为 的指数分布， 其分布函数为
1 x 1 e , x 0, F ( x) f ( x)dx 其它 . 0, x
其中 0<p<1, q=1－p, n≥1， 则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布，记作 X～b(n, p)。
典型应用：
n 重贝努利试验 每次试验只有两个结果 A 与
Ā，且每次 P (A)=p，P (Ā)=1－p=q 相同。 各次试验结果互不影响（独立） 。在 n 重 贝努利试验中 A 发生的次数 X～b(n, p)。
第二章随机变量及其分布
一．重点要求内容
1．基本概念要清楚
随机变量，分布函数，分布律，概率密度
函数等概念与性质。 为便于记忆，对照，特制表一，表二。
表一
随机变量的分布函数F(x)
几何表示
x
定义：F(x) = P(X≤x) (－∞<x<+∞)
性质：1°F(x1)≤F(x2) (任 x1<x2 时) 单调不减函数 2°右连续性 即 F(x+0)=F(x) 3° lim F ( x ) F ( ) 0
( x)
1 e 2
x2 2
2°X~N(μ, σ )，其概率密度 f(x)的关于直线 x=μ 对称
P( X )
1 e 2 ( x )2 2 2 1 e 2 ( x )2 2 2
2
第10讲 条件概率 (III) 全概率公式 贝叶斯公式
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式1§1.5 条件概率四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式3第10讲条件概率(III)全概率公式贝叶斯公式四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式4四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式5在前面两讲，我们讲了条件概率和乘法公式。
现在来讲全概率公式和贝叶斯公式()()(|)P AB P A P B A =(()0)P A >（一）全概率公式四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式6A ()(|)B P A B1AB 2AB 3AB 4AB 5AB )B1AB2AB 3AB 4AB 5AB四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式11全概率公式的意义事件A 的发生有各种可能的原因B i (i =1,…,n )。
如果A 是由原因B i 引起，则A 发生的概率为()()(|)i i i P AB P B P A B 每一个原因都可能导致A 发生，故A 发生的概率是全部原因引起A 发生的概率的总和，即为全概率公式。
由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推结果”的公式，每个原因对结果的发生有一定的作用，结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关，全概率公式就表达了它们之间的关系。
四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式12在很多实际问题中，P (A )不容易直接求得，但却容易找到S 的一个划分B 1, B 2,…, B n ，且P (B i )和P (A |B i )容易求得，那么就可以用全概率公式求出P (A )。
使用全概率公式的关键是作出S 的一个划分。
何时用全概率公式求A 的概率？四川大学1()()(|)ni i i P A P B P A B ==∑四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式16例2 有12个足球都是新球，每次比赛时取出3个，比赛后又放回去，求第三次比赛时取到的3 个足球都是新球的概率。
《概率论与数理统计》第二章随机变量及其分布知识点
第二章随机变量及其分布2.1随机变量为全面研究随机试验的结果，皆是随机现象的统计规律性，需要将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.2.1.1随机变量的定义定义一：设Ω为随机试验E 的样本空间，若对Ω中的每一个样本点ω都有一个确定的实数)(ωX 与之对应，则称)(ωX X =为定义在Ω上的随机变量.随机变量通常用大写字母X、Y、Z 或希腊字母ηξ，等表示，而表示随机变量所取的值时，一般用小写字母x,y,z 等表示.2.1.2引入随机变量的意义随机变量因其取值方式不同，通常分为离散型和非离散型两类.非离散型随机变量最重要的是连续型随机变量.2.1.3随机变量的分布函数定义二：设X 是一个随机变量，称+∞<<-∞≤=x x X P x F },{)(为X 的分布函数.对任意实数)(,2121x x x x <，随机点落在区间（21,x x ]内的概率为：)()(}{}{)(121221x F x F x X P x X P x X x P -=≤-≤=<<分布函数的性质：(1)1)(0≤≤x F (2)非减(3),0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ,1)(lim )(==+∞+∞→x F F x 事实上，由事件+∞≤-∞≤x x 和分别是不可能事件和必然事件(4)右连续)()(lim 00x F x F x x =+→2.2离散型随机变量及其概率分布2.2.1离散型随机扮靓及其概率分布定义三：设X 是一个随机变量，如果他的全部可能取值只有有限个或可数无穷多个，则称X 是离散型随机变量.设随机变量X 的全部可能取值为，，，，，n i x i ...21=X 取各个可能取值的概率n i x p x X P i i ，，，，...21)()(===，则称为随机变量X 的分布律，离散型随机变量X 的分布律也可以表示为：X X1X2...Xn ...P(X)P(x1)P(x2)...P(xn)...离散型随机变量X 的分布律满足：(1)),...(,...,2,1,0)(非负性n i x p i =≥(2))(1)(1规范性=∑+∞=i i x p 易得X 的分布函数为：)(}{}{)(∑∑≤≤===≤=xx i xx i i i x p x X P x X P x F 即，当i x x <时，0)(=x F ；当1x x <时，0)(=x F ；当21x x x <<时，)()(1x p x F =；当32x x x <<时，)()()(21x p x p x F +=；......当n n x x x <<-1时，)(.....)()()(21n x p x p x p x F +++=；......2.2.2常用离散型随机变量的分布1.两点分布（“0-1”分布）定义四：若一个随机变量X 只有两个可能取值21x x ，，且其分布为：10,1)(,)(21<<-====p p x X P p x X P 则称X 服从21x x ，处参数为p 的两点分布.2.二项分布若随机变量X 的全部可能取值为0，1，2，...，n，且其分布律为，，，，，n k q p C p k X P k n k k n ...,210,)(===-其中，0<p<1,q+p=1,则称为X 服从参数为n，p 的二项分布，或称X 服从参数为n，p 的伯努利分布，记为)(~p n B X ，3.泊松分布定义五：若一个随机变量X 的分布律为：...210,0,!)(，，，=>==-k k e k X P kλλλ则称X 服从参数为λ的泊松分布，记作)(~λP X .易见：(1)...210,0)(，，，=≥=k k X P (2)1!!}{00=====-+∞=-+∞=-+∞=∑∑∑λλλλλλe e k e k ek X P k k k k k 4.二项分布的泊松近似引言：对于二项分布B(n,p)，当实验次数n 很大时，计算其概率很麻烦.例如:10001,5000(~B X 定理1：（泊松定理）在n 次伯努利试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为n p （注意这与实验的次数有关），如果∞→n 时，λ→n np （λ》0为常数），则对于任意给定的k,有!)1(lim k ep p C kkn kk nn λλ--∞→=-(np =λ)2.3连续型随机变量及其概率密度2.3.1连续型随机变量及其概率密度定义六：设)(x F 为随机变量X 的分布函数，若存在非负函数)(x f ，对任意实数x ，有⎰∞-=x dt t f x F )()(，则称X 为连续型随机变量，称)(x f 为X 的概率密度函数或分布密度函数，简称概率密度.概率密度具有下列性质：(1)0)(≥x f (2)1)(=⎰+∞∞-dx x f 连续型随机变量的性质：(1)连续型随机变量X ，若已知其密度函数)(x f ，则根据定义，可求其分布函数)(x F ，同时，还可求得X 的取值落在任意区间(a,b]上的概率为⎰=-=≤<ba dxx f a F b F b X a P )()()(}{(2)连续型随机变量X 取任意指定值)(R a a ∈的概率为零，因为⎰∆-→∆→∆=<<∆-==axa x x dxx f a X x a P a X P )(lim }{lim }{00故对连续型随机变量X ，则有⎰=-=<<=≤≤ba dxx f a F b F b X a P b X a P )()()(}{}{(3)若)(x f 在点x 处连续，则)()('x f x F =2.3.2常用连续型随机变量的分布1.均匀分布定义七：若连续型随机变量X 的概率密度=)(x f 其他bx a ab <<⎪⎩⎪⎨⎧-,,01则称X 在区间（a,b）上服从均匀分布，记作),(~b a U X 易见：(1)；0)(≥x f (2)1)(=⎰+∞∞-dx x f 求得其分布函数：.;;,,,10)(b x b x a a x a b ax x F ≥<<≤⎪⎩⎪⎨⎧--=2.指数分布定义八：若随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ其中，0>λ是常数，则称X 服从参数λ的指数分布，简记为)(~λe X .易见：(1)；0)(≥x f (2)1)(=⎰+∞∞-dx x f 易求出其分布函数：⎩⎨⎧>-=-其他。
概率论与数理统计总结之第二章
第二章 随机变量及其分布第一节 离散型随机变量离散型随机变量：若随机变量的取的值是有限个或可列无限多个,就叫做离散型随机变量 离散型随机变量的分布律：1)等式形式{},1,2,===k k P X x p k 且11∞==∑kk p2)表格形式：分布律性质：1. 0,1,2.....≥=k p k 2. 11∞==∑kk p步骤：1.找到所有可能取值2.算出每种取值的概率3.概率相加为1 方法：1.定取值：取值点就是分断点.2.概率：挨着减.3.三种重要的离散型随机变量： 1.(0-1)分布{}1(1),0,1(01)-==-=<<k k P X k p p k p2.二项分布(,)XB n p1)背景：独立地重复进行n 次实验,成功的次数服从二项分布. 2)若(,)XB n p ,则1(,1)--XB n p定义：若随机变量X 的可能有取值为0.1.2…n,而X 的分布律为()(1),0,1,2,...-==-=k kn k n P X k C p p k n其中01,1<<+=P p q 则称X 服从参数为n,p 的二项分布,记为(,)X B n pn 重伯努利试验伯努利试验：设试验E 只有两个可能结果：A 及A ,则称E 为伯努利试验,设P(A)=p(0<p<1),此时P(A )=1-p. 二项分布的应用：产品的合格与不合格,机器故障等 3.泊松定理：当X 服从二项分布,(,)XB n p ,若：lim 0(为常数），λλ→+∞=>n n np 则有：2lim ()(1),0,1,2,...!（）λ--→+∞==-==k kk n knn e P X k C p p k n k泊松分布X ～P(λ)设随机变量X 所以可能取的值为0,1,2,…,而取各个值的概率为{}!λλ-===k k e p P X k k ,k=0,1,2,……其中λ>0是常数,则称X 服从参数为λ的泊松分布,记为X ～P(λ) 泊松分布的应用：某一时段时段内某一事件所发生的次数 第二节 非离散型随机变量:非离散型随机变量取任一指定点的实数值的概率都等于01.分布函数：设X 是一个随机变量,x 是任意实数,函数F(x)=P{X ≤x}，(,)∈-∞+∞x 称为X 的分布函数 对于任意实数1x ,2x (1x <2x ),有122121{}{}{}()()<≤=≤-<=-P x X x P X x P X x F x F x随机变量的分布函数：定义:设X 是一个随机变量,对于任意实数x,令{}(),=≤-∞<<+∞F x P X x x 称()F x 为随机变量的概率分布函数,简称分布函数.利用分布函数()=X f x 求各种随机事件的概率： 1.{}()≤=P X a F a2.{}{}11()>=-≤=-P X a P X a F a3. {}(0)lim ()-→<=-=x aP X a F a F a 4. {}{}11(0)≥=-<=--P X a P X a F a5. {}{}{}()(0)==≤-<=--P X a P X a P X a F a F a6. {}{}{}()()<≤=≤-≤=-P a X b P X b P X a F b F a7. {}{}{}(0)(0)≤<=<-<=---P a X b P X b P X a F b F a8. {}{}{}(0)()<<=<-≤=--P a X b P X b P X a F b F a 9.{}{}{}()(0)≤≤=≤-<=--P a X b P X b P X a F b F a2. 分布函数的基本性质： 1) 非负性：0()1≤≤F x2) 规范性：()lim ()0,()lim ()1→-∞→+∞-∞==+∞==x x F F x F F x3) 单调不减性：对任意1212,()()<≤x x F x F x (函的的单调性判断可通过求导：导数大0,增,小于0,减) 4) 右连续性：()(0)lim ()()+→=+=+=x F x F x F x x F x性质2.4可用来确定分布函数中的未知参数.(只要分布函数含有未知参数,就用这两条来推得) 1.2.3.4是一个函数能够成为某一随机变量分布函数的充要条件.(4条共用以判定是否为分布函数)已知X 的分布函数F(x),可求出：{}{}{}()()()1()≤=<≤=->=-P X b F b P a X b F b F a P X b F b第三节 连续型随机变量1. 连续型随机变量及其概率密度定义：若对于随机变量X 的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使对于任意实数x 有()()-∞=⎰xF x f t dt,则称X 为连续型随机变量, 概率密度的性质：1.f(x)≥0,(-∞≤≤+∞x )(非负性)2.()1∞-∞=⎰f x dx (规范性)(作用：可用来定义未知参数)(介于()=y f x 与X 轴之间在面积等G .)(1.2是判断一个函数是否是密度函数的充要条件) 3.{}()()(),<≤=-=≤⎰ba P a Xb F b F a f x dx a b(作用：求概率)(落在区间(a.b ］的概率是曲边梯形的积) (不论区间开闭,都一样,离散型无这性质) 4.分布函数()()-∞=⎰x F x f t dt是连续函数.5.连续型随机变量在任意点0x 取值概率0{}0==P X x6.若f(x)在点x 处连续,则有F ′(x)=f(x)(结合变上限积分的求导法则()*()()()-∞'==⎰xf x f t dtF x )(可用于已知分段函数求概率密度) 注意： 1.()()-∞=⎰x F t f t dt()F t 一定连续,但()f t 不一定连续.2. 0()1≤≤F x ()f x 不是概率,概率密度.()∆f x x 是概率.3. ()f x 大小可以反映概率的大小.当()f x 为分段函数时,F(x)也是分段函数,二者有相同的分段点. 均匀分布~(a,b)X U密度函数 1,,()0,其它⎧≤≤⎪-⎨⎪⎩a xb f x b a~(a,b)X U ,≤<≤a c d b ,则()-<<=-d c P c x d b a分布函数0,F(),,0,其它<⎧⎪-⎪≤≤⎨-⎪⎪⎩x a x a x a x b b a指数分布~()λX E密度函数 ,0(),0,0λλ-⎧>=⎨≤⎩x e x f x x分布函数1,0(),0,0λ-⎧->=⎨≤⎩x e x F x x正态分布2~(,)μσX N )密度函数22()21(),,2μσπσ--=-∞<<∞x f x ex标准正态~(0,1)X N概率密度 ()ϕx =2212πx e ,(-∞<<∞x )分布函数()Φx =2212π-∞⎰t xe dt (-∞<<∞x )正态分布曲线的性质：a) 曲线关于直线=x u 对称.对于任何0>h ,有：{}{},-<≤=≤<+P u h X u P u X u hb) 当=x u 取到最大值的时候,1(),2πσ=f u 在σ=±x u 处,曲线有拐点,曲线以x 轴为渐近线.c) 当σ取定,12<u u 时,212222()21()221()21()2μσμσπσπσ----==x x f x ef x e两条曲线可互相沿着X 轴平行移动而得,不改变形状,可见正太分布典线的位置完全由u 决定.d) 当u 取定,12σσ<时,221222()231()2421()21()2μσμσπσπσ----==x x f x ef x e可见,当σ越小,图形越尖锐.σ越大,图形越平缓,可见σ值刻画了正态随机变量取值的分散程度,σ越小分散程度越小,σ越大分散程度越大.其分布函数为：22()21()2μσπσ--=-∞⎰t x F x e dt()ϕx 的图形关于Y 轴对称.()ϕx 在x ＝0时取得最大值12π.特例：2()-∞=-∞⎰x F x e dx (2=tx )222()()22()212212πππ---∞∞⇒⇒-∞-∞∞⇒⇒-∞⎰⎰⎰t t t ted e dte dt标准正态分布函数的性质： a) ()1()Φ-=-Φx x b) ()()ϕϕ-=x x c)1(0)2Φ=d) {}2()1≤=Φ-P X a a 解决正态分布的步骤：1) 正态标准化. 一般分布：X ～N(μ,2σ)通过线性变换：σ-=x uz 化成标准正态.2) 利用标准正态的对称性 3) 查表计算引理：若X ～N(μ,2σ),其分布函数为F(x),则： 1.{}()()σ-=≤=Φx uF x P X x (从一般正态到标准正态)2.{}{}{}{}()()σσ<≤=≤≤=≤<--=<<=Φ-ΦP a X b P a X b P a X b b ua uP a X b3. {}{}1()σ->=≥=-Φa uP X a P X a第四节 随机变量函数的概率分布1. 离散型随机变量函数的概率分布概率对应 顺序重排2. 连续型随机变量函数的概率分布其概率密度为 '[()](),(),0,其他αβ⎧<<⎪=⎨⎪⎩X Y f h y h y y f y()h y 是根据()=Y g x 所求得的反函数()=x h y()'h y 是对反函数求导。
《概率论与数理统计》第2章 随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布
注 意 点 (2)
第11页
对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
23 April 2012
第二章 随机变量及其分布
例2.2.1 已知 X 的分布列如下：
0,
x 0, x 0.
求 (1) 常数 k. (2) F(x).
解：
(1) k =3.
(2)
1 e3x , x 0,
F(x) 0,
x 0.
23 April 2012
第20页
第二章 随机变量及其分布
第21页
例2.2.4
1 x,
设
X
~
p(
x)
1
x,
0,
1 x 0 0 x1
其它
第二章 随机变量及其分布
第8页
2.2.1 离散随机变量的分布列
设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，……
称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列. 分布列也可用表格形式表示：
X x1 x2 …… xn …… P p1 p2 …… pn ……
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第二章 随机变量及其分布 y
第35页
O
μ
x
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第二章 随机变量及其分布
第36页
正态分布的性质
(1) p(x) 关于 是对称的. 在 点 p(x) 取得最大值.
p(x)
σ 小
(2) 若 固定, 改变,
p(x)左右移动,
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第十讲 随机变量及其分布 § 常用离散型分布 Remark 讨论常用分布的目的及常用分布的类型 §2.4§2.5常用离散型分布（中讨论)常用分布常用连续型分布（中讨论）
2.4.1 二项分布(以n重伯努利试验为背景的分布) 1. 二项分布的定义与记号 记 X“n重伯努利试验中A发生(即‘成功’)的次数”， 则X为离散型..VR，其可能值为n,,2,1,0.且由事件的独立性可得 nkppCkXPknkkn,,2,1,0,)1()(. 其中)(APp,满足10p.基于这种试验的背景，可以给出二项分布的定义与记号如下： 若..VRX的分布列为 nkppCkXPknkkn,,2,1,0,)1()(,
则称X服从参数为pn,的二项分布（因其形式而得名），记为~Xb),(pn.
Remarks )i容易验证二项分布的分布列满足非负性，正则性. .93.P )ii实际中二项分布的例子：.93.P ☆检查不合格品率为p的一批产品中的10件，其中不合格品数~Xb),10(p；
☆随机调查色盲率为p的任意50个人中的色盲人数~Yb),50(p； ☆命中率为p的射手5次射击中命中次数~Zb),5(p. 2. 利用二项分布的分布列计算概率 例2.4.1 (题目叙述没有区分患者与健康者！换讲.101.P习题的第2题) 一条自动化生产线上产品一级品率为，检查5件，求至少有2件一级品的概率. 解 记 X=“抽检5件产品中一级品的件数”，
则依题意可知~Xb)8.0,5(，于是 (P抽检5件中至少有2件是一级品) 540011
55
21210110.810.80.810.80.99328PXPXPXPXCC
例2.4.2 已知~Xb),2(p，~Yb),3(p，若519PX，求1PY.
解 由~Xb),2(p及519PX，得 54011199PXPX， 即 94)1(2002ppC， 解之得 31p 或 34p(舍去), 于是~Yb)31,3(，所以 0303
1119110113327PYPYC
.
3. 二点分布(二项分布的特殊情形) 1n的二项分布),1(pb称为二点分布，或称0-1 分布，易见，
若..VRX的分布为二点分布),1(pb，则其分布列为 1,0,)1()(1xppxXPxx. 表格列示就是 X 0 1 P p1 p
Remark (回到n重伯努利试验背景下，探讨二项分布与二点分布的有用关系.)记 X“n重伯努利试验中‘成功’的次数”， 则~,Xbnp；又记
iX"n重伯努利试验中第i次试验'成功'的次数"，
则 ~1,,1,2,,,iXbpin
易见1,2,,nXXX相互独立(..VR的独立性第三章中讨论)，且
1niiXX. 这结果表明：服从二项分布),(pnb的..VR是n个独立的二点分布 ),1(pb的..VR之和. 4. 二项分布的期望与方差 若..VR~,Xbnp，则EXnp，1DXnpp. Proof 由~,Xbnp，得 1,0,1,,nkkknPXkCPpkn
于是 nkkXkPEX0)(
nkknkknppkC1)1( nkknkknppkCnp1)1()1(11
1)1(
1)]1([nppnp
np. 又
nknppnnkXPkXE0222)1()()(， 于是 )1()()1()()(2222pnpnpnppnnEXXEDX. Remarks )i若X～),1(pb，则)1(,ppDXpEX.
)iin一定时，对服从二项分布),(pnb的..VRX取k的概率，即
)(kXP变化特点的描述：如..VRX～),10(pb，p分别取8.0,5.0,2.0时，)(kXP的变化特点是 1) )(kXP的峰值出现在接近np的k值处； 2) )(kXP的峰值随p的增大而右移. 教材.95.P有相应的图形揭示. 例2.4.3 (自学) 2.4.2泊松分布 1.泊松分布定义与记号 若..VRX的分布列为
,2,1,0,!)(kekkXPk
.
其中0，则称X服从参数为的泊松分布，记为X～)(P. Remarks )i泊松分布的分布列满足非负性和正则性.
)ii一本书中的出错处数是服从泊松分布的；其它服从泊松分布的
实例..96.P 2. 泊松分布的期望与方差 若X～)(P，则DXEX.(参数既是期望也是方差！) Proof .9796.P Remarks )i若X～)(P，则DXEX.记住这个结论是主要的，其证明
看过即可. )ii对服从泊松分布)(P的..VRX取k的概率，即)(kXP变化特点
的描述： 如..VRX～)(P，分别取0.4,0.2,8.0时，)(kXP的变化特点是 1) )(kXP的峰值出现在接近的k值处； 2) )(kXP的分布随的增大趋于对称. 教材.97.P有相应的图形揭示. 3. 泊松分布应用例 例2.4.4 一个铸件上的砂眼(缺陷)数服从参数为5.0的泊松分布，试求此铸件上至多有1个砂眼(合格品)的概率和至少有2个砂眼(不合格品)的概率. 解 记 X=“该铸件上的砂眼数”， 则X～)5.0(P，于是 (P铸件合格)=910.0)1(XP. (用1,5.0k查.421.P的泊松分布表) 从而 (P铸件不合格)=09.0910.01)1(1XP. 例2.4.5 .98.P(自学) 4. 二项分布的泊松分布近似 Remark 问题：二项分布概率计算在n较大时计算量很大，如何处理 解决方法：转为泊松分布作近似计算. 理论依据：泊松定理. 定理2.4.1（泊松定理） 若..VR~,Xbnp,则当n充分大，且p足够小时，则有
()(1)!kkknknPXkppekC， 其中np. Proof .98.P (略) Remarks )i使用泊松定理对二项分布有关概率作近似计算的条件不是很明确，其实想用都可用，如果n不是很大，p不是很小时，也用这种近似计算，不是不可以，只是近似的效果不好而已. )ii对不同的n、p值，利用定理2.4.1的近似效果揭示. 见.99.P表泊松定理应用例 例2.4.6 已知某种疾病的发病率为，某单位共有5000人，求该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率. 解 设 X=“该单位患此病的人数”， 则X~)001.0,5000(b，于是 (P该单位5000人患此病的人数不超5人)
)5(XP
5050005000)001.01(001.0kkkkC
，
这里n=5000较大，p=也是足够小，于是，由泊松定理可取 5001.05000np，
做近似计算，所求概率为
616.0!5)5(50kkkXP.
最后一步用5,5k查.476.P的泊松分布表得到. 例2.4.7 有10000名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险，每个投保人在每年初需交纳200元保费，而在这一年中若投保人意外死亡则受益人可从保险公司获得100 000元的赔偿.据生命表知这类人的年死亡率为.试求保险公司在这项业务上 (1)亏本的概率； (2)至少获利500 000元的概率. 解 记 X=“10 000名投保人中在一年内死亡的人数”， 则X~b(10000,，又保费收入为 10000200200万元
(1)易见，事件
“亏本”=“10200X”=“20X”, 这里n=10000已充分大，p=也是足够小.于是，由泊松定理可取 10001.010000np，
做近似计算，所求概率为 )20()(XPP亏本
002.0998.01!101)20(1200kkkXP. 其中，倒数第二步用20,10k查.476.P的泊松分布表得到. (2)注意到，事件