【高考数学】2018-2019学年高三理科数学二轮复习：专题二高考解答题专讲(二) 三角函数与解三角形-含解析
专题二 三角函数、平面向量
高考解答题专讲(二) 三角函数与解三角形
一、三角变换与三角函数的性质
1．三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三
方面进行差异分析，常用的技巧有：切化弦、降幂、用三角公式转化
出特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次等．
2．研究三角函数的值域、最值、周期、单调性等性质，首先要
将函数解析式化为标准形式，再结合图形求解．
【例1】 (2017·黄冈中学模拟)已知函数f(x)＝23sinωxcosωx
＋2cos
2
ωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图
象，求当x∈0，π2时，函数g(x)的最大值．
高中数学理科专题讲解高考大题专项(二)《三角函数与解三角形》教学课件
典例剖析
典例剖析
解题心得在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,可直接将等式两边的边化为角;也能利用余弦定理的变形如 将角化为边.在三角形中利用三角变换求三角式的值时,要注意角的范围的限制.
典例剖析
解:(1)在△ABD中,∵∠DAC=75°,∠CAB=45°,∴∠DAB=120°.又∠DBA=30°,∴∠ADB=30°,∴△ABD为等腰三角形,∴AB=AD=50 m.由余弦定理可得BD2=502+502-2×50×50cos 120°=3×502,∴BD=50 m.△ABC中,∠CAB=45°,∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+75°=105°,∴∠ACB=30°,
典例剖析
2.三角恒等变换和解三角形的结合,一般有两种类型:一是先利用三角函数的平方关系、和角公式等求符合正弦定理、余弦定理中的边与角,再利用正弦定理、余弦定理求值;二是先利用正弦定理、余弦定理确定三角形的边与角,再代入到三角恒等变换中求值.具体解题步骤如下:第一步,利用正(余)弦定理进行边角转化;第二步,利用三角恒等变换求边与角;第三步,代入数据求值;第四步,查看关键点、易错点.3.解三角形的问题总体思路就是转化思想和消元,要注重正弦定理、余弦定理多种表达形式及公式的灵活应用.
典例剖析
典例剖析
典例剖析
1.在历年的高考试题中,三角中的解答题一般考查简单三角函数式的恒等变形、解三角形,有时也考查正弦定理、余弦定理的实际应用.特别是涉及解三角形的问题,经常出现的题型有:正弦定理、余弦定理与三角变换的综合;正弦定理、余弦定理与三角形面积的综合;正弦定理、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合.把握住高考命题规律,有针对性的训练是提高成绩的有效措施.
【高考数学】2018-2019学年高三高考数学二轮复习专题训练+08+Word版含答案
7、已知函数 ， 。
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值。
解：（1） ，
因此，函数 的最小正周期为 。
（2）因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又 ， ， ，
故函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 。
8、已知 ， 。
求 和 的值。
解：由 得 ，解得 或 ，
。
（2） ， ，
且 ， ，即实数 的取值范围是 。
12、已知函数 。
（1）求 的最小正周期和最小值；
（2）已知 ， ，求证： 。
解析：（1）∵
，
∴ 的最小正周期是 ，当 ，
即 时，函数取得最小值-2。
（2） ， ，
，
，
，
，
，
所以，结论成立。
解析：（1）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ，
由 为锐角三角形得 。
（2）根据余弦定理，得 。所以， 。
（3）
。
由 为锐角三角形知， ， ， ，
所以 ，由此有 ，所以 的取值范围为 。
11、已知函数 ， 。
（1）求 的最大值和最小值；
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围。
解：（1） 。
又 ， ，即 ，
由已知 ，故舍去 ，得 。
因此，
那么 且
故
9、在 中， ， ， 。
（1）求 的值；
（2）求 的值。
解：（1）由余弦定理，
那么，
（2）解：由 ，且 得
由正弦定理， ，解得 ，所以 ，
由倍角公式得 ，且 ，
故 。
10、设锐角 的内角 的对边分别为 ， 。
（1）求 的大小；
《金版教程》2018-2019高考数学(理)二轮复习 专题整合突破课件：1-2-3平面向量(选择、填空题型)
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[必记公式] 1．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 x y －x y ＝0 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔ 1 2 2 1 (2)a⊥b⇔a· b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0 . 2．向量的夹角公式 ；
[解析] 因为 B、E、P 三点共线， → → → → 1－ λ → 所以AP＝λAB＋(1－λ)AE＝λAB＋ AC，① 3 又因为 D、C、P 三点共线，同理可得 → → → μ→ → AP＝μAD＋(1－μ)AC＝ AB＋(1－μ)AC，② 2 μ＝λ λ＝2 2 5 ①、②两式对应相等可得 ，解得 4 1－ λ μ＝5 3 ＝1－μ
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平面向量的概念及线性运算
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例1 于( )
→ → → (1)[2015· 山西质量监测]已知 O，A，B，C 为同一平面内的四个点，若 2AC＋CB＝0，则向量OC等 1→ 2→ B．－ OA＋ OB 3 3 → → D．－OA＋2OB
→ → → (3)已知 P 为△ABC 所在的平面内一点，满足PA＋PB＋3PC＝0，△ABC 的面积为 2015，则△ABP 的面 1209 积为________ ．
[解析] → → → ∵PA＋PB＋3PC＝0，
→ → → ∴PA＋PB＝－3PC. → → 设 AB 的中点为 D，则 2PD＝－3PC， PC 2 ∴P、D、C 三点共线且满足 ＝ ， PD 3 3 3 ∴S△ABP＝ S△ABC＝ ×2015＝1209. 5 5
2023年高考数学二轮复习讲练测 (新高考) 专题02 正余弦定理在解三角形
专题02 正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题【命题规律】解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．【核心考点目录】核心考点一：倍长定比分线模型 核心考点二：倍角定理 核心考点三：角平分线模型 核心考点四：隐圆问题核心考点五：正切比值与和差问题 核心考点六：四边形定值和最值 核心考点七：边角特殊，构建坐标系核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 核心考点九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范围【真题回归】1．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________．2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==． （1）求ABC 的面积；（2）若sin sin A C =b ．3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． （1）若2A B =，求C ； （2）证明：2222a b c =+4．（2022·全国·高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos sin21sin1cos2A BA B=++．（1）若23Cπ=，求B；（2）求222a bc+的最小值．【方法技巧与总结】1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin222S ab C ac B bc A===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．【核心考点】核心考点一：倍长定比分线模型【规律方法】如图，若P 在边BC 上，且满足PC BP λ=，AP m =，则延长AP 至D ，使PD AP λ=，连接CD ，易知AB ∥DC ，且DC c λ=，(1)AD AP λ=+．180BAC ACD ∠+∠=︒．【典型例题】例1．（2022·福建·厦门双十中学高三期中）如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若2AC =，3AB =，则||AP 的值为（ ）A B C D例2．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.例3．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）设a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，AD 为BC 边上的中线，c ＝1，23BAC π∠=，12sin cos sin sin sin 2c A B a A b B b C =-+．(1)求AD 的长度；(2)若E 为AB 上靠近B 的四等分点，G 为ABC 的重心，连接EG 并延长与AC 交于点F ，求AF 的长度．例4．（2022·广西柳州·高三阶段练习（文））已知2()sin cos f x x x x =，将()f x 的图象向右平移π0<<2ϕϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭单位后，得到()g x 的图象，且()g x 的图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称．(1)求ϕ；(2)若ABC 的角,,A B C 所对的边依次为,,a b c ，且182A g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，=1,=2b c ，若点D 为BC 边靠近C 的三等分点，试求AD 的长度．例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，D 为BC 上靠近点C 的三等分点，且1AD CD ==．记ABC 的面积为S ．(1)若sin 2sin C B =，求S ； (2)求S 的取值范围．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知a ，b ，c 分别是ABC 内角A ，B ，C 所对的边，且满足1cos 2c A b a =-，若P 为边AB 上靠近A 的三等分点，1CP =，求：（1）求C 的值； （2）求2+a b 的最大值．例7．（2022·全国·高三专题练习）在①ANBN=AMN S =△AC AM =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，c =8，点M ，N 是BC 边上的两个三等分点，3BC BM =，___________，求AM 的长和ABC 外接圆半径.例8．（2022·湖北·高三期中）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()sin sin()a c A a B C -=-，b =(1)求角B ；(2)若AC 边上的点D 满足2CD DA =，BD =ABC 的面积．核心考点二：倍角定理 【规律方法】例9．（2022·广西·灵山县新洲中学高三阶段练习（文））在锐角ABC 中，角A B C ，，所对的边为a b c ，，，且()cos 1cos a B b A ⋅=+.(1)证明:2A B =(2)若2b =，求a 的取值范围.例10．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 是ABC 的面积,()222sin SB C a c +=-．(1)证明：A ＝2C ；(2)若a ＝2，且ABC 为锐角三角形，求b ＋2c 的取值范围．例11．（2022·福建龙岩·高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22sin sin sin sin B C A C -=．(1)证明：2B C =；(2)若A 是钝角，2a =，求ABC 面积的取值范围．例12．（2022·江苏·宝应中学高三阶段练习）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值.例13．（2022·江苏连云港·高三期中）在ABC 中，AB ＝4，AC ＝3． (1)若1cos 4C =-，求ABC 的面积；(2)若A ＝2B ，求BC 的长．例14．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()22sin sin sin sin A B B A B -=+.(1)证明：2A B =. (2)求bc 的取值范围.核心考点三：角平分线模型 【规律方法】斯库顿定理：如图，AD 是ABC △的角平分线，则2·AD AB AC BD DC =⋅-，可记忆：中方=上积一下积．【典型例题】例15．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）ABC 中，2AB =，1AC =，BD BC λ=，()0,1λ∈. (1)若120BAC ∠=︒，12λ=，求AD 的长度； (2)若AD 为角平分线，且1AD =，求ABC 的面积.例16．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）在锐角ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足cos cos cos c a bC A B+=+ (1)求角C 的大小；(2)若c =A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围.例17．（2022·江苏泰州·高三期中）在①sin (cos cos )sin sin sin C a B b A a B a A b B +-=+；②22sin sin cos cos B A B B A A -=两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a b ， ．(1)求角C 的大小；(2)若∠ACB 的角平分线CD 交线段AB 于点D ，且4,4CD BD AD ==，求△ABC 的面积．例18．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知向量()3sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =-，函数()32f x a b =⋅+． (1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ACB 的角平分线交AB 于点D ，若()f C 恰好为函数()f x 的最大值，且此时()CD f C =，求3a ＋4b 的最小值．例19．（2022·河北·高三阶段练习）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中=4a ，=3b . (1)若点D 为AB 的中点且=2CD ，求ACB ∠的余弦值；(2)若ACB ∠的角平分线与AB 相交于点E ，当c CE ⨯取得最大值时，求CE 的长.例20．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．在①cos cos2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅△；③tan tan tan A C A C +=这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答． (1)求角B 的大小；(2)若角B 的内角平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值．例21．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ， 内角A 的角平分线交边BC 于D 点， 且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=， 则ABC 面积的最小值是（ ）A ．16B ．C ．64D ．核心考点四：隐圆问题 【规律方法】若三角形中出现(1)b a λλ=>，且c 为定值，则点C 位于阿波罗尼斯圆上．【典型例题】例22．（2022·全国·高三专题练习（文））阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数()0,1λλλ>≠的动点的轨迹．已知在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin A B =，cos cos 3a B b A +=，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．3B ．C ．6D ．例23．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）AB C ．43D ．53例24．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，BC 的长为______.例25．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值λ（0,1λλ>≠）的动点的轨迹.已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 2sin ,A B =cos cos 2,a B b A +=则ABC 面积的最大值为__________．例26．（2022·全国·高三专题练习）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有ABC ∆，4,sin 2sin AC C A ==，则当ABC ∆的面积最大时，AC 边上的高为_______________.核心考点五：正切比值与和差问题 【规律方法】例27．（2022·江苏南通·高三期中）在ABC 中，点D 在边BC 上，且AD BD =，记BDCDλ=. (1)当13λ=，π3ADB ∠=，求ABAC ；(2)若tan 2tan BAC B ∠=，求λ的值.例28．（2022·河南焦作·高三期中（文））在锐角ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，2b =，且ABC 的面积2S =．(1)若4sin 5A =，求a ； (2)求tan B 的最大值．例29．（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（理））已知在ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，且222b a c ac =+-，1b =(1)若)tan tan 1tan tan A C A C -=+，求边c 的值； (2)若2a c =，求ABC 的面积．例30．（2022·江西赣州·高三期中（理））在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)a c BA BC cCB CA -⋅=⋅．(1)求角B 的大小； (2)若tan tan 4tan tan B B A C+=，求sin sin AC 的值．例31．（2022·湖南·高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 满足22222a b c +=且90B ≠︒． (1)求证：tan 3tan C A =； (2)求111tan tan tan A B C++的最小值．例32．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222tan tan tan a b c A B Cλλ+=>（1）. (1)当,14A a π==，2λ=时，求c 的值；(2)判断ABC 的形状.例33．（2022·湖北·高三开学考试）在ABC 中，内角,,A B C 满足2222sin sin 2sin A B C +=. (1)求证：tan 3tan C A =； (2)求123tan tan tan A B C++最小值.例34．（2022·江苏南京·高三开学考试）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222222a b a b c c ab -+-=. (1)若4C π=，求A ，B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，求2cos ab B的取值范围.例35．（2022·全国·高三专题练习）已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量(,sin )m a b C =-，(3,sin sin )n c b A B =-+，(0)m n λλ=≠，则1tan 24b Cc +的最小值为（ ）A B ．C D例36．（2022·山西吕梁·高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22222a c b +=，则tan tan BC=______．例37．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若113tan tan sin B C bc A+=⋅，且()1sin sin 2C B A -=，则22c b -=__________．核心考点六：四边形定值和最值 【规律方法】正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅，当且仅当四边形ABCD 四点共圆时，等号成立．【典型例题】例38．（2022·甘肃·兰州西北中学高三期中（理））在四边形ABCD 中，2,3AB BC CD AD ====，则四边形ABCD 面积的最大值为______.例39．（2022·江苏无锡·高三期中）如图，在平面四边形ABCD 中，cos AB BD ABD =∠．(1)判断ABD △的形状并证明；(2)若AB =，BC =，12BC =，求四边形ABCD 的对角线AC 的最大值．例40．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在平面四边形ABCD 中，20AB AD ==，π3BAD ∠=，2π3BCD ∠=．(1)若5π12ABC ∠=，求BC 的长； (2)求四边形ABCD 周长的最大值．例41．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习）已知函数()((1sin cos 1sin cos f x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-⋅-⎣⎦⎣⎦.(1)求()f x 的最小正周期T 和单调递减区间；(2)四边形ABCD 内接于⊙O ，BD =2，锐角A 满足314A f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求四边形ABCD 面积S 的取值范围.例42．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）如图，在平面凹四边形ABCD 中，=2AB ，=3BC ，60B ∠=︒.(1)若sin sin AD A CD C =且=1AD ，求凹四边形ABCD 的面积； (2)若120ADC ∠=︒，求凹四边形ABCD 的面积的最小值.例43．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，()090BAD BCD θθ∠=∠=<<，6AB BC +=.(1)若=2BC AB ，75θ=，求对角线AC 的长；(2)当AD CD =，=3BC 时，求平面四边形ABCD 的面积的最大值及此时θ的值.例44．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设()()cos sin f x x x ϕ=--，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，已知03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最小值；(2)已知凸四边形ABCD 中，()114,7AB AC AD f A ====，求ABCD 面积的最大值.核心考点七：边角特殊，构建坐标系 【规律方法】利用坐标法求出轨迹方程 【典型例题】例45．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2a +2228b c +=，则ABC △的面积的最大值为______．【解析】:方法1:如图，在ABC ∆中，以线段AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则,02c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02c B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(,)C x y ，得222c x y ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦222822c x y c ⎡⎤⎛⎫++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得222544x y c +=-，当ABC ∆面积最大时0x =，故12ABC S c ∆=⨯=285c =时，ABC ∆.方法2:如图，设AD x =，BD y =，CD h =，由22228a b c ++=，得()()22222(h y h x x +++++2)8y =，即222222()8h x y x y ++++=，又2222x yx y ++222()(2x y x y ++当且仅当x y =时取等号)，所以2252()82h x y ++，又1()2ABC S x y h x∆=+=+22y =⨯1)2x y⎤+=⎥⎦15)25x y⎤+⨯⨯⎥⎦2252()25225h x y++(当且仅当)x y+=时，等号成立，即h，将h=与x y=代人222222()8h x y x y++++=中，得x y==⎭.所以ABC∆.方法3:由三角形面积公式，得1sin2ABCS ab C∆=，即()222222211sin1cos44ABCS a b C a b C∆==-，由22228a b c++=，得22282a b c+=-，由余弦定理，得283cos2cCab-=，所以()222222211sin1cos44ABCS a b C a b C∆==-=()22222222831831142416cca b a bab⎡⎤-⎛⎫-⎢⎥⋅-=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()2222242835161616a b c cc+--=-+(当且仅当a b=时取等号)，当285c=时，42516cc-+，取得最大值45，即245ABCS∆，所以ABC∆面积的最大值为(也可以用基本不等式求2ABCS∆的最大值，即42516ABCcS∆=-+()2225165145165c cc-=⋅，所以ABC∆).方法4:在ABC∆中，由余弦定理，得2222cosc a b ab C=+-，由22228a b c++=，得()222222cos8a b a b ab C+++-=，即()22384cosa b ab C+=+，又222a b ab+，所以84cos6ab C ab+，即(32cos)4ab C-，故432cosabC-，又1sin2ABCS ab C∆=，所以2sin32cosABCCSC∆-，令2sin()32cosxf xx=-，(0,)xπ∈，得26cos4()(32cos)xf xx-'=-，令6cos40x-=，得2cos3x=，即当2cos3x=时，sin x=ABC∆.例46．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a b==ABC△所在的平面内存在点M ，使得2223MA MB MC +==3，则ABC △的面积的最大值为______．【解析】:以AB 所在直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,0)A m -，(,0)B m ，(0,)C n ，(,)M x y ，0m >，0n >.由223MA MB +=，得2222()()3x m y x m y +++-+=，即22232x y m +=-①，又21MC =，故22()1x y n +-=②，其中①式可以看作以(0，0)的圆的轨迹方程，②式可以看作以(0,)n 为圆心，半径为1的圆的轨迹方程，由题意知两圆有公共点，即点M ，则2311(3)2n m -③，又a b =得223m n +=④，由③，④得223016m <，因为ABC S mn ∆=，所以()22223ABCSm n m∆==-，2223924m m ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，当22316m =时，2ABC S ∆取得最大值575256，故BC S ∆的最大值核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 【规律方法】与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．【典型例题】例47．（2022·重庆一中高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足()22sin cos cos B A C B =-+.(1)证明：a ，b ，c 成等比数列；(2)若a c >且22252a cb +=，ABC ABC 的周长.例48．（2022·山东聊城·高三期中）已知ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且2b a =，3c =． (1)若2π3C =，求ABC 的面积； (2)若2sin sin 1B A -=，求ABC 的周长．例49．（2022·山西·高三阶段练习）在①cos sin c A C =；②()(sin sin )()sin a b A B c C -+=-；③3cos cos b A a B c +=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足___________． (1)求角A 的大小；(2)若D 为线段CB 延长线上的一点，且2,CB BD AD AC ===，求ABC 的面积．例50．（2022·云南云南·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(cos sin )b c A A =-.(1)求角C ；(2)若c =，D 为边BC 的中点，ADC △的面积1S =且B A >，求AD 的长度.例51．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））如图，△ABC 中，点D 为边BC 上一点，且满足AD CDAB BC=．(1)证明：πBAC DAC ∠+∠=；(2)若AB ＝2，AC ＝1，BC =ABD 的面积．核心考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围 【规律方法】对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．【典型例题】例52．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.例53．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知向量()cos ,sin a x x =，()3sin ,sin =b x x ，函数()12=⋅-f x a b ．将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图像．(1)求函数()g x 的零点；(2)若锐角ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别是a ，b ，c ，且()1f A =，求b ca+的取值范围．例54．（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数()()πsin cos sin π2f x x x x x m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．(1)在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数m 的值唯一确定，并求出使函数()f x 在区间[]0,a 上最小值为12-时，a 的取值范围；条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：()f x 的一条对称轴为π3x =．(2)若12m =-，在锐角ABC 中，若()1f A =，且能盖住ABC 的最小圆的面积为π，求+AB AC 的取值范围．例55．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin sin cos a A A B b B =+，且ab ．(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 面积的取值范围．例56．（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）在,ABC 中内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,.a b c 已知22cos 2sin sin 12A B A B -⎛⎫-= ⎪⎝⎭ (1)求角C 的大小. (2)若1c =，求ABCS 的最大值.例57．（2022·山东·日照市教育科学研究中心高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 满足3BD BC =，且0AD AC ⋅=． (1)若b ＝c ，求A 的值； (2)求B 的最大值．例58．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知()()22232cos b c b c a abc C -+-=．(1)求tan A ；(2)若b c +=ABC 面积的最大值．例59．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）在①πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②S BA CA =⋅；③tan (2)tan c A b c C =-.三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.在ABC 中，内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，ABC 的面积为S ，且满足___________ (1)求A 的大小；(2)设ABC 的面积为D 在边BC 上，且2BD DC =，求AD 的最小值.【新题速递】一、单选题1．（2022·河南驻马店·高三期中（文））在ABC 中，已知30B =︒，1b =，则AB AC ⋅的最小值为（ ） A ．-1B ．14-C ．13-D ．12-2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin a b A B c C B +-=+，若角A 的内角平分线AD 的长为3，则4b c +的最小值为（ ）A ．21B ．24C ．27D ．363．（2022·山西·高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．点D 为BC 的中点，π1,3AD B ==，且ABC c =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2022·山东菏泽·高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c --=，则ABC 外接圆面积与ABC 面积之比的最小值为（ ）．A B C D5．（2022·湖北·高三期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c tan tan A B =+，下列结论正确的是（ ） A ．6A π=B ．当2a =，4c =时，ABC 的面积为C ．若AD 是BAC ∠的角平分线，且AD =112b c+=D ．当b c -=ABC 为直角三角形6．（2022·贵州·模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是边AB 上一点，CD 平分ACB ∠，且CD =cos cos 2cos a B b A c C +=，则2a b +的最小值是（ ）A ．4+B ．6C ．3+D ．47．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 是锐角三角形，且满足()()0b a a b ac -+-=，若△ABC 的面积2S =，则()()c a b c b a +-+-的取值范围是（ ）A ．()88， B ．()0,8C ．⎝D ．8）8．（2022·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知O 是三角形ABC 的外心，若()2AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=m 的最大值为（ ） A ．6 B ．65C ．145D ．3二、多选题9．（2022·江苏南通·高三期中）在圆O 的内接四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4CD DA ==，则（ ）A ．27BD =B ．四边形ABCD 的面积为C ．12AO BD ⋅=D ．16AC BD ⋅=10．（2022·江苏淮安·高三期中）在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若2228a b c ++=，则下列四个选项中哪些值可以作为三角形的面积（ ）AB C D 11．（2022·湖北·高三阶段练习）已知ABC 外接圆的面积为π，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，设ABC 的周长和面积分别为P ，S ，则（ ）A ．π03B <≤B ．0b <≤C ．0P <≤D ．0S <≤12．（2022·山西太原·高三期中）已知,,a b c 分别是ABC 内角,,A B C 的对边，cos 0C <，且tan bB c=，则下列结论正确的是（ ） A ．06B π<<B ．sin cos 0BC +=C ．5cos cos cos (1,]4A B C ++∈D ．5cos cos cos (1,]4A B C ++∈-三、填空题13．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若2sin 3tan ,2c B a A a ==；则当角A 最大时，ABC 的面积为______.14．（2022·四川南充·高三期中（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()sin sin2B Ca A Cb ++=，且ABC 内切圆面积为4π，则ABC 周长的最小值是______． 15．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5sin()cos 06a B b A ππ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，10a =，若点M 满足25BM BC =，且MAB MBA ∠=∠，则AMC 的面积为_________________．16．（2022·全国·高三专题练习）已知A 、B 、C 、D 四点共圆，且AB ＝1，CD ＝2，AD ＝4，BC ＝5，则P A 的长度为______．四、解答题17．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 是ABC 的面积,()222sin SB C a c +=-．(1)证明：A ＝2C ；(2)若a ＝2，且ABC 为锐角三角形，求b ＋2c 的取值范围．18．（2022·河北·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足)cos cos 2sin a C c A b B +=，且c b >．(1)求角B ；(2)若b =ABC 周长的取值范围．19．（2022·湖北·高三期中）如图，在平面凹四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，120ADC ∠=，角B 满足：(1sin cos )(cossin )cos 222B B BB B ++-=．(1)求角B 的大小;(2)求凹四边形ABCD 面积的最小值．20．（2022·湖北襄阳·高三期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin()cos .B C a B c ++=(1)求角A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，且6b =，求ABC 面积的取值范围.21．（2022·湖北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2c a a b =+.(1)求证：2C A =；(2)若ABC 为锐角三角形，求sin 3sin B A +的取值范围.22．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在ABC 中，sin sin sin sin sin sin sin C B A BA B C-+=+，(1)求角C 的大小；(2)求sin 22πsin 4B B +⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围．。
2019版高考数学二轮复习第1篇专题2三角函数解三角形第3讲大题考法__解三角形课件
2．(2018·宣城二调)△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c2＝ 4absin2C．
(1)求 sin A·sin B； (2)若 A＝π6，a＝3，求 c 的大小． 解 (1)∵c2＝4absin2C， ∴由正弦定理，得 sin2C＝4sin A·sin B·sin2C， 又△ABC 中，sin C≠0，∴sin A·sin B＝14．
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
• [技法总结] 与三角形面积有关的问题的解题模型
[变式提升] 3．(2018·永州三模)在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 3cos A＋sin 2(B＋C)＝0． (1)求 A 的值； (2)若|b－c|＝ 5，△ABC 的面积为 3，求 a 的值． 解 (1)∵ 3cos A＋sin 2(B＋C)＝0， ∴ 3cos A＋sin 2(π－A)＝ 3cos A－sin 2A＝0． ∴ 3cos A－2sin Acos A＝0． 又△ABC 为锐角三角形， ∴cos A≠0，sin A＝ 23.∴A＝60°．
2019届高三(理科)数学二轮复习专题---三角函数与解三角形、平面向量、复数(学生版,答案)
2019届高三（理科）数学二轮资料专题一 三角函数、向量、解三角形、复数 2019.4一、近三年全国I 卷三角、向量、复数考点统计考点一 三角函数基本概念和公式【例1-1】如图，以Ox 为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.【例1-2】 (2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知sin α－2cos α＝102，则tan 2α等于( )A.43 B ．－34 C.34D ．－43考点二、三角函数图像与性质【例2-1】(2)(2017届安庆二模)设函数y ＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是T ，将其图象向左平移14T 后，得到的图象如图所示，则函数y ＝sin ωx (ω>0)的单调递增区间是( )内容 2016年 2017年 2018年平面向量 向量运算13 向量的模与向量的数量积13平面向量线性运算6三角函数 与解三角形 三角函数图像和性质12 解三角形17 三角函数的图像变换9 解三角形17三角函数图像和性质16 解三角形17 复数 复数运算2 命题、复数的运算3复数代数形式的四则运算、复数的模1A.⎣⎡⎦⎤7k π6－7π24，7k π6＋7π24(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤7k π3－7π24，7k π3＋7π24(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤7k π3－7π12，7k π3＋7π12(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤7k π6＋7π24，7k π6＋21π24(k ∈Z ) 【例2-2】 (2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值.考点三、三角函数恒等变换【例3-1】 (1)(2017·河北省衡水中学三调)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A ．－118 B.118 C ．－1718 D.1718【例3-2】已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6考点四、正余弦定理【例4-1】在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若(a-b )(sin A+sin B )=c (sin C+sin B ),则A= ( ) A .B .C .D .【例4-2】某游轮在A 处看灯塔B 在A 的北偏东75°的方向上,距A 12海里处,灯塔C 在A 的北偏西30°的方向上,距A 8海里处,游轮由A 处向正北方向航行到D 处时再看灯塔B 在南偏东60°的方向上,则此时灯塔C 与游轮的距离为 ( )A .20海里B .8海里C .23海里 D .24海里【例4-3】在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB ,DE =1,EC =,EA =2,∠ADC =,∠BEC =.(1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.题型五、平面向量运算【例5－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB→＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC →【例5－2】已知a ，b 均为单位向量，且(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为________.题型六、平面向量应用【例6－1】已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP→＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( ) A.13B.15C.19D.21【例6－2】.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5 AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________.题型七、三角综合问题【例7】 (2018·苏、锡、常、镇调研)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围.考点八、复数【例8-1】[2018·全国卷Ⅰ]若z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z|＝( )A ．0B .12C ．1D . 2【例8-2】已知i 是虚数单位，若复数z ＝－i ()a ＋i ()a ∈R 的实部与虚部相等，则z 的共轭复数z－＝( )A ．－1＋IB ．1＋IC ．1－ID ．－1－i【例8-3】已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(O 为坐标原点，λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4押题专练1．(2018·山东寿光一模)若角α的终边过点A (2,1)，则sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝( ) A ．－255 B ．－55 C.55 D ．2552.[2018·全国卷Ⅰ]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A (1,a ),B (2,b ),且cos 2α=,则|a-b|= ( )A .B .C .D .13.若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A ．2－iB ．2＋IC ．4－iD ．4＋i5.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则cos A（A ）31010 （B ）1010（C ）1010（D ）310106．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的射影的数量为( )A.32B.32 C ．3 D ．－327.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是( )A ．15平方米B ．12平方米C ．9平方米D ．6平方米 8.已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为( )A ． 3B ．3C ．9D ．239.(2017届山东省师大附中模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α－cos α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝_______. 10.如图所示,为测量竖直旗杆CD 的高度,在旗杆底部C 所在水平地面上选取相距4m 的两点A ,B ,在A 处测得旗杆底部C 在西偏北20°的方向上,旗杆顶部D 的仰角为60°;在B 处测得旗杆底部C 在东偏北10°的方向上,旗杆顶部D 的仰角为45°,则旗杆CD 的高度为 m .图11.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF→＝1，则λ的值为__________ 12. (2017届山东潍坊市联考)设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. (1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)(0<φ<π2)是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0,2π]上的单调递减区间.13. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且+=.(1)求B ;(2)若△ABC 的面积为,B 是钝角,求b 的最小值.14 (2017届湖北省稳派教育质量检测)已知函数f (x )＝cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＋3cos 2ωx －34(ω>0，x ∈R )，且函数y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值及f (x )的对称轴方程；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c .若f (A )＝34，sin C ＝13，a ＝3，求b 的值. 2019届高三（理科）数学二轮资料(答案)专题一 三角函数、向量、解三角形、复数 2019.4【例1-1】答案 1825解析 由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－352＝1825. 【例1-2】答案 C解析 ∵sin α－2cos α＝102， ∴sin 2α－4sin α·cos α＋4cos 2α＝52， 即1－cos 2α2－2sin 2α＋4×1＋cos 2α2＝52， 化简得4sin 2α＝3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝34，故选C.【例2-1】答案 A解析 由已知图象知，y ＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是2×7π12＝7π6，所以2πω＝7π6，解得ω＝127，所以y ＝sin127x .由2k π－π2≤127x ≤2k π＋π2得到单调递增区间是⎣⎡⎦⎤7k π6－7π24，7k π6＋7π24(k ∈Z )． 【例2-2】解 (1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 所以m 的最小值为π3.【例3-1】答案 C解析 由3cos 2α＝sin(π4－α)，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，所以sin 2α＝－1718，故选C. 【例3-2】答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4. 【例4-1】[解析] (1)∵(a-b )(sin A+sin B )=c (sin C+sin B ),∴(a-b )(a+b )=c (c+b ),∴a 2-c 2-b 2=bc ,∴由余弦定理可得cos A==-. ∵A ∈(0,π),∴A=.故选D .【例4-2】[解析] 如图所示,在△ABD 中,∠DAB=75°,∠ADB=60°,∴∠B=180°-75°-60°=45°,由正弦定理得=,∴AD===24.在△ACD 中,AD=24,AC=8,∠CAD=30°,由余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC cos 30°=242+(8)2-2×24×8×=192,∴CD=8.故选B .【例4-3】.【答案】解：（1）设α=∠CED ，在△CDE 中，由余弦定理得EC 2=CD 2+ED 2-2CD •DE cos ∠CDE ， 即7=CD 2+1+CD ，则CD 2+CD -6=0， 解得CD =2或CD =-3，（舍去）， 在△CDE 中，由正弦定理得，则sinα=，即sin ∠CED =．（2）由题设知0＜α＜，由（1）知cosα=，而∠AEB =，∴cos ∠AEB =cos （）=cos cosα+sin sinα=，在Rt △EAB 中，cos ∠AEB =，故BE =．【例5－1】答案A解析 法一 如图所示，EB→＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.法二 EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A. 【例5－2】解析：乘式展开，代入单位向量解出向量a b 数量积。
高考数学二轮复习 第二篇 专题通关攻略 专题2 三角函数及解三角形 专题能力提升练七 2.2.2 三
专题能力提升练七三角恒等变换与解三角形(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.cos15°-4sin215°cos15°=()A. B. C.1D.【解析】选D.cos 15°-4sin215°cos 15°=cos 15°-2sin 15°×2sin 15°cos 15°=cos 15°-2sin 15°sin 30°=cos 15°-sin 15°=2cos(15°+30°)=.2.(2018·永州二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若+=2a,则△ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解析】选 C.因为+=2a,所以由正弦定理可得,+=2sinA≥2=2,所以sin A=1,当=时,“=”成立,所以A=,b=c,所以△ABC是等腰直角三角形.3.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB= ( )A.4B.C.D.2【解析】选A.cos C=2cos2-1=2×-1=-,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C,得AB2=25+1-2×1×5×=32,所以AB=4.4.若向量a=,向量b=(1,sin22.5°),则a·b=( )A.2B.-2C.D.-【解析】选A.由题得a·b=tan67.5°+=tan 67.5°+=tan 67.5°-tan 22.5°=tan 67.5°-==2×=2×=2.【加固训练】(2018·会宁一中一模)已知x为锐角,=,则a的取值X围为( ) A.[-2,2] B.(1,)C.(1,2]D.(1,2)【解析】选C.由=,可得:a=sin x+cos x=2sin,又x∈,所以x+∈,所以a的取值X围为(1,2].5.在锐角△ABC中,A=2B,则的取值X围是( )A.(-1,3)B.(1,3)C.(,)D.(1,2)【解析】选D.====3-4sin2B.因为△ABC是锐角三角形,所以得<B<⇒sin2B∈.所以=3-4sin2B∈(1,2).6.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C= ()A. B. C. D.【解析】选C.由题意S△ABC=absin C=,即sin C=,由余弦定理可知sin C=cos C,即tan C=1,又C∈(0,π),所以C=.【加固训练】(2018·某某一模) 已知△ABC中,sinA,sinB,sinC成等比数列,则的取值X围是( )A. B.C.(-1,]D.【解析】选 B.由已知可知sin2B=sin A·sin C,即b2=ac,cos B==≥=,即0<B≤,sin B+cos B=sin∈(1,],原式==,设t=sin B+cos B,即原式==t-(1<t≤),函数是增函数,当t=1时,函数等于0,当t=时,函数等于,所以原式的取值X围是.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan=,则tanα=________.【解析】因为tan=tan=,所以=,解得tan α=.答案:【加固训练】(2018·某某市一模) 已知cos=,则sin2α=________.【解析】sin 2α=sin=-cos2=1-2cos2=1-2×=-.答案:-8.为了竖起一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC 比AB长0.5米,为了稳定广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为________.【解题指南】首先根据余弦定理找出边BC与AC之间的关系,用边BC表示出边AC,结合函数知识即可求解.【解析】由题意设BC=x(x>1)米,AC=t(t>0)米,依题设AB=AC-0.5=(t-0.5)米,在△ABC中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 60°,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得:t=(x>1),即t=x-1++2,因为x>1,故t=x-1++2≥2+,当且仅当x=1+时取等号,此时取最小值2+. 答案:2+三、解答题(每小题10分,共40分)9.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB.(2)若DC=2,求BC.【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sin∠ADB=.由题意知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==.(2)由题意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25. 所以BC=5.10.如图,在△ABC中,AB=2,cosB=,点D在线段BC上.(1)若∠ADC=,求AD的长.(2)若BD=2DC,△ACD的面积为,求的值.【解题指南】(1)首先利用同角三角函数间的基本关系求得sin B的值,然后利用正弦定理即可求得AD的长.(2)首先利用三角形面积间的关系求得S△ABC,然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得的值.【解析】(1)在三角形中,因为cos B=,所以sin B=,在△ABD中,由正弦定理得=,又AB=2,∠ADB=,sin B=.所以AD=.(2)因为BD=2DC,所以S△ABD=2S△ADC,S△ABC=3S△ADC,又S△ADC=,所以S△ABC=4,因为S△ABC=AB·BCsin∠ABC,所以BC=6,因为S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD,S△ABD=2S△ADC,所以=2·,在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC.所以AC=4,所以=2·=4.11.已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.(2)若f(x0)=,x0∈,求cos2x0的值.【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)=sin 2x+cos 2x=2sin,所以函数f(x)的最小正周期为π;因为x∈,所以2x+∈,sin∈,所以函数f(x)=2sin在区间上的最大值为2,最小值为-1.(2)由(1)可知f(x0)=2sin,又因为f(x0)=,所以sin=,由x0∈,得2x0+∈,从而cos=-=-,所以cos 2x0=cos=cos cos +sin sin =12.在△ABC中,D是边BC上的点,AB=AD=,cos∠BAD=.(1)求sinB.(2)若AC=4,求△ADC的面积.【解题指南】(1)直接利用余弦定理和正弦定理求出结果.(2)利用(1)的结论和余弦定理求出三角形的面积.【解析】(1)在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=7+7-2×××=12,得BD=2.由cos∠BAD=,得sin∠BAD=,在△ABD中,由正弦定理得=,所以sin B=×=.(2)因为sin B=,B是锐角,所以cos B=,设BC=x,在△ABC中,AB2+BC2-2AB·BC·cos B=AC2,即7+x2-2·x··=16,化简得:x2-2x-9=0,解得x=3或x=-(舍去),则CD=BC-BD=3-2=,由∠ADC和∠ADB互补,得sin∠ADC=sin∠ADB=sin B=,所以△ADC的面积S=·AD·DC·sin∠ADC=×××=.【加固训练】(2018·某某二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为acsin2B.(1)求sinB的值.(2)若c=5,3sin2C=5sin2B·sin2A,且BC的中点为D,求△ABD的周长.【解析】(1)由S△ABC=acsinB=acsin2B,得sin B=2sin B·cos B,因为0<B<π,所以sin B>0,故cos B=,又sin2B+cos2B=1,所以sin B=.(2)由(1)和3sin2C=5sin2B·sin2A得16sin2C=25sin2A,由正弦定理得16c2=25a2,因为c=5,所以a=4,BD=a=2,在△ABD中,由余弦定理得:AD2=c2+BD2-2c·BD·cos B=52+22-2×5×2×=24,所以AD=2.所以△ABD的周长为c+BD+AD=7+2.(建议用时:50分钟)1.(2018·某某一模)南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之,为实,一为从隅,开方得积.”(即:S=,c>b>a),并举例“问沙田一段,有三斜(边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?”则该三角形田面积为( )A.82平方里B.83平方里C.84平方里D.85平方里【解析】选C.由题意可得:a=13,b=14,c=15代入:S===84,则该三角形田面积为84平方里.2.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sin=1,且a=2,则△ABC 的面积的最大值为( )A. B. C. D.2【解析】选B.sin=,-=,A=,由于a=2为定值,由余弦定理得4=b2+c2-2bccos ,即4=b2+c2+bc.根据基本不等式得4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,即bc≤,当且仅当b=c时,等号成立.S△=bcsin A≤··=.3.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,sinAcosB-(c-cosA)·sinB=0,则边b=________.【解析】由sin Acos B-(c-cos A)·sin B=0,得sin Acos B+cos Asin B=csin B,所以sin C=csin B,即=sin B,由正弦定理=,故b==1.答案:14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,若3a2=2b2+c2,则的最大值为________.【解析】因为3a2=2b2+c2,所以3a2=3b2-b2+3c2-2c2,所以b2+2c2=3(b2+c2-a2)=6bccos A,所以==tan A.由题得a2=,所以 cos A===≥=,所以tan A=≤=,当且仅当b=c时取等号.所以的最大值为.答案:【加固训练】(2018·某某中学模拟)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,(b2+c2-3)tanA=bc,2cos2=(-1)cosC,则△ABC的面积等于________.【解析】条件(b2+c2-3)tan A=bc即为(b2+c2-a2)tan A=bc,由余弦定理得2bccos Atan A=bc,所以得sin A=,又A为锐角,所以A=.又2cos2=1+cos(A+B)=1-cos C=(-1)cos C,所以cos C=,得C=,故B=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以c===.故△ABC的面积S=acsin B=×××sin =.答案:5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b-c)2=a2-bc.(1)求sinA.(2)若a=2,且sinB,sinA,sinC成等差数列,求△ABC的面积.【解析】(1)由(b-c)2=a2-bc,得b2+c2-a2=bc,即=,由余弦定理得cos A=,因为0<A<π,所以sin A=.(2)由sin B,sin A,sin C成等差数列,得sin B+sin C=2sin A,由正弦定理得b+c=2a=4,所以16=(b+c)2,所以16=b2+c2+2bc.由(1)得16=a2+bc,所以16=4+bc,解得bc=,所以S△ABC=bcsin A=××=.6.(2018·某某一模)△ABC的内角为A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=+.(1)求sin(A+B)+sinAcosA+cos(A-B)的最大值.(2)若b=,当△ABC的面积最大时,求△ABC的周长.【解题指南】(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系,再根据三角公式转化为二次函数求解.(2)根据余弦定理利用基本不等式求解.【解析】(1)由=+得:=,a=bcos C+csin B,即sin A=sin Bcos C+sin Csin B,所以cos B=sin B,B=;由sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)=(sin A+cos A)+sin Acos A,令t=sin A+cos A,原式=t2+t-,当且仅当A=时,上式取最大值,最大值为.(2)S=acsin B=ac,b2=a2+c2-2accos B,即2=a2+c2-ac≥(2-)ac,ac≤2+,当且仅当a=c=等号成立;S max=,周长L=a+b+c=2+.7.(2018·某某二模) 如图,在平面四边形ABCD中,AB=2,AC=2,∠ADC= ∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,求BD 的长度;(2)若∠ADB=30°,求tanθ.【解题指南】(1)在△ABD中,利用余弦定理直接求出BD.(2)在△ABD中,写出正弦定理再化简即得解.【解析】(1)由题意可知,AD=1.在△ABD中,∠DAB=150°,AB=2,AD=1,由余弦定理可知,BD2=(2)2+12-2×2×1×=19,BD=.(2)由题意可知,AD=2cos θ,∠ABD=60°-θ,在△ABD中,由正弦定理可知,=,所以=4,所以tan θ=.。
2019年高考数学二轮复习试题：专题二 第3讲 解三角形(一)(带解析)
第3讲解三角形(一)选题明细表知识点·方法巩固提高A 巩固提高B三角形判断 6 2,3,4,6,81,4,5,7,正弦定理和余弦定理1,7,9,10,1110,11面积问题2,3,14,16 5解三角形综合问题8,9,12,13,15,17 12,13,14,15巩固提高A一、选择题1.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,则B等于( C )(A)45°或135°(B)135°(C)45°(D)30°解析:由正弦定理=,即=,得sin B=,因为a>b,所以A>B,所以B=45°.故选C.2.在△ABC中,A=,AB=2,其面积等于,则BC等于( C )(A)3 (B)7 (C) (D)解析:因为A=,AB=2,面积S==AB·AC·sin A=×2×AC×,所以AC=1,所以BC===.故选C.3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=4,则△ABC的面积为( C )(A)(B)1 (C) (D)2解析:由题意可得cos A==,则sin A==,S△ABC=bcsin A=.故选C.4.在△ABC中,已知A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则sin A等于( A )(A)(B) (C)(D)解析:由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=9+64-24=49,b=7,由正弦定理=,得sin A=sin B=.故选A.5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB等于( A )(A)4(B)(C)(D)2解析:因为cos =,所以cos C=2cos2-1=2×()2-1=-.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=52+12-2×5×1×(-)=32,所以AB==4.故选A.6.a,b,c均为正实数,则长度等于a,b,c的三条线段能构成锐角三角形的充要条件是( D )(A)a2+b2<c2 (B)︱a2-b2︱<c2(C)︱a-b︱<c<a+b (D)︱a2-b2︱<c2<a2+b2解析:a,b,c均为正实数,则长度等于a,b,c的三条线段能构成锐角三角形,则都满足︱a2-b2︱<c2<a2+b2,故选D.7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2sin Ccos B=2sin A+sin B,c=3ab,则ab的最小值是( B )(A)(B)(C) (D)解析:因为2sin Ccos B=2sin A+sin B,又A=π-(B+C),所以2sin Ccos B=2sin(B+C)+sin B,所以sin B+2sin Bcos C=0,因为sin B≠0,所以2cos C+1=0,所以cos C=-.因为c=3ab,所以9a2b2=c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab≥3ab.解得ab≥.故选B.8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c2sin Acos A+a2sin Ccos C=4sin B,cos B=,D是线段AC上一点,且S△BCD=,则等于( B ) (A)(B)(C)(D)解析: 由c2sin Acos A+a2sin Ccos C=4sin B,可得ac2·+ca2·=4b,解得ac=4.又因为cos∠ABC=,可得sin∠ABC=,得S△ABC=acsin B=,又S△BCD=,则==,=.故选B.二、填空题9.在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin ∠BAM=,则sin ∠BAC= .解析:因为sin∠BAM=,所以cos∠BAM=.如图,在△ABM中,利用正弦定理,得=,所以===.在Rt△ACM中,有=sin∠CAM=sin(∠BAC-∠BAM).由题意知BM=CM,所以=sin(∠BAC-∠BAM).化简,得2sin∠BACcos∠BAC-cos2∠BAC=1,即=1.所以=1,所以tan2∠BAC-2tan∠BAC+2=0,解得tan∠BAC=.再结合sin2∠BAC+cos2∠BAC=1,∠BAC为锐角可解得sin∠BAC=.答案:10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=,sin C=,a=1,则b等于.解析:因为cos A=,所以sin A=,因为sin C=,所以A>C,从而cos C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=,由正弦定理=,所以b===.答案:11.已知△ABC的三边a,b,c成等比数列,则角B的取值范围是.解析:因为b2=ac,所以cos B==≥=.因为B∈(0,π),所以B∈ (0,］.答案:(0,］12.(2018·浙江卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B= ,c= .解析:如图,由正弦定理=,得sin B=·sin A=×=.由余弦定理a2=b2+c2-2bc·cos A,得7=4+c2-4c×cos 60°,即c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去).答案: 313.在△ABC中,A=60°,b,c是方程x2-3x+2=0的两个实根,则边BC上的高为.解析:因为b,c是方程x2-3x+2=0的两个实根,所以有b+c=3,bc=2.由余弦定理可得BC2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A=9-4-2=3,即a=.S△ABC=bcsin A=ah,解得h=1.答案:114.(2017·绍兴一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=,b=,若△ABC的面积为,则c= ,B= .解析:因为A=,b=,△ABC的面积为=bcsin A=××c×,解得c=1+,所以由余弦定理得a==2,故cos B==,因为B∈(0,π),所以B=.答案:1+15.(2018·江苏卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.解析:法一如图,因为S△ABC=S△ABD+S△BCD,所以ac·sin 120°=c×1×sin 60°+a×1×sin 60°,所以ac=a+c.所以+=1.所以4a+c=(4a+c)(+)=++5≥2+5=9.当且仅当=,即c=2a时取等号.法二如图,以B为原点,BD为x轴建立平面直角坐标系,则D(1,0),A(,-c),C(,a).又A,D,C三点共线,所以=,所以ac=a+c.所以+=1.所以4a+c=(4a+c)(+)=++5≥2+5=9.当且仅当=,即c=2a时取等号.答案:916.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若+=2a,b=,则△ABC的面积是.解析:由+=2a,可得+=2sin A,所以=2sin A,所以sin2C+sin2B=2(sin Bcos C+cos Bsin C)sin Bsin C=2sin2Bsin Ccos C+2sin2Csin Bcos B,所以sin2C(1-2sin Bcos B)+sin2B(1-2sin Ccos C)=0,所以sin2C(sin B-cos B)2+sin2B(sin C-cos C)2=0,所以sin B=cos B,sin C=cos C,可得B=C=45°,又因为b=,所以S△ABC=×()2=1.答案:1三、解答题17.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.解:(1)在△ABD中,由正弦定理得=.即=,所以sin∠ADB=.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25.所以BC=5.巩固提高B一、选择题1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2=b2+c2-bc,则角A是( A )(A)(B) (C)(D)解析:a2=b2+c2-bc,所以b2+c2-a2=bc,所以cos A==,所以A=.故选A.2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=,b2=ac,则△ABC一定是( C )(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,化为(a-c)2=0,解得a=c.又B=60°,可得△ABC是等边三角形.故选C.3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.且cos2=,则△ABC是( A )(A)直角三角形(B)等腰三角形或直角三角形(C)正三角形(D)等腰直角三角形解析:cos2=,所以=,所以==1+,所以b2+c2-a2+2bc=2b2+2bc,所以c2=a2+b2,因此是直角三角形.故选A.4.若满足条件AB=,C=的三角形ABC有两个,则边长BC的取值范围是( C )(A)(1,) (B)(,) (C)(,2) (D)(,2)解析:当BC·sin<AB<BC,即<BC<2时,三角形ABC有两个.故选C.5.(2017·金华十校高三4月模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=30°,△ABC的面积为,sin A+sin C=2sin B,则b的值为( D )(A)4+2 (B)4-2 (C)-1 (D)+1解析:已知sin A+sin C=2sin B,由正弦定理可得,a+c=2b.又因为△ABC的面积为,所以acsin 30°=,即ac=6.由余弦定理可得,b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B),即b2=(2b)2-2×6×(1+cos 30°),解得b=+1.故选D.6.已知△ABC的三条边的边长分别为4米,5米,6米,将三边都截掉x米后,剩余的部分组成一个钝角三角形,则x的取值范围是( C )(A)(0,5) (B)(1,5) (C)(1,3) (D)(1,4)解析:剩余的部分三边长分别为4-x,5-x,6-x(0<x<4),其为钝角三角形,则(6-x)2>(5-x)2+(4-x)2,所以1<x<5,所以1<x<4,由两边之和大于第三边得(4-x)+(5-x)>6-x,所以x<3,所以1<x<3.故选C.7.已知G是△ABC的重心,且a+b+c=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,则cos C等于( C )(A) (B)-(C)(D)解析:因为=-(+),a+b+c[-(+)]=(a-c)+(b-c)=0,由于,不共线,所以a=b=c,cos C===,故选C.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行,则△ABC一定是( C )(A)锐角三角形(B)等腰三角形(C)直角三角形(D)等腰或者直角三角形解析:法一由两直线平行可得bcos B-acos A=0,由正弦定理可知sin Bcos B-sin Acos A=0,即sin 2A=sin 2B,又A,B∈(0,π),且A+B∈(0,π),所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=.若A=B,则a=b,cos A=cos B,此时两直线重合,不符合题意,舍去,故A+B=,则△ABC 是直角三角形.故选C.法二由两直线平行可得bcos B-acos A=0,由余弦定理,得a·=b·,所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2.若a=b,则两直线重合,不符合题意,故a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形.故选C.二、填空题9.在△ABC中,AB=2,AC=2且∠B=30°,则△ABC的面积等于.解析:在△ABC中,AB=2,AC=2且∠B=30°,根据余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,代入数据计算可得BC=2,或BC=4,根据三角形的面积公式S=AB·BC·sin B可以求得△ABC的面积等于2或.答案:2或10.在△ABC中,若a2+b2<c2,且sin C=,则角C= .解析:因为a2+b2<c2,所以a2+b2-c2<0,即cos C<0.又sin C=,所以C=.答案:11.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若a=2,b=3,c=4,则= .解析:====-.答案:-12.在△ABC中,C=,AB=,AB边上的高为,则AC+BC= .解析:三角形面积S=××=AC·BCsin,所以AC·BC=,由余弦定理得cos=,所以AC2+BC2=,所以(AC+BC)2=+=11,所以AC+BC=.答案:13.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,△ABC的面积为S,(a2+b2)tan C=8S,则= .解析:由题意可知(a2+b2)()=8×(absin C),所以=4ab,由余弦定理得cos C=,可得=2,由正弦定理可得==2.答案:214.(2018·嘉兴4月模拟)设△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,已知a2+2b2=c2,则= ;tan B的最大值为.解析:因为a2+2b2=c2,由余弦定理得C为钝角,所以======-3; 即tan C=-3tan A,tan B=-tan(A+C)===,由基本不等式可得+3tan A≥2,当且仅当tan A=时等号成立,所以tan B的最大值为=.答案:-3三、解答题15.(2018·台州中学模拟)在△ABC中,cos B=-,cos C=.(1)求sin A的值;(2)设△ABC的面积S△ABC=,求BC的长.解:(1)由cos B=-,得sin B=,由cos C=,得sin C=,所以sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=;(2)由S△ABC=得AB·AC·sin A=,所以AB·AC=65,又AC==AB,所以AB=,BC==.。
高三理科数学最值微专题(2)三角函数篇
高三理科数学二轮复习最值专题（2）三角函数篇类型一：形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)。
例1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．0 D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B. 例2．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.类型二：形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)。
例3、求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． [思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x ．转化为二次函数最值问题．[解]：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 类型三：形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．例4、求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[解] 令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]．又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1，∴sin x cos x ＝t 2－12， ∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53，y 大＝f (2)＝32＋ 2. 类型四：“逆向题”，即已知函数的最值去求某参数的值。
2019年高考数学(理科)大二轮复习：简答题(天津课标版)
题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.(2018浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P--.(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.2.(2018北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求A;(2)求AC边上的高.3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.14.已知函数f(x)=4tan x sin-cos-.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-上的单调性.5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.2(1)求ω与a的值;(2)若f(x0)=,且x0∈-,求f(x0+1)的值.6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=-,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.34题型练3 大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题1.解 (1)由角α的终边过点P --,得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=(2)由角α的终边过点P --,得cos α=-, 由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β=2.解 (1)在△ABC 中,∵cos B=-,∴B,∴sin B= -由正弦定理,得,∴sin A=∵B ,∴A ,∴A=(2)在△ABC 中,sin C=sin(A+B )=sin A cos B+sin B cos A=-如图所示,在△ABC 中,过点B 作BD ⊥AC 于点D.∵sin C=,∴h=BC·sin C=7,∴AC 边上的高为3.解 (1)由题设得ac sin B=,即 c sin B=由正弦定理得 sin C sin B=故sin Bsin C=(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-所以B+C=,故A=由题设得bc sin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=故△ABC的周长为3+4.解(1)f(x)的定义域为∈f(x)=4tan x cos x cos-=4sin x cos-=4sin x=2sin x cos x+2sin2x-=sin2x+(1-cos2x)-=sin2x-cos2x=2sin-,所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是-,k∈Z.由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z.设A=-,B=-∈,易知A∩B=-所以,当x-时,f(x)在区间-上单调递增,在区间--上单调递减.5.解(1)由已知可得f(x)=a=a sin∵BC==4,∴T=8,∴ω=由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=BC=2(2)由(1)知f(x0)=2sin,即sin∵x0-,x0+-,∴cos-,5∴f(x0+1)=2=2sin=2=26.解(1)∵m=-,n=(sin x,cos x),且m⊥n,∴m·n=-(sin x,cos x)=sin x-cos x=sin-=0.又x,∴x--∴x-=0,即x=tan x=tan=1.(2)由(1)和已知,得cos-=-=sin-又x--,∴x-,即x=6题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.设数列{a n}的前n项和为S n,满足(1-q)S n+qa n=1,且q(q-1)≠0.(1)求{a n}的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.2.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为S n,b n=.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)设数列{b n}前n项和为T n,求T n.73.(2018浙江,20)已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{b n}满足b1=1,数列{(b n+1-b n)a n}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{b n}的通项公式.84.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公比为q的等比数列{b n}的首项是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;(2)求数列的前n项和T n.5.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n-(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);9(2)设数列{}的前n项和为S n,证明:(n∈N*).6.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{a n}的通项公式;.(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+…+e n>--10题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)解当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.当n≥2时,由(1-q)S n+qa n=1,得(1-q)S n-1+qa n-1=1,两式相减,得a n=qa n-1.又q(q-1)≠0,所以{a n}是以1为首项,q为公比的等比数列,故a n=q n-1.(2)证明由(1)可知S n=--,又S3+S6=2S9,所以------,化简,得a3+a6=2a9,两边同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列.2.解(1)∵在等差数列{a n}中,a1=1,公差d=1,∴S n=na1+-d=,∴b n=(2)b n==2-,∴T n=b1+b2+b3+…+b n=2+…+=2-+…+=2-故T n=3.解(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得8=20,解得q=2或q=,因为q>1,所以q=2.(2)设c n=(b n+1-b n)a n,数列{c n}前n项和为S n,由c n=--解得c n=4n-1.由(1)可知a n=2n-1,所以b n+1-b n=(4n-1)-故b n-b n-1=(4n-5)-,n≥2,b n-b1=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)-+(4n-9)-+…+7+3.11设T n=3+7+11+…+(4n-5)-,n≥2,T n=3+7+…+(4n-9)-+(4n-5)-,所以T n=3+4+4+ (4)-(4n-5)-,因此T n=14-(4n+3)-,n≥2,又b1=1,所以b n=15-(4n+3)-4.解(1)设{a n}公差为d,由题意得解得故a n=3n-1,b n=(2)--+22n+1,∴T n=--+…+-----(22n+3-8)=-5.证明(1)由题意得a n+1-a n=-0,即a n+1≤a n,故a n由a n=(1-a n-1)a n-1,得a n=(1-a n-1)(1-a n-2)…(1-a1)a1>0.由0<a n,得--[1,2],即12.(2)由题意得=a n-a n+1,所以S n=a1-a n+1.①由和12,得12,所以n2n,因此a n+1(n∈N*).②由①②得(n∈N*).6.(1)解由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.12从而a n=q n-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以a n=2n-1(n∈N*).(2)证明由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n=-由e2=,解得q=因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以->q k-1(k∈N*).,于是e1+e2+…+e n>1+q+…+q n-1=--故e1+e2+…+e n>--13题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.2.(2018北京,理17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢,用“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小关系.143.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下::设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.4.(2018天津,理16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.155.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.166.某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取40件产品,测量这些产品的质量(单位:g),整理后得到如下的频率分布直方图(其中质量的分组区间分别为(490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515]).(1)若从这40件产品中任取两件,设X为质量超过505 g的产品数量,求随机变量X的分布列;(2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取5件产品,求恰有两件产品的质量超过505 g的概率.17题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.解(1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=-(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=1+2+3+42.解(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A,第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部).P(A)==0.025.(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)由题意可知,定义随机变量如下:ξk=第类电影没有得到人们喜欢第类电影得到人们喜欢则ξk显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影:ξ110P0.40.618D(ξ1)=0.4×0.6=0.24;第二类电影:ξ210P0.20.8D(ξ2)=0.2×0.8=0.16;第三类电影:ξ310P0.150.85D(ξ3)=0.15×0.85=0.1275;第四类电影:ξ410P0.250.75D(ξ4)=0.25×0.75=0.1875;第五类电影:ξ510P0.20.8D(ξ5)=0.2×0.8=0.16;第六类电影:ξ610P0.10.9D(ξ6)=0.1×0.9=0.09.综上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6).19203.解 (1)设A 表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P (A )=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P (B )=0.1+0.05=0.15.又P (AB )=P (B ), 故P (B|A )=因此所求概率为(3)记续保人本年度的保费为X ,则X 的分布列为E (X )=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4.解 (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)①随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X=k )=-(k=0,1,2,3).所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )=0+1+2+3②设事件B 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B ∪C ,且B 与C 互斥.由①知,P (B )=P (X=2),P (C )=P (X=1),故P (A )=P (B ∪C )=P (X=2)+P (X=1)=所以,事件A 发生的概率为5.解 (1)X 可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,P(X=10)=-;P(X=20)=-;P(X=100)=-;P(X=-200)=-所以X的分布列为(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A i(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是(3)X的数学期望为E(X)=10+20+100-200=-这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.6.解(1)根据频率分布直方图可知,质量超过505g的产品数量为[(0.01+0.05)×5]×40=12.由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=则随机变量X的分布列为X01221P(2)由题意得该流水线上产品的质量超过505g的概率为=0.3.设Y为该流水线上任取5件产品质量超过505g的产品数量,则Y~B(5,0.3).故所求概率为P(Y=2)=0.32×0.73=0.3087.22题型练6大题专项(四)立体几何综合问题1.如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形.A1A=6,且A1A⊥底面ABCD.点P,Q分别在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.2.23(2018江苏,22)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.3.如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.24(1)求证:GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.4.在如图所示的组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面CC1D1D,且PD=PC=.(1)证明:PD⊥平面PBC;(2)求PA与平面ABCD所成角的正切值;(3)当AA1的长为何值时,PC∥平面AB1D?255.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.(1)证明:PC⊥AD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.266.已知四边形ABCD满足AD∥BC,BA=AD=DC=BC=a,E是BC的中点,将△BAE沿AE翻折成△B1AE,使平面B1AE⊥平面AECD,F为B1D的中点.(1)求四棱锥B1-AECD的体积;(2)证明:B1E∥平面ACF;(3)求平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值.2728题型练6 大题专项(四)立体几何综合问题1.解由题设知,AA 1,AB ,AD 两两垂直,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为A (0,0,0),B 1(3,0,6),D (0,6,0),D 1(0,3,6),Q (6,m ,0),其中m=BQ ,0≤m ≤6.(1)证明:若P 是DD 1的中点,则P- - 又 =(3,0,6),于是 =18-18=0, 所以 ,即AB 1⊥PQ.(2)由题设知, =(6,m-6,0), =(0,-3,6)是平面PQD 内的两个不共线向量. 设n 1=(x ,y ,z )是平面PQD 的一个法向量,则即 - - 取y=6,得n 1=(6-m ,6,3).又平面AQD 的一个法向量是n 2=(0,0,1),所以cos <n 1,n 2>=--.而二面角P-QD-A 的余弦值为,因此-,解得m=4或m=8(舍去),此时Q (6,4,0).设 = (0<λ≤1),而 =(0,-3,6),由此得点P (0,6-3λ,6λ),所以 =(6,3λ-2,-6λ).因为PQ ∥平面ABB 1A 1,且平面ABB 1A 1的一个法向量是n 3=(0,1,0),所以 n 3=0,即3λ-2=0,亦即λ=,从而P (0,4,4).于是,将四面体ADPQ 视为以△ADQ 为底面的三棱锥P-ADQ ,则其高h=4.故四面体ADPQ 的体积V=S △ADQ ·h=6×6×4=24. 2.29解 如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,设AC ,A 1C 1的中点分别为O ,O 1,则OB ⊥OC ,OO 1⊥OC ,OO 1⊥OB ,以{ }为基底,建立空间直角坐标系O-xyz.因为AB=AA 1=2,所以A (0,-1,0),B ( ,0,0),C (0,1,0),A 1(0,-1,2),B 1( ,0,2),C 1(0,1,2). (1)因为P 为A 1B 1的中点,所以P-, 从而 - - =(0,2,2),故|cos < >|=因此,异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为(2)因为Q 为BC 的中点,所以Q,因此 =(0,2,2), =(0,0,2). 设n =(x ,y ,z )为平面AQC 1的一个法向量,则即 不妨取n =( ,-1,1).设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ,则sin θ=|cos < ,n >|=,所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为3.(1)证法一如图,取AE的中点H,连接HG,HD,又G是BE的中点,所以GH∥AB,且GH=AB.又F是CD的中点,所以DF=CD.由四边形ABCD是矩形,得AB∥CD,AB=CD,所以GH∥DF,且GH=DF,从而四边形HGFD是平行四边形,所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,所以GF∥平面ADE.证法二如图,取AB中点M,连接MG,MF.又G是BE的中点,可知GM∥AE.又AE⊂平面ADE,GM⊄平面ADE,所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中,由M,F分别是AB,CD的中点,得MF∥AD.又AD⊂平面ADE,MF⊄平面ADE,所以MF∥平面ADE.又因为GM∩MF=M,GM⊂平面GMF,MF⊂平面GMF,所以平面GMF∥平面ADE.因为GF⊂平面GMF.所以GF∥平面ADE.3031(2)解 如图,在平面BEC 内,过点B 作BQ ∥EC.因为BE ⊥CE ,所以BQ ⊥BE. 又因为AB ⊥平面BEC , 所以AB ⊥BE ,AB ⊥BQ.以B 为原点,分别以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则A (0,0,2),B (0,0,0),E (2,0,0),F (2,2,1).因为AB ⊥平面BEC ,所以 =(0,0,2)为平面BEC 的法向量. 设n =(x ,y ,z )为平面AEF 的法向量. 又=(2,0,-2), =(2,2,-1), 由得 - - 取z=2,得n =(2,-1,2). 从而cos <n ,>=所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为4.(1)证明 如图建立空间直角坐标系.设棱长AA 1=a ,则D (0,0,a ),P (0,1,a+1),B (3,2,a ),C (0,2,a ).于是 =(0,-1,-1), =(3,1,-1), =(0,1,-1),所以 =0,=0. 所以PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和PB ,由线面垂直的判定定理,得PD ⊥平面PBC.32(2)解 A (3,0,a ),=(3,-1,-1), 而平面ABCD 的一个法向量为n 1=(0,0,1), 所以cos <,n 1>==-所以PA 与平面ABCD 所成角的正弦值为所以PA 与平面ABCD 所成角的正切值为(3)解 因为D (0,0,a ),B 1(3,2,0),A (3,0,a ),所以 =(3,0,0), =(0,2,-a ).设平面AB 1D 的法向量为n 2=(x ,y ,z ),则有 - 令z=2,可得平面AB 1D 的一个法向量为n 2=(0,a ,2).若要使得PC ∥平面AB 1D ,则要 n 2, 即n 2=a-2=0,解得a=2. 所以当AA 1=2时,PC ∥平面AB 1D.5.解 如图,以点A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得A (0,0,0),D (2,0,0),C (0,1,0),B -,P (0,0,2).(1)证明:易得 =(0,1,-2), =(2,0,0).于是 =0,所以PC ⊥AD. (2)=(0,1,-2), =(2,-1,0).设平面PCD 的法向量n =(x ,y ,z ). 则即 - - 不妨令z=1, 可得n =(1,2,1).可取平面PAC 的法向量m =(1,0,0). 于是cos <m ,n >=,从而sin<m,n>=所以二面角A-PC-D的正弦值为(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中h∈[0,2].由此得-又=(2,-1,0),故cos<>=,所以=cos30°=,解得h=,即AE=6.(1)解取AE的中点M,连接B1M.因为BA=AD=DC=BC=a,△ABE为等边三角形,所以B1M= a.又因为平面B1AE⊥平面AECD,所以B1M⊥平面AECD,所以V=a×a×a×sin(2)证明连接ED交AC于点O,连接OF,因为四边形AECD为菱形,OE=OD,所以FO∥B1E,所以B1E ∥平面ACF.(3)解连接MD,则∠AMD=90°,分别以ME,MD,MB1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则E,C,A-,D,B1,所以-,设平面ECB1的法向量为u=(x,y,z),则-令x=1,u=-,同理平面ADB1的法向量为v=--,所以cos<u,v>=-,故平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值为3334题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.(2018天津,理19)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若sin∠AOQ(O 为原点),求k的值.2.已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点,且线段AB的垂直平分线交y轴于点P-,求直线l的方程.353.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.4.(2018北京,理19)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,=λ=μ,求证:为定值.365.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q 两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.6.37如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.38题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.解(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|= b.由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.又因为|AQ|=,而∠OAB=,故|AQ|=y2.由sin∠AOQ,可得5y1=9y2.由方程组消去x,可得y1=AB的方程为x+y-2=0,由方程组消去x,可得y2=-由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=,或k=所以,k的值为或2.解(1)由题意得解得a=2,b=1.故椭圆C的方程是+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,则有x1+x2=-,x1x2=-39Δ>04k2+1>t2,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2-+kt-+t2=-因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以OA⊥OB,x1x2+y1y2=0.因为x1x2+y1y2=--=0,所以5t2=4+4k2.因为Δ>0,所以4k2+1>t2,解得t<-或t>又设A,B的中点为D(m,n),则m=-,n=因为直线PD与直线l垂直,所以k PD=----,得由解得-当t=-时,Δ>0不成立.当t=1时,k=±,所以直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.3.解(1)设F(c,0),由,即-,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组-消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.40解得x=2,或x=-,由题意得x B=-,从而y B=-由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),-由BF⊥HF,得=0,所以-=0,解得y H=-因此直线MH的方程为y=-x+-设M(x M,y M),由方程组---消去y,解得x M=在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,即(x M-2)2+,化简得x M≥1,即1,解得k≤-,或k所以,直线l的斜率的取值范围为--4.(1)解因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).由得k2x2+(2k-4)x+1=0.依题意,Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<0或0<k<1.又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2),从而k≠-3.所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2).41由(1)知x1+x2=--,x1x2=直线PA的方程为y-2=--(x-1).令x=0,得点M的纵坐标为y M=--+2=--+2.同理得点N的纵坐标为y N=--+2.由==,得λ=1-y M,μ=1-y N.所以--=------=--=2.所以为定值.5.解由题知F设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P-,Q-,R-记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=----=-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|-,S△PQF=-42由题设可得2|b-a|--,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).(x≠1).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得-而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.6.解(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=8,解得a=2,c=1,于是b=-,因此椭圆E的标准方程是=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为-因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为--,从而直线l1的方程:y=-(x+1),①直线l2的方程:y=--(x-1).②由①②,解得x=-x0,y=-,所以Q--因为点Q在椭圆上,由对称性,得-=±y0,即=1或=1.又P在椭圆E上,故=1.43由-解得x0=,y0=无解.因此点P的坐标为44题型练8大题专项(六)函数与导数综合问题1.(2018北京,理18)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.2.已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)①求F(x)的最小值m(a);②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).453.已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪,求c的值.4.已知a>0,函数f(x)=e ax sin x(x∈[0,+∞)).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(1)数列{f(x n)}是等比数列;(2)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.-5.(2018天津,理20)已知函数f(x)=a x,g(x)=log a x,其中a>1.(1)求函数h(x)=f(x)-x ln a的单调区间;46(2)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=-;(3)证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.6.设函数f(x)=,g(x)=-x+(a+b)(其中e为自然对数的底数,a,b∈R,且a≠0),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=a e(x-1).(1)求b的值;(2)若对任意x∈,f(x)与g(x)有且只有两个交点,求a的取值范围.47题型练8大题专项(六)函数与导数综合问题1.解(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x,所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]e x+[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x=[ax2-(2a+1)x+2]e x(x∈R).f'(1)=(1-a)e.由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0,所以a的值为1.(2)由(1)得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e x=(ax-1)(x-2)e x.若a>,则当x时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1x-1<0,所以f'(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是2.解(1)由于a≥3,故当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)①设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)=--②当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.-所以,M(a)=3.解(1)f'(x)=3x2+2ax,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=-48当a=0时,因为f'(x)=3x2>0(x≠0),所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增;当a>0时,x--(0,+∞)时,f'(x)>0,x-时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间--,(0,+∞)内单调递增,在区间-内单调递减; 当a<0时,x∈(-∞,0)-时,f'(x)>0,x-时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-∞,0),-内单调递增,在区间-内单调递减.(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f-a3+b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f-=b<0,从而-或-又b=c-a,所以当a>0时,a3-a+c>0或当a<0时,a3-a+c<0.设g(a)=a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3),则在(-∞,-3)内g(a)<0,且在内g(a)>0均恒成立,从而g(-3)=c-1≤0,且g=c-1≥0,因此c=1.此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],因函数有三个零点,则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0,解得a∈(-∞,-3)综上c=1.4.证明(1)f'(x)=a e ax sin x+e ax cos x=e ax(a sin x+cos x)=e ax sin(x+φ),其中tanφ=,0<φ<令f'(x)=0,由x≥0得x+φ=mπ,即x=mπ-φ,m∈N*.对k∈N,若2kπ<x+φ<(2k+1)π,即2kπ-φ<x<(2k+1)π-φ,则f'(x)>0;若(2k+1)π<x+φ<(2k+2)π,即(2k+1)π-φ<x<(2k+2)π-φ,则f'(x)<0.因此,在区间((m-1)π,mπ-φ)与(mπ-φ,mπ)上,f'(x)的符号总相反.于是当x=mπ-φ(m∈N*)时,f(x)取得极值,所以x n=nπ-φ(n∈N*).49此时,f(x n)=e a(nπ-φ)sin(nπ-φ)=(-1)n+1e a(nπ-φ)sinφ.易知f(x n)≠0,而----=-e aπ是常数,故数列{f(x n)}是首项为f(x1)=e a(π-φ)sinφ,公比为-e aπ的等比数列.(2)由(1)知,sinφ=,于是对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立,即nπ-φ<e a(nπ-φ)恒成立,等价于--(*)恒成立(因为a>0).设g(t)=(t>0),则g'(t)=-令g'(t)=0得t=1.当0<t<1时,g'(t)<0,所以g(t)在区间(0,1)内单调递减;当t>1时,g'(t)>0,所以g(t)在区间(1,+∞)内单调递增.从而当t=1时,函数g(t)取得最小值g(1)=e.因此,要使(*)式恒成立,只需<g(1)=e,即只需a>-而当a=-时,由tanφ=-0<φ<知,<φ<于是π-φ<-,且当n≥2时,nπ-φ≥2π-φ>-因此对一切n∈N*,ax n=-1,所以g(ax n)>g(1)=e=故(*)式亦恒成立.综上所述,若a-,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.5.(1)解由已知,h(x)=a x-x ln a,有h'(x)=a x ln a-ln a.令h'(x)=0,解得x=0.由a>1,可知当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:50。