初中数学竞赛辅导平行线问题
初中数学平行线的重要知识点汇总
初中数学平行线的重要知识点汇总初中数学平行线的重要知识点汇总常识知识，在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线。
平行线定义在同一平面内，永不相交的两条直线互为平行线。
虽然平行线在平面____义，但也适用于立体几何。
平行线的性质1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
4. 两条平行线被第三条直线所截，外错角相等。
以上性质可简单说成：1.两条直线平行，同位角相等。
2.两条直线平行，内错角相等。
3.两条直线平行，同旁内角互补。
4.两条直线平行，外错角相等。
平行线的断定1.平行线的定义(在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
)2.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。
3.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
4.同位角相等，两直线平行。
5.内错角相等，两直线平行。
6.同旁内角互补，两直线平行。
平行公理在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论：(平行传递性) 假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即平行于同一条直线的两条直线平行。
我们常说到的平行线是具有传递性的几何图形，这句话是有根据的。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
程度的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的.原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度一样；实际有时也可不同，但同一数轴上必须一样。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
初中数学解题技巧如何巧妙应对平行线与相交线的证明题
初中数学解题技巧如何巧妙应对平行线与相交线的证明题在初中数学中，平行线与相交线的证明题是一个相对常见且重要的考点。
正确理解与灵活应用解题技巧对于解决这类题目非常关键。
本文将就如何巧妙应对平行线与相交线的证明题进行论述。
一、证明两直线平行的常用方法1.1 通过角度关系进行证明当两条直线之间存在特殊的角度关系时，可以通过分析角的性质来判断两条直线是否平行。
常见的角度关系有三角形内角和为180度、同位角相等等。
例如，当两条直线被一条横截线所切分，且同位角相等时，可以得出两条直线平行。
1.2 利用等长线段进行证明若两条直线上存在等长线段（或者等长线段的比例关系），则可以通过分析等长线段的性质来判断两条直线是否平行。
例如，当两直线上的两对对应线段分别相等时，可以得出两条直线平行。
1.3 借助平行线的性质进行证明对于已知两组平行线的情形，可以通过利用平行线的性质，如对应角相等、内错角互补等，来推导出待证的其他平行关系。
这种方法常用于证明线段平行或三角形平行边的情形。
二、证明两条直线相交的常用方法2.1 利用角的性质进行证明两条直线相交时，通过观察相交处形成的角，可以根据角的性质来判断两条直线是否相交。
如垂直角相等、同位角等。
当两条直线上的某对同位角相等时，可以得出两条直线相交。
2.2 利用三角形内角和为180度进行证明若两条直线之间的某条直线被切割成三个或多个角，可以通过分析这些角的性质，特别是它们的和是否为180度，来判断两条直线是否相交。
2.3 利用迭代的思想进行证明当需要证明多条直线都相交于一个点时，可以运用迭代的思想。
即先证明某两条直线相交，然后再把第三条直线引入，利用已知的两条直线相交的性质推导出第三条直线也与它们相交于同一点。
三、巧用辅助线和构造在解决平行线与相交线的证明题时，巧妙运用辅助线和构造图形可以提供更多的线索与性质。
通过巧妙的构造，可以将问题转化为更简单的几何关系，从而更容易得到证明的结果。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 点共线与线共点(含答案)
第二十讲 点共线与线共点趣题引路】例1 证明梅涅劳斯定理：如图20-1，在△ABC 中，一直线截△ABC 的三边AB 、AC 及BC 的延长线于D 、E 、F 三点。
求证：1=⋅⋅DBADEA CE FC BF 解析:左边是比值的积，而右边是1，转化比值使其能约简，想到平行线分线段成比例作平行线即可. 证明过点C 作CG /∥EF 交AB 于G . ,,BF BD EC DGCF DG AE AD∴== ∴1=⋅⋅=⋅⋅BDADAD DG DG BD BD AD EA CE FC BF例2 证明塞瓦定理：如图20-2，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与BC 、CA 、AB 相交于D 、E 、F ，求证：1=⋅⋅FBAF EA CE DC BD 证明,,.BCP ACPABP ACP BAP BCPS S S BD CE AF DC S EA S FB S ∆∆∆∆∆∆===∴1=⋅⋅=⋅⋅∆∆∆∆∆∆BCPACPABP BCP ACP ABP S S S S S S FB AF EA CE DC BD知识拓展】1.证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一定要掌握好证三点共线和三线共点的基本方法。
2.证明三点共线的方法是：（1）利用平角的概念，证明相邻两角互补、 （2）当AB ±BC =AC 时，A 、B 、C 三点共线。
（3）用同一方法证明A 、B 、C 中一点必在另两点的连线上。
（4）当AB 、BC 平行于同一直线时，A 、B 、C 三点共线。
（5）若B 在PQ 上，A 、C 在P 、Q 两侧，∠ABP =∠CBQ 时，A 、B 、C 三点共线. （6）利用梅涅劳斯定理的逆定理. 3.证明三线共点的基本方法是：（1）证明其中两条直线的交点在第三条直线上 （2）证明三条直线都经过某一个特定的点.（3）利用已知定理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线交于一点以及三条高所在直线交于一点等。
初中_有关平行线的几何题多种证明方法
初中有关平行线的几何题多种证明方法1. 引言1.1 概述平行线是几何中一种重要的线性关系，它们在初中阶段的几何学习中占据着重要地位。
了解平行线的性质和掌握证明方法，不仅能够深入理解几何定理，还有助于提高解题能力和逻辑思维能力。
本文将围绕平行线展开讨论，介绍平行线的几何性质以及不同的证明方法。
1.2 文章结构- 第2部分将首先介绍平行线的定义与特征，并详细探讨平行线间的角关系以及平行线和横截线之间的关系。
- 第3部分将介绍第一种证明平行线性质的方法。
我们将从使用欧几里德几何公理证明平行线性质开始，然后介绍利用平行线惯性法则和运用反证法证明平行线性质这两种方法。
- 第4部分将介绍第二种证明平行线性质的方法。
我们将探讨如何使用坐标几何和向量法来证明平行线性质，同时也介绍运用对角原理进行证明。
- 最后，在第5部分将进行结论与总结的回顾和概括。
1.3 目的本文的目的是为读者提供平行线相关概念的明确理解，并详细介绍不同的证明方法，使读者能够掌握多样化、灵活运用这些方法来解决几何题目。
通过深入学习和理解平行线性质及其证明方法，读者将能够更加熟练地应用这些知识解决实际问题。
同时，也为读者提供了一个系统而全面的初中阶段关于平行线的学习参考。
2. 平行线的性质2.1 定义与特征平行线是在同一个平面上没有交点的两条直线。
根据定义，我们可以得出以下几个特征：（1）平行线具有相同的斜率：如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行线。
（2）平行线具有相同的夹角：当一条直线与另外两条平行线相交时，所形成的对应角或内错角是相等的。
（3）平行线具有镜像关系：如果有一条直线与一条平行于第二个给定直线的直线垂直，并且这两条直线都与第二个给定直线相交，则它们之间也是平行关系。
2.2 平行线间的角关系当两条平行线被横截测量过程中，我们可以得出以下几个角关系：（1）对应角：如果一条横截琴测量到两条平行线上，则所形成的对应角是相等的。
（2）内错角：如果一条横截琴测量到两条平行线之间，则所形成的内错角是相等的。
初中数学平行线知识点归纳总结(二)2024
初中数学平行线知识点归纳总结（二）【引言】平行线是初中数学的重要知识点之一，它主要涉及到平行线的定义、性质以及与角、相交线等几何图形的关系。
本文将对初中数学平行线知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
【正文】1. 平行线的定义- 两条直线在同一平面内，且不相交，那么它们就是平行线。
- 平行线符号：∥2. 平行线的性质- 平行线上的任意两条线段之间的距离是相等的。
- 平行线与一个非其上的点连线所得的所有角都相等。
- 平行线与另一直线的相交角之和等于180°。
- 平行线与平行线之间的夹角相等。
3. 平行线与角的关系- 对顶角与平行线：若平行线被一条横截线所截，那么所截得的对顶角是相等的。
- 同位角与平行线：若平行线被一条横截线所截，那么所截得的同位角是相等的。
- 内错角与平行线：若平行线被两条横截线所截，那么所截得的内错角互补（和为180°）。
- 相间角与平行线：若平行线被两条横截线所截，那么所截得的相间角互补（和为180°）。
4. 平行线与相交线的关系- 同位线与平行线：若两条平行线被一条横截线所截，那么所截得的同位线互相平行。
- 辅助线与平行线：在解决几何问题时，我们可以通过引入辅助线的方式来利用平行线的性质进行推导和求解。
5. 平行线的简单应用- 利用平行线的性质证明几何关系。
- 利用平行线的性质求解几何问题，如长度比较、面积计算等。
【总结】初中数学中的平行线知识点主要包括平行线的定义、性质以及与角、相交线的关系。
掌握这些知识点，能够帮助我们更好地解决几何问题，进行证明和计算。
通过本文的归纳总结，希望能对同学们的学习和理解有所帮助。
八年级平行线性质解题技巧(实用、效果好)
八年级平行线性质解题技巧(实用、效果好)本文档旨在介绍八年级学生在解题过程中应用的实用且效果好的平行线性质解题技巧。
以下是一些重要的策略和方法，供学生参考和应用。
1. 平行线的定义在进行平行线性质的解题之前，首先需要理解平行线的定义。
平行线是指在同一个平面内永远不相交的两条直线。
这个定义是解题过程中的基础，务必熟悉和掌握。
2. 平行线的判定条件要判断两条直线是否平行，需要掌握相关的判定条件。
下面是一些常用的判定条件：- 同位角对应相等定理：如果两条直线被一条横截线割断，并且同位角相等，则这两条直线是平行的。
- 内错角相等定理：如果一条横截线与两条平行线相交，内错角相等。
- 外错角相等定理：如果一条横截线与两条平行线相交，外错角相等。
通过熟练掌握这些判定条件，学生能够更准确地判断平行线性质，从而解决问题。
3. 平行线性质解题策略在解题过程中，学生可以按照以下策略来应用平行线性质：- 利用同位角对应相等定理：当问题中涉及到同位角的相等关系时，可以通过同位角对应相等定理来判断是否存在平行线。
- 利用内错角相等定理：当问题中涉及到内错角的相等关系时，可以通过内错角相等定理来判断是否存在平行线。
- 利用外错角相等定理：当问题中涉及到外错角的相等关系时，可以通过外错角相等定理来判断是否存在平行线。
- 利用平行线的性质求解长度或角度：在已知平行线的条件下，可以利用平行线的性质来求解问题中的长度或角度。
这些策略和方法在解决平行线性质的问题时非常实用，能够提高学生的解题效果。
4. 示例题目为了更好地理解和应用上述策略和方法，以下是一些示例题目：1. 已知直线AB和直线CD是平行线，角A的度数为60°，求角C的度数。
2. 直线EF和直线GH被一条横截线IJ分割，角E的度数为40°，求角G的度数。
3. 直线KL和直线MN是平行线，角M的度数为110°，求角K的度数。
学生可以通过应用刚刚介绍的策略和方法，以及所掌握的平行线性质，来解答以上例题。
（完整版）七年级数学平行线的有关证明及答案
平行线的性质与判定的证明练习题温故而知新：1.平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补.2.平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行互补.例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．解析：在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.解析：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．解析：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？解析：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.举一反三：1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（）A.60°B. 72°C. 90°D. 100°2. 已知如图所示，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.3.已知：如图2-10，AB∥EF，BC∥ED，AB，DE交于点G．求证：∠B=∠E．例4如图2-6，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立，并说明理由．解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因.5.如图1-7，已知直线l2l P，且3l和1l、2l分别交于A、两点，点P在AB上，4l和1l、2l分1别交于C、D两点，连接PC、PD。
八年级数学同步培优竞赛详附答案：第十五讲-平行四边形
名师第十五讲平行四边形平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在边、角、对角线上，矩形、菱形是特殊的平行四边形，矩形的特殊性体现在有一个角是直角,菱形的特殊性体现在邻边相等，所以，它们既有平行四边形的性质，又有各自特殊的性质.对角线是解决四边形问题的常用线段，对角线本身的特征又可以决定四边形的形状、大小,连对角线后，平行四边形就产生特殊三角形，因此解平行四边形相关问题时，既用到全等三角形法,特殊三角形性质，又要善于在乎行四边形的背景下探索问题，利用平行四边形丰富的性质为解题服务．熟悉以下基本图形、基本结论:例题求解【例1】如图，在矩形ＡBCD中,已知AＤ=1２，AB=5，P是AD边上任意一点,PE⊥BD于E，PF⊥A Ｃ于F,那么PＥ+PF的值为 .（全国初中数学联赛试题）思路点拨分别求出PＥ、PF困难,△AＯD为等腰三角形,若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质，则问题迎刃而解.注特殊与一般是对立统一的,在一定条件下可以互相转化，相对于一般而言,特殊的事物往往更简单、更直观、更具体．因而人们常常通过特殊去认识一般;另一方面,一般概括了特殊，一般比特殊更为深刻地反映着事物的本质，所以人们也往往通过一般去了解特殊．一般与特殊,是知识之间联系的一种重要形式,知识常常在一般到特殊或特殊到一般的变化过程中，不斩地得到延伸与拓展．【例2】已知四边形AＢＣＤ,从下列条件中:(1)AB∠ＣD，(２)BC∥AD;(3)AB=ＣD；（4)BC=AD;（5)∠Ａ=∠Ｃ；(6)∠Ｂ=∠D.任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（）A.4种 B．９种 C．13种 D. 15种(山东省竞赛题)思路点拨根据平行四边形的判定方法及新的组合方式判定.【例３】】如图，在△ＡDＣ中，∠ＤAC＝90°,ＡD⊥BC,DC、ＡF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G,求证:ＧF∥AＣ．(湖北省荆州市中考题）思路点拨从角的角度证明困难,连结CF,在四边形AGFE的背景下思考问题，证明四边形AGＦE 为特殊平行四边形,证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形.【例４】如图，设Ｐ为等腰直角三角形ACＢ斜边ＡB上任意一点，PE⊥ＡＣ于点E，PＦ⊥BＣ于点F，PG⊥EＦ于G点,延长ＧP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC,求证:BC⊥BD,且BC=BD．(全国初中数学联赛试题)思路点拨尽管图形复杂，但证明目标明确，只需证明△CPB≌△DＰＢ,应从图中分离出特殊三角形、特殊四边形，充分运用它们的性质为证题服务.【例５】如图,在等腰三角形AＢC中，延长边ＡB到点D,延长边CA到点E,连结DE，恰有AD＝ＢC＝ＣE=DＥ．求∠BAC的度数.(北京市竞赛题)思路点拨 题设条件给出的是线段的等量关系,要求的却是角的度数，相等的线段可得到全等三角形、特殊三角形,为此需通过构造平行四边形改变它们的位置.注 课本中平行四边形的判定定理是从边、角、对角线三个方面探讨的,一般情况是，从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类,任意组合就产生许多判定平行四边形的命题.其中有真命题与假命题,对于假命题，要善于并熟悉构造反例．构造反例是学习数学的一种重要技能,可以帮助我们理解概念.培养推理能力,数学史上就曾有许多著名的论断被一个巧妙的反例推翻的实例.若题设条件中有彼此平行的线段或造成平行的因素，则通过作平行线，构造平行四边形，这是解四边形问题的常用技巧，这是由于平行四边形能使角的位置更理想，送线段到恰当的地方，使线段比良性传递．学力训练1．如图，BD 是平行四边形ＡBCD 的对角线,点E 、F 在B Ｄ上，要使四边形A ＥＣF 是平行 四边形,还需要增加的一个条件是 (填上你认为正确的一个即可，不必考 虑所有可能情形)（宁波市中考题)2．(1)如图，已知矩形ABC Ｄ中,对角线A Ｃ、ＢD 相交于O ，AE ⊥B Ｄ于E ，若∠ＤAE:∠B ＡE ＝3：１，则∠CAC ＝ ； (河南省中考题)(2）矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm 和3cm 两部分,则这个矩形的面积为 cm 2． (武汉市中考题)3.如图,以△AB Ｃ的三边为边在B Ｃ的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD 、△B ＣE 、△ACF ．(1)四边形ＡDEF 是 ;(2)当△ＡBC 满足条件 时，四边形A ＤＥF 为矩形；(3)当△ABC 满足条件 时,四边形ADEF 不存在． (2000年贵州省中考题)4．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为１，另两边之和为1＋3,则这两边之积为 . (2０01年天津市选拔赛试题)5．四边形的四条边长分别是a 、b 、c 、d,其中ａ、c 为对边，且满足cd ab d c b a 222222+=+++,则这个四边形一定是（）A.平行四边形B.两组对角分别相等的四边形Ｃ．对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形6.如图，周长为6８的矩形ＡBCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABＣD的面积为(）A．98 B.１９6 Ｃ．2８0 D. ２84(湖北省荆州市中考题)7.如图,菱形花坛ＡBＣＤ的边长为6m,∠B=6０°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为( )A．１２3 m B．20m C. ２２m Ｄ.２4ｍ(吉林省中考题)8．在凸四边形ＡBCＤ中,AB∥CＤ，且AB+BＣ=CＤ＋ＤＡ，则（）A.ＡD>BC B．ＡD<BCC.ＡD=BC Ｄ．ＡD与BC的大小关系不能确定(“希望杯”邀请赛试题)9．如图,△ABC为等边三角形,D、F分别是BC、AB上的点,且ＣD=BF,以AD为边作等边△ADC.(1)求证：△ACD≌△ＣNBF;(2)当D在线段ＢC上何处时,四边形CDEＦ为平行四边形,且∠ＤＥF=3０°?证明你的结论． (南通市中考题)10．如图，在Ｒt△ABC中,AB=AＣ，∠A=９0°,点Ｄ为ＢＣ上任一点,DF⊥AB于F,DＥ⊥AC于C,Ｍ为BC的中点，试判断△ＭＥF是什么形状的三角形，并证明你的结论.(黑龙江省中考题)１1.如图,△ＡBＣ中，点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥ＢC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BＣＡ的外角平分线于点F.(1)求证：CO=FO;(2)当点O运动到何处时,四边形AEＣF是矩形?并证明你的结论.(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ＡECF是正方形?12．如图,在平行四边形ＡＢCD中,EF∥BC,GH∥AB，EF、ＧH的交点P在BＤ上,图中有对四边形面积相等，它们是．(常州市中考题)１３.如图，菱形ABCD的对角线ＡC、BD相交于O,△AＯB的周长为3＋3,∠AＢC＝60°,则菱形ABCＤ的面积为 .1４．如图，矩形ABCD的对角线相交于Ｏ，AE平分∠BAD交BC于E，∠ＣAＥ=1５°,则∠BOＥ= . 15．如图,矩形ＡBCＤ中,AB=8，ＢC＝４,将矩形沿ＡC折叠,点Ｄ落在点D′处，则重叠部分△ＡFC的面积为 . (山东省竞赛题)16．如图,平行四边形AＢCＤ中，∠ＡBC＝7５°，AF⊥BC于F，AF交ＢD于E，若DE=2AＢ，则∠AEＤ的大小是( )A.60°B．6５° C.７０° D.７5° (“希望杯”邀请赛试题)1７．如图,正△AEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等,点Ｅ、Ｆ分别在BC 、C Ｄ上,则∠Ｂ的度数是( ) Ａ．70° B.7５° C ．80° D ．95°（重庆市竞赛题)18.如图,正方形ABCD 外有一点P,P 在BC 外侧,并在平行线AB 与CD 之间,若PA=17,PB=2，ＰC ＝5，则PD ＝（ )A.25B.19 C .32 D.17 (“五羊杯”竞赛题）19．如图，在平行四边形AB ＣD 中，B Ｃ=2AB,ＣＺ⊥AB 于E ，Ｆ为AD 的中点,若∠AEF=5４°，则∠B=（ )Ａ．54° Ｂ．６0° C ．66° D.7２°(武汉市选拔赛试题)２0.如图,在Ｒt △ABC 中，∠ＡＢC=９0°,∠C ＝60°,BC=2,D 是AC 的中点，以Ｄ作DE ⊥ＡC 与C Ｂ的延长线交于E,以AB 、BE 为邻边作长方形ABEF ，连结DF ，求DF 的长.21.如图，菱形的对角线AC 与B Ｄ交于点O ，延长BA 到E ，使AE=21A Ｂ,连结ＯE ，延长DE 交ＣA 的延长线于F.求证：OE=21DF ． ２2.阅读下面短文：如图1,△ABC 是直角三角形,∠C=9０°，现将△ABC 补成矩形，使△ＡＢC 的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个便点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画出两个:矩形ACB Ｄ和矩形ＡE ＦB （如图2).解答问题；(1）设图2中矩形ACＢD和矩形AＥFB的面积分别为Ｓｌ、Ｓ2,则S1 S2(填“＞”，“=”或“<”）; (2）如图3,△ABＣ是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出个,利用图3把它画出来;（３)如图4，△AＢC是锐角三角形且三边满足BC>AＣ>AＢ,按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出个,利用图４把它画出来;（4)在(3)中所画出的矩形中,哪一个的周长最小?为什么?（陕西省中考题)23.如图,在△ABC中，∠C=90°，点Ｍ在BＣ上，且BＭ=AC,N在ＡC上,且ＡN=ＭC，ＡM与BＮ相交于P，求证：∠BPM=４５°．(杭州市“求是杯”竞赛题)24．如图，在锐角△ＡBＣ中，AD、ＣZ分别是BＣ、AＢ边上的高,AD、CE相交于Ｆ,BＦ的中点为P,AC的中点为Ｑ，连结ＰQ、DＥ.（1）求证;直线PQ是线段DE的垂直平分线;(2)如果△ABC是钝角三角形,∠ＢAC>９０°，那么上述结论是否成立?请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.(“希望杯”邀请赛试题)。
全国初中数学竞赛辅导第12讲平行四边形
全国初中数学竞赛辅导第12讲平行四边形平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更专门的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它能够分解为一些全等的三角形，同时包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用．由平行四边形的定义决定了它有以下几个差不多性质：(1)平行四边形对角相等；(2)平行四边形对边相等；(3)平行四边形对角线互相平分．除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．例1 如图2-32所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．分析只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素专门多，可从全等三角形下手．证因为ABCD是平行四边形，因此AD BC，AB CD，∠B=∠D．又AE⊥BC，CF⊥AD，因此AECF是矩形，从而AE=CF．因此Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，因此△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF．①又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，因此△MAF≌△NCE(SAS)，因此 MF=NF．②由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．例2 如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．如此，将AE “转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．证作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，因此GA=GH，从而△ABG≌△HBG(AAS)，因此 AB=HB．①在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，因此△ABE≌△HBE(SAS)，因此 AE=EH，∠BEA=∠BEH．下面证明四边形EHCF是平行四边形．因为AD∥GH，因此∠AEG=∠BGH(内错角相等)．②又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，因此∠AGB=∠GEH．从而EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．由已知EF∥HC，因此EHCF是平行四边形，因此FC=EH=AE．说明本题添加辅助线GH⊥BC的方法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与△HBG．继而发觉△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡．如此，证明EHCF是平行四边形确实是顺理成章的了．人们在学习中，通过刻苦钻研，形成有用的体会，这对我们探究新的问题是十分有益的．例3 如图2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．分析由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．从而，应该有∠B=2∠BEM，那个论断在△BEM内专门难发觉，因此，应设法通过添加辅助线的方法，将这两个角转移到新的位置加以解决．利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，如此∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要证明∠MCF=2∠F即可．不难发觉，△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点，我们的证明可从那个地点展开．证延长EM交DC的延长线于F，连接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，因此△MCF≌△MBE(AAS)，因此M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，因此，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，因此∠MDC=∠CMD，则∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．从而∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．例4 如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．分析只要证明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，因此，在添加辅助线时，应设法产生一个与∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明∠FCH=∠CAD．证延长DC交AF于H，明显∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE ⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因为矩形对角线相等，因此△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD．①又AG平分∠BAD=90°，因此△ABG是等腰直角三角形，从而易证△HCG也是等腰直角三角形，因此∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，因此∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，因此∠CFH=45°-∠FCH．②由①，②∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，因此在三角形CAF中，有CA=CF．例5 设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)．求证：分析作∠BAF的平分线，将角分为∠1与∠2相等的两部分，设法证明∠DAE=∠1或∠2．证如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，因此FA=FH．设正方形边长为a，在Rt△ADF中，从而因此 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，从而Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．分析准确地画图可启发我们证明∠GDH=∠GHD．证因为DE BC，因此四边形BCED为平行四边形，因此∠1=∠4．又BD=FD，因此因此 BC=GC=CD．因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，因此又因此∠HDG=∠GHD，从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．练习十二1．如图2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求证：四边形ABCD是平行四边形．2．如图2-39所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF差不多上等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．3．如图2-40所示．ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．4．如图2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF，CF=CA．求证：BE⊥DE．5．如图2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分。
「初中数学教学案例平行线」
「初中数学教学案例平行线」平行线是初中数学中的重要概念和内容之一、学习平行线的目的，一方面是为了帮助学生理解和掌握几何基本概念和定理，另一方面也是为了培养学生的逻辑思维能力和几何推理能力。
下面将介绍一个初中数学教学案例，以帮助学生理解和掌握平行线的性质和定理。
教学内容：平行线的性质和定理教学目标：1.理解并掌握平行线的定义，能够判断两条直线是否平行。
2.理解并掌握平行线的判定方法：同位角相等定理、内错角互补定理和同旁内角相等定理。
3.能够应用平行线的性质和定理进行解题。
教学步骤：1.导入：通过几何图形让学生观察、感知什么是平行线。
2.讲解平行线的定义：直线上任意两点，如果有一个点在另一个直线上，那么这两条直线互相平行。
通过几何图形进行示范，引导学生深入理解。
3.引出平行线的判定方法：3.1同位角相等定理：当一条直线与两条平行线相交时，同位角相等。
通过几何图形进行示范，让学生理解这个定理。
3.2内错角互补定理：当两条直线被一条横截线相交时，内错角互补（即补角相等）。
通过几何图形进行示范，让学生掌握这个定理。
3.3同旁内角相等定理：当两条直线被一条横截线相交时，同旁内角相等。
通过几何图形进行示范，让学生理解并运用这个定理。
4.练习：给学生一些实际问题或图形，让他们根据平行线的性质进行判断、推理和解答。
5.总结：让学生自己总结平行线的性质和定理，并进行归纳概括，以便更好地记忆和应用。
6.拓展：引导学生思考其他与平行线相关的问题，如相交线的性质、平行线的应用等，并给予适当的拓展训练。
教学评价：通过教学案例的展示和练习的完成情况，检测学生对平行线的理解和掌握程度。
可以通过课堂作业、小组合作讨论、个别辅导等方式进行评价。
教学反思：在教学过程中，教师应注重激发学生的学习兴趣，提供足够的例题和练习，引导学生主动思考和合作学习。
同时，要注重培养学生的观察力、推理能力和解决问题的能力，通过综合性的练习让学生更好地运用所学知识。