《 二次函数与一元二次方程》九年级数学上册PPT课件(第22.2课时)
人教版九年级上数学第22章二次函数22.2二次函数与一元二次方程(教案)
人教版九年级上数学第22章二次函数 22.2二次函数与一元二次方程（教案）
一、教学内容
人教版九年级上数学第22章二次函数 22.2二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系
- 二次函数的标准形式
- 二次函数图像与一元二次方程的解的关系
2. 二次函数的图像
- 开口方向与开口大小
- 对称轴与顶点
- 图像与x轴的交点
3. 一元二次方程的解法与应用
- 直接开平方法
- 配方法
- 公式法（韦达定理）
- 图像法
4. 实际问题中的应用
- 抛物线与坐标轴的交点问题
- 抛物线与直线的交点问题
- 最值问题
- 优化问题
5. 综合练习
- 理论知识巩固练习
- 实际问题解决练习
- 拓展提高练习
二、核心素养目标
1. 理解二次函数与一元二次方程的内在联系，培养数学抽象和逻辑推理能力。
2. 通过分析二次函数图像，提升直观想象和数据分析的能力。
3. 掌握一元二次方程的多种解法，培养问题解决和数学运算的能力。
4. 将二次函数和一元二次方程应用于实际问题，增强数学建模和数学应用的意识。
5. 在小组讨论和问题解决过程中，培养合作交流、批判性思维和创新意识。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
- 二次函数与一元二次方程的关系：理解二次函数图像与一元二次方程解的关系，掌握二次函数标准形式及其图像特征。
- 举例：y=ax²+bx+c=0与y=ax²+bx+c的关系，如何通过二次函数图像求解一元二次方程的根。
- 二次函数图像的性质：掌握开口方向、开口大小、对称轴、顶点、与坐标轴的交点等概念。
- 举例：如何通过二次函数的一般式判断图像的开口方向和顶点位置。
- 一元二次方程的解法：熟练运用直接开平方法、配方法、公式法（韦达定理）解一元二次方程。
- 举例：求解x²-5x+6=0，展示不同解法并比较各自优劣。 - 实际问题中的应用：学会将实际问题抽象为二次函数与一元二次方程模型，解决最值、交点等问题。
人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》说课稿
人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》说课稿
一. 教材分析
《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级数学上册第22章的第2节，这一节内容是在学生已经学习了函数、方程等基础知识的基础上进行讲解的。二次函数和一元二次方程是中学数学中的重要内容，也是高考的必考内容。本节内容主要介绍了二次函数的定义、性质以及一元二次方程的解法。通过本节内容的学习，使学生能够掌握二次函数和一元二次方程的基本概念和性质，能够运用一元二次方程解决实际问题。
二. 学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于函数、方程等概念已经有了初步的认识。但是，对于二次函数和一元二次方程的性质和应用可能还不是很清楚。因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，引导学生理解和掌握二次函数和一元二次方程的概念和性质。
三. 说教学目标
1. 知识与技能：理解二次函数的定义和性质，掌握一元二次方程的解法，能够运用二次函数和一元二次方程解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，培养学生的动手能力和思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 说教学重难点
1. 教学重点：二次函数的定义和性质，一元二次方程的解法。
2. 教学难点：二次函数和一元二次方程的应用。
五. 说教学方法与手段
1. 教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2. 教学手段：利用多媒体课件、教学模具、实物模型等辅助教学。
六. 说教学过程
1. 导入：通过一个实际问题，引入二次函数和一元二次方程的概念。
2. 讲解：讲解二次函数的定义和性质，演示一元二次方程的解法。 3. 实践：让学生动手操作，进行实验和探究，加深对二次函数和一元二次方程的理解。
4. 应用：通过解决实际问题，运用二次函数和一元二次方程的知识。
5. 总结：对本节内容进行总结，强化学生的记忆。
222二次函数与一元二次方程说课稿
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一、教材分析
1、教材的地位和作用
《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级上册第22章第二节的教学内容.它既是一次函数与一元一次方程关系的延续.又为高中数学求一元二次不等式的解集以及三个“二次”
的关系进一步探讨奠定基础.
2、重难点的确点
重点：从数和形两个角度理解二次函数与一元二次方程的关系；
掌握二次函数与一元二次方程的互相转化问题.
难点：灵活运用二次函数与一元二次方程的关系解决问题；
利用函数的图象求一元二次方程的近似解.
二、目标分析
知识与技能：掌握二次函数与一元二次方程的联系.
数学思考：运用类比、猜想的数学方法解决实际问题.
解决问题：经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，认识到事物的互相联系与转化.
情感态度：让学生在合作探究中培养学生合作学习的良好意识和团结协作的精神.
三、学情分析
已形成的：
1、能理解二次函数的性质、图象，有一定看图识图能力，并能画一次函数、二次函数的草图.
2、能熟练求解一元一次方程与一元二次方程的根.
有待形成、提升的：
1、由特殊到一般的归纳总结能力.
2、理解二次函数与一元二次方程的联系和研究时互相转化的数学思想及数形结合思想.
3、用函数的观点解决问题的应用意识.
四、教法学法分析
1、教法分析 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
2文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 在本节课中我采用情景教学法，观察发现法和探讨法为主，多媒体演示为辅的教学方法进行教学.以学生活动为主线，引导学生在观察、操作、合作、交流等具体过程中突破本节课的难点，在学习活动中，尽量让每一位学生积极参与，最终让他们学会学习.
2、学法分析
通过观察发现、 合作交流、 归纳总结完成本节课的教学.
《22.2 二次函数与一元二次方程》教案、教学设计、导学案
《22．2 二次函数与一元二次方程》教案
【教学目标】
1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系．
2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．
3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．
【教学过程】
一、情境导入
如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数与一元二次方程
【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断
下列函数的图象与x只有一个交点的是( )
A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1
解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D.
【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴
如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．
解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2.
方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．
【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围
若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )
A．0 B．0或2
C．2或－2 D．0，2或－2
解析：若m≠0，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点．由(m＋2)2－4m(12m＋1)＝0，解得m＝2或－2，当m＝0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点．
九年级数学上册 22.2降次——解一元二次方程 黄金分割介绍素材 新人教版
黄金分割介绍
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比.其比值是[5^(1/2)-1]/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618.由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比.这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：
1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.
作黄金分割点的一种方法
让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”.特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和.
作黄金分割点的一种方法
斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的.即f(n)/f(n-1)-→0.618….由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数.但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的.
不仅这个由1,1,2,3,5....开始的“斐波那契数”是这样，随便选两个整数，然后按照斐波那契数的规律排下去，两数间比也是会逐渐逼近黄金比的.
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形.五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的.正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形.
黄金分割三角形还有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形.
九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程课标解读素材 (新版)新人教版
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二次函数与一元二次方程
课标解读
一、课标要求
人教版九年级上册22．2二次函数与一元二次方程一节，内容包括一元二次方程的根的几何意义；二次函数的图象与x轴的三种位置对应一元二次方程根的三种情况；利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．?义务教育数学课程标准〔 2022年版〕?对本节课相关内容提出的教学要求是：会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
二、课标解读
1．本节课是在研究完二次函数的概念、二次函数的图象与性质后，从函数的角度对一元二次方程重新进行分析．这种再认识不是原来水平上的回忆复习，而是站在更高的高度上，借助变量，从“静态研究〞向“动态研究〞转变，将不同的数学对象用二次函数统一起来认识，发挥函数对数与代数内容的统领作用．
2．一元二次方程根的几何意义是：一元二次方程的解，是其对应二次函数 的图象〔一条抛物线〕与x轴交点的横坐标．我们可以这样理解：对于二次函数的图象与x轴交点的横坐标，可以看作是一元二次方程的解；同样对于一元二次方程的解，可以看作是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，两者是统一的．这说明一元二次方程的解可以有其几何直观表示．这种形与数的结合，可以加深对二次函数和一元二次方程的联系认识．
3．二次函数的图象与x轴有三种位置关系：当时，该函数与x轴相交〔有两个交点〕，对应的一元二次方程有两个不等的实数根；当时，该函数与x轴相切〔有且仅有一个交点〕，对应的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，那么该函数与x轴相离〔没有交点〕，对应的一元二次方程没的实数根．
4．在透彻理解一元二次方程根的几何意义的根底上，就可以用二次函数的图象求相应的一元二次方程的解．通过画二次函数的图象，根据其与x轴的公共点的横坐标，就可以得最新Word 欢送下载
到一元二次方程根的近似值，为取得满足给定精确度的近似值，可以通过不断缩小根所在的范围来估计一元二次方程的根．教学中建议使用信息技术手段，例如解方程，只要用几何画板画出相应抛物线，显示抛物线与x轴的公共点的坐标，就能得出相应方程的根．也可以把一元二次方程化为：的形式．那么方程的根，就是二次函数和一次函数的图象的交点的横坐标．
22.2 二次函数与一元二次方程
22.2 二次函数与一元二次方程
一、教学目标
1．经历探索二次函数与一元二次方程联系的过程，使学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系．
2．使学生掌握用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式Δ＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数．
3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想．
二、教学重难点
重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题．
难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想．
教学过程（教学案）
一、情境引入
1.提出问题：同学们一起回忆一下，我们在学习一次函数时，从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系，那么二次函数与一元二次方程之间是否也有联系呢？
2.回忆旧知：同学们还记得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是什么吗？你是如何确定一元二次方程解的个数的？
3.教师过渡：实际上，二次函数与一元二次方程是亲密联系的，今天我们要来探索它们之间的联系，揭开二次函数与一元二次方程之间的秘密．
二、互动新授
1.教学P43“问题”
（1）出示“问题”
（2）提出问题，学生思考讨论
①小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的关系式是什么？(h＝20t－5t2.)
②小球的飞行高度达到15m，这“15m”对应解析式中的哪个字母？
（3）教师分析： 由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．
（4）师生合作探究，共同解答.
2.学生合作交流： 二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系是什么？
教师总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系密切．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m.反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m，求自变量x的值．
22.2二次函数与一元二次方程(第二课时)
课题 22.2二次函数与一元二次方程（二）
授课
时间 2018年 月 日
课时: 第二课时 课型 新授课
实际授课时间 2018年 月 日
教学目标 知识与技能 A.B：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；及满足什么条件时方程有两个不相等的实数根。会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
C：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
过程与方法 A.B：通过观察二次函数图像与x轴的交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。理解一元二次方程hcbxax2的根就是二次函数cbxaxy2与直线hy（h是实数）图像交点的横坐标。通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
C：通过观察二次函数图像与x轴的交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
情感态度价值观 A.B：通过观察二次函数图像与x轴的交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。理解一元二次方程hcbxax2的根就是二次函数cbxaxy2与直线hy（h是实数）图像交点的横坐标。通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
C：通过观察二次函数图像与x轴的交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
教学重点 A.B.C：交点的个数与根的关系，根的判别。
教学难点 A.B：理解一元二次方程hcbxax2的根就是二次函数cbxaxy2与直线hy（h是实数）图像交点的横坐标。
C：使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
教学方法 探究法，引导法，教授法
学习方法 练习法，讨论法
教具 板书多媒体为主，课本
民族团结
教育内容 三个离不开：
少数民族离不开汉族，汉族离不开少数民族，各民族之间相互离不开。
人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程教案
第1页 共9页 22.2 二次函数与一元二次方程
教学目标
1、理解一元二次方程根的几何意义（抛物线与x轴交点的横坐标），掌握二次函数与一元二次方程的关系。
2、知道抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的情况，会灵活运用一元二次方程根的判别式处理二次函数的图像与x轴的交点问题。
3、会用二次函数的图像解决有关方程和不等式的问题，在求解过程中体会数形结合思想。
教学重点
运用一元二次方程根的判别式处理二次函数的图像与x轴的交点问题，用图像法解一元二次方程。
教学难点
用二次函数的图像解决有关方程和不等式的问题。
教学过程
一、温故知新
（1）一次函数y＝x＋3的图象与x轴的交点为（ ， ）
一元一次方程x＋3＝0的根为_______
（2） 一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴的交点（ ， ）
一元一次方程－2x＋4＝0的根为________
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
第2页 共9页 答：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根
问题1
问题1:以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位：m ）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系 h = 20t - 5t2 ．
（1）小球的飞行高度能否达到 15 m？ 如果能，需要多少飞行时间？
（2）小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如果能，需要多少飞行时间？
（3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？ 为什么？
（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
解：（1）解方程
15=20t-5t²
t1=1， t2=3.
当球飞行1s和3s时，
它的高度为15m。 （2）解方程
优质课 精品教案 (省一等奖)《二次函数与一元二次方程(第1课时)》公开课教案
22.2 二次函数与一元二次方程
教学时间 课题 22.2 二次函数与一元二次方程 课型 新授课
教
学
目
标 知 识
和
能 力 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
过 程
和
方 法 使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。
情 感
态 度
价值观 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
教学重点 使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题
教学难点 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想
教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一〞
课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图
一、引言
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。
二、探索问题
问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。
根据设计图纸：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋45。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?
教学要点
1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y＝－x2＋2x＋45最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标；
2．学生解答，教师巡视指导；
3．让一两位同学板演，教师讲评。
问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝时，涵洞顶点与水面的距离为。这时，离开水面处，涵洞宽ED是多少?是否会超过 1m? 教学要点