第六节定积分的应用课件
射线 ,围成的曲边扇形的面积 .
在区间[,]上任取小区间 [,d]
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA1()2d
2
所求曲边扇形的面积为
r()
d
A122()d
x
例5. 计算阿基米德螺线 ra (a0 )对应 从 0 变
到 2 所围图形面积 .
解: A 2 1(a )2 d 02
a2 2
1 3
3
2 0
2a
o
x
d
4 3 a2
3
例6. 计算心形线 r a ( 1 c) o ( a s 0 )所围图形的
面积 .
解: A 2 1a2(1cos)2d 02
a2 4cos4 d
0
2
令t 2
8a2 2cos4tdt 0
8a23 1 3 a 2
422 2
(利用对称性)
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线 yf(x)(0)与直线
y yf(x)
xa,xb(ab)及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
oa x b x
xdx
dAf(x)dx
b
Aa f (x)dx
y yf1(x) yf2(x)
右下图所示图形面积为
b
Aaf1(x)f2(x)dx
o axxdx b x
.
解: 利用对称性 , 有 dAydx
y b
a
A40 ydx
利用椭圆的参数方程
oxxdxa x
xy a bc siottns(0t2)
应用定积分换元法得
A 4
0
bsint (asit)ndt4ab
2sin2tdt
0
2
4ab
1 2
2
ab
当 a = b 时得圆面积公式
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
的面积 .
解: 由 y2 2x 得交点 yx4
(2,2 ),(8,4 )
y ydy
y
y2 2x
(8, 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有
Ad A 4 2 (y41 2y2)dy
o yx4 x
(2,2)
1 2
y2
4y
16y3
4218
例3.
求椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所围图形的面积
chxex ex 2
shxex ex 2
(chx)shx
(shx)chx
例10. 求连续曲线段
x
y 2
costdt的弧长.
解: cx o 0 ,s2x2
s
2
2
1y2dx
22 1( cox)s2dx 0
2 2
2coxsdx
0
2
2
2
2sin2x
2
0
4
例11. 计算摆线 yxaa((1tcsiontst)) (a0)一拱 (0t2)
Mi
B Mn x
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
y f(x )( a x b )
弧长元素(弧微分) : ds(d x)2(d y)2 1y2dx
因此所求弧长
s b 1y2 dx a b 1f2(x) a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
yx ((tt)) (t)
的弧长 .
y
解: ds (d dxt)2(d dyt)2dt
o
2a x
a2(1cot)2 sa2si2nt d t
a2(1co t)d st
2asint dt 2
s022asi2 n tdt2a2cos2t
2 0
8a
例12. 求阿基米德螺线 ra (a0 )相应于 0≤≤2
2
4
5a2 2a2
4
o a 2a x
例8. 求双纽线 r2a2co2s所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
A 4
4
1a2
co2s
d
02
y
4
a2
4
co 2sd(2)
0
a2si2 n4 a2
0
o
ax
4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 ra2sin
所围公共部分的面积 .
答案:
因此所求弧长
s
r2()r2()d
例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,下垂
成悬链线 . 悬链线方程为 ycch x (bxb) c
求这一段弧长 .
y c
b o b x
解: ds 1y2dx
1sh2 xdx ch x dx
c
c
s20bchcxdx
2csh
x c
b 0
(c c2hc sxh)b c1sh x cc c c
2
Ad 0Aa(1co t)sa(1co t)dts
a2 2(1cot)s2dt 0
y
4a2 2si4ntdt
0
2
8a2 sin4udu 0
16a2 2sin4udu 0
o
(令u t ) 2
16a2 3 1 3 a2
42 2
2a x
2. 极坐标情形
设 () C [,] ,() 0 ,求由曲线 r() 及
d
o
2a x
例7. 计算心形线 r a ( 1 c) o ( a s 0 )与圆 ra
所围图形的面积 .
12co s co 2s
解: 利用对称性 , 所求面积
A
1
2
a2
2
2 1 2a2(1cos)2d
1 2(1co2s)
12a2a22 (2 32co s1 2co2ys)d
1a2a2(32)
x y
(t) (t)
给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 t1 , t2 y
oa
bx
(t1对x应 a)
则曲边梯形面积 A t2(t)(t)dt t1
例4. 求由摆线 x a ( t st) i,y n a ( 1 ct) o (as 0)
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
A2
6
0
a2
sin2
d
6412a2co2sd
二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
s lim 0
Mi1Mi
i1
并称此曲线弧为可求长的.
y M i1
A M0 o
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
例1. 计算两条抛物线 y2x,yx2在第一象限所围
所围图形的面积 .
解: 由
y2 x y x2
y
得交点 (0,0),(1,1)
y2 x (1,1)
Ad A 01x x 2d x
2
3
x2
1 x3
1
3 30
1
3
y x2 ox 1 x
xdx
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 yx4所围图形
弧长元素(弧微分) :
ds(d x)2(d y)2
2(t)2(t)dt
因此所求弧长
s
2(t)2(t)dt
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
r r ( )( )
令 x r () co ,y r s () si,则n 得
弧长元素(弧微分) :
ds [x()2 ][y()2 ]d
r2()r2()d
高中定积分的应用.ppt
(
x
轴所0)围上成的的某面点积A为处作1
.试求：切点A的坐标以及切线方程.
12
略解：
y
y=x2
设切点坐标为（x0 , x02 )
y/ 2x 则切线方程为
A
O
(
x
B
0 ,0)
C(x0 , 0) x
2
2021/5/25
y 2x0 x x02
切线与x轴的交点坐标为
( x0 ,0) 2
9
课题：定积分的应用
则由题可知有
S
x0
2 x 2dx
0
x0 x0
(
x
2
2
2x0 x
x02 )dx
x03 12
1 12
x0 1 所以切点坐标与切线方程分别为
A(1,1), y 2x 1
y
y=x2
(另解 :
S
x0 0
x 2dx
1 2
x0 2
x
2 0
x
3 0
1)
12 12
A OB C x
2021/5/25
x
a
2021/5/25
b
bx
y f (x)
12
(3)两条曲线 y f ( x)，y g( x)(其中f ( x) g( x)）
与直线 x a, x b(a b)围成的曲边梯形的面积:
y
y f (x)
y g(x)
a
b
S＝ b[f (x)－g(x)]dx a
bx
y
y f (x)
a
得 x g( y) 4 2 y 当 y (0,1) 时，g(y) f (y)
则所求图形的面积为
最新06第六节定积分的几何应用
06第六节定积分的几何应用第六节定积分的几何应用分布图示★面积表为定积分的步骤★定积分的微元法★直角坐标情形★例1★例2★例3★例4★参数方程情形★例5★极坐标情形★例6★例7★例8★圆锥★圆柱★旋转体★旋转体的体积★例9★例 10★例 11 ★例 12★例 13★平行截面面积为已知的立体的体积★例 14 ★例 15★内容小结★课堂练习★习题5-6内容要点：一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量«Skip Record If...»（总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如«Skip Record If...»为积分变量，并确定它的变化区间«Skip Record If...»，任取«Skip Record If...»的一个区间微元«Skip Record If...»，求出相应于这个区间微元上部分量«Skip Record If...»的近似值，即求出所求总量«Skip Record If...»的微元«Skip Record If...»；(2) 由微元写出积分根据«Skip Record If...»写出表示总量«Skip Record If...»的定积分«Skip Record If...»微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量«Skip Record If...»关于区间«Skip Record If...»应具有可加性，即如果把区间«Skip Record If...»分成许多部分区间, 则«Skip Record If...»相应地分成许多部分量, 而«Skip Record If...»等于所有部分量«Skip Record If...»之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量«Skip Record If...»的近似表达式«Skip Record If...»，即使得«Skip Record If...». 在通常情况下，要检验«Skip Record If...»是否为«Skip Record If...»的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意«Skip Record If...»的合理性.二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 «Skip Record If...»所求曲边扇形的面积 «Skip Record If...»三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 «Skip Record If...»所求旋转体的体积 «Skip Record If...»四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 «Skip Record If...»所求立体的体积 «Skip Record If...»例题选讲：直角坐标系下平面图形的面积例1（E01）求由«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.解面积微元: «Skip Record If...»所求面积: «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例2（E02）求由抛物线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»所围成的面积.解如图,并由方程组«Skip Record If...»解得它们的交点为«Skip Record If...»选«Skip Record If...»为积分变量, 则«Skip Record If...»的变化范围是«Skip Record If...»任取其上的一个区间微元«Skip Record If...»则可得到相应面积微元«Skip Record If...»从而所求面积«Skip Record If...»例3（E03）求由«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.解面积微元:«Skip Record If...»所求面积: «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例4计算由曲线«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.解面积微元:(1) «Skip Record If...»«Skip Record If...»(2) «Skip Record If...»«Skip Record If...»所求面积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例5求椭圆«Skip Record If...»所围成的面积.解椭圆面积: «Skip Record If...»面积微元: «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例6（E04）求双纽线«Skip Record If...»所围平面图形的面积.解面积微元:«Skip Record If...»所求面积:«Skip Record If...»例7（E05）求心形线«Skip Record If...»所围平面图形的面积«Skip Record If...»解面积微元:«Skip Record If...»所求面积:«Skip Record If...»例8求出«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的图形的公共部分的面积（其中«Skip Record If...»）.解如图(见系统演示)，由对称性可知，所求面积为阴影部分面积的8倍，且线段«Skip Record If...»在直线«Skip Record If...»上. 令«Skip Record If...»代入方程«Skip Record If...»得其极坐标方程为«Skip Record If...»于是所求面积可表示为«Skip Record If...»«Skip Record If...»例9（E06）连接坐标原点«Skip Record If...»及点«Skip Record If...»的直线、直线«Skip Record If...»及«Skip Record If...»轴围成一个直角三角形. 将它绕«Skip Record If...»轴旋转构成一个底半径为«Skip Record If...»高为«Skip Record If...»的圆锥体, 计算圆锥体的体积.解体积微元:«Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例10（E07）计算由椭圆«Skip Record If...»围成的平面图形绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转椭球体的体积.解如图所示，该旋转体可视为由上半椭圆«Skip Record If...»及«Skip Record If...»轴所围成的图形绕«Skip Record If...»轴旋转而成的立体 .取«Skip Record If...»为自变量，其变化区间为«Skip Record If...»任取其上一区间微元«Skip Record If...»相应于该区间微元的小薄片的体积，近似等于底半径为«Skip Record If...»高为«Skip Record If...»的扁圆柱体的体积，即体积微元«Skip Record If...»故所求旋转椭球体的体积为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«SkipRecord If...»特别地，当«Skip Record If...»时，可得半径为«Skip Record If...»的球体的体积«Skip Record If...»例11求星行线«Skip Record If...»绕«Skip Record If...»轴旋构成旋转体的体积.解体积微元 :«Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»例12计算由连续曲线«Skip Record If...»、直线«Skip Record If...»、«Skip Record If...»及«Skip Record If...»轴所围成的曲边梯形绕«Skip Record If...»轴旋转一周而成的立体的体积.解体积微元:«Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»例13（E08）求由曲线«Skip Record If...» «Skip Record If...»所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积.解画出草图,并由方程组«Skip Record If...»解得交点为«Skip Record If...»及«Skip Record If...»于是,所求绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转体的体积«Skip Record If...»所求绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转体的体积«Skip Record If...»例14（E09）一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角«Skip Record If...»（图5-6-18），计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解截面面积:«Skip Record If...»体积微元: «Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»例15求以半径为«Skip Record If...»的圆为底、平行且等于的圆直径的线段为顶、高为«Skip Record If...»的正劈锥体的体积.解取底圆所在的平面为«Skip Record If...»平面，圆心«Skip Record If...»为原点,并使«Skip Record If...»轴与正劈锥的顶平行.底圆的方程为 «Skip Record If...»过«Skip Record If...»轴上的点«Skip Record If...»作垂直于«Skip Record If...»轴的平面,截正劈锥体得等腰三角形.这截面的面积为«Skip Record If...»于是所求正劈锥体的体积为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»即正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半.课堂练习1.求正弦曲线«Skip Record If...»和直线«Skip Record If...»及x轴所围成的平面图形的面积.2.求由曲线«Skip Record If...»及直线«Skip Record If...»所围成的平面图形的面积.3.求由抛物线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»围成的图形,绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转体的体积.。
定积分的应用课件
液体静压力计算步骤
详细阐述液体静压力计算的步骤，包 括确定计算区域、选择坐标系、列出 被积函数等。
其他物理问题中定积分应用
引力计算
通过定积分求解质点系或连续体 之间的引力问题。
波动问题
将波动问题转化为定积分问题， 进而求解波动过程中的各种物理 量。
01
02
电场强度计算
利用定积分求解电荷分布连续体 所产生的电场强度。
消费者剩余和生产者剩余计算
消费者剩余计算
消费者剩余是消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。在需求曲线和价格线之间的面积表示消费者 剩余，可以通过定积分计算。
生产者剩余计算
生产者剩余是生产者实际得到的价格与愿意接受的最低价格之间的差额。在供给曲线和价格线之间的面积表示 生产者剩余，同样可以通过定积分计算。
01
通过定积分求解绕x轴或y轴旋转一周所得旋转体的体积。
平行截面面积为已知的立体体积计算
02
利用定积分将立体划分为无数个平行截面，通过截面面积和高
度求解体积。
参数方程表示立体体积计算
03
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分求解体积。
曲线弧长求解方法
1 2
直角坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在直角坐标系下的弧长。
参数方程表示曲线弧长计算
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分 求解弧长。
3
极坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在极坐标系下的弧长。
03
定积分在物理学中应用
变力做功问题求解方法
微元法求解变力做功
通过将变力做功的过程划分为无数个微小的 元过程，每个元过程中力可视为恒力，从而 利用定积分求解变力做功。
《数学定积分的应用》课件
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差 的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和 或求差。
区间可加性
定积分具有区间可加性，即对于任意两个不重叠 的区间[a, b]和[b, c]，有 ∫(a,c)f(x)dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(b,c)f(x)dx。
积分中值定理
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么至少存在 一个点ξ∈[a, b]，使得∫(a,b)f(x)dx=f(ξ)(b-a)。
电路中的电流和电压
要点一
总结词
定积分在电路分析中用于计算电流和电压，通过求解电路 中的微分方程，可以得到电流和电压的分布。
要点二
详细描述
在电路分析中，电流和电压的变化规律通常由微分方程描 述。通过应用定积分，可以将电路中的电压和电流表示为 时间的函数。然后通过求解这个微分方程，可以得到电流 和电压在整个电路中的分布情况。
详细描述
对于曲线形构件，其质量可以通过定积分计算。首先，确定构件的材料密度分 布，然后对密度函数在构件的体积上进行积分，得到构件的总质量。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度
详细描述
在引力场中，物体受到的引力大小与物体质 量成正比，与物体之间的距离的平方成反比 。通过定积分计算在某一空间区域内的引力 场强度，即在该区域内所有物体产生的引力 对该点的合力。具体地，将引力函数在空间 区域上进行积分，得到该区域内的引力场强 度。
dx进行计算。
功和压力
总结词
定积分可以用于计算变力做功和压力。
详细描述
对于一个质点在力F(x)=f(x)*dx的作用下沿直线运动 ，力F所做的功可以通过计算定积分得出，公式为 ∫(b a) f(x) dx。
《高中定积分的应用》课件
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这 些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导 或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理 解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当 的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何 形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、 边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策 者判断生产、定价和销售等方面的最优策略 。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给 价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需 求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源 配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析 工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报 。
THANK YOU
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某 个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法
第六讲定积分的应用-文档资料61页
（1）选取适当的坐标系
（2）确定积分变量和变化范围
（3）在 [x,xdx上]取好元素 dA=f(x)dx
经常运用“以匀代变”，“以直代曲”的思想
（4）把所求的量表示成定积分
b
a
f
( x )dx
高等数学专题讲座——定积分的应用
4、定积分的应用类型
1）几何应用
平面图形的面积 特殊立体的体积 旋转体的表面积
cosx cosx 4
0
高等数学专题讲座——定积分的应用
2、实际应用出错
例2.2 模拟火箭自静止开始竖直向上发射，设起动时即有最
大加速度，以此时为起点，加速度满足 a(t)1004t2。求
火箭前5秒内的位移?
错解：S ( 5 ) 0 5 a ( t ) d t 0 5 ( 1 0 0 4 t 2 ) d t [ 1 0 0 t 4 3 t 3 ] 0 5 1 0 3 0 0
2
或 [y,ydy]所对应的曲边梯形为 S , 是以直代曲
所形成的矩形为 S 1 , 则绕x轴、y轴旋转而成的旋
转体的体积微元d V 就是矩形 S 1分别绕x轴、y轴
旋转而成的体积.
高等数学专题讲座——定积分的应用
解: (一) 求 x绕轴旋转而成的旋转体的体积
（1）确定积分变量和积分区间：绕 x轴旋转如图,
解上面的积分得：
A 0 exdx 1(ex ex)dx
0
lim
0exdx(ex
e
1
x2)
e
a a
2 02
高等数学专题讲座——定积分的应用
例3.3 求由摆线 xa(tsitn), ya(1cot)s的一拱
高等数学-第六章-定积分的应用
两段积分, 故以 y 为积分变量.
y
A 3 (2y 3) y2 dy 32
1
3
3 y
s
弧线段局部
3
1 1 4 y2 dy
直线段局部
3 1
1 22 dy
O 1
3 37 5 5 1 ln(6 37) ln(2
4
x2y3 0 x
x y2
5)
作业
P284 3; 12; 18
第三节
第六章
定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到
x b , 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在[a ,b]上任取子区间[x, x d x]，在其上所作的功元
y
a
(1
cos
t)
(a 0)
y 2a
x x2 ( y)
绕 y 轴旋转而成的体积为
O
πa 2πa x
Vy
2a 0
π
x22 ( y) d
y
2 0
a
π
x12
(
y)
d
y
x x1( y)
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
y y f (x)
x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 那么
Oa x bx x dx
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
( 人教A版)定积分在几何中的应用课件 (共36张PPT)
a
b
D.cf(x)dx－bf(x)dx
b
a
解析：由图可知，x 轴上方阴影部分的面积为cf(x)dx，x 轴下方阴影部分的面 b
积为－bf(x)dx，故 D 正确． a
答案：D
2．图中阴影部分的面积等于________．
解析：根据积分应用可知所求面积为13x2dx＝x3|10＝1. 0
答案：1
怎样求由多条曲线围成的较为复杂的图形的面积？ 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方 和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将 积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在 每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取 x 运算较为复杂，可以 选 y 为积分变量，这时 y 为自变量，x 是函数，故应把函数表达式变形成用 y 表示 x 的形式．
解方程组yy＝ ＝2xx2，，
得xy＝＝00，，
x＝2， y＝4，
解方程组yy＝ ＝xx， 2，
得xy＝＝00，，
x＝1， y＝1.
所以所求面积为 S＝1(2x－x)dx＋2(2x－x2)dx
0
1
＝1xdx＋2(2x－x2)dx
0
1
＝12x210 ＋x2－13x321 ＝76.
∴此平面图形的面积为76.
课时作业
[自主梳理]
一、利用定积分求曲边多边形的面积
1．在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地
确定出 被积函数及积分的上、下限 ．
2．若一平面图形是由 y＝f1(x)，y＝f2(x)及 x＝a，x＝b(a<b)所围成，并且在[a，b]上
f1(x)≤f2(x)，则该平面图形的面积 S＝