长沙市2017届高三年级统一模拟考试数学试题(文科)答案
3
2
AP = cosθ AB + sinθ AD，由平面向量基本定理知： x = cosθ , y = sinθ ，因
3
2
3
2
此 3x + 2 y = cosθ + sinθ = 2 sin(θ + π ) ，又因为θ ∈ (0, π ) ，故 3x + 2 y 的取
4
2
值范围是 (1, 2] .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）
,
…………9 分
而六面体 ABCED 的体积=四面体 ABDE 的体积+四面体 ABCE 的体积
故所求六面体的体积为 2
…………12 分
20．（本小题满分 12 分）
解：(1) 设 C 点坐标为 (x, y) ，则 B 点坐标为 ( x ,0) . 2
因为 AC 是直径，所以 BA ⊥ BC ，或 C、B 均在坐标原点.
…………6 分 …………9 分
故 x ∈ (0,1) 时 F′(x) < 0, F (x) 单调递减； x ∈ (1,+∞) 时 F′(x) > 0, F (x) 单调递增；
而 F(m) = F(n) ，
故0< m<1< n或0< n <1< m，
所以 (m −1)(n −1) < 0 .
…………12 分
设 C(x1, y1), P(x2 , y2 ) ，则有 x1x2 = −16 .
由 y = x2 对 x 求导知 y′ = x ，P
处的切线斜率 k2
=
x2 4
，
x12
直线 BC 的斜率 k1
=
8
x1
−
x1 2
=
x1 4
，
于是
k1k2
=
x1 x2 16
= −16 = −1. 16
−
1 2n +
1
，
所以 Sn
=
1 (1
−
1 3)
+
1 (3
−
1 5)
+
1
1
+ (2n − 1 − 2n + 1)
1 = 1 − 2n + 1
令
1
−
1 2n +
1
>
2016 2017
，
解得 n > 1008，故取 n = 1009 .
…………9 分 …………12 分
数学（文科）参考答案第 3 页 共 8 页
解：(1)设等差数列 {an}的公差为 d ，
依题意有 ⎩⎨⎧a21a1++43dd==38a1 + 3d ，
…………3 分
解得 a1 = 1, d = 2 ，
从而 {an}的通项公式为 an = 2n − 1， n ∈ N * ；
…………6 分
(2)
因为 bn
=
2 an an +1
=
1 2n −
1
⎪⎩2 ≤ x ≤ 4 为 2.
数学（文科）参考答案第 1 页 共 8 页
10．解析：令 f (x) = ln x − x2 ，定义域为 (−∞,0) ∪ (0,+ ∞) 且
f (−x) = ln x − x2 = f (x) ，故函数 y = ln x − x2 为偶函数，图象关于 y 轴对称，排
(a1, b1), (a1, b2 ), (a1, b3 ), (a2, b1), (a2 , b2 ), (a2 , b3) 故 P(Ζ) = 6 = 3 .
10 5 即挑选的两人恰好分别来自 A、B 两组的概率是 3 .
5
19．（本小题满分 12 分）
解：(1)作 DF ⊥ AB ，交 AB 于 F ，连结 CF . 因为平面 ABC ⊥ 平面 ABD ， 所以 DF ⊥ 平面 ABC ， 又因为 EC ⊥ 平面 ABC ， 从而 DF ∥ EC . 因为 ΔABD 是边长为 2 的等边三角形，
长沙市 2017 届高三年级统一模拟考试
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1．解析： B = {−2,3} ，故 A ∩ B = {3}.选 C.
2．解析： 3i(1+ i) = −3 + 3i ，故其对应点在第二象限.选 B.
故 F (x) 的单调递增区间为 (−∞，0)，(0，+ ∞) ，无单调递减区间.
(2)因为直线 x = m与x = n 平行，
数学（文科）参考答案第 6 页 共 8 页
…………2 分 …………4 分
故该四边形为平行四边形等价于 f (m) − g(m) = f (n) − g(n) 且 m > 0, n > 0, m ≠ n .
除 B、D；考虑 g(x) = ln x − x2 ，g′(x) = 1 − 2x ，当 x ∈ (0, 2 ) 时 g′(x) = 1 − 2x > 0 ，
x
2
x
g(x) = ln x − x2 单调递增，排除 C.选 A.
11 ． 解 析 ：
设
ΔABC
的外接圆半径
为
R
，则
2R
=
3 sin 2π
=2
a c
，故
a2 c2
=
1 2
，从而离心率
e = c = 2 .选 D. a
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分.
13．解析：
因为 an = − an-1
2
，故 ( an )2 an-1
=
2 ，从而 ln(a2017 )2
− ln(a2016 )2
=
ln( a2017 a2016
)2
=
ln 2 .
18．（本小题满分 12 分）
解：(1)根据卡方公式求得 K 2 =10，
因为 7.897< K 2 <10.828
所以该研究小组有 99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学习有影响. ……4 分
(2)记 A 组推选的两名同学为 a1, a2 ， B 组推选的三名同学为 b1, b2 , b3 ，
因此 QC ⊥ PQ .
所以 ΔPQC 恒为直角三角形.
…………5 分 …………8 分 …………10 分 …………12 分
21．（本小题满分 12 分）
解：(1) F (x) = ex − a ，其定义域为 (−∞，0) ∪ (0，+ ∞) x
而
F ′( x)
=
ex
+
a x2
，
当 a > 0 时， F′(x) > 0 ，
14．解析：该样本中 AQI 大于 100 的频数为 4，频率为 2 ，以此估计该地全年 AQI 5
大于 100 的频率为 2 ，故该地该年 AQI 大于 100 的天数为 365× 2 = 146 天.
5
5
15．解析：
2sin(π − α ) + sin 2α 2 cos2 α
=
2sin α + 2sin α cosα 1+ cosα
当 a = −e 时， F (x) = f (x) − g(x) = ex + e (x > 0) ， x
则 F ′(x) = ex − e .令 g(x) = F ′(x) = ex − e
x2
x2
则
g ′( x)
=
ex
+
2e x3
>
0
,
故
F ′(x)
=
ex
−
e x2
在 (0，+
∞)
上单调递增；
而 F ′(1) = e − e = 0 ， 12
请考生在 22、23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写 清题号 22．(本题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程
解：(1)由
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
2 + cosα 4 + sinα
知
(x
−
2)2
+
(y
−
4)2
=1，
故曲线 C1 的直角坐标方程为： x2 + y2 − 4x − 8y + 19 = 0 .
…………9 分 …………12 分
…………3 分
所以 DF = 3 ，
因此 DF = EC ， 于是四边形 DECF 为平行四边形， 所以 DE ∥CF ， 因此 DE ∥平面 ABC .
数学（文科）参考答案第 4 页 共 8 页
…………6 分
(2) 因为 ΔABD 是等边三角形，
所以 F 是 AB 中点，
将 ρ cosθ = x, ρ sin θ = y 代入 ρ(cosθ − m sinθ ) + 1 = 0 知
曲线 C2 的直角坐标方程为 x − my + 1 = 0 (2)曲线 C1 是圆心为 (2,4) ，半径为 1 的圆， 故 P 点坐标为 (2,3) ，代入 x − my + 1 = 0 求得 m =1.
3．解析：相邻最高点与最低点的纵坐标之差为 2，横坐标之差恰为半个周期π ，故它 们之间的距离为 π 2 + 4 .选 A.
4．解析：易知 b = c = 2 ，故 a2 = b2 + c2 = 4 ，从而其标准方程为 x2 + y2 = 1. 42
选 C.
1
2017届湖南省长沙市长郡中学高三入学考试数学(文)试题(答案详解版)
文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{|1}U x x =>，集合{|2}A x x =>，则U C A =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|12}x x << C ．{|2}x x > D ．{|2}x x ≤2.设i 是虚数单位，则复数25()2i i-+=+（ ） A ．22i - B ．1i - C ．3i - D ．115i - 3.已知(cos,sin )66a ππ=，55(cos ,sin )66b ππ=，则||a b -=（ ） A ．1 B ．62 C ．3 D ．1024.分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为（ ） A ．710 B ．310 C ．35 D ．255.在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．15 6.将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ）7.某棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该棱锥的体积等于（ ） A ．310cm B ．320cm C ．330cm D ．340cm8.已知点(1,2)-和33在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A ．(,)43ππB ．3(0,)(,)34πππC ．35(,)46ππD ．23(,)34ππ9.若不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩表示的区域Ω，不等式2211()24x y -+≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻约为（ ） A ．114 B ．10 C ．150 D ．5010.已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点F 也是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，1C 与2C 的一个交点为P ，若PF x ⊥轴，则双曲线1C 的离心率为（ ）A 21B 2C 21D 3111.已知函数22()()()n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数且()(1)n a f n f n =++，则12350a a a a ++++=（ ）A ．50B ．60C ．70D ．80 12.若函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间上单调递增的是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(2,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，'()f x 为()f x 的导函数，'(1)2f =，则a = .14.若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 .15.抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .16.若定义在区间D 上的函数()y f x =满足：对,x D M R ∀∈∃∈，使得|()|f x M ≤恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上有界，则下列函数中有界的是 .①sin y x =；②1y x x=+；③tan y x =；④x x x xe e y e e ---=+；⑤321(44)y x ax bx x =+++-≤≤，其中,a b R ∈.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分） 已知函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值.（1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知31,2,()2a b f A ===，求角C . 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD AB ，2AB BC CP BP ====，1CD =. （1）求点B 到平面DCP 的距离；（2）点M 为线段AB 上一点（含端点），设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求sin α的取值范围.19. （本小题满分12分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中,n p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10,15)的概率. 20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上的左、右顶点分别为,A B ，1F 为左焦点，且1||2AF =，又椭圆C 过点(0,23).（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2216x y +=上（点,A B 除外），设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若1234k k =，证明：,,A P Q 三点共线. 21. （本小题满分12分） 已知函数()ln f x x x =.（1）求函数()y f x =的单调区间和最小值； （2）若函数()()f x a F x x -=在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （3）若k Z ∈，且()(1)0f x x k x +-->对任意1x >恒成立，求k 的最大值. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若,,,D E C F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线112:3x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求||AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的123倍，得到曲线2C ，设点P是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|2|2f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|64}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围.详细答案1.A【解析】本题主要考查集合的基本运算.由补集的定义可知,,故选A.2.B【解析】本题主要考查复数的基本运算.=,故选B.3.C【解析】本题主要考查平面向量的线性运算和向量的模. ,=====,故选C.4.A【解析】本题主要考查几何概型.根据题意,,所以点所在的平面区域是一个面积为15的长方形,而满足的点所在的平面区域是一个面积为的直角梯形,所以的概率为,故选A.5.B【解析】本题主要考查流程图.由流程图可知,,故选B.6.D【解析】本题主要考查余弦函数的图象. 将函数的图象向左平移个单位后得到,故选D.7.B【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由三视图可知,该几何体为四棱锥,其底面是边长为5的正方形,高为,所以体积为,故选B.8.D【解析】本题主要考查二元一次不等式表示的平面区域、直线的倾斜角和斜率.因为点和在直线的同侧,所以,解得,所以直线斜率,所以直线倾斜角的取值范围是,故选D.【解析】本题主要考查几何概型. 不等式组表示的区域是一个三角形,其面积为,不等式表示的区域的面积即为圆的面积,等于,区域和区域的相交部分是一个整圆去掉一个弓形,其面积为,所以落入区域中的概率为,所以向区域均匀随机撒360颗芝麻,则落在区域中芝麻约为,故选A.10.A【解析】本题主要考查双曲线和抛物线的性质.根据题意,,设双曲线的另一个焦点为,则,因为为直角三角形,所以,根据双曲线的定义,,所以,所以双曲线的离心率为=,故选A.11.A【解析】本题主要考查数列求和.由条件可知,当时,,当时,,所以===,故选A.12.D【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.由题意知,因为函数的导函数在区间上有零点,所以令则,又,所以,令,解得,即函数的单调递增区间为,因为所以与题意相符,故选D.13.2【解析】本题主要考查导数运算.,所以,故答案为2.【解析】本题主要考查简单的线性规划.先画出不等式组所表示的平面区域,由图象可知,当直线过的交点时取得最大值,代入可得最大值为4,所故答案为4.15.【解析】本题主要考查抛物线和双曲线的方程和性质.设与轴的交点为D,则=, ,所以点的坐标为,又点在双曲线上,所以,解得,故答案为.16.①④⑤【解析】本题主要考查函数的性质.对于①,显然存在对,使得恒成立,所以①是有界的;对于②,该函数为奇函数,定义域为,当时,,故不存在,使得恒成立,所以②不是有界的;对于③,由于其值域为,故不存在,使得恒成立,所以③不是有界的;对于④,设,则,故存在对,使得恒成立,所以④是有界的;对于⑤,其中,由于函数是闭区间上的连续函数,故必存在,对,使得恒成立,所以⑤,其中是有界的,故答案为①④⑤.17.(Ⅰ)f(x)=2sin x·+cos xsin φ-sin x=sin x+sin xcosφ+cos xsin φ-sin x=sin xcosφ+cos xsin φ=sin(x+φ).因为f(x)在x=π处取最小值,所以sin(π+φ)=-1,故sin φ=1.又0<φ<π,所以φ=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=sin(x+)=cos x.因为f(A)=cos A=,且A为△ABC的内角,所以A=.由正弦定理得sin B==,所以B=或B=.当B=时,C=π-A-B=π--=,当B=时,C=π-A-B=π--=.综上所述,C=或C=.【解析】本题考查三角函数的性质、三角恒等变换、正弦定理等基础知识,考查考生的运算求解能力,考查分类与整合的数学思想.第一问实际上就是通过三角恒等变换把函数转化为一个角的三角函数,然后根据三角函数的性质即可解决;第二问在第一问的基础上根据给出的条件可以求出角A或角A的一个三角函数值,这样就把问题转化为在三角形中已知两边及一边的对角,解这个三角形.18.(1)过点作,由平面平面可知,即点到面的距离,在正中,,即点到平面的距离为.(2)∵,所以点到平面的距离即点到平面的距离,而,所以.【解析】本题主要考查空间中垂直的证明和距离的求解. (1) 过点作,由平面平面可知,即点到面的距离;(2)确定点到平面的距离即点到平面的距离,利用的范围即可求出的取值范围.19.(1)因,所以,所以,,.中位数位于区间,设中位数为,则,所以,所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次.(2)由题意知样本服务次数在有20人,样本服务次数在有4人,如果用分层抽样的方法从样本服务次数在和的人中共抽取6人,则抽取的服务次数在和的人数分别为:和.记服务次数在为,在的为.从已抽取的6人任选两人的所有可能为:,,,共15种,设“2人服务次数都在”为事件,则事件包括共10种,所有.【解析】本题主要考查频率分布表、频率分布直方图、分层抽样、古典概型. (1)先根据频率分布表的第一行求出的值,接着就可以依次求出的值,再根据频率分布直方图中中位数两边的面积相等就可求出中位数;(2)根据分层抽样的原则,先求出样本服务次数在和的人数,再求出从这6人中选2人的方法总数和2人服务次数都在的方法数,进而就可求出从这6人中选2人,2人服务次数都在的概率.20.(1)由已知可得,又,解得,故所求椭圆的方程为.(2)由(1)知,,设,所以,因为在椭圆上,所以,即,所以.又因为,所以.()由已知点在圆上,为圆的直径,所以,所以)由()()可得,因为直线有共同点,所以三点共线.【解析】本题主要考查直线和圆锥曲线. (1)由椭圆性质和求得,即可得到椭圆的方程;(2)要证三点共线,只需证直线斜率相等.设,求得,根据的关系证明结论即可.21.(1)因为,令,即,所以,同理,令,可得,所以的单调递增区间为,单调减区间为.(2),Ⅰ．当时,在上单调递增,,所以,舍去. Ⅱ．当时,在上单调递减,在上单调递增,①若在上单调递增,,所以,舍去,②若在上单调递减,在上单调递增,所以,解得.③若在上单调递减,,所以,舍去,综上所述,.(3)由题意得:对任意恒成立,即对任意恒成立.令,则,令,则,所以函数在上单调递增,因为方程在上存在唯一的实根,且,当时,,即,当时,,即.所以函数在上递减,在上单调递增.所以所以,又因为,故整数的最大值为3.【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用. (1)先求出函数的导函数,令求出增区间,令求出减区间,进而就可得到函数的最小值;(2)求出函数的导函数,通过对和分别讨论得到函数的单调性从而求出函数在上的最小值,然后令其等于即可求出的值;(3)先将不等式变形为,令,对其求导,得到其单调性,求出其最小值,从而就可求出的取值范围,进而得到的最大值.22.(1)∵的平分线与圆交于点∴,∵,∴,∴,∴.(2)因为四点共圆,所以,由(1)知,,所以.设,因为,所以,所以,在等腰三角形中,,则,所以.【解析】本题主要考查直线和直线平行的证明、圆内接四边形的性质. (1)通过证明内错角相等得到;(2)由四点共圆可得,然后利用三角形内角和为计算出的值.23.(1)直线的普通方程为的普通方程为,联立方程组,解得与的交点为,则.(2)曲线为为参数),故点的坐标是,从而点到直线的距离是,由此当时,取得最小值,且最小值为.【解析】本题主要考查参数方程. (1)将直线和曲线的参数方程都化为普通方程,并联立两个方程,求出交点坐标,利用两点间的距离公式便可求出;(2)根据坐标变换得出曲线的方程,利用点到直线的距离公式,结合三角函数的最值便可得到点到直线的距离的最小值.24.(1),∴,∴,.(2)由(1)知,,的图象如图:要使解集非空,或,∴.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法. (1)由解得,结合不等式的解集即可得到的值; (2)不等式整理可得,令画出的图象,结合图象,要使解集非空,需满足或,解之得到的取值范围.参考答案一、选择题 ABCAB ABDAA AD 二、填空题13. 2 14. 4 15. 23 16.①④⑤ 三、解答题17.（1）1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=•+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++- sin cos cos sin sin()x x x ϕϕϕ=+=+（2）因为3()2f A =，所以3cos 2A =，因为角A 为ABC ∆的内角，所以6A π=. 又因为1,2a b ==，所以由正弦定理，得sin sin a bA B=， 也就是sin 12sin 222b A B a ===， 因为b a >，所以4B π=或34B π=.当4B π=时，76412C ππππ=--=；当34B π=时，36412C ππππ=--=. 18．（1）过点B 作BF PC ⊥，由平面DCP ⊥平面BCP 可知，BF 即点B 到面DCP 的距离，在正PBC ∆中，3BF =B 到平面DCP 3（2）∵//CD AB ，所以点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离，而[2,MP ∈，所以sin BF MP α=∈. 19．（1）因200.25M ÷=，所以80M =，所以500.62580n ==， 310.250.6250.050.07540p =---==， 10.12558n a ===. 中位数位于区间[15,20)，设中位数为(15)x +，则0.1250.25x =，所以2x =，所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次. （2）由题意知样本服务次数在[10,15)有20人，样本服务次数在[25,30)有4人，如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在[10,15)和[25,30)的人数分别为：206524⨯=和46124⨯=. 记服务次数在[10,15)为12345,,,,a a a a a ，在[25,30)的为b . 从已抽取的6人任选两人的所有可能为：121314151232425234(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a b a a a a a a a b a a 3534545(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a a a b a b 共15种，设“2人服务次数都在[10,15)”为事件A ，则事件A 包括1213141523242534(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a a a a a a a a 3545(,),(,)a a a a共10种， 所有102()153P A ==.20．（1）由已知可得2,a c b -==22212b a c =-=，解得4a =，故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x •=•=+--，因为11(,)P x y 在椭圆C 上，所以221111612x y +=，即22113124y x =-，所以2112131234164PA x k k x -•==--. 又因为1234k k =，所以21PA k k •=-.（a ） 由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径， 所以QA QB ⊥，所以21QA k k •=-（b ）由（a ）（b ）可得PA QA k k =，因为直线,PA QA 有共同点A ， 所以,,A P Q 三点共线.21.（1）因为'()ln 1(0)f x x x =+>，令'()0f x ≥，即1ln 1ln x e -≥-=，所以1x e≥， 同理，令'()0f x ≤，可得1(0,]x e∈，所以()f x 的单调递增区间为1[,)e+∞，单调减区间为1(0,]e.（2）()ln a F x x x =-，'2()x a F x x+=， Ⅰ．当0a ≥时，'()0F x >，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去.Ⅱ．当0a <时，()F x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增， ①若(1,0)a ∈-，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去， ②若[,1]a e ∈--，()F x 在[1,]a -上单调递减，在[,]a e -上单调递增，所以min 3()(1)ln()2F x F a a ==-+=，解得[,1]a e =--. ③若(,)a e ∈-∞-，()F x 在[1,]e 上单调递减，min 3()()12a F x F e e ==-=，所以(,)2ea e =-∉-∞-，舍去，综上所述，a =（3）由题意得：(1)ln k x x x x -<+对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立.令ln ()1x x x h x x +=-，则'2ln 2()(1)x x h x x --=-，令()ln 2(1)x x x x ϕ=-->，则'11()10x x x xϕ-=-=>，所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，因为方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈，当01x x <<时，()0x ϕ<，即'()0h x <，当0x x >时，()0x ϕ>，即'()0h x >.所以函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增. 所以0000min 0000(1ln )(12)()()(3,4)11x x x x h x h x x x x ++-====∈--所以min 0()k g x x <=，又因为0(3,4)x ∈，故整数k 的最大值为3. 22.（1）∵BAC ∠的平分线与圆交于点D ∴EDC DAC ∠=∠，DAC DAB ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∴EDC DCB ∠=∠， ∴//BC DE .（2）因此,,,D E C F 四点共圆，所以CFA CED ∠=∠， 由（1）知，ACF CED ∠=∠， 所以CFA ACF ∠=∠. 设DAC DAB x ∠=∠=，因为AC BC =，所以2CBA BAC x ∠=∠=，所以3CFA FBA FAB x ∠=∠+∠=，在等腰三角形ACF 中，7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=， 则7x π=，所以227BAC x π∠==.23.（1）直线l 的普通方程为3(1)y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组223(1)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得l 与1C 的交点为13(1,0),(,2A B ，则||1AB =.（2）曲线2C 为1cos 23sin 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P 的坐标是13(cos ,sin )22θθ，从而点P 到直线l 的距离是33|cos sin 3|322[2sin()2]244d θθπθ--==-+，由此当sin()14πθ-=-时，d 取得最小值，且最小值为6(21)4-. 24.（1）|2|62x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-， ∴333322a x a -≤≤- 3362a -=-，2a =-. （2）由（1）知，2|22|1(1)x k x ++≤-，23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩，()g x 的图象如图：要使解集非空，212k ->或211k -≤-， ∴{|330}k k k k ><=或或.。
2017年湖南省长沙市天心区长郡中学高三文科一模数学试卷
2017年湖南省长沙市天心区长郡中学高三文科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知全集，集合，，则A. B.C. D.2. 设复数（为虚数单位），则的虚部为A. B. C. D.3. 已知等比数列，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 函数的图象大致为A. B.C. D.5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地，请问第三天走了A. 里B. 里C. 里D. 里6. 据统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学学习时间与数学成绩进行数据收集如表：由表中样本数据求回归直线方程，则点与直线的位置关系为是A. 点在直线左侧B. 点在直线右侧C. 点在直线上D. 无法确定7. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为A. B. C. D.8. 要得到函数的图象，只要将函数的图象______A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位9. 执行如图的程序框图，若输入，，分别为，，，则输出的A. B. C. D.10. 已知数列的通项公式为，其前项和为，则A. B. C. D.11. 已知直线过点且与：相切于点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，一条渐进线平行于，则的方程为A. B. C. D.12. 已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围是A. B.C. D.二、解答题（共11小题；共143分）13. 若，满足约束条件则的最小值为______．14. 已知点，，点在第二象限，且，，则______．15. 椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，右顶点为，直线与交于点．若，则的离心率等于______．16. 函数所有零点的和等于______．17. 已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，试判断的形状．18. 某校卫生所成立了调查小组，调查“按时刷牙与不患龋齿的关系”，对该校某年级名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：按时刷牙且不患龋齿的学生有名，不按时刷牙但不患龋齿的学生有名，按时刷牙但患龋齿的学生有名．附：．（1）该校名校卫生所工作人员甲、乙、丙、丁被随机分成两组，每组人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲乙分到同一组的概率．（2）是否有的把握认为该年级学生的按时刷牙与不患龋齿有关系?19. 如图，菱形的边长为，，，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．（1）求证： 平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积．20. 已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线与曲线交于点，，点为线段的中点，若，求面积的最大值．21. 对于定义域为的函数，如果同时满足：①对任意的，总有；②；③若，，，都有成立，则称函数为理想函数．（1）若函数为理想函数，证明：；（2）试判断函数，，是否是理想函数．22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．与交于，两点．（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；（2）设点求的值．23. 设函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求实数的值．答案第一部分1. D2. D3. C4. A5. B6. C7. C8. B9. D 10. D11. D 12. A第二部分13.14.15.16.17. （1）由，得所以的单调递增区间为．（2）因为，所以．所以．因为，所以．所以．因为，，所以．因为，，所以．所以．所以为直角三角形．18. （1）人分组的所有情况如下表；小组收集数据甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁处理数据丙丁乙丁乙丙甲丁甲丙甲乙因此人分组的情况共有种，其中工作人员甲乙分到同一组有种．所以工作人员甲乙分到同一组的概率使．（2）根据题意，列联表如下，按时刷牙不按时刷牙总计不患龋齿患龋齿总计因为．所以有的把握认为该年级学生的按时刷牙与不患龋齿有关系．19. （1）因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点，又点是棱的中点，所以是的中位线，，因为平面，平面，所以 平面．（2）由题意，，因为，所以，，又因为菱形，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面．（3）三棱锥的体积等于三棱锥的体积，由（Ⅱ）知，平面，所以为三棱锥的高，的面积为，所求体积等于．20. （1）设动圆的半径为，由已知，，则有，所以的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，，所以曲线的方程为．（2）设直线，，，代入椭圆方程，整理得：有，，，，由中点坐标公式可知：，因为，所以设直线与轴的交点为，则面积，设，则，当时，即时，满足，的面积取得最大值．21. （1）取，则，所以，所以．又对任意的，总有，所以．于是．（2）对于，，不满足新定义中的条件②，所以，不是理想函数．对于，，显然，且．任意的，，，即．所以是理想函数．对于，，显然满足条件①②．对任意的，，有，即．所以，不满足条件③．所以不是理想函数．综上，是理想函数，与不是理想函数．22. （1）曲线的参数方程为（为参数），普通方程；直线的极坐标方程为，即，：．（2）点在上，的参数方程为（为参数）代入整理得，，由题意可得．23. （1）当时，不等式，即，即，所以，或，求得，或，故不等式的解集为或．（2）不等式，即，即，可得求得．再根据不等式的解集为，可得，所以．。
【全国百强校word】湖南省长沙市长郡中学2017届高三5月模拟考试文数试题
D．0
2
2
11.双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0
的左、右焦点分别为
F1
、F2
，P
为双曲线右支上一点，且
PF1
PF2
0，
若
PF1F2
12
,
6
，则双曲线离心率的取值范围是（
）ห้องสมุดไป่ตู้
A． 2, 3 1
B． 2, 2 3 1
C. 2, 2
D． 2, 3 1
12.设正实数 x, y, z 满足 x2 3xy 4 y2 z 0 ，则当 xy 取得最大值时， 2 1 2 的最大值为（ ）
z
xyz
9
A．0
B．1
C.
D．3
4
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
A．0
B．1
C.2
D．3
5.若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n ，则记为 N n mod m ，例如10 4 mod 6 ，如图程序框图
的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入 a 2 ，b 3 ，c 5 ， 则输出的 N n （ ）
1
A．6
B．9
C.12
D．21
6.已知
A ， B 是圆 O : x2
y2
4 上的两个动点，
AB
2 ， OC
5
OA
2
OB
，若 M
是
【湖南省长沙一中】2017届高三上学期月考数学试卷(文科)(五) -答案
女性男性总计网购达人50555非网购达人301545总计8020100∵EH=AD=BC=BG，EF∥BC，∠ABC=90°．3湖南省长沙一中2017届高三上学期月考数学试卷（文科）（五）解析1．【分析】由已知中，集合A={x|x2-2x≤0}，解二次不等式求出集合A，再由B={x|x≤a}，A⊆B，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x2-2x≤0}=[0，2]，B={x|x≤a}，A⊆B，∴a≥2．2．【分析】利用复数的周期性、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：i2017=（i4）504•i=i，复数===+i，则z的共轭复数=-i，3．【分析】先由列举法求出“三人在同一个社团”的概率，再由对立事件概率计算公式求出“三人不在同一个社团”的概率．【解答】解：∵某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，a，b，c三名学生各自随机选择参加其中的一个社团，∴a，b，c三名学生选择社团的结果有：（A，A，A），（A，A，B），（A，B，A），（B，A，A），（A，B，B），（B，A，B），（B，B，A），（B，B，B），共8个等可能性的基本事件，三人在同一个社团的结果有：（A，A，A），（B，B，B），共两个，∴“三人在同一个社团”的概率为p1==，而“三人不在同一个社团”与“三人在同一个社团”是对立事件，∴“三人不在同一个社团”的概率为p=1-=．4．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得cos（+2α）的值．【解答】解：∵tanα=2，α∈（0，π），则cos（+2α）=cos（+2α）=-sin2α=-2sinαcosα=-=-═-=-，5．【分析】利用三角形的知识计算CD，∠BCD，利用平面向量的数量积的定义计算数量积．【解答】解：∵AB=BC=3，∠BAC=30°，CD⊥AB，∴∠ABC=120°，∠BCD=30°，∴AC==3，∴CD=ACsin∠CAB=，∴==．6．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环输出的点的坐标，当满足条件，退出循环体，从而得到判定框中应填．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，y=0x=1，y=1，i=2，输出点（1，1），此输出的点恰落在直线y=x上，不满足条件，x=0，y=1，i=3，输出点（0，1）不满足条件，x=-1，y=0，i=4，输出点（-1，0）不满足条件，x=0，y=0，i=5，输出点（0，0），此输出的点恰落在直线y=x上不满足条件，x=1，y=1，i=6，输出点（1，1），此输出的点恰落在直线y=x上由题意，此时，应该满足条件，退出循环，故判断框中可填写的条件是i>5？．7．【分析】由于f（-x）=-f（x）推出函数是奇函数，f（x-2）=f（x+2），得到函数f（x）为周期为4的函数，求出log220的范围，再由已知表达式，和对数恒等式，即可得到答案．【解答】解：由于定义在R上的函数f（x），满足f（-x）=-f（x）所以函数是奇函数，f（x-2）=f（x+2），所以函数f（x）为周期为4的函数，log220∈（4，5），x∈（-1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=f（log220-4）=-f（4-log220）===-1，8．【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．【解答】解：根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为：=，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：×1×2×1=1，故组合体的体积V=1+，9．【分析】设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，则{a n}是等差数列，设公差为d，由题意利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出中间两节的容积．【解答】解：设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，则{a n}是等差数列，设公差为d，由题意得，解得a1=1．4，d=-0.1，∴中间两节的容积为：a4+a5=（1．4-0.1×3）+（1．4-0.1×4）=2．1（升）．10．【分析】先研究函数的奇偶性知它是奇函数，从而排除两个选项，再由x=-时，f′（0）>0，排除C，即可得解．【解答】解：∵g（x）=2cos（x-）cos（x+）=cos2x，∴将函数g（x）的图象上各点的坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到h（x）=cosx的图象，∴f（x）=x2+h（x）=x2+cosx，可得：f′（x）=x-sinx，∴可得：f′（-x）=（-x）-sin（-x）=-（x-sinx）=-f′（x），故此函数奇函数，排除B，D．又当x=-时，f′（0）=-+1=1->0，结合选项函数的图象，排除C．11．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B．C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B．C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得∴x=，y=∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y=±（+1）x，12．【分析】分情况讨论，当x=2时，f（x）=1，则由f2（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0，求出x1=1；当x>2时，f（x）=lg（x-2），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（x-2）]2+blg（x-2）-b-1=0，解得lg（x-2）=1，或lg（x-2）=b，从而求出x2和x3；当x＜2时，f（x）=lg（2-x），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（2-x）]2+blg（2-x）-b-1=0），解得lg（2-x）=1，或lg（2-x）=b，从而求出x4和x5，5个不同的实数解x1．x2．x3．x4．x5都求出来后，就能求出f（x1+x2+x3+x4+x5）的值．【解答】解：当x=2时，f（x）=1，则由f2（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0.∴x1=2，c=-b-1．当x>2时，f（x）=lg（x-2），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（x-2）]2+blg（x-2）-b-1=0，解得lg（x-2）=1，x2=12或lg（x-2）=b，x3=2+10B．当x＜2时，f（x）=lg（2-x），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（2-x）]2+blg（2-x）-b-1=0），解得lg（2-x）=1，x4=-8或lg（2-x）=b，x5=2-10B．∴f（x1+x2+x3+x4+x5）=f（2+12+2+10b-8+2-10b）=f（10）=lg|10-2|=lg8=3lg2．13．【分析】研究知点M（1，2）在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM 垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．【解答】解：验证知点M（1，2）在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（3，4）∵k CM==1，∴k l=-1∴l：y-2=-（x-1），整理得x+y-3=014．【分析】由③可知，C在散步，A在跳舞，由②④，可知，B在打篮球，D在画画，即可得出结论．【解答】解：由③可知，C在散步，A在跳舞，由②④，可知，B在打篮球，D在画画，15．【分析】先利用余弦定理求得建立等式，利用基本不等式的性质确定AD•DC的最大值，进而根据三角形面积公式求得三角形面积的最大值．【解答】解：在△ACD中，cos∠ADC===-，整理得AD2+CD2=48-AD•DC≥2•AD•DC，∴AD•DC≤16，AD=CD时取等号，∴△ADC的面积S=AD•DC•sin∠ADC=AD•DC≤4，16．【分析】营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪．1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费35元；而1kg 食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费28元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？设每天食用xkgA食物，ykgB食物，总成本为z．建立约束条件，利用线性规划的知识进行求解．【解答】解：设每天食用xkgA食物，ykgB食物，总成本为z．则目标函数为z=28x+21y不等式组化简为如图作出可行域（阴影部分）把z=28x+21y变形为y=-x+，解方程组得M的坐标为（，）=28x+21y=16（2）求出数列{b n}的前n项和为T n，利用裂项相消法求得数列的前n项和为H n，则H2017可求．-31∵EH=AD=BC=BG，EF∥BC，∠ABC=90°．320．【分析】（1）过点F的直线交椭圆于A，B两点．|AF|的最大值是M=a+c，|BF|的最小值是m=a-c，结合M•m=a2即可求出离心率；34⎩23．【分析】（1）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）≥|a|+||，再利用基本不等式证得|a|+||≥2，从而证得结论．（2）f（2）＜3，即|2+|+|2-a|＜3，再分类讨论求得a的范围，综合可得结论．a>。
学校2017届高三高考第一次模拟考试文数试题+Word版含答案
高三数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}x y x B x x x A -==<--=2ln ,0322，则=B A （ ）A ．{}31<<-x xB ．{}21<<-x xC ．{}23<<-x x D ．{}21<<x x2. =-02215sin 165cos （ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．33 3.已知i iz+=+221，则复数5+z 的实数与虚部的和为（ ） A ．10 B ．10- C ．0 D ．5-4.“22bc ac >”是“b a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.将函数()13cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx x f 的图象向右平移3π个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数()x g y =的图像，则函数()x g y =的一个对称中心为（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛0,6π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,12π C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,6π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,12π 6.已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥-4040x y x y x ，则y x -4的最小值为（ ）A ．4B ．6 C. 12 D ．167.已知21,F F 是双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，若直线x y 3=与双曲线C 交于Q P ,两点，且四边形21QF PF 是矩形，则双曲线的离心率为（ ）A ．525-B ．525+ C. 13+ D ．13-8.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的表面积是π17，则它的体积是（ ） A ．π8 B ．356π C.314π D ．328π9.圆：092222=-+++a ax y x 和圆：0414222=+--+b by y x 有三条公切线，若R b R a ∈∈,，且0≠ab ，则2214b a +的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C. 4 D ．510.设函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()()e f xe xf x f x x==+'1,，则0>x 时，()x f （ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.下表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆ0.70.3yx =+，那么表中m 的值为 ．12.观察下列各式 ,7,4,3,1:443322=+=+=+=+b a b a b a b a ，则=+1010b a ．13.已知()1,4a a b a b a =+=⋅-=- ，则a 与b夹角是 ．14.执行如图的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是 ．15.已知()1-=x e x f ，又()()()()R t x tf x f x g ∈-=2，若满足()1-=x g 的x 有三个，则t的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，现从高一学生中抽取100人做调查，得到如下22⨯列联表：已知在这100人中随机抽取一人抽到喜欢游泳的学生的概率为53， （Ⅰ）请将上述列联表补充完整，并判断是否有9.99％的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（Ⅱ）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选两人作为宣传组的组长，求这两人中至少有一名女生的概率，参考公式：()()()()()21122122121112212211211222n n n n n n n n n n n n n χ-=++++,其中22211211n n n n n +++=.参考数据：17.量2cos ,4444x x x x m n ⎫⎫=⋅=⎪⎪⎭⎭，设()f x m n =⋅ ， （Ⅰ）若()2fα=，求cos 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足()B c C b a cos cos 2=-，求()A f 的取值范围；18.六面体ABCDE 中，面⊥DBC 面ABC ，⊥AE 面ABC.（Ⅰ）求证：//AE 面DBC ；（Ⅱ）若CD BD BC AB ⊥⊥,，求证：面⊥ADB 面EDC ；19.列{}n a 与{}n b 满足()N n b b a a n n n n ∈-=-++,211，12-=n b n ，且.21=a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n nn nn T b a c ,1-=为数列{}n c 的前n 项和，求.n T20.()().ln 222x x x ax x x f -++-= （Ⅰ）当2=a 时，求()x f 的单调区间；（Ⅱ）若()+∞∈,0x 时，()02>+x x f 恒成立，求整数a 的最小值；21. 在直角坐标系中，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，其中2F 也是抛物线x y C 4:22=的焦点，点P 为1C 与2C 在第一象限的交点，且352=PF , （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过2F 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于N M ,两点，若线段2OF 上存在定点()0,t T 使得以TN TM ,为邻边的四边形是棱形，求t 的取值范围；试卷答案一、选择题1-5:BCCAD 6-10:BCDAD 二、填空题11. 8.2 12. 123 13. π65（或0150） 14.315.()+∞,2三、解答题16.解：（Ⅰ）由已知可得：喜欢游泳的人共6053100=⨯，不喜欢游泳的有：4060100=-人，又由表可知喜欢游泳的人女生20人，所以喜欢游泳的男生有402060=-人， 不喜欢游泳的男生有人，所以不喜欢游泳的女生有40-10=30人 由此：完整的列表如下：因为()22100403020105010.828604050503χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有9.99％的把握认为喜欢游泳与性别有关.（Ⅱ）从喜欢游泳的60人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，其中男生应抽取460640=⨯人，分别设为D C B A ,,,；女生应抽取246=-人，分别设为F E ,，现从这6人中任取2人作为宣传组的组长，共有15种情况，分别为：()()()()()()()()()()()()()()()F E F D E D F C E C D C F B E B D B C B F A E A D A C A B A ,,,,,,,,,,,,,,,若记=M “两人中至少有一名女生的概率”，则M 包含9种情况，分别为：()()()()()()()()()F E F D E D F C E C F B E B F A E A ,,,,,,,,,,所以().53159==M P 17.Ⅰ）()4cos 4sin 324cos22x x x x f += 12cos 2sin 3++=xx162sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx()2f α= 2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πa21cos 12sin 3262παπα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）()B c C b a cos cos 2=-()B C C B A cos sin cos sin sin 2=-∴()C B C B C B C A +=+=sin sin cos cos sin cos sin 2A C A sin cos sin 2=∴0sin ≠A 21cos =∴C 3π=∴C π320<<∴A 2626πππ<+<A162sin 21<⎪⎭⎫⎝⎛+<∴πA ()162sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA A f()A f ∴取值范围为()3,2.18.（Ⅰ）过点D 作O BC DO ,⊥为垂足，∴面⊥DBC 面ABC ，面 DBC 面⊂=DO BC ABC ,面DBC ，⊥∴DO 面ABC ，又⊥AE 面ABCDO AE //∴又⊄AE 面DBC 上，⊂DO 面.DBC//AE ∴面.DBC（Ⅱ）∴面⊥DBC 面ABC ，面 DBC 面BC AB BC ABC ⊥=,，⊥∴AB 面DBC ,又⊂DC 面DBC ,DC AB ⊥∴,又⊂=⊥BD AB B BD AB CD BD ,,, 面ADB ，⊥∴DC 面ADB ,又⊂DC 面EDC ，∴面⊥ADB 面.EDC19.（Ⅰ）因为()12,211-=-=-++n b b b a a n n n n n ， 所以()()412122211=+-+=-=-++n n b b a a n n n n ，所以{}n a 是等差数列，首项为21=a ，公差为4，即24-=n a n ，（Ⅱ）()()()n n nn n nnn n n n b a c 212122411-=--==-- n n c c c c T ++++= 321()n n 21225232132-++⋅+⋅+⋅= ①()14322122523212+-++⋅+⋅+⋅=n n n T ②①-②得：()13221222222221+--⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T()()112122121422+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n n n()12326+---=n n().23261+-+=∴n n n T20.（Ⅰ）由题意可得()x f 的定义域为()+∞,0,当2=a 时，()()x x x x x x f ln 2222-++-=,所以()()()()x x xx x x x x x f ln 2412ln 122222-=⋅-+-++-=' 由()0>'x f 可得()0ln 24:>-x x ，所以⎩⎨⎧>>-0ln 024:x x 或⎩⎨⎧<<-0ln 024x x解得1>x 或210<<x ； 由()0<'x f 可得()0ln 24:<-x x ，所以⎩⎨⎧<>-0ln 024:x x 或⎩⎨⎧><-0ln 024x x ，解得.121<<x 综上可知()x f :递增区间为()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,1,21.0，递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21，（Ⅱ）若()+∞∈,0x 时，()02>+x x f 恒成立，则()0ln 22>-+x x x ax 恒成立， 因为0>x ，所以()0ln 12>-+x x a 恒成立， 即()x x a ln 12:-->恒成立，令()()x x x g ln 12--=，则()max x g a >， 因为()xx x x x x g 22ln 21ln 2+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-='， 所以()x g '在()+∞,0上是减函数， 且()01='g ，所以()x g 在()1,0上为增函数，在()+∞,1上是减函数，1=∴x 时，()0max =x g ，0>∴a ，又因为Z a ∈，所以.1min =a21.（Ⅰ）抛物线x y 42=的焦点为()0,13512=+=p x PF 32=∴p x 632=∴p y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∴632,32P 又()0,12F ()0,11-∴F4353721=+=+∴PF PF 2=∴a 又1=c 3222=-=∴c a b∴椭圆方程是134:22=+y x . （Ⅱ）设直线MN 的方程为() ,1-=x k y 以TN TM ,为邻边得四边形是菱形，TN TM =∴,设()()2211,,y x N y x M ，则134,13422222121=+=+y x y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴413,41322222121x y x y ， ()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=+-∴222221212222212141134113,x t x x t x y t x y t x ，()()0241212221=---∴x x t x x 直线MN 与x 轴不垂直，21x x ≠∴，()()212181,241x x t t x x +=∴=+∴， 把()1-=x k y 代入椭圆方程并整理可得()01248432222=-+-+k x k x k ，2221438k k x x +=+∴，2243kk t +=∴， 当0≠k 时，()43181221+=+=k x x t ， ,410,02<<∴>t k所以t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛41.0.。
2017届全国新课标卷高三文科数学第一次模拟考试试题与答案(可编辑修改word版)
word 可编辑(0, ) xx 一中 2016-2017 学年高三第一次质量检测试题A. ⎛ - 1 , 0 ⎫B. ⎛ 0,1 ⎫C. ⎛ 1 , 1 ⎫D. ⎛ 1 , 3 ⎫4 ⎪ 4 ⎪ 4 2 ⎪2 4 ⎪⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭高三数学（文科）7.已知定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足 f ( x + 2) = - f ( x ) ，则 f (6) = （ ）第 I 卷（共 60 分）A. -1B. 0C. 1D. 2一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 ⎧(3a -1)x + 4a , x < 1目要求的.）8. 函数 f (x ) = ⎨ ⎩log a x , x > 1 是(-∞, +∞) 上的减函数，则 a 的取值范围是 ()1．已知集合 A = {1,2,3} ， B = {y | y = 2x - 1, x ∈ A }，则 A B =（ ） A. (0,1) B. 131 1 [ , ) 7 3 1 [ ,1) 7 A. {1,3}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2,3}9.直线3x + 4 y = b 与圆 x 2+ y 2- 2x - 2 y +1 = 0 相切，则b = （ ）2. 在复平面内，复数 z =2i1- i对应的点位于（ ） A. -2 或 12B. 2 或-12C. -2 或-12D. 2 或 12 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 下列说法正确的是 （ ）10.等差数列{a n } 中， a 3 + a 4 + a 5 = 12 ，那么 a 1 + a 2 +... + a 7 = （ ） A.14B. 28 C ．30D ． 38A. 命题“ ∃x ∈ R 使得 x 2 + 2x + 3 < 0 ”的否定是：“ ∀x ∈ R , x 2 + 2x + 3 > 0 ” 11. 曲线 y =x2x -1在点(1,1) 处的切线方程为 （ ） B. 命题 p ：“ ∀x ∈ R , sin x + cos x ≤ ”，则⌝ p 是真命题 A. x + 4 y - 5 = 0 B. x - 4 y - 5 = 0C． x - y - 2 = 0D． x + y - 2 = 0C. ∃,∈ R ，使得sin(- ) = s in - s in 成立12. 若函数 f (x ) 满足 f (x + 1) = - f (x ) ，且 f (x ) 是偶函数，当 x ∈[0,1] 时， f (x ) = x 2 ，且在D. “ x = -1”是“ x 2 - 2x - 3 = 0 ”的必要不充分条件区间[-1, 3] 内，函数 g (x ) = f (x ) - kx - k 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是（）4. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A ． (0, 1]4B ． (0, 1)2C.[ 1 4 , 1)3D ． (1 , 1)3 2A. y = x +15. 设 a = log 3, b = log 2B. y = -x 33, c = log 3 C. y = x -1 ，则 （）D. y = x | x |第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分．)A. a > b > cB. a > c > bC. b > a > cD. b > c > a6. 在下列区间中，函数 f( x ) = e x + 4x - 3 的零点所在的区间为（）2 2 C. D.2 ⎨ ⎩2 + 22 2⎧x + y ≤1 13. 设 x , y 满足约束条件： ⎪y ≤ x⎪ y ≥ 0，则 z = 2x + y 的最大值是。
湖南省长沙市长郡中学2017届高三上学期第三次月考模拟文数试题 Word版含解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合},2|{R x y y A x ∈==，},|{2R x x y y B ∈==，则=B A （ ）A ．AB B ．B AC ．B A =D ．∅=B A 【答案】A考点：1.函数的单调性；2.集合的运算.2.设复数i z -=1的共轭复数为z ，则=⋅z （ ）A ．0B ．1-C ．2D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由i z -=1,得i z +=1,则()()211=+-=⋅i i z z ,故选C. 考点：复数代数形式的运算.3.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，)1()(+=x e x f x，给出下列命题：①当0>x 时，)1()(x e x f x-=；②函数)(x f 有2个零点；③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞- ；④R x x ∈∀21,，都有2|)()(|21<-x f x f . 其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④ 【答案】D 【解析】试题分析：由题意知,0>x 时0<-x ,()()()()11-=+-=--=--x e x ex f x f x x,可见命题错误；0<x 时,()()1+=x e x f x ,此时()x f 有1个零点1-=x ,当0>x ,()()1-=-x e x f x ,此时()x f 有1个零点1=x ,又()x f 为R 上的奇函数,必有()00=f ,即总共有3个零点,即命题 不成立；()()01,0>-=>-x e x f x x ,可求得解为()+∞,1,()()01,0>+=<x e x f x x ,可求得解为()0,1-,所以命题 成立；0<x 时,()()2+='x e x f x ,令()0='x f ,通过函数的单调性可求得此时()x f 的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,12e ,则0>x 时,()xf 的值域为⎥⎦⎤⎝⎛21,0e ,所以有()()12221<≤-e x f x f .故选D. 考点：奇函数的解析式与性质.【思路点晴】本题主要考查奇函数的性质,属于中档题目.因为奇函数的图象关于原点对称,所以只要知道纵轴一侧的函数解析式,即可利用()()x f x f -=-来求得函数在另一侧的解析式；对于奇函数的零点个数要注意,当定义域包含0时,函数零点个数肯定为奇数,相反则为偶数；而对于命题四,则需要先求得函数的值域,而()()21x f x f -的最值则为函数值域端点值的差.本题也可利用排除法,先证明 正确因此选D.4.已知函数R x x x x f ∈+=,)(3，若当20πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)1,0(B ．)0,(-∞C ．)21,(-∞ D ．)1,(-∞ 【答案】D 【解析】考点：1.函数的性质；2.不等式的恒成立. 5.)22cos()22sin(21--+ππ等于（ ）A ．2cos 2sin +B ．2sin 2cos -C ．2cos 2sin --D ．2cos 2sin - 【答案】D 【解析】 试题分析：ππ<<22,02sin >∴,02cos <,即02cos 2sin >-,则原式sin 2cos 2sin 2cos 2==-=-.所以选D.考点：1.二倍角公式；2.三角函数求值. 6.已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，则=α2sin （ ）A ．6556B ．6533-C ．6556-D ．6533【答案】B 【解析】考点：1.两角和与差的正弦；2.二倍角公式.7.已知向量)2,1(=m ，)1,(-=a n ，若m n m ⊥+)(，则实数a 的值为（ ） A ．3- B ．31- C ．21D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：由题意,()()()()02112,11,1=+⋅+=∙+=∙+a a ,解得3-=a ,故选A. 考点：向量的坐标运算.8.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．80B ．40C ．380D ．340【答案】D 【解析】试题分析：由三视图知,该几何体为三棱锥,如图所示，其底面是直角三角形,直角边4,5==DC BD ,侧面ABD 与底面垂直,且边BD 上的高4=AE ,也是三棱锥的高,所以340445213131=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=∆-AE S V BCD BCD A ,故选D.考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A考点：程序框图.10.若圆3)1()3(22=-+-y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ） A ．332 B ．27C ．2D ．7 【答案】A 【解析】试题分析：因为双曲线的渐近线为0=±ay bx ，与圆相切，所以圆心到渐近线的距离为3322=+-a b a b 或3322=++a b a b ,求得b a 3=，22224b b a c =+=∴,33232==∴bb e ,故选A.考点：双曲线的简单性质.11.数列}{n a 满足11=a ，对任意的*∈N n 都有n a a a n n ++=+11，则=+++201621111a a a （ ） A ．20162015 B ．20174032 C ．20174034D ．20172016【答案】B 【解析】考点：1.累加法；2.裂项相消求和.【思路点晴】本题是一道关于数列的题目,解题关键是充分利用已知条件得到新的公式,考查了累加法求数列通项以及裂项相消法求数列的和,属中档题目.由已知可得11+=-+n a a n n ,进而累加法求得n a 的通项公式以及n a 1,接下来从na 1的通项公式入手裂项,从而得到前n 项和121112111...31212112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n S n . 12.定义：如果函数)(x f 在],[b a 上存在)10(,2121<<<x x x x 满足ab a f b f x f --=)()()('1，ab a f b f x f --=)()()('2，则称函数)(x f 是],[b a 上的“双中值函数”，已知函数m x x x f +-=232)(是]2,0[a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)41,81( B ．)41,121( C ．)81,121( D ．,1)81( 【答案】A 【解析】考点：二次函数的零点及其分布.【方法点晴】本题主要考查导数在研究函数中的应用,属于中档题目.题中通过给出信息函数在区间上的“双中值函数”,列出关于x 的方程,转化为函数在给定区间上有两个根的问题,接下来考查的是二次函数的零点问题,通过画出函数图象可得判别式0>∆,以及端点值均大于0,解出不等式从而求得参数a 的范围,考查学生对函数问题的灵活应用.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数12log )(223+++=x c bx x x f 的值域为]1,0[，则b 与c 的和为 . 【答案】4或0 【解析】试题分析：因为()x f 的值域为[]1,0，即112l o g 0223≤+++≤x cbx x ，所以⎩⎨⎧≥-+-≥-++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+++≥+++0301312112222222c bx x c bx x x c bx x x cbx x ，()()⎩⎨⎧≥--=∆≥--=∆0340142221c b c b ，当且仅当⎩⎨⎧=∆=∆0021时112022≤+++≤x c bx x 取等号,解方程组得⎩⎨⎧==22c b 或⎩⎨⎧=-=22c b ,所以b 与c 的和为4或0,故填4或0.考点：对数函数的值域.14.21,F F 分别为椭圆1273622=+y x 的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且)(211OF +=，)(212OF +=，则=+|||| . 【答案】6【解析】考点：椭圆的定义. 15.设函数)0(22)(>+=x x xx f ，观察：22)()(1+==x xx f x f ，46))(()(12+==x xx f f x f ，814))(()(23+==x xx f f x f ，1630))(()(34+==x xx f f x f ，……，根据以上事实，当*∈N n 时，由归纳推理可得：=)1(n f . 【答案】1231n-⨯ 【解析】试题分析：通过条件归纳推理可知()()()123122211,22211-⋅=+-=∴+-=++nn n n n n n f x x x f ,故填1231n-⨯. 考点：归纳推理.【方法点晴】本题考查的是归纳推理,属基础题目.基本方法为根据已知中函数的解析式,归纳出函数解析式中分母系数的变化规律,进而代入特值得到答案.归纳推理在高考中以客观题为主,一般以数列的形式出现,先根据已知的递推公式算出数列的前几项,再通过观察归纳得到关于数列通项的一个猜想,但这种猜想是否正确还有待证明.16.已知点),(b a A 与点)0,1(B 在直线01043=+-y x 的两侧，给出下列说法：①01043>+-b a ；②当0>a 时，b a +有最小值，无最大值；③222>+b a ；④当0>a 且1≠a ，0>b 时，1-a b 的取值范围是),43()25,(+∞--∞ . 其中所有正确说法的序号是 . 【答案】③④ 【解析】考点：线性规划.【方法点晴】本题主要考查线性规划的相关知识,属中档题目.根据点()b a A ,与点()0,1B 在直线01043=+-y x 的两侧,我们可以画出点()b a A ,所在的平面区域,进而结合二元一次不等式的几何意义,两点之间的距离公式的几何意义,及两点之间连线斜率的几何意义,逐一分析四个答案,得出结论的对错,考查了学生的综合能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分)设n S 为各项不相等的等差数列}{n a 的前n 项和，已知7533a a a =，93=S .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n T 为数列}1{1+n n a a 的前n 项和，求1+n n a T的最大值. 【答案】(1)1+=n a n ；(2)161. 【解析】（2）∵2111)2)(1(111+-+=++=+n n n n a a n n ∴)2(22121)2111()4131()3121(11113221+=+-=+-+++-+-=+++=-n n n n n a a a a a a T n n n ∴161)424(21)44(21)44(2)2(2221=⋅+≤++=++=+=+nn n n n n n n n a T n n 当且仅当n n 4=，即2=n 时“=”成立，即当2=n 时，1+n n a T取得最大值161. 考点：1.等差数列；2.裂项相消求和；3.基本不等式.18.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，','F E 两点的坐标分别为)3,0(),3,0(-，动点G 满足：直线G E '与直线G F '的斜率之积为43-. （1）求动点G 的轨迹方程；（2）过点O 作两条互相垂直的射线，与（1）的轨迹分别交于B A ,两点，求OAB ∆面积的最小值.【答案】(1)()013422≠=+x y x ；(2)712. 【解析】（2）设),(),,(2211y x B y x A ，直线AB 的方程为m kx y +=，与椭圆13422=+y x 联立，消去y 得012)2(432222=-+++m kmx x k x ， 221438k km x x +-=+，222143124km x x +-=. ∵OB OA ⊥，∴02121=+y y x x ，∴0))((2121=+++m kx m kx x x ， 即0)()1(221212=++++m x x km x x k ，把221438k km x x +-=+，222143124k m x x +-=代入得043843124)1(2222222=++-+-+m km k k m k ，考点：直线与圆锥曲线.【方法点晴】本题考查学生的是求曲线的轨迹方程以及直线与圆锥曲线相交所得三角形面积的最值问题,属于中档题目.平面内求动点的轨迹方程的方法主要有:直接法,相关点法,定义法,几何法,交轨法等,主要步骤为:建立平面直角坐标系,设动点坐标,列出与动点相关的等量关系,代入坐标进行化简计算,最后要去掉不符合题意的点.19.(本小题满分12分)如图，直三棱柱111C B A ABC -中，31===AA BC AC ，BC AC ⊥， 点M 在线段AB 上.（1）若M 是AB 的中点，证明：//1AC 平面CM B 1；（2）当BM 长是多少时，三棱锥BCM B -1的体积是三棱柱111C B A ABC -的体积的91.【答案】(1)证明见解析；(2)2. 【解析】试题分析：(1)通过三角形的中位线可以得到线线平行推出线面平行；(2)先把三棱锥的体积转化为对应的棱柱的体积,再设BA BM λ=表示出底面积,可求出λ的值,即2=BM .考点：1.线面平行的判定；2.柱锥体的体积.20.(本小题满分12分)在ABC ∆中，已知)sin(sin )sin(B A B B A -+=+. （1）求角A ；（2）若20=⋅，求||的最小值. 【答案】(1)3π=A ；(2)102.【解析】试题分析：(1)把等式用两角和与差的正弦公式展开,可以求得3π=A ；(2)因为AB AC BC -=,所以两边平方,用重要不等式放缩,即求AC AB ⋅的值,用向量的数量积公式展开即可.试题解析：解：（1）∵)sin(sin )sin(B A B B A -+=+， ∴B A B A B B A B A sin cos cos sin sin sin cos cos sin -+=+， ∴B B A sin sin cos 2=， ∵0sin >B ,∴21cos =A , ∵π<<A 0,∴3π=A .（2）由40||||22||||2||||222222-≥⋅-+=⋅-+=-=（当||||=时取等号）， 又40||||20||||21cos ||||=⋅⇒=⋅=⋅=⋅A ∴⇒=-⨯≥4040402||2||的最小值为102. 考点：1.三角函数；2.向量的数量积. 21.(本小题满分12分)已知函数)(2ln )(2R a a x x a x x x f ∈+--=在其定义域内有两个不同的 极值点.（1）求实数a 的取值范围；（2）设两个极值点分别为21,x x ，证明：221e x x >⋅. 【答案】(1)ea 10<<；(2)证明见解析. 【解析】试题解析：解：（1）依题意，函数)(x f 的定义域为),0(+∞，∴方程0)('=x f 在),0(+∞上有两个不同根，即方程0ln =-ax x 在),0(+∞上有两个不同根.转化为函数x y ln =与函数ax y =的图象在),0(+∞上有两个不同交点，如图，可见，若令过原点且切于函数x y ln =图象的直线斜率为k ，只需k a <<0. 令切点)ln ,(00x x A ，∴01|'0x y k x x ===， 又00ln x x k ==，∴000ln 1x x x =，解得e x =0， 于是ek 1=，∴e a 10<<.考点：1.函数的极值点；2.导数的应用.【方法点晴】本题考查学生的是由函数的极值点求参数范围以及应用导数求函数值域的问题,属中档题目.函数的极值点个数一般被转化为导函数等于0的方程根的问题,再通过参变分离或者分离为两个基本函数两种形式,转化为图象的交点个数,考查了学生对四大思想之一,函数与方程思想的灵活应用.第二问通过已知函数的零点得到方程,消去参数a ,再把21,x x 变量集中,构造新函数判断单调性求出最值.22.（本小题满分12分）已知函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈--∈---∈+=]1,21[,1)21,21[,25)21,1[,1)(x x x x x x x x f .（1）求)(x f 的值域；（2）设函数]1,1[,3)(-∈-=x ax x g ，若对任意]1,1[1-∈x ，总存在]1,1[0-∈x ，使得)()(10x f x g =成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0,232,25 ；(2)(][)+∞-∞-,33, . 【解析】（2）①若0=a ，3)(-=x g ，对于任意]1,1[1-∈x ，]0,23[]2,25[)(1---∈ x f ， 不存在]1,1[0-∈x ，使得)()(10x f x g =成立.②若0>a ，3)(-=ax x g 在]1,1[-上是增函数，]3,3[)(---∈a a x g ，任给]1,1[1-∈x ，]0,23[]2,25[)(1---∈ x f ，若存在]1,1[0-∈x ，使得)()(10x f x g =成立，则]3,3[]0,23[]2,25[---⊆---a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--03253a a ，∴3≥a .考点：1.分段函数的值域；2.恒成立和有解问题.。
2017届高三第四次模拟考试文科数学试卷(附答案)
3D．-32B．1辽宁省实验中学2017届高三第四次模拟考试文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x∈N|x<6}，B={x|(x-2)(x-9)<0}，则A B=（）A．{3,4,5}B．{x|2<x<6}C．{x|3≤x≤5}D．{2,3,4,5}2．复数z=m-2i1+2i（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能在（）A．每一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设向量a=(1,2)，b=(m,m+1)，a∥b且实数m的值为（）A．1B．-1C．-14．已知x，y∈R，下列不等式不能恒成立的是（）A．-1C．2D．125．如图，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，如今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（）A．10B．13C．12D．156．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1B．1.2C．1.4D．1.6π7．已知函数f(x)=3cos(2x-)，则下列结论正确的是（）3πA．导函数为f'(x)=3sin(2x-)32πB．函数f(x)的图象关于直线x=对称3π5πC．函数f(x)在区间(-,)上是增函数1212D．函数f(x)的图象可由函数y=3cos2x的图象向右平移π3个单位长度得到8．在一次某地区中学联合考试后，汇总3217名文科考生的数学成绩，用a,a,12,aA ． -B ．C ．D ．6B ．12．已知函数 f ( x ) = ⎨ f (2 -x),1 ≤ x < 2 ，则函数 f ( x) 的图像与直线 x - 2 y - 4 = 0 所有交的横坐标的和为⎪- f (2 - x),2 ≤ x ≤ 8于 120 的考分叫“优分”，将这些数据按下图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这 3 217 名学生的 （ ）A ．平均分B ．“优分”人数C ．“优分”率9．已知 cos(α - π) + sin α = 6 D ．“优分”人数与非“优分”人数的比值4 π 53 ，且 α ∈ (0, ) ，则 sin(α + π) 的值是（ ）5 3 122 3 2 3 7 2 7 25 5 10 15π10．如图圆 C 内切于扇形 AOB ，∠AOB = ，若在扇形 AOB 内任取一点，则该点在圆 C 内的概率为（）3A ． 13 4 C ． 2 3 D ．1311．在等腰梯形 ABCD 中， AB ∥CD ，且 | AB |= 2 ， | AD |= 1 ， | CD |= 2x ，其中 x ∈ (0,1)，所以 A ，B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e ，以 C ，D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e ，若对任意 x ∈ (0,1)，12不等式 t < e + e 恒成立，则 t 的最大值为（）12A ． 5B ．2C ． 3D ． 2⎧2x - 1,0 ≤ x < 1⎪ ⎩（）A ．8B ．12C ．16D ．20二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分．“ （Ⅱ）数列{b } 满足 b = 1 ，且 b n +1 = ⎨ ，求数列{b } 的前 n 项和 S ．2 log b , n 是偶数⎪⎩ ⎧13．在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a 、b 、c ，且 a = 2 ， b = 3 ， c = 4 ，则sin2CsinA= ________ ．14．某次考试后，A 、B 、C 三名同学取得了全校前三名并且名次没有并列，老师猜测： C 不是第一名，A 是第三名，B 不是第三名．”结果只猜对了一个，则第一名，第二名，第三名依次是________．15．如图，矩形 A BCD 中， AB = 2AD ，E 为边 AB 的中点，将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A DE ．若 M 为1线段 A C 的中点，则在 △ADE 翻折过程中，下面四个命题中正确的是＿＿＿＿．（填序号即可）1② | BM | 是定值；②点 M 在某个球面上运动；③存在某个位置，使 DE ⊥ AC ；1④存在某个位置，使 MB ∥平面A DE ．116．设 a ，b 是两个非零向量，| a |=| a + 2b |= 2 ，则 | a + b | + | b | 的最大值是＿＿＿＿．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a } 的公差不为 0，其前 4 项和为 26， a 和 a 和 a 的等比中项．n3111（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；na ⎪2b n +2 , n 是奇数 n 1 n n 2 n18．某城市随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气质量指数 API 的检测数据，结果统计如下：API空气质量天数[0,50]优4 (50,100]良13 (100,150]轻微污染18 (150,200]轻度污染30 (200,250]中度污染9 (250,300]中度重污染11> 300重度污 染15记某企业每天由空气污染造成的经济损失 S （单位：元），空气质量指数 API 为 x ．在区间 [0,100] 对企业没有造成经济损失；在区间 (100,300]对企业造成经济损失成直线模型（当 API 为 150 时造成的经济损失为 500元，当 API 为 200 时，造成的经济损失为 700 元）；当 API 大于 300 时造成的经济损失为 2 000 元．（Ⅰ）试写出 S ( x ) 的表达式；（Ⅱ）估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（Ⅲ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下列2⨯2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？P(χ2≥k)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k1.322.07 2.703.848.02 6.637.8710.82χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10019．如图，已知四棱锥S-ABCD的侧面SAD与侧面SCD互相垂直，底面ABCD是边长为32的正方形，AS=DS=3．（Ⅰ）求证平面SAD⊥底面ABCD；（Ⅱ）点E在棱DS上，若三棱锥E-SBC的体积是四棱锥S-ABCD体积的一半，求出DE的长．20．已知抛物线C：y2=4x，过点E(2,1)作斜率分别为k、k的两条直线AB、CD．其中A、B、C、D四12点均为直线与抛物线的交点，M、N分别是线段AB、CD的中点．（Ⅰ）若k k=-1，且△EMN的面积为4，求直线MN的方程；12（Ⅱ）若k+k=2，试判断直线MN是否过定点，若直线MN过定点，求出该点坐标，若直线MN不过定12点，说明理由．21．已知函数f(x)=sinx-cosx+a．（Ⅰ）求函数f(x)=2f(x)-6x,x∈[0,π]的单调区间；（Ⅱ）函数h(x)=f(2x)+[f(x)]2-2ax，若h(x)≥a(a-1)在x∈[0,π]上恒成立，求a的取值范围．2请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=32⎧⎪x=1+2cosθ22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎨（θ为参数），以原点O为极点，x轴的⎪⎩y=-1+2sinθπ2cos(θ+)4．（Ⅰ）分别写出曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求|OA||OB|的值．23．已知a>b>c>0，函数f(x)=|x-a|+b+|x+c|的最小值为4．（Ⅰ）求a+b+c的值；a2b2（Ⅱ）求++c2的最小值．94⎪⎩(a + 10d ) a = (a + 2d )2 ⇒⎨1 17．解：（Ⅰ）设数列{a } 的公差为 d ，则 ⎨ ⎩d = 3 ⎪⎩22+log 2b n = 4b n , n 是偶数 ， b = 21+2 = 8 ，= ⎨ ⎪⎩ 2n +1 , n 是偶数⎧⎪4 + 2n +1 - 8 ………….……10 分S =⎨ + 2n +2 - 8, n 是偶数 ．……………………………….…………..……12 分 ∴ n ⎩ 4+ 2n +1 - 8, n 是奇数 18．（Ⅰ） S ( x ) = ⎨4 x - 100, x ∈ (100,300] ；…………………………………………………………….4 分 ⎪300, x ∈ (300, +∞) 100 ，……………………………………8 分S辽宁省实验中学 2017 届高三第四次模拟考试文科数学试卷答 案一、选择题1~5．AAACB 6~10．DBCCC 11~12．AB13． -1 14．ACB 15．①②④ 16． 2 2⎧⎪4a + 6d = 26 ⎧a = 2 1 n 111∴ a = 3n - 1 ．…………………………………………………………………...……4 分n（Ⅱ） b = 1 ， b 1 n +2⎧⎪log 2b n +2 = b + 2, n 是奇数 2 n2∴ b = ⎨n, n 是奇数 n∴ n 是偶数时，…………………………………………………………….……6 分S = [1+ 3 + 5 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)]+ (23 + 25 + 27 + ⋅⋅⋅ + 2n +1 ) =n n2 4 + 2n +2 - 8 ……….……8 分n 是奇数时，S = (1+ 3 + 5 + ⋅⋅⋅ + n) + (23 + 25 + 27 + ⋅⋅⋅ + 2n ) = (n + 1)2 nn = 1 时， S = 1 ．n⎧⎪1,n = 1 ⎪⎪ n 2 ⎪ 4⎪ (n + 1)2 ⎪⎧0, x ∈[0,100]⎪ ⎩（Ⅱ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元”为事件 A ，由 2 得 150 < w ≤ 250 ，频数为 39，所以 P( A ) = 39< 60 ≤ ，K 2的观测值 k 2 =≈ 4.575 > 3.841…………………………..10 分 k联立方程 ⎨ ⇒ - m y + m - 2 = 0 ⎩ y 2 = 4 x 4 222 k k2(m -m )2(m + m ) - 1（Ⅲ）根据以上数据得到如下列联表：供暖季非供暖季合计非重度污染226385重度污染8715合计3070100100 ⨯ (63 ⨯ 8 - 22 ⨯ 7)2 85 ⨯15 ⨯ 30 ⨯ 70所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关…………………………12 分19．解：（Ⅰ）记 AC 与 BD 相交于点 O ，∵平面 PBD ⊥ 平面 ABCD ， AC ⊥ BD ∴ AC ⊥ 平面 PBD ， 又∵ PO ⊂ 平面 PBD ，∴ AC ⊥ PO ，又∵ AO = OC ，∴ P A = AC ………………………………………………………….……….….4 分（Ⅱ） 6 5 - 12 ……………………………………………………………………………....………….12 分20．解：（Ⅰ）由题设，直线 AB 、CD 均与 x 轴不垂直，否则与抛物线 C 仅有一个公共点．设 AB ： x - 2 = m ( y - 1) ， CD ： x - 2 = m ( y - 1) ，其中 m = 11 2 1 1⎧ x - 2 = m ( y - 1) y 211 1y = y 1 + y2 = 2m ， x= m ( y - 1) + 2 = 2m 2 - m + 2 ，M1M1M11∴ M (2m 2 - m + 2,2 m ) ，同理， N (2m 2 - m + 2,2 m ) ，11 12 2 21S| EM | | EN |= ( 1 + m 2 ⋅ | m |) ( 1 + m 2 | m |)1 12 2 ∵ m m = 1= -1 ，1 21 2， m =2 1k 2∴ S∆EMN= 2 1 + m 2 + m 2 = 4 ， S1 2∆EMN= 2 1+ m 2 + m 2 = 4 ∴ m 2 + m 2 = 2 ，又 m 2 + m 2 ≥ 2 | m m |= 2 ， 1 2 1 2 1 2 1 2∴ | m |=| m |= 1 ．………………………………………………………………………………………6 分12不妨令 m = 1 ， m = -1 ，则 M (1,2)， N (5,-2) ，直线 MN 的方程为 x + y - 3 = 0 ．12（Ⅱ） k21 2 =(2m 2 - m + 2) - (2m 2 - m + 2) 2(m + m ) - 11 12 2 1 2∴直线 MN 的方程为 y - 2m = 2( x - 2m 2 + m - 2) ．11112[2(m + m ) - 1]y - 4m m = 2x - 4-7-/9当 x [0, ]时， 2sin(x ) a 1 0 ， h (x) 012 分xx 6 …8分arcsin(2 4 2sin(x) 1 0 ， 2sin(x) a 1 0 ， h (x) 0∵ k1k21 1 m m1 22 ，∴ m1m22m m12∴ (4m m121)y 4m m 122x 4， 4m m (y 1) y 2x 4 1 23∴直线 MN 过定点 ( ,1)．……………………………………………………………………….221．解：（Ⅰ） g (x) 2(sinxcosx a) 6x,x [0,π]π3 g (x) 2(sinx cosx) 6 2 2[sin(x ) ],x [0,π]42π 5π π 5π∴函数 g(x)在 [0, ]和 [ ,π]上是增函数，在[ , ]上是减函数．……4 分12 12 12 12（Ⅱ） h(x) (sin2x cos2xa) (sinx cosx a)22axcos2x 2a(sinx cosx) 2axa 2 a 1h (x) 2sin2x2a(sinx cosx) 2a2[(sin cosx)2 1 a(sinx cosx) a]2(sinx cosx 1)(sin cosx a 1)ππ2[ 2sin(x) 1][ 2sin(x ) a 1]……………………………………分 …………44h(0) a(a 1)，πππ当 x [0, ]时， 2sin(x) 1 0 ，只需考察 2sin(x ) a 1的正负， 24 4①若 a 12 ，即 a 2 1，π π 2 4π∴函数 h(x)在 [0, ]上是减函数，2π∴ x (0, )时， h(x) h(0) a(a 1)，不符合题设；………………………………………2②若1a 1 2 ，即 2 1 a 2，记xa 1 π) ，当 x [0,x ]时，π π 44∴函数 h(x)在 [0,x ]上是减函数，∴ x ∈ (0, x ) 时，h(x) < h(0) = a(a -1) ，不符合题设；……………………………10 分当 x ∈[0, ] 时， 2sin( x + ) + a + 1 ≥ 0 ， h '(x) ≥ 0∴ x ∈[0, ] 时， h(x) ≥ h(0) = a(a -1) ，原不等式成立．ρ= 3 28 27③若 -a - 1 ≤ 1 ，即 a ≥ -2 ，π π2 4π∴函数 h( x ) 在 [0, ] 上是增函数，2π2综上可知 a ≥ -2 ．…………………………………………………………………………………………12 分22．解：（Ⅰ）曲线 C 的普通方程为 ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 2直线 l 的直角坐标方程 x - y - 3 = 0 ；………………………………………………………….4 分π（Ⅱ）曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 2 2cos(θ + ) ；4代入 π ，得 ρ = 2 3 ， | OA |=| OB |= 2 3 ，2cos(θ + )4∴ | OA | | OB |= 6 ……………………………………………………………………………………………10 分23．解：（Ⅰ）函数 f ( x ) =| x - a | +b + | x + c | 的最小值为 | a + c | +b = a + b + c = 4 ．……………………………………….4 分a 2b 2 a b（Ⅱ） ( + + c 2 ) (9 +4 +1)? ( 3 2 + c 1)2 = (a +b + c )2 =16 ，9 4 3 2a b 18 a 2 b 2 8 当且仅当 = = c ，即 a = ， b = ， c = 时， + + c 2 有最小值 ． (10)9 4 7 7 9 47分。
2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学(文)试题(解析版)
2021届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学〔文〕试题一、选择题1．设全集{|1}U x x =>，集合{|2}A x x =>，则U C A =〔 〕 A ．{|12}x x <≤ B ．{|12}x x << C ．{|2}x x > D ．{|2}x x ≤ 【答案】A【解析】试题分析：{|12}U C A x x =<≤,应选A. 【考点】集合的运算.2．设i 是虚数单位，则复数25()2i i-+=+〔 〕 A ．22i - B ．1i - C ．3i - D ．115i -【答案】B【解析】试题分析：255(2)()11212(2)(2)i i i i i i i --+=-+=-+-=-++-,应选B. 【考点】复数的运算. 3．(cos,sin )66a ππ=，55(cos ,sin )66b ππ=，则||a b -=〔 〕 A ．1 B．2．2【答案】C【解析】试题分析：因为55(coscos,sin sin )6666a b ππππ-=--=，所以||3a b -=，应选C.【考点】向量的坐标运算.4．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为〔 〕 A ．710 B ．310 C ．35 D ．25【答案】A【解析】试题分析：分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则点(,)P m n 构成的平面地域为一矩形ABCD ，在矩形内且m n >的地域为梯形ABCE ，如以下图所示，所以所求概率21721510ABCE ABCDS P S ===梯形矩形，应选A. 【考点】几何概型.5．在如下图的算法流程图中，输出S 的值为〔 〕 A ．11 B ．12 C ．13 D ．15 【答案】D【解析】试题分析：此程序框图所表示的算法功能为1234515S =++++=，应选D.【考点】程序框图. 6．将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为〔 〕 【答案】D.【解析】试题分析：将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的函数解析式为cos[3()]cos(3)sin 31832y x x x πππ=++=+=-，应选D. 【考点】1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.7．某棱锥的三视图〔单位：cm 〕如下图，则该棱锥的体积等于〔 〕 A ．310cm B ．320cm C ．330cm D ．340cm【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如以下图所示的四棱锥P ABCD -，所以其体积1543203V =⨯⨯⨯=，应选B. 【考点】1.三视图；2.多面体的体积. 8．点(1,2)-和在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是〔 〕 A ．(,)43ππB ．3(0,)(,)34πππC ．35(,)46ππD ．23(,)34ππ【答案】D【解析】试题分析：因为点(1,2)-和(3在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧, 所以(201)0a--+-+>，即(1)(0a a +<，所以1a <<-，又直线l 的斜率k a =，即1k <<-，所以倾斜角的范围为23(,)34ππ，应选D. 【考点】1.直线的倾斜角与斜率；2.线性规划.9．假设不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩表示的地域Ω，不等式2211()24x y -+≤表示的地域为Γ，向Ω地域均匀随机撒360颗芝麻，则落在地域Γ中芝麻约为〔 〕A ．114B ．10C ．150D ．50【答案】A【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如以下图所示，其中芝麻落在地域Γ内的概率为23111132422221336322P ππ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯ ⎪+⎝⎭==⨯⨯，所以落在地域Γ中芝麻约为3236011436π+⨯≈,应选A. 【考点】1.线性规划；2.几何概型.【名师点睛】此题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或地域的面积比、几何体的体积比求解的，此题是用的地域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是此题的亮点.10．双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 也是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，1C 与2C 的一个交点为P ，假设PF x ⊥轴，则双曲线1C 的离心率为〔 〕 A1 B1 D1 【答案】A【解析】试题分析：由题意可知22,22p b c p a==，所以224b c a =，即222c a ac -=，所以2210e e --=，解之得1e =，应选A.【考点】1.双曲线的标准方程与几何性质；2.抛物线的标准方程与几何性质.11．函数22()()()n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数且()(1)n a f n f n =++，则12350a a a a ++++=〔 〕A ．50B ．60C ．70D ．80 【答案】A【解析】试题分析：由题意可知221123a =-=-，222235a =-+=，223347a =-=-，224459a =-+=，4950,99,101a a =-=，所以1235012344950()()()25250a a a a a a a a a a ++++=+++++=⨯=，应选A.【考点】1.数列的表示；2.数列求和.【名师点睛】此题考查数列的表示以及数列求和，属中档题；数列求和问题是高考常考内容之一，数列求和的主要方法有：1.公式法；2.分组求和法；3.倒序相加法；4.错位相减法；5.裂项相消法.其中错位相减法与裂项相消法是考试的重点内容，此题主要采纳的是分组求和法. 12．假设函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在以下区间上单调递增的是〔 〕A ．(,1]-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(2,)+∞【答案】D【解析】试题分析：函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点,由22()10b x bf x x x-'=-==得2x b =，所以1b <<且函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，所以函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，应选D. 【考点】【名师点睛】此题考查导数与函数的单调性、函数与方程，属中档题；导数与函数的单调性是高考的必考内容，也是难点，导数与单调性关系：()0()f x f x '>⇒单调递增，()0()f x f x '<⇒单调递减；反之，当()f x 在某个区间上单调递增()0f x '⇒≥，当()f x 在某个区间上单调递减()0f x '⇒≤.二、填空题13．()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，'()f x 为()f x 的导函数，'(1)2f =，则a = .【答案】2【解析】试题分析：因为1()ln (ln 1)f x a x ax a x x'=+⨯=+,所以(1)(ln11)2f a a '=+==.【考点】导数的运算.14．假设,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 .【答案】4【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如以下图所示的三角形地域，由图可知，目标函数3z x y =+取得最大值时的最优解为(1,1)B ，此时max 3114z =⨯+=. 【考点】线性规划.15．抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，假设ABF ∆为等边三角形，则p = .【答案】【解析】试题分析：抛物线22(0)x py p =>的焦点为(,0)2p F ,准线方程为2p x =-，与双曲线221x y -=的交点为((,22p pA B --，又假设ABF ∆为等边三角形，所以0222AF k p p -===--p = 【考点】1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【名师点睛】此题考查抛物线的标准方程与几何性质与双曲线的标准方程与几何性质，属中档题；高考对圆锥曲线的考查主要是考查定义、标准方程、几何性质，小题和大题中均有.此题主要考查双曲线与抛物线的对称性的应用.16．假设定义在区间D 上的函数()y f x =满足：对,x D M R ∀∈∃∈，使得|()|f x M ≤恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上有界，则以下函数中有界的是 .①sin y x =；②1y x x=+；③tan y x =；④x xxxe e y e e ---=+；⑤321(44)y x ax bx x =+++-≤≤，其中,a b R ∈.【答案】①④⑤【解析】试题分析：因为sin 1x ≤，所以sin y x =为有界函数；12x x+≥，无上界，所以②不是有界函数；tan y x =的值域为(,)-∞+∞，是无界函数；22212111x x x x x x x e e e y e e e e ----===-+++,因为22021xe <<+，所以221111x e -<-<+，即1y <，所以x xx x e e y e e---=+是有界函数；对于⑤，函数321y x ax bx =+++ 为实数上连续函数，所以在区间[4,4]-上肯定有最大值和最小值，所以是有界函数，故应填①④⑤.【考点】1.新定义问题；2.值域及求法.【名师点睛】此题主要考查新定义问题、值域及求法.函数值域的求解是难点，主要方法有：配方法、单调性法、数形结合法、换元法、根本不等式法、导数法、利用函数的有界性法等方法. 三、解答题17．函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值.〔1〕求ϕ的值；〔2〕在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C的对边，1,()2a b f A ===角C . 【答案】〔1〕2π；〔2〕712π或12π【解析】试题分析：〔1〕利用三角恒等变换公式化简函数解析式得()sin()f x x ϕ=+，由在x π=处取最小值及0ϕπ<<查求得2πϕ=；〔2〕由()f A =可得6A π=，再由正弦定理求出sin B ，从而求出角B 的值，即可求角C . 试题解析：〔1〕1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=•+- 因为函数()f x 在x π=处取最小值，所以sin()1πϕ+=-， 由诱导公式知sin 1ϕ=，因为0ϕπ<<，所以2πϕ=.所以()sin()cos 2f x x x π=+=.〔2〕因为()f A =，所以cos A =A 为ABC ∆的内角，所以6A π=.又因为1,a b =sin sin a bA B=，也就是sin 1sin 22b A B a ===， 因为b a >，所以4B π=或34B π=.当4B π=时，76412C ππππ=--=；当34B π=时，36412C ππππ=--=. 【考点】1.三角恒等变换；2.正弦定理；3.三角函数的图象与性质.【名师点睛】此题考查三角恒等变换、正弦定理、三角函数的图象与性质，属中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD AB ，2AB BC CP BP ====，1CD =. 〔1〕求点B 到平面DCP 的距离； 〔2〕点M 为线段AB 上一点〔含端点〕，设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求sin α的取值范围.【答案】〔1〔2〕 【解析】试题分析：〔1〕 要求点B 到平面DCP 的距离,只要能过点B 作出平面DCP 的垂线即可，由题意可知CD ⊥平面CPB ，所以CD ⊥平面CPB 内的任意一条直线，因此只要在平面CPB 内过点B 作BF PC ⊥即可得到BF ⊥平面DCP ，求出BF 的长即可；〔2〕由〔1〕可知点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离,所以sin BF MP α=，即只要求出BFMP的取值范围即可.试题解析：〔1〕过点B 作BF PC ⊥，由平面DCP ⊥平面BCP 可知，BF 即点B 到面DCP 的距离，在正PBC ∆中，BF =B 到平面DCP 〔2〕∵//CD AB ，所以点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离，而MP ∈，所以sin [42BF MP α=∈. 【考点】1.线面垂直的判定与性质；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】此题考查线面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，属中档题；文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包含线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要预防步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.19．某校对高一年级学生寒假参加社区效劳的次数进行了统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区效劳的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：〔1〕求表中,n p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估量该校高一学生寒假参加社区效劳次数的中位数；〔2〕如果用分层抽样的方法从样本效劳次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人效劳次数都在[10,15)的概率. 【答案】〔1〕0.625,0.075n p ==,0.125a =，中位数为17；〔2〕23【解析】试题分析：〔1〕由第一组内频数为20，频率为0.25可求出总人数为20800.25M ==，由此可求出第二组的频率为500.62580n ==，并可求频率直方图中0.1255na ==，由频率之和为1可求出p ，频率分布直方图求出面积的一半处求出中位数即可；〔2〕分分层抽样的原则先求出共抽取6人时在[10,15)和[25,30)的人数，再列出全部根本领件，可求2人效劳次数都在[10,15)的概率. 试题解析：〔1〕因200.25M ÷=，所以80M =，所以500.62580n ==， 310.250.6250.050.07540p =---==， 10.12558n a ===. 中位数位于区间[15,20)，设中位数为(15)x +，则0.1250.25x =，所以2x =，所以学生参加社区效劳区次数的中位数为17次. 〔2〕由题意知样本效劳次数在[10,15)有20人，样本效劳次数在[25,30)有4人， 如果用分层抽样的方法从样本效劳次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的效劳次数在[10,15)和[25,30)的人数分别为：206524⨯=和46124⨯=. 记效劳次数在[10,15)为12345,,,,a a a a a ，在[25,30)的为b . 从已抽取的6人任选两人的全部可能为：3534545(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a a a b a b 共15种，设“2人效劳次数都在[10,15)〞为事件A ，则事件A 包含 共10种， 全部102()153P A ==. 【考点】1.频率分布表；2.频率分布直方图；3.古典概型.20．椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上的左、右顶点分别为,A B ，1F 为左焦点，且1||2AF =，又椭圆C 过点.〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2216x y +=上〔点,A B 除外〕，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，假设1234k k =，证明：,,A P Q 三点共线. 【答案】〔1〕2211612x y +=；〔2〕见解析【解析】试题分析：〔1〕1||2AF a c ==-,由椭圆C 过点可得b =椭圆中,,a b c 关系求出,,a b c 的值即可；〔2〕由〔1〕知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由此可得2111121114416PA y y y k k x x x •=•=+--，又因为22113124y x =-，1234k k =，由此可得21PA k k •=-，同理可得21QA k k •=-，所以PA QA k k =，即可证,,A P Q 三点共线.试题解析：〔1〕由可得2,a c b -==22212b a c =-=，解得4a =，故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=. 〔2〕由〔1〕知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x •=•=+--，因为11(,)P x y 在椭圆C 上，所以221111612x y +=，即22113124y x =-，所以2112131234164PA x k k x -•==--.又因为1234k k =，所以21PA k k •=-.〔a 〕 由点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径， 所以QA QB ⊥，所以21QA k k •=-〔b 〕由〔a 〕〔b 〕可得PA QA k k =，因为直线,PA QA 有共同点A ， 所以,,A P Q 三点共线.【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21．函数()ln f x x x =.〔1〕求函数()y f x =的单调区间和最小值； 〔2〕假设函数()()f x a F x x -=在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； 〔3〕假设k Z ∈，且()(1)0f x x k x +-->对任意1x >恒成立，求k 的最大值. 【答案】〔1〕()f x 的单调递增区间为1[,)e +∞，单调减区间为1(0,]e ,min 1()f x e=-.〔2〕a =〔3〕3【解析】试题分析：〔1〕求导'()ln 1(0)f x x x =+>，解不等式'()0f x ≥与'()0f x ≤可得函数()f x 的单调区间；〔2〕求函数()ln a F x x x =-的导数'2()x a F x x+=，分0a ≥与0a <商量函数()ln a F x x x =-在区间[1,]e 的单调性与最小值，由min 3()2f x =求之即可；〔3〕由题意别离参数得ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立，构造函数ln ()1x x x h x x +=-，求导'2ln 2()(1)x x h x x --=-，'2ln 2()(1)x x h x x --=-的符号由分子()ln 2(1)x x x x ϕ=-->确定，且函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈,由此可知函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增,所以min 0()k g x x <=，可证结论成立.试题解析：〔1〕因为'()ln 1(0)f x x x =+>，令'()0f x ≥，即1ln 1ln x e -≥-=，所以1x e≥，同理，令'()0f x ≤，可得1(0,]x e ∈，所以()f x 的单调递增区间为1[,)e+∞，单调减区间为1(0,]e.所以min 1111()()ln f x f ee e e ===-. 〔2〕()ln a F x x x =-，'2()x a F x x +=，Ⅰ．当0a ≥时，'()0F x >，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去. Ⅱ．当0a <时，()F x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增， ①假设(1,0)a ∈-，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去，②假设[,1]a e ∈--，()F x 在[1,]a -上单调递减，在[,]a e -上单调递增， 所以min 3()(1)ln()2F x F a a ==-+=，解得[,1]a e =--. ③假设(,)a e ∈-∞-，()F x 在[1,]e 上单调递减，min 3()()12a F x F e e ==-=，所以(,)2ea e =-∉-∞-，舍去，综上所述，a =〔3〕由题意得：(1)ln k x x x x -<+对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立. 令ln ()1x x x h x x +=-，则'2ln 2()(1)x x h x x --=-，令()ln 2(1)x x x x ϕ=-->，则'11()10x x x xϕ-=-=>， 所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，因为方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈，当01x x <<时，()0x ϕ<，即'()0h x <，当0x x >时，()0x ϕ>，即'()0h x >.所以函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增. 所以0000min 0000(1ln )(12)()()(3,4)11x x x x h x h x x x x ++-====∈--所以min 0()k g x x <=，又因为0(3,4)x ∈，故整数k 的最大值为3.【考点】1.导数与函数的单调性、最值；2.函数与不等式.【名师点睛】此题主要考查导数与函数的单调性、最值；函数与不等式,属难题.此题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此题，精确求导数是根底，恰当分类商量是关键，易错点是分类商量不全面、不彻底、不恰当.此题能较好的考查考生的逻辑思维能力、根本计算能力、分类商量思想等.22．如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .〔1〕求证：//BC DE ；〔2〕假设,,,D E C F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠.【答案】〔1〕见解析；〔2〕27π 【解析】试题分析：〔1〕要证//BC DE ，只要证EDC DCB ∠=∠即可，由弦切角和圆周角关系可得EDC DAC ∠=∠，由角平分线性质得EDC DAC ∠=∠，又同弧上的圆周角相等，所以DAB DCB ∠=∠，即可证得EDC DCB ∠=∠；〔2〕由,,,D E C F 四点共圆及〔1〕得CFA ACF ∠=∠，设DAC DAB x ∠=∠=，在等腰三角形ACF 中，列出方程7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=，解之即可.试题解析： 〔1〕∵BAC ∠的平分线与圆交于点D∴EDC DAC ∠=∠，DAC DAB ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∴EDC DCB ∠=∠，∴//BC DE .〔2〕因为,,,D E C F 四点共圆，所以CFA CED ∠=∠，由〔1〕知，ACF CED ∠=∠，所以CFA ACF ∠=∠.设DAC DAB x ∠=∠=，因为AC BC =，所以2CBA BAC x ∠=∠=，所以3CFA FBA FAB x ∠=∠+∠=，在等腰三角形ACF 中，7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=， 则7x π=，所以227BAC x π∠==. 【考点】1.圆的性质；2.等腰三角形性质；3.圆内接四边形性质.23．直线112:2x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕，曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕. 〔1〕设l 与1C 相交于,A B 两点，求||AB ；〔2〕假设把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.【答案】〔1〕1;〔21) 【解析】试题分析：〔1〕将直线与圆的参数方程化为一般方程，求出交点坐标，即可求AB ；〔2〕先由伸缩与平移变换规律求出曲线2C 的参数方程，交用参数表示点P 的坐标，用参数θ表示点P 到直线l 的距离|22)2]24d θθπθ==-+，即可求最小值. 试题解析：〔1〕直线l的一般方程为1)y x =-，1C 的一般方程为221x y +=，联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得l 与1C 的交点为1(1,0),(,)22A B -，则||1AB =. 〔2〕曲线2C为1cos 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔θ为参数〕，故点P的坐标是1(cos )2θθ，从而点P 到直线l的距离是|22)2]244d θθπθ==-+，由此当sin()14πθ-=-时，d取得最小值，且最小值为1)4. 【考点】1.参数方程与一般方程的互化；2.椭圆参数方程的应用.24．设函数()|2|2f x x a a =-+.〔1〕假设不等式()6f x ≤的解集为{|64}x x -≤≤，求实数a 的值；〔2〕在〔1〕的条件下，假设不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围.【答案】〔1〕2-;〔2〕{|0}k k k k <=.【解析】试题分析：〔1〕|2|62x a a -≤-333322a x a ⇔-≤≤-,由3362a -=-可求出a ；〔2〕由〔1〕2()(1)5f x k x ≤--可转化为2|22|1(1)x k x ++≤-，作出函数23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩的图象，数形结合可求k 的范围.试题解析：〔1〕|2|62x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-， ∴333322a x a -≤≤- 3362a -=-，2a =-. 〔2〕由〔1〕知，2|22|1(1)x k x ++≤-，23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩，()g x 的图象如图： 要使解集非空，212k ->或211k -≤-，∴{|0}k k k k ><=.【考点】1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示及应用.。
湖南省长沙市长郡中学2017届高考模拟卷(一)文科数学试题
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。