求非特殊角的三角函数值
三角函数值如何求角
2.答案为{
1 解析：应用诱导公式得sinX= ，所角X是第一，二象限角， 2 π π α0 = 求得锐角 ，故第一象限的角为 或第二象限 6 6π π 5π 5π 的角 = ，所以所求角的集合为{ ， } 6 6 6 6
π
本讲小结： 本讲小结：
已知角α的一个三角函数值求角α,要结合角所属范围和三角函 数在此区间上的单调性来确定。一般说来，所得的解不是唯一的， 而是有无数多个， 其解法步骤可概括为： （1） 由已知函数值的正、负确定所求角α所在的象限（定象限）； （2） 如函数值为正，若函数值是非特殊值，则用计算器，先求 出对应的锐角 α 0 ；如果函数值为负，则先求出与其绝对值 对应的锐角
o ⋅
反正弦
满足条件sinX= -0.3332 的锐角X =arcsin 0.3332 满足条件sinX= 0.65 的锐角X = arcsin 0.65 满足条件sinX= 0.5 的锐角X = arcsin 0.5 2 2 满足条件sinX= 的锐角X = arcsin 2 2 定义 一般的， 在闭区间[ − π ，π ]上，符合条件 sinX=a（-1 ≤ a
4 符合条件的角有且只有两个：第一象限的角 或 4 π π 3π 3π 第二象限的角π - 即 于是所求角X的集合是{ 4 ， } 4 4 4
π
π
]上
-1
π
π 3π =π − 4 4
π
已知三角函数值求角的步骤可概括为：
（1）定象限；（2）找锐角；（3）写形式
（4）sinX= 2 ， 且X ∈[ 2 0 ， 2π
2
π
4
-1
π
3π 4
π
π
2 2
【教学设计】 一般角的三角函数值
28.1.4 一般角的三角函数值【知识与技能】掌握用计算器求锐角的三角函数值以及已知一锐角的某一三角函数值，利用计算器求出这个锐角的度数的方法.【过程与方法】在运用计算器求锐角的三角函数值的过程中，锻炼动手操作能力.【情感态度】运用计算器来解决问题的过程中，可激发学生的学习兴趣.【教学重点】运用计算器求锐角三角函数的值或锐角.【教学难点】用计算器进行有关直角三角形的计算.一、情境导入，初步认识问题 当锐角A 是30°、45°或60°等特殊角时，可以求出这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A 不是这些特殊角时，怎样得到它的三角函数值呢？二、思考探究，获取新知利用计算器可求出非特殊角的三角函数值.1.用计算器求下列函数值：（1）sin18°；（2）sin 273653'''︒；（3）cos2716'︒；（4）cos435719'''︒；（5）tan632436'''︒.2.已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角:（1）sinA = 0.8347 （2）cosA = 0.6252 (3)tanA = 4.834【教学说明】 不同的计算器的按键方式可能不同，教学时，给学生充分交流的时间和空间，引导学生利用自己所使用的计算器探索具体操作步骤.教师巡视，注意观察学生操作是否规范，可给予适当帮助，达到解决问题的目的， 引入教材P68练习加深理解.三、运用新知，深化理解1.用计算器求下列各组锐角的三角函数值，从中你能得出什么猜想？（1）sin83°，cos7°；（2）sin56°，cos34°；（3）sin 2736'︒，cos6224'︒.2.用计算器求下列各组锐角的三角函数值，从中你能得出什么猜想？（1）sin13°, sin25°，sin36°，sin44°，sin57°，sin68°，sin 7917'︒， sin832753'''︒；（2）cos1734'︒，cos342753'''︒，cos5318'︒，cos69573'''︒，cos7717'︒， cos881725'''︒；（3）tan 2734'︒，tan 435728'''︒，tan521815'''︒，tan 67︒，tan 7817'︒， tan8524'︒.【教学说明】 学生自主探索，获得结论，在学生各自获得结论后，让他们相互交流，相互检查，发现问题，及时自纠.教师巡视，可适时予以指导.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时练习的“课堂演练”部分.【答案】 1.猜想：sin α = cos(90°- α)2. (1)猜想：对于锐角A ，它的正弦函数 (sinA)的函数值随自变量锐角A 的增大而增大，且sinA 必满足0〈sinA 〈1.（2）猜想：对于锐角A ，它的余弦函数（cosA)的函数值随锐角A 的增大而减小，且cosA 必满足0〈cosA 〈1.（3）猜想：对于锐角A ，它的正切函数（tanA)的函数随锐角A 的增大增大 ， 且tanA 满足0〈tanA四、师生互动，课堂小结1.师生共同总结用计算器计算锐角三角函数值 及由锐角三角函数值求锐角的按键方法.2.通过本节课的学习，你有哪些新的发现，不妨说说看.【教学说明】 师生共同回顾，以交谈方式对本节课进行回顾，共同提高认识.。
三角函数“角变换”的六种常用技巧
ʏ童昌立角变换 是三角变换的核心, 角变换 的六种常用技巧是:互余角或互补角的转化,非特殊角向特殊角的转化,半角与倍角的转化,复角与单角的转化,结论式中的角与条件式中的角的转化,引入辅助角㊂下面举例分析,供大家学习与提高㊂技巧一:互余角或互补角的转化例1 (1)已知c o s α-π4=45,αɪ0,π4,则c o s α+π4=㊂(2)已知s i n π3-α=14,则c o sπ3+2α=㊂(1)由αɪ0,π4,可得α-π4ɪ-π4,0 ㊂因为c o s α-π4 =45,所以s i n α-π4 =-35,所以s i n π4-α =35㊂故c o s α+π4 =s i n π2-α+π4 =s i n π4-α =35㊂(2)由s i n π3-α =14,可得c o s π6+α =c o s π2-π3-α=s i n π3-α =14,所以c o s π3+2α =c o s 2π6+α =2c o s 2π6+α -1=2ˑ116-1=-78㊂评注:利用π4+α=π2-π4-α,π3+α=π2-π6-α ,π6+α=π2-π3-α 的转化是解题的关键㊂技巧二:非特殊角向特殊角的转化例2 (多选题)下列式子结果为3的是( )㊂A .2s i n 35ʎc o s 25ʎ+c o s 35ʎc o s 65ʎB .1+t a n 15ʎ1-t a n 15ʎC .t a n 75ʎ1-t a n 275ʎD .t a n 25ʎ+t a n 35ʎ+3t a n 25ʎt a n35ʎ对于A ,2(s i n 35ʎc o s 25ʎ+c o s 35ʎc o s65ʎ)=2(s i n35ʎ㊃c o s 25ʎ+c o s 35ʎs i n 25ʎ)=2s i n 60ʎ=3㊂对于B ,1+t a n 15ʎ1-t a n 15ʎ=t a n 45ʎ+t a n 15ʎ1-t a n 45ʎt a n 15ʎ=t a n 60ʎ=3㊂对于C ,t a n 75ʎ1-t a n 275ʎ=12ˑ2t a n 75ʎ1-t a n 275ʎ=12ˑt a n150ʎ=-36㊂对于D ,t a n25ʎ+t a n 35ʎ+3t a n25ʎt a n35ʎ=t a n60ʎ(1-t a n 25ʎt a n 35ʎ)+3t a n25ʎt a n35ʎ=3-3t a n 25ʎt a n 35ʎ+3t a n 25ʎt a n 35ʎ=3㊂应选A B D ㊂评注:特殊角的三角函数值是同学们熟悉的㊂利用非特殊角向特殊角转化是解答本题的突破口㊂技巧三:半角与倍角的转化例3 (1)3c o s 15ʎ-4s i n 215ʎc o s15ʎ=( )㊂A.2 B .3C .6D .23(2)s i n 50ʎ(1+3t a n 10ʎ)=㊂(1)原式=3c o s15ʎ-2s i n 15ʎ㊃2s i n 15ʎc o s 15ʎ=3c o s 15ʎ-2s i n15ʎs i n30ʎ=3c o s15ʎ-01 知识结构与拓展 高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.s i n 15ʎ=2c o s (30ʎ+15ʎ)=2㊂应选A ㊂(2)原式=s i n 50ʎ(c o s 10ʎ+3s i n 10ʎ)c o s 10ʎ=s i n 50ʎ㊃2s i n 40ʎc o s 10ʎ=2s i n 50ʎc o s 50ʎc o s 10ʎ=s i n 100ʎc o s 10ʎ=c o s 10ʎc o s 10ʎ=1㊂评注:对于形如 c o s α,c o s 2α,c o s 4α的化简与求值问题,就要想到二倍角公式和辅助角公式的应用㊂技巧四:复角与单角的转化例4 已知s i n (2023π+θ)=13,则所给三角函数式:c o s (π+θ)c o s θ㊃[c o s (π-θ)-1]+c o s (θ-2π)s i n θ-3π2c o s (θ-π)-s i n 3π2+θ的值为㊂因为s i n (2023π+θ)=-s i n θ=13,所以s i n θ=-13㊂所以原式=-c o s θ-c o s θ㊃(1+c o s θ)+c o s θ-c o s 2θ+c o s θ=11+c o s θ+11-c o s θ=21-c o s 2θ=2s i n 2θ=2-132=18㊂评注:对于诱导公式2k π+α(k ɪZ ),πʃα,-α,π2ʃα的变换,每用一次公式,都要注意三角函数值的符号㊂技巧五:结论式中的角与条件式中的角的转化例5 已知α,β均为锐角,且c o s (α+β)=-513,s i n β+π3 =35,则c o s α+π6=( )㊂A.3365 B .6365C .-3365D .-6365因为α,β均为锐角,且c o s (α+β)=-513,s i n β+π3=35,所以α+βɪπ2,π ,β+π3ɪπ3,5π6,所以s i n α+β =1213,c o s β+π3 ɪ-32,12㊂易得c o s β+π3 =ʃ45,其中c o s β+π3 =45>12舍去㊂故c o s α+π6 =c o s (α+β)-β+π3 +π2 =-s i n (α+β)-β+π3 =-1213ˑ-45 +-513ˑ35=3365㊂应选A ㊂评注:三角公式中的角α,β可以是任意角,既能看成是单角,也能看成是复角㊂在运用公式时,要特别注意 条件角 与 结论角 之间可能存在的和差关系㊂常见的角的变换有15ʎ=45ʎ-30ʎ=60ʎ-45,α=(α+β)-β,α=α+β2+α-β2,2α=(α+β)+(α-β)=π4+α-π4-α,β=α+β2-α-β2等㊂技巧六:引入辅助角例6 已知函数f (x )=5s i n x -12c o s x ,当x =x 0时,f (x )有最大值13,则t a n x 0=㊂因为函数f (x )=5s i n x -12c o s x =13s i n (x -θ),其中θ由t a n θ=125确定㊂因为当x =x 0时,函数f (x )有最大值13,所以x 0-θ=π2+2k π(k ɪZ ),所以x 0=θ+π2+2k π(k ɪZ ),所以t a n x 0=t a n θ+π2+2k π=ta n θ+π2=s i n θ+π2 c o s θ+π2=c o s θ-s i n θ=-1t a n θ=-512㊂评注:形如a s i n x +b c o s x 的求值问题,可考虑利用辅助角公式来解决㊂a s i n x +b c o s x =a 2+b 2si n (x +θ),其中θ由t a n θ=ba确定㊂作者单位:湖北省恩施市第三高级中学(责任编辑 郭正华)11知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
2016-2017年直角三角形边角关系1.2§1-230度,45度,60度角的三角函数值（总结）
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. [生]在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，AD ＝BE ，BE 是已知的，设BE=a 米，则AD ＝a 米，如何求CD 呢? [生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一 半，即AC ＝2CD ，根据勾股定理，(2CD)2＝CD 2+a 2. CD ＝33a.则树的高度即可求出.[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=aCDAD CD =，则CD=atan30°，岂不简单. 你能求出30°角的三个三角函数值吗?Ⅱ.讲授新课1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°. [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝21. sin30°表示在直角三角 形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ，所以sin30°＝212=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝2323=a a .0.34(m).工会党支部工作总结[工会党支部工作总结] xxxx年，我们工会党支部在师直党工委的正确领导下，认真学习贯彻“三个代表”重要思想，学习党的十六届四中全会精神，自觉用“三个代表”重要思想指导工作，进一步加强党支部的建设，在工作中较好的发挥了政治核心和战斗堡垒作用，工会党支部工作总结。
人教高中数学A必修一《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第1课时两角差的余弦公式)
1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 16°，
＝( )
∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin
A．
3 2
C．－
3 2
B．12 D．－12
76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60° ＝12.]
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2．cos(－15°)的值是( )
A.
6－ 2
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37
2．已知 α 为锐角，β 为第三象限 角，且 cos α＝1123，sin β＝－35，则 cos(α －β)的值为( )
A [∵α为锐角，cos α＝1123， ∴sin α＝ 1－cos2α＝153，
A．－6635
B．－6353
∵β为第三象限角，sin β＝－35，
C.6635
D.6353
12
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③12cos
15°＋
3 2 sin
15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝ 22.
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1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构 形式，然后逆用公式求值． 2．两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．
系和公式 C(α－β)求 cos(α－β)． (2)由已知角π3＋α 与所求角 α 的关系即 α＝π3＋α－π3寻找解题思路．
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(1)D [因为sin α－sin β＝1－ 23，
第20章 锐角三角函数及解直角三角形
第二十章 锐角三角函数及解直角三角形 29.1 锐角三角函数以及特殊角（2011江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（ ） A. 12B. 2C. 2D.1 【解析】sin45°=2【答案】B 【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。
需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。
（2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为A ．12 BCD【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝CD AC【答案】B【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义．29.2 三角函数的有关计算图4图4（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ．200米B.C.D. 1)米解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tan ,tan CD CD A B AD DB ==，又CD=100，因此AB=AD+DB=00100100100tan tan tan 30tan 45CD CD A B +=+=。
答案：D点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。
( 2012年浙江省宁波市,8,3)如图，Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23,则BC 的长为（A ）4 (B)2 5 (C) 18 1313 (D) 121313 【解析】由三角函数余弦的定义cosB=BC AB =23，又∵AB=6∴BC=4,故选A 【答案】A【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易.（2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是 ，cosA 的值是 .（结果保留根号） 8题图 A B C解析：由已知条件，可知△BDC 、△ADB 是等腰三角形，且DA=DB=BC ，可证△BDC ∽△ABC ，则有BC DC AC BC =，设BC=x ，则DC=1-x ，因此21,101x x x x x-=+-=即，解方程得，1211,22x x ==（不合题意，舍去），即； 又cosA=2ABAD ===点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。
常用三角函数公式及口诀
常用三角函数公式及口诀三角函数是数学中非常重要的一部分，它经常在几何、物理、工程等各个领域中被广泛应用。
掌握常用的三角函数公式和口诀，将有助于我们更好地理解和应用它们。
下面是一些常用的三角函数公式及口诀：一、三角函数的定义：在一个直角三角形中，正弦(sin)定义为对边与斜边的比值，余弦(cos)定义为邻边与斜边的比值，正切(tan)定义为对边与邻边的比值。
即：sin(θ) = 对边 / 斜边cos(θ) = 邻边 / 斜边tan(θ) = 对边 / 邻边二、特殊角的三角函数值：1.30°角特殊值：sin(30°) = 1/2cos(30°) = √3/2tan(30°) = 1/√32.45°角特殊值：sin(45°) = √2/2cos(45°) = √2/2tan(45°) = 13.60°角特殊值：sin(60°) = √3/2cos(60°) = 1/2tan(60°) = √3三、基本三角函数的性质：1.正弦、余弦的周期性：sin(θ) = sin(θ + 2π)cos(θ) = cos(θ + 2π)2.正弦、余弦的对称性：sin(-θ) = -sin(θ)cos(-θ) = cos(θ)3.正弦、余弦的平方和为1：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 14.正切的周期性：tan(θ) = tan(θ + π)四、和差角公式：1.正弦和差角公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B) 2.余弦和差角公式：cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)3.正切和差角公式：tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B)) / (1 ∓ tan(A)tan(B))五、倍角公式：1.正弦倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)2.余弦倍角公式：cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A) 3.正切倍角公式：tan(2A) = 2tan(A) / (1 - tan^2(A))六、半角公式：1.正弦半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cos(A)) / 2]2.余弦半角公式：cos(A/2) = ±√[(1 + cos(A)) / 2]3.正切半角公式：tan(A/2) = ±√[(1 - cos(A)) / (1 + cos(A))]七、和差化积公式：1.正弦和差化积公式：sin(A) + sin(B) = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]sin(A) - sin(B) = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] 2.余弦和差化积公式：cos(A) + cos(B) = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]cos(A) - cos(B) = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]。
九年级数学下册《特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教案、教学设计
3.教学评价：
-课堂问答：通过提问，了解学生对特殊角的三角函数值的掌握情况。
-作业布置：设计富有层次性的作业，Байду номын сангаас学生在课后巩固所学知识。
-课堂练习：进行计算器操作练习，评价学生的实际应用能力。
-小组讨论：观察学生在小组合作中的表现，评价学生的团队协作能力。
3.总结规律：
-引导学生发现特殊角三角函数值的规律；
-解释特殊角三角函数值与角度之间的关系。
（三）学生小组讨论
在这一环节中，我们将组织学生进行小组讨论，共同探讨三角函数值的记忆方法和计算器操作技巧。
1.分组：将学生分成若干小组，每组4-6人。
2.话题：讨论如何记忆特殊角的三角函数值，以及计算器操作的注意事项。
2.学生练习：学生在课堂上独立完成练习题。
3.交流反馈：学生相互交流答案，讨论解题过程中的困惑。
4.点评讲解：教师对学生的练习情况进行点评，针对共性问题进行讲解。
（五）总结归纳
在这一环节中，我们将对本节课所学知识进行总结，帮助学生巩固记忆。
1.回顾：引导学生回顾本节课所学内容，包括特殊角的三角函数值、计算器操作方法等。
1.提问：请同学们回忆一下，我们之前学习的三角函数有哪些？它们分别表示什么意义？
2.学生回答：正弦、余弦、正切。
3.追问：那么，这些三角函数的值与角度之间有怎样的关系呢？
4.学生回答：角度不同，三角函数的值也会不同。
5.引入新课：今天我们将学习特殊角的三角函数值，以及如何使用计算器求任意角的三角函数值。
2.教学过程：
-导入新课：通过复习一般角的三角函数，自然过渡到特殊角的三角函数值的学习。
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求非特殊角的三角函数值
借助初中数学知识，我们可以求出一些非特殊角的三角函数值.由于在求值过程中需综合运用几何、代数知识，因此了解并掌握这些非特殊角的三角函数值的求法对初三数学的综合复习颇有帮助.笔者现给出18°、22.5°、36°、75°角正弦值的不同求法，供初三同学参考．
1．用“黄金分割”求sin18°值
如图1，作顶角为36°的等腰△ABC ，CD 为底角C 的平分线且交AB 于D ，AE 平分∠A 。
易证：①△DCA 、△CBD 均为等腰△；
即AD 为线段AB 的中外比，D 点为线段AB 的黄金分割点。
于是得到BC=512
-·AB 。
由AE BC ⊥，得1212
51418BE BC AB BAE A ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-==⋅∠=∠=︒
∴514
sin18BE AB -=︒=。
2．用外角定理求sin22.5°值
如图2，作等腰Rt △ABC ，延长CB 至D ，
使BD ＝BA ，
∠ABC ＝45°
＝∠D+∠DAB ＝2∠D
故∠D ＝22.5°，
令AC ＝BC ＝1
3．用角平分线定理求sin36°值
如图3，在等腰△ABC 中，∠A ＝36°，∠B ＝∠C ＝72°，CD 为∠C 平分线，CE ⊥AB ，
易证：AD＝CD＝BC．由角平分线定理可得
4．用轴对称图形求sin75°值
如图4，作正方形ABCD，以CD为边在形内作正△DOC，
令正方形边长为2，易知
上述四个角的正弦值求法各异，这样做的目的是为了启发同学们学会多种角度地去分析和解决问题.实际上，上述非特殊角的三角函数值求法还可举出数种，同学们不妨自己动脑筋想一想。