高中数学正弦定理与余弦定理习题及详解
高中数学正弦定理与余弦定理习题及详解
一、选择题
1．在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2A－sin2C＝(sinA－sinB)sinB，则角C等于( )
A.π6 B.π3
C.5π6 D.2π3
[答案] B
[解析] 由正弦定理得a2－c2＝(a－b)·b，
由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，
∵0
2．(文)(2010·泰安模拟)在△ABC中，若A＝60°，BC＝43，AC＝42，则角B的大小为( )
A．30° B．45°
C．135° D．45°或135°
[答案] B
[解析] ∵AC·sin60°＝42×32＝26<42<43，故△ABC只有一解，由正弦定理得，42sinB＝43sin60°，
∴sinB＝22，∵42<43，∴B
(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，A＝π3，a＝3，b＝1，则c＝( )
A．1
B．2
C.3－1 D.3
[答案] B
[解析] ∵bsinA＝32<1<3，∴本题只有一解．
∵a＝3，b＝1，A＝π3，
∴根据余弦定理，cosA＝b2＋c2－a22bc＝1＋c2－32c＝12，
解之得，c＝2或－1，
∵c>0，∴c＝2.故选B. 3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝2，b＝22，且三角形有两解，则角A的取值范围是(
)
A.0，π4
B.π4，π2
C.π4，3π4 D.π4，π3
[答案] A
[解析] 由条件知bsinA
∵a
[点评] 如图，AC＝22，以C为圆心2为半径作⊙C，则⊙C上任一点(⊙C与直线AC交点除外)可为点B构成△ABC，当AB与⊙C相切时，AB＝2，∠BAC＝π4，当AB与⊙C相交时，∠BAC
4．(2010·湖南理)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.若∠C＝120°，c＝2a，则( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
[答案] A
[解析] ∵∠C＝120°，c＝2a，c2＝a2＋b2－2abcosC
∴a2－b2＝ab，
又∵a>0，b>0，∴a－b＝aba＋b>0，所以a>b.
5．(文)(2010·天津理)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案] A
[解析] 由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc，
∵sinC＝23sinB，∴c＝23b，∴c2＝23bc，
又∵b2－a2＝－3bc，∴cosA＝32，
又A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故选A. (理)(2010·山东济南)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为( )
A.π6 B.π3
C.π6或5π6 D.π3或2π3
[答案] D
[解析] 由(a2＋c2－b2)tanB＝3ac得，a2＋c2－b2ac·tanB＝3，再由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac得，2cosB·tanB＝3，即sinB＝32，∴角B的值为π3或2π3，故应选D.
6．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为( )
A．1＋3 B．3＋3
C.3＋33 D．2＋3
[答案]
C
[解析] 12acsinB＝12，∴ac＝2，
又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝3＋33.
7．(2010·厦门市检测)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC等于( )
A.2
B.3
C.32 D．2
[答案] C
[解析] ∵A、B、C成等差数列，∴B＝60°，
∵bsinB＝asinA，∴sinA＝asinBb＝1×323＝12，
∴A＝30°或A＝150°(舍去)，∴C＝90°，
∴S△ABC＝12ab＝32.
8．(2010·山师大附中模考)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形 B．正三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
[答案] A
[解析] ∵cos2B2＝a＋c2c，∴1＋cosB2＝sinA＋sinC2sinC，
∴sinCcosB＝sinA，
∴sinCcosB＝sin(B＋C)，∴sinBcosC＝0，
∵0
9．(2010·四川双流县质检)在△ABC中，tanA＝12，cosB＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( )
A.455 B.355
C.255 D.55
[答案] D
[解析] 由tanA>0，cosB>0知A、B均为锐角，
∵tanA＝12<1，∴032，
∴0
由cosB＝31010知，tanB＝13，∴B
由条件知，sinA＝15，cosA＝25，sinB＝110，
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB
＝15×310＋25×110＝22，
由正弦定理bsinB＝csinC知，b110＝122，∴b＝55.
10．(2010·山东烟台)已知非零向量AB→，AC→和BC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，且AC→·BC→|AC→|·|BC→|＝22，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．等腰非直角三角形 C．直角非等腰三角形
D．等腰直角三角形
[答案] D
[解析] ∵AC→·BC→|AC→|·|BC→|＝cos∠ACB＝22，
∴∠ACB＝45°，
又∵AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，
∴∠A＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，故选D.
二、填空题
11．(文)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________．
①a＝1，b＝2，B＝45°；
②a＝5，b＝15，A＝30°；
③a＝6，b＝20，A＝30°；
④a＝5，B＝60°，C＝45°.
[答案] ①④
[解析] ①一解，asinB＝22<1<2，有一解．
②两解，b·sinA＝152<5<15，有两解；
③无解，b·sinA＝10>6，无解．
④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．
(理)在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c的取值范围是________．
[答案] 3
[解析] 边c最长时：
cosC＝a2＋b2－c22ab＝1＋4－c22×1×2>0，
∴c2<5.∴0
边b最长时：cosB＝a2＋c2－b22ac＝1＋c2－42c>0，
∴c2>3.∴c>3.
综上，3
12．(2010·上海模拟)在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1,0)，C(1,0)，顶点B在椭圆x24＋y23＝1上，则sinA＋sinCsinB的值为________． [答案] 2
[解析] 由题意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，
由正弦定理得sinA＋sinCsinB＝BC＋BAAC＝2.
13．(文)(2010·沈阳模拟)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b2＋c2＝a2＋bc，且AC→·AB→＝4，则△ABC的面积等于________．
[答案] 23
[解析] ∵b2＋c2＝a2＋bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，
∵AC→·AB→＝4，∴b·c·cosA＝4，∴bc＝8，
∴S＝12AC·ABsinA＝12×bc·sinA＝23.
(理)(2010·北京延庆县模考)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝c＝2b且sinB＝45，当△ABC的面积为32时，b＝________.
[答案] 2
[解析] ∵a＋c＝2b，∴a2＋c2＋2ac＝4b2(1)
∵S△ABC＝12acsinB＝25ac＝32，∴ac＝154(2)
∵sinB＝45，∴cosB＝35(由a＋c＝2b知B为锐角)，
∴a2＋c2－b22ac＝35，∴a2＋c2＝92＋b2(3)
由(1)、(2)、(3)解得b＝2.
14．(2010·合肥市质检)在△ABC中，sinA－sinBsinA＋B＝2sinA－sinCsinA＋sinB，则角B＝________.
[答案] π4
[解析] 依题意得sin2A－sin2B＝sin(A＋B)(2sinA－sinC)＝2sinAsinC－sin2C，
由正弦定理知：a2－b2＝2ac－c2，
∴a2＋c2－b2＝2ac，
由余弦定理知：cosB＝a2＋c2－b22ac＝22，
∴B＝π4.
三、解答题
15．(文)(2010·广州六中)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足
高考真题与模拟训练 专题08 正弦定理和余弦定理(解析版)
专题8 正弦定理和余弦定理
第一部分 近3年高考真题
一、选择题
1
．（2021·
全国高考真题（文））在ABC
中，已知120B
，19AC
，2AB
，则BC
（
）
A
．1B
．2
C
．5
D
．3
【答案】D
【解析】设,,ABcACbBCa
，
结合余弦定理：222
2cosbacacB
可得：2
1942cos120aa
，
即：2
2150aa
，解得：3a
（5a
舍去），
故3BC
.
故选：D.
2
．（2021·
全国高考真题（理））已知12,FF
是双曲线C
的两个焦点，P
为C上一点，且
121260,3FPFPFPF
，则C
的离心率为（ ）
A．7
2B．13
2C
．
7D
．
13
【答案】A
【解析】因为213PFPF
，由双曲线的定义可得12222PFPFPFa
，
所以2PFa
，13PFa
；
因为1260FPF
,
由余弦定理可得222
4923cos60caaaa
，整理可得22
47ca
，所以2
2
27
4ac
e
，即7
2e
.
故选：A
3
．（2020·
全国高考真题（文））在△ABC
中，cosC
=2
3
，AC=4
，BC=3
，则tanB=
（ ）
A
．5
B
．
25
C
．
45
D
．
85
【答案】C
【解析】设,,ABcBCaCAb
2222
2cos91623493
3cababCc
222
21145
cossin1()tan45
2999acb
BBB
ac
故选：C
4
．已知椭圆C
的焦点为121,01,0FF()，()
，过F
2的直线与C
交于A
，B
两点.
若222AFFB││││
，
1ABBF││││
，则C
的方程为（ ）
A．2
2
1
2x
y
B
．22
1
32xy
C
．22
1
43xy
D．22
1
54xy
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设2FBn
，则212,3AFnBFABn，由椭圆的定义有
121224,22aBFBFnAFaAFn
．在1AFB△中，由余弦定理推论得
高考复习 第4篇 第6讲 正弦定理和余弦定理知识点+例题+练习 含答案
第6讲 正弦定理和余弦定理
知 识 梳 理
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
正弦定理 余弦定理
内容 asin A＝bsin B＝csin C＝2R
(R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A
b2＝a2＋c2－2accos B
c2＝a2＋b2－2abcos C
常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin
B∶sin C cos A＝b2＋c2－a22bc；
cos B＝a2＋c2－b22ac；
cos C＝a2＋b2－c22ab
解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝12ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝12bcsin A＝12absin C＝12acsin B.
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．
辨 析 感 悟
1．三角形中关系的判断
(1)在△ABC中，sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B.(×)
(2)(教材练习改编)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，则A＝60°或120°.(√)
2．解三角形
(3)(2013·北京卷改编)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝59.(√)
(4)(教材习题改编)在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝916，则b＝6.(√)
高中数学正弦、余弦定理知识点详解-应用解答。配套习题
高中数学正弦、余弦定理知识点详解-应用解答。配套习题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 正弦定理和余弦定理
第一部分 知识梳理
1.正弦定理：2sinsinsinabcRABC
正弦定理可以解决两类解三角形问题
（1）已知两角和任一边，求另两边和另一脚
（2）已知两边和其中一边的对角，求其它边和角
2.利用正弦定理确定三角形解的情况
已知三角形两边和其中一条边的对角，利用正弦定理求其他边和角时，要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况
3.余弦定理：222222222222222222cos,22cos,2cos,cos,22cos.cos.2bcaAbcabcbcAacbbacacBBaccababCabcCab
余弦定理可以解决两类解三角形问题
（1）已知三角形的三边求三角形三角
（2）已经三角形的两边及其夹角解三角形第三边及其余两角
4.三角形的面积公式： babababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinA
（2）S＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB；
第二讲 精讲点拨
考点1 正弦定理
（1） ① 有关正弦定理的叙述：① 正弦定理只适用与锐角三角形 ② 正弦定理不适用与直角三角形 ③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值 ④ 在ABC中，CBAcbasin:sin:sin::，其中正确的个数是（ ）
.A 1 B. 2 C. 3 D 4
高中数学必修五-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理
知识集结
知识元
正弦定理公式
知识讲解
1．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形
形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角 图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解(2021年整理)
高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解(word版可编辑修改)
含详解答案 高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解(word版可编辑修改)
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高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解(word版可编辑修改)
含详解答案 高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解
一、选择题
1．（2010·聊城市、银川模拟）在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2A－sin2C＝(sinA－sinB)sinB，则角C等于( ）
A.错误! B。错误!
C.错误! D。错误!
[答案］ B
［解析］ 由正弦定理得a2－c2＝(a－b)·b，
由余弦定理得cosC＝错误!＝错误!，
∵0
2．（文)（2010·泰安模拟)在△ABC中,若A＝60°，BC＝4错误!，AC＝4错误!，则角B的大小为( ）
A．30° B．45°
C．135° D．45°或135°
[答案］ B
［解析] ∵AC·sin60°＝4错误!×错误!＝2错误!〈4错误!〈4错误!，故△ABC只有一解，由正弦定理得，错误!＝错误!，
∴sinB＝错误!，∵4错误!〈4错误!，∴B
（理）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，A＝错误!，a＝错误!,b＝1,则c＝( ）
高中数学必修二 专题6 7 正弦、余弦定理-同步培优专练
专题6.7 正弦、余弦定理
知识储备
一．余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C
推论 cos A＝bcacb2222cos
B＝acbca2222，cos C＝abcab2222
【思考】在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？
【答案】a2＝b2＋c2，即勾股定理.
二．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即CcBbAasinsinsin
三．正弦定理的变形公式
1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
2.RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin(其中R是△ABC外接圆的半径).
【思考】在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？
【答案】等于2R(R为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·广西桂林市·高二期末（理））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若45A，60B，2a，则b（ ）
A．6 B．2 C．3 D．26
高中数学正弦、余弦定理知识点详解-应用解答。配套习题 2
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第一部分 知识梳理
1.正弦定理：2sinsinsinabcRABC
正弦定理可以解决两类解三角形问题
（1）已知两角和任一边，求另两边和另一脚
（2）已知两边和其中一边的对角，求其它边和角
2.利用正弦定理确定三角形解的情况
已知三角形两边和其中一条边的对角，利用正弦定理求其他边和角时，要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况
：222222222222222222cos,22cos,2cos,cos,22cos.cos.2bcaAbcabcbcAacbbacacBBaccababCabcCab
余弦定理可以解决两类解三角形问题
（1）已知三角形的三边求三角形三角
（2）已经三角形的两边及其夹角解三角形第三边及其余两角
4.三角形的面积公式：
（1）S＝21aha＝21bhb＝21chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）
（2）S＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB；
第二讲 精讲点拨
考点1 正弦定理
（1） ① 有关正弦定理的叙述：① 正弦定理只适用与锐角三角形 ② 正弦定理不适用与直角三角形 ③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值 ④ 在ABC中，CBAcbasin:sin:sin::，其中正确的个数是（ ）
.A 1 B. 2 C. 3 D 4 babababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinA
高中数学必修二 6 4 正、余弦定理(精练)(含答案)
6.4.2 正、余弦定理(精练)
【题组一 正余弦的定理的选择】
1．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，则下列等式正确的是( )
A．a=bcos C+ccos B B．a=bcos C-ccos B
C．a=bsin C+csin B D．a=bsin C-csin B
【答案】A
【解析】bcos C+ccos B=b·222-2abcab+c·2222-222acbaaca=a，所以A正确、B错误；
a=bsin C+csin Bsinsinsinsinsin2sinsinABCCBBC，
显然不恒成立，故C错误；
a=bsin C- csin Bsinsinsinsinsin0ABCCB，故D错误.故选：A
2．(2021·全国·高一课时练习)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2a，3b，π4A，则角B( )
A．π6 B．π3 C．π6或5π6 D．π3或2π3
【答案】D
【解析】在ABC中，由正弦定理可得sinsinabAB，所以23sin32sin22bABa，
因为ba，所以BA，因为0πB，所以Bπ3或2π3，故选：D.
3．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC中，已知a＝1，b＝3，A＝30°，则B等于( )
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
【答案】B
【解析】因为1,3,30abA，
由正弦定理得：sinsinabAB，即13sin30sinB，解得3sin2B，
因为(0,180)B，所以60B或120，故选：B.
4(2021·贵州师大附中高一月考)在ABC中，1a，3b，60B，则A( )
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
高中数学正弦定理与余弦定理习题及详解
高中数学正弦定理与余弦定理习题及详解
一、选择题
1．在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2A－sin2C＝(sinA－sinB)sinB，则角C等于( )
A.π6 B.π3
C.5π6 D.2π3
[答案] B
[解析] 由正弦定理得a2－c2＝(a－b)·b，
由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，
∵0
2．(文)(2010·泰安模拟)在△ABC中，若A＝60°，BC＝43，AC＝42，则角B的大小为( )
A．30° B．45°
C．135° D．45°或135°
[答案] B
[解析] ∵AC·sin60°＝42×32＝26<42<43，故△ABC只有一解，由正弦定理得，42sinB＝43sin60°，
∴sinB＝22，∵42<43，∴B
(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，A＝π3，a＝3，b＝1，则c＝( )
A．1
B．2
C.3－1 D.3
[答案] B
[解析] ∵bsinA＝32<1<3，∴本题只有一解．
∵a＝3，b＝1，A＝π3，
∴根据余弦定理，cosA＝b2＋c2－a22bc＝1＋c2－32c＝12，
解之得，c＝2或－1，
∵c>0，∴c＝2.故选B. 3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝2，b＝22，且三角形有两解，则角A的取值范围是(
)
A.0，π4
B.π4，π2
C.π4，3π4 D.π4，π3
[答案] A
[解析] 由条件知bsinA
∵a
[点评] 如图，AC＝22，以C为圆心2为半径作⊙C，则⊙C上任一点(⊙C与直线AC交点除外)可为点B构成△ABC，当AB与⊙C相切时，AB＝2，∠BAC＝π4，当AB与⊙C相交时，∠BAC
高中余弦正弦定理练习题及讲解
高中余弦正弦定理练习题及讲解
### 练习题一：余弦定理的应用
在三角形ABC中，已知AB=7cm，AC=9cm，BC=10cm。求角A的大小。
解答：
首先，我们可以使用余弦定理来解决这个问题。余弦定理公式为：
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \]
其中，a、b、c 分别是三角形的三边，C 是夹角。
在本题中，我们有：
- a = AB = 7cm
- b = AC = 9cm
- c = BC = 10cm
- C = A（我们要求的角）
将已知值代入公式，我们得到：
\[ 10^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos(A) \]
\[ 100 = 49 + 81 - 126 \cdot \cos(A) \]
\[ \cos(A) = \frac{49 + 81 - 100}{126} \]
\[ \cos(A) = \frac{30}{126} \]
\[ \cos(A) = \frac{5}{21} \]
然后，我们可以通过反余弦函数求得角A的大小：
\[ A = \arccos\left(\frac{5}{21}\right) \]
### 练习题二：正弦定理的应用
在三角形DEF中，已知DE=8cm，DF=6cm，角E=45°。求角D的大小。
解答：
正弦定理公式为：
\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}
\]
其中，a、b、c 分别是三角形的三边，A、B、C 分别是对应角。
在本题中，我们有：
- a = DE = 8cm
- b = DF = 6cm
- B = E = 45°
- 我们需要求角D，即角C。
根据正弦定理，我们可以得到：
\[ \frac{8}{\sin(45°)} = \frac{6}{\sin(D)} \]