高中数学第一章三角函数单元复习课课件
2
4 2 4 2 3 k Z得， k x k，k Z， 8 8 所以单调递增区间为 [ 3 k, k] (k∈Z). 8 8 4
(2) f x 2sin(2x )，由 2k 2x 2k，
(3)“1”的代换:在三角函数式中,有些会含有常数1, 常数1虽然非常简单,但有些三角函数式的化简却需要
利用三角函数公式将1代换为三角函数式.
【巩固训练】(2016·全国卷Ⅲ)若tanα = 3 ,则
4
cos2α +2sin2α = (
64 A. 25 48 B. 25
)
16 C.1 D. 25 2 cos 4sincos 2 【解析】选A.cos α +2sin2α = sin 2 cos 2 1 4tan 64 . 2 tan 1 25
1 倍 ｜｜ (ω >0),再沿x轴向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 个
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的
单位,便得y=sin(ω x+φ)的图象.
(2)五点法作y=Asin(ω x+φ)的简图
3 五点取法是设x′=ω x+φ,由x′取 0, , , , 2 2 2
【规律总结】 1.函数y=sin(ω x+φ)的图象
(1)图象变换:途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y=sinx的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个 1 单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω >0), 便得y=sin(ω x+φ)的图象.
途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换
单元复习课
第一章
类型一:任意角的三角函数定义
【典例1】(1)(2016·武汉高一检测)已知角α 的终边
1 与单位圆交于点 ( 3 ， )， 则sinα 的值为 2 2 3 A. 2 1 B. 2 3 C. 2 1 D. 2
(
)
(2)(2016·郑州高一检测)已知角α 的终边上一点 P(m, 3 ),且cosα = 10 ,求sinα ,tanα 的值. 4
来求相应的x值及对应的y值,再描点作图.
2.函数y=Asin(ω x+φ)+B的性质 函数y=Asin(ω x+φ)+B(其中A>0,ω >0)的最大值是
A+B,最小值是B-A,周期是
T
2 ， 频率是 f ， 相位 2
是ω x+φ,初相是φ;其图象的对称轴是直线ω x+φ=
k （k Z）， 凡是该图象与直线y=B的交点都是该 2
【解析】(1)选B.由已知,得 r ( 3 )2 ( 1 )2 1,
1 y 1 2 所以 sin . r 1 2
2
2
(2)根据三角函数定义建立关于m的方程,求出=m, y 3, 所以r=|OP|= m2 3,
｜｜ ) 在其中一个周期内的图象上有一个最高点 2 求该函数的解析式. ( ， 3) 和一个最低点 ( 7 ， 5)， 12 12
【解析】由题意,知b=
5 3 =-1,T=π,A=4.所以ω= 2
2 =2.所以所求函数解析式为y=4sin(2x+φ)-1. T 因为 ( ,3) 为该函数图象上的点,所以当x= 时,y=3, 12 12 即 4sin( ) 1 3,所以 sin( ) 1，所以 2k, k Z. 6 6 2 6 ｜｜ ，所以 . 所以该 所以 2k，k Z. 因为 2 3 3 函数的解析式为 y 4sin(2x ) 1. 3
5
sin2θ -cos2θ =________.
3 3 (2)已知cos(π +α )= ,且α ∈(π , ),求tanα . 5 2
【解析】(1)因为sinθ+cosθ= 1 ,所以sinθcosθ=
5
1 (sinθ+cosθ)2- 1 1 1 1 12 0.所以sinθ和 2 2 2 25 2 25 cosθ的符号相反.又因为θ∈(0,π),所以 ( , ). 2
边的方向作为x轴的正方向,建立直角坐标系.设P(x,y)
为α 终边上任一点,OP=r(r≠0),则有
(1)比值 x 叫做角α 的余弦,记作cosα ,即cosα = x .
r r (2)比值 y 叫做角α 的正弦,记作sinα ,即sinα = y . r r (3)比值 y 叫做角α 的正切,记作tanα ,即tanα = y x x
所以sinθ>0,cosθ<0.所以sinθ-cosθ>0. 所以sinθ-cosθ= 1 2sincos 1 24 7 .
25 5
所以sin2θ-cos2θ=(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)=
1 7 7 . 5 5 25 答案: 7 25
3 (2)因为cos(π+α)=-cosα= ,所以cosα=- 3 . 5 5 又因为α∈ (, 3 ), 故 sin 1 cos 2 1 ( 3 )2 4 , 2 5 5 sin 4 所以tanα= . cos 3
图象的对称中心.
3.由y=Asin(ω x+φ)的图象求其解析式 给出图象确定解析式y=Asin(ω x+φ)的题型,有时从
寻找“五点”中的第一零点 ( ， 0) 作为突破口,要从
图象的升降情况找准第一个零点的位置.
【巩固训练】若函数y=Asin(ω x+φ)+b (A 0, 0,
(x≠0).
提醒:三角函数是一个比值,因此角α 三角函数值的大 小只与α 的终边有关,而与点P在终边上的位置无关.
【巩固训练】若点P(-4a,3a)(a≠0)为角α 终边上一点, 求sinα ,cosα ,tanα .
【解析】由题意得 r (4a)2 (3a) 2 5 a . 当a>0时,r=5a,角α在第二象限, sin y 3a 3 ,
类型三:三角函数的图象与性质 【典例3】(2016·北京高考)已知函数
f(x)=2sinω xcosω x+cos2ω x(ω >0)的最小正周期为π .
(1)求ω 的值. (2)求f(x)的单调递增区间.
【解析】(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx= 2sin(2x )， 最小正周期T= 2 =π,所以ω=1.
5
cos 3 (2)若α是第三象限角,sin 1 cos 2 4 , tan sin 4 . 5 cos 3
【规律总结】 1.三角函数的诱导公式及应用
(1)三角函数的诱导公式有六组,要能熟练应用,其记忆
口诀是“奇变偶不变,符号看象限”. (2)公式的作用:可以把任意角的三角函数化为锐角的
三角函数.
k 提醒:若化简中出现“kπ ”或“ ”(k∈Z)时,要对 2
k进行分类讨论,再利用公式进行化简、证明.
2.三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧 (1)化弦:当三角函数式中三角函数名称较多时,往往把
三角函数名称化为正弦或余弦,再变形化简.
(2)化切:当三角函数式中含有正切及其他三角函数时, 有时可将三角函数名称都化为正切,再变形化简.
所以 cos x
r
10 , 2 4 m 3
m
解得m=〒 5 (负值舍去),则r= 2 2,
y 3 6 y 3 15 所以 sin , tan . r 2 2 4 x 5 5
【规律总结】任意角的三角函数的定义 已知任意角α ,以角α 的顶点O为坐标原点,以角α 的始
x 4a 4 y 3a 3 cos , tan . r 5a 5 x 4a 4 r 5a 5
当a<0时,r=-5a,角α在第四象限, sin 3 ,
5 4 3 cos , tan . 5 4
类型二:诱导公式及同角三角函数关系式 【典例2】(1)已知sinθ +cosθ = 1 ,θ ∈(0,π ),则
【延伸探究】本例中的条件“α ∈(π , 3 π )”若去
2
掉,其他条件不变,试求tanα .
【解析】因为cos(π+α)= 3 且cos(π+α)=-cosα,
3 所以cosα=. 5 5
(1)若α是第二象限角, sin 1 cos 2 4 , tan sin 4 .
4 2 4 2 3 k Z得， k x k，k Z， 8 8 所以单调递增区间为 [ 3 k, k] (k∈Z). 8 8 4
(2) f x 2sin(2x )，由 2k 2x 2k，
(3)“1”的代换:在三角函数式中,有些会含有常数1, 常数1虽然非常简单,但有些三角函数式的化简却需要
利用三角函数公式将1代换为三角函数式.
【巩固训练】(2016·全国卷Ⅲ)若tanα = 3 ,则
4
cos2α +2sin2α = (
64 A. 25 48 B. 25
)
16 C.1 D. 25 2 cos 4sincos 2 【解析】选A.cos α +2sin2α = sin 2 cos 2 1 4tan 64 . 2 tan 1 25
1 倍 ｜｜ (ω >0),再沿x轴向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 个
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的
单位,便得y=sin(ω x+φ)的图象.
(2)五点法作y=Asin(ω x+φ)的简图
3 五点取法是设x′=ω x+φ,由x′取 0, , , , 2 2 2
【规律总结】 1.函数y=sin(ω x+φ)的图象
(1)图象变换:途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y=sinx的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个 1 单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω >0), 便得y=sin(ω x+φ)的图象.
途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换
单元复习课
第一章
类型一:任意角的三角函数定义
【典例1】(1)(2016·武汉高一检测)已知角α 的终边
1 与单位圆交于点 ( 3 ， )， 则sinα 的值为 2 2 3 A. 2 1 B. 2 3 C. 2 1 D. 2
(
)
(2)(2016·郑州高一检测)已知角α 的终边上一点 P(m, 3 ),且cosα = 10 ,求sinα ,tanα 的值. 4
来求相应的x值及对应的y值,再描点作图.
2.函数y=Asin(ω x+φ)+B的性质 函数y=Asin(ω x+φ)+B(其中A>0,ω >0)的最大值是
A+B,最小值是B-A,周期是
T
2 ， 频率是 f ， 相位 2
是ω x+φ,初相是φ;其图象的对称轴是直线ω x+φ=
k （k Z）， 凡是该图象与直线y=B的交点都是该 2
【解析】(1)选B.由已知,得 r ( 3 )2 ( 1 )2 1,
1 y 1 2 所以 sin . r 1 2
2
2
(2)根据三角函数定义建立关于m的方程,求出=m, y 3, 所以r=|OP|= m2 3,
｜｜ ) 在其中一个周期内的图象上有一个最高点 2 求该函数的解析式. ( ， 3) 和一个最低点 ( 7 ， 5)， 12 12
【解析】由题意,知b=
5 3 =-1,T=π,A=4.所以ω= 2
2 =2.所以所求函数解析式为y=4sin(2x+φ)-1. T 因为 ( ,3) 为该函数图象上的点,所以当x= 时,y=3, 12 12 即 4sin( ) 1 3,所以 sin( ) 1，所以 2k, k Z. 6 6 2 6 ｜｜ ，所以 . 所以该 所以 2k，k Z. 因为 2 3 3 函数的解析式为 y 4sin(2x ) 1. 3
5
sin2θ -cos2θ =________.
3 3 (2)已知cos(π +α )= ,且α ∈(π , ),求tanα . 5 2
【解析】(1)因为sinθ+cosθ= 1 ,所以sinθcosθ=
5
1 (sinθ+cosθ)2- 1 1 1 1 12 0.所以sinθ和 2 2 2 25 2 25 cosθ的符号相反.又因为θ∈(0,π),所以 ( , ). 2
边的方向作为x轴的正方向,建立直角坐标系.设P(x,y)
为α 终边上任一点,OP=r(r≠0),则有
(1)比值 x 叫做角α 的余弦,记作cosα ,即cosα = x .
r r (2)比值 y 叫做角α 的正弦,记作sinα ,即sinα = y . r r (3)比值 y 叫做角α 的正切,记作tanα ,即tanα = y x x
所以sinθ>0,cosθ<0.所以sinθ-cosθ>0. 所以sinθ-cosθ= 1 2sincos 1 24 7 .
25 5
所以sin2θ-cos2θ=(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)=
1 7 7 . 5 5 25 答案: 7 25
3 (2)因为cos(π+α)=-cosα= ,所以cosα=- 3 . 5 5 又因为α∈ (, 3 ), 故 sin 1 cos 2 1 ( 3 )2 4 , 2 5 5 sin 4 所以tanα= . cos 3
图象的对称中心.
3.由y=Asin(ω x+φ)的图象求其解析式 给出图象确定解析式y=Asin(ω x+φ)的题型,有时从
寻找“五点”中的第一零点 ( ， 0) 作为突破口,要从
图象的升降情况找准第一个零点的位置.
【巩固训练】若函数y=Asin(ω x+φ)+b (A 0, 0,
(x≠0).
提醒:三角函数是一个比值,因此角α 三角函数值的大 小只与α 的终边有关,而与点P在终边上的位置无关.
【巩固训练】若点P(-4a,3a)(a≠0)为角α 终边上一点, 求sinα ,cosα ,tanα .
【解析】由题意得 r (4a)2 (3a) 2 5 a . 当a>0时,r=5a,角α在第二象限, sin y 3a 3 ,
类型三:三角函数的图象与性质 【典例3】(2016·北京高考)已知函数
f(x)=2sinω xcosω x+cos2ω x(ω >0)的最小正周期为π .
(1)求ω 的值. (2)求f(x)的单调递增区间.
【解析】(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx= 2sin(2x )， 最小正周期T= 2 =π,所以ω=1.
5
cos 3 (2)若α是第三象限角,sin 1 cos 2 4 , tan sin 4 . 5 cos 3
【规律总结】 1.三角函数的诱导公式及应用
(1)三角函数的诱导公式有六组,要能熟练应用,其记忆
口诀是“奇变偶不变,符号看象限”. (2)公式的作用:可以把任意角的三角函数化为锐角的
三角函数.
k 提醒:若化简中出现“kπ ”或“ ”(k∈Z)时,要对 2
k进行分类讨论,再利用公式进行化简、证明.
2.三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧 (1)化弦:当三角函数式中三角函数名称较多时,往往把
三角函数名称化为正弦或余弦,再变形化简.
(2)化切:当三角函数式中含有正切及其他三角函数时, 有时可将三角函数名称都化为正切,再变形化简.
所以 cos x
r
10 , 2 4 m 3
m
解得m=〒 5 (负值舍去),则r= 2 2,
y 3 6 y 3 15 所以 sin , tan . r 2 2 4 x 5 5
【规律总结】任意角的三角函数的定义 已知任意角α ,以角α 的顶点O为坐标原点,以角α 的始
x 4a 4 y 3a 3 cos , tan . r 5a 5 x 4a 4 r 5a 5
当a<0时,r=-5a,角α在第四象限, sin 3 ,
5 4 3 cos , tan . 5 4
类型二:诱导公式及同角三角函数关系式 【典例2】(1)已知sinθ +cosθ = 1 ,θ ∈(0,π ),则
【延伸探究】本例中的条件“α ∈(π , 3 π )”若去
2
掉,其他条件不变,试求tanα .
【解析】因为cos(π+α)= 3 且cos(π+α)=-cosα,
3 所以cosα=. 5 5
(1)若α是第二象限角, sin 1 cos 2 4 , tan sin 4 .
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高中数学 第一章 三角函数 三角函数的诱导公式(一)课件 aa高一数学课件
第十八页，共三十六页。
解析 答案
(2)已知 cosπ6－α＝ 33，求 cos56π＋α－sin2α－π6的值. 解 因为 cos56π＋α＝cosπ－π6－α ＝－cosπ6－α＝－ 33，
sin2α－π6＝sin2π6－α＝1－cos2π6－α
＝1－
332＝23，
所以12/7/2c021os56π＋α－sin2α－π6＝－ 33－23＝－2＋3
12/7/2021
第十三页，共三十六页。
－12.
解答
反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数(sānjiǎhánshù)值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化. (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
第一章 三角函数(sānjiǎhánshù)
§1.3 三角函数(sānjiǎhánshù)的诱导公式(一)
12/7/2021
第一页，共三十六页。
学习(xuéxí)目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
sin 70°－cos 70°
＝ cos
70°－sin
70°＝－1.
12/7/2021
第二十三页，共三十六页。
解答
引申探究
若本例(1)改为：ctaons[(αnπ－－(nα＋)si1n)(πn]π·s－inα[()nco＋s(1n)ππ－－αα)](n∈Z)，请化简.
解 当n＝2k时，
－tan α·(－sin α)·cos α 原式＝ －cos α·sin α ＝－tan α；
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教
第二十三页，共42页。
中的第三点和第五点)，有
π3ω＋φ＝π，
ω＝2.
56πω＋φ＝2π，解得φ＝π3.
∴y＝3sin(2x＋π3)．
法三：(图象变换法)
由 T＝π，点(－π6，0)，A＝3 可知图象由 y＝3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得，所以有 y＝3sin 2(x＋π6)，
即 y＝3sin(2x＋π3)，且 ω＝2，φ＝π3.
2
第八页，共42页。
2．(2014·高考江苏卷)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋ φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则 φ 的
π 值是____6____． 解析：利用函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横 坐标，列方程求解．
由题意，得 sin2×π3＋φ＝cos π3,因为 0≤φ<π，所以 φ＝π6.
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，且|φ|<π2的图象的一段 如图所示，求此函数的解析式．
第二十七页，共42页。
解：由图易知 A＝ 2，T2＝|10－2|＝8，所以 T＝16. 又因为 T＝|2ωπ|，ω>0，所以 ω＝π8. 因为点(2， 2)在图象上，所以 y＝ 2sin(π8×2＋φ)＝ 2， 所以 sin(π4＋φ)＝1，所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)， 又|φ|<π2，所以 φ＝π4，所以 y＝ 2sin(π8x＋π4)．
第十五页，共42页。
法二：①把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x 的图象； ②把 y＝sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到 y＝sin12(x－π2)＝sin(12x－π4)的图象； ③把 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．
中的第三点和第五点)，有
π3ω＋φ＝π，
ω＝2.
56πω＋φ＝2π，解得φ＝π3.
∴y＝3sin(2x＋π3)．
法三：(图象变换法)
由 T＝π，点(－π6，0)，A＝3 可知图象由 y＝3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得，所以有 y＝3sin 2(x＋π6)，
即 y＝3sin(2x＋π3)，且 ω＝2，φ＝π3.
2
第八页，共42页。
2．(2014·高考江苏卷)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋ φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则 φ 的
π 值是____6____． 解析：利用函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横 坐标，列方程求解．
由题意，得 sin2×π3＋φ＝cos π3,因为 0≤φ<π，所以 φ＝π6.
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，且|φ|<π2的图象的一段 如图所示，求此函数的解析式．
第二十七页，共42页。
解：由图易知 A＝ 2，T2＝|10－2|＝8，所以 T＝16. 又因为 T＝|2ωπ|，ω>0，所以 ω＝π8. 因为点(2， 2)在图象上，所以 y＝ 2sin(π8×2＋φ)＝ 2， 所以 sin(π4＋φ)＝1，所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)， 又|φ|<π2，所以 φ＝π4，所以 y＝ 2sin(π8x＋π4)．
第十五页，共42页。
法二：①把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x 的图象； ②把 y＝sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到 y＝sin12(x－π2)＝sin(12x－π4)的图象； ③把 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．
人教版高中数学必修1《三角函数的概念》PPT课件
• [方法技巧]
• 有关三角函数值符号问题的解题策略
• (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两 个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的 公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情 况．
• (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨 论．
()
• A．第一象限 二象限
B．第
• C．第三象限
D．第四象限
• (2)判断下列各式的符号：
• ①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
• ②tan 191°－cos 191°；
• ③sin 2cos 3tan 4.
• [解析] (1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
则 sin θ＋tan θ＝3
10－30 10 .
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限． 在第二象限取直线上的点(－1， 3)， 则 r＝ －12＋ 32＝2， 所以 sin α＝ 23，cos α＝－12，tan α＝－ 3； 在第四象限取直线上的点(1，－ 3)， 则 r＝ 12＋－ 32＝2， 所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
• 可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
• 所以角θ所在的象限是第三象限．
答案：C (2)①∵2 020°＝1 800°＋220°＝5×360°＋220°， 2 021°＝5×360°＋221°，2 022°＝5×360°＋222°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 021°<0，tan 2 022°>0， ∴sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°>0. ②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. ③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0.
高中数学 第一章 三角函数 1.3.1 诱导公式二、三、四课件
∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
∴sin(α＋2β)＝sin(α＋β＋β)＝sin(π＋2kπ＋β)＝sin(π＋β)＝－
sinβ＝－13，故选 D.
(2)解：因为 cos56π＋α＝cosπ－π6－α
＝－cosπ6－α＝－ 33，
sin2α－π6＝sin2π6－α＝1－cos2π6－α＝23，
所以 cos56π＋α－sin2α－π6＝－ 33－23＝－2＋3
故原式得证.
12/12/2021
第二十九页，共三十八页。
12/12/2021
第三十页，共三十八页。
1．sin585°的值为( A )
A．－
2 2
2 B. 2
C．－
3 2
3 D. 2
解析：sin585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin45°＝－ 22.故选 A.
12/12/2021
2.诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象 限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将 α 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α 看成锐角，只 是公式记忆的方便，实际上 α 可以是任意角．
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内容 总结 (nèiróng)
[答一答] 2．如何记忆四组诱导公式？
提示：诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”， 其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将 α 看成锐角 时原角所在象限的三角函数值的符号．α 看成锐角，只是公式记 忆的方便，实际上 α 可以是任意角．
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3．诱导公式一、二、三、四的作用分别是什么？
2 2.
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高中数学第一章三角函数阶段复习课第1课任意角的三角函数及诱导公式课件新人教A版必修
一级达标重点名校中学课件
弧度制下扇形弧长及面积公式的计算
(1)如图 1-1，△ABC 是正三角形，曲线 CDEF 叫 做正三角形的渐开线，其中弧 、弧 、弧 的圆心依次是 A、B、C，如果 AB＝1，那么曲线 CDEF 的长是________．
(2)一扇形的圆心角为 2 弧度，记此扇形的周长为 c，面积 图 1-1 为 S，则c－S 1的最大值为________．
[跟踪训练]
1．若α角与
8π 5
角终边相同，则在[0,2π]内终边与
α 4
角终边相同的角是
________.
【导学号：84352139】
25π，190π，75π，1190π [由题意，得α＝85π＋2kπ(k∈Z)，α4＝25π＋k2π(k∈Z)．
又α4∈[0,2π]，所以k＝0,1,2,3，α4＝25π，190π，75π，1190π.]
sin α＝yr＝－－153mm＝153， cos α＝xr＝－121m3m＝－1123， tan α＝yx＝－125mm＝－152.
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[规律方法] 利用定义求三角函数值的两种方法 1先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数 的定义，求出相应的三角函数值. 2取角α的终边上任意一点Pa，b原点除外，则对应的角α的正弦值sin α＝ a2b＋b2，余弦值cos α＝ a2a＋b2，正切值tan α＝ba.当角α的终边上点的坐标 以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
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[规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 1明确弧度制下弧长公式 l＝|α|r，扇形的面积公式是 S＝12lr＝12|α|r2其中 l 是扇形的弧长，α 是扇形的圆心角； 2涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已 知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方 程组求解.
高中数学第一章三角函数阶段复习课第1课任意角的三角函数及诱导公式课件新人教A版必修
(2)定义 2：设任意角 α 的终边上任意一点 P 的坐标为(x，y)，r＝|OP|＝ y x y 2 2 x ＋y ，则 sin α＝___ ________ r ，cos α＝___ r ，tan α＝___ x (x≠0)．
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5．同角三角函数基本关系式 sin α 2 2 cos α ＝tan α. sin α cos α ＝1；_______ _______＋_______ 6．诱导公式记忆口诀
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[ 跟踪训练] 2．如图12，已知扇形AOB的圆心角为120° ，半径 长为6，求弓形ACB的面积. 【导学号：84352140】
120 2 [ 解] ∵120° ＝180π＝3π， 2 ∴l＝6×3π＝4π，∴ 的长为 4π.
图12
1 1 ∵S 扇形 OAB＝2lr＝2×4π×6＝12π，
所以角θ在第二象限.
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同角三角函数基本关系和诱导公式的应用
sin θ＋cos θ (1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则 ＝_______tan－π＋α (2)已知f(α)＝ . sin－π＋α· tan－α＋3π ①化简f(α)； 1 π π ②若f(α)＝ ，且 ＜α＜ ，求cos α－sin α的值； 8 4 2 47π ③若α＝－ ，求f(α)的值. 4 【导学号：84352143】
图 11
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(1)4π (2)4 [(1)弧 弧 弧
120π×1 2π 的长是 180 ＝ 3 ，
120π×2 4π 的长是： 180 ＝ 3 ， 120π×3 的长是： 180 ＝2π，
2π 4π 则曲线 CDEF 的长是： 3 ＋ 3 ＋2π＝4π.
高中数学 第1章 三角函数 1.2.1.2 单位圆与三角函数线课件
2021/12/11
第十五页，共四十四页。
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∵M1P1>M2P2，M1P1，M2P2 与 y 轴正方向相同， ∴sin23π>sin45π. 又 cos23π＝OM1，cos45π＝OM2， ∵OM1<OM2，OM1，OM2 在 x 轴负方向上， ∴cos23π>cos45π. 又 tan23π＝AT1，tan45π＝AT2， ∵AT1>AT2，AT1，AT2 在 y 轴负方向上， ∴tan23π<tan45π.
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则当角 α 的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包
含 y 轴)时，tanα≥ 33.由三角函数线可知，在[0°，360°)内，
tanα≥
3 3
，
有
30°≤α<90°或
210°≤α<270°， 故 满 足
tanα≥ 33，有 k·180°＋30°≤α<k·180°＋90°，k∈Z.
的正弦线，则
π sin1<sin3.
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3．若 θ∈34π，32π，则 sinθ 的取值范围是___－__1_，___22____． 解析 由图可知 sin34π＝ 22，
2021/12/11
sin32π＝－1，
则－1<sinθ< 22，
故
sinθ
的取值范围是－1，
(1)sin23π与 sin45π；
(2)cos23π与 cos45π；
(3)tan23π与
4π tan 5 .
2021/12/11
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解 如图所示，在单位圆中，画出23π的终边为 OP1，45π 的终边为 OP2，过 P1，P2 分别作 x 轴的垂线，垂足为 M1， M2，反向延长线 P1O，P2O 交经过 A(1,0)的单位圆的切线于 T1，T2.则 sin23π＝M1P1，sin45π＝M2P2.
高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5
=±
2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4
一
二
三
3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
第27页
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
高中数学第一章三角函数111任意角课件
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
由图可知: (1)780°角是第一象限角;780°=60°+360°×2,所以在0°~360°范围 内,与780°角终边相同的角是60°. (2)-75°角是第四象限角;-75°=285°-360°,所以在0°~360°范围内, 与-75°角终边相同的角是285°.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究三终边相同的角 【例3】 已知角α=2 016°. (1)把α改写成k· 360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第 几象限角; (2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
分析:先求出β,判断角α所在的象限;用终边相同的角表示θ满足的 不等关系,求出k和θ. 解:(1)由2 016°除以360°,得商为5,余数为216°. ∴取k=5,β=216°,α=5×360°+216°. 又β=216°是第三象限角,∴α为第三象限角. (2)与2 016°终边相同的角为k· 360°+2 016°(k∈Z). 令-360°≤k· 360°+2 016°<720°(k∈Z), 3 3 解得-6 ≤k<-3 (k∈Z). 5 5 所以k=-6,-5,-4. 将k的值代入k· 360°+2 016°中, 得角θ的值为-144°,216°,576°.
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练2 在0°到360°之间,找出与下列各角终边相同的角α,并指 出它们分别为第几象限角. (1)-1 154°; (2)2 428°. 解:(1)∵-1 154°=-4×360°+286°,∴在0°到360°之间,与-1 154°角终边 相同的角α=286°,-1 154°角为第四象限角. (2)∵2 428°=6×360°+268°,∴在0°到360°之间,与2 428°角终边相同 的角α=268°,2 428°角为第三象限角.
高中数学必修四 第一章 1.3 《三角函数的诱导公式》课件
60°＝－
3 2.
法三：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(90°＋30°)＝－cos
30°＝－
3 2.
返回
(2)法一：cos(－316π)＝cos316π
＝cos(4π＋7π 6 )＝cos(π＋π6 )＝－cosπ6 ＝－
Hale Waihona Puke 3 2.法二：cos(－316π)＝cos(－6π＋5π 6 )
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则cos(π2 ＋α)＝－sin α＝－ 1－cos2α
＝－ 1－（12）2＝－ 23. ②若α为第四象限角，
则cos(π2 ＋α)＝－sin α＝ 1－cos2α＝
1－（12）2＝
3 2.
返回
5．已知cos(π6 －θ)＝a(|a|≤1)．
求证：cos(56π＋θ)－sin(23π－θ)＝－2a. 证明：∵5π 6 ＋θ＝π－(π6 －θ)，2π 3 －θ＝π2 ＋(π6 －θ)．
返回
7．求证：tan（2πs－inα（）αs＋in3（π 2 －）2cπos－（αα）＋c3oπ 2s（）6π－α）
＝－tan α.
返回
证明：左边＝
tan（－α）·sin（－α）·cos（－α）
π
π
sin[2π－（ 2 －α）]·cos[2π－（ 2 －α）]
＝（－tan
α）·（－sin
π
α）·cos
返回
2．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 的基本步骤是：
可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知 问题的数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成 锐角再求值”．
返回
3．解决给值求值(条件求值)问题的常见思路：若条件简单， 结论复杂，可从化简结论入手，用上条件，进行计算；若条件复 杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式代入求值； 若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联 系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据结果变形．