高三数学二轮复习：专题二 数列
(2)若数列an＋bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列{bn}的前 n 项和. 解 因为数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以an＋bn＝2n－1， 因为an＝2n－1，所以bn＝2n－1－(2n－1). 设数列{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)－[1＋3＋5＋…＋(2n－1)] ＝11－－22n－n1＋22n－1＝2n－1－n2， 所以数列{bn}的前n项和为2n－1－n2(n∈N*).
热点一 等差数列、等比数列的运算
1.通项公式 等差数列：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列：an＝a1·qn－1. 2.求和公式 等差数列：Sn＝na1＋ 2 an＝na1＋nn2－1d； 等比数列：Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1).
3.性质 若m＋n＝p＋q， 在等差数列中am＋an＝ap＋aq； 在等比数列中am·an＝ap·aq.
板块三 专题突破 核心考点
专题二 数 列
第1讲 等差数列与等比数列
[考情考向分析]
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小 题形式出现. 2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重 点，考查分析问题、解决问题的综合能力.
内容索引
热点分类突破 真题押题精练
热点分类突破
押题依据 解析 答案
2.在等比数列{an}中，a3－3a2＝2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则
{an}的公比等于
A.3
B.2或3
√C.2
D.6
押题依据 等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和 灵活性，是高考出题的重点.
押题依据 解析 答案
3.已知各项都为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，存在两项 am，an 使得 am·an＝4a1，则m1 ＋4n的最小值为
证明
(2)求数列{an}的通项公式； 解 由(1)可得 S2n＝1＋n－1＝n， ∵数列{an}的各项都为正数， ∴Sn＝ n， ∴当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ n－ n－1， 又a1＝S1＝1满足上式， ∴an＝ n－ n－1(n∈N*).
解答
－1n (3)设 bn＝ an ，求{bn}的前 n 项和 Tn.
√A.32
5 B.3
25 C. 6
4 D.3
押题依据 本题在数列、方程、不等式的交汇处命题，综合考查学生应 用数学的能力，是高考命题的方向.
押题依据 解析 答案
4.定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比
数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”.现有 定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：
解答
热点三 等差数列、等比数列的综合问题
解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理 清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数 列的单调性、最值求解.
例3 已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6. (1)求数列{an}的通项公式an与其前n项和Sn； 解 由a2＋a7＋a12＝－6，得a7＝－2，∴a1＝4， ∴an＝5－n，从而 Sn＝n92－n(n∈N*).
解答
(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等 比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使得对任 意n∈N*，总有Sn<Tm＋λ恒成立，求实数λ的取值范围.
解答
思维升华
(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时 灵活地运用性质，可使运算简便. (2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求 解数列问题. (3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解.
给人耳目一新的感觉.
押题依据 解析 答案
板块三 专题突破 核心考点
专题二 数 列
第2讲 数列的求和问题
[考情考向分析]
高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组 转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现了 转化与化归的思想.
内容索引
热点分类突破 真题押题精练
热点分类突破
热点一 分组转化法求和
3.(2017·北京)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1＝b1＝－1，a4＝b4 ＝8，则ab22＝____1____.
解析 答案
4.(2017·江苏)等比数列{an}的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn，已知 S3
＝74，S6＝643，则 a8＝___3_2____. 解析 设{an}的首项为a1，公比为q，
解答
思维升华
在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和 转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成 等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法 求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨 论，最后再验证是否可以合并为一个公式.
证明
2n (2)求数列anan＋1的前 n 项和 Tn.
解答
思维升华 (1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式， 但不能作为证明方法. (2)a2n＝an－1an＋1(n≥2)是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判断时 还要看各项是否为零.
跟踪演练 2 (2018·新余模拟)已知{an}是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 Sn，且 Sn 为 an 与a1n的等差中项. (1)求证：数列{S2n}为等差数列；
例 2 已知数列{an}，{bn}，其中 a1＝3，b1＝－1，且满足 an＝12(3an－1 －bn－1)，bn＝－12(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2. (1)求证：数列{an－bn}为等比数列； 证明 an－bn＝12(3an－1－bn－1)－－12(an－1－3bn－1) ＝2(an－1－bn－1)， 又a1－b1＝3－(－1)＝4， 所以{an－bn}是首项为4，公比为2的等比数列.
解析 答案
(2)(2018·华大新高考联盟质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a11＝ 8
2a25，且S4＋S12＝λS8，则λ＝__3__.
解析 ∵a3a11＝2a25，∴a27＝2a25，∴q4＝2，
∵S4＋S12＝λS8， ∴a111－－qq4＋a111－－qq12＝λa111－－qq8，
跟踪演练1 已知等差数列{an}的公差为d，且关于x的不等式a1x2－dx －3<0的解集为(－1,3)，
(1)求数列{an}的通项公式；
解
由题意，得a－d1＝a31＝2，－3，
解得da＝ 1＝21，.
故数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)， 即an＝2n－1(n∈N*).
解答
(2)若bn＝2an ＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
a111－－qq3＝74， 则a111－－qq6＝643，
解得a1＝14， q＝2，
所以 a8＝14×27＝25＝32.
解析 答案
押题预测
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足
Sn>0的最大自然数n的值为
A.6
B.7
√C.12
D.13
押题依据 等差数列的性质和前n项和是数列最基本的知识点，也是高 考的热点，可以考查学生灵活变换的能力.
例1 (1)(2018·北京)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的 通项公式为_a_n＝__6_n_－__3_(_n_∈__N_*_)_.
解析 方法一 设公差为d.∵a2＋a5＝36，∴(a1＋d)＋(a1＋4d)＝36， ∴2a1＋5d＝36.∵a1＝3，∴d＝6， ∴通项公式an＝a1＋(n－1)d＝6n－3(n∈N*). 方法二 设公差为d，∵a2＋a5＝a1＋a6＝36，a1＝3， ∴a6＝33，∴d＝a6－5 a1＝6. ∵a1＝3，∴通项公式an＝6n－3(n∈N*).
1－q4＋1－q12＝λ(1－q8)，
将 q4＝2 代入计算可得 λ＝83.
解析 答案
思维升华
在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显， 则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算， 以减少计算量.
跟踪演练1 (1)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝ 3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于
证明数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法 (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； ②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*).
(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明aan＋n 1(n∈N*)为一常数； ②利用等比中项，即证明 a2n＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*).
A.－2
√B.－1
1 C.2
2 D.3
解析 答案
(2)(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. ①求{an}的通项公式； 解 设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*).
①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝ |x|； ④f(x)＝ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为
A.①②
B.③④
√C.①③
D.②④
押题依据 先定义一个新数列，然后要求根据定义的条件推断这个新
数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来
关于高三第二轮复习计划安排(17篇)
关于高三第二轮复习计划安排（17篇）怎样进行有效的复习，学生对复习要有起码的安排和目标的制定，那么关于高三第二轮复习计划怎么写呢？以下是小编整理的一些高三第二轮复习计划安排，仅供参考。
关于高三第二轮复习计划安排精选篇1 1、突出主干知识，加强薄弱环节在二轮复习中，对高中数学的重点内容：函数、不等式、数列、几何体中的线面关系、直线与圆锥曲线及新增加内容中的向量、概率统计、导数进行强化复习。
其中，函数是高中数学的核心内容，又是学习高等数学的基础，贯穿于高中数学的始终，运用函数的观点，可以从较高的角度去处理方程、不等式、数列、曲线和方程等问题。
打破知识之间的界限，加强各章节知识之间的横向联系。
在第二轮复习时，要求学生一是要认真分析自己一轮复习的感受及作业、试卷情况，针对第一轮的薄弱环节，加强研究。
二是要针对性地选择一些课本的典型习题、近年的高考题、模拟题，甚至是第一轮中做过的题，集中强化训练，提高一个档次。
2、提高思维能力解数学题要着重研究解题的思维过程，弄清基本数学知识和基本数学思想在解题中的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一数学问题的多条途径。
要求学生重视审题和解体后的总结、反思，不断积累正、反两方面的经验。
3、注重心理训练学习实力与心理状态是高考成功的两大基本要素，良好的心态是高考制胜的法宝。
在测试或训练题中要在适当的位置设置障碍或有意识的引入新情景、新信息问题，有意识的锻炼学生心理素质，增强学生的应变能力和知识迁移能力，提高学生应试技巧。
但要把握好度，不能过于挫伤学生的自信心和积极性；4、提高计算能力数学高考历来重视运算能力，80%以上的分数都要通过运算而来。
部分运算能力差的学生至今仍然没有对此有足够重视，而是将运算能力差完全归结于粗心，认为平时运算是浪费时间。
我们必须清楚地认识到运算是一种能力和技能，必须从每一道题做起，坚持长期训练，要能够根据题设条件，合理运用概念、公式、法则、定理，提高运算的准确性。
高考数学二轮复习选填题(二)课件
4．(2021·湖南长沙一中模拟)设 m∈R，则“1≤m≤2”是“直线 l：x＋
y－m＝0 和圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝3－m 有公共点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝3－m，圆心(1，2)，半径 r＝ 3－m， 若直线 l 与圆 C 有公共点，则圆心(1，2)到直线 l 的距离 d＝|3－2m|≤ 3－m， 解得 1≤m<3.{m|1≤m≤2} {m|1≤m<3}，所以“1≤m≤2”是“直线 l：x ＋y－m＝0 和圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝3－m 有公共点”的充分不必要条件．
夹角为 60°，故 B 正确；点 F 到双曲线 C 的渐近线的距离为 b＝ 23，故 C 错误；双曲线 C 的离心率为 e＝ac＝11＝2，故 D 正确．故选 ABD.
2
12．对于定义域为 R 的函数 f(x)，若满足：①f(0)＝0；②当 x∈R，且 x≠0 时，都有 xf′(x)>0；③当 x1<0<x2 且|x1|<|x2|时，都有 f(x1)<f(x2)，则称 f(x)为“偏 对称函数”．下列函数是“偏对称函数”的是( )
8．(2020·全国卷Ⅲ)已知 55<84，134<85.设 a＝log53，b＝log85，c＝log138， 则( )
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
答案 A
解析
∵a，b，c∈(0，1)，ab＝lloogg5835＝llgg
53·llgg
58＜（lg15）2·lg
扬州中学2009届高三数学二轮专题复习课件——数列求和与综合应用
1 求和怎么处理？ ④ 对于 nSn = n − n 求和怎么处理？ 2
小结：本题是运算方案（路径） 小结：本题是运算方案（路径）的选择和优化 评讲建议： 可展示学生的过程或板书。 评讲建议： 可展示学生的过程或板书。同步练习 本节冲刺第11 11题 本节冲刺第11题
n
第二部分： 第二部分：基本数列之间的综合 1、课前热身3： 课前热身3
4 怎么用？ 问③： a81 = − 怎么用？ 91
是第几行中的数？ 问④： a81 是第几行中的数？
第二部分： 第二部分：基本数列之间的综合
∴a81是 13行 第 个 第 的 三 数
N=12也可 用不等式求 解
n(n +1) 当 ≤ 81 最 的 满 要 时 大 n 足 求 2 n(n +1 (n ) 估 ： n =12时 算 当 = 78 2 即 12行 最 一 数 a78 第 的 后 个 是
四：教学流程： 教学流程： 第一部分： 第一部分：数列求和 n 例1：对于条件 an+1 = 2an + 2 我们的解题目标？ 问： ①我们的解题目标？ ②结论 an+1 = Aan + B(A, B是 数 常 ） 能否使用？ 能否使用？ 本题怎么办？（整体目标？） ？（整体目标 ③ 本题怎么办？（整体目标？） 小结： 小结：本题是基本题关键是意识到对 两边同时除以 2n
10
小结：本题是运算方案（路径） 小结：本题是运算方案（路径）的选择和优化 评讲建议： 可展示学生的过程或板书。 评讲建议： 可展示学生的过程或板书。
第二部分： 第二部分：基本数列之间的综合 2、课前热身4： " 课前热身4
∏
n
= a1 • a2 • a3 ••••an"
上海同济中学2017届高三数学第二轮专题复习练习：数列 缺答案
5。
等差数列与等比数列（讲义）班级 姓名________________一、知识梳理1．已知数列{}n a 对任意*,p q N ∈，都有pq p q aa a ++=，且119a =，则数列{}n a 的 通项na =________________；2．已知数列{}na ，{}nb 满足11a =，22a=，12b =,且对任意的正整数,,,i j k l ，当i j k l+=+时，都有ijk l a ba b =,则1010a b +的值是．3．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________4．等比数列{}na 的首项1a ,公比q 是关于x 的方程2(1)2(21)0t xx t -++-=的实数解，若数列{}na 有且只有一个,则实数t 的取值集合为__________________5．已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ，()231nSn n a =+-+.等比数列{}n b 的前n 项和为nT ，14n nTb +=-。
则=+-∞→nnn n n ba b a 22lim__________________6．已知等差数列，的前n 项和分别为，,若对于任意的自然数,都有2143n n S n T n -=-，则713526a a b b b b +++=7．已知等比数列}{n a 前n项和为nS ，则下列一定成立的是……………………( ） A ．若30a >，则20150a <； B ．若40a>，则20140a <；C ．若30a>，则20150S >；D ．若40a>，则20140S >．8．在等差数列()na 中，若100a=，则有等式12n a a a +++=1219n a a a -+++()19n n <∈，*N ，类似上述性质,相应地，在等比数列{}nb 中，若91b=，则有等式_________________ 成立． 9．已知数列{}na 满足2n na=，在该数列的第1项与第2项之间插入1个1,在第2项与第3项之间插入2个1，…，在第n 项与第1n +项之间插入n 个1，…，由这些数构成新数列{}nb ，则数列{}nb 的前2014项和为____________________________二、巩固提高1．已知数列{}na 满足1113,*,13nn n aa a n N a +≤≤∈=.（1）若2342,,9aa x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000ma=,求正整数m 的最小值,以及m 取最小值时相应{}n a 的公比； (3）若12100,,,a a a 成等差数列,求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围。
高考数学二轮复习考点十二《数列综合练习》课件
数列，当 n 为偶数时，bn＋2＝bn＋1，数列为以 1 为公差的等差数列，∴S23
1－212
11×（11－1）
＝(b1＋b3＋…＋b23)＋(b2＋b4＋…＋b22)＝ 1－2 ＋11×4＋
2
×1＝212－1＋44＋55＝4194.
2．等差数列{an}中，a1＋a2＝152，a2＋a5＝4，设 bn＝[an]，[x]表示不超 过 x 的最大整数，[0.8]＝0，[2.1]＝2，则数列{bn}的前 8 项和 S8＝( )
A．12<a2<1
B．{an}是递增数列
C．12<a3<34
D．34<a2022<1
答案 ABD
解析 由 an＋1＝an＋ln (2－an)，0<a1<12，设 f(x)＝x＋ln (2－x)，则 f′(x) ＝1－2－1 x＝12－ －xx，所以当 0<x<1 时，f′(x)>0，即 f(x)在(0，1)上单调递增， 所以 f(0)<f(x)<f(1)，即12＝ln e<ln 2<f(x)<1＋ln 1＝1，所以12<f(x)<1，即12 <an<1(n≥2)，故 A 正确；因为 f(x)在(0，1)上单调递增，0<an<1(n∈N*)，所 以 an＋1－an＝ln (2－an)>ln (2－1)＝0，所以{an}是递增数列，故 B项中，只有一项符合题目要求) 1．已知数列{bn}满足 b1＝1，b2＝4，bn＋2＝1＋sin2n2πbn＋cos2n2π，则该 数列的前 23 项和为( ) A．4194 B．4195 C．2046 D．2047
答案 A
解析 由题意，得当 n 为奇数时，bn＋2＝2bn，数列为以 2 为公比的等比
高三数列总复习
高三数学总复习讲义——等差数列1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。
用递推公式表示为或。
2、等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。
3、等差中项的概念：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。
其中4、等差数列的前和的求和公式：。
5、等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则；说明：设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶；②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①偶奇；②。
6、数列最值（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
练习1．（01天津理，2）设S n是数列{a n}的前n项和，且S n=n2，则{a n}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2．（06全国I）设是公差为正数的等差数列，若，，则（）A． B． C． D．3．（02京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项4．（01全国理）设数列{a n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A.1B.2C.4D.65．（06全国II）设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若＝，则＝A． B． C． D．6．（00全国）设｛a n｝为等差数列，S n为数列｛a n｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，T n为数列｛｝的前n项和，求T n。
高考数学二轮复习 第二部分 专题二 数学传统文化的创新应用问题习题-人教版高三全册数学试题
专题二 数学传统文化的创新应用问题一、选择题1．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束……)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为( )A ．91B ．105C ．120D ．210解析：由题意得，从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∴1＋3＋6＋…＋n n ＋12＝680，即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n n ＋12n ＋1＋12nn ＋1＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680，∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为14×152＝105.答案：B2．《X 丘建算经》卷上第23题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？意思是：现有一女子善于织布，若第1天织5尺布，从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月(按30天计)共织930尺布(注：1匹＝10丈，1丈＝10尺)，则每天比前一天多织( ) A.47尺布 B.5229尺布 C.815尺布 D.1631尺布 解析：设公差为d ，则由a 1＝5，S 30＝30×5＋30×292d ＝930，解得d ＝5229.答案：B3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n . 则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( ) A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)解析：a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n ＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11·2＋12·3＋…＋1n －1n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n ＝n (n －1)． 答案：C4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( ) A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32V C ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析：由球体积公式得d ＝ 36πV ≈31.909 860 93V .因为169≈1.777 777 78，300157≈1.910 82803，2111≈1.909 090 91.而2111最接近于6π，所以选D.答案：D5．(2016·河西五市二联)我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯，”诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有________盏灯．( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．6解析：本题可抽象为一个公比为2的等比数列{a n }．∵S 7＝a 11－271－2＝381，∴可解得a 1＝3，即塔顶有3盏灯，故选B. 答案：B6．(2017·某某调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·(12)2×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B. 答案：B7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸解析：连接OA ，OB ，OD ，设⊙O 的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R 2，∴R ＝13.sin ∠AOD ＝AD AO ＝513.∴∠AOD ≈22.5°，即∠AOB ≈45°.故∠AOB ≈π4.∴S 弓形ACB ＝S扇形OACB－S △OAB ＝12×π4×132－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB ×100≈633立方寸．选D.答案：D8．(2017·某某模拟)李冶( 1192—1279)，真定栾城(今某某省某某市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算) ( ) A ．10步，50步 B ．20步，60步 C ．30步，70步D ．40步，80步解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．故选B. 答案：B 二、填空题9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.答案：676610．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为________．解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故a n ＝15n －14.由a n ＝15n －14≤2 016，解得n ≤4063，又n ∈N *，故此数列的项数为135.答案：13511．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1, 3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)． 解析：由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k5k ＋12(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝5k －15k －1＋12＝5k5k －12， 故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项． 答案：(1)5 030 (2)5k5k －1212．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图所示阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y 2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π. 答案：2π2＋16π传统文化训练二一、选择题1．(2017·某某模拟)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.答案：A2.(2017·某某模拟)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：当n ＝21时，21被3整除，执行否．当n ＝22时，22除以3余1，执行否； 当n ＝23时，23除以3余2，执行是；又23除以5余3，执行是，输出的n ＝23.故选C. 答案：C3．(2017·某某模拟)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有________钱．( ) A ．28 B ．32 C ．56D ．70解析：设甲、乙、丙三人各持有x ，y ，z 钱，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z 2＝90y ＋x ＋z 2＝70z ＋x ＋y 2＝56，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72y ＝32z ＝4，所以乙手上有32钱． 答案：B4．(2017·某某模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD .且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝x32＋3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66x －322＋34，故选A.答案：A5．欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，复数e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2的虚部是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：依题意得，e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2＝(cos π4＋isin π4)(cos 3π4＋isin 3π4)＋2i ＝－1＋2i ，其虚部是2，选D. 答案：D6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：程序运行如下：n ＝1，a ＝5＋52＝152，b ＝4，a ＞b ，继续循环；n ＝2，a ＝152＋12×152＝454，b ＝8，a ＞b ，继续循环；n ＝3，a ＝454＋12×454＝1358，b ＝16，a ＞b ，继续循环；n ＝4，a ＝1358＋12×1358＝40516， b ＝32，此时，a ＜b .输出n ＝4，故选C.答案：C7．(2017·某某中学调研)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A ．12日 B ．16日 C ．8日D ．9日解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n a 1＋a n2＋n b 1＋b n2＝2 250，即n 103＋13n ＋902＋n 97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.答案：D8．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如25＝13＋115，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的12，不够，若每人分得一个面包的13，还余13，再将这13分成5份，每人分得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145，按此规律，2n＝( )A.2n ＋1＋2n n ＋1 B.1n ＋1＋1n n ＋1C.1n ＋2＋1nn ＋2 D.12n ＋1＋12n ＋12n ＋3解析：根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半， 第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1， 即2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12＝2n ＋1＋2n n ＋1.故选A. 答案：A 二、填空题9．某同学想求斐波那契数列0,1,1,2，…(从第三项起每一项等于前两项的和)的前10项和，他设计了一个程序框图，则满足条件的整数P 的值为________．解析：由题意，第1次循环：a ＝0，b ＝1，i ＝3，S ＝0＋1＝1，求出第3项c ＝1，求出前3项和 S ＝0＋1＋1＝2，a ＝1，b ＝1，满足条件，i ＝4，执行循环体；第2次循环：求出第4项c ＝1＋1＝2，求出前4项和S ＝0＋1＋1＋2＝4，a ＝1，b ＝2，满足条件，i ＝5，执行循环体，…… 第8次循环：求出第10项c ，求出前10项和S ，此时i ＝10，由题意不满足条件，跳出循环，输出S 的值，故判断框内应为“i ≤9？”，所以P 的值为9.答案：910．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 解析：由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k2－2n ，于是N (n,24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 00011．(2017·某某模拟)辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至东汉时期出现的《九章算术》．图中的程序框图所描述的算法就是欧几里得辗转相除法．若输入m ＝5 280，n ＝12 155，则输出的m 的值为________．解析：通解：依题意，当输入m ＝5 280，n ＝12 155时，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，m 除以n 的余数r ＝5 280，m ＝12 155，n ＝5 280，r ≠0；进行第二次循环时，m 除以n 的余数r ＝1 595，m ＝5 280，n ＝1 595，r ≠0；进行第三次循环时，m 除以n 的余数r ＝495，m ＝1 595，n ＝495，r ≠0；进行第四次循环时，m 除以n 的余数r ＝110，m ＝495，n ＝110，r ≠0；进行第五次循环时，m 除以n 的余数r ＝55，m ＝110，n ＝55，r ≠0；进行第六次循环时，m 除以n 的余数r ＝0，m ＝55，n ＝0，r ＝0，此时结束循环，输出的m 的值为55.优解：依题意，注意到5 280＝25×3×5×11,12 155＝5×11×221，因此5 280与12 155的最大公因子是55，即输出的m 的值为55.答案：5512．(2017·某某模拟)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a 个，宽有b 个，共计ab 个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n 层，设最底层长有c 个，宽有d 个，则共计有木桶n [2a ＋c b ＋2c ＋a d ＋d －b ]6个，假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为________个．解析：根据题意可知，a ＝2，b ＝1，n ＝15，则c ＝2＋14＝16，d ＝1＋14＝15，代入题中所给的公式，可计算出木桶的个数为15×20＋34×15＋146＝1 360. 答案：1 360。
2024年高考数学二轮复习解题思维提升专题02函数与导数小题部分训练手册
专题02 函数与导数小题部分【训练目标】1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特殊是定义域的求法；2、 驾驭函数单调性，奇偶性，周期性的推断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题；3、 驾驭指数和对数的运算性质，对数的换底公式；4、 驾驭指数函数和对数函数的图像与性质；5、 驾驭函数的零点存在定理，函数与方程的关系；6、 娴熟数形结合的数学思想在解决函数问题的运用；7、 娴熟驾驭导数的计算，导数的几何意义求切线问题；8、 理解并驾驭导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会依据单调性确定参数的取值范围；9、 会利用导数求函数的极值和最值，驾驭构造函数的方法解决问题。
【温馨小提示】本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应当大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的便利。
【名校试题荟萃】1、（福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”2025届高三上学期12月三校联考）已知函数，若()1f x =-，则x = ．【答案】12【解析】问题等价于；，无解。
2、（福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”2025届高三上学期12月三校联考）已知函数1()1x f x x +=-的图像在点2,(2)f 处的切线与直线10ax y 平行，则实数a.A 2 .B 12 .C 12- D ．2- 【答案】A【解析】由于，依据导数的几何意义及两直线平行的条件可知 。
3、（福建省上杭县第一中学2025届高三上学期期中考试）函数的图象可能是( )【答案】D【解析】先由推断函数的奇偶性可知函数为奇函数，图像关于原点对称，解除A,B ；当，解除C ，故选D 。
4、（福建省上杭县第一中学2025届高三上学期期中考试）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记，， ()0.52c f =，则（ ）A ． a b c >>B ． a c b >>C ． b a c >>D ． b a c >> 【答案】B5、（福建省上杭县第一中学2025届高三上学期期中考试）已知定义域为),0(+∞，为的导函数，且满意，则不等式的解集是( )A ． )2,0(B ． ),2(+∞C ． )3,2(D ． ),3(+∞ 【答案】D 【解析】构造函数，求导结合可知函数()g x 在定义域),0(+∞为减函数，不等式可化为，等价于，解得结果为),3(+∞。
高中数学 金版学案 2022二轮复习 大题基础练(二)
大题基础练(二)数列1．已知等差数列{a n}和正项等比数列{b n}满足：a1＝b1＝2，b5＝a11，且3b4是b5和b6的等差中项．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设c n＝a n＋b n，求数列{c n}的前n项和S n.解：(1)设d为数列{a n}的公差，q为数列{b n}的公比，由题意得6b4＝b5＋b6，即q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3，因为数列{b n}各项均为正，所以q＞0，即q＝2，所以b n＝b1·q n－1＝2n.b5＝a11＝32＝a1＋10d，解得d＝3，所以a n＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1；(2)由(1)得：a n＋b n＝3n－1＋2n，所以S n＝2＋21＋5＋22＋…＋3n－1＋2n＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(21＋22＋…＋2n)＝n（2＋3n－1）2＋2（1－2n）1－2＝3n22＋n2＋2n＋1－2，所以S n＝3n22＋n2＋2n＋1－2.2．(2021·广东省高三专题练习)已知各项均不相等的等差数列{a n}的前4项和为10，且a1，a2，a4是等比数列{b n}的前3项．(1)求a n，b n；(2)设c n＝b n＋1a n（a n＋1），求{c n}的前n项和S n. 解：(1)设数列{a n}的公差为d(d≠0)，由题意，S 4＝4a 1＋4×（4－1）2d ＝4a 1＋6d ＝10，① 又因为a 1，a 2，a 4成等比数列，所以a 22＝a 1a 4， 即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，得a 1＝d ，②联立①②可得，a 1＝d ＝1所以 a n ＝n ，b n ＝2n －1；(2)因为c n ＝b n ＋1a n （a n ＋1）＝2n －1＋1n （n ＋1）， 所以S n ＝(20＋21＋…＋2n －1)＋(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝1－2n 1－2＋1－1n ＋1＝2n －1n ＋1. 所以数列{c n }的前n 项和S n 为S n ＝2n－1n ＋1. 3．已知正项等差数列{a n }满足：S 2n ＝a 31＋a 32＋…＋a 3n ，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n 4n （2a n －1）（2a n ＋1）(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解：(1)正项等差数列{a n }满足：S 2n ＝a 31＋a 32＋…＋a 3n ，当n ＝1时，解得a 1＝1；当n ＝2时，S 22＝a 31＋a 32，整理得a 22－a 2－2＝0，解得a 2＝2或－1(负值舍去)，故公差d ＝a 2－a 1＝1，故a n ＝n .(2)由(1)得：b n ＝(－1)n4n （2a n －1）（2a n ＋1）＝(－1)n 4n （2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 所以T 2n ＝－1－13＋13＋15＋…＋14n －1＋14n ＋1＝14n ＋1－1＝4n 4n ＋1. 4．已知数列{a n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n －a n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)令b n ＝(2－n )(a n －1)，如果对任意n ∈N *，都有b n ＋14t ≤t 2，求实数t 的取值范围．解：(1)因为a 1＋a 2＋a 3＋……＋a n ＝n －a n ，所以a 1＝1－a 1，解得a 1＝12，同理可得a 1＋a 2＝2－a 2，解得a 2＝34；(2)因为a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n －a n ，①则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1＝(n ＋1)－a n ＋1，②②－①可得2a n ＋1－a n ＝1，即a n ＋1－1＝12(a n －1)，又a 1－1＝－12，所以数列{a n －1}是首项为－12，公比为12的等比数列，则有a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . (3)由(2)可得a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，则b n ＝(2－n )(a n －1)＝n －22n ， 因为b n ＋1－b n ＝n －12n ＋1－n －22n ＝n －1－2（n －2）2n ＋1＝3－n 2n ＋1>0，则n ＜3， 由b n ＋1－b n ＜0，可得n ＞3，所以b 1＜b 2＜b 3＝b 4＞b 5＞…＞b n ＞…，故b n 有最大值b 3＝b 4＝18，所以对任意n ∈N *，有b n ≤18，如果对于任意n ∈N *，都有b n ＋14t ≤t 2，即b n ≤t 2－14t 恒成立， 则(b n )max ≤t 2－14t ，所以18≤t 2－14t ，解得t ≤－14或t ≥12， 所以实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 5．(2021·佛山第一次模拟)在①log 2 a n ＋1＝log 2 a n ＋1，②a n ＋1＝a n ＋2n ，③a 2n ＋1－a n ＋1a n ＝2a 2n (a n >0)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答，已知{b n －a n }为等差数列，{b n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，b 1＝2，b 3＝14，________，是否存在正整数k ，使得S k >2 021？若存在，求k 的最小值：若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 解：选①：由log 2 a n ＋1＝log a n ＋1得log 2 a n ＋1－log 2 a n ＝1， 所以{log 2 a n }是首项为log 2 a 1＝1，公差为1的等差数列， 所以log 2 a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，故a n ＝2n .又b 1＝2，b 3＝14，a 1＝2，a 3＝8，所以b 1－a 1＝0，b 3－a 3＝6，所以等差数列{b n －a n }的公差d ＝（b 3－a 3）－（b 1－a 1）3－1＝3， 所以b n －a n ＝b 1－a 1＋(n －1)d ＝3(n －1)，所以b n ＝2n ＋3(n －1)，S n ＝(21＋22＋23＋…＋2n )＋3(1＋2＋3＋…＋n )－3n ＝2n ＋1－2＋3n 2－3n 2.由S n >2 021得n ≥10，即存在正整数k ，使得S k >2 021.且k 的最小值为10.选②：由a n ＋1＝a n ＋2n 得a 2－a 1＝21，a 3－a 2＝22， a 4－a 3＝23，…，a n －a n －1＝2n －1(n ≥2)，相加得a n －a 1＝21＋22＋23＋…＋2n －1＝2（1－2n －1）1－2＝2n －2， 又a 1＝2，所以a n ＝2n (n ≥2)，显然a 1＝2也满足a n ＝2n (n ≥2)，故a n ＝2n .下同选①.选③：由a 2n ＋1－a n ＋1a n ＝2a 2n 整理得(a n ＋1－2a n )(a n ＋1＋a n )＝0，又a n >0，所以a n ＋1＝2a n ，即a n ＋1a n＝2， 所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n . 下同选①.6．已知函数f (x )＝log k x (k 为常数，k >0且k ≠1)．(1)在下列条件中选择一个________使数列{a n }是等比数列，说明理由；①数列{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列{f (a n )}是首项为4，公差为2的等差数列； ③数列{f (a n )}是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．(2)在(1)的条件下，当k ＝2时，设a n b n ＝2n ＋14n 2－1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)①③不能使{a n }成等比数列．②可以：由题意f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，即log k a n ＝2n ＋2，得a n ＝k 2n ＋2，且a 1＝k 4≠0，所以a n ＋1a n＝k 2（n ＋1）＋2k 2n ＋2＝k 2.因为常数k >0且k ≠1，所以k 2为非零常数，所以数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＝k 4·(k 2)n －1＝k 2k ＋2，所以当k ＝2时，a n ＝2n ＋1.因为a n b n ＝2n ＋14n 2－1， 所以b n ＝14n 2－1，所以b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 7．已知{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数都不在下表的同一列．请从①a 111使满足以上条件的数列{a n }存在；并在此存在的数列{a n }中，试解答下列两个问题：(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝(－1)n ＋1a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)若选择条件①，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝6，a3＝7不是等差数列，a1＝2，a2＝9，a3＝8不是等差数列；当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝4，a3＝7不是等差数列，a1＝2，a2＝9，a3＝12不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝4，a3＝8不是等差数列，a1＝2，a2＝6，a3＝12不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a n}都不存在，若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知a1＝1，a2＝4，a3＝7，则公差d＝a2－a1＝3，所以a n＝a1＋(n－1)d＝3n－2，n∈N*，若选择条件③，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝6，a3＝7不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝8不是等差数列；当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝4，a3＝7不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝12不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝4，a3＝8不是等差数列，a1＝3，a2＝6，a3＝12不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a n}都不存在，综上可知：a n＝3n－2，n∈N*.(2)由(1)知，b n＝(－1)n＋1(3n－2)2，所以当n为偶数时，T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝a21－a22＋a23－a24＋…＋a2n－1－a2n＝(a1＋a2)(a1－a2)＋(a3－a4)(a3＋a4)＋…＋(a n－1＋a n)(a n－1－a n)＝－3(a1＋a2＋a3＋…＋a n )＝－3×n （1＋3n －2）2＝－92n 2＋32n ， 当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝－92(n －1)2＋32(n －1)＋(3n －2)2＝92n 2－32n －2，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－92n 2＋32n ，n ＝2k ，k ∈N *，92n 2－32n －2，n ＝2k －1，k ∈N *. 8．设S n 是数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，已知a 1＝4，a n ＋1＝S n ＋3n ，设b n ＝S n －3n .(1)证明：数列{b n }是等比数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝2log 2b n －n b n＋2，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)证明：因为a n ＋1＝S n ＋3n ，所以S n ＋1－S n ＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，则S n ＋1－3n ＋1＝2S n ＋3n －3n ＋1＝2(S n －3n )， 所以b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a 1－3＝1， 所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 故数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)解：由(1)得c n ＝2log 2b n －n b n＋2＝2n －n 2n －1， 设M ＝1＋22＋322＋423＋…＋n －12n －2＋n 2n －1，① 则12M ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，② ①－②得：12M ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ， 所以M ＝4－12n －2－n 2n －1＝4－2＋n 2n －1，所以T n ＝n (n ＋1)＋n ＋22n －1－4.。
高三数学第二轮复习教案2024文案
高三数学第二轮复习教案2024文案教案名称：高三数学第二轮复习教案教学目标：1.巩固和深化第一轮复习的基础知识，提升解题技能。
2.突破重点、难点，提高学生的应试能力。
3.培养学生的逻辑思维和创新能力。
教学内容：1.函数与导数2.三角函数3.数列4.解析几何5.统计与概率6.立体几何教学时间：12周一、第一周：函数与导数1.1复习函数的基本性质、图像及变换1.2复习导数的概念、求导法则及导数应用教学重点：1.函数的单调性、奇偶性、周期性、极值点等基本性质。
2.导数的定义、求导法则、导数应用（如函数的单调性、极值点、拐点等）。
教学难点：1.函数图像的变换。
2.导数应用中的极值点、拐点等。
教学案例：1.已知函数f(x)=x^33x，求f(x)的单调区间、极值点及拐点。
2.已知函数g(x)=sin(x)+cos(x)，求g(x)的周期、单调区间及极值点。
二、第二周：三角函数2.1复习三角函数的基本概念、图像及性质2.2复习三角恒等变换、解三角形教学重点：1.三角函数的基本概念（如正弦、余弦、正切等）。
2.三角函数的图像与性质（如周期性、奇偶性等）。
3.三角恒等变换（如和差化积、积化和差等）。
4.解三角形（如正弦定理、余弦定理等）。
教学难点：1.三角恒等变换的灵活运用。
2.解三角形中的实际问题。
教学案例：1.已知sin(α)=3/5，cos(α)=4/5，求tan(α)的值。
2.在△ABC中，a=3，b=4，C=60°，求c的值。
三、第三周：数列3.1复习数列的基本概念、通项公式及求和公式3.2复习数列的递推关系及数列极限教学重点：1.数列的基本概念（如等差数列、等比数列等）。
2.数列的通项公式及求和公式。
3.数列的递推关系及数列极限。
教学难点：1.数列通项公式的推导。
2.数列极限的计算。
教学案例：1.已知数列{an}是等差数列，a1=1，a3=3，求an的通项公式。
2.已知数列{bn}满足递推关系bn=2bn-1+1，b1=1，求bn的通项公式。