广东省深圳市高一上学期期末数学试卷
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广东省深圳市高一上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、 选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018高一上·江苏月考) 已知集合 ， ， ，则图中阴
影部分表示的集合为（ ）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） 定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）成
为平面斜坐标系. 在平面斜坐标系xoy中，（其中分别是斜坐标系x轴，y轴正方向上的单位向
量，x， ， O为坐标系原点），则有序数对(x,y)称为点P的斜坐标，在平面斜坐标系xoy中， ，
点C的斜坐标为(2,3)，则以点C位圆心，2为半径的圆在斜坐标系xoy中的方程为（ ）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） 下列命题中:①“”是“”的充要条件;
②已知随机变量X服从正态分布,,则;
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③若n组数据的散点图都在直线上,则这n组数据的相关系数为r=-1;
④函数的所有零点存在区间是.
其中正确的个数是（ ）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
4. （2分） 衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为 ，经过 天后体积与天
数 的关系式为 ，已知新丸经过 天后，体积变为 .若一个新丸体积变为 ，则需经过的
天数为（ ）
A . 天
B . 天
C . 天
D . 天
5. （2分） 已知 ， 则tan2α=（ ）
A .
B .
C . -
D . -
6. （2分） (2018高一上·大连期末) 设 ，用二分法求方程 在 内近
似解的过程中， ，则方程的根落在区间（ ）
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A .
B .
C .
D . 不能确定
7. （2分） 下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） 设a=log 2，b=20.6 ， c=log43，则a，b，c的大小关系为（ ）
A . a＞b＞c
B . c＞b＞a
C . b＞c＞a
D . a＞c＞b
9. （2分） (2018·江西模拟) 函数 的图象大致是（ ）
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A .
B .
C .
D .
10. （2分） 在平行四边形ABCD中，若 ， 则四边形ABCD一定是（ ）
A . 矩形
B . 菱形
C . 正方形
D . 等腰梯形
11. （2分） 在直角坐标系xOy中，全集U={（x，y）|x，y∈R}，集合A={（x，y）|xcosθ+（y﹣4）sinθ=1，
0≤θ≤2π}，已知集合A的补集∁UA所对应区域的对称中心为M，点P是线段x+y=8（x＞0，y＞0）上的动点，点
Q是x轴上的动点，则△MPQ周长的最小值为（ ）
A . 24
B . 4
C . 14
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D . 8+4
12. （2分） (2017高一下·晋中期末) 函数 的零点个数为
（ ）
A . 5
B . 6
C . 7
D . 9
二、 填空题 (共4题；共5分)
13. （1分） 已知幂函数f（x）=k•xα的图象过（ ， ），则f（x）= ________ ．
14. （1分） 把函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位，再将横坐标缩小为原来的 ， 则其解析式为
________
15. （2分） (2016高二下·安吉期中) 已知f （x3）=log2x（x＞0），则f （8）=________，f （x）=________．
16. （1分） (2017高一下·温州期末) 如图，定圆C半径为2，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，
若点A，B，C不共线，且| | |对任意t∈（0，+∞）恒成立，则 =________．
三、 解答题 (共6题；共55分)
17. （10分） (2017高一上·南通开学考) 若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0 ， 使得f（x0+1）
=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
（1） 证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；
（2） 已知函数 具有性质M，求a的取值范围．
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18. （10分） (2020·湖南模拟) 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 经过点 且倾斜角为 .
（1） 求曲线 的极坐标方程和直线 的参数方程；
（2） 已知直线 与曲线 交于 ，满足 为 的中点，求 .
19. （5分） 已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤10}，A∩（∁UB）={1，3，5，7}，求集合B．
20. （10分） (2016高三上·翔安期中) 已知函数 ．
（1） 求函数y=f（x）的解析式，并用“五点法作图”在给出的直角坐标系中画出函数y=f（x）在区间[0，
π]上的图象；
（2） 设α∈（0，π），f（ ）= ，求sinα的值．
21. （15分） (2019高一上·兴庆期中) 已知函数 是定义在R上的奇函数，其中 为
指数函数，且 的图象过定点 ．
（1） 求函数 的解析式；
（2） 若关于x的方程， 有解，求实数a的取值范围；
（3） 若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数k的取值范围．
22. （5分） 已知不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．
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（I）求a的值；
（II）若不等式ax2+bx+1≥0在R上恒成立，求b的取值范围．
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参考答案
一、 选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、 填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
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16-1、
三、 解答题 (共6题；共55分)
17-1、
17-2、
18-1、
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18-2、
19-1、
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20-1、
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20-2、
21-1、
21-2、
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21-3、
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22-1、
2023-2024学年广东省深圳市高一上册期末数学质量检测模拟试题合集2套(含答案)
2023-2024学年广东省深圳市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．若集合{}{}1,0,1,0,2A B =-=，则集合A B ⋃中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】求得A B ⋃，由此判断出A B ⋃中元素的个数.【详解】依题意{}1,0,1,2A B ⋃=-，有4个元素.故选：D【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，属于基础题.2．与角330- 终边相同的最小正角是（）A ．30- B ．330 C ．30 D ．60【答案】C【解析】利用终边相同的角的关系，求得与角330- 终边相同的最小正角.【详解】与角330- 终边相同的最小正角为33036030-+= .故选：C【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.3．若)11f x =+，则()3f 的值为（）A ．4B ．5C ．9D ．10【答案】B13=计算出x 的值，由此求得()3f 的值.13=由解得4x =，所以()3415f =+=.故选：B【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.4．已知幂函数()()23mf x m x -=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（）AB ．2±C ．2D ．2-【答案】D【解析】根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值.【详解】由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2f x x =在()0,∞+上递增，符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.5．若()()(0)f x tan x ωω=>的周期为1，则1()3f 的值为（）A ．B ．C D 【答案】D【解析】根据()f x 的周期求得ω，由此求得13f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】依题意()()π1,π,tan πT f x x ωω====，所以1πtan 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本小题主要考查正切函数的周期性，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.6．已知实数x ，y ，z 满足04x =，5log 3y =，πsin 22z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．z x y <<B ．y z x<<C ．z y x<<D ．x z y<<【答案】C【分析】根据指数、对数、三角函数的知识确定正确答案.【详解】041x ==，55log 3log 51y =<=，πsin 2cos 22z ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，而π2π2<<，所以0z <，所以z y x <<.故选：C7．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为（）2cm A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.【详解】依题意，扇形的半径为π4π4=，所以扇形面积为1π42π2⋅⋅=.故选：C【点睛】本小题主要考查扇形半径、面积有关计算，属于基础题.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对于1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()112212x f x x f x x x -<-成立，若实数m 满足()()()12120mf m m f m +-->，则m 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()1,-+∞【答案】C【分析】构造函数()()F x xf x =，根据()F x 的单调性和奇偶性化简不等式()()()12120mf m m f m +-->，进而求得m 的取值范围.【详解】依题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x -=，构造函数()()F x xf x =，则()()()()F x xf x xf x F x -=--=-=-，所以()F x 是奇函数，图象关于原点对称.由于1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，即()()12120F x F x x x -<-，所以()F x 在[)0,∞+上递减，所以()F x 在R 上递减.由()()()12120mf m m f m +-->，即()()120F m F m +->，()()12F m F m >--，即()()21F m F m >-，所以21,1m m m <->，所以m 的取值范围是()1,+∞.故选：C 二、多选题9．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．()()22,f t t g x x==B ．()()cos ,sin 2f x x g x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭C ．()()()20,(0)x x f x g x x x ⎧≥==⎨-<⎩D ．()()4lo ,log f x g x g x ==【答案】ABD【分析】先判断定义域是否相同，然后对解析式化简后判断对应关系可得.【详解】()()22,f t t g x x ==对应关系和定义域显然相同，故A 正确；B 选项中，因为()sin cos 2g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以B 正确；C 选项中，()2f x =的定义域为[0,)+∞，()g x 的定义域为R ，故C 不正确；D 选项中，显然()(),f x g x 的定义域都为(0,)+∞，又()24221lo log log 2f xg x x x ===，()12221log log l 2og x x g x ===，故D 正确.故选：ABD10．下列说法正确的是（）A ．“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件B ．“0xy >”是“0x y +>”的必要不充分条件C ．“对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题D ．命题“R x ∃∈，210x +=”的否定是“R x ∀∈，210x +≠”【答案】AD【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B 选项；利用特殊值法可判断C 选项；利用存在量词命题的否定可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若22ac bc >，则20c >，由不等式的性质可得a b >，即“22ac bc >”⇒“a b >”，若a b >，取0c =，则22ac bc =，即“22ac bc >”⇐/“a b >”，故“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件，A 对；对于B 选项，若0xy >，不妨取=1x -，1y =-，则0x y +<，即“0xy >”⇒“0x y +>”，若0x y +>，取=1x -，2y =，则0xy <，即“0xy >”⇐/“0x y +>”，所以，“0xy >”是“0x y +>”的既不充分也不必要条件，B 错；对于C 选项，取x =22x =为有理数，C 错；对于D 选项，命题“R x ∃∈，210x +=”的否定是“R x ∀∈，210x +≠”，D 对.故选：AD.11．已知函数()2π2sin 12f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>，的最小正周期为π，若m ，[]2π,2πn ∈-，且()()4f m f n ⋅=，则下列结论正确的是（）A ．ω的值为1B ．()()2f m f n ==-C ．5π,16⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心D ．m n -的最大值为3π【答案】ACD【分析】化简()f x 的解析式，根据()f x 的最小正周期求得ω，再结合()f x 的最值、对称中心对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】()2ππ2sin 1cos 2126f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 的最小正周期为π，所以2ππ,12T ωω===，A 选项正确.所以()π1cos 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由于ππ1cos 21,1cos 2166x x ⎛⎫⎛⎫-≤-≤-≤--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π01cos 226x ⎛⎫≤--≤ ⎪⎝⎭，当[],2π,2πm n ∈-时，要使()()4f m f n ⋅=，则()()2f m f n ==，B 选项错误.5ππ3πcos 2cos 0662⎛⎫⨯-== ⎝⎭，5π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以5π,16⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，C 选项正确.当()2f x =时，πcos 216x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π3π5π22π,π,Z 626x k x k k -=+=+∈，由5π2ππ2π6k -≤+≤，解得17766k -≤≤，所以2,1,0,1k =--，所以m n -的最大值为5π5ππ2π3π66⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ACD12．已知函数()[]πcos 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列说法正确的是（）A ．函数12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数B ．()f x 的值域为{}1,0,1-C ．()f x 为周期函数，且最小正周期4T =D ．()f x 与7log 1y x =-的图像恰有一个公共点【答案】BCD【分析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正确.【详解】对于A ，由于()110cos 0122f f ⎛⎫-+=== ⎪⎝⎭，()11π1cos 0222f f ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭所以1122f ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭1122f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数，故A 错；对于B ，由于[]x 为整数，[]()πππZ sin 222x k k k ⎛⎫=⋅∈∴⋅ ⎪⎝⎭的值有0,1,1-三种情况，所以()f x 的值域为{}0,1,1-故B 正确；对于C ，由于[][]44x x +=+，所以()[][][]()πππ4cos 4cos 2πcos 222f x x x x f x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，由B 得(){}0,1,1f x ∈-，令7log 10x -=，得2x =或0x =，而()()2cos π1,0cos01f f ==-==不是公共点的横坐标.令7log 10x -=，得8x =或6x =-，而()()()8cos 4π1,6cos 3πcos π1f f ==-=-==-，所以()8,1是两个函数图像的一个公共点.令7log 11x -=-，得87x =或67x =，而8π6cos 0,cos 01727f f⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不是两个函数图像的一个公共点.综上所述，两个函数图像有一个公共点()8,1，故D 正确.故选：BCD 三、填空题13．已知a<0，则关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集是______.【答案】5{|}2x x a -<<-【分析】将不等式的左边进行因式分解，然后比较a -和52-的大小，再利用一元二次不等式的解法即可求解.【详解】因为关于x 的不等式()225250x a x a +++<可化为：(25)()0x x a ++<，又因为a<0，所以52a ->-，所以不等式(25)()0x x a ++<的解集为5{|}2x x a -<<-，则关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集是5{|}2x x a -<<-，故答案为：5{|}2x x a -<<-.14．1cos80︒______.【答案】4【分析】根据三角恒等变换的知识进行化简，从而求得正确答案.【详解】1cos80︒==12sin 80cos8022cos80cos10⎛⎫︒-︒ ⎪⎝⎭︒=︒()2sin 8060cos80cos10︒-︒=︒︒2sin 20cos80cos10=︒︒︒22sin10cos104sin10cos10⨯⨯︒︒=︒︒=.故答案为：415．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位后得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是______.【答案】π12##112π【分析】求得平移后的函数解析式，然后根据对称性求得m 的取值范围，进而求得m 的最小值.【详解】函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位后，得到()ππsin 2sin 2233y x m x m ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其图像关于y 轴对称，所以ππππ2π,,Z 32212k m k m k +=+=+∈，由于0m >，所以m 的最小值为π12.故答案为：π1216．已知函数()21xf x -=-，()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩，当01m <<时，关于x 的方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦解的个数为______.【答案】4【分析】令()t f x =，得到()g t m =，由()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩的图象得到根t 的分布，再由()21x f x -=-的图象，得到()t f x =的根的个数即可.【详解】解：令()t f x =，则()g f x m =⎡⎤⎣⎦，化为()g t m =，()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩的图象如图所示：因为01m <<，所以()g t m =有三个不同的根123,,t t t ，其中()()()1230,1,1,2,2,3t t t ∈∈∈，函数()21xf x -=-的图象如图所示：由图象知：()1t f x =有2个不同的根，()2t f x =有1个根，()3t f x =有1个根，所以当01m <<时，关于x 的方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦解的个数为4，故答案为：4四、解答题17．已知集合{}2A x a x a =<<，{}2120B x x x =+-≥．(1)当2a =时，求()R A B ⋃ð；(2)若R A B ⊆ð，求a 的取值范围．【答案】(1)(){}44R A B x x ⋃=-<<ð(2)3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】（1）解一元二次不等式求得集合B ，由补集和并集的定义可运算求得结果；（2）分别在A =∅和A ≠∅两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果.【详解】（1）由题意得{}24A x x =<<，{4B x x =≤-或}3x ≥，{}43R B x x =-<<ð，(){}44R A B x x ⋃=-<<ð.（2）R A B ⊆ð，当0a ≤时，A =∅，符合题意，当0a >时，由23a ≤，得302a <≤，故a 的取值范围为3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦．18．已知sin 24sin 3cos 24cos 1αααα-=-+，π0.2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(1)求tan α和sin2α的值;(2)若πsin 2sin 2ββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求αβ+的大小．【答案】(1)tan 3α=，3sin 25α=；(2)3π4【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得tan 3α=，以及22tan sin2tan 1ααα=+求值；（2）条件等式由诱导公式可得sin 2cos tan 2βββ=⇒=，即可由和差公式求得()tan αβ+，结合αβ+范围即可.【详解】（1）()()2sin cos 2sin 24sin sin cos 4sin tan 3cos 24cos 12cos 4cos 2cos cos 2αααααααααααααα---====-+--２２，2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===++；（2）πsin 2sin 2cos tan 22ββββ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--，∵()0,παβ+∈，∴3π4αβ+=.19．已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-.(1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】(1)()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (2)最大值为12，最小值为1-【分析】（1）由三角恒等变换化简函数为()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由整体法求单调递减区间即可；（2）由整体法求得函数值域，即可得最值.【详解】（1）()1cos 211π222cos 22223x f x x x x x +⎛⎫=--=-=+ ⎪⎝⎭，令[]()π22π,π2π3x k k k +Î+ÎZ ，解得()πππ,π63x k k k 轾Î-++Î犏犏臌Z ，故()f x 的单调递减区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故()π1cos 21,32f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，最小值为1-.20．已知函数()()2R 2xxaf x a =+∈为定义在[]1,1-上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)设()()sin 2g x f x =，当π,12x θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（π12θ>）时，函数()g x 的最小值为2，求θ的取值范围.【答案】(1)1a =-(2)π5π1212θ<≤【分析】（1）由()00f =求得a 的值.（2）求得()g x 的表达式，利用换元法，结合三角函数、函数的单调性、最值等知识求得θ的取值范围.【详解】（1）由于函数()22x xaf x =+是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()()010,1,22x xf a a f x -=+==-=-，经检验符合题意.（2）()()sin 2sin 2sin 222xx g x f x -==-，ππ,22126x x θθ≤≤≤≤，令sin 2t x =，()22t th t -=-，则()()22t th t h t --=-=-，所以()h t 是奇函数，且()h t 在R 上单调递增，当π1sin 62t ==时，112212222h -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要使()g x的最小值为2，则1sin 22t x =≥，所以π5π266x ≤≤，所以π5ππ5π2,661212θθ<≤<≤.21．生产A 产品需要投入年固定成本5万元，每年生产x 万件()N x *∈，需要另外投入流动成本()g x 万元，且()214,072501135,7x x x g x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，每件产品售价为10元，且生产的产品当年能全部售完.(1)写出利润()p x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）(2)年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？【答案】(1)()2165,0725030,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当年产量为30-万元.【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得()p x .（2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案.【详解】（1）依题意，()()2165,0721055030,7x x x p x x g x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=--=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.（2）由（1）得()()21613,0725030,7x x p x x x x ⎧--+<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，当07x <<，所以()p x 的最大值为()613p =；当7x ≥时，50303030x x ⎛⎫-+≤-=- ⎪⎝⎭当且仅当50,x x x==.由于3013->，所以当年产量为30-万元.22．已知函数()()2211f x x a x a =-+-+，R a ∈.(1)若()f x 在区间[]1,1-上不单调，求a 的取值范围；(2)已知关于x 的方程()220f x x x ++=在区间()1,2-内有两个不相等的实数解，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()2,0-(2)91,5⎫⎪⎭【分析】（1）结合二次函数的对称轴及其性质即可求解；（2）令()()22h x f x x x =++，方程()220f x x x ++=在区间()1,2-内有两个不相等的实数解，等价于函数()h x 在()1,2-上存在两个零点，结合二次函数的实根分布讨论即可求解.【详解】（1）函数()()2211f x x a x a =-+-+的对称轴为1x a =+，由()f x 在区间[]1,1-上不单调，所以111a -<+<，解得20a -<<，所以a 的取值范围为()2,0-.（2）令()()22h x f x x x =++，方程()220f x x x ++=在区间()1,2-内有两个不相等的实数解，等价于函数()h x 在()1,2-上存在两个零点，因为()()()22221,102221,02a x a x h x f x x x x ax a x ⎧-+-+-<<=++=⎨--+≤<⎩，且()h x 在0x =处图像不间断，当2a =-时，()23,10243,02x h x x x x -<<⎧=⎨++≤<⎩无零点；当2a ≠-时，由于()()221h x a x a =-+-+在()1,0-上单调，所以()h x 在()1,0-内最多只有一个零点，不妨设()h x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，若()h x 有一个零点为0，则1a =，于是()26,1022,02x x h x x x x --<<⎧=⎨-≤<⎩，零点为0或1，所以1a =满足题意，若0不是函数()h x 的零点，则函数()h x 在()1,2-上存在两个零点有以下两种情形：（i ）若110x -<<，202x <<，则()()()()100020h h h h ⎧-⋅<⎪⎨⋅<⎪⎩，即()()()()1501950a a a a ⎧-+<⎪⎨--<⎪⎩，解得915a <<.（ii ）若1202x x <<<，则()()()()()()()2Δ4810022010*********a a a h a h a h h a a ⎧=-->⎪⎪<<⎪⎨=->⎪⎪=->⎪-=-+>⎩11a <<.综上所述，a的取值范围为91,5⎫⎪⎭.2023-2024学年广东省深圳市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知角α的终边经过点(8,6)，则cos α的值为（）A ．34B ．43C ．45D ．35-【分析】根据任意角三角函数的定义直接求解即可.【详解】因为角α的终边经过点(8,6)，所以4cos 5x r α==，故选：C2．cos17cos43sin17sin223+= （）A ．12-B ．C ．12D ．2【答案】C【分析】由两角和的正弦公式和诱导公式，即可求出结果.【详解】cos17cos43sin17sin223+= ()cos17cos43sin17sin 180+43+=()cos17cos43sin17sin43cos17cos43sin17sin43--+= ，由两角和的正弦公式，可知()cos17cos43sin17sin43cos 1743=cos 1=+=260- 故答案为：C3．如图，U 为全集，M ，P ，S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()()U M P S ðD ．()U ()S M P ð【答案】C【分析】根据集合间的关系求解即可.【详解】图中的阴影部分是M P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集，即是U S ð的子集，则阴影部分所表示的集合是()()U M P S ð.故选：C4．下列函数既是奇函数又在(1,1)-上是增函数的是（）A ．sin y x=B ．2y x=-C ．22x xy -=+D ．lg(1)y x =+【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】因为sin y x =是奇函数又在(1,1)-上是增函数，所以A 正确.因为2y x=-定义域为()(),00,∞∞-⋃+，所以在()1,0-和()0,1是增函数，所以B 错误.因为22x x y -=+是偶函数不是奇函数，所以C 错误.因为lg(1)y x =+定义域为()1,∞-+不具备奇偶性，所以D 错误.故选：A5．设tan 92a =︒，21b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，log 92c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c a b >>B ．c b a>>C ．a b c>>D ．b a c>>【答案】B【分析】根据正切函数，指数函数，对数函数性质估计a b c ，，的大小，由此确定它们的大小关系.【详解】∵92︒是第二象限角，∴tan 920a =︒<，∵指数函数1xy π⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，且023<<，∴32011101πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴01b <<，∵log y x π=为(0,)+∞上的增函数，92π<∴log 921c π=>，∴c b a >>故选：B.6．函数()πcos 2x f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=的部分图像大致是（）A．B．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可.【详解】因为()πcos sin 2x x x f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭==,()()()sin sin x xf x f x x x--==-=--.所以()f x 为奇函数,故AB 选项错;()0,,sin 0x x π∈>()0f x >,故D 选项错;故选:C .7．已知定义在[]1,2a a -上的偶函数()f x ，且当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（）A ．2(0,)3B ．15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．25(,36]【答案】D【分析】由偶函数的性质求得a ，利用偶函数的性质化不等式中自变量到2[0,]3上，然后由单调性转化求解．【详解】解：由题意120a a -+=，13a =，()f x 的定义域22[,]33-，2[0,]3x ∈时，()f x 递减，又()f x 是偶函数，因此不等式()()123f x f x a ->-转化为()()121f x f x ->-，21213x x -<-≤，224(1)(21)9x x -<-≤，解得2536x <≤．故选：D ．8．一半径为2m 的水轮，水轮圆心O 距离水面1m ；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P 距离水面的高度h （单位：m ）表示为时间t （单位：s ）的函数，记()h f t =，则()(1)(2)f t f t f t ++++=（）A ．0B ．1C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意设h ＝f （t ）＝A sin （ωt +φ）+k ，求出φ、A 、T 和k 、ω的值，写出函数解析式，计算f （t ）+f （t +1）+f （t +2）的值．【详解】根据题意，设h ＝f （t ）＝A sin （ωt +φ）+k ，（2π-＜φ＜0），则A ＝2，k ＝1，因为T ＝3，所以ω223T ππ==，所以h ＝2sin （23πt +φ）+1，又因为t ＝0时，h ＝0，所以0＝2sin φ+1，所以sin φ12=-，又因为2π-＜φ＜0，所以φ6π=-，所以h ＝f （t ）＝2sin （23πt 6π-）+1；所以f （t ）=23πt ﹣cos 23πt +1，f （t +1）＝2sin （23πt 2π+）+1＝2cos 23πt +1，f （t +2）＝2sin （23πt 76π+）+1=23πt ﹣cos 23πt +1，所以f （t ）+f （t +1）+f （t +2）＝3．故选：C ．二、多选题9．已知,,a b c 是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（）A ．222()2a b a b ++≥B ．若0ab ≠，则||||2||||a b b a +≥C ．若a b <，则11a b>D ．若0,<<c b a .则a b c c>【答案】ABD【分析】可以使用基本不等式，对于任意实数a b ，，222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号，可以判断A ；可以使用基本不等式，对于任意正实数R a b +∈，，a b +≥a b =时取等号，可以判断B ；可以通过作差，再利用不等式的性质可以判断C ；利用不等式的性质可以判断D.【详解】对于A ：()2222a b a b++≥等价于()22222b a b a +≥+等价于222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号，对于任意实数a b ，都成立，故A 正确；对于B ：由于0ab ≠，所以2a b b a +≥=，当且仅当a b b a =，即a b =时取等号，对于任意实数a b，都成立，故B 正确；对于C ：由于11b aa b ab--=，实数a b ，的符号不确定，故ab 的符号也不确定，故C 错误；对于D ：由于0c <，则10c <，又因为a b <，所以a b c c>，故D 正确.故选：ABD10．先将函数()sin f x x =的图像向右平移π6个单位长度后，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数()g x 的图像，则关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A ．在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．图像关于直线5π6x =对称C ．在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．最小正周期为π，图像关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD【分析】由题意，利用三角函数的图象变换，整理函数解析式，根据整体代入的方法可得答案.【详解】先将函数()sin f x x =的图像向右平移π6个单位长度后，可得πsin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数π()sin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2,663x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故()g x 单调递增，故A 正确；当5π6x =时，()1g x =-，为最小值，故()g x 的图像关于直线5π6x =对称，故B 正确；当ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ5π2,636x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，此时()g x 不单调，故C 不正确；由题意可得()g x 的最小正周期为π，当π12x =时，()0g x =，故()g x 的图像关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D正确，故选：ABD.11．已知函数()20lg 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，方程()()210f x mf x --=有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（）A ．函数()f x 的零点的个数为2B ．实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．函数()f x 无最值D ．函数()f x 在()0,∞+上单调递增【答案】ABC【分析】根据分段函数图像可以判断ABD ，而选项C ，结合分段函数的图像性质，分析得到210t mt --=两个不等的实根122t t <<≤0，0，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.【详解】因为函数()20lg 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，可得函数图像如图：由图知函数()f x 有2个零点，故A 选项正确；函数()f x 没有最值，故C 选项正确；函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故D 选项错误；由于方程()()210f x mf x --=有4个不同的实数根，令()t f x =则210t mt --=有4个不同的实数根，因为2m 40∆=+>恒成立，设210t mt --=两个不等的实根为12t t ，，由韦达定理知：1212,1t t m t t +==-，则12t t ，异号，由图可知：122t t <<≤0，0，所以22210m --≥，解得32m ≤，故B 选项正确；故选：ABC【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．12．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有()()2f x f x +=-，()13f =，若函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，且对任意的()12,0,1x x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的图象关于直线1x =对称C ．()()202220233f f -=D ．5524f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【分析】对于A 选项：根据函数()1f x -的图象关于点()1,0对称,则函数()f x 的图象关于点()0,0对称，即可判断；对于B 选项：由A 选项可知函数()f x 为奇函数，可推得()()2f x f x +=-，即可判断图象关于直线1x =对称；对于C 选项：由()()2f x f x +=-可推出函数()f x 是周期为4的周期函数，结合函数奇偶性可推得()20220f =，()20233f =-，即可判断C ；对于D 选项：由()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+可得()()()()12120x x f x f x -->，推出函数()f x 在区间()0,1上单调递增，结合函数性质求得5122f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5344f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎝⎭⎝⎭，即可得5524f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】A 选项：由函数()1f x -的图象关于点()1,0对称，可得函数()f x 的图象关于点()0,0对称，所以函数()f x 为奇函数，故A 不正确.B 选项：由函数()f x 为奇函数可得()()()2f x f x f x +=-=-，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，故B 正确.C 选项：由函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数.因为(),R f x x ∈为奇函数，所以()00f =，由()()2f x f x +=-得()()020f f +=-，故()20f =，则()()()20225054220f f f =⨯+==，()()()()()2023505433113f f f f f =⨯+==-=-=-，所以()()()20222023033f f -=--=，故C 正确.D 选项：由对任意()12,0,1x x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，即对任意的()12,0,1x x ∈，12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->，可得函数()f x 在区间()0,1上单调递增.因为553314222222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5532444f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且1324<，所以1324f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5524f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故D 正确，故选：BCD .【点睛】方法点睛：对于此类关于函数图象的对称问题，要理解并能应用以下常见结论：（1）对于函数()f x ，若其图象关于直线x a =对称（当0a =时，()f x 为偶函数），则①()()f a x f a x +=-；②()()2f a x f x +=-；③()()2f a x f x -=.（2）对于函数()f x ，若其图象关于点(),0a 对称（当0a =时，()f x 为奇函数），则①()()f a x f a x +=--；②()()2f a x f x +=--；③()()2f a x f x -=-.（3）对于函数()f x ，若其图象关于点(),a b 对称，则①()()2f a x f a x b ++-=；②()()22f a x f x b ++-=；③()()22f a x f x b -+=.三、填空题13．已知集合{||1|3}M x x =-≤，{}|31xN x =≥，则M N ⋂=__________.（用区间作答）【答案】[]0,4【分析】先解绝对值与指数不等式化简集合,M N ，再利用集合的交集运算即可求得M N ⋂.【详解】因为|1|3x -≤，所以313x -≤-≤，则24x -≤≤，所以{}{|13}24M x x x x =-≤=-≤≤，因为0313x ≥=，所以0x ≥，故{}{}|310xN x x x =≥=≥，所以{}[]040,4M N x x ⋂=≤≤=.故答案为：[]0,4.14．若πsin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3【分析】根据诱导公式即可化简求解.【详解】πc 2os πππsin sin 336ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-= ⎭⎛⎫⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎣+= ⎪⎝⎭⎦故答案为：315．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】1-【分析】先由()f x 的奇偶性与题设条件推得()()1f x f x +=-，从而证得()f x 是周期函数，进而利用()f x 的周期性与奇偶性求得20212f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-，又因为()()1f x f x +=-，所以()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，则()f x 是周期为2的周期函数，所以2021111101012222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：1-.16．函数sin cos 2sin cos 2y x x x x =+++的值域是__________.【答案】3,34⎡+⎢⎣【分析】首先换元sin cos x x t +=，再利用三角变换，将函数转化为关于t 的二次函数，再求值域.【详解】设sin cos x x t +=，因为4t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，则22sin cos 1x x t =-，2221312124y t t t t t ⎛⎫=+-+=++=++ ⎪⎝⎭，当12t =-时，函数取得最小值34，当t =时，函数取得最大值3，所以函数的值域是3,34⎡+⎢⎣故答案为：3,34⎡+⎢⎣四、解答题17．已知α为第三象限角，且3sin cos tan()22()sin tan(2)2f ππαααπαπαπα⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若()5f α=，求cos()πα+的值.【答案】(1)sin α-；(2)15﹒【分析】(1)利用三角函数的诱导公式即可化简；(2)根据()5f α=求出sin α，cos()πα+＝－cos α＝【详解】（1）cos sin (tan )()sin cos (tan )f ααααααα-⋅⋅-==-⋅-．（2）∵()sin f αα=-sin α=又α为第三象限角，∴1cos 5α=-，∴1cos()cos 5παα+=-=．18．已知函数())2cos sin sin ,f x x x x x R =-∈．(1)求函数()f x 的最小正周期与单调增区间；(2)求函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．【答案】(1)T π=，单调增区间,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)max ()1f x =，min ()0f x =【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，可得函数的最小正周期与的单调区间；（2）利用整体法求函数的最值.【详解】（1）解：())22sin sin 2cos 2sin 2cos 21f x x x x x x x x x =-=-=+-2sin 216x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，函数的最小正周期22T ππ==，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）0,4x π⎡⎤∈⎢⎣⎦ ，22,663x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()[]2sin 210,16f x x π⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，所以max ()1f x =，min ()0f x =.19．2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMv v m=⋅计算火箭的最大速度(m/s)v ，其中0(m/s)v 是喷流相对速度，(kg)m 是火箭(除推进剂外)的质量，(kg)M 是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为1000(m/s).（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的32倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加500(m/s)，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：ln 200 5.3≈，2.718 2.719e <<.【答案】（1）5300m /s ；（2）在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.【解析】（1）代入公式0lnMv v m=⋅中直接计算即可（2）由题意得10ln 1000ln M M v v m m ==，203ln 1500ln 233M M v v m m==，则211500ln 1000ln 5003M Mv v m m-=-≥，求出M m 的范围即可【详解】（1）0ln 1000 5.35300m /s Mv v m=≈⨯=，（2）10ln 1000ln M M v v m m ==，203ln 1500ln 233M M v v m m==.因为要使火箭的最大速度至少增加500m /s ，所以211500ln 1000ln 5003M Mv v m m-=-≥，即：3ln2ln 13M Mm m-≥，所以332233ln 2ln ln ln ln ln 13327M M M M M M m m m m m m M m ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=-==≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，即27M e m ≥，所以27Me m≥，因为2.718 2.719e <<，所以2773.38Me m≥≈.所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.【点睛】此题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，属于中档题20．在①22{|1}1x A x x -=<+，②{||1|2}A x x =-<，③23{|log }1xA x y x -==+这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集U =R ，______，22{|0}.B x x x a a =++-<(1)若2a =，求()()U UC A C B ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1{}1|x x x ≤-≥或(2)(][),34,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据除法不等式，绝对值不等式，对数函数的定义域即可分别求出三种情形下的集合A ；（2）对集合B 中不等式进行因式分解，再根据充分必要条件和集合包含关系即可求解.【详解】（1）若选①：222213{|1}{|0}{|0}{|13}1111x x x x A x x x x x x x x x --+-=<=-<=<=-<<++++，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选②：{|12}{|212}{|13}A x x x x x x =-<=-<-<=-<<()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选③：()(){}233{|log }031011xx A x y x x x x x x ⎧⎫--====-+=⎨⎬++⎩⎭{|13}x x -<<，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.（2）由（1）知{|13}A x x =-<<，()22{|0}{|()10}B x x x a a x x a x a ⎡⎤=++-<=++-<⎣⎦，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，（i ）若(1)a a -<--，即12a >，此时{|(1)}B x a x a =-<<--，所以1,3(1)aa -≥-⎧⎨≤--⎩等号不同时取得，解得4a ≥.故4a ≥.（ii ）若(1)a a -=--，则B =∅，不合题意舍去；（iii ）若(1)a a ->--，即12a <，此时{|(1)}B x a x a =--<<-，1(1),3a a -≥--⎧⎨≤-⎩等号不同时取得，解得3a ≤-.综上所述，a 的取值范围是(][),34,-∞-⋃+∞.21．设函数()sin 2cos 36f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（03ω<<），将该函数的图像向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图像，函数()g x 的图像关于y 轴对称.(1)求ω的值；(2)在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数()f x 在一个周期内的图像；(3)设关于x 的方程3(1)026x mf g x π⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间7,06π⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2ω=(2)图像见解析(3)(]2,1--【分析】（1）先对()f x 作恒等变换，再求出()g x 解析式，根据条件求出ω；（2）用整体代入法取5点作图；（3）将原方程转化为一元二次方程求解.【详解】（1）()sin 2cos 36sin coscos sin 2cos cos 2sin sin 3366f x x x x x x x ππωωππππωωωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-++1333sin cos 3cos sin sin cos 22x x x x x x ωωωωωω=++=+36x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()3666g x f x x πωππω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是偶函数，并且03,2ωω<<∴=；（2）由（1）的结论得()326f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取5点得下表：x12π-6π512π23π1112π()f x 033-0作下图：（3）由（1）得()32g x x =，原方程为：)33231063m x x m ππ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22sin sin 2066x m x m ππ⎛⎫⎛⎫∴-+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦…①，令sin 6t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，7,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则t 关于x 的函数图像如下图：由图可知：当10t -<≤时，任意一个t 对于2个x ，当102t <≤时，任意一个t 对应1个x ，并且112t -≤≤；变为：2220t mt m -+++=，即()()1220t t m +--=，即不论m 为何值，1t =-总是原方程的一个解，∴欲使得原方程有2个解，必须是102t <≤，∴22m t =-(]2,1∈--；综上，2ω=，(]2,1m ∈--.22．已知函数()()2221f x ax a x =+-+，其中a ∈R .(1)若对任意实数[]12,2,4∈x x ，恒有()129sin2f x x ，求a 的取值范围；(2)是否存在实数0x ，使得00ax <且()0022f x x a =-+若存在，则求0x 的取值范围；若不存在，则加以证明.【答案】(1)[)2,+∞；(2)存在，0121,2x ⎛⎫∈--⎝⎭.【分析】(1)首先求出29sin2x 在[]22,4x ∈上的最大值，问题转化为()[]max 29sin2f x x 对任意[]2,4x ∈成立，然后化简不等式，参变分离构造max4a x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦即可.(2)分a ＞0和a ＜0两种情况讨论，去掉绝对值符号，转化为解不等式的问题.【详解】（1）[]22,4x ∈，[]224,8x ∈，[]2sin 21,1x ∈-，∴[][]x 22ma max 9s 91i ,n2sin2x x ==，∴原问题()9f x ⇔对任意[]2,4x ∈成立，即()22219ax a x +-+≥对任意[]2,4x ∈成立，即4ax 对任意[]2,4x ∈成立，∴max42a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.故a 的范围是：[)2,+∞.（2）①0000,0,0,20,a ax x x a ><∴<∴-< ()()2000002222122f x x a ax a x a x ∴=-+⇔+-+=-+020021021x a x x +⇔=>+-，()()())()20000002121021110x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⇒++->⇒+---->⎣⎦⎣⎦，∵00x <，∴)010x --<，∴不等式变为()()002110x x ⎡⎤+--<⎣⎦，∴011,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；(2)0000,0,0,20a ax x x a <<∴>∴-> ，()()2000002222122f x x a ax a x x a ∴=-+⇔+-+=-+2000024122ax ax x a x ⇔+-++=+()20002161a x x x ⇔++=+0002006110610216x a x x x x +⇔=<⇒+<⇒<-++，∵00x >，∴此时无解.综上所述，存在011,2x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足题意.。
2023-2024学年广东省深圳外国语学校高一上学期期末数学试卷及答案
2023-2024学年度高一第一学期期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号码等信息填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图，U 是全集，M ，N ，P 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A. ()M N P ⋂⋂B. ()M N P ⋃⋂C. ()()U M N P ⋂⋂ð D. ()()U M N P ⋃⋂ð2. 下列两个函数为同一函数的为（ ）A. 2x y x y x==； B. cos tan sin y x x y x=⋅=；C. 224log log y x y x==； D. y x y ==；3. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震级数M 之间的关系式为lg 4.8 1.5E M =+.2022年9月18日14时44分在中国台湾花莲发生的6.9级地震所释放出来的能量是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生的5.1级地震的m 倍，则下列各数中最接近m 的值为（ ）A. 100B. 310C. 500D. 10004. 已知扇形的圆心角为2弧度，且圆心角所对的弦长为4，则该扇形的面积为（ ）A.24sin 1B.24cos 1C. 24sin 1D.24cos 15. 若两个正实数x ，y 满足3x y +=，且不等式2416351m m x y+>-++恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. {}41m m -<< B. {1m m <-或}4m >C {}14m m -<< D. {0m m <或}3m >6. 已知函数{}max a a b a c y a b c b b a b c c c a c b ≥≥⎧⎪==≥≥⎨⎪≥≥⎩，，，，，，，，，设(){}2max ,1,3f x x x x =-，则()f x 的最小值为（ ）A. 1B.C. 9D.347. 已知函数()()()cos sin f x x f x ==，[]π,π-内解的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数1(=1)()ln 1(1)x f x x x ⎧⎪=⎨-≠⎪⎩， 若方程2()+()0f x af x b +=有九个不同实根，则ab 的取值范围是（ ）A. (,2)(2,0)-∞--B. (,1)(1,)-∞--+∞C. 1(,]4-∞ D. (2,)-+∞二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，每个小题至少有两个正确选项，漏选得2分，错选或多选得0分.9. 下列条件中，其中p 是q 的充分不必要条件的是（ ）A. :1,1p a b ≥≥；:2q a b +≥B. :tan 1p α=；π:π(Z)4q k k α=+∈.C. :1p x >；():ln e 11xq +>D. 2:1p a <；q ：函数()()222f x x a x a =+--在()0,1上有零点10. 设函数()2sin cos x x f x x =+- ）A. ()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B. 若()()122f x f x -=，则12minx x π-=C. 把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到一个偶函数的图象D. 在()0,2π内使()12f x =的所有x 的和为133π11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[]2.33-=-，[]3.23=，下列命题正确的是（ ）A. [][][]xy x y =B. [][][]x y x y +=+C. [][]11x x +=+ D. [][]1+22x x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦12. 已知0x 是函数()e 2x f x x =+-的零点（其中e 2.71828= 为自然对数的底数），下列说法正确的是（ ）A. 01(0,)2x ∈ B. 00)n(2l x x -=C. 00e0x x --< D. 020ex x ->三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.14. 写出一个符合下列要求的函数：______________________｡①()f x 值域为R ②()1f x +为偶函数的15. 函数()1f x x =-与函数()()5π2cos 12g x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的图象所有交点的横坐标之和为______．16. 函数()()2ln e 1x f x x+=在区间][e,11,e ⎡⎤--⎣⎦U 上的最大值与最小值之和为()0,0a b a b +>>，则13a b+的最小值为______．四、解答题：本题共6个小题，其中第17题10，第18到22题每题12分，共及70分17 （1）计算：()6230log 7862lg5sin1lg427⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭（2）已知226x x -+=，求33x x -+的值.18. 如图，已知单位圆O 与x 轴正半轴交于点M ，点,A B 单位圆上，其中点A 在第一象限，且π2AOB ∠=，记,MOA MOB αβ∠=∠=.（1）若π3α=，求点,A B 的坐标；（2）若点A 的坐标为4,5m ⎛⎫⎪⎝⎭，求sin sin αβ-的值.19. 湖南株洲市某高科技企业决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台，需要另投入成本()h x （万元），当年产量小于60台时，()220=+h x x x （万元）；当年产量不少于60台时()98001022080=+-h x x x（万元）.若每台设备的售价为100万元，通过市场分析，假设该企业生产的电子设备能全部售.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式？（2）年产量为多少台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大？.在20.设函数23()cos 3sin 2f x x x x =+-.（1）求函数单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,44ππ-上的值域.21. 已知函数()1333x x af x +-=+是奇函数.（1）求a 的值，判断()f x 的单调性（不必证明）｡（2）解不等式：()2log 20f x +≤.22. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数()y f x =，如果对于其定义域D 中任意给定的实数x ，都有x D -∈，并且()()1f x f x ⋅-=，就称函数()y f x =为“倒函数”.（1）已知()10xf x =，()22xg x x-=+，判断()y f x =和()y g x =是不是倒函数，并说明理由；（2）若()f x 是定义在R 上的倒函数，当0x ≤时，()413x f x x -=+，方程()2023f x =是否有整数解？并说明理由；（3）若()f x 是定义在R 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R 上单调递增.记()()()21f x F x f x ⎡⎤-⎣⎦=，证明：120x x +>是()()120F x F x +>的充要条件.的2023-2024学年度高一第一学期期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号码等信息填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图，U 是全集，M ，N ，P 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A. ()M N P ⋂⋂B. ()M N P ⋃⋂C. ()()U M N P ⋂⋂ð D. ()()U M N P ⋃⋂ð【答案】C 【解析】【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合M 的外部与集合N 集合P 交集内部的公共部分，求解即可.【详解】根据题意，阴影部分为集合M 的外部与集合N 集合P 交集内部的公共部分，即()()U M N P ⋂⋂ð.故选：C.2. 下列两个函数为同一函数的为（ ）A. 2x y x y x==； B. cos tan sin y x x y x=⋅=；C. 224log log y x y x ==； D. y x y ==；【答案】D 【解析】【分析】同一函数要满足中两个条件：第一：定义域相同，第二：对应关系完全一致，根据两个条件即可判断.【详解】对于选项A ，y x =定义域为R ，2xy x=定义域为{}|0x x ≠，函数定义域不相同，不是同一函数，故A 不符合题意；对于B ，cos tan y x x =⋅定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，sin y x =定义域为R ，函数定义域不相同，不是同一函数，故B 不符合题意；对于C ，2log y x =定义域为{}|0x x >，函数24log y x =定义域为{}|0x x ≠，函数定义域不相同，不是同一函数，故C 不符合题意；对于D ，y x =定义域为R ，y =定义域为R ，且y x ==，函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一函数，故D 符合题意.故选：D .3. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震级数M 之间的关系式为lg4.8 1.5E M =+.2022年9月18日14时44分在中国台湾花莲发生的6.9级地震所释放出来的能量是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生的5.1级地震的m 倍，则下列各数中最接近m 的值为（ ）A. 100 B. 310C. 500D. 1000【答案】C 【解析】【分析】根据地震释放出的能量E 与地震级数M 之间的关系式lg 4.8 1.5E M =+，将两次地震等级分别代入，利用对数运算法则可得两次能量E 的比值，近似计算可确定选项.【详解】设6.9级地震所释放出来的能量是1E ，日本5.1级地震所释放出来的能量是2E ，则1lg 4.8 1.5 6.9E =+⨯，2lg 4.8 1.5 5.1E =+⨯；可得1122lg lg lg2.7E E E E -==，所以()2.7 2.53121010,10Em E ==∈而52.521010316==≈，即()316,1000m ∈.故选：C4. 已知扇形圆心角为2弧度，且圆心角所对的弦长为4，则该扇形的面积为（ ）A.24sin 1B.24cos 1C. 24sin 1D.24cos 1【答案】A 【解析】【分析】由扇形的弧长和面积公式求解即可.【详解】因为扇形圆心角弧度为2，所对弦长为4，O 为圆心，如下图，取AB 的中点D ，连接OD ，则OD AB ⊥，则1AOD ∠=，则扇形的半径2sin1r =，所以扇形的弧长242sin1sin1l =⨯=，则扇形的面积为214242sin1sin1sin 1S =⨯⨯=.故选：A.5. 若两个正实数x ，y 满足3x y +=，且不等式2416351m m x y+>-++恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. {}41m m -<< B. {1m m <-或}4m >C. {}14m m -<< D. {0m m <或}3m >【答案】C的的【解析】【分析】先由()41614161141x y x y x y ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭结合基本不等式求出4161x y ++的最小值，进而得2359m m -+<，再解一元二次不等式即可.【详解】由题意知，()()161416141614141614141x y x y x y x y x y +⎡⎤⎛⎫+=+++=+++⎢⎥⎪+++⎝⎭⎣⎦12094⎡≥+=⎢⎢⎣，当且仅当()16141x y x y +=+，即18,33x y ==时取等，又不等式2416351m m x y +>-++恒成立，则不等式2359m m -+<，即 ()()410m m -+<，解得14-<<m .故选：C.6. 已知函数{}max a a b a cy a b c b b a b c c c a c b ≥≥⎧⎪==≥≥⎨⎪≥≥⎩，，，，，，，，，设(){}2max ,1,3f x x x x =-，则()f x 的最小值为（ ）A. 1B.C. 9D.34【答案】D 【解析】【分析】根据题意，在同一个直角坐标系中画出三个函数的图象，结合最大值的含义可直接得出最小值.【详解】在同一直角坐标系中作出函数2y x =,1y x =-,3y x =，根据题意可得函数(){}2max ,1,3f x x x x =-为图中黑线表示部分，根据图像可得，点A 为函数2y x =与()1,1y x x =-<的交点，所以21x x =-解得x =，故点A的横坐标为，点B 为函数3y x =与()1,1y x x =-<的交点，所以31x x =-，解得14x =，故点B 的横坐标为14，点C 为函数2y x =与()3,1y x x =>的交点，所以23x x =，得3x =，故点C 的横坐标为3，所以函数()23141334x x f x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩,由图像可知，当14x =时，函数()f x 有最小值为34.故选：D.7. 已知函数()()()cos sin f x x f x ==，[]π,π-内解的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.4【答案】D 【解析】【分析】依题意，得si n 或66x ππ=-，再结合图象进行判断.【详解】解：依题意，得()cos si n x=，因为[],x ππ∈-，所以[]sin 1,1x ∈-，得si n 或66x ππ=-，因为[],x ππ∈-，结合图象：有四个不同的交点.故选：D8. 已知函数1(=1)()ln 1(1)x f x x x ⎧⎪=⎨-≠⎪⎩， 若方程2()+()0f x af x b +=有九个不同实根，则ab 的取值范围是（ ）A. (,2)(2,0)-∞--B. (,1)(1,)-∞--+∞C. 1(,]4-∞ D. (2,)-+∞【答案】A 【解析】【分析】画出()f x 的函数图象，根据图形可得本题等价于()2g t t at b =++在()0,∞+有两个零点，其中1个零点为1，则可列出不等式组()()21104000g a b a b g b ⎧=++=⎪∆=->⎨⎪=>⎩求出a 的范围，进而求出结果.【详解】画出()f x 的函数图象如下，由图可知，若方程2()+()0f x af x b +=有九个不同实根，则()=1f x 或()=f x t ，其中01t <<或1t >，令()2g t t at b =++，则()g t 在()0,∞+有两个零点，其中1个零点为1，则()()21104000g a b a b g b ⎧=++=⎪∆=->⎨⎪=>⎩，解得1a <-且2a ≠-，()211124ab a a a ⎛⎫∴=--=-++ ⎪⎝⎭，0ab ∴<且2ab ≠-，故ab 的取值范围是(,2)(2,0)-∞-- .故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的关系，根据方程解的个数求参数范围，解决本题的关键是画出函数()f x 的图象，根据图象可知要使方程有9个根，等价于()2g t t at b =++在()0,∞+有两个零点，其中1个零点为1，再根据二次函数的性质进行解决.解决函数与方程的问题常用数形结合的方法，因此画函数图象、分析图形能力是必备能力.二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，每个小题至少有两个正确选项，漏选得2分，错选或多选得0分.9. 下列条件中，其中p 是q 的充分不必要条件的是（ ）A. :1,1p a b ≥≥；:2q a b +≥B. :tan 1p α=；π:π(Z)4q k k α=+∈C. :1p x >；():ln e 11xq +>D. 2:1p a <；q ：函数()()222f x x a x a =+--在()0,1上有零点【答案】AC 【解析】【分析】由不等式的性质判断选项A ，由正切函数的特点判断选项B ，由对数复合函数的性质判断选项C ，由二次函数的特点判断选项D ．【详解】对于A ，由1,1a b ≥≥，显然可得2a b +≥，反之不成立，故正确；对于B ，tan 1α=是ππ(Z)4k k α=+∈充要条件，不正确；对于C ，∵1x >，∴e e x >，e 1e x +>，()ln e 11x+>，反之不成立，正确；对于D ，当10a -<<时，()()()()2222f x x a x a x a x =+--=-+在()0,1上没有零点，D 不正确．故选：AC10. 设函数()2sin cos x x f x x =+- ）A. ()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B. 若()()122f x f x -=，则12minx x π-=C. 把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到一个偶函数的图象D. 在()0,2π内使()12f x =的所有x 的和为133π【答案】ACD 【解析】【分析】对原函数使用辅助角公式.对于A 选项，根据对称中心的定义即可；对于B 选项，()1f x 和()2f x 一个为函数()f x 的最大值，一个为最小值即可求解；对于C 选项，求出()g x ，根据偶函数的定义即可；对于D 选项，令23t x π=+，求出1sin 2t =在13,33t ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭的根即可.【详解】()1sin 2sin 223f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．A ：当3x π=时，()0f x =，经检验,03π⎛⎫⎪⎝⎭是它的一个对称中心，故A 正确；B ：若()()122f x f x -=，则()1f x 和()2f x 一个为函数()f x 最大值，一个为最小值，∴12min22T x x π-==，故B 错误；C ：()f x 的图象向左平移12π个单位长度得到()cos 2g x x =，()g x 为偶函数，故C 正确；令23t x π=+，∵()0,2x π∈，∴13,33t ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1sin 2t =在13,33t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的根分别为：156t π=，2136t π=，3176t π=，4256t π=，则有14x π=，21112x π=，354x π=，42312x π=，在()0,2π内使()12f x =的所有x 的和为：1234313x x x x π+++=，故D 正确．故选：ACD ．11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[]2.33-=-，[]3.23=，下列命题正确的是（ ）A. [][][]xy x y =B. [][][]x y x y +=+C. [][]11x x +=+D. [][]1+22x x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦【答案】CD的的【解析】【分析】令 1.5, 1.5x y ==，可判定A 、B 不正确；设x n r =+，其中n 为x 的整数部分，r 为小数部分，结合“高斯函数”，可判定C 、D 正确.【详解】对于A 中，例如[][]1.5 1.5 2.252⨯==，[][]1.5 1.5111=⨯=，所以不正确；对于B 中，例如[][][][]1.5 1.533,1.5 1.52+==+=，所以不正确；设x n r =+，其中n 为x 的整数部分，r 为小数部分，即[]x n =，对于C 中，[][][][]111,111x n r n x n r n +=++=++=++=+，所以是正确；对于D 中，[][]11+22x x n r n r ⎡⎤⎡⎤+=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，若102r ≤<，可得[]1+22x x n ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[][]2222x n r n =+=；若112r <<，可得[]1+212x x n ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，[][]22221x n r n =+=+，所以D 是正确的.故选：CD.【点睛】对于函数的新定义试题的求解：1、根据函数的定义，可通过举出反例，说明不正确；2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义进行推理、论证求解.12. 已知0x 是函数()e 2x f x x =+-的零点（其中e 2.71828= 为自然对数的底数），下列说法正确的是（ ）A. 01(0,)2x ∈ B. 00)n(2l x x -=C. 00e0x x --< D. 020ex x ->【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件确定0x 所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】函数()e 2x f x x =+-在R 上单调递增，()00e 210f =-=-<，的12113(e 20222f =+-=>，而0x 是方程()e 2xf x x =+-的零点，因此01(0,)2x ∈，A 正确；由()00f x =得：002e xx -=，两边取对数得：00)n(2l x x -=，B 正确；因0102x <<，且e xy x -=-在1(0,2上单调递增,则001e 02x x --<<，C 正确；当0102x <<，021x ->，则02001xx x -<<， D 错误.故选：ABC三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】【解析】【分析】根据同角的基本关系可得cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭弦的二倍角公式，可得sin 2=6πα⎛⎫-± ⎪⎝⎭cos 2cos 2sin 26626ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由此即可求出结果.【详解】因为sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =666πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=632626ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：14. 写出一个符合下列要求的函数：______________________｡①()f x 的值域为R ②()1f x +为偶函数【答案】()ln 1f x x =-（答案不唯一）【解析】【分析】由函数的值域以及奇偶性直接能得到答案.【详解】()ln 1f x x =-时，(1)ln f x x +=，满足()f x 值域为R ，且(1)f x +为偶函数，故答案为：()ln 1f x x =-（答案不唯一）.15. 函数()1f x x =-与函数()()5π2cos 12g x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的图象所有交点的横坐标之和为______．【答案】10【解析】【分析】判断函数()f x 的性质与最小值，判断函数()g x 的性质，作出函数()f x 与()g x 的大致图象，判断两个图象在()1,∞+上的交点情况，根据对称性得结果.【详解】因为()()2211f x x x f x -=--=-=，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()f x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()f x 的最小值为()10f =．()()5π5π5π5π2cos 12cos 2sin 2222g x x x x⎡⎤⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以函数()g x 的图象关于直线1x =对称，且()g x 的最大值为2．由于()f x 的图象和()g x 的图象都关于直线1x =对称，所以先考虑两个图象在()1,∞+上的情形，易知()g x 在71,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在79,55⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在911,55⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1113,55⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在13,35⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．易知1313812555f ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，()3312f =-=，所以可作出函数()f x 与()g x 的大致图象如图所示，所以()f x 的图象和()g x 的图象在()1,∞+上有5个交点．根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线1x =对称，因此所有交点的横坐标之和为2510⨯=．故答案为:10.16. 函数()()2ln e 1x f x x+=在区间][e,11,e ⎡⎤--⎣⎦U 上的最大值与最小值之和为()0,0a b a b +>>，则13a b+的最小值为______．2+##2【解析】【分析】将解析式变形为()()ln e e 1x xf x x-+=+，令()()ln ee xx g x x-+=，利用奇偶性即可得2a b +=，然后妙用“1”求解即可.【详解】()()()()2ln e 1ln e ee ln eln e e x xxxxx xf x xxx--++++===()()ln e e ln ee 1x xxx x xx--+++==+，令()()ln e e x xg x x-+=，][e,11,e x ⎡⎤∈--⋃⎣⎦，因为定义域关于原点对称，且()()()ln e e x xg x g x x-+-==--，所以()g x 为奇函数，所以()g x 在区间[][]e,11,e --⋃上的最大值与最小值之和为0，则函数()f x 在区间[][]e,11,e --⋃上的最大值与最小值之和为2，即2a b +=．又0a >，0b >，所以()13113131342222b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1222≥+⨯=+，当且仅当3b aa b=，2a b +=，即1a =，3b =2【点睛】难点点睛：本题难点在于对函数解析式的变形，然后根据奇偶性得到2a b +=，从而利用“1”的妙用得解.四、解答题：本题共6个小题，其中第17题10，第18到22题每题12分，共及70分17. （1）计算：()6230log 7862lg5sin1lg427⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭（2）已知226x x -+=，求33x x -+的值.【答案】（1）769；（2）±.【解析】【分析】(1)利用对数运算性质求解；(2)先求出1x x -+=±，再利用()()331221xx x x x x ---+=++-求解.【详解】（1）解：原式()2262lg5lg23⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭476899=+=；（2）因为226x x -+=，所以()212228xxx x --+=++=，所以1x x -+=±，所以()()3312215xx x x x x ---+=++-=±=±18. 如图，已知单位圆O 与x 轴正半轴交于点M ，点,A B 在单位圆上，其中点A 在第一象限，且π2AOB ∠=，记,MOA MOB αβ∠=∠=.（1）若π3α=，求点,A B 的坐标；（2）若点A 的坐标为4,5m ⎛⎫⎪⎝⎭，求sin sin αβ-的值.【答案】（1）A ，B 两点坐标分别为11,22⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）15-【解析】【分析】（1）直接利用三角函数的定义求解点的坐标即可；（2）根据A 的坐标求出sin α=，利用角的关系及特殊角的函数值求解1sin 2β=，从而得解.【小问1详解】因为π3α=，所以1cos 2α=，sin α=，所以点A坐标为12⎛ ⎝，因为π5π26βα=+=，所以cos β=，1sin 2β=，所以点B坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以A ，B两点坐标分别为11,22⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】由A 点在单位圆上，得22415m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又点A 位于第一象限，则35m =，所以点A 的坐标为43,55⎛⎫⎪⎝⎭，即3sin 5α=，4cos 5α=，所以π4sin sin cos 25βαα⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以1sin sin 5αβ-=-.19. 湖南株洲市某高科技企业决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台，需要另投入成本()h x （万元），当年产量小于60台时，()220=+h x x x （万元）；当年产量不少于60台时()98001022080=+-h x x x（万元）.若每台设备的售价为100万元，通过市场分析，假设该企业生产的电子设备能全部售.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式？（2）年产量为多少台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大？【答案】（1）280500,060490015802,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）年产量为70台时，最大获得1300万元.【解析】【分析】（1）根据条件，利润y 等于设备的售价减去投入成本()h x 再减去年固定成本即可求解；（2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大的即可求解.【详解】（1）由题意可得：060x <<时，()221002050080500y x x x x x =-+-=-+-，当60x ≥时，98001022080490010050015802x y x x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭所以年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式为：280500,060490015802,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，（2）由（1）得060x <<时，280500y x x =-+-，开口向下的抛物线，对称轴为40x =，此时40x =时，2max 4080405001100y =-+⨯-=万元，当60x ≥时，4900158021580158022701300y x x ⎛⎫=-+≤-=-⨯⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当4900x x=即70x =时等号成立，max 1300y =，综上所述：年产量为70台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是读懂题意得出年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式，对于分段函数求最值要分段来求.20.设函数23()cos 3sin 2f x x x x =+-.（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,44ππ-上的值域.【答案】（1）511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈；（2）3[2-.【解析】【分析】（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调区间求解．（2）由图象变换得出()g x ，由整体法可求值域．【详解】解：（1）()23()22sin 12f x x x =+-=32cos22x x -23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭因为：3222232k x k πππππ+≤-≤+5111212k x k πππ⇔+≤≤+.所以函数的单调递减区间是511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈（2）由题可知， ()4312g x x x πππ=+-=-.因为1344x ππ-≤≤⇔123123x πππ-≤-≤，所以sin(112x π≤-≤.故()g x 在3[,]44ππ-上的值域为3[2-.【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解．如果求函数值域，则可由x 的范围求出x ωϕ+的范围，然后由正弦函数性质得值域．21. 已知函数()1333x x af x +-=+是奇函数.（1）求a 的值，判断()f x 的单调性（不必证明）｡（2）解不等式：()2log 20f x +≤.【答案】21. 1a =,()f x 是R 上的递增函数 22. []33log 7,0)(0,log 7-⋃【解析】【分析】（1）根据函数为R 上的奇函数，利用(0)0f =求得a 的值，再进行检验，利用单调性定义可得函数的单调性；（2）利用对数函数单调性将题设不等式化成()104f x <≤，再运用不等式的性质化简，最后利用指数函数的单调性即可求得.【小问1详解】由已知得函数()f x 的定义域是R ，由函数()1333x x af x +-=+是奇函数可得：()00130033af +-==+解得1a =，即()()1313133331x x x x f x +--==++，此时()()()()3113331313x x x xf x f x -----===-++ ，故()()1313133331x x x x f x +--==++为奇函数.()()13131121333331331x x x x xf x +--===-⋅+++，由此可判断出()f x 是R 上的增函数.理由如下：12x x ∀<，1212121121))333133()()(31(x x f x f x -⋅--⋅++=-21211()33131x x =-++12122333(31)(31)x x x x -=++，因12x x <，所以12330x x -<，12(31)(31)0x x++>，故12()()f x f x <，即()f x 是R 上的增函数.【小问2详解】由()2log 20f x +≤得()2log 2f x ≤-，所以()104f x <≤即：1211033314x <-⋅≤+或1121043331x-≤-⋅<+ 所以1172318x <≤+或1118312x≤<+所以1317x ≤<或137x <≤所以3log 70x -≤<或30log 7x <≤故不等式()2log 20f x +≤的解集为[]33log 7,0)(0,log 7-⋃.22. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数()y f x =，如果对于其定义域D 中任意给定的实数x ，都有x D -∈，并且()()1f x f x ⋅-=，就称函数()y f x =为“倒函数”.（1）已知()10xf x =，()22xg x x-=+，判断()y f x =和()y g x =是不是倒函数，并说明理由；（2）若()f x 是定义在R 上的倒函数，当0x ≤时，()413x f x x-=+，方程()2023f x =是否有整数解？并说明理由；（3）若()f x 是定义在R 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R 上单调递增.记()()()21f x F x f x ⎡⎤-⎣⎦=，证明：120x x +>是()()120F x F x +>的充要条件.【答案】（1）函数()f x 为倒函数，函数()g x 不是倒函数，理由见解析； （2）方程()2023f x =没有整数解，理由见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数()f x 、()g x ，可得出结论；（2）分析可知当0x <时，()()0,1f x ∈，则方程()2023f x =若存在整数解0x ，则00x >，构造函数()()2023h x f x =-，利用零点存在定理可得出结论；（3）推导出函数()F x 的奇偶性、单调性，再利用函数()F x 的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件的定义证明可得结论.【小问1详解】函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ∈R ，()()10101xxf x f x -⋅-=⋅=，所以，函数()f x 为倒函数，函数()22xg x x-=+的定义域为{}2x x ≠-，该函数的定义域不关于原点对称，故函数()g x 不是倒函数；【小问2详解】当0x >时，则0x -<，由倒函数的定义可得()()413x f x x f x ==+-，由()01f =满足倒函数的定义，当0x >时，函数3x y =、4y x =均为增函数，故函数()f x 在()0,∞+上为增函数，当0x >时，31x>，40x >，()1f x >，当0x <时，()()()10,1f x f x =∈-，若函数()2023f x =有整数解0x ，则()00,x ∈+∞，设()()2023h x f x =-，则函数()h x 在()0,∞+上单调递增，因为()5453520230h =+-<，()6463620230h =+->，故方程()2023f x =无整数解，【小问3详解】因为函数()y f x =是R 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R 上是严格增函数，所以，()()()()()()()211f x F x f x f x f x f x f x ⎡⎤-⎣⎦==-=--，任取m 、n ∈R 且m n >，则m <n --，所以，()()f m f n >，()()f n f m ->-，所以，()()()()()()F m F n f m f m f n f n -=-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()0f m f n f n f m =-+--->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以，函数()F x 为R 上的增函数，因为()()()()F x f x f x F x -=--=-，故函数()F x 为R 上的奇函数.当120x x +>时，即12x x >-，则()()()122F x F x F x >-=-，所以，()()120F x F x +>，即“120x x +>”⇒“()()120F x F x +>”；若()()120F x F x +>，则()()()122F x F x F x >-=-，所以，12x x >-，即120x x +>.所以，“120x x +>”⇐“()()120F x F x +>”.因此，120x x +>是()()120F x F x +>的充要条件.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
广东省深圳市高一上学期期末数学试卷
广东省深圳市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列函数是偶函数，且在上单调递减的是（）A .B .C .D .2. （2分）不等式的解集记为P，关于x的不等式的解集记为q，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A . (-2,-1]B .C .D .3. （2分） (2016高二下·武汉期中) 若复数z= + ，则|z|的值为（）A .B .C .D . 24. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 设a，b是两条不同直线，下列命题α，β，γ是三个不同平面，下列命题不正确的是（）A . b⊂α，a∥b⇒a∥αB . a∥α，α∩β=b，a⊂β⇒a∥bC . a⊂α，b⊂α，a∩b=p，a∥β，b∥β⇒α∥βD . α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b5. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 设a=log30.3，b=20.3 ， c=0.32则（）A . c＞b＞aB . c＞a＞bC . b＞c＞aD . b＞a＞c6. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 的值等于（）A .B . 10C .D .7. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 设2a=5b=10，则 + =（）A . ﹣1B . 1C . 2D . 58. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 函数f（x）=log3x+x﹣3的零点一定在区间（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，4）9. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 已知三点A（3，5），B（x，7），C（﹣1，﹣3）在同一直线上，则x=（）A . 2B . ﹣2C . ﹣4D . 410. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）A . 6B .C .D .11. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 如图，三棱锥V﹣ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2 ，VC=1则二面角V﹣AB﹣C的平面角的度数为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°12. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 棱长为1的正四面体的外接球的半径为（）A .B .C . 1D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·重庆期中) 已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（1）+f（﹣1）=________．14. （1分） (2015高一上·腾冲期末) 已知直线L斜率为﹣3，在y轴上的截距为7，则直线l的方程为________．15. （1分） (2015高一上·腾冲期末) 已知直线l过点P（0，﹣2），且与以A（1，﹣1）B（2，﹣4）为端点的线段AB总有公共点，求直线l倾斜角的取值范围________．16. （1分） (2015高一上·腾冲期末) 已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：（k﹣3）x﹣y+1=0平行，则k的值是________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2015高三上·天津期末) 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn ，向量 =（Sn ，an+1）， =（an+1，4）（n∈N*），且∥（1）求{an}的通项公式（2）设f（n）= bn=f（2n+4），求数列{bn}的前n项和Tn ．18. （10分）(2020·天津模拟) 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）已短直线与椭交于A、B两点，点P的坐标为，且 ,求实数m的值.19. （10分） (2019高二下·湖州期末) 已知，为抛物线上的相异两点，且.（1）若直线过，求的值；（2）若直线的垂直平分线交x轴与点P，求面积的最大值.20. （10分） (2018·孝义模拟) 如图，三棱柱中，，平面 .（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值.21. （15分） (2015高一上·腾冲期末) 已知（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明你的结论；（3）求使f（x）＞0的x的取值范围．22. （10分） (2015高一上·腾冲期末) 某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）= 其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
广东省深圳市高一上学期数学期末考试试卷
广东省深圳市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1 ， DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（）A .B . 1C .D .2. （2分）(2018·遵义模拟) 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（）A .B .C .D .3. （2分）直线l1过点A(3，1)，B(-3，4)，直线l2过点C(1，3)，D(-1，4)，则直线l1与l2的位置关系为（）A . 平行B . 重合C . 垂直D . 无法判断4. （2分） (2018高一上·南宁月考) 一次函数与的图象的交点组成的集合为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一上·唐山月考) 函数的定义域为（）A .B .C .D .6. （2分）下列命题中，正确的是（）A . 经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B . 经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C . 经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D . 经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面7. （2分）两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系是（）A . 一定是异面直线B . 一定是相交直线C . 可能是平行直线D . 可能是异面直线，也可能是相交直线8. （2分）已知直线交抛物线于、两点，则（）A . 为直角三角形B . 为锐角三角形C . 为钝角三角形D . 前三种形状都有可能9. （2分） (2020高三上·天津期末) 直线与圆相交于、，则弦的长度为（）A .B .C . 2D . 410. （2分）(2017·鄂尔多斯模拟) 设有两条直线m，n和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题：①α∩β=m，n∥m⇒n∥α，n∥β；②α⊥β，m⊥β，m⊄α⇒m∥α；③α∥β，m⊂α⇒m∥β；④α⊥β，α⊥γ⇒β∥γ其中正确命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分）在空间直角坐标系中，x轴上到点P(4,1,2)的距离为的点共有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 无数个12. （2分） (2018高二上·重庆期中) 已知球的表面积为，则该球的体积为A .B .C .D .13. （2分）已知f′（x）是f（x）的导函数，在区间[0，+∞）上f′（x）＞0，且偶函数f（x）满足，则x的取值范围是（）A .B .C .D .14. （2分） (2018高一上·大连期末) 倾斜角为，在y轴上的截距为-1的直线方程是（）A .B .C .D .15. （2分） (2015高三上·廊坊期末) 若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A . 28B . 32C .D . 24二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2017高一下·石家庄期末) 已知直线l的斜率为2，且在y轴上的截距为1，则直线l的方程为________．17. （1分）圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为________ .18. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知两圆和相交于两点，则直线的方程是________．19. （1分）有下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l ， m是异面直线，l∥α ，m∥β ，则α∥β.其中错误命题的序号为________．20. （1分）已知点，点，那么两点间的距离为________.三、解答题 (共5题；共24分)21. （2分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：（1） E、C、D1、F、四点共面；（2） CE、D1F、DA三线共点．22. （10分）求与x轴相切，圆心在直线3x﹣y=0上，且被直线x﹣y=0截得的弦长为2 的圆的方程．23. （5分） (2017高一下·孝感期末) 已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上，且x轴，y轴被圆C截得的弦长分别为2 ，4 ，若圆心C位于第四象限（1）求圆C的方程；（2）设x轴被圆C截得的弦AB的中心为N，动点P在圆C内且P的坐标满足关系式（x﹣1）2﹣y2= ，求的取值范围．24. （2分） (2018高二下·双流期末) 在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.25. （5分）(2016·兰州模拟) 在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r= ．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、答案：略7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共24分)21-1、21-2、答案：略22-1、23-1、23-2、24-1、答案：略24-2、答案：略25-1、答案：略25-2、答案：略第11 页共11 页。
广东省深圳市龙岗区2022-2023学年第一学期高一期末质量监测数学试题及答案
龙岗区2022-2023学年第一学期高一期末质量监测数学试卷（答案在最后）注意事项：1．本试卷共5页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区。
请保持条形码整洁、不污损。
3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效。
答题卡必须保持清洁，不能折叠。
4．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内。
5．考试结束，请将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题：“30,0x x x ∀≥+≥”的否定是 A ．30,0x x x ∀<+<B ．30,0x x x ∀<+≥C ．30,0x x x ∃≥+<D ．30,0x x x ∃≥+≥ 2．= 240sin A ．12B ．12-C 3D ．32-3．集合}2873|{x x x A -<-=，N 是自然数集，则=A N A ．[3,)+∞B ．(,3]-∞C ．{0,1,2,3}D ．{0,1,2}4．设R x ∈，则0342<+-x x 是”“273<x 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．当1a >时，在同一平面直角坐标系中，1()x y a=与log ()a y x =-的图象是A ．B ．C ．D ．6．将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是 A ．12x π=B ．6x π=-C ．3x π=-D ．12x π=-7．设实数x 满足0>x ，函数1432+++=x x y 的最小值为 A ．431-B ．432+C ．421+D ．68．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）0.2毫克/毫升，小于0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上6点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早（ ）点（结果取整数）开车才不构成酒驾．（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈）. A ．7 B ．8C ．9D ．10二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．若011<<ba ，则下列不等式正确的是 A ．||||b a > B ．b a < C ．ab b a <+ D ．33b a >10．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤=.1,)2(,10,)(221x x x x x f ，则以下结论正确的是A ．1)3(=fB ．函数()f x 是定义域上的增函数C ．函数)(x f 有2个零点D ．方程x x f =)(有两个实数解 11．函数)0)(sin()(>=ωωx x f ，在区间]3,4[ππ上单调递增，则ω的取值可能为 A ．6 B ．4 C ．32D ．1212．已知函数()2()lg f x x ax a =+-，下列说法中正确的是 A ．若()f x 的定义域为R ，则40a -≤≤ B ．若()f x 的值域为R ，则4a ≤-或0a ≥ C ．若2a =，则()f x 的单调减区间为()1-∞-， D ．若()f x 在()21--，上单调递减，则12a ≤ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若扇形的面积为9，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为________.14．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数, 当0≥x 时，12)(-+=x x f x，则)41(log 2f 的值为_______. 15．34tan -=α，则=ααcos sin ________． 16．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()()2x x R f x =-∈，()()10g x x x=>，若函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线3y x b =-+，则实数b 的取值范围是______． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）设U R =，已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-. （1）当4m =时，求()U C A B ⋃；（2）若A B B ⊆Φ≠,，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）函数6()31xf x x -=-的定义域为A . （1）求A ；（2）若函数1)(2+-=ax x x g 在A 上是单调函数，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分12分）已知函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，其中)(x f 的图像与x轴的一个交点的横坐标为12π-. （1）求这个函数的解析式，并写出它的递增区间； （2）求函数)(x f 在区间]12,2[ππ-上的最大值和最小值．20．（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数)(131)(R a a x f x∈-+=为奇函数. （1）求a 的值，试判断()f x 的单调性，并用定义证明； （2）若)3()12(+<-x f x f ，求x 的取值范围.21．（本小题满分12分）深圳市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为()p t . （1）求)(t p 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为602656)(8)(--=tt p t Q （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.22．（本小题满分12分）已知常数R a ∈，函数)21(log )(2a x f x+=. （1）当1a =时，求不等式()1f x ≤的解集（用区间表示）； （2）若函数()2y f x x =+有两个零点，求a 的取值范围；（3）设0>a ，若对任意]0,1[-∈t ，函数)(x f 在区间]1,[+t t 上的最大值与最小值的和 不大于6log 2，求a 的取值范围.龙岗区2022-2023学年第一学期高一期末质量监测数学答案一、单项选择题（每小题5分，共40分）：1-5 CDDAB 6-8 BAD二、多项选择题（每小题5分，共20分。
广东省深圳市高一上学期数学期末考试试卷
第 1 页 共 7 页 广东省深圳市高一上学期数学期末考试试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、 单选题 (共8题；共8分) 1. （1分） (2016高一下·宜春期中) 化简sin（ ﹣α）等于（ ） A . cosα B . sinα C . ﹣cosα D . ﹣sinα
2. （1分） 已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足 ， 若 ， 则（ ）
A . B . C . D . 3. （1分） (2019高一上·宾县月考) 已知 ， ，若 为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A . B .
C . 或 D . 第 2 页 共 7 页
4. （1分） 如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为 （ ） A . B . C .
D . 5. （1分） (2018高一上·新宁月考) 函数y=2cosx-1的最大值、最小值分别是（ ） A . 2,-2 B . 1,-3 C . 1,-1 D . 2,-1
6. （1分） (2016高一下·海珠期末) 已知| |=2，| |=4，且 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影是（ ）
A . B . ﹣2 C . 2 D . ﹣ 7. （1分） 若∀k∈R，恒成立，则△ABC的形状一定是（ ） A . 锐角三角形 B . 直角三角形 C . 钝角三角形 第 3 页 共 7 页
D . 不能确定 8. （1分） 函数y=cos2x的图象的一条对称轴方程是（ ）
A . x= B . x= C . x=- D . x=- 二、 填空题 (共6题；共6分) 9. （1分） (2016高一下·岳阳期末) 已知向量 ， ， ．若λ为实数，（ ） ，则λ=________．
10. （1分） (2017高一上·泰州期末) 函数 的最小正周期为________ ． 11. （1分） 在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记 、 分别为 ， ，则 =________（用 ， 表示）
高中数学 2022-2023学年广东省深圳高一(上)期末数学试卷
2022-2023学年广东省深圳大学附属实验中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）A ．2B ．1C ．0D ．-11．（5分）设a ∈R ，若（a -i ）2i （i 为虚数单位）为正实数，则a =（ ）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）设集合M ={x ||x -1|<2}，N ={x |x （x -3）<0}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的（ ）A ．15πB ．18πC ．21πD ．24π3．（5分）如图，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为3的圆（包括圆心）．则该组合体的表面积（各个面的面积的和）等于（ ）√A ．π2 0(sinx −cosx )dxB ．2π4 0(sinx −cosx )dxC ．π2 0(cosx −sinx )dxD ．2π4 0(cosx −sinx )dx4．（5分）曲线y =sinx ,y =cosx 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积为（ ）∫∫∫∫A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 15．（5分）已知函数f （x ）=x +2x ，g （x ）=x +lnx ,h (x )=x −x −1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（ ）√A ．（-∞，-2）B ．（-∞，-1）C ．（1，+∞）D ．（2，+∞）6．（5分）若曲线C ：x 2+y 2+2ax -4ay +5a 2-4=0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为（ ）二、填空题（共7小题，每小题5分，满分30分）A ．μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3B ．μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3C ．μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3D ．μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ37．（5分）已知三个正态分布密度函数Φi （x ）=12πσie−(x −μi )22σ2i(x ∈R ，i =1，2，3)的图象如图所示的图象如图所示，则（ ）√A ．48B ．96C ．144D ．1928．（5分）设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i 的左边且比a i 小的数的个数称为a i 的顺序数（i =1，2，…，n ）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（ ）9．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=81，则a 2+a 5+a 8=．10．（5分）已知（1+2x ）4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则a 1-2a 2+3a 3-4a 4=．11．（5分）若双曲线x 2m−y 23=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则m =．12．（5分）若不等式|x +1|+|x -3|≥a +4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是．13．（5分）图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入m =2010，n =1541，则输出m =．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）三、解答题（共6小题，满分80分）14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为V W X x =2t −1y =4−2t .（参数t ∈R ），以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，则圆心C 到直线l 的距离为．15．如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于B ，C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，若PA =23，∠APB =30°，则AE =．√16．（12分）已知函数f (x )=2sin (ωx −π6)sin (ωx +π3)（其中ω为正常数，x ∈R ）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC 中，若A <B ，且f (A )=f (B )=12，求BC AB．17．（12分）如图，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，∠BAC =∠ACD =90°，∠EAC =60°，AB =AC =AE ．（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得DP ∥平面EAB ？请证明你的结论；（2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角θ的余弦值．18．（14分）已知f （x ）是二次函数，f ′（x ）是它的导函数，且对任意的x ∈R ，f ′（x ）=f （x +1）+x 2恒成立．（1）求f （x ）的解析表达式；（2）设t >0，曲线C ：y =f （x ）在点P （t ,f （t ））处的切线为l ,l 与坐标轴围成的三角形面积为S （t ）．求S （t ）的最小值．19．（14分）某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115．（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；（2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？（参考数据：lg 2=0.3010，lg 3=0.4771）20．（14分）已知A 、B 分别是直线y =33x 和y =−33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点Q （1，0）任意作直线l （与x 轴不垂直），设l 与（1）中轨迹C 交于M 、N ，与y 轴交于R 点．若RM =λMQ ，RN =μNQ ，证明：λ+μ 为定值．√√√→→→→。