二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
人教版九年级数学上册22、1、3二次函数y=a(x-h)2 k的图像和性质 教案
二次函数y＝ax2＋k的图像性质教学设计【教学目标】知识与能力: 1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象,掌握它的图象特征，并会总结它的性质。
2、理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的的图像和性质的异同，能用平移的方法解决图象间关系。
过程与方法：经历操作、研究、归纳和总结二次函数y＝ax2＋k的图像性质及它与函数y＝ax2的关系，让学生进一步体尝试去发现二次函数的图象特征；体会其性质；渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点和数形结合的数学思想，培养观察能力和分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：1、培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。
2、通过细心画图，培养学生严谨细致的学习态度。
【教学重难点】教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k 的图象性质。
教学难点：理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的之间的位置关系【教法学法分析】数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。
为此设计了4个环节：（一）复习回顾——引入新课；（二）自主探究，合作交流——发现规律；（三）当堂训练——检查自我。
（四）课堂小结——深化巩固；这四个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动了学生的参与性。
【教学过程】（一）复习回顾，引入新课回顾二次函数y＝ax2的图象和性质设计意图：此环节通过对前一节所学内容的复习，让学生回忆如何根据函数关系式的特征，判定函数y=ax2的图像特征，为进一步探索y=ax2+k的图像特征作铺垫，从而引入本节新课。
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质说课稿
第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质说课稿各位领导，各位老师：大家好，今天我说课的题目是二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质第二课时y=a(x-h) 2。
下面我将围绕“教什么”，“怎么教”，“为什么这样教”三个问题，从教材分析，教法学法分析，教学过程分析，教学评价分析和板书设计这五个方面进行分析说明。
一、教材分析1. 教材的地位和作用本课时是学生在学习二次函数y＝ax2的图象和性质的基础上，通过对其图象左右平移进一步研究二次函数的图象和性质，体现了从特殊到一般的数学思想．二次函数y＝a(x－h)2是一条顶点为(h，0)，对称轴为直线x＝h的抛物线，其开口方向由a的正负决定．在研究二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质时，要注意运用数形结合思想，同时要注意h的符号不要出错．这样不仅符合学生的认知规律，而且还使学生进一步体会了数形结合的思想方法，培养了学生的创造性思维的能力和动手实践能力，突出体现了辩证唯物主义观点。
所以本课的教学起着承上启下的作用。
2.教学目标：①知识与技能：使学生掌握二次函数y=a(x-h) 2的图象的作法及性质，进一步了解二次函数y=a(x-h)2 (h≠0)与二次函数y=ax2（a≠0）图象的位置关系；②过程与方法：通过引导学生作图、观察、分析进一步理解二次函数图象与性质；③情感态度价值观：向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点；进一步培养学生数形结合的思想和动手操作能力。
3.重点和难点：教学重点：掌握二次函数y=a(x-h) 2(h≠0)图象的作法和性质；教学难点：二次函数y=ax2的图象向二次函数y=a(x-h) 2(h≠0)的图象的转化过程。
二、教法学法分析根据《新课程标准》，本节课设计时体现“问题情境创设—建立数学模型—解释、应用—回顾、延伸”的教学理念。
特别在探究时通过学生动手操作和教师课件演示，让学生经历了知识的形成、发展与应用的过程，在教学过程中，鼓励学生自主探究与合作交流，引导学生观察、猜想、验证、推理与交流等数学活动。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(课件+教案+练习+反思)
课题：22.1.3二次函数k h x a y +-=2)(的图象教学目标：1、会用描点法画二次函数y=a(x-h)²+k 的图象，并通过图象认识函数的性质.2、能运用二次函数的知识解决简单的实际问题. 教学过程：重点：二次函数y=a(x-h)²+k 的性质.难点：把实际问题转化为数学问题.教学过程设计 一．复习导入1填表：抛物线 开口方向 对称轴顶点坐标+1-1二次函数y=ax²+k 对称轴为 __________，顶点坐标为 ____________ K>0时，y=ax² ___________ y=ax²+k K<0时，y=ax² ___________ y=ax²+k 2填表 抛物线开口方向 对称轴 定点坐标 y=2x ²y=2(x-1)².y=2(x+1)².二次函数y=ax²+k 对称轴为--------------顶点坐标为 -----------h<0时, y=ax² ----------- y=a(x-h)²--，25.0x y -=25.0x y -=25.0x y -=h>0时，y=ax² ------- ------y=a(x-h)²让学生复习已学习的知识，再学习新知识 ，达到新旧 知识的链接。
二．学习新知例题：画出函数 的图像，指出它的对称轴，开口方向，顶点坐标①列表②描点 ③连线x… … ……观察图象可得： 抛物线2)1(221+--=x y 的开口方向 ， 对称轴是 ， 顶点坐标是 ； 当 时，y 随x 的增大而增大，当 时，y 随x 的增大而减小．抛物线2)1(221+--=x y 可以看成是抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到．★你还有其他的平移方法吗？1)1(212-+-=x y 1)1(212-+-=x y学生画出图像，并讨论图像有什么特点： 归纳：1．抛物线k h x a y +-=2)(有如下特点： （1）当a >0时，开口 ，当a <0时，开口 ． （2）对称轴是直线 ．（3）顶点坐标是 ．2．一般地，抛物线k h x a y +-=2)(与2ax y =的形状 ，位置 ； 把抛物线 2ax y = 向 向 平移，可以得到抛物线k h x a y +-=2)(平移的方向、距离要根据 、 的值来决定 给学生时间让他们记住这些特点，并能运用这些特点去完成下列题目。
22.1 二次函数y =a(x-h)2+k 的图像和性质 教学设计
学科：数学年级：九_ _年级_上_册第22章单元（章）
课题
二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
备课人
审核人
授课人
段秋玲
课标解读与
教材分析
课标要求
1.会用描点法画出二次函数图象，能通过图像认识二次函数性质。
2.会确定二次函数的图象顶点，开口方向和对称轴。
3.通过实际问题的解决，让学生感受或体验数学的价值观。
（2）抛物线y=2(x－1)2怎样平移得到抛物线y=2(x－1)2＋2
（3）抛物线y=2(x－1)2＋2能否由抛物线y=2x2平移得到？如果可以，怎样平移？
（4）你能发现函数y=2(x－1)2＋2有哪些性质?
设计意图：让学生通过画图象，引起学生认知上的冲突，对出现的现象做进一步的思考和探索。由问题引导学生思考并解决问题，从易到难，遵循学生的认知规律。
活动2：（1）你能说出函数y=－ (x－1)2＋2的图象与函数y=－ x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
（2）通过刚才的学习经验，你能总结出抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2有怎样的关系？二次函数y=a(x-h)2+k又有怎样的性质？
师生活动：学生独立思考得出函数y＝－ (x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－ x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)
过程与方法：使学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
情感态度与价值观：使学生了解已知与位置、特殊与一般的辩证关系；使学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要。
y=a(x-h)2+k的图象和性质
平移方法2:
x=－1
1 2 1 2 向左平移 1 2向下平移 y ( x 1 ) 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1个单位
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
函数
y= 2（x-3）2+3
对 开口 称 方向 轴
向上 x=3
顶 点
(3,3)
最 值
3
增减性
x<3，递减； x>3，递增 x>-3，递减； x<-3，递增 x>-2，递减； x<-2，递增 x<-1，递减； x>-1，递增
(m, n) 。
y=a(x-h)2 +k(a≠0)
a>0
向上
பைடு நூலகம்
a<0
向下
开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
(h ,k) x=h
当x<h时， y随着x的增大而减小。 当x>h时， y随着x的增大而增大。
(h ,k)
x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
方向、顶点与对称轴、 解: 先列表
… -4 1 y ( x 1) 1 …-5.5 2 x
2
-3
-2
-1
0
1
2
华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
当点 B 与 O 重合时，－12m2＋4＝0， 解得 m＝2 2或 m＝－2 2， 当点 B 与点 D 重合时，如图②， 顶点 A 也与 B、D 重合，点 B 到达最高点， ∴点 B(0，4)，∴－12m2＋4＝4，解得 m＝0.
当抛物线从图②的位置继续向左平移 时，如图③，点 B 不在线段 OD 上， ∴B 点在线段 OD 上时，m 的取值范 围是 0≤m＜1 或 1＜m＜2 2.
(1)当m＝5时，求n的值；
解：当 m＝5 时，y＝－12(x－5)2＋4， 当 x＝1 时，n＝－12×42＋4＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2 时，自变量x的取值范围；
解：当 n＝2 时，将 C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝－12(x－m)2＋4，得 2＝－12(1－m)2＋4， 解得 m＝3 或 m＝－1(舍去)， ∴此时抛物线的对称轴为 x＝3， 根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 x＝5， ∴x 的取值范围为 1≤x≤5.
7 ∴tan ∠ABC＝OOCB＝37＝13.
12．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象先向左平移 2 个单位 长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y＝12(x ＋1)2－1 的图象．
(1)试确定 a、h、k 的值； 解：a＝12，h＝1，k＝－5.
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标．
【答案】①②④
10．【中考·舟山】二次函数 y＝－(x－1)2＋5，当 m≤x≤n 且
mn<0 时，y 的最小值为 2m，最大值为 2n，则 m＋n 的
值为( )
A．52
§2-4 二次函数y=ax2+bx+c的图象(1)y=a(x-h)2和y=a(x+h)2+k的图象和性质
驶向胜利 的彼岸
在同一坐标系中作出函数y=3x² ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象. 完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系?
x
y 3x 2
y 3x 1
2 2
-4
-3
27
-2
12 27 29
-1
3 12 14
0
0 3 5
1
1.抛物线y=a(xh)2的顶点是(h,0), 对称轴是平行于y y ax
X=h
2
4. a 越大,开口越小, a 越小,开口越大.
y a x h
2
3.当a>0时,在对称轴 (x=h)的左侧,y随着x的 增大而减小;在对称轴 (x=h)右侧,y随着x的增 大而增大;当x=h时函数 y的值最小(是0). 当a<0时,在对称轴(x=h) 的左侧,y随着x的增大而 增大;在对称轴(x=h)的 右侧,y随着x增大而减小; 当x=h时,函数y的值最 大(是0).
与y=3x2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
y 3x
2
y 3x 1
2
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
顶点坐标 是点(1,0).
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
对称轴仍是平行于y轴的直 开口向上,当 2类似. 线(x=1);增减性与y=3（x-1） X=1时有最小 值:且最小值=2. 顶点是(1,2).
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
20
解：存在．∵点B在x轴上，点C在y轴上， ∴当△BOC是等腰三角形时，只有BO＝CO. 由y＝－(x－m)2＋1＝0， 得x1＝m＋1，x2＝m－1. 又∵点B在点A右边，∴点B(m＋1，0)．
21
∴OB＝m＋1. 当x＝0时，y＝1－m2，∴C(0，1－m2)． 又∵图象开口向下，点C在x轴下方， ∴OC＝m2－1.∴m＋1＝m2－1. ∴m1＝2，m2＝－1(舍去)． ∴存在m的值使△BOC是等腰三角形，此时m＝2.返回
22
16．某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高
度为1 m的喷水管喷出的抛物线型水柱最大高度为
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12
11．(中考•常德)将抛物线y＝2x2向右平移3个单位长度， 再向下平移5个单位长度，得到的抛物线对应的函 数解析式为( A ) A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5 C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－5
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13
12．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2不动， 而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位长度， 那么在新坐标系下此抛物线的解析式是( D ) A. y＝3(x－3)2＋3 B. y＝3(x－3)2－3 C. y＝3(x＋3)2＋3 D. y＝3(x＋3)2－3
2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段
位于x轴的上方，则a的值为( A )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
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6
5．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且 经过点(0，1)的是( C ) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
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9
8．(中考•天津)已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
(2)画出(1)中平移后的图象；
23
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关 于新抛物线对称轴的对称点为C， 试在新抛物线的对称轴上找出一 点P，使BP＋CP的值最小，并求 出点P的坐标．
24
如图，连接BC.由(1)可知平移后抛
物线对应的函数解析式为:
y＝ 1 (x－3)2，
3
易知点B的坐标为(
相同点是( A )
A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最低点
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14
14．(中考•丽水)将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，
所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( D )
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向下平移1个单位长度
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15
题型 1 二次函数y＝a（x－h）2的图
象和性质在求解析式中应用
15．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝－2，且 过点(1，－3)．
(1)求此抛物线对应的函数解析式．
由题意知h＝－2，故y＝a(x＋2)2.因为此抛物线过点(1，－3)，
所以－3＝a•32.解得a＝－ 1 .
3
1
3 2
，
3 4
)，
点C的坐标为(6，3)，
25
所以此抛物线对应的函数解析式为y＝－ 3 (x＋2)2.
16
(2)画出此抛物线． (3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？
当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?
(2)图略．
(3)当x＜－2时，y随x的增大而增大；
当x＝－2时，函数有最大值．
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17
题型
3
二次函数y＝a（x－h）2的图象 和性质在求图形面积中应用
人教版初三数学上册二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质
4
当x=-1时，有最小值为-2，
2
当x<-1时，y随x的增大而减小
-4 -2 O 2 4
x
当x>-1时，y随x的增大而增大。
-2
抛物线y=a(x－h)2+k的图象与性质:
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当x<h时，
当x<h时,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
当x>h时，
当x>h时，
y1(x1)21 -2
2
-3
y
1 2
x2
向下平移 1个单位 y
1 2
x2
1
-4 -5 -6
向左平移 y1(x1)21
1个单位
2
-7
-8 -9
平移方法2:
-1x0=－1
y
1 2
x
2
向左平移 1个单位 y
12(x1)2向1个下单平位移
y1(x1)2 2
1
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
y=ax2 向|上k|(个下单)平位移y=ax2+k
向左(右)平移 |h|个单位
y=a(x－h)2+k
简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，
括号内左加右减.二次项系数a不变.
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同. 把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物 线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的 值来决定.