20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.6 对数及对数函数(原卷版)
高考数学一轮复习第二章函数2.6对数与对数函数市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
1
1
√2
知当 a>1 时不满足条件,当 0<a<1 时,f 2 <g 2 ,即 2<loga2,则 a> 2 ,
所以 a 的取值范围为
√2
,1
2
.
关闭
(1)C (2)B
解析
答案
16/28
-17考点1
考点2
考点3
思索应用对数型函数图象主要处理哪些问题?
解题心得应用对数型函数图象可求解问题:
(1)对一些可经过平移、对称变换作出其图象对数型函数,在求解
2 .6
对数与对数函数
1/28
-2知识梳理
考点自测
1.对数概念
(1)依据下列图提醒填写与对数相关概念:
指数 对数
幂
真数
底数
(2)a取值范围:
a>0,且a≠1
.
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-3知识梳理
考点自测
logaM+logaN
logaM-logaN
3/28
-4知识梳理
考点自测
4.对数函数图象与性质
函 y=loga x(a>0,且 a≠1)
递增.若实数a满足
≤2f(1),则a取值范围是(
)
2
2
1
所以 f(log2a)+f(log a)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),
2
1
关闭
1
A.[1,2]
B. 0,2a)≤2f(1),即
C. 2 ,2 f(log2a)≤f(1).
D.(0,2]
原不等式变为
2f(log
2
(2)已知函数
其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.
高考数学一轮专项复习ppt课件-对数函数(通用版)
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解：(1)由 f(－1)＝－3，得 log1 (4＋2a)＝－3.
2
所以 4＋2a＝8，所以 a＝2. 这时 f(x)＝log1 (x2－4x＋3)，
2
由 x2－4x＋3>0，得 x>3 或 x<1. 先求定义域，在定义域内思考复合函数的单调区间． 故函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 令 g(x)＝x2－4x＋3， 则 g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增． 又 y＝log1 x 在定义域上单调递减，
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函数与基本初等函数
对数函数
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复习要点 1.通过具体实例，了解对数函数的概念．能画出具体对数函数的图象，探 索并了解对数函数的单调性与特殊点.2.知道对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)互为反函数．
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解对数方程、不等式时需注意以下两个方面 (1)注意方程或不等式要有意义，即真数大于 0. (2)根据底数与 1 的大小关系得出对数函数的单调性，进而解不等式．
第26页
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对点练 3(1)设函数 f(x)＝211－－xl，ogx2≤x，1x，＞1， 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是(
3
3
或 log3(2x－5)<－log38＝log318，即 2x－5>8 或 0<2x－5<18，解得 x>123或52<x<4116.
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维度 3 探究对数型复合函数的单调性 典例 4 已知函数 f(x)＝log1 (x2－2ax＋3)．
高考数学一轮复习学案 第9讲 对数函数（原卷版）
第9讲 对数函数（原卷版）考点内容解读要求 常考题型 1．对数函数的图像和性质 理解对数函数的定义图象及性质 Ⅰ 选择题，填空题 2．对数函数的应用 对数函数性质的归纳与运用Ⅱ选择题，填空题1．对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，Na log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ②xN N a a x =⇔=log ；③ 注意对数的书写格式． 两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．对数函数的特征特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log7x 是对数函数，而函数y ＝－3log4x 和y ＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 3．对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①Ma (log ·=)N ；②=N M alog ；③ n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a na m log log =；（2）a b b a log 1log =．2．对数函数及其性质 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做 。
2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为 ，值域为 ．（2）图象：由于对数函数是指数函数的 ，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于 的对称图形，即可获得。
高考数学一轮复习 第二章 函数 2.6 对数与对数函数学案(文,含解析)新人教A版
学习资料2。
6 对数与对数函数必备知识预案自诊知识梳理 1。
对数的概念(1）根据下图的提示填写与对数有关的概念:（2)a 的取值范围 . 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a>0，且a ≠1,M>0，N>0，那么 ①log a （MN )= ； ②log a MN = ; ③log a M n = (n ∈R )。
（2)对数的性质:a log a N =N （a 〉0，且a ≠1,N>0）。
（3)对数换底公式:log a b=log c blog ca （a>0,且a ≠1;b 〉0;c>0,且c ≠1)。
3。
对数函数的图象与性质函数 y=log a x （a>0，且a ≠1） a 〉1 0〈a 〈1图象定义域:4。
反函数指数函数y=a x（a>0，且a≠1)与对数函数(a〉0,且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线对称。
1。
对数的性质(a〉0，且a≠1,b〉0)(1）log a1=0；考点自诊1。
判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。
(1）log2x2=2log2x。
（) （2)函数y=log2x及y=lo g133x都是对数函数.（) （3）当x〉1时,若log a x>log b x，则a〈b。
()（4）函数f(x）=lg x-2x+2与g(x)=lg（x-2）—lg(x+2)是同一个函数。
（)(5）对数函数y=log a x(a〉0,且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1),(1a ,-1).（)2。
(2020陕西西安中学八模,理3）已知x ·log 32=1，则4x =（ )A.4B 。
6C.4log 32D 。
93。
（2020山东历城二中模拟四，3)已知a=lo g 1516,b=lo g 13π3，c=3-13,则a ，b ，c 的大小关系是( ）A.b 〈a<cB.a 〈c 〈bC.c 〈b<aD.b 〈c<a4。
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第二章 第七节 对数与对数函数 Word版含答案
第七节对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式．其中常用对数：log10N⇔lg N；自然对数：log e N⇔lnN性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a N❶log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N运算法则❷log a(M·N)＝log a M＋log a Na＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式换底公式：log a b＝log c blog c a(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0)函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)图象❸a＞10＜a＜1图象特征在y轴右侧，过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的性质定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x＝1时，y＝0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0谨记运算法则有关口诀积的对数变加法；商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前.①对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．②在直线x ＝1的右侧，当a ＞1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0＜a ＜1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．③函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax 的图象关于x 轴对称.[熟记常用结论]1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a；(2)log am b n ＝n m log a b .其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，m ≠0，n ∈R.2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (2)log 2x 2＝2log 2x .( ) (3)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(4)若MN ＞0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(5)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 二、选填题1．函数y ＝lg|x |( )A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增解析：选B y ＝lg|x |是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．2．已知a ＞0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B 函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有B.3．函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为______．解析：要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －3＞0，log 0.5(4x －3)≥0，解得34＜x ≤1.答案：⎝⎛⎦⎤34，14．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________．解析：当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，且a ≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)． 答案：(2,2)5．计算：log 23·log 34＋(3)log 34＝________. 解析：log 23·log 34＋(3)log 34＝lg 3lg 2·2lg 2lg 3＋312log 34＝2＋3log 32＝2＋2＝4. 答案：4考点一 对数式的化简与求值[基础自学过关][题组练透]1．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m＋n的值为________．解析：由已知得a 2m ＋n ＝a 2log a 2＋log a 3＝a log a 4＋log a 3＝a log a 12＝12. 答案：122．已知log 189＝a,18b ＝5，则log 3645＝________(用关于a ，b 的式子表示)． 解析：因为18b ＝5，所以log 185＝b ，又log 189＝a ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)1＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b2－a.答案：a＋b 2－a3．计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；(2)(lg 3)2－lg 9＋1·(lg27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2；(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．解：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(2)原式＝(lg 3)2－2lg 3＋1·⎝⎛⎭⎫32lg 3＋3lg 2－32 (lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1)＝(1－lg 3)·32(lg 3＋2lg 2－1)(lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1)＝－32.(3)原式＝log32·log43＋log32·log83＋log92·log43＋log92·log83＝lg 2lg 3·lg 32lg 2＋lg 2lg 3·lg 33lg 2＋lg 22lg 3·lg 32lg 2＋lg 22lg 3·lg 33lg 2＝12＋13＋14＋16＝54.[名师微点]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.考点二对数函数的图象及应用[师生共研过关][典例精析][例1](2019·合肥质检)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为()[解析] 令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2＜x ＜2}，且f (－x )＝ln(2－|－x |)＝ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项C 、D.由对数函数的单调性及函数y ＝2－|x |的单调性知A 正确．[答案] A[例2] 当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 易知0＜a ＜1，函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图，则由题意可知只需满足log a 12＞412，解得a ＞22，∴22＜a ＜1，故选B. [答案] B [变式发散]1．(变条件)将例2中“4x ＜log a x ”变为“4x ＝log a x 有解”，a 的取值范围为__________． 解析：若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 与函数y ＝log a x 的图象在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点．由图象可知⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 12≤2，解得0＜a ≤22，即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，22. 答案：⎝⎛⎦⎤0，22 2．(变条件)若例2变为：已知不等式x 2－log a x ＜0对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围为__________．解析：由x 2－log a x ＜0得x 2＜log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，不等式x 2＜log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可． 当a ＞1时，显然不成立；当0＜a ＜1时，如图所示，要使x 2＜log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12， 所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a ＜1. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1. 答案：⎣⎡⎭⎫116，13．(变条件)若例2变为：当0＜x ≤14时，x ＜log a x ，则实数a 的取值范围为________．解析：若x ＜log a x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，14上恒成立，则0＜a ＜1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，如图所示，由图象知14＜log a 14， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a 12＞14，解得116＜a ＜1.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1. 答案：⎝⎛⎭⎫116，1[解题技法](1)识别对数函数图象时，要注意底数a 以1为分界：当a ＞1时，是增函数；当0＜a ＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y 轴为渐近线．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[口诀记忆]对数增减有思路，函数图象看底数；底数只能大于0，等于1来也不行；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(1，0)点.[过关训练]1．若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝log a|x|的图象大致是()2．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2＜0 B．x1x2＝0C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1解析：选D作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．显然x1＜0，x2＜0.不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此时10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故选D.考点三对数函数的性质及应用[全析考法过关][考法全析]考法(一)比较对数值的大小[例1]设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a[解析] 因为a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，所以a ＞b ；又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，c ＞0，所以b ＞c .故a ＞b ＞c .[答案] A考法(二) 解简单的对数不等式[例2] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a )， 解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C. [答案] C考法(三) 对数函数的综合应用[例3] 若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤43，3B.⎣⎡⎦⎤43，2C.⎣⎡⎭⎫43，2D.⎣⎡⎭⎫43，＋∞[解析] 由－x 2＋4x ＋5＞0，解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧3m －2≥2，m ＋2≤5，3m －2＜m ＋2，解得43≤m ＜2.[答案] C[规律探求]看个性考法(一)是利用对数函数的单调性比较对数值的大小．常有以下题型及求法：考法(二)是直接考查对数函数的单调性，解决此类问题时应注意两点：(1)真数大于0；(2)底数a 的值．考法(三)考查与对数函数有关的复合函数的单调性，解决此类问题有以下三个步骤： (1)求出函数的定义域；(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性找共性无论题型如何变化，都是围绕对数函数的单调性，变换不同的角度来应用．考法(一)与考法(二)是对数函数单调性的直接应用，利用单调性来比较大小、解不等式；考法(三)是对数函数单调性的迁移应用，根据单调性来求参数的范围，所以弄清对数函数的单调性是解题的关键，并注意有时需对底数字母参数进行讨论 [过关训练]1．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：选A ∵a ＞0，∴2a ＞1，∴log 12a ＞1，∴0＜a ＜12.∵b ＞0，∴0＜⎝⎛⎭⎫12b ＜1，∴0＜log 12b ＜1，∴12＜b ＜1. ∵c ＞0，∴⎝⎛⎭⎫12c ＞0，∴log 2c ＞0，∴c ＞1. ∴0＜a ＜12＜b ＜1＜c ，故选A.2．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b ＜ab ＜0B ．ab ＜a ＋b ＜0C ．a ＋b ＜0＜abD ．ab ＜0＜a ＋b解析：选B ∵a ＝log 0.20.3＞log 0.21＝0，b ＝log 20.3＜log 21＝0，∴ab ＜0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3＞log 0.30.4＞log 0.31＝0，∴0＜a ＋bab ＜1，∴ab ＜a ＋b ＜0.3．若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )(a ＞0，且a ≠1)有最小值12，则实数a 的值等于________．解析：令g (x )＝x 2－26x ＋a ，则f (x )＝log a [g (x )]． ①若a ＞1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最小值 a ，而g (x )＝x 2－26x ＋a ＝(x －6)2＋a －6， 当x ＝6时，取最小值a －6，因此有⎩⎨⎧a ＞1，a ＝a －6，解得a ＝9.②若0＜a ＜1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最大值a ，而g (x )不存在最大值，不符合题意．综上，实数a ＝9. 答案：94．(2019·西安模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＞1时，f (x )＞1等价于8－ax ＞a 在[1,2]上恒成立． 即a ＜⎝⎛⎭⎫8x ＋1min ＝83，∴1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＞1等价于0＜8－ax ＜a 在[1,2]上恒成立，即a ＞⎝⎛⎭⎫8x ＋1max 且a ＜⎝⎛⎭⎫8x min .解得a ＞4且a ＜4，故不存在． 综上可知，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，83. 答案：⎝⎛⎭⎫1，83。
2021新高考一轮复习专题2.6 对数及对数函数(解析版)
第六讲 对数及对数函数一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M .二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．考向一 对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝ . （2）若3a=5b=225，则1a +1b= 。
（4）若log a 2=m ，log a 5=n ，则a 3m+n =( 。
【答案】（1）1 （2）12 （3）40【解析】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝lg 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg1 0004＋(1－lg 2)2·(2lg 2＋1) ＝lg 22·(3－2lg 2)＋(lg 22－2lg 2＋1)·(2lg 2＋1)＝1.（2）∵3a =5b =225∴a =log 3225, b =log 5225则1a+1b=log 2253+log 2255=log 22515=12（3）∵log a 2=m ，log a 5=n ，∴a m =2，a n =5 ∴a 3m+n =a 3m ⋅a n =23⋅5=40【举一反三】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为 ． 【答案】 a －2【解析】 log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 2．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝ .【答案】 1【解析】 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得x log 63＝y log 64＝2， ∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y ＝log 62，故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1.3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝ .【答案】 10【解析】 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.4．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .【答案】 1【解析】 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.5.已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．【答案】1【解析】 令a x ＝b y ＝c z＝k .由已知k >0且k ≠1，于是x lg a ＝y lg b ＝z lg c ＝lg k ，故1x ＝lg a lg k ，1y ＝lg b lg k ，1z ＝lg c lg k .因为1x ＋1y ＋1z ＝0，所以lg a ＋lg b ＋lg c lg k ＝0，即lg (abc )lg k ＝0.故lg(abc )＝0，得abc ＝1.6.设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．【答案】±55. 【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，log a C ·log b C ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1log Ca ＋1log Cb ＝3，1log Ca ·log Cb ＝1，于是有⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log C a ·log C b ＝1，(log C a －log C b )2＝(log C a ＋log C b )2－4log C a ·log C b ＝32－4＝5，故log C a －log C b ＝± 5.于是log a bC ＝⎝⎛⎭⎪⎫log C a b －1＝1log C a －log C b ＝±55.7.方程33x －56＝3x －1的实数解为 ．【答案】 x ＝log 32【解析】 原方程可化为2(3x )2＋5·3x－18＝0，即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，得x ＝log 32.考向二 对数函数的判断【例2】函数f(x)=(a 2+a −5)log a x 为对数函数，则f(18)等于( )A ．3B ．−3C ．−log 36D ．−log 38 【答案】B【解析】因为函数f(x) 为对数函数，所以函数f(x)系数为1，即a 2+a −5=1，即a =2或−3，因为对数函数底数大于0，所以a =2，f(x)=log 2x ，所以f (18)=−3。
高考数学新增分大一轮新高考第二章 2.6 对数与对数函数
§2.6 对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对数在简化运算中的作用.2.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (2)对数的性质 ①log a Na＝ N ；②log a a N ＝ N (a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域(1)(0，＋∞)值域 (2)R性质(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0(5)当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 概念方法微思考1．根据对数换底公式：①说出log a b ，log b a 的关系？ ②化简log m na b .提示 ①log a b ·log b a ＝1；②log m na b ＝n mlog a b .2．如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．提示 0<c <d <1<a <b .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ ) 题组二 教材改编2．[P68T4]log 29·log 34·log 45·log 52＝ . 答案 23．[P82A 组T6]已知a ＝213－，b ＝log 213，c ＝12log 13，则a ，b ，c 的大小关系为 ．答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝12log 13＝log 23>1.∴c >a >b .4．[P74A 组T7]函数y ＝23log (2x －1)的定义域是 ．答案 ⎝⎛⎦⎤12，1解析 由23log (2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1. ∴函数y ＝23log (2x －1)的定义域是⎝⎛⎦⎤12，1.题组三 易错自纠5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c答案 B6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1答案 D解析 由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.7．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是 ．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一 对数的运算1．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10.2．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷10012－＝ . 答案 －20解析 原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .答案 1解析 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4．设函数f (x )＝3x ＋9x ，则f (log 32)＝ . 答案 6解析 ∵函数f (x )＝3x ＋9x ， ∴f (log 32)＝339log 2log 2log 43929＋＝＋＝2＋4＝6.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 题型二 对数函数的图象及应用例1 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )答案 C解析 先作出当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y 轴对称的图象，可得函数f (x )在R 上的大致图象，如选项C 中图象所示． (2)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数即方程|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x的解的个数，即函数y ＝|log 0.5x |与函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 图象交点的个数，作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点． (3)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B解析 由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤12， 即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.把点⎝⎛⎭⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.引申探究若本例(3)变为方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为 ． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析 若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点， 由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练1 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.故选C.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是 ．答案 (1，＋∞)解析 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例2 (2018·潍坊模拟)已知a ＝⎝⎛⎭⎫2323，b ＝⎝⎛⎭⎫3423，c ＝34log 23，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．a <c <b答案 A解析 由幂函数性质，可知幂函数f (x )＝23x 在(0，＋∞)上为单调递增函数， 所以⎝⎛⎭⎫2323<⎝⎛⎭⎫3423<1，即0<a <b <1，又由对数函数的性质可知c ＝34log 23>34log 34＝1，所以⎝⎛⎭⎫2323<⎝⎛⎭⎫3423<1<34log 23，即a <b <c ，故选A. 命题点2 解对数方程、不等式例3 (1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为 ． 答案 x ＝5解析 原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝ 5.(2)已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，12解析 原不等式⇔①⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，2x 2＋1>3x >1，或②⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解．所以实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，12. 命题点3 对数函数性质的综合应用例4 (1)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4) B ．(－4,4]C ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D ．[－4,4) 答案 D解析 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上单调递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)，故选D.(2)函数f (x )＝log 2x ·x )的最小值为 ．答案 －14解析 依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14. (3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ． 答案 (1,2]解析 当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x ≥1，当x <1时，f (x )＝(a －1)x ＋4－2a 必须是增函数，且最大值大于或等于1才能满足f (x )的值域为R ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a －1＋4－2a ≥1，解得a ∈(1,2]．思维升华 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练2 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 D解析 a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1. 又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大． 由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立， 则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0， 解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83.比较指数式、对数式的大小比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.例 (1)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 c <b <a解析 ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)， c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .(2)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a <b <c D ．a >b >c答案 B解析 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是_______．(填序号) ①a <b <c ；②b <a <c ；③c <b <a ；④a <c <b . 答案 ①解析 由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下可能：1<c <b <a ；0<a <1<c <b ；0<b <a <1<c ；0<c <b <a <1.对照选项可知①中关系不可能成立． (4)(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0， b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.(5)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是 ． 答案 b >a >c解析 易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)，所以b >a >c .1．log 29·log 34等于( )A.14B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析 方法一 原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.方法二 原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.2．(2018·宁夏银川一中模拟)设a ＝0.50.4，b ＝log 0.40.3，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <c <a答案 C解析 ∵0<a ＝0.50.4<0.50＝1，b ＝log 0.40.3>log 0.40.4＝1，c ＝log 80.4<log 81＝0， ∴a ，b ，c 的大小关系是c <a <b .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312的值是( ) A ．5 B ．3 C ．－1 D.72答案 A解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎫log 312＝331log log 22313－＋＝＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝5. 4．函数f (x )＝x log a |x ||x |(0<a <1)的大致图象是( )答案 C解析 当x >0时，f (x )＝log a x 单调递减，排除A ，B ；当x <0时，f (x )＝－log a (－x )单调递减，排除D.故选C. 5．已知函数f (x )＝ln e x e －x，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 019＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 018e 2 019＝1 009(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫e 2 019＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 018e 2 019＝2 018， ∴1 009(a ＋b )＝2 018，∴a ＋b ＝2. ∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2， 当且仅当a ＝b ＝1时取等号．6．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞答案 A解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916， 因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．7．已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝ ，b ＝ .答案 4 2解析 令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52，得t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴(a )a，即2a a ，即a ＝a2，解得a＝4，∴b ＝2.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是 ．答案 [0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1； 当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.9．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是 ． 答案 (0,1)解析 由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点，∴ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是 ．答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 由题意可知lna 1－a ＋ln b1－b＝0， 即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝12log x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解 (1)当x <0时，－x >0， 则f (－x )＝12log (－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以x <0时，f (x )＝12log (－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧12log x ，x >0，0，x ＝0，12log (－x )，x <0.(2)因为f (4)＝12log 4＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x 2－1|<4，解得－5<x <5且x ≠±1， 而x 2－1＝0时，f (0)＝0>－2，所以x ＝1或x ＝－1. 所以－5<x < 5.所以不等式的解集为{x |－5<x <5}．13．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 答案 D解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与MN最接近的是1093.故选D.14．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1 B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫23，1 D.⎣⎡⎭⎫23，1 答案 A解析 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.15．若函数f (x )＝log a (x 2－x ＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a ＝ . 答案 2解析 令u (x )＝x 2－x ＋2，则u (x )在[0,2]上的最大值u (x )max ＝4，最小值u (x )min ＝74.当a >1时，y ＝log a u 是增函数，f (x )max ＝log a 4＝2，得a ＝2；当0<a <1时，y ＝log a u 是减函数，f (x )max ＝log a 74＝2，得a ＝72(舍去)．故a ＝2.16．已知函数f (x )＝lgx －1x ＋1. (1)计算：f (2 020)＋f (－2 020)； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )<lgm(x ＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1.∴函数的定义域为{x |x >1或x <－1}． 又f (x )＋f (－x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ·1＋x 1－x ＝0，∴f (x )为奇函数．故f (2 020)＋f (－2 020)＝0.(2)当x ∈[2,6]时，f (x )<lgm (x ＋1)(7－x )恒成立可化为x －11＋x <m(x ＋1)(7－x )恒成立．即m >(x －1)(7－x )在[2,6]上恒成立．又当x ∈[2,6]时，(x －1)(7－x )＝－x 2＋8x －7＝－(x －4)2＋9. ∴当x ＝4时，[(x －1)(7－x )]max ＝9，∴m >9.即实数m的取值范围是(9，＋∞)．。
2020版高考(文)新增分大一轮：第2章 2.6 对数与对数函数
§2.6对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象．3.体会对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.1.对数的概念一般地，对于指数式a b ＝N，我们把“以a 为底N 的对数b”记作log a N，即b＝log a N (a>0，且a≠1).2.对数log a N(a>0，a≠1)具有下列性质(1)N>0；(2)log a 1＝0；(3)log a a＝1.3.对数运算法则(1)log a (MN)＝log a M＋log a N.(2)log a MN ＝log a M－log a N.(3)log a M α＝αlog a M.4.对数的重要公式(1)对数恒等式：log a Na＝N.(2)换底公式：log b N＝log a Nlog a b.5.对数函数的图象与性质y＝log a x a>10<a<1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数6.反函数指数函数y＝a x (a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称.概念方法微思考1．根据对数换底公式：①说出log a b，log b a 的关系？②化简log m na b .提示①log a b·log b a＝1；②log m na b ＝n mlog a b.2．如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d 与1的大小关系．提示0<c<d<1<a<b.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN>0，则log a (MN)＝log a M＋log a N.(×)(2)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(3)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)(4)对数函数y＝log a x(a>0且限．(√)题组二教材改编2．log 29·log 34·log 45·log 52＝.答案23．已知a＝213－，b＝log 213，c＝12log 13，则a，b，c 的大小关系为．答案c>a>b解析∵0<a<1，b<0，c＝12log 13＝log 23>1.∴c>a>b.4．函数y＝23log (2x－1)的定义域是．答案，1解析由23log (2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.∴12<x≤1.∴函数y＝23log (2x－1)，1.题组三易错自纠5．已知b>0，log 5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是()A．d＝ac B．a＝cd C．c＝ad D．d＝a＋c答案B6．已知函数y＝log a (x＋c)(a，c 为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A．a>1，c>1B．a>1,0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1,0<c<1答案D解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a<1，∵图象与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝log a x 的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c<1.7．若log a 34<1(a>0且a≠1)，则实数a 的取值范围是．答案解析当0<a<1时，log a 34<log a a＝1，∴0<a<34；当a>1时，log a 34<log a a＝1，∴a>1.∴实数a题型一对数的运算1．设2a ＝5b＝m，且1a ＋1b ＝2，则m 等于()A.10B．10C．20D．100答案A解析由已知，得a＝log 2m，b＝log 5m，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m＝10.14－lg2512－＝.答案－20解析原式＝(lg2－2－lg52)×10012＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4．设函数f(x)＝3x ＋9x，则f(log 32)＝.答案6解析∵函数f(x)＝3x＋9x，∴f(log 32)＝339log 2log 2log 43929＋＝＋＝2＋4＝6.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题型二对数函数的图象及应用例1(1)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为()答案C解析先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y 轴对称的图象，可得函数f(x)在R 上的大致图象，如选项C 中图象所示．(2)函数f(x)＝2x|log 0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析函数f(x)＝2x |log 0.5x|－1的零点个数即方程|log 0.5的解的个数，即函数y＝|log 0.5x|与函数图象交点的个数，作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点．(3)当0<x≤12时，4x<log a x，则a 的取值范围是()C．(1，2)D．(2，2)答案B解析由题意得，当0<a<1时，要使得4x<log a 即当0<x≤12时，函数y＝4x 的图象在函数y＝log a x 图象的下方．又当x＝12时，124＝2，即函数y＝4x的图y＝log a x，得a＝22.若函数y＝4x 的图象在函数y＝log a x 图象的下方，则需22<a<1(如图所示)．当a>1时，不符合题意，舍去．所以实数a 引申探究若本例(3)变为方程4x＝log a x 0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案0，22解析若方程4x＝log a x 0，12上有解，则函数y＝4x 和函数y＝log a x 0，12上有交点，a 12≤2，解得0<a≤22.思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练1(1)函数y＝2log 4(1－x)的图象大致是()答案C解析函数y＝2log 4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log 4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.(2)已知函数2x，x>0，x ，x≤0，且关于x 的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是．答案(1，＋∞)解析如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a 与y＝f(x)只有一个交点．题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例2设a＝log 412，b＝log 515，c＝log 618，则()A．a>b>cB．b>c>aC．a>c>bD．c>b>a 答案A解析a＝1＋log 43，b＝1＋log 53，c＝1＋log 63，∵log 43>log 53>log 63，∴a>b>c.命题点2解对数方程、不等式例3(1)方程log 2(x－1)＝2－log 2(x＋1)的解为．答案x＝5解析原方程变形为log 2(x－1)＋log 2(x＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x＝±5，又x>1，所以x＝ 5.(2)已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x)<0成立，则实数x 的取值范围是．答案解析原不等式⇔2＋1>3x>1，2＋1<3x<1，解不等式组①得13<x<12，不等式组②无解．所以实数x 命题点3对数函数性质的综合应用例4(1)若函数f(x)＝log 2(x 2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是()A．(－∞，4)B．(－4,4]C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D．[－4,4)答案D解析由题意得x 2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x 2－ax－3a 在(－∞，－2]上单调递减，则a 2≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)，故选D.(2)函数f(x)＝log 2x·(2x)的最小值为．答案－14解析依题意得f(x)＝12log 2x·(2＋2log 2x)＝(log 2x)2＋log 22－14≥－14，当log 2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.(3)已知函数a－1)x＋4－2a，x<1，2x，x≥1，若f(x)的值域为R，则实数a 的取值范围是．答案(1,2]解析当x≥1时，f(x)＝1＋log 2x≥1，当x<1时，f(x)＝(a－1)x＋4－2a 必须是增函数，且最大值大于或等于1才能满足f(x)的值域为解得a∈(1,2]．思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练2(1)设a＝log 32，b＝log 52，c＝log 23，则()A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b答案D解析a＝log 32<log 33＝1，b＝log 52<log 55＝1.又c＝log 23>log 22＝1，所以c 最大．由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a>b，所以c>a>b.(2)已知函数f(x)＝log a (8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是．答案解析当a>1时，f(x)＝log a (8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则f(x)min ＝f(2)＝log a (8－2a)>1，且8－2a>0，解得1<a<83.当0<a<1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，知f(x)min ＝f(1)＝log a (8－a)>1，且8－2a>0.∴a>4，且a<4，故不存在．综上可知，实数a比较指数式、对数式的大小比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.例(1)已知a＝log 23＋log 23，b＝log 29－log 23，c＝log 32，则a，b，c 的大小关系是()A．a＝b<cB．a＝b>cC．a<b<c D．a>b>c答案B解析因为a＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b＝log 29－log 23＝log 233＝a，c＝log 32<log 33＝1，所以a＝b>c.(2)(2018·全国Ⅲ)设a＝log 0.20.3，b＝log 20.3，则()A．a＋b<ab<0B．ab<a＋b<0C．a＋b<0<ab D．ab<0<a＋b答案B解析∵a＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b＝log 20.3<log 21＝0，∴ab<0.∵a＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a＋b ab<1，∴ab<a＋b<0.(3)设a＝60.4，b＝log 0.40.5，c＝log 80.4，则a，b，c 的大小关系是________．答案c<b<a解析∵a＝60.4>1，b＝log 0.40.5∈(0,1)，c＝log 80.4<0，∴a>b>c.(4)若实数a，b，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是________．(填序号)①a<b<c；②b<a<c；③c<b<a；④a<c<b.答案①解析由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a，b，c 有如下可能：1<c<b<a；0<a<1<c<b；0<b<a<1<c；0<c<b<a<1.故①中关系不可能成立．(5)已知函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log 2x|，若a＝f(－3)，b＝f a，b，c 的大小关系是________．答案b>a>c解析易知y＝f(x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝f2x|，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝log 2x 单调递增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝fb>a>c.1．log 29·log 34等于()A.14B.12C．2D．4答案D 解析方法一原式＝lg9lg2·lg4lg3＝2lg3·2lg2lg2·lg3＝4.方法二原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.2．设a＝log 37，b＝21.1，c＝0.83.1，则a，b，c 的大小关系是()A．b<a<cB．c<a<bC．c<b<aD．a<c<b 答案B解析∵a＝log 37，∴1<a<2.∵b＝21.1，∴b>2.∵c＝0.83.1，∴0<c<1.即c<a<b.3．已知函数2x，x>0，－x＋1，x≤0，则f(f(1))＋f)A．5B．3C．－1D.72答案A解析由题意可知f(1)＝log 21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，f331log log 22313－＋＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f(f(1))＋f 4．函数f(x)＝xlog a |x||x|(0<a<1)的大致图象是()答案C解析当x>0时，f(x)＝log a x 单调递减，排除A，B；当x<0时，f(x)＝－log a (－x)单调递减，排除D.故选C.5．已知函数f(x)＝ln exe－x ，若则a 2＋b 2的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析∵f(x)＋f(e－x)＝2，∴1009(a＋b)＝2018，∴a＋b＝2.∴a 2＋b 2≥(a＋b )22＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号．6．若函数f(x)＝log 2＋32x f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(2，＋∞)C．(1，＋∞)答案A解析令M＝x 2＋32x，当a>1，所以函数y＝log a M 为增函数，又－916，因此M －34，＋∞又x 2＋32x>0，所以x>0或x<－32，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．7．已知a>b>1.若log a b＋log b a＝52，a b ＝b a，则a＝，b＝.答案42解析令log a b＝t，∵a>b>1，∴0<t<1，由log a b＋log b a＝52，得t＋1t ＝52，解得t＝12或t＝2(舍去)，即log a b＝12，∴b＝a，又a b ＝b a ，∴＝(a)a，即a a＝2a a ，即a＝a2，解得a＝4，∴b＝2.8．设函数1－x，x≤1，2x，x>1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是．答案[0，＋∞)解析当x≤1时，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，由1－log 2x≤2，解得x≥12，所以x>1.综上可知x≥0.9．设实数a，b 是关于x 的方程|lgx|＝c 的两个不同实数根，且a<b<10，则abc 的取值范围是．答案(0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lgx|的图象和直线y＝c 有两个不同交点，∴ab＝1,0<c<lg10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．已知函数f(x)＝ln x1－x ，若f(a)＋f(b)＝0，且0<a<b<1，则ab 的取值范围是．答案解析由题意可知lna 1－a ＋lnb 1－b＝0，即＝0，从而a 1－a ×b1－b ＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a 2＋14，又0<a<b<1，∴0<a<12，故＋14<14.11．设f(x)＝log a (1＋x)＋log a (3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.(1)求实数a 的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间0，32上的最大值．解(1)∵f(1)＝2，∴log a 4＝2(a>0，且a≠1)，得－1<x<3，∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．(2)f(x)＝log 2(1＋x)＋log 2(3－x)＝log 2[(1＋x)(3－x)]＝log 2[－(x－1)2＋4]，∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在0，32上的最大值是f(1)＝log 24＝2.12．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝12log x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x 2－1)>－2.解(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝12log (－x)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以x<0时，f(x)＝12log (－x)，所以函数f(x)的解析式为x，x>0，12(－x )，x<0.(2)因为f(4)＝log 124＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x 2－1)>－2可化为f(|x 2－1|)>f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x 2－1|<4，解得－5<x<5且x≠±1，而x 2－1＝0时，f(0)＝0>－2，所以x＝1或x＝－1.所以－5<x< 5.所以不等式的解集为{x|－5<x<5}．13．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N 最接近的是()(参考数据：lg3≈0.48)A．1033B．1053C．1073D．1093答案D解析由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg3361－lg1080＝361lg3－80lg10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg1033＝33，lg1053＝53，lg1073＝73，lg1093＝93，故与M N最接近的是1093.故选D.14．已知函数f(x)＝log a (2x－a)在区间12，23上恒有f(x)>0，则实数a 的取值范围是()B.13，123，1答案A解析当0<a<1时，函数f(x)在区间12，23上是减函数，所以log0<43－a<1，解得13<a<43，故13<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间12，23上是增函数，所以log a (1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a15．若函数f(x)＝log a (x 2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝.答案2解析令u(x)＝x 2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max ＝4，最小值u(x)min ＝74.当a>1时，y＝log a u 是增函数，f(x)max ＝log a 4＝2，得a＝2；当0<a<1时，y＝log a u 是减函数，f(x)max ＝log a 74＝2，得a＝72(舍去)．故a＝2.16．已知函数f(x)＝lg x－1x＋1.(1)计算：f(2020)＋f(－2020)；(2)对于x∈[2,6]，f(x)<lg m(x＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)由x－1x＋1>0，得x>1或x<－1.∴函数的定义域为{x|x>1或x<－1}．又∴f(x)为奇函数．故f(2020)＋f(－2020)＝0.(2)当x∈[2,6]时，f(x)<lgm (x＋1)(7－x )恒成立可化为x－11＋x <m(x＋1)(7－x )恒成立．即m>(x－1)(7－x)在[2,6]上恒成立．又当x∈[2,6]时，(x－1)(7－x)＝－x 2＋8x－7＝－(x－4)2＋9.∴当x＝4时，[(x－1)(7－x)]max ＝9，∴m>9.即实数m 的取值范围是(9，＋∞)．。
高考数学一轮总复习 专题2.6 对数及对数函数练习(含解析)文
专题2.6 对数及对数函数真题回放1. 【2017高考天津文第6题】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【考点】1.指数，对数；2.函数性质的应用【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，属于基础题型，首先根据奇函数的性质和对数运算法则，()2log 5a f =，再比较0.822log 5,log 4.1,2比较大小.2.【2017高考全国卷文第9题】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ． ()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，C 正确，D 错误；又112(1)'()2(2)x f x x x x x -=-=--（02x <<），在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A ，B 错误，故选C ．【考点】函数性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 3. 【2017高考全国卷文第8题】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D4.【2015高考上海卷文第8题】 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 .【答案】2【解析】依题意)834(log )59(log 1212-⋅=---x x ，所以8345911-⋅=---x x ，令)0(31>=-t t x ，所以0342=+-t t ，解得1=t 或3=t ，当1=t 时，131=-x ，所以1=x ，而05911<--，所以1=x 不合题意，舍去；当3=t 时，331=-x ，所以2=x ，045912>=--，012312>=--，所以2=x 满足条件，所以2=x 是原方程的解. 【考点定位】对数方程.【名师点睛】利用24log 2=，)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a 将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x 的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.5.【2015高考湖南卷文第8题】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( ) A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 【解析】【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数()f x 在(a ，b)内的单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确认()'f x 在(a ，b)内的符号；(3)作出结论：()'0f x >时为增函数；()'0f x <时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.6.【2015高考山东卷文第7题】在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“121-1log 2x ≤+≤（）1”发生的概率为( ) （A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）14【答案】A 【解析】由121-1log 2x ≤+≤（）1得，11122211113log 2log log ,2,022222x x x ≤+≤≤+≤≤≤（），所以，由几何概型概率的计算公式得，332204P -==-，故选A .【考点定位】1.几何概型；2.对数函数的性质.【名师点睛】本题考查几何概型及对数函数的性质，在理解几何概型概率计算方法的前提下，解答本题的关键，是利用对数函数的单调性，求得事件发生的x 范围. 本题属于小综合题，较好地考查了几何概型、对数函数等基础知识. 7.【2015高考天津卷文第7题】已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ） (A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】【考点定位】本题主要考查函数奇偶性及对数运算.【名师点睛】函数是高考中的重点与热点,客观题中也会出现较难的题,解决此类问题要充分利用相关结论.函数()0,1x my ab a a -=+>≠的图像关于直线x m = 对称,本题中求m 的值,用到了这一结论,本题中用到的另一个结论是对数恒等式:()log 0,1,0a Na N a a N =>≠>.考点分析融会贯通题型一 对数式计算 典例1(吉林省实验中学2016-2017学年高二下学期月考)化简． 【变式训练1】(湖南省醴陵二中、醴陵四中2016-2017学年高二下学期期中)求下列表达式的值 (1)(2)()00.5239-7.5()(0.5)lg 25lg 4log 4-+-++-34【解析】根据实数指数幂的运算公式，即可求解上式的值.考点：实数指数幂的运算.【变式训练2】 (江西省2017届百所重点高中高三模拟试题文)设函数()39xxf x =+，则()3log 2f =______．【答案】6 【解析】()2233log log 23log 39246f =+=+=知识链接： 对数的运算：①log MN a ＝log N M a a log + ②log N M NMa a alog log -= ③M n M a na log log =（M 、N ＞0, a ＞0, a ≠1）推广：M mnM a n a m log log =④换底公式：aNN b b a log log log =（a ，b ＞0，a ≠1，b ≠1）典例 2 (四川省简阳市2016-2017学年高一上学期期末)已知0.12a =，72log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c a b <<B. c b a <<C. b a c <<D. b c a << 【答案】A【解析】0.40.1221b =>>， 7772log 2log 4log 71=<=，所以c a b <<.【变式训练1】(2015-2016学年贵州花溪清华中学)设248log 3,log 6,log 9a b c ===,则下列关系中正确的是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】A 【解析】:c b a >>,故选A.考点：对数【变式训练2】(浙江省诸暨市牌头中学高一练习)已知0.90.7 1.1log 0.8,log 0.9, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】C知识链接：利用对数函数比较大小问题的处理方法：①看类型 ②同底用单调性 ③其它类型找中间量． 零和负数无对数，是求函数定义域的又一条原则．典例3 (浙江省诸暨市牌头中学高一练习)324941log 7log 9log log 2a ⋅⋅=，则a =________【答案】2【变式训练】 (必修1P63习题5改编)若log 34·log 48·log 8m=log 416，则m= . 【答案】9【解析】由已知有lg4lg3·lg8lg4·lg lg8m=2⇔lg m=2lg 3⇔m=9.解题技巧与方法总结当对数函数的底数与指数之间有倍数或者次方数的关系时，此类题目需要巧妙运用对数函数的换底公式，从而达到分子分母相消的目的，简化计算 题型二 对数函数的图像与性质 命题点1 对数函数的图像典例1 (2015·梅州一中)若函数()()1,023log ≠>-=a a x y a 的图象经过定点A ，则点A 的坐标是 . 【答案】(1，0)【解析】当3x-2=1，即x=1时，无论a 为何值，y=0，故函数的图象过定点(1，0).知识链接：对数函数（1）对数函数定义：形如y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）的函数，叫做对数函数． （2）对数函数的图象与性质【变式训练】(河北省廊坊市2016-2017学年高一上学期期末考试)函()log (23)4(01)a f x x a a =-->≠且的图象恒过定点（ ）A.B. C. D.【答案】D典例 2 (2015-2016学年海南省海南中学高二下学期期末数学（文）)函数()l o g 1(01)a f x x a =+<<的图象大致为（ ）【答案】A【解析】由对数函数性质可知函数过定点()1,1，当0x >时为减函数，且函数满足()()f x f x -=，函数为偶函数，因此A 正确考点：函数图像与性质 解题技巧与方法总结利用图象解题具有形象直观性.作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象【变式训练】(海南省海南中学、文昌中学2017届高三下学期联考数学（文）)函数()af x x =满足()24f =，那么函数 ）A. B. C. D.【答案】C的定义域为{|1}x x ≠-，可知选项为C.典例 3 (2015-2016学年江苏徐州沛县中学高二下学期质检二数学（理）)已知函数在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．【答案】4a ≤ 【解析】解题技巧与方法总结对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合来求解.一些含对数的方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数的图象问题，利用数形结合法求解.【变式训练】(2016-2017年安徽阜阳临泉县一中高一理12月考)已知函数（1）若()f x 定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若()f x 值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在a R ∈，使()f x 在(),2-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围；不存在，说明理由．【答案】（1（2（3）不存在这样的实数a ．考点：对数函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了对数函数的图象与性质及其应用，其中解答中涉及到对数函数的定义域、值域，对数函数的单调性及其应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记对数函数的图象与性质，合理列出不等式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题． 知识链接： 对数函数图象特征1,0≠>a a 时，)(log x y a -=与x y a log =的图象关于y 轴对称；x x x y a aalog 1log log 1-===，x y a1log =与x y a log =的图象关于x 轴对称； 对数函数y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴，当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）． 命题点2对数函数的性质典例 若函数()ln(4)f x ax =+在区间(2,4)上是减函数，则a 的取值范围是________ 【答案】10a -≤<考点：对数函数的单调性【变式训练1】设定义在区间(,)b b -上的函数1()lg 12axf x x+=-是奇函数(,,2)a b R a ∈≠-且，则ba 的取值范围是（ ）A. (B. 2⎣C. (D. ( 【答案】A【解析】由题，定义在区间(,)b b -上的函数1()lg12axf x x+=-是奇函数，()()f x f x ∴-=- 11lglg 01212ax axx x -+∴+=+- 11lg()01212ax axx x-+∴⨯=+-2221142a x x a -=-∴= 12()lg12x f x x +=-，令12012x x +>-，可得1122x -<<，102b ∴<≤∴b a 的取值范围是(【变式训练2】(2016~2017浙江省诸暨市牌头中学练习17)已知函数211()log 1xf x x x+=--，求函数()f x 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性【答案】{}|110x x x -<<≠且 奇函数 在(1,0),(0,1)-是减函数 【解析】由0x ≠且101xx+>-得 定义域{}|110x x x -<<≠且 (-)()f x f x =-奇函数212()log (1)1f x x x=--+- ()f x ∴在(1,0),(0,1)-是减函数 命题点3对数函数的图像与性质典例1 (2016~2017高一数学人教A 版)已知(5)3,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围为_________ 【答案】5,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】()f x 是R 上的增函数，则当1x ≥时，log a y x =是增函数，1a ∴>当1x <时，函数(5)3y a x a =--是增函数，50,5a a ∴->∴< 由5)13log 1a a a -⨯-≤，得54a ≥，554a ∴≤< 考点：分段函数的单调性【变式训练1】(2017届江西鹰潭一中高三上学期月考二数学理)已知20.5()log ()f x x mx m =--．（1）若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间上是增函数，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）0m ≥或4m ≤-；（2【解析】2400m m m ⇒∆=+≥⇒≥或4m ≤-． （2考点：函数的值域，复合函数的单调性．【变式训练2】(2017届河北省武邑中学高三上学期周考文科)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2[a a ，上的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ）ABCD【答案】A考点：对数函数的图象和性质及运用.【易错点晴】指数函数对数函数是高中数学中重要的基本初等函数,指数函数与对数函数的图象和性质不仅是高中数学的重要内容,也是解答数学问题的重要思想和方法.解答本题时,要充分运用题设条件,借助当因10<<a ,故对数函数)10(log )(<<=a x x f a 是单调递减函数这一性质,分别求出函数)10(log )(<<=a x x f a 的最大值和最小值a a f x f a f x f a 2log )2()(,1)()(min max ====.最后通过典例 2 已知函数21log ,1()11,0.2xx x f x x ⎧⎛⎫≠0⎪⎪+⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩若()2(3)2f a f a －＞，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞)【解析】画图象可得()f x 是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由()2(3)2f a f a －＞，得232a a －＜，即2230a a ＋－＞，解得312a a <->或.【变式训练】已知函数3,()(1),0.x x f x ln x x ⎧≤0=⎨+>⎩若()2(2)f x f x －＞，则实数x 的取值范围是________． 【答案】(－2,1)【解析】画图象可知()f x 在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，于是由()2(2)f x f x －＞，得22x x －＞，即220x x ＋－＜，解得21x -＜＜.解题技巧与方法总结解函数不等式时，要充分利用函数的单调性和奇偶性，转化为代数不等式(组)，从而求解.对于不等式恒成立问题，通常利用分离参数的方法，转化为研究函数的最值(值域) 题型三 对数函数的综合运用典例1(北京市西城区2017届高三4月统一测试（一模）理)个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【变式训练】(2017~2018学年高中数学章末分层突破) ()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，2016()2016log x f x x =+，则函数()f x 的零点的个数是________【答案】3【解析】作出函数1220162016,log x y y x ==-的图像，可知函数2016()2016log xf x x =+在(0,)x ∈+∞内存在一个零点，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(,0)x ∈-∞上也有一个零点，又(0)0f =，所以函数()f x 的零点的个数是3个典例2 (2016~2017高一数学人教A 版)函数2()log (32)xf x =+的值域为（ ）A ．()0,+∞B ．[)0,+∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C【解析】322x+>Q22()=log (32)log 21xf x ∴+>=()f x ∴的值域为()1,+∞考点：指数、对数函数值域、复合函数值域【变式训练】函数()xf x a =+log (1)a x +在[01],上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 . 【答案】12典例3设函数12()421,()lg(4+1)xx f x g x ax x +=-+-=-，若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为（ ） 【答案】4a ≤【解析】2()(2)221x x f x =-+⋅-，令2xt =，则22()21(1)0f t t t t =-+-=--≤，设()g x 值域为A ，因为对任意1x R ∈都存在2x R ∈使12()()f x g x =，所以(],0A -∞⊆，设241y ax x =-+的值域为B ，则(]0,1B ⊆，显然当0a =时，上式成立；当0a >时，1640a =-≥V 解得04a <≤，当0a <时，max 41614a y a -=≥即max 411y a=-≥恒成立，综上4a ≤知识链接：对数函数与指数函数的关系对数函数y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）是指数函数xa y = )1,0(≠>a a 且的反函数．互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称． 知识交汇1.(2017届河北省武邑中学高三上学期周考理科)为（ ）A ．]2,(--∞B ．),2[+∞-C ．]2,(-∞D ．),2[+∞ 【答案】A当且仅当11=-x ,即2=x 时取等号), A.【交汇技巧】本题考察基本不等式，复合函数的值域、对数函数的图像与性质等等，解答本题的关键是将真数部分凑成基本不等式的形式，求出真数部分所对应的值域，再求出整个复合函数的值域，本题需要注意运用基本不等式等号是否能取以及对数函数中真数大于零 2.(2015-2016学年河北省冀州市中学高一下开学考试)函数()lg(33)xxf x a -=+-的值域是R ,则实数a 的取值范围是________． 【答案】[)2,+∞ 【解析】考点：1、基本不等式；2、对数函数的性质． 【交汇技巧】本题主要考查基本不等式与对数函数的性质问题，本题解题的关键“是函数的值域为R ”这一条件的等价转换，求函数的值域问题转化为集合间的关系问题3. (2016-2017学年四川省乐山市高一上学期期末考试)已知a b ＞，函数f x x ax b =--（）（）（）的图象如图所示，则函数a g x log x b=+（）（）的图象可能为（ ）A. B. C. D.【答案】B考点：对数函数的图象与性质；二次函数的图象． 【交汇技巧】本题主要考察二次函数的图像、对数函数的图像与性质，解答本题的关键是根据二次函数图像与x 轴交点的分布，从而得到a ，b 的范围，再由对数函数的图像和性质确定函数图像单调性及渐近线4.(河北省定州市2016-2017学年高一上学期期末)已知()()2l o g2l o g 3(0m mf x x x m =+->，且1)m ≠ （1）当2m =时，解不等式()0f x <；（2）()0f x <在[]2,4恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（12【解析】试题分析：（1）2m =时，原不等式变为()222log 2log 30x x +-<，解这个一元二次不等式可求【交汇技巧】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查恒成立问题的解法，考查分类讨论的数学思想方法.第一问由于m 是已知的，利用一元二次不等式的解法，求得23log 1x -<<，解这个对数不等式可求得不等式的解集.第二问同样利用一元二次不等式的解法，求得3log 1m x -<<，由于m 的范围不确定，故要对m 分成两类，结合单调性来讨论.5.已知函数33,(0)()log (),(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，函数[]2()()()g x f x f x t =++，t R ∈，则下列判断不正确的是( )A ．若2t <-，则()g x 有四个零点B ．若2t =-，则()g x 有三个零点C ．若124t -<<，则()g x 有两个零点D ．若14t =，则()g x 有一个零点 【答案】A【解析】令(),1m f x m =≥时，()m f x =有两根，1m <时，()m f x =有一根【交汇技巧】本题重点考察根的存在性即根的分布问题，对于复合函数根的个数问题应“由表及里”，先探究外函数的根的分布，再根据外函数的根探究()f x m =的根的个数 练习检测1.(2017新疆乌什县二中高一数学测试)解下列对数方程（1）22log (1)log (21)x x -=+（2）22log (52)2x x --=（3）1642log log log 7x x x ++=（4）233log [1log (14log )]1x ++=【答案】-2 -1或2.比较下列各题中两个值的大小：（1）5log ,9log 76； （2）6.0log ,log 23π；（3）7.0log ,7.0log 32；【答案】（1）1>9log 6，1<5log 7，∴5log >9log 76；（2）0>log 3π，0<6.0log 2，∴6.0log >log 23π；（3）0<2log <3log 7.07.0，∴7.0log =2log 1>3log 1=7.0log 27.07.03． 3.(山东高密市第三中学2017届高三一轮理)函数x y a log =，当43l o g )1(l og 2a a x x ≤+-成立时，a 的取值范围是_________.【答案】01a << 【解析】2314x x -+≥Q Q 函数x y a log =，1a >时，单调递增，01a <<时，单调递减∴当43log )1(log 2aa x x ≤+-成立时， 01a ∴<<4.(山东高密市第三中学2017届高三一轮理)不等式1)3(log 221-≤-x x 的解集是___________________.【答案】33,,22x ⎡⎫⎛+∈+∞-∞⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U5.(2016-2017学年海南省海南中学高二下学期期末文)间为（ ）A ．（1，＋∞）C ．（－∞，1）【答案】A【解析】试题分析：令()()2231211x x x x t -+=--=，则函数（t ＞0）．令t 1，故函数y 的定义域为x ＞1}．本题即求t=（2x-1）（x-1）在区间（-1，+∞）上的增区间． 利用二次函数的性质可得，函数t 在函数y 的定义域内的增区间为（1，+∞），考点：复合函数的单调性6. 已知函数2x f x lnx =+（），若242f x （﹣）＜，则实数x 的取值范围 ． 【答案】（﹣，﹣2）∪（2，） 7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，(1)0f =，则不等式2(log )0f x >的解集为________ 【答案】()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U8.(2016-2017学年江西省南城一中高二上学期期中考试理科)已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x ，则）A ．3 C ．2 D ．4 【答案】D【解析】 试题分析：()3lg2lg8lg2lg 22lg231x y x y x y +=∴⋅=∴+=48.已知函数241(log 2)log 2y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2≤x≤8.(1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围；(2)求该函数的值域．【答案】解：(1) 241(log 2)log 2y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭即该函数的值域为1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
「精品」高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.6对数与对数函数课件理-精品资料
(
)
A.0，
2
2
C．(1， 2)
B.
22，1
D．( 2，2)
[解析] 解法一：构造函数 f(x)＝4x
和 g(x)＝logax，当 a＞1 时不满足条件，
当 0＜a＜1 时，画出两个函数在0，12上
的图象，可知 f12＜g12，即 2＜loga12，a
1．已知 lg a＋lg b＝0(a>0 且 a≠1，b>0 且 b≠1)，则
f(x)＝ax 与 g(x)＝－logbx 的图象可能是(
)
解析
∵lg
a＋lg
b＝0，∴a＝1b，又
g(x)＝－logbx＝log1 b
x＝logax(x>0)，∴函数 f(x)与 g(x)的单调性相同，故选 B.
2
2．已知
核心规律 1.指数式 a b＝N 与对数式 logaN＝b 的关系以及这两种形 式的互化是对数运算法则的关键． 2.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象 与直线 y＝1 交点的横坐标进行判定． 3.研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数 的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．
命题角度 3 与对数有x)＝log1 2
(x2－ax－a)在－∞，－21上
是增函数，则实数 a 的取值范围是(
)
A．[－1，＋∞) C.－1，21
B.－1，12 D．(－∞，－1]
[解析]
f(x)＝ log1 2
(x2－ ax－ a)在 －∞，－21 上 是 增 函
设 a＞0，且 a≠1，M＞0，N＞0，
1．logaM＋logaN＝loga(MN)．( √ ) 2．logaM N ＝loga(M－N)．( × )
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第六讲 对数及对数函数 一．对数的概念 (1)对数的定义 ①一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． ②底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0. (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0且a≠1) logaN 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln N
4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①logaNa＝N(a>0且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0且a≠1)． (2)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1，N>0)； ②logab＝1logba(a，b均大于零且不等于1)． (3)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②logaMN＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logmnaM＝nmlogaM.
【套路秘籍】---千里之行始于足下 二．对数函数的定义 1.形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质 a>1 0<1
图象
性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0 在(0，＋∞)上是单调增函数 在(0，＋∞)上是单调减函数
3.反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
考向一 对数的运算 【例1】（1）lg22·lg 250＋lg25·lg 40＝ . （2）若3a=5b=225，则 + = 。 （4）若 ， ，则 。
【举一反三】 1．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为 ．
【套路总结】 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 2．若3x＝4y＝36，则2x＋1y＝ . 3． 设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝ .
4.计算：1－log632＋log62·log618log64＝ . 5.已知均不为1的正数a，b，c满足ax＝by＝cz，且1x＋1y＋1z＝0，求abc的值． 6.设logaC，logbC是方程x2－3x＋1＝0的两根，求logabC的值．
7.方程33x－56＝3x－1的实数解为 ． 考向二 对数函数的判断 【例2】函数 为对数函数，则 等于( ) A．3 B． C． D．
【举一反三】 1．下列函数是对数函数的是( ) A． B． C． D． 2．下列函数，是对数函数的是 A．y=lg10x B．y=log3x2 C．y=lnx D．y=log （x–1） 3．在M=log（x–3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为 A．（–∞，3] B．（3，4）∪（4，+∞） C．（4，+∞） D．（3，4） 考向三 对数的单调性 【例3】（1）函数 的单调递减区间为 。
【套路总结】 对数函数的判断：对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1。 （2）若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是________． 【举一反三】 1．已知 满足对任意 ，都有
成立，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 2．函数y=ln（4-x）+1n（2+x）的单调递增区间为（ ） A． B． C． ∞ D． 3．已知 在区间 ∞， 上是增函数，则实数a的取值范围是______．
考向四 比较大小 【例4】(1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则a，b，c的大小关系为________．(用“>”连接)
【举一反三】 1.设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________． 2.已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________． 3.已知函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－
3)，b＝f 14，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是________． 4.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则a，b，c的大小关系是________．(用“>”连接)
【套路总结】 比较大小问题是每年高考的高频考点，基本思路是： (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法． (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
【套路总结】 复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减” 考向五 对数函数图像 【例5】(1)如图是对数函数y＝logax的底数a的值分别取3，43，35，110时所对应的图象，则相应的C1，C2，C3，C4的a的值依次是________．
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为( ) (3)当0【举一反三】 1 。函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
2.已知函数f(x)＝ |lg x|，010，若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是________． 3.若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( ) 考向六 定义域与值域 【例6】．已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2． （1）求函数g（x）的解析式及定义域； （2）求函数g（x）的最值．
【举一反三】 1.函数 的值域是 。
2．函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为 。 3.已知函数 ， ，其中 且 . （1）求函数 的定义域； （2）若函数 的最大值是2，求 的值； （3）求使 成立的 的取值范围. 考向七 反函数 【例7】已知函数f（x）=2x的反函数为y=g（x），则g（ ）的值为（ ） A． B．1 C．12 D．2 【举一反三】 1．已知函数 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知 ，其反函数为 ，则 ______．
3． （ ）的反函数 ________
1．若 ，则a、b、c的大小关系是 。 2． ， ， 的大小关系是 。 3．已知 ， ， ，则 。 4. 若函数 定义域为 ，则 的取值范围是 。 5．函数 的定义域为R，则实数k的取值范围是______． 6．函数 的值域为________. 7．定义在 上的偶函数 ，当 时， ，则 的值域为______．. 8．函数
的最小值是___．
9．函数 的值域为__________。 10．函数 的单调递增区间为________. 11． , 的最大值为___________
【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行 12．函数y=1g（1-x）+
的定义域是 。
13.已知函数f(x)＝ a－1x＋4－2a，x<1，1＋log2x，x≥1，若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
14．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间12，23上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．
15．若函数f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则a＝________. 16．计算：（1） （2）求值： _______________ （3）
______
（4） =_____________. （5）
=
（6） = （7）
=
（8） =
17．已知函数f(x)＝lgx－1x＋1. (1)计算：f(2 020)＋f(－2 020)； (2)对于x∈[2,6]，f(x)
18. 已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．