对数坐标图
G( s ) K
G( jw ) K
(w ) K A(w ) K ；相频特性： 幅频特性：
L(w ) / dB
20log K 20log K 20log K
K 1 K 1 logw K 1
0 L(w ) 20lg K 常数 0 0
K (1 i s) (1 2 k k s k2 s 2 )e Td s
i 1 k 1 m1 m2
G( s)
s
(1 T s) (1 2 T s T
j l l j 1 l 1
m2 k 1
n1
n2
2 2
l
s )
G( jw )
K (1 j iw )[(1 w 2Tk2 ) j 2 k Tk w ]e jTd w
对数幅值 20lgA(w )
0
幅值A(w ) 1.00
对数幅值 20lgA(w ) 0
0.79
-2
0.18
-15
0.001
-60
0.0001
-80
2．使用对数坐标图的优点
• 可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的 表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 • 可以将乘法运算转化为加法运算。
i 1
m1
( jw )
(1 jT w )[(1 w
j j 1 l 1
n1
n2
2
Hale Waihona Puke Tl 2 ) j 2 l Tl w ]
L(w ) 20lg G( jw ) 20lg K 20lg 1 j iw
20lg (1 w T ) j 2 k Tk w 20 v lg jw 20lg 1 jT jw
L(w ) 20 log A(w ) 20 log 20 log w ,
L(w ) / dB 40 20
20 40
1
1
w
w
10 100
w 1, L(w ) 0; w 10, L(w ) 20
可见斜率为－20/dec
(w )
1
w
10 100
90
⒊ 惯性环节的频率特性： 1 1 G ( s) G( jw ) Ts 1 Tjw 1 1 A(w ) , (w ) tg 1Tw 1 T 2w 2 ①对数幅频特性： L(w) 20log A(w) 20log 1 T 2w 2 了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：
Dec Dec Dec Dec
...
0
2
1
0.01
0 .1
0 1
1
10
2 100
logw
w
由于w 以对数分度，所以零频率点在－∞处。
更详细的刻度如下图所示
w
1
一倍频程
2
3 4 5 6 7 8 9 10 20 一倍频程 一倍频程 一倍频程 十倍频程 十倍频程 十倍频程
30
40 50 60 80 100 一倍频程
对数幅频特性：
K 1 K 1 K 1
相频特性：
logw
0 (w ) K 180 K 0 K 0
(w )
180
K 0 K 0
180
2．积分环节的频率特性：
1 G (s) s 1 A(w )
w
1 1 1 2 j G( jw ) j e jw w w 1 (w ) tg 1 ( 0) w 2
5.2.1 对数坐标图及其特点
Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。 1．波德图的坐标轴 ⑴ 横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率w 的对数值 logw 进行 线性分度的。但为了便于观察仍标以w 的值，因此对w 而言是非 线性刻度。w 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍 频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率w 的数值变化一倍， 横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。如 下图所示：
2 k 1 2 k j 1 m2
m1
i 1
n1
20lg (1 w 2Tl 2 ) j 2 l Tl w
l 1
n1 2 kTkw 1 (w ) K tg iw tg v 90 tg Tkw 2 2 1 w Tk i 1 k 1 k 1 m1 1 m2 1
一倍频程 十倍频程
lg w
0
1
2
ω
lgω
１
0.00 0
2
0.30 1
3
0.47 7
4
0.60 2
5
0.69 9
6
0.77 8
7
0.84 5
8
0.90 3
9
0.95 4
10
1.000
⑵ 纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L(w)=20logA(w) 表示。其单位为分贝(dB)。 相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标 （频率轴）。 当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益 的关系为：增益=20log (幅值)
n2
2 lTlw jTd w tg e 2 2 1 w Tl l 1
n2 1
• 所有的典型环节的幅频特性都可以用分段直线(渐近线)近似表 示。 • 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似 的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。
5.2.2 典型环节的对数坐标图
幅值A(w ) 1.00 1.26 2 1.5 6 4 0.6 3 -4 2.0 0 6 0.5 0 -6 2.5 1 8 0.3 9 -8 3.1 6 10 0.3 2 -10 5.62 15 10. 0 20 0.1 0 -20 100 40 0.0 1 -40 1000 60 10000 80
L(w ) 20log1 0 低频段：当Tw 1时， ，称为低频渐近线。
，为
L(w ) 20logTw 高频段：当 Tw 1时， ，称为高频渐近 w 每增加10倍频 线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 程下降20分贝）。 当w 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当w 时，趋近于高频渐近线。 低频高频渐近线的交点为： ，得： 0 20logTw
控制工程 第5章 系统的频率特性
频响函数 幅频特性 相频特性
1 G ( j ) 1 j 0.005 1 | G ( j ) | 1 (0.005 )2 0 0.005 ( ) arctan arctan 1 1 arctan(0.005 )
可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节 的频响特性）。
18:10:18
5-1 频率特性
本例题也可以采用第 4 章介绍的求时间响应的方法获 得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分 解出其中的稳态响应。 而利用频响函数可直接求出稳态 响应。
21
y( t ) L [Y ( s )] 0.555e 200 t
m k f (t)/x (t) f(t)—力
A
f(t) = Asin(ωt)
A B
x(t)—位移 B
0 -A
ωt
υ
单自由度有阻尼振动 x(t) = Bsin(ωt+υ)+瞬态响应 系统力学模型 教材101页图5-2中的标注“υ”不对，应改成“υ/ω”，
18:10:18
或将横坐标标尺改成“ωt”。
5-1 频率特性
相频特性 = 正弦信号稳态响应相角 - 正弦输入信号相角
幅频特性和相频特性合起来描述了系统的频响特 性或频率特性。
18:10:18
13
5-1 频率特性
系统频率特性的获得 解析法 令输入x(t)=x0sin(t)，求解微分方程的特解（稳 态解）。可以利用拉氏变换求解；
利用频率响应函数；
实验法
输入正弦信号，测量稳态输出。
18:10:18
5-1 频率特性
利用频率响应函数求频率特性 频率响应函数的定义：对连续线性定常系统，输出 的付立叶变换 C(j) 与输入的付立叶变换 R(j) 之比 ，叫频率响应函数，简称频响函数，也称为正弦传 递函数，记作G(j) 。即
系统的频率特性分析(第二讲)
-45°
-90° 111
20T 10T 5T
112 2T T T
5 10 20 TTT
一阶惯性环节伯德图
一阶微分环节的Bode图与惯性环节的Bode图关于 横轴对称。
二阶微分环节的频率特性
③ 二阶微分环节： G(s) 2s2 2 s 1
幅频和相频特性为：
A
(1 22 )2 (2 )2 ,() arctan 2 1 22
常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，
仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。
而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。
G(s) 5 s 1
当增益 改变时， 相频特 性不变， 幅频特 性上下 平移。
Matlab 绘制的惯性环节的Bode图
4
振荡环节（要重视）G(s)
0.7 0.8 1.0
5
10
T
T
-30°
-60°
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1.0
-180°
1
1
10T 5T
1
1
2
2T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下 的对数幅频特性和对数相频 特性图。上图是不同阻尼系 数情况下的对数幅频特性实 5 10 际曲线与渐近线之间的误差 T T 曲线。
1
0.086 0.34 1.29 2.76 4.30 6.20 4.30 2.76 1.29 0.34 0.086
K 10,T 1, 0.3
G(
j )
s2
10 0.6s
1
o
1 T
40dB/ Dec
contourf 对数坐标
contourf 对数坐标对数坐标是一种常用的坐标系，用于绘制数据的分布情况。
在数据可视化领域，对数坐标图常用于展示数据的幅度和变化趋势。
Contourf是一种绘制等高线填充图的函数，常用于对数坐标下的数据可视化分析。
在对数坐标下，数据的变化范围往往非常广泛，一般由多个数量级组成。
使用普通的线性坐标系会导致数据在图中呈现不均匀的分布，难以观察到细节和趋势。
而对数坐标则可以将数据的幅度进行合理的展示，使得数据的变化趋势更加明显。
Contourf函数可以将数据映射到一个二维平面上，并使用不同的颜色来表示数据的大小。
在对数坐标下，Contourf函数会根据数据的幅度自动调整等高线的间距，从而使得数据的分布更加清晰可见。
通过观察等高线的分布情况，我们可以直观地了解数据的变化趋势和整体分布情况。
在使用Contourf函数时，我们需要先将数据转换为对数形式，然后再进行绘制。
这样可以确保数据在图中呈现出合适的分布。
同时，我们还可以通过调整Contourf函数的参数，如colormap、levels 等来进一步优化图像效果，使得数据的变化更加明显。
除了对数坐标，Contourf函数还可以应用于其他类型的坐标系，如线性坐标系、极坐标系等。
不同的坐标系适用于不同类型的数据，可以帮助我们更好地理解数据的特征和规律。
Contourf函数在对数坐标下的应用可以帮助我们更好地理解数据的分布情况和变化趋势。
通过合理使用Contourf函数，我们可以将复杂的数据转化为直观的图像，为数据分析和决策提供有力支持。
无论是在科研领域还是工程实践中，Contourf函数都是一种非常有用的工具，值得我们深入学习和应用。
3.3对数函数y=logax的图像和性质(解析版)
3.3对数函数y=log a x 的图像和性质1.对数函数的概念：一般地，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫对数函数.2.对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像和性质。
log a y x = 1a > 1a <图像性质（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R（3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)+∞上是增函数（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R（3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)+∞上是减函数3.指对数函数性质比较图象特征函数性质共性 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 过定点（0，1）0<a<1自左向右看，图象逐渐下降 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x>0时,0<y<1; 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当x<0时,y>1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢； a>1自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时,y>1; 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时,0<y<1图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；1．作出以下函数的大致图像，并指出它的单调区间和奇偶性． （1）12log ()y x =-； （2）12log y x =-； （3）12log ||y x =．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【分析】根据函数解析式，由对数函数的性质求定义域区间，画出其大致图象，进而判断单调区间和奇偶性.【详解】（1）由12log ()y x =-知：定义域为(,0)-∞，图象如下：∴由图知：函数在(,0)-∞上单调递增，且为非奇非偶函数. （2）由12log y x =-知：定义域为(0,)+∞，图象如下：∴由图知：函数在(0,)+∞上单调递增，且为非奇非偶函数. （3）由12log ||y x =知：：定义域为(,0)(0,)-∞+∞，图象如下：∴由图知：函数在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，且偶函数.2．设a 与b 为实数，0a >，1a ≠.已知函数log ()a y x b =+的图象如图所示，求a 与b 的值.【答案】3a =，3b =【分析】由图象可知，函数图象过点(2,0),(0,2)-，将点的坐标代入函数中，可得关于,a b 的方程组，从而可求出,a b 的值【详解】由图象可知，函数log ()a y x b =+的图象过点(2,0),(0,2)-， 所以0log (2)a b =-+，且2log a b =，由0log (2)a b =-+，得21b -+=，解得3b =， 则2log 3a =，得3a =， 所以3a =，3b =3．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图像，并指出它们之间的关系． (1)5log y x =； (2)15log y x =；(3)5x y =．【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析【分析】根据指数函数和对数函数的解析式画出对应的图象，利用数学结合的思想即可得出函数之间的关系. (1) 如图所示； (2)如图所示，函数5log y x =与函数15log y x=的图像关于x 轴对称；(3)如图所示，函数5log y x =与函数5x y =的图像关于直线y x =对称．题型二：判断对数函数的图像 1．函数eln ||()e e x xx f x -=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断出()f x 是偶函数，结合102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭可选出答案.【详解】由已知可得函数的定义域为{}0x x ≠，eln ||eln ||()()e e e e x x x xx x f x f x ----===++，所以()f x 是偶函数，函数图像关于y 轴对称，可排除 A ，B ； 由11221eln 1202e e f -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=< ⎪⎝⎭+，可排除D ． 故选：C2．函数ln||1()e x f x x=+的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【分析】当0x >时，根据函数的极值可以排除C 、D ，当0x <时，根据函数的单调性可以排除B ，从而得到结果. 【详解】当0x >时，1()f x x x=+，在1x =处取得最小值，排除C 、D ， 当0x <时，1()f x x x=-为减函数， 故选:A ．3（多选）．在同一坐标系中，函数x y a -=与log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.【详解】当1a >时，x y a -=定义域为R ，且在R 上单调递减，log a y x =定义域为(0,)+∞，且在(0,)+∞上单调递增，D 符合；当01a <<时，x y a -=定义域为R ，且在R 上单调递增，log a y x =定义域为(0,)+∞，且在(0,)+∞上单调递减，B 符合．故选：BD ．题型三：根据对数函数图像判断参数范围1．已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<【答案】D【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【详解】因为函数()()log a f x x b =-为减函数，所以01a << 又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以10x b =+>，即1b >- 又因为函数图象与y 轴有交点，所以0b <，所以10b -<<， 故选：D2．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【答案】D【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．【详解】y ＝log ax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log bx ，y ＝log cx 的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b ，c ∈（0，1），又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b . 故选：D ．3．已知函数f (x )=ln(x +a )的图象不经过第四象限，则a 的取值范围是（ ） A ．(0，1) B ．(0， +∞)C ．(0，1]D ．[1，+∞)【答案】D【分析】根据对数函数的图象结合图象平移变换可得．【详解】()f x 的图象是由ln y x =的图象向左平移a 个单位所得．ln y x =的图象过(1,0)点，函数为增函数，因此1a ≥． 故选：D ．二、多选题4．已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x x f x k a a-=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD【分析】对于A 结合对数型函数图像相关知识求解；对于B 运用定义法判断()f x 是否在R 上是奇函数；对于C 运用定义法判断函数单调性；对于D 通过作差法并对式子变形即可判断. 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.)x a -1．函数()log ,(01)a f x x a a =>≠且的图象所过定点的坐标为___________. 【答案】(1,0)【分析】由对数函数的性质求解，【详解】由题意得(1)0f =，()f x 的图象过定点(1,0)， 故答案为：(1,0)2．函数()()log 111a y x a =++>必过定点___________. 【答案】(0,1)【分析】根据对数函数的性质，令0x =即可确定定点. 【详解】由对数的性质知：当0x =时log 111a y =+=， 所以函数必过定点(0,1). 故答案为：(0,1)3．已知0a >且1a ≠，若函数()x mf x a n +=+与()()log 14a g x x =-+的图象经过同一个定点，则m n +=__________. 【答案】1【分析】由log 10a =可得出函数()g x 所过定点，再由01a =可得出,m n 的值，得出答案. 【详解】函数()()log 14a g x x =-+的图象经过定点()2,4所以()x m f x a n +=+的图象也过定点()2,4， 即()22=4mf a n +=+则2,3m n =-=，所以1m n += 故答案为：1题型五：对数函数图像的应用1．已知函数()()log a f x x b =+的图象如图，则ab =________．【答案】8【分析】由图像可得：()f x 过点()3,0-和()0,2，代入解得a 、b ．【详解】由图像可得：()()log a f x x b =+过点()3,0-和()0,2，则有：()3log 0log 2b a a b -⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得42b a =⎧⎨=⎩． ∴8ab =． 故答案为：８．2．若1132log log m n >（01,01m n <<<<），则m ______n （填“<”或“>”）．【答案】< 【分析】结合1132log ,log y x y x==的图象确定正确结论. 【详解】画出1132log ,log y x y x==的图象如下图所示：通过观察这两个函数在区间()0,1上的图象可知，要使1132log log m n>，则需m n <.故答案为：<3．函数2()log (1)2f x x =++的图像是把函数2log y x =的图像先向___________平移___________个单位，再向上移动2个单位. 【答案】 左 1【分析】根据自变量加减左右移，函数值上加下减的平移原则，即可得到答案； 【详解】22log log (1)x x →+，图象向左平移1个单位，22log (1)log (1)2x x +→++，图象向上平移2个单位， 故答案为：左，1 题型六：对数函数单调性1．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（ ） A ．2log y x = B ．2xy -=C ．1y x =+D ．3y x =【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.2．已知2log (1)log (2)a a a a +<，则实数a 的取值范围是_________.【答案】()0,1【分析】对a 进行分类讨论，结合对数函数的单调性求得a 的取值范围. 【详解】当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上递减， ()22212,2110a a a a a +>-+=->恒成立.当1a >时，log a y x =在()0,∞+上递增， ()22212,2110a a a a a +<-+=-<无解.综上所述，a 的取值范围是()0,1. 故答案为：()0,13．已知log 2log 1a a >，则底数a 的取值范围为_________. 【答案】(1,)+∞【分析】根据对数函数底数范围和对数函数单调性即可判断a 的范围． 【详解】若0＜a ＜1，则log 2log 1a a <，不符题意； 若a ＞1，则log 2log 1a a >，符合题意； 综上，a ＞1． 故答案为：(1,)+∞．题型七：对数型复合函数单调性1．己知函数()22()log 45f x x x =--+，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(,2)-∞-B ．(5,2)--C ．(2,1)-D ．(2,)-+∞【答案】B【分析】求出给定函数的定义域，再利用复合函数单调性求解作答.【详解】函数()22()log 45f x x x =--+有意义，则2450x x --+>，解得51x -<<，即函数()f x 的定义域为(5,1)-，函数245u x x =--+在(5,2)--上单调递增，在(2,1)-上单调递减，而函数2log y u =在(0,)+∞上单调递增，因此函数()f x 在(5,2)--上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以函数()f x 的单调递增区间为(5,2)--. 故选：B2．若()()22log 6f x x ax =-+在区间[2,2)-上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[4,5]B ．(4,5]C ．[4,5)D ．[5,)+∞3．函数()2ln(421)f x x x =+-的单调递减区间是______.【答案】(,7)-∞-【分析】根据复合函数的单调规律来判断.【详解】要使()2ln(421)f x x x =+-有意义，则24210x x +->，解得7<-x 或3x >，()2ln(421)f x x x =+-定义域为()(),73,-∞-⋃+∞，设()()2421,,73,x x x μ=+-∈-∞-⋃+∞，则ln y u =，因为ln y u =在定义域上单调递增；()()2421,,73,x x x μ=+-∈-∞-⋃+∞的增区间为()3,+∞，减区间为(),7-∞-，所以根据复合函数的单调性可得()2ln(421)f x x x =+-的递减区间为(),7-∞-故答案为：(),7-∞-题型八：对数函数单调性应用1．已知lge 2ln e,10a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．b<c<a2．已知e 是自然对数的底数，函数()e e x x f x -=-，实数,m n 满足不等式(32)(2)0f n m f n -+->，则下列结论正确的是（ ） A ．e 2e m n > B ．若1,n >-则11n nm m+>+ C ．ln()0m n -> D ．20222022m n >3．已知()()()512,10,1log ,1a a x a x f x a a x x ⎧-+≤=>≠⎨>⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是______. 1．已知函数12log y x =，当3,x a a ⎡⎤∈⎣⎦时，函数的最大值比最小值大4，则实数=a ______．2．设a ＞1，函数f (x )＝log ax 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________．3．已知函数()22,4log ,4x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],2-∞-【分析】根据分段函数的解析式讨论x 的取值范围，再利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】当4x <时，()2xf x a =-的取值范围是(),16a a --,当4x ≥时，()2log 42f x ≥=, 若()f x 存在最小值，则2-≥a ， 解得2a ≤-，即实数a 的取值范围是(],2-∞-. 故答案为：(],2-∞-.题型十：根据对数函数的最值求参数1．函数log a y x =在[]2,3上最大值比最小值大1，则=a ______.2．已知函数()f x 为函数(1)x y a a =>的反函数，且()f x 在区间[],2a a 上的最大值与最小值之差为1，则a 的值为___________. 【答案】2【分析】由题意知：()log a f x x =且在[,2]a a 上单调递增，由此即可列出等式，解出答案. 【详解】因为()f x 为函数x y a =的反函数，所以()log a f x x =， 又1a >，所以()f x =log a x 在[,2]a a 上单调递增，所以当[,2]x a a ∈时min ()()log 1a f x f a a ===，()max ()(2)log 2a f x f a a ==， 由题意，()log 211a a -=， 所以()log 22a a =，22a a =， 解得2a =或0a =（舍去）. 故答案为：2.3．已知函数41()log (41).2xf x x =+-(1)求证：44log (41)log (14)x xx -+-=+；(2)若函数()y f x =的图象与直线12y x a =+没有交点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)0a ≤.1．设x ，y 是实数，则“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件22log log 0x y +<得不出“01x <<，且01y <<”，所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分不必要条件； 故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义，能正确判断条件能否推出结论，结论能否推出条件.2．已知()()2ln 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．若关于x 的不等式9log 2(0xa x a -≤>且1)a ≠在02⎛⎤ ⎥⎝⎦，上恒成立，则a 的取值范围为______．。
系统的频率特性分析(第二讲)
90
1 10 100
1 10 100
对数幅频特性为一条斜
率为－20dB/dec的直线，
此线通过L(ω)=0，ω=1 的点 。
二重积分：G(
j)
1
j
2
L() / dB 40 20
20 40 ()
90
-180°
1 10 100
1 10 100
L() 40 lg ()
。
因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可 能有很大的误差。
振荡环节的伯德图
L( )(dB)
20
10
0
-10
渐近线
()(deg) 0°
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
16
12
8
4
0
-4
-8
1
1
10T 5T
1
1
2
2T
T
T
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
谐振频率，谐振峰值
对 A 求导并令等于零，可解得 A 的极值对应的频率 r。
r n 1 2 2
该频率称为谐振峰值频率。可见，当
1 2
0.707 时，r
0
。
当 1 时，无谐振峰值。当 1 时，有谐振峰值。
2
2
Mr A(r ) 2
1
1 2
当
0
，A(0 )
1
2
，L(0 ) 20 lg 2
T 2.0 3.0 4.0 5.0 7.0 10 20 50 100
-63.4 -71.5 -76 -78.7 -81.9 -84.3 -87.1 -88.9 -89.4
对数坐标图 公式42页PPT
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
对数坐标 笛卡尔坐标
对数坐标笛卡尔坐标
对数坐标和笛卡尔坐标是两种常用的坐标系，它们在表示和解析数据时各有特点。
1.笛卡尔坐标系：
(1)笛卡尔坐标系是一种基于直角系统的坐标系，其原点位于系统的中心，三条互相垂直的
坐标轴分别对应于数学中的x、y、z轴。
(2)在二维空间中，一个点的位置可以通过其在x轴和y轴上的投影来确定，而在三维空间
中，一个点的位置则可以通过其在x、y和z轴上的投影来确定。
(3)笛卡尔坐标系是一种绝对定位系统，因为每个点的位置都是相对于坐标原点和坐标轴进
行确定的。
2.对数坐标系：
(1)对数坐标系是一种用于表示数据变化率和尺度的坐标系，它通过对数的计算方式将数据
的增长或衰减趋势映射到坐标轴上。
(2)在对数坐标系中，坐标轴的刻度是按照对数的规则排列的，这意味着在增加相同数量的
刻度时，数据值的增加是成倍增加的。
(3)对数坐标系通常用于表示数据分布和趋势，尤其是在数据跨越了多个数量级时，它可以
更好地揭示数据的结构和模式。
对数曲线的Excel中绘制
Excel中半对数曲线和双对数曲线的绘制打开一个空白Excel表格
依次点击：插入—图表
选择XY散点图
点击下一步，在系列选项卡中添加系列1
点击下一步，设置各类选项最后点击完成
生成一个图表
鼠标放到X轴上点鼠标右键
点坐标轴格式，选择刻度选项卡，选中对数刻度，根据实际情况选择最大最小刻度生成X轴为对数的半对数坐标
在图表中点右键选择图表选项
选中X轴的次要网格线，点击确定
在图表中点右键选择绘图区格式区域中选择无
确定后半对数坐标就完成了
鼠标放到Y轴上点鼠标右键点坐标轴格式，选择刻度选项卡，选中对数刻度，根据实际情况选择最大最小刻度。
重复X轴的操作，就完成了双对数坐标。
loglog标准曲线
loglog标准曲线首先，让我们来了解一下loglog标准曲线的基本概念。
Loglog标准曲线是一种双对数坐标图，它的横纵坐标都采用对数尺度。
这种图形的特点是在对数坐标下，线性关系会呈现为一条直线，这样可以更清晰地展现数据之间的关系。
在实际应用中，loglog标准曲线通常用于分析大量数据的分布规律，特别是在科学研究和工程领域中得到了广泛的应用。
接下来，我们来看一下loglog标准曲线的特点。
首先，它可以帮助我们发现数据之间的潜在规律。
通过将数据转换到对数尺度下，我们可以更容易地发现数据之间的线性关系，从而找到隐藏在数据背后的规律。
其次，loglog标准曲线可以有效地展现数据的分布情况。
在对数坐标下，数据的分布情况会呈现出更加直观的形式，有助于我们对数据进行更深入的分析和理解。
最后，loglog标准曲线还可以帮助我们进行数据的比较和预测。
通过对数据进行对数变换，我们可以更准确地比较不同数据之间的差异，并且可以利用曲线的趋势来进行数据的预测和估计。
那么，loglog标准曲线在实际应用中如何使用呢？首先，我们需要明确我们所要分析的数据类型和目的，然后选择合适的对数变换方法将数据转换到对数尺度下。
接下来，我们可以绘制loglog标准曲线，并通过观察曲线的形状和趋势来分析数据的规律。
在分析过程中，我们还可以利用曲线的斜率和截距等信息来进行更深入的数据挖掘和分析。
最后，我们可以根据loglog标准曲线的分析结果来进行数据的预测和决策，为实际问题的解决提供有力的支持。
总之，loglog标准曲线是一种非常有用的数据分析工具，它可以帮助我们更深入地理解数据的规律和特点。
通过对数据进行对数变换，我们可以更清晰地展现数据之间的关系，从而为科学研究和工程实践提供更加可靠的数据支持。
希望通过本文的介绍，读者们能够对loglog标准曲线有一个更加深入的理解，并能够在实际应用中灵活运用这一方法，为自己的工作和研究带来更多的启发和帮助。