2019年珠海市数学高考第一次模拟试卷带答案

2019年珠海市数学高考第一次模拟试卷带答案

一、选择题

1．设1i

2i 1i

z -=++，则||z = A ．0

B ．

12

C ．1

D ．2

2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i

B ．-1+3i

C ．3+i

D ．-1+i

4．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．100

5．设双曲线22

22:1x y C a b

-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别

交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若22

0MF NF ?=u u u u v u u u u v

，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲线C 的离心率为( ). A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

6．已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 7．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）

A ．2

B ．3

C ．22

D ．32

8．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3

x π

=对称的函数是（ ）

A ．2sin 23y x π?

?

=+ ??

?

B ．2sin 26y x π??

=- ??

? C ．2sin 23x y π??

=+ ??

? D ．2sin 23y x π?

?

=-

??

?

9．设集合，，则

=（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．在如图的平面图形中，已知

1,2,120OM ON MON ==∠=o

,2,2,BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v 则·BC OM u u u vu u u u v

的值为

A ．15-

B ．9-

C ．6-

D ．0

11．若实数满足约束条件

，则的最大值是（ ）

A ．

B ．1

C ．10

D ．12

12．已知抛物线2

2(0)y px p =>交双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的渐近线于A ，B 两点

（异于坐标原点O ），若双曲线的离心率为5，AOB ?的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)

B ．(4,0)

C ．(6,0)

D ．(8,0)

二、填空题

13．设函数()21

2

log ,0

log (),0x x f x x x >??

=?--，则实数a 的取值范围是

__________．

14．若x ，y 满足约束条件x y 10

2x y 10x 0

--≤??-+≥??≥?

，则x

z y 2=-+的最小值为______．

15．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,

12sin x y θθ

=+??=+?（θ为参数）相切，则a 的值为

____.

16．已知点()0,1A ，抛物线()2

:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交

于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值为__________．

17．若,满足约束条件

则的最大值 ．

18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 19．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．

20．已知双曲线1C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的

点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：

22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．

三、解答题

21．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000:步，（说明：“02000:”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000:步，C 、50008000:步，D 、800010000:步，E 、

1000012000:步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所

示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000:的人数；

（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000:的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．

22．定义在R 的函数()f x 满足对任意x y ?R 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.

（1）求(1)(1)f f -、的值； （2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；

（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合. 23．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，

90BAF ∠=?，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.

（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；

（2）若二面角D AP C --的余弦值为

6

3

，求PF 的长度

. 24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每

12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.

（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；

（2）记,,2n

n n

a C n

b *=

∈N 证明：12+2,.n C C C n n *++<∈N L 25．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 2 2.4πρθρθ?

?

=-= ??

?

. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）

112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为

()33{,,.1

2

x t a t R a b b y t =+∈=+为参数求的值 26．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=?，

11

30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==分别是11,AC A B 的中点.

（1）证明：EF BC ⊥；

（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C 解析：C 【解析】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()

1i 1i 1i

2i 2i 1i 1i 1i z ---=

+=++-+ i 2i i =-+=，

则1z =，故选c.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

2．A

解析：A

【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x 坐标相同，而y 、z 坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称． 考点：空间两点间的距离.

3．C

解析：C 【解析】

因为2

(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.

4．A

解析：A

【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不

同的放法总数是： 3

6240C = 种.

本题选择A 选项.

5．B

解析：B 【解析】 【分析】

本道题设2MF x =,利用双曲线性质,计算x ，结合余弦定理，计算离心率，即可． 【详解】

结合题意可知,设22,,,MF x NF x MN ===则

则结合双曲线的性质可得,21122,2MF MF a MF MN NF a -=+-=

代入,解得x =,所以122,NF a NF =+=,01245F

NF ∠= 对三角形12F NF 运用余弦定理,得到

()()

()()()

2

2

2

02222cos45a c a ++-=+?,解得c

e a

=

= 故选B.

【点睛】

本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x ，即可，难度偏难．

6．D

解析：D 【解析】 【分析】

由cos cos θθ=以及绝对值的定义可得cos 0θ≥,再结合已知得sin 0,cos 0θθ<>,根据三角函数的符号法则可得. 【详解】

由cos cos θθ=，可知cos 0θ≥，结合sin cos 0θθ<，得sin 0,cos 0θθ<>， 所以角θ是第四象限角， 故选:D 【点睛】

本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.

7．C

解析：C 【解析】 【分析】

两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】

因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0， 两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程. 圆C 1：x 2

+y 2

＝4，圆心到公共弦的距离为

d =

，

所以公共弦长为：l ==. 故选：C 【点睛】

本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

8．B

解析：B 【解析】 【分析】

首先选项C 中函数2sin 23x y π??

=+ ???的周期为

2412

T π

π==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值,而函数sin()y A x B ω?=++在对称轴处取最值,即可求出结果. 【详解】

先选项C 中函数2sin 23x y π??

=+ ???的周期为

2412

T π

π==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值为0,2,3,而函数sin()y A x B ω?=++在对称轴处取最值. 故选:B . 【点睛】

本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易.

9．B

解析：B 【解析】 试题分析：集合

，故选B.

考点：集合的交集运算.

10．C

解析：C 【解析】

分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN ，

由2,2BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v

可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点， 则()

33BC MN ON OM ==-u u u v u u u u v u u u v u u u u v ，

由题意可知：

22

11OM ==u u u u v ，12cos1201OM ON o

u u u u v u u u v ?=??=-，

结合数量积的运算法则可得：

()

2

333336BC OM ON OM OM ON OM OM ?=-?=?-=--=-u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v .

本题选择C 选项.

点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

11．C

解析：C 【解析】 【分析】

本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查. 【详解】

在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数

经过平面区域的点

时，

取最大值

.

【点睛】

解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.

12．B

解析：B 【解析】 【分析】 由题意可得

2b

a

=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确

定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】

2222

2

22

215c a b b e a a a

+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：

22322n

m mn n pm ?=??

=??=??

，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】

本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、填空题

13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??

【解析】 【分析】 【详解】

由题意()()f a f a >-?2120 log log a a a >???>??或()()1220

log log a a a -??01a a a >??

??>??

或

11

a a a a

?->-??或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-?+∞，故答案为()()1,01,-?+∞.

14．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A 时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为

解析：-1 【解析】 【分析】

画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1

z x y 2

=-+的最小值． 【详解】

画出约束条件102100x y x y x --≤??

-+≥??≥?

表示的平面区域如图所示，

由图形知，当目标函数1

z x y 2

=-+过点A 时取得最小值，由{

x 0

x y 10=--=，解得

()A 0,1-，代入计算()z 011=+-=-，所以1

z x y 2

=-+的最小值为1-．

故答案为1-． 【点睛】

本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．

15．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线

与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使

解析：3

4

【解析】 【分析】

根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。 【详解】

圆22cos ,12sin x y θθ

=+??=+?化为普通方程为22(2)(1)2x y -+-=， 圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，

22121

a a +=+，解得34

a =

。 【点睛】

直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。

16．【解析】依题意可得焦点的坐标为设在抛物线的准线上的射影为连接由抛物线的定义可知又解得点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用考查了学生数形结合思想和转化与化归思想设出点在抛物线的准 解析：2

【解析】

依题意可得焦点F 的坐标为04a ??

???

，， 设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK 由抛物线的定义可知MF MK =

13FM MN =Q ∶∶ 221KN KM ∴=∶∶

又

014

04

FN K a a --=

=-， 22FN KN K KM

==-

4

22a

-∴

=-，解得2a = 点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用，考查了学生数形结合思想和转化与化归思想，设出点M 在抛物线的准线上的射影为K ，由抛物线的定义可知

MF MK =，再根据题设得到221KN KM =∶∶，然后利用斜率得到关于a 的方程，

进而求解实数a 的值

17．3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示由斜率的意义知yx 是可行域内一点与原点连线的斜率由图可知点A （13）与原点连线的斜率最大故yx 的最大值为3考点：线性规划解法 解析：

【解析】

作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.

考点：线性规划解法

18．【解析】【分析】首先根据题中所给的类比着写出两式相减整理得到从而确定出数列为等比数列再令结合的关系求得之后应用等比数列的求和公式求得的值【详解】根据可得两式相减得即当时解得所以数列是以-1为首项以2 解析：63-

【解析】 【分析】

首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到

12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得

11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值.

【详解】

根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=， 当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-， 所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，

所以66(12)

6312

S --==--，故答案是63-.

点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.

19．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用 解析：64

【解析】

试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，212

1(1)10

{(1)5

a q a q q +=+=，解得18

{12

a q ==.所

以2(1)

1712(1)222121

18()22n n n n n n n

n a a a a q L L --++++-==?=，于是当3n =或4时，12n

a a a L 取得最大值6264=. 考点：等比数列及其应用

20．【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线：经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点为可得①又可得即为②由联立①②可得由为焦点的抛物线：经过点可得且即

解析：2+

【解析】 【分析】 由题意可得00b

y x a

=

，又由12MF MF ⊥，可得22200y x c +=，联立得0x a =，0y b =，又由F 为焦点的抛物线2C ：2

2(0)y px p =>经过点M ，化简得224ac 0c a --=，根据离心率c

e a

=，可得2410e e --=，即可求解． 【详解】

由题意，双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±，焦点为()1,0F c -，()2,0F c ， 可得00b

y x a

=

，① 又12MF MF ⊥，可得

00

001y y x c x c

?=-+-， 即为222

00y x c +=，②由222a b c +=，联立①②可得0x a =，0y b =，

由F 为焦点的抛物线2C ：2

2(0)y px p =>经过点M ， 可得2

2b pa =，且2

p

c =，即有2224b ac c a ==-，即224ac 0c a --=

由c

e a =

，可得2410e e --=，解得2e =+【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c 的值，代入公式c

e a

=

；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范

围)．

三、解答题

21．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）35

． 【解析】 【分析】

（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数． （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 【详解】

（Ⅰ）由题意，所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人， 所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数约为

26

40026040

?

=人； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.1520.3?=，所以男生的人数为为200.36?=人，根据柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人．再从这6位微信好友

中随机抽取2人进行采访，基本事件总数2

615n C ==种，

至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是男性，

∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：24263

15

C P C =-=．

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

22．(1)(1)0f =，(1)0f -=；(2)偶函数，证明见解析；(3)1{|}2

x x ≤ 【解析】 试题分析：

(1)利用赋值法：令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=； (2)令1y =-，结合(1)的结论可得函数()f x 是偶函数；

(3)结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f 符号，求解绝对值不等式12x x +≤-可得x 的取值范围是1{|}2

x x ≤. 试题解析：

（1）令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=；

（2）令1y =-，对x R ∈得()()()1f x f f x -=-+即()()f x f x -=，而()f x 不恒为

0，

()f x ∴是偶函数；

（3）又()f x 是偶函数，()()f x f

x ∴=，当0x >时，()f x 递增，由

()()12f x f x +≤-，得()()12,12,f x f x x x x +≤-∴+≤-∴的取值范围是

1

{|}2

x x ≤.

23．（1）见解析；（2

）3

【解析】 【分析】

（1）先证明AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，即得AF ⊥平面ABCD ；（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题

得cos ,3m AB m AB m AB

?===

u u u v

u u u v u u u v ，解方程即得解.

【详解】

（1）证明：∵90BAF ∠=?，∴AB AF ⊥，

又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AF ?平面ABEF ， ∴AF ⊥平面ABCD .

（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D

，()0,0,1F ，

∴()0,2,1FD u u u v =-，()1,2,0AC =u u u v

，()1,0,0AB =u u u r

由题知，AB ⊥平面ADF ，

∴()1,0,0AB =u u u r

为平面ADF 的一个法向量， 设()01FP FD λλ=≤

)0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-u u u v

， 设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则0

m AP m AC ??=??=?u u u v u u u v ， ∴()21020

y z x y λλ?+-=?

+=?

，令1y =，可得22,1,

1m λλ??

=- ?-?

?

，

∴cos ,3m AB m AB m AB

?===

u u u v

u u u v u u u v ，得1

3

λ=或1λ=-（舍去），

∴PF =

【点睛】

本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

24．（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】

(1)首先求得数列{}n a 的首项和公差确定数列{}n a 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列{}n b 的通项公式；

(2)结合(1)的结果对数列{}n c 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式. 【详解】

(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=?

?

??+=+??

，解得：102a d =??

=?， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- . 其前n 项和()()02212

n n n S n

n +-?=

=-.

则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：

()()()()2

1112n n n n n b n n b n n b ++=-+?+++????????????，

据此有：

()()()()()()()()2

222

121112121n n n n n

n n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，

故()()()()

()22112121(1)(1)(1)(2)

n n n n n n b n n n n n n n n n +--++=

=++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：

()(

1121211

n n n a n C n n b n n n n n n n -=

=<=<=-+++-，

则(

)122

102

212

12n C C C n n n +++<+++-=L L

【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 25．（I ）(4,),(22,)24

π

π

（II ）

1,2a b =-= 【解析】 【分析】 【详解】

（I ）圆1C 的直角坐标方程为22

(2)4x y +-=，直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=

联立得22(2)4

{40x y x y +-=+-=得110{4x y ==222{2x y ==所以1C 与2C 交点的极坐标为(4,),(22,)24

ππ

（II ）由（I ）可得，P ，Q 的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ 的直角坐标方程为

20x y -+=

由参数方程可得122

b ab y x =

-+，所以1,12,1,222b ab

a b =-+==-=解得

26．（1）证明见解析；（2）3

5

. 【解析】 【分析】

(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；

(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值. 【详解】

(1)如图所示，连结11,A E B E ，

等边1

AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =，

由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，

由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ?平面11A B E ，故EF BC ⊥.

(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.

设1EH =，则3AE EC ==

1123AA CA ==3,3BC AB ==，

据此可得：()()()

1330,3,0,,0,0,3,3,02A B A C ??

- ? ???

，

由11

AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B 的坐标为1333,322B ??

???

， 利用中点坐标公式可得：333,344F ??

???，由于()0,0,0E ， 故直线EF 的方向向量为：333,344EF ??

= ???

u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r

，则：

()()13333,,330223333,,,,002222m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ????=?-=+-=? ? ????

?

????=?-=-+= ?? ????

， 据此可得平面1A BC 的一个法向量为()

3,1m =u r ，333,344EF ??

= ???

u u u r 此时4cos ,53552

EF m EF m EF m

?===??

u u u r u r

u u u r u r u u u r u r ，

设直线EF与平面1A BC所成角为θ，则

43 sin cos,,cos

55

EF m

θθ

===

u u u r u r

.

【点睛】

本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.