高中数学教案：若则命题的四种形式

若则命题的四种形式课程目标知识提要若则命题的四种形式•若则命题命题的常见形式为“若p则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．•逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．•否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若¬p，则¬q”．•逆否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题（inverse and negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若¬q，则¬p”．•四种命题的相互关系•四种命题的真假关系①互为逆否的两个命题，它们有相同的真假性；②互逆或互否的两个命题，它们的真假性没有关系．精选例题若则命题的四种形式1. “若a⩽b，则ac2⩽bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是．【答案】2【分析】其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．2. 给出下列命题：①原命题为真，则它的否命题为假；②原命题为真，则它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，则它的否命题一定为真．其中真命题是．（把你认为正确的命题的序号都填上）【答案】②③【分析】原命题为真，则它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题的两个命题同真同假，所以①④错误，②③正确．3. “若a⩽b，则ac2⩽bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是．【答案】24. 设有非空集合A，B，C，若“ a∈A”的充要条件是“ a∈B且a∈C”，则“ a∈B”是“ a∈A”的条件．【答案】必要5. 命题“若y=2x，则x与y成正比例关系”的否命题是．【答案】若y≠2x，则x与y不成正比例关系6. 命题“若x=3，y=5，则x+y=8”的逆命题是；否命题是，逆否命题是．【答案】逆命题：若x+y=8，则x=3，y=5；否命题：若x≠3或y≠5，则x+y≠8；逆否命题：若x+y≠8，则x≠3或y≠57. 给出命题“若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是．【答案】1【分析】因为命题“若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y=f(x)的图象不过第四象限，则函数y=f(x)是幂函数”是假命题，如函数y=x+1，所以由互为逆否的两个命题的真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1．8. 设a⃗，b⃗⃗是向量，命题p：“若a⃗=−b⃗⃗，则∣a⃗∣=∣b⃗⃗∣”，则：命题p的否命题是；命题p的逆命题是；命题p的逆否命题是；命题p的否定是；其中的真命题是．【答案】“若a⃗≠−b⃗⃗，则∣a⃗∣≠∣b⃗⃗∣”；“若∣a⃗∣=∣b⃗⃗∣，则a⃗=−b⃗⃗”；‘‘若∣a⃗∣≠∣b⃗⃗∣，则a⃗≠−b⃗⃗”；“若a⃗=−b⃗⃗，则∣a⃗∣≠∣b⃗⃗∣”；原命题p，命题p的逆否命题9. 命题“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题是．【答案】如果一个函数的图象不关于原点对称，则这个函数不是奇函数10. 给出下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若ab=0，则a=0”的否命题．其中真命题的序号是．【答案】②③【分析】①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②原命题的逆命题为：“ x，y互为相反数，则x+y=0”，是真命题；③“若ab=0，则a=0”的逆命题为“若a=0，则ab=0”，显然为真命题．11. 若p的逆命题是r，r的否命题是s，则s是p的否命题的．【答案】逆命题12. “若a>b，则2a>2b”的逆否命题为．【答案】若2a⩽2b，则a⩽b．13. 命题“ ∀x∈R，x2+x+1⩽0”的否定是．【答案】∃x∈R，x2+x+1>014. 命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”，与它的逆命题、否命题及逆否命题中假命题是，真命题是．【答案】原命题、逆否命题；逆命题、否命题【分析】该题只需判断原命题与逆命题的真假即可．15. 在命题p的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：" 若两条直线l1：a1x+b1y+c1=0,l2：a2x+b2y+c2=0平行，则a1b2−a2b1=0 "．那么f(p)=．【答案】2【分析】命题p为真命题，其逆否命题也为真命题；命题p的逆命题为假命题，其否命题也为假命题．16. "若a∉M或a∉P，则a∉M∩P "的逆否命题是．【答案】若a∈M∩P，则a∈M且a∈P17. 给出下列命题：①“若k>0，则关于x的方程x2+2x−k=0有实根”的逆命题为；②“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为；③“若A∪B=B，则A⊆B”的逆否命题为；④命题p：“ x,y∈R，若x2+y2=0，则x，y全为0”的非命题为．你写出的命题是真命题的序号是．【答案】①若关于x的方程x2+2x−k=0有实根，则k>0；②若a>b，则2a⩽2b−1；③若A⊈B，则A∪B≠B；④x,y∈R，若x2+y2=0，则x，y不全为0．③18. 在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是．【答案】②19. 命题“若x⩽1，则x2⩽1”的逆否命题为．【答案】若x2>1，则x>1．20. 命题“若(x−1)2+(y−1)2=0，则x=1且y=1”的否命题是．【答案】x≠1或y≠1【分析】若(x−1)2+(y−1)2≠0，则x≠1或y≠1．21. 写出下列命题的否定：(1)若m2+n2+a2+b2=0，则实数m，n，a，b全为零；【解】若m2+n2+a2+b2=0，则实数m，n，a，b不全为零．(2)正方形的四边相等；【解】正方形的四边不都相等．(3)a,b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除．【解】a,b∈N，若ab可被5整除，则a，b中没有一个能被5整除．22. 若a,b,c∈R，写出命题“若ac<0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．【解】逆命题：“若ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不相等的实数根，则ac<0．”它是假命题．否命题：“若ac⩾0，则方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)没有两个不相等的实数根．”它是假命题．逆否命题：“若ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)没有两个不相等的实数根，则ax⩾0．”它是真命题．23. 已知命题：“若x⩽0或y⩽0，则x+y⩽0”，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出它们的真假．【解】逆命题：若x+y⩽0，则x⩽0或y⩽0，是真命题．否命题：若x>0且y>0，则x+y>0，是真命题．逆否命题：若x+y>0，则x>0且y>0，是假命题．24. 写出命题“若a和b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题和逆否命题．【解】否命题：若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数．逆否命题：若a+b不是偶数，则a和b不都是偶数．25. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出它们的真假：(1)若xy=0，则x，y中至少有一个是0；【解】逆命题：若x，y中至少有一个是0，则xy=0，是真命题．否命题：若xy≠0，则x，y都不为0，是真命题．逆否命题：若x，y都不为0，则xy≠0，是真命题．(2)若x>0且y>0，则xy>0．【解】逆命题：若xy>0，则x>0且y>0，是假命题．否命题：若x⩽0或y⩽0，则xy⩽0，是假命题．逆否命题：若xy⩽0，则x⩽0或y⩽0，是真命题．26. 已知条件p:(5x−1)2−a2>0(a>0)和条件q:12x2−3x+1>0．请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A，B构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题是什么？【解】条件p:由题意知5x−1<−a或5x−1>a，所以x<1−a5或x>1+a5．条件q:由题意知2x2−3x+1>0，所以x<12或x>1．令a=4，则p:x<−35或x>1，此时必有p⇒q成立，反之不然．故可以选取一个实数a=4，A为p，B为q，对应的命题是“若p，则q”，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．（答案不唯一）27. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．(1)当c<0时，若ac>bc，则a<b；【解】逆命题：当c<0时，若a<b，则ac>bc；真命题，否命题：当c<0时，若ac⩽bc，则a⩾b；真命题，逆否命题：当c<0时，若a⩾b，则ac⩽bc；真命题．(2)若ab=0，则a=0或b=0．【解】逆命题：若a=0或b=0，则ab=0；真命题，否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题，逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．28. 把“末位数字是0的整数，可以被5整除”写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假．【解】原命题：若一个整数的末位数字是0，则这个数可以被5整除，是真命题．逆命题：若一个整数可以被5整除，则这个数的末位数字是0，是假命题．否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个数不能被5整除，是假命题．逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个数的末位数字不是0，是真命题．29. 已知命题p:若ac⩾0，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实根．(1)写出命题p的否命题；【解】命题p的否命题为“若ac<0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有实根”． (2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．【解】命题p的否命题是真命题．证明如下：因为ac<0，所以−ac>0，所以Δ=b2−4ac>0，所以一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，所以该命题是真命题．30. 分别写出命题“若x2+y2=0，则x，y全为零”的逆命题、否命题与逆否命题．【解】逆命题：若x，y全为零，则x2+y2=0．否命题：若x2+y2≠0，则x，y不全为零．逆否命题：若x，y不全为零，则x2+y2≠0．31. 证明：若p2+q2=2，则p+q⩽2．【解】证法 1：若p+q>2，则p2+q2=12[(p−q)2+(p+q)2]⩾12(p+q)2>12×22=2，这与已知p2+q2=2矛盾，所以原命题正确．证法2：因为p2+q2=2，设p=√2cosα，q=√2sinα(α∈R)．则p+q=√2(cosα+sinα)=2sin(α+π4)，所以p+q⩽2．证法 3：令t=p+q，则将q=t−p代入p2+q2=2并整理，得2p2−2tp+t2−2=0．因为p∈R，所以Δ⩾0，即4t2−4×2(t2−2)⩾0，解得−2⩽t⩽2，所以p+q⩽2．32. 设T=x+y+xy，其中x，y均为非零实数．问：命题“若1x +1y>0，则T≠0”的否命题是否正确？为什么？【解】命题“若1x +1y>0，则T≠0”的否命题为“若1x+1y⩽0，则T=0”，原命题的否命题为假命题．举反例如下：取x=−1，y=1，满足1x +1y⩽0，但T=(−1)+1+(−1)⋅1=−1≠0．故原命题的否命题不正确．33. 写出命题“若x2+7x−8=0，则x=−8或x=1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．【解】逆命题：若x=−8或x=1，则x2+7x−8=0．逆命题为真．否命题：若x2+7x−8≠0，则x≠−8且x≠1．否命题为真．逆否命题：若x≠−8且x≠1，则x2+7x−8≠0．逆否命题为真．34. 写出命题“若a=0，则ab=0”的逆命题、否命题与逆否命题．【解】原命题：若a=0，则ab=0；逆命题：若ab=0，则a=0；否命题：若a≠0，则ab≠0；逆否命题：若ab≠0，则a≠0．35. 写出命题："若x+y=5则x=3且y=2 "的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假．【解】逆命题：若x=3且y=2则x+y=5；真否命题：若x+y≠5则x≠3或y≠2；真逆否命题：若x≠3或y≠2则x+y≠5；假36. 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；【解】若一个数是实数，则它的平方是非负数．这个命题是真命题．(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；【解】若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．这个命题是假命题．(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；【解】若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．这个命题是真命题．(4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．【解】若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．这个命题是真命题．37. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定形式，并判断真假．(1)若x2+y2=0，则x、y全为0；【解】逆命题：若x、y全为0，则x2+y2=0．（真）否命题：若x2+y2≠0，则x、y不全为0．（真）逆否命题：若x、y不全为零，则x2+y2≠0．（真）否定形式：若x2+y2=0，则x、y不全为0．（假）(2)若m>0，则x2+x−m=0有实数根；【解】逆命题：若x2+x−m=0有实数根，则m>0．（假）否命题：若m⩽0，则x2+x−m=0无实数根．（假）逆否命题：若x2+x−m=0无实根，则m⩽0．（真）否定形式：若m>0，则x2+x−m=0无实根．（假）(3) △ABC中，如果C=90∘，那么c2=a2+b2．【解】逆命题：△ABC中，若c2=a2+b2，则C=90∘．（真）否命题：△ABC中，若C≠90∘，则c2≠a2+b2．（真）逆否命题：△ABC中，若C≠90∘，则c2≠a2+b2．（真）否定形式：△ABC中，若C=90∘，则c2≠a2+b2．（假）38. 已知函数f(x)是(−∞,+∞)上的增函数，a,b∈R，对命题“若a+b⩾0，则f(a)+ f(b)⩾f(−a)+f(−b)”写出其逆否命题，判断真假，并证明你的结论．【解】逆否命题：若f(a)+f(b)<f(−a)+f(−b)，则a+b<0，真命题．由原命题与其逆否命题同真假，故可证明原命题为真命题．因为a+b⩾0，所以a⩾−b，b⩾−a．因为f(x)在(−∞,+∞)上是增函数，所以f(a)⩾f(−b)，f(b)⩾f(−a)，所以f(a)+f(b)⩾f(−a)+f(−b)．故逆否命题为真．39. 将下列命题改写成“若p则q”的形式：(1)垂直于同一个平面的两条直线平行；【解】若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行；(2)斜率相等的两条直线平行；【解】若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；(3)钝角的余弦值是负数．【解】若一个角是钝角，则它的余弦值是负数．40. 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；②如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；③如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等；④命题②、③、④与命题①有何关系？【解】①中条件p：两个三角形全等；结论q：两个三角形面积相等，p⇒q；②为q⇒p，故为命题①的逆命题；③为¬p⇒¬q，故为命题①的否命题；④为¬q⇒¬p，故为命题①的逆否命题．课后练习1. 命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为．2. 对于命题：①“若x2+y2=0，则x，y全为0”的逆命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m>0，则x2+x−m=0有实根”的逆否命题．其中真命题的题号是．3. 下列命题中是真命题的是．①命题"若xy=1，则x，y互为倒数"的逆命题；②命题"面积相等的三角形全等"的否命题；③命题"若m⩽1，则x2−2x+m=0有实根"的逆否命题；④命题"若A∩B=B，则A⊂B "的逆否命题．4. 命题"垂直于同一直线的两条直线相互平行"的逆命题为．5. 已知命题"若a>b，则ac2>bc2 "及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中假命题有个．6. 原命题："设a,b,c∈R，若a>b，则ac2>bc2 "以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有个．7. 命题“若 xy =0，则 x =0 或 y =0 ”的逆否命题是．8. 命题＂若 △ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等＂的逆否命题是．9. 给出下列命题：①命题"若 b 2−4ac <0，则方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0) 无实根"的否命题；②命题" △ABC 中，若 AB =BC =CA ，则 △ABC 为等边三角形"的逆命题；③命题"若 a >b >0，则 √a 3>√b 3>0 "的逆否命题．其中真命题的序号为．10. 下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥ 若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆否命题的有，互为否命题的有，互为逆命题的有．11. 如果否命题为“若 x +y ⩽0，则 x ⩽0 或 y ⩽0 ”，则相应的原命题是．12. 命题“若 a >0，则 a >1 ”的逆命题是：．13. 命题"若 a >1 ，则 a >0 "的否命题为．14. 命题‘‘若实数 a 满足 a ⩽2，则 a 2<4 ”的否命题是命题（填“真”或“假”）．15. 写出命题“若 a ，b 都是偶数，则 a +b 是偶数”的逆否命题为．16. 下列各对命题的相互关系怎样？是否等价？(1) A ⇒B 和 ¬A ⇒¬B ：；(2) B ⇒A 和 ¬A ⇒¬B ：；(3) ¬B ⇒¬A 和 ¬A ⇒¬B ：．17. "若 a +b 是偶数，则 a,b 必定同为奇数或偶数"的逆否命题为．18. 在命题"若 m >−n ，则 m 2>n 2 "的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是．19. 若命题 p 的逆命题是 q ，命题 r 是命题 q 的否命题，则 p 是 r 的命题．20. 命题"若 a >0，则 a >1 "的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是．21. 设“若 p ，则 q ”是原命题，其中 p:x 2−8x −20>0．q:x 2−2x +1−a 2>0．已知原命题是真命题，而逆命题为假命题，求正实数 a 的取值范围．22. 把下列命题改写成"若 p 则 q "的形式：(1)对顶角相等；(2)不等式两边加上同一个数，不等号方向不变．23. 把下列命题改写成"若p则q "的形式：(1)两个整数和为整数；(2)两个无理数相乘，它们的积也是无理数．24. 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2⩽0的解集非空，则a⩾1”的逆否命题的真假．>0，请选取适当的实数a的值，利用所给25. 已知条件p:∣5x−1∣>a>0和条件q:12x2−3x+1出的两个条件作为A，B，构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．26. 已知原命题是"若A或B，则C "．这个命题的逆命题，否命题和逆否命题各是什么？27. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若q<1，则方程x2+2x+q=0有实根；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．28. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假：(1)若q<1，则方程x2+2x+q=0有实根；(2)若ab=0，则a=0或b=0．29. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：(1)奇函数的图象关于坐标原点对称；(2)若x2+y2=0，则x，y全为0；(3)若(x−3)(x−7)=0，则x=3或x=7．30. 判断命题“若k>0，则方程x2+2x−k=0有实根”的逆否命题的真假．31. 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：＂临时有急事，不能来了．＂主人听了随口说了句：＂你看看，该来的没有来．＂张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：＂哎哟，不该走的又走了．＂李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人的离去原因．32. 写出命题"一组对边平行且相等的四边形是平行四边形"的逆命题，否命题，逆否命题，并且判断其真假．33. 写出命题"若a=b，则a2=b2 "的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假，说明理由．34. 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．①命题p："若ac⩾0，则二次方程ax2+bx+c=0没有实根"；②命题q："若x≠a且x≠b，则x2−(a+b)x+ab≠0 "；③命题r："若(x−1)(x−2)=0，则x=1或x=2 "；④命题l：" △ABC中，若∠C=90∘，则∠A、∠B都是锐角"；⑤命题s："若abc=0，则a,b,c中至少有一个为零"．35. 写出命题“已知a,b∈R，若关于x的不等式x2+ax+b⩽0有非空解集，则a2⩾4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．36. 已知命题："若α=2kπ+β(k∈Z)，则sinα=sinβ "，写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．37. 设命题为"若m>0，则关于x的方程x2+x−m=0有实数根"，试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断其真假．38. 判断命题"若c>0，则y=x2+x−c的图象与x轴有两个交点"的逆否命题的真假．39. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题：(1)正数的平方根不等于0；(2)当x=2时，x2+x−6=0．40. 把下列命题改写成‘‘若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：(1)对顶角相等；(2)四条边相等的四边形是正方形．若则命题的四种形式-出门考姓名成绩1. 给出下列命题：① “角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆否命题；②“圆内接四边形的对角互补”的否命题；③ “若ac>bc，则a>b”的逆命题；④ “若a+5∈Q，则a∈Q”的逆命题．其中所有正确的命题是．（请填入正确命题的序号）2. 在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．则上述两个命题的逆命题为真命题的是．（填所有满足条件的命题的序号）3. 有三个命题：（1）"若x+y=0，则x,y互为相反数"的逆命题；（2）"若a>b，则a2>b2 "的逆否命题；（3）"若x⩽−3，则x2+x−6>0 "的否命题．其中真命题的个数为．4. 已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则p是q的（从“逆命题”“否命题”“逆否命题”“否定”中选一个填空）．，则这个三角形的三个内角能构成等差数列”的逆命题与原 5. 命题“若△ABC内有一内角为π3命题的真值（填“相同”或“不同”）．6. a,b是实数，命题"若a>b，则2a>2b−1 "的否命题为．7. 命题："若a⋅b不为零，则a、b都不为零"的逆否命题是．8. 命题"全等三角形的面积相等"的逆否命题为．9. 命题"若ab=0，则a，b中至少有一个为零"的逆否命题为．10. 命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0成立”的否定是．11. 原命题“如果实系数一元二次方程有相等的两实根，那么它的判别式等于零”的否命题是，它是（填“真”或“假”）命题．12. "若a+b≠5，则a≠2或b≠3 " 是命题．（填"真"或"假"）13. 写出命题“若方程ax2−bx+c=0的两根均大于0，则ac>0”的一个等价命题是．14. 命题“若x2＜1，则−1＜x＜1”的逆命题是．15. 有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则−2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是．16. "已知a，b，c是实数，如果不等式ax2+bx+c⩽0的解集非空，那么b2−4ac⩽0 "这个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，有个假命题．17. 命题"若x2−3x+2≠0，则x≠2 "的逆否命题为．18. 若命题p的逆命题是q，命题q的逆否命题是r，则p与r的关系是．19. 把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为．20. 命题“若∣x∣<2，则x<2”的否命题为．21. 已知命题“若a⩾0，则x2+x−a=0有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．22. 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：(1)若∣a∣=∣b∣，则a=b；(2)若x<0，则x2>0．23. 写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假．(1)若m>0，则关于x的方程x2+x−m=0有实根；(2)若x，y均为奇数，则x+y也是奇数；(3)若abc=0，则a，b，c中至少有一个是0．24. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假．(1)若ab=0，则a，b中至少有一个为零；(2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．25. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若ab=0，则a=0或b=0；(2)若x2+y2=0，则x,y全为零．26. 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：(1)若x2=1，则x=1；(2)矩形的对角线相等．27. 写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断其真假：(1)若实数m>0，则关于x的方程x2+x−m=0有实数根；(2)若x，y都是奇数，则x+y是奇数；(3)若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0；(4)若x2−x−2≠0，则x≠−1，且x≠2．28. 写出下列命题的否定及其否命题．(1)菱形的四条边都相等；(2)若x2−x−2≠0，则x≠−1且x≠2；(3)若A∪B=B，则A⊆B．29. 将"正数的平方根不等于0 "改写成"若p则q "的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题．30. 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1) ac>bc⇒a>b；时，mx2−x+1=0无实根；(2)当m>14(3)已知x，y为正整数，当y=x+1时，y=3，且x=2；(4)当abc=0时，a=0或b=0或c=0；(5)当x2−2x−3=0时，x=3或x=−1．31. 把下列命题改写成"若p则q "的形式：(1)菱形的四边相等；(2)对顶角相等；(3) 25是5的倍数；(4) √2是无理数．32. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．(1)"负数的平方是正数"；(2)"若a和b都是偶数，则a+b是偶数"；(3)"当c>0时，若a>b，则ac>bc "；(4)"若x+y=5，则x=3且y=2 "．33. 命题p：存在一个实数x，使函数y=lg(ax2+2x+2a)无意义，若¬p为真命题，求a 的取值范围．34. 写出下列命题的条件p和结论q：(1)平行四边形对角相等；(2)若a，b，c为△ABC的三边，则a+b>c；(3)偶数均能被2整除．35. 命题＂若x=y，则∣x∣=∣y∣＂，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．36. 已知a∈R，命题p：" ∀x∈[1,2]，x2−a⩾0 "命题q：" ∃x∈R,x2+2ax+2−a=0 "．(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．(1)如图，证明命题" a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c "为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）．38. 判断下列说法是否正确：(1)一个命题的否命题为真，它的逆命题也一定为真；(2)一个命题的逆否命题为真，它的逆命题不一定为真．(1)已知命题“ x，y都是奇数，则x+y是奇数”试写出该命题的逆命题，否命题及逆否命题，并判断其真假；(2)若x，y都是实数，且x+y>2，求证：1+xy <2和1+yx<2中至少有一个成立．(1)设α，β为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β，那么它们的逆否命题．A．①真②假B．①假②真C．①②都为真D．①②都为假(2)写出命题“菱形的对角线互相垂直”的“若p，则q”的形式，写出其否命题、逆命题、逆否命题．(3)写出命题“圆内接四边形对角互补”的等价命题．。

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人教B版高中数学选修2-1课件 1.2命题的四种形式课件3

练出高分
A组专项基础训练
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2.“如果x、y∈R，且x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题是( ) A.若x、y∈R且x2＋y2≠0，则x、y全不为0 B.若x、y∈R且x2＋y2≠0，则x、y不全为0 C.若x、y∈R且x、y全为0，则x2＋y2＝0
D.若x、y∈R且x、y不全为0，则x2＋y2≠0
练出高分
A组专项基础训练
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解析 “x2＋y2＝0”的否定是“x2＋y2≠0”，“x、y全为 0”的否定是“x，y不全为0”. 答案 B
练出高分
A组专项基础训练
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3.下列结论错误的是( )
A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，
则x2－3x－4≠0”
断不其是等负价数命”题的真假.
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)命题“若 α＝3π，则 cos α＝12”的逆命题是( C )
A.若 α＝π3，则 cos α≠12
B.若 α≠π3，则 cos α≠21
C.若 cos α＝12，则 α＝π3
D.若 cos α≠12，则 α≠π3
解析命题“若 α＝3π，则 cos α＝12”的逆命题是“若 cos α＝12，
(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( × )
(2)命题“α＝π ，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π，
4
4
则tan α≠1”.( × )
(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题.( √ )
题型分类·深度剖析四种命题及真假判断

人教B版高中数学选修1-1课件 1.3.2命题的四种形式课件1

练习2：写出命题 “同位角相等，两直线平行 ” 的否命题.
解：原命题条件为同位角相等，结论为两直线平行.
否命题为：同位角不相等，两直线不平行.
(1) 若两个角是对顶角，则这两个角相等. (4) 若两个角不相等，则这两个角不是对顶角.
(4)的条件是(1)结论的否定， (4)的结论是(1)条件的否定.
如果第一个命题的条件是第二个命题条件的否定，且第一个命题的结论是第二个命
题结论的否定，那么这两个命题叫互否命题. 其中一个命题叫做原命题，
另一个命题叫做原命题的否命题. 如果原命题的形式：若p，则q，那么否命题的形式：若 p ，则 q.
如果原命题的形式：若p，则q，那么否命题的形式：若 p ，则 q .
如果第一个命题的条件是第二个命题结论的否定，且第一个命题的结论是第二个命题条件的否定，这两个命题叫互为逆否命题. 其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题.
如果原命题的形式：若p，则q，那么逆否命题的形式：若 q ，则 p .
如果原命题的形式：若p，则q，那么逆否命题的形式：若 q ，则 p .
解：
(1)原命题为： x, y R,如果xy 0，则x 0；（假）逆命题为：x, y R,如果x 0，则xy 0；（真）否命题为：x, y R,如果xy 0，则x 0；（真）逆否命题为：x, y R,如果x 0，则xy 0.（真）
(2)原命题为：如果a b，则a • b 0；（真）
解：若命题s的形式为：若p，则q.
由题意可知t的形式为：若q，则p.
而r的形式为：若 q，则 p.
从而对比t和r可知：t是r的否命题.
小结:
如果原命题的形式：若p，则q，逆命题的形式：若q，则p. 否命题的形式：若 p ，则 q . 逆否命题的形式：若 q ，则 p .

人教B版高中数学高二选修1-1课件 1.3.2 命题的四种形式

规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.
跟踪演练2 有下列四个命题： ①“如果x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题； ②“如果x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题； ③“同位角相等”的逆命题. 其中真命题的个数是________.
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B＝B，则A⊆B”的逆否命题.
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
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解析 ①逆命题为：“若x，y互为倒数，则xy＝1”，真命题. ②否命题为：“不相似的三角形的周长不相等”，假命题. ③Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥4>0，∴原命题为真，故逆否命题为真. ④命题“若A∪B＝B，则A⊇B”为假命题，其逆否命题为假命题. 答案 C
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3.命题“如果平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是 _如__果__平__面__向__量__a_，__b_的__方__向__不__相__同__，__则__a_，__b_不__共__线___ ，它是 __假______命题(填“真”或“假”).
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4.给出以下命题： ①“如果x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题； ③“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题. 其中为真命题的是________.
(3)条件和结论“ 换质 ”(分别否定)：
如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题；
(4)条件和结论“ 换位 ”又“ 换质 ”：
如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题 .

高考数学一轮复习专题02 充分条件、必要条件与命题的四种形式教学案文

专题02 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.1．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．【特别提醒】等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．高频考点一四种命题的关系及其真假判断例1、(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真、假、真 B．假、假、真C．真、真、假 D．假、假、假【答案】(1)C (2)B【感悟提升】(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【变式探究】已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题【解析】由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．【答案】 D高频考点二、充分条件与必要条件的判定例2、(1)函数f(x)在x处导数存在．若p：f′(x)＝0；q：x是f(x)的极值点，则( ) A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件(2)(2017·衡阳一模)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件．【答案】(1)C (2)B【感悟提升】充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．【举一反三】(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．【答案】 A高频考点三充分条件、必要条件的应用例3、已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}． ∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，可知m ≥0≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．学【特别提醒】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； (2)要注意区间端点值的检验．【变式探究】 ax 2＋2x ＋1＝0只有负实根的充要条件是________．【解析】当a ＝0时，原方程为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根x ＝－12.【答案】 0≤a ≤11.【2016高考山东理数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a,b 可能相交，也可能平行,故选A.2.【2016高考天津理数】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（）（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.3.【2016高考上海理数】设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以是充分非必要条件，选A. 4.【2015高考湖北，理5】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥. 若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【解析】对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ；对命题，①当0=n a 时，5.【2015高考天津，理4】设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的( )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,2202x x x +->⇔<-或1x >，所以 “21x -< ”是“220x x +-> ”的充分不必要条件，故选A. 6.【2015高考重庆，理4】“1x >”是“12log (2)0x +<”的（）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B .7.【2015高考安徽，理3】设:12,:21xp x q <<>，则p 是q 成立的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A8.【2015高考湖南，理2】.设A ，B 是两个集合，则“A B A =”是“A B ⊆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件，选C.9.【2014·安徽卷】“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】ln(x ＋1)<0⇔0<1＋x <1⇔－1<x <0，而(－1，0)是(－∞，0)的真子集，所“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的必要不充分条件．10【2014·北京卷】设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当a 1<0，q >1时，数列{a n }递减；当a 1<0，数列{a n }递增时，0<q <1.故选D. 11.【2014·福建卷】直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A12.【2014·湖北卷】U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由维思图可知，一定存在C ＝A ，满足A ⊆C ，B ⊆∁U C ，故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．故选C.13.【2014·陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真，假，真 B ．假，假，真 C ．真，真，假 D ．假，假，假【答案】B【解析】设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i ，且a ，b ∈R ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2，故原命题为真，所以其否命题为假，逆否命题为真．当z 1＝2＋i ，z 2＝－2＋i 时，满足|z 1|＝|z 2|，此时z 1，z 2不是共轭复数，故原命题的逆命题为假．学14.【2014·天津卷】设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】当ab ≥0时，可得a >b 与a |a |>b |b |等价．当ab <0时，可得a >b 时a |a |>0>b |b |；反之，由a |a |>b |b |知a >0>b ，即a >b .15.【2014·浙江卷】已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i, 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，2ab ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.故选A.16.【2014·重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．綈p ∧綈q C ．綈p ∧q D ．p ∧綈q【答案】D1．设m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0【解析】根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．【答案】 D2．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】因为x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数根为x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．【答案】 A3．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，则“m ∥β”是“α∥β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 B4．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】显然a ＝0时，f (x )＝sin x －1x为奇函数；当f (x )为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0.又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝0.因此2a ＝0，故a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．【答案】 C5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0” B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 【解析】 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题．【答案】 C6．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由|x －2|<1，得1<x <3，所以1<x <2⇒1<x <3；但1<x <3⇒/ 1<x <2. 所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件．【答案】 A7．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]【答案】 A8．已知a ，b 都是实数，那么“a >b ”是“ln a >ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】由ln a >ln b ⇒a >b >0⇒a >b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a >b ，但ln b 无意义，所以ln a >ln b 不成立，故充分性不成立．【答案】 B9．已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由y ＝2x ＋m －1＝0，得m ＝1－2x ，则m <1.由于函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上是减函数，所以0<m <1.因此“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件．【答案】 B10．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件．【解析】 cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立．∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．【答案】充分不必要11．已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．【解析】令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. 【答案】 (0，3)12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．【答案】 ②③13．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．【解析】 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.【答案】 (2，＋∞)14．下列四个结论中正确的是________(填序号)．①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x ∈R ，sin x >1”；③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0.【解析】 ①中“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，故①错误．对于②，命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x ∈R ，sin x >1”，故②正确．对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其为假命题，故③错误．对于④，若f (x )是R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，∵log 32＝1log 23≠－log 32， ∴log 32与log 23不互为相反数，故④错误．【答案】 ②。

原创2：1.3.2 命题的四种形式

(2)逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实数根，则 m·n<0. 否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根．逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 m·n≥0.
题型二四种命题真假的判断【例 2】有下列四个命题： ①“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的否命题； ②“若 a>b，则 a2>b2”的逆否命题； ③“若 x≤－3，则 x2－x－6>0”的否命题； ④“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________． [思路探索] 可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关知识判断真假．
4分
即 4a－7≥0，
解得 a≥74.
8分
因为 a≥74，所以 a≥1，所以原命题为真．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．12 分
【题后反思】由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
(2)“如果 p，则 q”的否定为“如果 p，则綈 q”，其否命题为
“如果綈 p，则綈 q”． (3)命题的否定的真假性与原命题相反，而否命题的真假性与原命题的真假性没有关系．
题型一四种命题之间的转换【例 1】写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题． (1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面； (2)如果 x>10，那么 x>0； (3)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0. [思路探索] 可先分清命题的条件和结论，写成“若 p，则 q” 的形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题．
解 (1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线． (2)逆命题：如果 x>0，那么 x>10；否命题：如果 x≤10，那么 x≤0；逆否命题：如果 x≤0，那么 x≤10.

数学中的四种命题

真命题真命题假命题假命题真命题
练习
1,将命题"a>0时,函数 ,将命题" 的值随x值的增时函数y=ax+b的值随值的增的值随加而增加"改写成" 则的形式的形式, 加而增加"改写成"p则q"的形式,并判断命题的真假. 真假. 解答:a>0时,若x增加,则函数增加, 解答时增加则函数y=ax+b的值也随之的值也随之增加,它是真命题. 增加,它是真命题.
原结论是都是大于小于反设词不是不都是原结论至少有一个反设词一个也没有
至少有两个至多有一个至少有n个至多有(n-1)个至少有n 至多有( 不大于个大于或等于至多有n个至少有(n+1)个至多有n 至少有( 个存在某x, 存在某 , 成立
对Байду номын сангаас有x, 存在某x, 对任何x 对所有x, 存在某 , 对任何x, 不成立成立不成立
"若p则q"形式的命题若则形式的命题
命题"若整数是质数是质数, 是奇数. 命题"若整数a是质数,则a是奇数."具是奇数 q 的形式. 有"若p则q"的形式. p 则的形式
通常,我们把这种形式的命题中的叫做通常我们把这种形式的命题中的p叫做我们把这种形式的命题中的命题的条件叫做命题的结论条件,q叫做命题的结论. 命题的条件叫做命题的结论. "若p则q"形式的命题是命题的一种形则形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成如果p, 也可写成" 式而不是唯一的形式也可写成"如果那么q" 只要就有q"等形式只要p,就有等形式. 那么 "只要就有等形式. 其中p和可以是命题也可以不是命题可以是命题也可以不是命题. 其中和q可以是命题也可以不是命题

高中数学人教A版选修1-1第一章1.1.1命题及四种命题课件(共32张PPT)

原命题：若P，则q. 逆命题：若q, 则p. 否命题：若┐P ，则┐q。逆否命题：若┐q ，则┐P 。
例1 把下列命题改写成“若P则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：
（1）负数的平方是正数；（2）正方形的四条边相等，
（1）负数的平方是正数。解：原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数。逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数。
原命题若p则q
互否
否命题若┐p则┐q
互
逆命题
逆
若q则p
互否
互
逆否命题
逆
若┐q则┐p
写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假：
（1）若X＜Y，则Y＞X
（2）若a=0,则ab=0
（1）逆命题：若Y＞X,则X＜Y 真命题
（2）逆命题:若ab=0,则a=0
假命题
原命题为真，逆命题不一定为真
写出下列命题的否命题，并判断它们的真假：（1）若X＜Y，则Y＞X （2）若a=0,则ab=0
原命题为真，逆否否命题的真假有什么关系呢？
一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:
原命题逆命题否命题逆否命题
真
真
真
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“若p, 则q” 的形式也可写成 “如果p,那么q” 的形式也可写成 “只要p,就有q” 的形式
记作: p q
例2 指出下列命题中的条件p和结论q; (1)若整数a能被2整除,则a是偶数; (2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分.
解：（1）条件p : 整数a能被2整除，结论q ：a是偶数.

高中数学第一章常用逻辑用语第5课时命题的四种形式B版-1ppt课件全省公开课一等奖

0 与直线 2x＋my＋1＝0 平行”的
逆命题；
③“已知 a，b 是非零向量，若 a·b＞0，则 a 与 b 方向相同”
的逆否命题；
④“若 x≤3，则 x2－x－6＞0”的逆否命题．
其中为真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：易知①②为真命题；③当 a＝(0,1)，b＝(1,1)时，a·b＞0，但 a 与 b 不同向，所以原命题为假命题，故③为假命题；④中逆否命题为“若 x2－x－6≤0，则 x＞3”，易知④为假命题．
解析：(1)逆命题：若 a 是无理数，则 a＋ 5是有理数；否命题：若 a＋ 5不是有理数，则 a 不是无理数；逆否命题：若 a 不是无理数，则 a＋ 5不是有理数． (2)逆命题：若 a，b 中至少有一个为零，则 ab＝0；否命题：若 ab≠0，则 a，b 都不为零；逆否命题：若 a，b 都不为零，则 ab≠0. (3)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．
真假判断过程如下：抛物线 y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2 开口向上，Δ＝(2a＋1)2－4(a2 ＋2)＝4a－7. 若 a＜1，则 4a－7＜0. ∴抛物线 y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2 与 x 轴无交点． ∴关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集为空集．故逆否命题为真命题．
点评 (1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题． (2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论． (3) 对于一些关键词语如 “ 至少 ”“ 至多”“＞”“≥”“都”等的否定要注意改写正确.

高中数学教师备课必备(简易逻辑)：专题五四种命题及真假判断含解析

【基础回顾】一．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题．二．四种命题及其关系1．四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若p⌝,则q⌝逆否命题若q⌝，则p⌝即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题;如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题;如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。

2．四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．【典型例题】例1．已知p q、是两个命题，若“()p q⌝∨”是假命题，则（)A．p q、都是假命题B．p q、都是真命题C ．p 是假命题，q 是真命题D ．p 是真命题，q 是假命题【答案】D【解析】例2．给出下列命题：其中正确命题的序号是( ) ①已知)2,3(),1,1(),2,1(-==--=c b a ,若b q a p c +=,则p =1， q =4②不存在实数α,使1cos sin =αα③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,8π是函数)452sin(π+=x y 的一个对称轴中心 ④已知函数()f x ()中，上为减函数，在锐角在ABC ∆1,0)(cos )(sin C f A f <有. A ．①② B ．②④ C ．①③D ． ④【答案】B【解析】试题分析：。