LTI系统的单位冲激响应.ppt
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§2-1 LTI系统的时间方程
⑶ 求齐次通解中的待定系数，确定自由响应。
由于自由项中没有出现冲激，初始条件 y(0 ) y(0 ) y(0 ) y(0 ) 1 于是有
1 y (0 ) 1 A1 A2 2 3 y(0 ) 1 A1 2 A2 2
y(t ) yh (t ) y p (t ) 1 3t t 2t A1e A2 e e 2
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《信号与系统》
§2-1 线性时不变系统的时间方程
系统方程只涉及到输入信号：e(t)与输出信号：i(t)，因此成为 系统的输入输出方程。方程中各项的系数均是常数，且左边的各项， 就是输出信号与其各阶导函数的组合，因此称方程为常系数线性微 分方程。
N阶常系数线性微分方程的一般形式为：
a 1
于是系统输出在t=0时刻的跳变值：
y(0 ) 1 , y(0 ) 0
y(0 ) y(0 ) y(0 ) 1
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因此，系统的初始条件为：
y(0 ) y(0 ) y(0 ) 2
《Signals & Systems》
《Signals & Systems》 大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§2-1 线性时不变系统的时间方程
因为回路的输入电压
2 1
C
L
e(t ) 10u(t ) 20u(t ) 10 10u(t )
R
20V 10V
e(t )
i (t )
de (t ) 10 (t ) dt
将其代入方程左边，并使方程平衡
d 2 y p (t ) dt 2
《Signals & Systems》
信号与系统 系统函数完美版PPT
m
j
j1
H(s) H(z) 当t -> ∞ 时，对应的响应函数趋近于零。 n
n
A(s) A(z) 4) H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上的极点,
(s p ) (z p ) 全通函数：如果系统的幅频响应|H(jω)|对所有的ω均为常数，i 则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。 i
极点pi 和零点ζj 的值可能是实数或复数。若A(·)和 B(·)的系数
都是实数，则零、极点若为复数，必共轭成对。
二、系统函数与时域响应
系统的冲激响应或单位序列响应的函数形式由A(·)的根确定， 即由H(·)的极点确定；而自由响应的形式也由H(·)极点确定。
t
jω
t
t σ
t
t
t
H(s)的极点与所对应的响应函数
ห้องสมุดไป่ตู้
2π
1
H| jω | Φ(ω)
一律平等地传输，因而被称为全通系统，其系统函
数称为全通函数。
()121222arc2 t2a 2n 2)ω(
最小相移函数:
如有一系统函数Ha(s),
有两个极点-s1和-s1*, 两个零点-s2和-s2*, 都在左半开平面：
H 系统a函(s数)Ha(s)(可(ss以写为ss：12))((ssjωss1*2*))
Hi(1j)bmB1B2Bm
A1A2An
幅频响应
() (1 2 m ) (1 2 n )相频响应
全通函数：如果系统的幅频响应|H(jω)|对所有的ω均为常
数，则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。
如有二阶系统，
其系统函数在左半平面有一对共轭极点：p1,2 =－α±jβ，
信号与系统第三章
例3.1-2 描述一阶LTI系统的常系数微分方程如 式（3.1-3）所示
设 f (t) 2 a 2, b 1 则有
dy(t) 2 y(t) 2 dt
已知初始值 y(0) 4 求 t 0时系统的响应 y(t)
解：第一步，由方程可知系统的特征方程为 2 0
2 由此可得系统的齐次解为
2
处理教研室
第三章 连续信号与系统的时域分析
教学重点：
1、常微分方程的建立及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲激响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。
2020/6/7
信号
3
处理教研室
应用实例：汽车点火系统
汽车点火系统主要由电源（蓄电池和发电机）、电阻、 点火开关、点火线圈、分压器等组成。
系数 a,b都是常量。系统的阶数就是其数学模型——
微分方程的阶数。
而 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为
an
dn y(t) dt n
an1
dn1 y(t) dt n1
L
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
bm
dm f (t) dt m
bm1
dm1 f (t) dt m1
L
b1
df (t) dt
b0
即yf’(0+) = yf’(0-) = 0，yf(0+) = yf(0-) = 0
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有
yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得
设 f (t) 2 a 2, b 1 则有
dy(t) 2 y(t) 2 dt
已知初始值 y(0) 4 求 t 0时系统的响应 y(t)
解：第一步，由方程可知系统的特征方程为 2 0
2 由此可得系统的齐次解为
2
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第三章 连续信号与系统的时域分析
教学重点：
1、常微分方程的建立及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲激响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。
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应用实例：汽车点火系统
汽车点火系统主要由电源（蓄电池和发电机）、电阻、 点火开关、点火线圈、分压器等组成。
系数 a,b都是常量。系统的阶数就是其数学模型——
微分方程的阶数。
而 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为
an
dn y(t) dt n
an1
dn1 y(t) dt n1
L
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
bm
dm f (t) dt m
bm1
dm1 f (t) dt m1
L
b1
df (t) dt
b0
即yf’(0+) = yf’(0-) = 0，yf(0+) = yf(0-) = 0
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有
yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得
§2-1 LTI系统的零状态响应
1
1 2
x(τ)
1 −1 0 1
τ
τ2 t2 1 当1<t<2 y (t ) = ∫ (t − τ + 1)dτ = (tτ − + τ) t −1 = 2 − 2 2 t −1
∞
h(t − τ)
1
t − 10 t
1
t +1
τ
当t>2
y (t ) =
−∞
∫ x(τ)h(t − τ)dτ = 0
h(t − τ)
−∞
u (t − τ ) d τ
1
0
1
u (−τ)
以上积分式的积分的上下限为(1~t)，积 分结果的定义区间为(1~∞)，所以后面要乘 分结果的定义区间为(1~ (1~∞ 以u(t-1)。
t t
1
0
t =0
τ
u (t − τ)
1 t <1 0 t
y 2 (t ) = − ∫ e − ( t − τ ) d τ = − e − t ∫ e τ d τ
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《信号与系统》 信号与系统》
∞ ∞
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
y (t ) =
=
−∞ ∞
∫ x ( τ ) h (t − τ ) d τ =
−(t − τ)
−∞
u ( τ ) e − ( t − τ ) u (t − τ ) d τ ∫
u (τ)
1
0
x (t ) = u (t )
,
h (t ) = e − t u (t )
求系统的零状态响应 解：
y (t ) = x (t ) ∗ h (t )
1 2
x(τ)
1 −1 0 1
τ
τ2 t2 1 当1<t<2 y (t ) = ∫ (t − τ + 1)dτ = (tτ − + τ) t −1 = 2 − 2 2 t −1
∞
h(t − τ)
1
t − 10 t
1
t +1
τ
当t>2
y (t ) =
−∞
∫ x(τ)h(t − τ)dτ = 0
h(t − τ)
−∞
u (t − τ ) d τ
1
0
1
u (−τ)
以上积分式的积分的上下限为(1~t)，积 分结果的定义区间为(1~∞)，所以后面要乘 分结果的定义区间为(1~ (1~∞ 以u(t-1)。
t t
1
0
t =0
τ
u (t − τ)
1 t <1 0 t
y 2 (t ) = − ∫ e − ( t − τ ) d τ = − e − t ∫ e τ d τ
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第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
y (t ) =
=
−∞ ∞
∫ x ( τ ) h (t − τ ) d τ =
−(t − τ)
−∞
u ( τ ) e − ( t − τ ) u (t − τ ) d τ ∫
u (τ)
1
0
x (t ) = u (t )
,
h (t ) = e − t u (t )
求系统的零状态响应 解：
y (t ) = x (t ) ∗ h (t )
第五章1-连续LTI系统频域分析
第5章 系统的频域分析
连续时间LTI系统的频域分析 离散时间LTI系统的频域分析 信号的幅度调制和解调
时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，
任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而系统零 状态响应yzs(t) = x(t)*h(t)。 由单位冲激函数δ (t)所引起的零状态响应称为单位 冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。
解： 利用H(j)与h(t)的关系
H ( j) F[h(t)] 1 1 j 1 j 2
1
( j)2 3( j) 2
只有当连续系统是稳定的LTI系统时，才存在H(j), 且可以由h(t)计算出H(j)。
电路系统的频率响应：
分析电路系统的频率响应，主要有两种方法。
H ( j) Yzs ( j)
( j) 3
X ( j) ( j)2 3( j) 2
在实际应用中， 只有当连续系统是稳定的LTI系统时，
才存在H(j),且频响函数才有意义。
例 已知某LTI系统的冲激响应为
h(t) = (e-t-e-2t) u(t)，求系统的频率响应H(j)。
vR (t) RiR (t)
VR ( jw) R IR ( jw)
ZR
VR ( IR(
jw) jw)
R
vL
(t)
L
diL (t) dt
VL ( jw) jwLIL ( jw)
ZL
VL ( jw) IL ( jw)
jwL
iC
(t)
C
d
vC (t) dt
IC ( jw) jwCVC ( jw)
例 已知某LTI系统的动态方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = x(t)，
连续时间LTI系统的频域分析 离散时间LTI系统的频域分析 信号的幅度调制和解调
时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，
任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而系统零 状态响应yzs(t) = x(t)*h(t)。 由单位冲激函数δ (t)所引起的零状态响应称为单位 冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。
解： 利用H(j)与h(t)的关系
H ( j) F[h(t)] 1 1 j 1 j 2
1
( j)2 3( j) 2
只有当连续系统是稳定的LTI系统时，才存在H(j), 且可以由h(t)计算出H(j)。
电路系统的频率响应：
分析电路系统的频率响应，主要有两种方法。
H ( j) Yzs ( j)
( j) 3
X ( j) ( j)2 3( j) 2
在实际应用中， 只有当连续系统是稳定的LTI系统时，
才存在H(j),且频响函数才有意义。
例 已知某LTI系统的冲激响应为
h(t) = (e-t-e-2t) u(t)，求系统的频率响应H(j)。
vR (t) RiR (t)
VR ( jw) R IR ( jw)
ZR
VR ( IR(
jw) jw)
R
vL
(t)
L
diL (t) dt
VL ( jw) jwLIL ( jw)
ZL
VL ( jw) IL ( jw)
jwL
iC
(t)
C
d
vC (t) dt
IC ( jw) jwCVC ( jw)
例 已知某LTI系统的动态方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = x(t)，
【VIP专享】第三章(2)冲激序列响应及卷积和
1 1, 2 2
hk C1 1k C22k
代入初值得
h0 h1
C1 C2 1 C1 2C2
1
hk
1 3
1k
2 3
2k
k
C1
C 2
1 3 2 3
例3.2-2 求图示离散系统的单位序列响应。
1
D D f k
xk
xk 1
xk 2
1
yk
1
2
解（1）写差分方程
xk xk 1 2xk 2 f k
g1
g 2
0
由方程利用迭代得：
g0 g1 2g 2 1 1
g1
g0
2g
1
1
2
阶跃响应满足方程：
gk gk 1 2gk 2 k
g0 1, g1 2
1 1, 2 2
gk
C1 1k
C2 2k
1 2
,
k0
g0 g1
C1
C2
1 2
1
1 C1 2C2 2
2
C1 C2
a1 a1
k0
k1, k2 可为正或 负整数，但 k2 k1
3
aj
1
j0
1a
a 1
4
aj
a k1
j k1
1a
a 1
k1 可为正或负 整数
序号 5 6
7
公式
说明
k j kk 1
j0
2
k0
k2
j
j k1
k1 k2
k2 k1 1 2
k1, k2 可为正或负 整数，但 k2 k1
yk
xk
xk
§3.7 用单位抽样响应表示系统的性质
目 录 29
2)、可否由已知的三个初始条件确定系数？ 不行！
由于输入 2 (n) 在n=0时加入系统，
必然 y(0) 1已经含有输入引起的初始 条件，必须剔除它。而 y0(3)是在n=0 之前就有的初始条件，我们设法求解它
目 录 30
对原方程设n=0,则
2 y(0) 12 y(1) 24 y(2) 16 y(3) 2
2 y(n) 12 y(n 1) 24 y(n 2) 16 y(n 3) x(n) 2 (n)
y(0) 1, y(1) 1, y(2) 11 8
解：1）根据特征方程 2 p3 12 p2 24 p 16 2( p 2)3 0 y0(n) (C1 C2n C3n2 )(2)n
的零输入响应？
y0[1] 1 y0[2] 11/ 8 y0[3] 21/16
解： 其特征方程为 ( 2)3 0 2 为方程的三重特征根
y[n] (c1n2 c2n c3 )(2)n
代入初始条件，得 c1 0,c2 5/ 4,c3 3/ 4, y0[n] 5 / 4n[2]n 3 / 4[2]n
目 录 27
3、在用经典法求全响应时，可以用以上
y(k )求得全响应的待定系数。因为它
同时反映了系统初态及输入信号作用 共同引起的初态的变化；但是不能用 Y(k)确定零输入响应的待定系数 4、为了确定零输入响应的系数，必须求 得信号没有加入之前的系统的初始状 态引起的初始条件
目 录 28
例：已知系统的差分方程，求零输入响应
目 录 26
有关初始条件的讨论 1、以上两个例题所给的初始条件 y0(1)
y0(2) y0(k) 等都是系统在未加入输入 信号时的起始状态，可以用来求解零 输入响应的未知系数 2、但是当微分方程有x(n)作用时，它同样 对系统的初态有影响，记为 yx (k)。它 们共同引起的初始条件记为y(k) y0(k) yx (k)
2)、可否由已知的三个初始条件确定系数？ 不行！
由于输入 2 (n) 在n=0时加入系统，
必然 y(0) 1已经含有输入引起的初始 条件，必须剔除它。而 y0(3)是在n=0 之前就有的初始条件，我们设法求解它
目 录 30
对原方程设n=0,则
2 y(0) 12 y(1) 24 y(2) 16 y(3) 2
2 y(n) 12 y(n 1) 24 y(n 2) 16 y(n 3) x(n) 2 (n)
y(0) 1, y(1) 1, y(2) 11 8
解：1）根据特征方程 2 p3 12 p2 24 p 16 2( p 2)3 0 y0(n) (C1 C2n C3n2 )(2)n
的零输入响应？
y0[1] 1 y0[2] 11/ 8 y0[3] 21/16
解： 其特征方程为 ( 2)3 0 2 为方程的三重特征根
y[n] (c1n2 c2n c3 )(2)n
代入初始条件，得 c1 0,c2 5/ 4,c3 3/ 4, y0[n] 5 / 4n[2]n 3 / 4[2]n
目 录 27
3、在用经典法求全响应时，可以用以上
y(k )求得全响应的待定系数。因为它
同时反映了系统初态及输入信号作用 共同引起的初态的变化；但是不能用 Y(k)确定零输入响应的待定系数 4、为了确定零输入响应的系数，必须求 得信号没有加入之前的系统的初始状 态引起的初始条件
目 录 28
例：已知系统的差分方程，求零输入响应
目 录 26
有关初始条件的讨论 1、以上两个例题所给的初始条件 y0(1)
y0(2) y0(k) 等都是系统在未加入输入 信号时的起始状态，可以用来求解零 输入响应的未知系数 2、但是当微分方程有x(n)作用时，它同样 对系统的初态有影响，记为 yx (k)。它 们共同引起的初始条件记为y(k) y0(k) yx (k)
第2章 线性时不变系统
y(t ) x( )h(t )d h( ) x(t )d
0 t
2.4 LTI系统的性质
举例：累加系统（accumulator）
y[n]
k
x[k ]
n
它是LTI系统，其单位脉冲响应为
h[n] u[n]
h[n] k [n] Memory h[n] 0, n 0 Causal
2.4 LTI系统的性质
从以上推导得出以下结论： DT LTI 系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数； DT LTI 系统的单位脉冲响应是其单位阶跃响应的一次差分 同理，对于CT LTI 系统： 单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分函数
s(t ) h( )d
t
单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数
2.7小结
2.1概述
（1）线性与时不变性（Linearity and Time-Invariance）： 很多物理过程都具有这两个性质 这些物理过程能用LTI系统表征 可以对LTI系统进行详细的分析：
能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合表示 根据该系统对基本信号的响应，利用叠加性质求得整个系统的输出
2.4 LTI系统的性质
离散时间LTI系统用 卷积和表示
连续时间LTI系统用 卷积积分表示
LTI系统的特性可以 完全由其单位冲激响 应决定
2.4 LTI系统的性质
卷积的交换律性质 The Commutative Property of Convolution
2.4 LTI系统的性质
卷积的三个代数性质：交换律、结合律、分配律 Three algebraic properties of convolution
0 t
2.4 LTI系统的性质
举例：累加系统（accumulator）
y[n]
k
x[k ]
n
它是LTI系统，其单位脉冲响应为
h[n] u[n]
h[n] k [n] Memory h[n] 0, n 0 Causal
2.4 LTI系统的性质
从以上推导得出以下结论： DT LTI 系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数； DT LTI 系统的单位脉冲响应是其单位阶跃响应的一次差分 同理，对于CT LTI 系统： 单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分函数
s(t ) h( )d
t
单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数
2.7小结
2.1概述
（1）线性与时不变性（Linearity and Time-Invariance）： 很多物理过程都具有这两个性质 这些物理过程能用LTI系统表征 可以对LTI系统进行详细的分析：
能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合表示 根据该系统对基本信号的响应，利用叠加性质求得整个系统的输出
2.4 LTI系统的性质
离散时间LTI系统用 卷积和表示
连续时间LTI系统用 卷积积分表示
LTI系统的特性可以 完全由其单位冲激响 应决定
2.4 LTI系统的性质
卷积的交换律性质 The Commutative Property of Convolution
2.4 LTI系统的性质
卷积的三个代数性质：交换律、结合律、分配律 Three algebraic properties of convolution
冲激响应的拉普拉斯变换
冲激响应的拉普拉斯变换
冲激响应是指输入信号为单位冲激函数（Dirac函数）时，系
统的输出信号。
拉普拉斯变换是一种用于分析线性时不变（LTI）系统的数学工具。
假设系统的输入信号为 x(t)，输出信号为 y(t)，冲激响应为
h(t)。
根据拉普拉斯变换的定义，可以得到以下关系：
Y(s) = H(s) * X(s)
其中，Y(s)和X(s)分别为输出信号和输入信号的拉普拉斯变换，H(s)为系统的传递函数的拉普拉斯变换。
对于冲激响应，输入信号 X(s) 可以表示为：
X(s) = 1
将 X(s) 和 Y(s) 的值代入上述关系式，可以得到：
Y(s) = H(s)
因此，冲激响应的拉普拉斯变换即为系统的传递函数的拉普拉斯变换。
总结：冲激响应的拉普拉斯变换等于系统的传递函数的拉普拉斯变换。
第2章线性时不变系统
求解系统响应的卷积方法是系统分析的重要工具。
单位冲激响应h[n]完全描述了线性时不变系统的变换 规律。不同的系统输入，都在h[n]的作用下产生相应的 响应，因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应h[n]就 等于给定了该系统。
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从计算某一个特定点的角度来看
yy [n [n 0]
单冲激响应
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由时不变性可得：
[n k ] h[n k ]
利用LTI系统的齐次性可得:
x[n] [n k ] x[n]h[n k ]
利用LTI系统的叠加性和式：
y[n]
k
x[k ]h[n k ]
上式称为卷积和或者简称卷积。
单位冲激响应同样完全刻画了LTI系统的变 换规律。 不同的系统输入，都在单位冲激响应的作 用下产生相应的响应; 因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应， 就等于给定了该系统。
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例题2.3 已知给定的LTI系统的输入信号为
x(t ) e
t
u(t )
h(t ) u (t )
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M
N
M+N-1
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举一个限长度序列卷积的例子。
例题2.2 试求：
其中，
y[n] x[n] h[n]
x[n] [n] [n 1] [n 2] [n 3]
h[n] [n] [n 1] [n 2] [n 3]
特别地，我们有
u[n]
[n k ]
单位冲激响应h[n]完全描述了线性时不变系统的变换 规律。不同的系统输入，都在h[n]的作用下产生相应的 响应，因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应h[n]就 等于给定了该系统。
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从计算某一个特定点的角度来看
yy [n [n 0]
单冲激响应
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由时不变性可得：
[n k ] h[n k ]
利用LTI系统的齐次性可得:
x[n] [n k ] x[n]h[n k ]
利用LTI系统的叠加性和式：
y[n]
k
x[k ]h[n k ]
上式称为卷积和或者简称卷积。
单位冲激响应同样完全刻画了LTI系统的变 换规律。 不同的系统输入，都在单位冲激响应的作 用下产生相应的响应; 因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应， 就等于给定了该系统。
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例题2.3 已知给定的LTI系统的输入信号为
x(t ) e
t
u(t )
h(t ) u (t )
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M
N
M+N-1
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举一个限长度序列卷积的例子。
例题2.2 试求：
其中，
y[n] x[n] h[n]
x[n] [n] [n 1] [n 2] [n 3]
h[n] [n] [n 1] [n 2] [n 3]
特别地，我们有
u[n]
[n k ]