函数的奇偶性
函数奇偶性的方法
函数奇偶性的方法
确定一个函数的奇偶性的方法如下：
1. 定义
奇函数：对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)。
偶函数：对于任意实数x，有f(-x) = f(x)。
2. 奇偶性的判断
(1) 如果函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)满足f(-x) = -f(x)，则f(x)为奇函数。
(2) 如果函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)满足f(-x) = f(x)，则f(x)为偶函数。
(3) 如果函数f(x)既不满足奇函数的条件，也不满足偶函数的条件，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
3. 奇偶函数的性质
(1) 奇函数与奇函数相加、相减，结果仍为奇函数；
(2) 偶函数与偶函数相加、相减，结果仍为偶函数；
(3) 奇函数与偶函数相乘，结果为奇函数；
(4) 若f(x)为奇函数，则f(x)的零点关于原点对称；
(5) 若f(x)为偶函数，则f(x)关于y轴对称。
4. 判断奇偶性的方法
(1) 对函数f(x)进行奇偶性的判断时，可尝试代入-x或者x来验证函数是否满足奇函数或偶函数的定义；
(2) 若函数表达式含有二次方及以上的偶次幂，则函数为偶函数；
(3) 若函数表达式含有一次方及以上的奇次幂，则函数为奇函数；
(4) 若函数表达式含有一次方及以上的奇次幂，并且函数表达式中包含一个偶函数，则函数为奇函数。
注意：上述方法只适用于一些简单的函数，复杂函数的奇偶性可能需要使用其他数学工具进行推导。
奇偶函数的概念
函数的奇偶性概念
1、偶函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．例如：函数
，等都是偶函数．
2、奇函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．例如：函
数f(x)=x，都是奇函数．
3、奇偶性的定义：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性．
说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；
（2）f(－x)=f(x)或f(－x)=－f(x)必有一成立．
因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(－x)，看是等于f(x)还是等于－f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性．（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数．
（4）函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f(－x)=f(x)也满足f(－x)=－f(x)．
（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
（6）奇函数若在x=0时有定义，则f(0)=0．。
函数奇偶性的性质
$f(x)=x^2$是偶函数，因为$f(-x)=(-x)^2=f(x)$。
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偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 $x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$ 为偶函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称，即对于任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$。 偶函数的图像关于y轴对称，即对于任意$x$，有$f(-x)=f(x)$。
举例
$f(x)=x^3$是奇函数，因为$f(-x)=-x^3=-f(x)$。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。 偶函数的导数（如果存在）是奇函数。 偶函数满足$f(-x) = f(x)$的性质。
举例
$f(x) = x^2$是偶函数，因为$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$。
$f(x) = frac{1}{x}$不是偶函数，因为虽 然$f(-x) = -x^{-1} = -f(x)$，但$f(-x) neq f(x)$。
03 非奇非偶函数
定义
• 定义：如果一个函数既不满足奇函数的定义（f(-x) = -f(x)），也不满足偶函数的定义（f(-x) = f(x)），则该函 数被称为非奇非偶函数。
性质
不确定性
非奇非偶函数的性质和行为通常是不 确定的，因为它们既不具有奇函数的 特点也不具有偶函数的对称性。
无规律性
非奇非偶函数通常没有明显的规律性 ，不像奇函数或偶函数那样具有对称 性或周期性。
奇函数的图像关于原点对 称。
01
03 02
举例
$f(x)=x^3$是奇函数，因为$f(-x)=-x^3=-f(x)$。
$f(x)=x$不是奇函数，因为当$x=0$时，$f(0)=0$，不满足奇函数的定义。
函数的奇偶性(经典)
奇函数：设函数y f ( x)的定义域为D， 如果对于D内任意一个x，都有 x D 且f ( x) f ( x), 则这个函数叫做奇函数。
（一）奇函数、偶函数的定义
对于函数y=f(x),当自变量x取一 对相反数时，相应的两个函数值相等. 这样的函数是偶函数
偶函数：设函数y f ( x)的定义域为D， 如果对于D内任意一个x，都有 x D 且f ( x) f ( x), 则这个函数叫做偶函数。
函数的奇偶性
画出下列函数的图像， 并研究图像的对称性. 1 2 (1) f ( x) ;(2) g ( x) x . x
1 2 (1) f ( x) ;(2) g ( x) x . x 这两个函数的图像的对称性 如何通过数学语言描述.
（一）奇函数、偶函数的定义
对于函数y=f(x),当自变量x取一对 相反数时，相应的两个函数值也是一对 相反数.这样的函数是奇函数
2
课本49页练习A 第1、2、3、4、5题
课本53页练习第8题
1 例2 研究函数y 2 的性质并作出它的图像. x
函数奇偶性的说明： （1）因此函数是奇函数或偶函 数的一个必不可少的条件是定 义域关于原点对称。
(2) 定义本身就是判断或证明函 数奇偶性的方法。
练习
（1）已知f(x)=x5+bx3+cx 且f(-2)=10，那么f(2)等于
性质
f(-x)= - f(x) 奇函数 图象关于原点对称
f(-x)=f(x)
偶函数 图象关于y轴对称
例1 判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) x x x ;
3 5
(2) f ( x) x 1; (3) f ( x) x 1;
函数的奇偶性
函数的奇偶性一函数奇偶性知识点：1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2．奇偶函数图像的特征：定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称点（x,y）→（-x,-y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3.奇偶函数运算(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数。
(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数。
(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。
(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。
(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。
(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.二，例题例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)= 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论思维分析：根据函数单调性的定义，可以设x1<x2<0，进而判断：F(x1) －F(x2)= － = 符号解：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则－x1>－x2>0因为y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)<0，所以f(－x2)<f(－x1)<0，①又因为f(x)是奇函数所以f(－x2)= －f(x2)，f(－x1)=f(x1)②由①②得f(x2)>f(x1)>0于是F(x1) －F(x2)= －例2：已知 是定义域为 的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x －2|，求x<0时，f(x)的解析式．解：设x<0，则－x>0且满足表达式f(x)=x|x －2|所以f(－x)= －x|－x －2|=－x|x+2|又f(x)是奇函数，有f(－x)= －f(x) 所以－f(x)= －x|x+2|所以f(x)=x|x+2| 故当x<0时F(x)表达式为f(x)=x|x+2|.x)= 在(－∞，0)上是减函数。
奇偶性的判断方法
奇偶性的判断方法
1、定义法。
用定义来判断函数奇偶性，是主要方法。
首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称。
其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性。
2、用必要条件。
具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。
例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性。
3、用对称性。
若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。
若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。
4、用函数运算。
如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)•g(x)是偶函数.简单地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”。
函数的奇偶性教学设计-优秀
函数的奇偶性教学设计一．教材分析1 . 教材的地位与作用内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第一章第三节;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用;奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。
2 . 学情分析已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。
尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高；高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。
二．目的分析教学目标知识与技能目标：……理解函数奇偶性的概念……能利用定义判断函数的奇偶性过程与方法目标：……培养学生的类比，观察,归纳能力……渗透数形结合的思想方法，感悟由形象到具体,再从具体到一般的研究方法情感态度与价值观目标：……对数学研究的科学方法有进一步的感受……体验数学研究严谨性，感受数学对称美重点与难点重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断难点：函数奇偶性概念的探究与理解三．教法、学法教法借助多媒体和几何画板软件以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅的教学模式 遵循研究函数性质的三步曲学法根据自主性和差异性原则以促进学生发展为出发点着眼于知识的形成和发展着眼于学生的学习体验四．过程分析（一）情境导航、引入新课问题提出源于生活，那么我们现在正在学习的函数图象，是否也会具有对称的特性呢？是否也体现了图象对称的美感呢？ （二）构建概念、突破难点考察下列两个函数：(1) (2) 思考1:这两个函数的图象有何共同特征？思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？一般地，若函数y=f(x)的图象关于y 轴对称，当自变量x 任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等。
函数的奇偶性证明
函数的奇偶性证明函数的奇偶性是指当函数f(x)在点x获得f(x)值时，如果用-x 代替x，f(-x)的值与f(x)的值可能相等，也可能完全不等。
如果f(-x)=f(x)，则此函数称之为奇函数，也称为偶函数。
二、为什么函数的奇偶性很重要函数的奇偶性被用来定义函数的性质以及函数的解析方法。
换言之，当被解析函数存在奇偶性，可以用来简化函数和解决相关问题。
具体来说，可以利用函数的奇偶性来简化经典函数的解析形式，从而获得解析解。
此外，函数的奇偶性还可用来证明函数的一致性律，如函数在原点处的导数连续性等。
三、函数的奇偶性及证明1、绝对值函数的奇偶性绝对值函数的定义是：如果x为实数，则绝对值函数的定义为|x|=x，如果x＜0，则|x|= -x。
可以根据绝对值函数的定义，了解它的奇偶性。
当x=0时，|x|=0，即绝对值函数在原点处为零；当x=a 时，|-a|=-a，即绝对值函数在-a处为a，他们的函数值相等，即此函数为奇函数，其表达式为f(-x)=f(x)，这表明绝对值函数是奇函数。
2、幂函数的奇偶性设x为实数，xn为x的幂，则可以指出，x-n为x的反幂。
例如，2-3=1/8，以及-2-3=-1/8，根据这一结果，可以证明x的幂函数的奇偶性。
因为当x>0（x<0）时，x-n>0（x-n<0），因此可以得出，x-n=|x-n|，利用绝对值函数的奇函数性质可以得出，当x>0，|x-n|=x-n，|-x-n|=-x-n，根据之前的结果，f(-x)=f(x)可得x的幂函数也是奇函数，其表达式为f(-x)=f(x)。
3、双曲函数的奇偶性双曲函数的定义是：当x＞1时，函数为正双曲线，当x＜-1时，函数为负双曲线。
可以将其表达式表示为y=sinhx或y=coshx。
由此可以推出，对于双曲函数的奇偶性也可以进行证明，即取x为实数，双曲函数满足f(-x)=f(x)，因此双曲函数也是奇函数。
四、总结以上，本文简要分析了函数的奇偶性，介绍了为什么函数的奇偶性很重要，并根据常见函数的特点介绍如何证明函数的奇偶性。
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（学生举例，出示一组图片：建筑物、风筝、剪纸）这种“对称美”在数学中也有大量的反映．这节课，我们就一起来发现数学中的
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 x y =
3
2
1
1
2
3
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？答案：（1）图像都关于y 轴对称;
（2）自变量x 取一对相反数是，相应的两个函数值相同实际上，对于R 内任意的一个x ,都有)(x f =数)()(2
x f x x f ==-为偶函数.
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
x f 1)(=
问题
给出函数x x f =)(和x
x f 1
)(=的图像，让生观察这两个图象，两个函数图象的共同特征。
解决
1． 图像都关于什么对称； 2．定义域与值域数值关系.。