2020年新疆高考数学一模试卷(理科)(问卷)(有答案解析)
第1页，共16页 2020年新疆高考数学一模试卷（理科）（问卷） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数为虚数单位，则 A. B. C. D. 2. 已知集合0，，，则 A. B. C. D. 0，
3. 已知函数，则的导函数的图象为
A. B.
C. D. 4. 已知向量的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影是 A. 0 B. C. D.
5. 已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，与x轴垂直，，且焦距为，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 6. 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，若，，则b的值为 A. 6 B. 2 C. 5 D. 7. 已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的某一城市，且每个城市只有一人去过，四人分别给出了以下说法： 甲说：我去过阿勒泰； 乙说：丙去过阿勒泰； 丙说：乙、丁均未去过阿勒泰； 丁说：我和甲中有一人去过阿勒泰． 若这四人中有且只有两人说的话是对的，则去过阿勒泰的是 第2页，共16页
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8. 我国在北宋1084年第一次印刷出版了算经十书，即贾宪的黄帝九章算法细草，刘益的议古根源，秦九韶的数书九章，李冶的测圆海镜和益古演段，杨辉的详解九章算法、日用算法和杨辉算法，朱世杰的算学启蒙和四元玉鉴这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为
A. B. C. D. 9. 在正方体中，E为棱上一点且，则异面直线AE与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
10. 函数在区间单调递减，在区间有零点，则的取值范围是 A. B. C. D. 11. 已知函数为奇函数，且函数的图象关于直线对称，当时，，则
A. 2020 B. C. D. 0
12. 已知F是椭圆E：的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数在点处的切线方程为，则______．
14. 设x，y满足约束条件，则目标函数最大值为______． 15. 九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，已知和所在平面互相垂直，，，，，且，则鳖臑的外接球的表面积为______．
16. 已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值集合是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 第3页，共16页
17. 已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项． 求与； 若数列满足，求数列的前n项和．
18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为梯形，且，，平面平面ABCD． Ⅰ证明：平面平面PAD；
Ⅱ若，，求二面角的余弦值．
19. 某商场春节期间推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满300元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在区域Ⅰ返券60元；停在区域Ⅱ返券30元；停在区域Ⅲ不返券．例如：消费600元，可抽奖2次，所获得的返券金额是两次金额之和． Ⅰ若某位顾客消费300元，求返券金额不低于30元的概率； Ⅱ若某位顾客恰好消费600元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为元求随机变量X的分布列和数学期望． 第4页，共16页
20. 已知函数． Ⅰ若，求函数的图象在点处的切线方程；
Ⅱ若函数有两个极值点；、，且，求证：且．
21. 椭圆C：中，，，，的面积为1，． 求椭圆C的方程； 设P是椭圆C上一点，、是椭圆的左右两个焦点，直线、分别交于M、N，是否存在点P，使，若存在，求出P点的横坐标；若不存在，请说
明理由．
22. 在直角坐标系：xOy中曲线的参数方程为为参数，M是上的动点，P点满足，P点的轨迹为曲线． Ⅰ求的参数方程；
Ⅱ在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，将曲线、的方程转化为极坐标方程后，求．
23. 已知函数，． Ⅰ当时，求不等式的解集；
Ⅱ当时，求m的取值范围． 第5页，共16页 第6页，共16页
-------- 答案与解析 -------- 1.答案：D
解析：解：． 故选：D． 利用互为共轭复数的运算性质即可得出． 本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2.答案：B
解析：解：0，，， ． 故选：B． 可以求出集合B，然后进行交集的运算即可． 本题考查了列举法、描述法的定义，分式不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 3.答案：C
解析：解：， 故相当于函数向上移动了一个单位，由选项可知，选项C符合． 故选：C． 先求导可得，再根据图象变换得出正确选项． 本题考查导数的运算以及函数图象的变换，也涉及了对数函数的图象及性质，属于基础题． 4.答案：A
解析：【分析】 本题考查了平面向量数量积与投影的定义和应用问题，是基础题． 根据平面向量数量积与投影的定义，计算即可． 【解答】
解：向量的夹角为，
且，， ； ， 向量在向量方向上的投影是0． 故选：A． 5.答案：B
解析：解：由题意，， 解得， ，设， 第7页，共16页
，解得， ， ， ，
由双曲线定义可得：， 则，即． 双曲线的渐近线方程为． 故选：B． 先求出c的值，再求出点P的坐标，可得，再由已知求得，然后根据双曲线的定义
可得的值，则答案可求． 本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 6.答案：A
解析：解：， 由正弦定理可得：， ， 可得， ，
， ，， 由余弦定理，可得，可得， 解得，负值舍去． 故选：A． 由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可求得，结合范围，可求C，进而根据余弦定理，解方程可求b的值． 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 7.答案：C
解析：解：如果甲说的是真话，则甲，丙，丁说的是真话，则矛盾，甲未去过； 如果乙说的是真话，则甲，丁说谎，丙说的真话，符合题意，丙去过． 故选：C． 第8页，共16页
先假设一人说真话，推出正确，即可，推出矛盾，则说的假话． 本题考查简单的合情推理，可使用假设法，属于基础题． 8.答案：D
解析：解：算经十书，即贾宪的黄帝九章算法细草，刘益的议古根源，秦九韶的数书九章， 李冶的测圆海镜和益古演段，杨辉的详解九章算法、日用算法和杨辉算法， 朱世杰的算学启蒙和四元玉鉴某图书馆中正好有这十本书， 现在小明同学从这十本书中任借两本阅读， 基本事件总数， 他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数，
那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为． 故选：D． 现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数，他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数，由此能求出他取到的书的书名中有“算”字的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9.答案：B
解析：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设，则0，，3，，0，，3，，0，，
3，，3，，
设异面直线AE与所成角为， 则异面直线AE与所成角的余弦值为：
． 故选：B． 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与所成角的余弦值． 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 10.答案：C
解析：【分析】 根据余弦函数的单调性和零点性质建立不等式关系进行求解即可． 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据余弦函数的单调性和零点性质建立不等式关系是解决本题的关键． 【解答】 解：由，， 第9页，共16页
得，， 即函数的单调递减区间为，， 在区间单调递减， 且，，
即，得，， 即，， ， 当时，，
由得， 在区间有零点， 满足， 当时，， 得， 综上， 故选：C． 11.答案：D
解析：解：根据题意，函数为奇函数，即函数的图象关于点对称，则有， 函数的图象关于直线对称，则， 变形可得：，即， 则有，即函数是周期为4的周期函数， ； 故选：D． 根据题意，由函数的对称性可得，即，进而可得，即函数是周期为4的周期函数，据此可得，由函数的解析式计算可得答案． 本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期性，属于基础题．
2022年高考数学试卷(理)(全国甲卷)(解析卷)
绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若1z =-+，则1zzz =-（ ）A1-+B. 1-C. 13-+D. 13--【答案】C 【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】1(1113 4.z zz =-=-+-=+=113z zz ==--故选 ：C2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：..则（ ）A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B 【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%75%70%2+>,所以A 错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%80%20%-=，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%60%35%20%-=>,所以D 错.故选:B.3. 设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()U A B È=ð（ ）A. {1,3}B. {0,3}C. {2,1}- D. {2,0}-【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合B ,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B È=-,所以(){}U 2,0A B È=-ð.故选：D.4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B 【解析】【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积2422122V +=´´=.故选：B.5. 函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22éù-êúëû的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22xxf x x x p p -éù=-Î-êúëû，则()()()()()33cos 33cos xx x x f x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x p æöÎç÷èø时，330,cos 0x xx -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.6 当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f ¢=（ ）A. 1- B. 12-C.12D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知()12f =-，()10f ¢=即可解得,a b ，再根据()f x ¢即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,¥+，所以依题可知，()12f =-，()10f ¢=，而.()2a bf x x x ¢=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x¢=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+¥上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f ¢=-+=-．故选：B.7. 在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30°，则（ ）A. 2AB AD = B. AB 与平面11AB C D 所成的角为30°C. 1AC CB = D. 1B D 与平面11BB C C 所成的角为45°【答案】D 【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设1,,AB a AD b AA c ===，依题以及长方体的结构特征可知，1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB Ð，1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A Ð，所以11sin 30c b B D B D==o，即b c =，12B D c ==，解得a =．对于A ，AB a =，AD b =，AB =，A 错误；对于B ，过B 作1BE AB ^于E ，易知BE ^平面11AB C D ，所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE Ð，因为tan c BAE a Ð==30BAE йo ，B 错误；对于C，AC ==，1CB ==，1AC CB ¹，C 错误；对于D ，1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C Ð，11sin 2CD a DB C B D c Ð===1090DB C <Ð<o ，所以145DB C Ð=o ．D 正确．故选：D ．8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ^．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =Ð=°时，s =（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC AB ^，又CD AB ^，所以,,O C D 三点共线，即2OD OA OB ===，又60AOB Ð=°，所以2AB OA OB ===，则OC =2CD =所以22CD s AB OA=+==故选：B .9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=VV 甲乙（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ，根据圆锥的侧面积公式可得122r r =，再结合圆心角之和可将12,r r 分别用l 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ，则11222S rl rS r l r p p ===甲乙，所以122r r =，又12222r r l lp p p+=，则121r r l+=，所以1221,33r l r l ==，所以甲圆锥的高1h ==，乙圆锥的高2h ==，所以2112221313r h V V r h p p ===甲乙故选：C.10. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A.B.C.12D.13【答案】A 【解析】【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解法1：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y -则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=，所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C的离心率c e a === A.解法2：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a =所以椭圆C的离心率c e a === A.11. 设函数π()sin 3f x x w æö=+ç÷èø在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则w 的取值范围是（ ）A. 513,36öé÷êëø B. 519,36éö÷êëøC. 138,63æùçúèû D. 1319,66æùçúèû【答案】C 【解析】【分析】由x 的取值范围得到3x pw +的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得0>w ，因为()0,x p Î，所以,333x ppp w wp æö+Î+ç÷èø，要使函数在区间()0,p 恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x p p æöÎç÷èø的图象如下所示：则5323p p wp p <+£，解得13863w <£，即138,63w æùÎçúèû．故选：C ．12. 已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ）A. c b a >> B. b a c>> C. a b c>> D. a c b>>【答案】A 【解析】【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >;构造函数()()21cos 1,0,2f x x x x ¥=+-Î+,利用导数可得b a >,即可得解.【详解】解法1：构造函数因为当π0,,tan 2x x x æöÎ<ç÷èø故14tan 14c b =>，故1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-Î+¥，()sin 0f x x x ¢=-+>，所以()f x 在(0,)+¥单调递增，故1(0)=04f f æö>ç÷èø，所以131cos 0432->，所以b a >，所以c b a >>，故选A 解法2：不等式放缩因为当π0,,sin 2x x x æöÎ<ç÷èø，取18x =得：2211131cos 12sin 1248832æö=->-=ç÷èø，故b a>1114sin cos 444ϕæö+=+ç÷èø，其中0,2p ϕæöÎç÷èø，且sin ϕϕ==当114sin cos 44+=142p ϕ+=，及124p ϕ=-此时1sin cos 4ϕ==，1cos sin 4ϕ==故1cos 4=11sin 4sin 44<=<，故b c <所以b a >，所以c b a >>，故选A解法3：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==-，2410.250.25cos 1424!b =»-+，241sin 10.250.2544sin1143!5!4c ==»-+，计算得c b a >>，故选A.解法4：构造函数因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x æöÎ<<ç÷èø，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-Î+¥，()sin 0f x x x ¢=-+>，所以()f x 在(0,)+¥单调递增，则1(0)=04f f æö>ç÷èø,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A ．解法5：【最优解】不等式放缩因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x æöÎ<<ç÷èø，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x æöÎ<ç÷èø，取18x =得2211131cos 12sin 1248832æö=->-=ç÷èø，故b a >，所以c b a >>．故选：A ．【整体点评】法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x æöÎ<<ç÷èø放缩，即可得出大小关系，属于最优解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设向量a r ，b r 的夹角的余弦值为13，且1a =r ，3b =r ，则()2a b b +⋅=r r r _________．【答案】11【解析】【分析】设a r 与b r 的夹角为q ，依题意可得1cos 3q =，再根据数量积的定义求出a b ⋅r r ，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a r 与b r 的夹角为q ，因为a r 与b r 的夹角的余弦值为13，即1cos 3q =，又1a =r ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b q ⋅=⋅=´´=r r r r ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=´+=r r r r r r r r ．故答案为：11．14. 若双曲线2221(0)x y m m -=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m -=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离1d ==，解得m =或m =．．15. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635.【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===．故答案为：635．16. 已知ABC V 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD Ð=°==．当AC AB取得最小值时，BD =________．1-##-【解析】【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB后，结合基本不等式即可得解.【详解】方法1：（余弦定理）设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅Ð=++，在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅Ð=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m m m m ++-++-===-+++++++44³=-，当且仅当311mm+=+即1m=-时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m=.1.方法二2：（建系法）令BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.则C（2t,0），A（1），B（-t,0）()()()2222222134441244324131111tAC t tAB t tt ttt BD-+-+\===-³-++++++++==-当且仅当即时等号成立。
2020年江西师大附中高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年江西师大附中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x 2≤1}，则下列结论正确的是( )A. −2∉AB. −2∈AC. {−2}∈AD. {−2}⊆A2. 已知复数z 满足(2−i)z =｜3+4i ｜，则z =( )A. −2−iB. 2−iC. −2+iD. 2+i3. 已知p ：−2>−1，q ：a −1<a ，则下列判断正确的是( )A. “p ∧q ”为假，“￢p ”为假B. “p ∧q ”为真，“￢p ”为真C. “p ∨q ”为真，“￢q ”为假D. “p ∨q ”为假，“￢q ”为真4. 已知函数f(x)=ax 2+bx +2a −b 是定义在[a −3,2a]的偶函数，则f(a)+f(b)=( )A. 5B. −5C. 0D. 20195. 函数f(x)=xln x 的零点为( )A. 0或1B. 1C. (1,0)D. (0,0)或(1,0)6. 函数y =1−|x −x 2|的图象大致是( ) A. B. C. D.7. 一物体沿直线做运动，其速度v(t)和时间t 的关系为v(t)=2t −t 2，在t =1到t =3时间段内该物体行进的路程和位移分别是( )A. 2，−23B. 2，23C. 23，23D. 23，−23 8. 已知A =sin(kπ+α)cos(−π2+α)+cos(kπ+α)cos(−α)(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A. {2,−2}B. {−1,0，1}C. {2,0，−2}D. {1,−1,0，2，−2}9. 如图是某几何体的三视图，正视图是长为6厘米，宽为2厘米的矩形，俯视图为等边三角形，几何体表面上的点A ，B 在正视图上的对应点分别为点M ，N ，则在几何体表面上，从点A 出发沿着几何体的侧面绕行一周到达点B 的最短路线长为A. 6√2厘米B. 2√10匣米C. 4√13厘米D. √10厘米10. 如图，平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点M ，设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗( ) A. −12a ⃗ −⋅12b ⃗ −c ⃗ B. 12a⃗ +12b ⃗ −c ⃗ C. 12a⃗ −12b ⃗ −c ⃗ D. −12a ⃗ +12b ⃗ −c ⃗11. 已知点A(2,−1),B(4,2)，点P 在x 轴上，当PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值时，P 点的坐标是( ) A. (2,0) B. (4,0)C. (103,0)D. (3,0) 12. 已知函数f (x )=xe x −13ax 3−12ax 2+1,(x >0)，若f (x )有最小值，则实数a 的取值范围为( )A. [23e 32,+∞)B. (23e 32,+∞)C. (e,+∞)D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在一块正三角形铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图所示．当x 为_________时，正三棱柱的体积最大，最大值是__________．14. 已知数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−1a n =n+13，a n = ______ ．15.掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点”，若B表示B的对立事件，则一次试验中，事件A⋃B发生的概率为________．16.已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为9√2π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．18.某餐厅销售一款饮料，定价为4元/瓶，20天的日销量数据按照[15,25]，(25,35],(35,45]，(45,55]分组，得到如下频率分布直方图．(Ⅰ)估计该餐厅这款饮料的日销量超过30瓶的概率；(Ⅱ)估计该餐厅这款饮料的平均日销售额(销量×定价)；(Ⅲ)若从这款饮料销量大于35瓶的数据中任取两天的数据，求这两天的饮料销量都大于45瓶的概率．19.如图所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E、F是AC、PC的中点．(1)求证：AC⊥平面DEF；(2)若PA=2，AB=1，求三棱锥F−PED的体积．20.已知点P为E：x24+y22=1上的动点，点Q满足OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OP⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求点Q的轨迹M的方程；(2)直线l：y=kx+n与M相切，且与圆x2+y2=49相交于A，B两点，求△ABO面积的最大值(其中O为坐标原点)．(a∈R)．21.已知函数f(x)=ln(x+1)−ax1−x(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若−1<x<1时，均有f(x)≤0成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2+y2=4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2cos2θ=1．(1)求圆O的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知M，N是曲线C与x轴的两个交点，点P为圆O上的任意一点，证明：|PM|2+|PN|2为定值．23.解不等式|x−1|+|x+2|<5．【答案与解析】1.答案：A解析：解：集合A={x|x2≤1}={x|−1≤x≤1}．所以−2∉A，{−2}⊄A．故选：A．根据元素与集合，集合与集合间的关系进行判断解答．本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．2.答案：D解析：本题主要考查了复数的四则运算及复数的模，考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算性质及复数的模即可得出结果．解：因为z=|3+4i|2−i =52−i=5(2+i)(2−i)·(2+i)=2+i．故选D．3.答案：C解析：解：∵命题p：−2>−1，命题q：a−1<a，∴命题p为假命题；命题q为真命题，∴“p∧q”为假，“p∨q”为真，“￢q”为假命题，故选：C．首先，得到命题p为假命题；命题q为真命题，然后，进一步结合复合命题的真假进行判断．本题重点考查了复合命题的真假判断等知识，属于中档题．4.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性，考查推理能力和计算能力，属于基础题．利用定义域关于原点对称求出a，再利用偶函数的定义即可求b，从而求出f(a)+f(b)．解：由题意，得{a −3+2a =0f(−x)=f(x), ⇒{a −3+2a =0b =0⇒{a =1b =0所以f(x)=x 2+2f(a)+f(b)=f(1)+f(0)=5，故选A ．5.答案：B解析：本题考查函数的零点与方程的根的关系，属基础题，求方程xlnx =0的根即可，注意定义域． 函数f(x)=xln x 的定义域为(0,+∞)，且在定义域(0,+∞)上连续；当f(x)=0时，x =1;故函数f(x)=xln x 的零点为x =1；故选：B ．6.答案：C解析：本题考查函数图象的识别，属于基础题．取特殊点进行排除，即得结果．当x =−1时，y =1−|−1−1|=−1，所以排除A ，D ；当x =2时，y =1−|2−4|=−1，所以排除B ，故选C ．7.答案：A解析：本题主要考查定积分的几何性质，微积分基本定理，属于中档题．利用定积分的几何性质以及微积分基本定理求解．解：由定积分的几何性质可知，该物体的行进的路程为∫(2t −t 2)21dt −∫(2t −t 2)32dt =(t 2−13t 3)|12−(t 2−13t 3)|23=23+43=2； 该物体的行进的位移为∫(2t −t 2)21dt +∫(2t −t 2)32dt =(t 2−13t 3)|12+(t 2−13t 3)|23=23−43=−23． 故选A ．8.答案：A解析：本题考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．只需分别求出当k 为奇数和偶数时A 的值，进而得到相关的集合．解：当k 为偶数时，；当k 为奇数时，A =−sinαsinα−cosαcosα=−2；∴A 的值构成的集合为{−2,2}．故选A ． 9.答案：A解析：本题考查空间几何体的三视图及侧面上的最短距离，考查空间想象能力和分析能力．由三视图可知，该几何体是底面边长为2的正三角形，高为6的正三棱柱，画出其侧面展开图，由两点之间线段最短即可求解．解：由三视图可知，该几何体是底面边长为2的正三角形，高为6的正三棱柱，其侧面展开图如下：根据两点之间线段最短，|MN |为最短路线．由勾股定理，|MN |=2+62=6√2，所以从点A 出发沿着几何体的侧面绕行一周到达点B 的最短路线长为6√2厘米．故选A ．10.答案：D解析：【试题解析】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由于B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 代入化简即可得出． 解：∵B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−c ⃗ −12a ⃗ +12b ⃗ ．故选D ．11.答案：D解析：依题可设P(x,0)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−x,2)，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−1)⋅(4−x,2)=(2−x)(4−x)−2=x 2−6x+6=(x−3)2−3，当x =3时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−3...12.答案：B解析：本题考查导数在研究函数最值方面的应用，属于中档题． 解：f′(x)=(x +1)e x −ax 2−ax =(x +1)(e x −ax)，令g(x)=e x ，g′(x)=e x ，下面求g(x)的图象过原点的切线方程，设切点坐标为(x 0,e x 0)， 切线的斜率为e x 0，所以g(x)的图象过原点的切线方程为y −e x 0=e x 0(x −x 0)， 因其过原点，解得x 0=1，g(x)的图象过原点的切线方程为y =ex ，结合函数图象性质可知，当a ≤e 时，f′(x)≥0.f(x)在(0,+∞)上递增，f(x)无最小值， 当a >e 时，g(x)=e x 与y =ax 的图象有两个交点，设交点的横坐标分别为x 1,x 2(0<x 1<x 2)， 由函数图象可得，当x ∈(0,x 1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x ∈(x 1,x 2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(x 2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以x 2是f(x)的极小值点， 由题意得f(0)>f(x 2)，1>x 2e x 2−13ax 23−12ax 22+1，(e x 2=ax 2,a >e)，12−13x 2<0,x 2>32， a =e x 2x 2，易证y =e x x在(1,+∞)上单调递增，所以a >23e 32．故选B ．13.答案：a 6,a 354解析：本题主要考查三棱柱的体积的计算，求出相应的体积，利用导数求出最值． 解：由题意可得，正三棱柱的底面边长为a −2x ，高为√33x ，则三棱柱的体积V =12(a −2x )2×√32×√33x =14x (a −2x )2，令V′=0，即14(a −2x )2+14x ·2(a −2x )(−2)=0，解得x =a6， 当x =a6时，V 取得最大值，且最大值为a 354．故答案为a 6,a 354．14.答案：{13n ,n ≥223,n=1解析：解：由a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−1a n =n+13，①得n ≥2时，a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−2a n−1=n3，② ①−②得：3n−1a n =n+13−n 3=13，∴a n =13n(n ≥2)．又由a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−1a n =n+13，得a 1=23不适合上式．∴a n ={13n,n ≥223,n=1．故答案为：{13n,n ≥223,n=1．由已知数列递推式可得n ≥2时，a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−2a n−1=n3，与原递推式作差可得a n =13n(n ≥2).再由原递推式求出首项，验证后得答案．本题考查数列递推式，训练了作差法求数列的通项公式，是中档题．15.答案：23解析：本题考查互斥事件和对立事件的概率，属于中档题．由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件A 和事件B 是互斥事件，求出事件A 和事件B 包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．解：掷一个骰子的试验有6种可能的结果．依题意知P(A)=26=13，P(B)=46=23，所以=1−P(B)=1−23=13．因为B表示“出现5点或6点”，因此事件A与B互斥，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=13+13=23．故答案为23．16.答案：√3解析：本题考查圆锥的侧面积及体积的计算，考查学生的计算能力，正确运用等体积法是解题的关键．根据圆锥的底面半径和高相等，侧面积为9√2π，求出圆锥的底面半径，再根据等体积法求出圆锥底面中心到截面的距离．解：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，母线长为√2r．∵圆锥的侧面积为9√2π，∴12×2πr×√2r=9√2π，解得r=3．∵过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，∴S截面=√34×(3√2)2=9√32．设圆锥底面中心到截面的距离为h，则由等体积法可得1 3×9√32×ℎ=13×12×3×3×3，解得ℎ=√3．故答案为√3．17.答案：解：(Ⅰ)∵T n−2b n+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n=2b n−1，(n≥2)∴数列{b n}为等比数列，∴b n=3⋅2n−1.(Ⅱ)c n ={n −1, n 为奇数3⋅2n−1 , n 为偶数.令a n =n −1，故P 2n+1=(a 1+a 3+⋯+a 2n+1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(0+2n)⋅(n+1)2+6(1−4n )1−4，=22n+1+n 2+n −2．解析：(Ⅰ)当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得数列{b n }为等比数列，即可求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)确定数列{c n }的通项，利用分组求和的方法求数列{c n }的前2n +1项和P 2n+1． 本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b n }为等比数列是解题的关键．18.答案：解：(Ⅰ)由图中数据可知，该餐厅这款饮料的日销量超过30瓶的概率为0.03×10+0.04×5=0.5．(Ⅱ)各组频率依次为0.3，0.4，0.2，0.1，平均日销量为0.3×20+0.4×30+0.2×40+0.1×50=31(瓶)， 所以这款饮料的平均日销售额为4×31=124(元)；(Ⅲ)由题意，饮料销量大于35瓶的数据中任取两天的数据有4个在(35,45]内，设为A ，B ，C ，D ，有2个在(45,55]，设为E ，F ，从中任意选2个，所有情况有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)，共15种， 符合条件的只有(E,F)， 故所求概率为P =115．解析：本题考查频率分布直方图，用频率估计概率，平均数的计算和古典概型的计算，属于基础题． (Ⅰ)由频率分布直方图的特点即可得出．(Ⅱ)利用每组的组中值乘频率得出平均日销量，进而求出平均日销售额； (Ⅲ)利用列举法列出所有情况，利用古典概型计算公式求解即可．19.答案：(1)证明：连接EF ．∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AC ，∵E ，F 分别是AC ，PC 的中点，∴EF//PA ， ∴EF ⊥AC ，∵四边形ABCD 是正方形，E 是AC 的中点，∴DE ⊥AC ，又EF ∩DE =E ，EF ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， ∴AC ⊥平面DEF ．(2)解：∵E ，F 分别是AC ，PC 的中点， ∴EF//PA ，EF =12PA ． 又PA ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ．∵PA =2，∴EF =12PA =1， ∵正方形ABCD 的边长为1， ∴S △CDE =12S △ACD =14．∴V P−CDE =13⋅S △CDE ⋅PA =13⋅14⋅2=16． V F−CDE =13⋅S △CDE ⋅EF =13⋅14⋅1=112， ∴V F−PDE =V P−CDE −V F−CDE =16−112=112．解析：本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题． (1)根据PA//EF 可得AC ⊥EF ，结合AC ⊥DE 得出AC ⊥平面DEF ；(2)分别求出三棱锥P −CDE 和三棱锥F −CDE 的体积，相减即可得到答案．20.答案：解：(Ⅰ)设Q(x,y)，P(x 0,y 0)，由于OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有(x,y)=13(x 0,y 0)， 则{x 0=3x y 0=3y ，又P(x 0,y 0)在椭圆E 上，故有(3x)24+(3y)22=1，即点Q 的轨迹M 的方程为x 249+y 229=1．(Ⅱ)直线l ：y =kx +n 与椭圆D ：x 249+y 229=1相切，故由{y =kx +n x 249+y 229=1，得：(18k 2+9)x 2+36knx +18n 2−4=0，因为△=(36kn)2−4(18k 2+9)(18n 2−4)=4×18(4k 2−9n 2+2)=0， 则有4k 2=9n 2−2(显然n ≠0)． 点O 到直线AB 的距离d =√k 2+1，则|AB|=2√49−d 2，因为4k 2=9n 2−2，则n 2≥29，所以d 2═n 21+k 2=49+2n 2∈[29,49) 则S △AOB =12⋅|AB|⋅d =12⋅2√49−d 2⋅d =√(49−d 2)⋅d 2≤29，当且仅当49−d 2=d 2时，即d 2=29时等号成立． 所以，面积的最大值为29．解析：(Ⅰ)设Q(x,y)，P(x 0,y 0)，由OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x 0=3x y 0=3y ，再由P(x 0,y 0)在椭圆E 上，能求出点Q 的轨迹M 的方程．(Ⅱ)由{y =kx +nx 249+y 229=1，得：(18k 2+9)x 2+36knx +18n 2−4=0，由直线l ：y =kx +n 与M 相切，利用根的判别式求出4k 2=9n 2−2，由点到直线的距离、弦长公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出△ABO 面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)的定义域为(−1,1)∪(1,+∞)，f′(x)=1x+1−1(1−x)2=x(x−3)(x−1)2(x+1)，当−1<x <0或>3时，f′(x)>0，当0<x <1或1<x <3，f′(x)<0， 所以函数f(x)的增区间为(−1,0)，(3,+∞)，减区间为(0,1)，(1,3) (Ⅱ)f′(x)=x 2−(a+2)x+1−a (x−1)2(x+1),−1<x <1，当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，故0<x <1时，f(x)>f(0)=0，不符合题意．当a >0时，由f′(x)=0，得x 1=a+2−√a2+8a2，x 2=a+2+√a2+8a2．若0<a <1，此时0<x 1<1，对0<x <x 1，有f′(x)>0，f(x)>f(0)=0，不符合题意． 若a >1，此时−1<x 1<0，对x 1<x <0，有f′(x)<0，f(x)>f(0)=0，不符合题意． 若a =1，由(Ⅰ)知，函数f(x)在x =0处取得最大值0，符合题意， 综上实数a 的取值为1．解析：(Ⅰ)当a =1时，f(x)的定义域为(−1,1)∪(1,+∞)， 求出f′(x)=1x+1−1(1−x)2=x(x−3)(x−1)2(x+1)，即可求单调区间； (Ⅱ)f′(x)=x 2−(a+2)x+1−a (x−1)2(x+1),−1<x <1，分(1)a ≤0，(2)当a >0，讨论单调性及最值即可． 本题考查了导数的综合应用，属于难题，22.答案：解：(1)圆O 的参数方程为为参数)，由ρ2cos2θ=1，得：ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=1， 即ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ=1，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2−y 2=1． (2)证明：由(1)知M(−1,0)，N(1,0)， 可设P(2cosα,2sinα)，所以|PM|2+|PN|2=(2cosα+1)2+(2sinα)2+(2cosα−1)2+(2sinα)2， =5+4cosα+5−4cosα=10， 所以|PM|2+|PN|2为定值10．解析：(1)首先利用转换关系把参数方程和极坐标方程和直角坐标方程进行转换． (2)利用三角函数关系式的恒等变换求出定值．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换．23.答案：解：法一：记A(1)，B(−2)，则AB 的中点为M (−12)，|x −1|+|x +2|<5⇔|x −(−12)|<52，即|x +12|<52，∴−52<x +12<52解得−3<x <2，故原不等式的解集为(−3,2)； 法二：原不等式等价于：{x ⩽−2−(x −1)−(x +2)<5或{−2<x <1−(x −1)+(x +2)<5或{x ⩾1(x −1)+(x +2)<5, 解得−3<x ≤−2或−2<x <1或1≤x <2， ∴−3<x <2，故原不等式的解集为(−3,2)．解析：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义、分类讨论思想的应用，属于基础题． 法一：记A(1)，B(−2)，则AB 的中点为M (−12)，根据绝对值的几何意义，不等式化为|x +12|<52，则−52<x +12<52，解得原不等式的解集；法二：由分类讨论去绝对值，原不等式等价于{x ⩽−2−(x −1)−(x +2)<5或{−2<x <1−(x −1)+(x +2)<5或{x ⩾1(x −1)+(x +2)<5，解得原不等式的解集．。
江苏省2020版高考数学一模试卷(理科)(I)卷
江苏省2020版高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2015高一上·柳州期末) 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（）A . {3}B . {2，5}C . {1，4，6}D . {2，3，5}2. （2分）(2018·河北模拟) 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2020高一下·南宁期中) 数列是等差数列，，，则（）A . 12B . 24C . 36D . 724. （2分） (2020高二上·吉林期末) 已知命题p：∀x∈R，sinx≥0，则下列说法正确的是（）A . 非p是特称命题，且是真命题B . 非p是全称命题，且是假命题C . 非p是全称命题，且是真命题D . 非p是特称命题，且是假命题5. （2分）(2020·江西模拟) 已知是球O的内接三棱锥，球O的半径为2，且，，，则点A到平面的距离为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一上·东营期中) 函数y=x|x|的图象大致是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·江西模拟) 美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a，n，ξ的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）A . 2.81B . 2.82C . 2.83D . 2.848. （2分）已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为A .B .C .D .9. （2分） (2017高一下·正定期末) 下列函数中同时具有以下性质：“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数：，其中：，记函数满足条件：的事件为A，则事件A发生的概率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高三上·洛阳期中) 双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1 ， F2 ，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A .B . 或C .D . 或12. （2分）(2019·荆门模拟) 设实数分别满足，，，则的大小关系为A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·天水期中) 设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ + 与﹣2垂直，则实数λ=________．14. （1分） (2017高二下·故城期中) 已知（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*），若a0+a1+…+an=62，则n等于________．15. （1分） (2018高二上·湖北月考) 设是的展开式中的一次项的系数，则________．16. （1分）(2016·城中模拟) 已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为________．三、解答题： (共7题；共55分)17. （5分）(2017·衡水模拟) 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin Acos B=2sin C﹣sin B．（I）求角A；（Ⅱ）若a=4 ，b+c=8，求△ABC 的面积．18. （10分）(2019·福建模拟) 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是线段的中垂线，，为线段上的点.（1）证明：平面平面；（2）若为的中点，求四面体的体积.19. （10分）(2020·安徽模拟) 某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X．（1）求X的分布列及其期望；（2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数．20. （5分） (2019高三上·金华期末) 已知椭圆C：，过点分别作斜率为，的两条直线，，直线交椭圆于A，B两点，直线交椭圆于C，D两点，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N．Ⅰ 若，，求椭圆方程；Ⅱ 若，求面积的最大值．21. （10分） (2020高二下·九台期中) 已知函数在点处的切线方程为.（1）若函数在时有极值，求的解析式；（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.22. （5分） (2017高二下·廊坊期末) 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2 cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．23. （10分） (2016高三上·清城期中) 已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
新疆2020年高考数学四模试卷(理科)D卷
新疆2020年高考数学四模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·南充月考) 设，是虚数单位，则的虚部为（）A . 1B . -1C . 3D . -32. （2分） (2018高二上·会宁月考) 在三角形ABC中，，则三角形ABC是（）A . 钝角三角形B . 直角三角形C . 等腰三角形D . 等边三角形3. （2分） (2016高二下·芒市期中) 命题“存在x0∈Z，使2x0+x0+1≤0”的否定是（）A . 存在x0∈Z，使2x0+x0+1＜0B . 不存在x0∈Z，使2x0+x0+1＞0C . 对任意x∈Z，使2x+x+1≤0D . 对任意x∈Z，使2x+x+1＞04. （2分） (2019高一下·吉林期中) 从区间随机抽取个数 , ，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·邯郸模拟) F为双曲线Г：﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点，若Г上存在一点P 使得△OPF为等边三角形（O为坐标原点），则Г的离心率e为（）A .B .C .D . 26. （2分） (2016高二上·桐乡期中) 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A . 若m∥α，n∥α．则m∥nB . 若m⊥α，n⊥α，则m∥nC . 若m∥α，m∥β，则α∥βD . 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β7. （2分）(2019·绵阳模拟) 已知变量，满足则的最大值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·黄陵开学考) 函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A . 关于点对称B . 关于x= 对称C . 关于点（，0）对称D . 关于x= 对称9. （2分）如图给出的计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高三上·牡丹江期中) 已知抛物线，那么过抛物线的焦点，长度为不超过2015的整数的弦条数是（）A . 4024B . 4023C . 2012D . 201511. （2分） (2016高二上·南昌期中) 若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一下·邵东期末) 函数图象的一条对称轴方程可以为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·蓟县期中) 函数的奇偶性为________14. （1分） (2016·河北模拟) 设（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（x∈N*），若a1+a2=30，则n=________．15. （1分） (2020高三上·山东期中) 已知，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率，点是椭圆上位于第二象限内的一点，若是腰长为4的等腰三角形，则的面积为________.16. （1分） (2019高二上·静海月考) 若，，且，则的最小值是________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）(2020·枣庄模拟) 数列的前项和为，且满足，（1）设，求证：数列是等比数列；（2）设，求的最小值.18. （5分）(2017·邯郸模拟) 某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量，兑现奖惩，从就餐的学生中随机抽出100位学生对餐厅服务质量打分（5分制），得到如图柱状图．（Ⅰ）从样本中任意选取2名学生，求恰好有1名学生的打分不低于4分的概率；（Ⅱ）若以这100人打分的频率作为概率，在该校随机选取2名学生进行打分（学生打分之间相互独立）记X 表示两人打分之和，求X的分布列和E（X）．（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级，并制定了对餐厅相应的奖惩方案，如表所示，设当月奖金为Y（单位：元），求E（Y）．服务质量评分X X≤56≤X≤8X≥9等级不好较好优良奖惩标准（元）﹣10002000300019. （10分） (2020高二上·天津月考) 已知三棱柱，底面，，，为线段的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．20. （10分） (2017高二上·集宁月考) 已知抛物线的焦点为 ,其准线与轴交于点 ,过作斜率为的直线与抛物线交于两点,弦的中点为的垂直平分线与轴交于．（1）求的取值范围;（2）求证: .21. （10分） (2020高三上·高密月考) 已知函数．（1）当时，求的极值；（2）设，若对恒成立，求实数的取值范围．22. （10分） (2017高二下·夏县期末) 在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值．23. （5分） (2017高二下·沈阳期末) 已知函数 .(Ⅰ)当a=1时，求的解集；(Ⅱ)若的解集包含集合，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
新疆2020年高考数学二模试卷(理科)D卷(模拟)
新疆2020年高考数学二模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁UP＝（）A . (－∞，－1)B . (1，＋∞)C . (－1,1)D . (－∞，－1)∪(1，＋∞)2. （2分）设复数z1 ， z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A . 2B . -2C . 1+iD . 1﹣i3. （2分） (2018高三上·永春期中) ，则A .B . 0C . 1D . 24. （2分） (2016高二上·黄骅期中) 已知集合M={1，2，3，4}，N={（a，b）|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y=x2+1有交点的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一下·鹤壁期末) 已知角的终边经过点，则的值等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·太谷期中) 为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y= cos3x的图象（）A . 向右平移个单位B . 向左平移个单位C . 向右平移个单位D . 向左平移个单位7. （2分）执行如下程序框图，则输出结果为（）A . 20200B . -5268.5C . 5050D . -51518. （2分） (2017高二下·潍坊期中) 某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间满足的关系式为y= x3﹣x2﹣40x（x＞0），为使耗电量最小，则速度为（）A . 30B . 40C . 50D . 609. （2分）一个几何体的三视图如右图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是（）A . 16cm2B .C .D .10. （2分） (2016高二上·桐乡期中) 设一个球的表面积为S1 ，它的内接正方体的表面积为S2 ，则的值等于（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·襄阳期中) F1 ， F2分别是双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若△ABF1是等边三角形，则该双曲线的虚轴长为（）A . 2B . 2C .D . 412. （2分） (2020高二下·吉林开学考) 已知函数的定义域为R，且，对任意，，则的解集为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·珠海月考) 已知实数，满足不等式组，则的最大值为________.14. （1分） (2015高二下·福州期中) 函数f（x）= 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为________．15. （1分） (2019高三上·吴中月考) 在平面直角坐标系中，已知圆和两点，且，若圆上存在两个不同的点，使得，则实数的取值范围为________．16. （1分）在△A BC中，a=1，b=2，cosC=， sinA=________三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2019高三上·凉山州月考) 为等差数列的前项和，， .（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .18. （5分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．19. （15分） (2019高二上·南宁期中) 如图，已知三棱锥中，，，为的中点，为的中点，且为正三角形.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若，，求三棱锥的体积.20. （15分） (2017高二上·太原月考) 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于不同的，两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值；（3）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．21. （10分） (2017高二下·太原期中) 已知函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值和最小值．22. （10分）(2020·新课标Ⅲ·理) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．（1）求；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．23. （10分）(2017·包头模拟) 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a≤2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
2019-2020年高考数学一模试卷 理(含解析)
2019-2020年高考数学一模试卷理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁U A=（）A．φB．{0，2} C．{1，5} D．{2，0，1，5}2．（5分）已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z=（）A．B．C．D．3．（5分）若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（）A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B．0＜a＜1，0＜b＜1 C．a＞1，﹣1＜b＜0 D．a＞1，0＜b＜14．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．95．（5分）已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16 B．25 C．36 D．497．（5分）在△ABC中，a，b，c分为为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（）A．（0，）B．（0，] C．[，π）D．[，π]8．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3…，若a n=xx，则n=（）A．83 B．82 C．39 D．37二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须作答．9．（5分）（x﹣）4的展开式中常数项为．（用数字表示）10．（5分）（x2﹣2sinx）dx=．11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，则x+4y的最小值为．12．（5分）已知圆C：x2+y2+8x+ay﹣5=0经过抛物线E：x2=4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为．13．（5分）设P是函数y=lnx图象上的动点，则点P到直线y=x的距离的最小值为．三、【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1：ρcosθ=与曲线C2：ρ2cos2θ=1相交于A，B两点，则|AB|=．四、【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）15．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E．若BC=6，则DE的长为．三、解答题16．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+）（w＞0）的最小正周期是π．（1）求f（）的值；（2）若sinx0=，且x0∈（0，），求f（x0）的值．17．（12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在xx12月份某时刻实时监测到的数据：城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值广州118 东莞137 中山95 江门78 云浮76 茂名107 揭阳80深圳94 珠海95 湛江75 潮州94 河源124 肇庆48 清远47佛山160 惠州113 汕头88 汕尾74 阳江112 韶关68 梅州84 （1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最长的边．三棱锥P﹣ABC的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图2中，用斜二测画法，把三棱锥P﹣ABC的直观图补充完整（其中点P在xOz平面内），并指出三棱锥P﹣ABC的哪些面是直角三角形；（2）求二面角B﹣PA﹣C的正切值；（3）求点C到面PAB的距离．19．（14分）已知数列{a n}的首项大于0，公差d=1，且+=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b1=﹣1，b2=λ，b n+1=b n+，其中n≥2．①求数列{b n}的通项b n；②是否存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆E的方程；（2）若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M（1，0）作l的垂线垂足为Q，求点Q 的轨迹方程．21．（14分）已知定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）满足：当x∈（0，2]时，f（x）=x（x﹣2）．（1）求f（x）的解析式和值域；（2）设g（x）=ln（x+2）﹣ax﹣2a，其中常数a＞0．①试指出函数F（x）=g（f（x））的零点个数；②若当1+是函数F（x）=g（f（x））的一个零点时，相应的常数a记为a k，其中k=1，2，…，n．证明：a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．广东省深圳市xx高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁U A=（）A．φB．{0，2} C．{1，5} D．{2，0，1，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的补集的定义求出A的补集即可．解答：解：∵集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，∴∁U A={1，5}，故选：C．点评：本题考查了集合的运算，是一道基础题．2．（5分）已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵z（1+i）=1，∴=．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．（5分）若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（）A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B．0＜a＜1，0＜b＜1 C．a＞1，﹣1＜b＜0 D．a＞1，0＜b＜1考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的图象和性质即可判断解答：解：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a＜1，因为函数y=a x的图象过定点（0，1），函数y=a x+b的图象过定点（0，b），∴﹣1＜b＜0，故选：A点评：本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键．4．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．9考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出可行域，平行直线可得直线过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得．解答：解：作出不等式组所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数z=2x+y可得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x可知，当直线经过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得z=2x+y的最大值为6故选：C点评：本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．（5分）已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，a⊥b是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，②分析当a⊥b时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假命题，综合①②可得答案．解答：解：根据题意，分两步来判断：①当α∥β时，∵a⊥α，且α∥β，∴a⊥β，又∵b⊂β，∴a⊥b，则a⊥b是α∥β的必要条件，②若a⊥b，不一定α∥β，当α∩β=a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，即a⊥b不是α∥β的充分条件，则a⊥b是α∥β的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16 B．25 C．36 D．49考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，n，S的值，当i=6时，满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为36．解答：解：执行程序框图，可得S=0，n=1，i=1S=1，不满足条件i＞5，i=2，n=3，S=4不满足条件i＞5，i=3，n=5，S=9不满足条件i＞5，i=4，n=7，S=16不满足条件i＞5，i=5，n=9，S=25不满足条件i＞5，i=6，n=11，S=36满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为36．故选：C．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确判断退出循环时S的值是解题的关键，属于基础题．7．（5分）在△ABC中，a，b，c分为为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（）A．（0，）B．（0，] C．[，π）D．[，π]考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用；解三角形．分析：先求导f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac），从而化函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点为x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解．解答：解：∵f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1，∴f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac），又∵函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，∴x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有两个不同的根，∴△=（2b）2﹣4（a2+c2﹣ac）＞0，即ac＞a2+c2﹣b2，即ac＞2accosB；即cosB＜；故∠B的范围是（，π）；故选：D．点评：本题考查了导数的综合应用及余弦定理的应用，属于中档题．8．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3…，若a n=xx，则n=（）A．83 B．82 C．39 D．37考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用“吉祥数”的定义，分类列举出“吉祥数”，推理可得到结论．解答：解：由题意，一位数时只有8一个；二位数时，有17，26，35，44，53，62，71，80共8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0，1，7）有4个，（0，2，6）有4个，（0，3，5）有4个，（0，4，4）有2个，（1，1，6）有3个，（1，2，5）有6个，（1，3，4）有6个，（2，2，4），有3个，（2，3，3）有3个，共1+4×3+2+3×3+6×2=36个，四位数小于等于xx：（0，0，1，7）有3个，（0，0，2，6）有1个，（0，1，1，6）有6个，（0，1，2，5）有7个，（0，1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个，（1，1，3，3）有3个，（1，2，2，3）有3个，共有3×4+6×3+1+7=38个数，∴小于等于xx的一共有1+8+36+38=83个，即a83=xx故选：A点评：本题考查新定义，涉及简单计数原理和排列组合的知识，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须作答．9．（5分）（x﹣）4的展开式中常数项为．（用数字表示）考点：二项式定理．专题：计算题；二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式T r+1=（﹣）r••x4﹣2r，令4﹣2r=0得r=2，即可求出（x﹣）4的展开式中常数项．解答：解：设（x﹣）4展开式的通项为T r+1，则T r+1=（﹣）r••x4﹣2r，令4﹣2r=0得r=2．∴展开式中常数项为：（﹣）2•=．故答案为：．点评：本题考查二项式系数的性质，利用通项公式化简是关键，属于中档题．10．（5分）（x2﹣2sinx）dx=18．考点：微积分基本定理．专题：导数的概念及应用．分析：根据微积分基本定理计算即可．解答：解：（x2﹣2sinx）dx=（x3+2cosx）|=×33+2cos3﹣×（﹣3）3﹣2cos（﹣3）=9+9=18 故答案为：18点评：本题考查了微积分基本定理，关键是求出原函数，属于基础题11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，则x+4y的最小值为9．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据⊥，得到x+y=xy，由x+4y≥4结合“=”成立的条件，求出此时x，y的值，从而得到答案．解答：解：∵⊥，（x＞0，y＞0），∴•=﹣1+=0，∴+=1，∴x+4y=（x+4y）（+）=1+++4≥5+2=9，当且仅当=即x2=4y2时“=”成立，故答案为：9点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了基本不等式的性质，是一道基础题．12．（5分）已知圆C：x2+y2+8x+ay﹣5=0经过抛物线E：x2=4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为4．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=﹣1，确定圆的方程，即可求出抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长．解答：解：抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=﹣1．（0，1）代入圆C：x2+y2+8x+ay﹣5=0，可得1+a﹣5=0，∴a=4∴圆C：x2+y2+8x+4y﹣5=0，即（x+4）2+（y+2）2=25，∴圆心到直线的距离为d=1，∴抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为2=4．故答案为：4．点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）设P是函数y=lnx图象上的动点，则点P到直线y=x的距离的最小值为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；作图题；导数的综合应用．分析：由题意作图，从而可得点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；从而求解．解答：解：由题意作图如下，令y′==1得，x=1，y=0；故点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；故d==；故答案为：．点评：本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于中档题．三、【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1：ρcosθ=与曲线C2：ρ2cos2θ=1相交于A，B两点，则|AB|=2．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C1：ρcosθ=化为x=．曲线C2：ρ2cos2θ=1化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，可得x2﹣y2=1，联立解得即可．解答：解：曲线C1：ρcosθ=化为x=．曲线C2：ρ2cos2θ=1化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，∴x2﹣y2=1，联立，解得．∴|AB|=2．故答案为：2．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、弦长问题，考查了计算能力，属于基础题．四、【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）15．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E．若BC=6，则DE的长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：连接OE，由已知得∠AEO=90°，OA=2OE，OD=AD，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DE=OD，由此能求出DE的长．解答：解：连接OE，∵AC是⊙O的切线，∴∠AEO=90°，∵∠A=30°，∴OA=2OE，∵OA=OD+AD，OD=OE，∴OD=AD，∴DE=OD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∵∠C=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=2BC=12，∵AB=OB+OD+AD=3OD=12，∴OD=4，∴DE=OD=4．故答案为：4．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．三、解答题16．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+）（w＞0）的最小正周期是π．（1）求f（）的值；（2）若sinx0=，且x0∈（0，），求f（x0）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由已知可求ω的值，从而可得解析式，即可根据诱导公式求值．（2）由已知可求得cos2x0的值，即可求sin2x0的值，由两角和的正弦公式展开所求代入即可求值．解答：解：（1）∵f（x）的周期是π，即T=π，…（1分）∴ω==2，即．…（3分）∴．…（5分）（2）由得，…（7分）又，∴2x0∈（0，π），…（8分）∴，…（9分）∵=．∴．…（12分）点评：本小题主要考查了三角函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力，属于基础题．17．（12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在xx12月份某时刻实时监测到的数据：城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值广州118 东莞137 中山95 江门78 云浮76 茂名107 揭阳80深圳94 珠海95 湛江75 潮州94 河源124 肇庆48 清远47佛山160 惠州113 汕头88 汕尾74 阳江112 韶关68 梅州84 （1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）根据已知数据，能完成表格．（2）按分层抽样的方法，抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）根据数据，完成表格如下：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市频数 2 12 6 1…（2分）（2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取个，…（3分）从“轻度污染”类城市中抽取个，…（4分）所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3．∵，，．…（8分）∴ξ的分布列为：ξ 1 2 3p所以．…（11分）答：ξ的数学期望为2个．…（12分）点评：本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最长的边．三棱锥P﹣ABC的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图2中，用斜二测画法，把三棱锥P﹣ABC的直观图补充完整（其中点P在xOz平面内），并指出三棱锥P﹣ABC的哪些面是直角三角形；（2）求二面角B﹣PA﹣C的正切值；（3）求点C到面PAB的距离．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知条件能用出三棱锥P﹣ABC直观图，由三视图知△ABC和△PCA是直角三角形．（2）过P作PH⊥BC交BC于点H，由三视图知△PBC为等腰三角形，取PC的中点E，过E作EF⊥PA且交PA于点F，连接BE，BF，∠BFE是二面角B﹣PA﹣C的平面角，由此能求出二面角B﹣PA﹣C的正切值．（3）记C到面PAB的距离为h，由V P﹣ABC=V C﹣PAB，能求出C到面PAB的距离．解答：解：（1）三棱锥P﹣ABC直观图如图1所示；由三视图知△ABC和△PCA是直角三角形．…（3分）（2）如图2，过P作PH⊥BC交BC于点H，由三视图知△PBC为等腰三角形，∵BC=4，，∴PB=PC=BC=4，取PC的中点E，过E作EF⊥PA且交PA于点F，连接BE，BF，因为BE⊥PC，由三视图知AC⊥面PBC，且BE⊂面PBC，∴AC⊥BE，又由AC∩PC=C，∴BE⊥面PAC，由PA⊂面PAC，∴BE⊥PA，BE∩EF=E，∴PA⊥面BEF，由BF⊂面BEF，∴PA⊥BF，所以∠BFE是二面角B﹣PA﹣C的平面角．…（6分）∵△PEF∽△PAC，∴，∵，∴，…（8分），∴在直角△BFE中，有．所以，二面角B﹣PA﹣C的正切值为．…（9分）（3）记C到面PAB的距离为h，由（1）、（2）知，∴，PB=4，V C﹣PAB==，…（12分）三棱锥P﹣ABC的体积，…（13分）由V P﹣ABC=V C﹣PAB，得C到面PAB的距离．…（14分）点评：本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19．（14分）已知数列{a n}的首项大于0，公差d=1，且+=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b1=﹣1，b2=λ，b n+1=b n+，其中n≥2．①求数列{b n}的通项b n；②是否存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得=，从而，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）①由已知得=+1，令c n=，则c2=λ，c n+1=c n+1，由此能求出数列{b n}的通项公式．②若数列{b n}为等比数列，则有，由此能求出存在实数λ=1，使得数列{b n}为等比数列．解答：解：（1）∵数列{a n}的首项大于0，公差d=1，且+=，…（2分）∴=，…（3分）整理得，解得a1=1或a1=﹣3（舍去）．…（4分）因此数列{a n}的通项a n=n．…（5分）（2）①∵b n+，∴=+1．…（6分）令c n=，则有c2=λ，c n+1=c n+1，（n≥2）．∴当n≥2时，c n=c2+（n﹣2）=n﹣2+λ，．…（8分）∴数列{b n}的通项b n=．…（9分）②∵b1=﹣1，b2=λ，，…（10分）∴若数列{b n}为等比数列，则有=b1b3，即，解得λ=1或．…（11分）当时，（n≥2），不是常数，数列{b n}不是等比数列，当λ=1时，b1=﹣1，，（n≥2），数列{b n}为等比数列．所以，存在实数λ=1，使得数列{b n}为等比数列．…（14分）点评：本题考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．20．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆E的方程；（2）若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M（1，0）作l的垂线垂足为Q，求点Q 的轨迹方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由椭圆E的离心率为，可得=，解得a2=2b2，可得c=b．故椭圆E的方程可设为x2+2y2=2b2，则椭圆E的左焦点坐标为（﹣b，0），过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l′：y=x+b．与椭圆方程联立可得交点坐标，利用弦长公式|AB|===，解得b即可得出．（2）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，根据直线l和椭圆E有且仅有一个交点，可得△=0，m2=2k2+1．由于直线MQ与l垂直，可得直线MQ的方程为：y=﹣，联立，解得，消去m，k即可得出．解答：解：（1）∵椭圆E的离心率为，∴=，解得a2=2b2，∴c2=a2﹣b2=b2，即c=b．故椭圆E的方程可设为x2+2y2=2b2，则椭圆E的左焦点坐标为（﹣b，0），过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l′：y=x+b．设直线l′与椭圆E的交点记为A，B，联立，消去y，得3x2+4bx=0，解得x1=0，x2=﹣，∴|AB|===，解得b=1．故椭圆E的方程为．（2）（ i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m，联立，消去y并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l和椭圆E有且仅有一个交点，∴△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，化简并整理，得m2=2k2+1．∵直线MQ与l垂直，∴直线MQ的方程为：y=﹣，联立，解得，∴x2+y2====2．（*）（ ii）当切线l的斜率为0时，此时Q（1，±1），符合（*）式．（ iii）当切线l的斜率不存在时，此时Q 或，符合（*）式．综上所述，点Q的轨迹方程为x2+y2=2．点评：本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想，属于难题．21．（14分）已知定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）满足：当x∈（0，2]时，f（x）=x（x﹣2）．（1）求f（x）的解析式和值域；（2）设g（x）=ln（x+2）﹣ax﹣2a，其中常数a＞0．①试指出函数F（x）=g（f（x））的零点个数；②若当1+是函数F（x）=g（f（x））的一个零点时，相应的常数a记为a k，其中k=1，2，…，n．证明：a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．考点：数列与函数的综合．专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：（1）由奇函数性质得f（0）=0，当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x）（﹣x﹣2）=﹣x（x+2），由此能求出f（x）的解析式和值域．（2）①当t=0时，方程f（x）=t有三个实根，当t=1或t=﹣1时，方程f（x）=t只有一个实根，当t∈（0，1）或t∈（﹣1，0）时，方程f（x）=t有两个实根．设h（x）=，x∈[﹣1，1]，h（﹣1）=0，，由此利用导数性质能求出函数F（x）=g （f（x））的零点个数．②由已知得g（f（1+））=0，g（f（1+））=g（）=ln（﹣a k（）=0，从而，记m（x）=ln（x+1）﹣x，﹣1=，由此利用导数性质能证明a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．解答：（1）解：∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0．当x∈[﹣2，0）时，﹣x∈（0，2]，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x）（﹣x﹣2）=﹣x（x+2），∴f（x）=．∵x∈[0，2]时，f（x）∈[﹣1，0]，x∈[﹣2，0），f（x）∈[0，1]，∴f（x）的值域为[﹣1，1]．（2）①解：函数f（x）的图象如图a所示，当t=0时，方程f（x）=t有三个实根，当t=1或t=﹣1时，方程f（x）=t只有一个实根，当t∈（0，1）或t∈（﹣1，0）时，方程f（x）=t有两个实根．由g（x）=0，解得a=，∵f（x）的值域为[﹣1，1]，∴只需研究函数y=在[﹣1，1]上的图象特征．设h（x）=，x∈[﹣1，1]，h（﹣1）=0，，令h′（x）=0，得x=e﹣2∈（0，1），h（e﹣2）=．∵当﹣1＜x＜e﹣2时，h′（x）＞0，当e﹣2＜x＜1时，h′（x）＜0，又∵ln23＜ln32，即，由h（0）=，h（1）=，得h（0）＜h（1），∴h（x）的大致图象如图b所示．根据图象b可知，当0＜a＜、、a=时，直线y=a与函数y=h（x）的图象仅有一个交点，则函数g（x）在[﹣1，1]上仅有一个零点，记零点为t，则t分别在区间（﹣1，0）、（0，1）上，根据图象a，方程f（x）=t有两个交点，因此函数F（x）=g（f（x））有两个零点．类似地，当a=时，函数g（x）在[﹣1，1]上仅有零点0，因此函数F（x）有﹣1、0、1这三个零点．当a=时，函数g（x）在[﹣1，1]上有两个零点，一个零点是1，另一个零点在（0，1）内，因此函数Y（x）有三个零点．当时，函数g（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且这两个零点均在（0，1）内，因此函数F（x）有四个零点．当a＞时，函数g（x）在[﹣1，1]上没有零点，因此函数F（x）没有零点．②证明：∵1+是函数F（x）=g（f（x））的一个零点，∴有g（f（1+））=0，∵1+∈（0，2），∴f（1+）=，∴g（f（1+））=g（）=ln（）﹣a k（）=0，∴，k=1，2，…，n．记m（x）=ln（x+1）﹣x，﹣1=，∵当x∈（0，1]时，m′（x）＜0，∴当x∈（0，1]时，m（x）＜m（0）=0，即ln（x+1）＜x．故有ln（）＜，则＜=，k=1，2，…，n．当n=1时，a1．当n≥2时，∵＜=﹣，∴a1+a2+a3+…+a n＜+…+＜==＜．综上，有a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．点评：本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．。
2020年山西省运城市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年山西省运城市高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2，3，4，5}，B ={x|x−14−x >0,x ∈Z}，则A ∩B =( )A. {2,3}B. {1,2，3，4}C. {1,2，3}D. {1,2，3，5}2. 若复数z 1=1+3i ，z 2=2+i ，则z1z 2=( )A. 1+iB. 3+3iC. −1+7iD. 3+4i3. 已知角α满足tanα=2，则cos 2α+sin2α等于( )A. √5−1B. 1C. √5+1D. 24. 函数f(x)=lg(|x|+x 2)(|x|−1)x的图象大致为( )A.B.C.D.5. 在△ABC 中，满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则∠B =( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°6. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿喀琉斯悖论：他提出让乌龟在阿喀琉斯前面1000米处和阿喀琉斯赛跑，并且假定阿喀琉斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿喀琉斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿喀琉斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；当阿喀琉斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……所以，阿喀琉斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿喀琉斯和乌龟的距离恰好为10−2米时，乌龟爬行的总距离为( )A. 104−190米 B. 105−1900米 C. 105−990米 D. 104−9900米 7. 如图是1990年−2017年我国劳动年龄(15−64岁)人口数量及其占总人口比重情况：根据图表信息，下列统计结论不正确的是()A. 2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B. 2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C. 2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D. 我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的最长的棱长为()A. 2√2B. 3√2C. √5D. 39.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))的图像如图所示，则f(1)=()A. 2B. 3C. 4D. 510.如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为F1，F2，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=60∘，设它们的离心率分别为e1，e2，则(e1⋅e2)min=()A. 1B. √32C. 2 D. √6411. 已知球O 是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为2√5的正四棱锥S −ABCD 与一个高为6的正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1拼接而成，则球O 的表面积为( )A.100π3B. 64πC. 100πD.500π312. 已知f(x)为二次函数，其导函数f′(x)满足f′(x)lnx <f(x)x，则有( )A. f(2)<f(e)ln2，2f(e)>f(e 2)B. f(2)<f(e)ln2，2f(e)<f(e 2)C. f(2)>f(e)ln2，2f(e)<f(e 2)D. f(2)>f(e)ln2，2f(e)>f(e 2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (√x +2x 2)n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于________．14. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ⩾0x −y ⩽0x −2y +2⩾0，则z =3x −y 的最小值等于_____． 15. 已知A 是抛物线y 2=4x 上的一点，以点A 和点B(2,0)为直径的圆C 交直线x =1于M ，N 两点．直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于P ，Q 两点．(1)求线段MN 的长；(2)若OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与|MN|相等，求直线l 的方程． 16. 在△ABC 中，AC =7，BC =13，D 在边BC 上，BD =10，AD =5，则AB =________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{n+1a n}的前n 项和为T n ，求T n ．18.某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径(单位：mm)进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84)．(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73mm，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径X满足60.6mm−69.4mm为合格品(合格品的概率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望．(参考数据：若X−N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826；P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544；P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=√22，且椭圆的短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB+CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．x3+ax+4(a∈R)在x=2处有极值.20.已知函数f(x)=13(1)求a的值；(2)求f(x)在[0, 3]上的最大值和最小值；21.如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°(如图2所示)，(1)当BD的长为多少时，三棱锥A−BCD的体积最大；(2)当三棱锥A−BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．)，以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π3角坐标系xOy．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若点P在曲线C上，点Q的直角坐标是(cosφ,sinφ)，其中(φ∈R)，求|PQ|的最大值．23.设函数f(x)=|2x+2|+|2x−3|．(1)求不等式f(x)>7的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≤|3m−2|有解，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|1<x<4,x∈Z}={2,3}；∴A∩B={2,3}．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．把z1=1+3i，z2=2+i代入z1z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z1=1+3i，z2=2+i，∴z1z2=1+3i2+i=(1+3i)(2−i)(2+i)(2−i)=5+5i5=1+i．故选A．3.答案：B解析：解：∵tanα=2，则cos2α+sin2α=cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=1+2tanα2=1，故选：B．利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．4.答案：A解析：先判断函数的奇偶性，然后令x =2进行计算，判断函数值的符号是否一致即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，和特殊值的关系是解决本题的关键． 解：f(−x)=lg(|−x|+(−x)2)(|−x|−1)(−x)=−lg(|x|+x 2)(|x|−1)x=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ， f(2)=lg(2+4)2=lg62>0，排除B ，故选：A ．5.答案：C解析：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题.由题意利用两个向量的数量积的定义可得BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =−12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可求出答案． 解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =−12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以cosB =−12， 故∠B =120°， 故选C ．6.答案：B解析：本题考查了等比数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．由题意知乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n }，写出a 1、q 和a n ，由此求出乌龟爬行的总距离S n ． 解：由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n }， 且a 1=100，q =110，a n =10−2； ∴乌龟爬行的总距离为S n=a1−a n q1−q =100−10−2×1101−110=105−1900．故选B．7.答案：B解析：本题考查了读图识图的能力，属于基础题．A选项，2000年我国劳动年龄人口数量增幅约为6000万，是图中最大的，2000年我国劳动年龄人口数量占总人口比重的增幅约为3%，也是最多的．故A对．B选项，2010年到2011年我国劳动年龄人口数量有所增加，故B错．C选项，从图上看，2013年的长方形是最高的，即2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值，C对，D选项，我国劳动年龄人口占总人口比重最大为2011年，约为74%，最小为1992年，约为67%，故极差超过6%.D对．故选：B．8.答案：D解析：本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积，判断直观图是解题的关键，属于中档题．首先由三视图还原几何体，利用三视图的数据求解几何体的最长棱长即可．解：三视图表示的几何体为三棱锥D−ABC，是正方体的一部分，易知正方体的棱长为：2，则此几何体的最长的棱长为：BD=√CD2+BC2=√4+4+1=3．故选D．9.答案：B解析：本题考查y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，考查推理能力和计算能力，属于一般题．先由图象求出A、ω和φ，再赋值计算即可．解：由题意可知A=3，T=2×(7−3)=8，所以ω=2π8=π4．因为函数f(x)的图像经过点(3,0)，所以3π4+φ=π+2kπ(k∈Z)，φ=π4+2kπ(k∈Z)．又φ∈[0,2π)，所以φ=π4，所以f(1)=3．故选B．10.答案：B解析：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c.由题意与双曲线的定义得到∴|MF1|=a1+a2，|MF2|=a1−a2，在△F1MF2中根据余弦定理可得到1e12+3e22=4，再由基本不等式求最值．解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，不妨取第一象限的公共点为M，则根据椭圆及双曲线的定义：|MF1|+|MF2|=2a1，|MF1|−|MF2|= 2a2，∴|MF1|=a1+a2，|MF2|=a1−a2，设|F1F2|=2c，∠F1MF2=60°，在△MF1F2中由余弦定理得，4c2=(a1+a2)2+(a1−a2)2−2(a1+a2)(a1−a2)cos60°，化简得：a12+3a22=4c2，该式可变成：1e12+3e22=4，∴4=1e12+3e22≥2√3e1e2，(当且仅当e2=√3e1时取等号)则e1e2≥√32．∴(e1⋅e2)min=√32．故选：B．11.答案：C解析：设球的半径为R，AB=2x，S到平面ABCD的距离为√20−2x2，列出半径的表达式，由勾股定理可得R2=32+2x2，由此求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．AC=√2x，解：设球的半径为R，AB=2x，12则球心到平面A1B1C1D1的距离为3，，几何体是由一个侧棱长为2√5的正四棱锥S−ABCD与一个高为6的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1拼接而成，S到平面ABCD的距离为√(2√5)2−(√2x)2=√20−2x2，则：√20−2x2+3=R，又勾股定理可得R2=32+2x2，∴R=5，x=2√2∴球的表面积为4πR2=100π．故选：C．12.答案：D解析：本题考查了函数的单调性问题，考查函数值的大小比较，是一道中档题．，x∈(0,+∞)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数值的大小即可．构造函数g(x)=f(x)lnx，x∈(0,+∞)，解：令g(x)=f(x)lnx故g′(x)=f′(x)lnx−f(x)⋅1x(lnx)2，∵f′(x)lnx <f(x)x，∴f′(x)lnx −f(x)1x <0，∴g(x)在(0,+∞)递减， ∴g(2)>g(e)，即f(2)ln2>f(e)lne，f(2)>f(e)ln2，g(e)>g(e 2)，即f(e)lne >f(e 2)lne 2，2f(e)>f(e 2)，故选D ．13.答案：180解析：本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由(√x +2x 2)n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，可得n =10.再利用通项公式即可得出． 解：∵(√x +2x )n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n =10． ∴(√x +2x 2)10的通项公式为：T r+1=C 10r(√x)10−r (2x 2)r=2rC 10r x5−5r2， 令5−5r 2=0，解得r =2．∴展开式的常数项=22C 102=180．故答案为180．14.答案：−72解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3×(−1)−12=−72． 故答案为：−72．15.答案：解：(1)设A(y 024,y 0)，圆C 方程为(x −2)(x −y 024)+y(y −y 0)=0， 令x =1，得y 2−y 0y +y 024−1=0，∴y M +y N =y 0，y M y N =y 024−1，|MN|=|y M −y N |=√(y M +y N )2−4y M y N =√y 02−4(y 024−1)=2．(2)设直线l 的方程为x =my +n ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则 由{x =my +n,y 2=4x消去x ，得y 2−4my −4n =0， y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4n ，∵OP →⋅OQ →=−3，∴x 1x 2+y 1y 2=−3，则(y 1y 2)216+y 1y 2=−3，∴n 2−4n +3=0，解得n =1或n =3，当n =1或n =3时，点B(2,0)到直线l 的距离为d =2，∵圆心C到直线l的距离等于到直线x=1的距离，∴y028=√1+m2，又m=y024−2y0，消去m得y02⋅y04+6416=64，求得y02=8，此时m=y024−2y0=0，直线l的方程为x=3，综上，直线l的方程为x=1或x=3．解析：(1)根据题意利用弦长公式求出即可得到MN的长；(2)设出直线l的方程为x=my+n，P，Q点的坐标，联立直线和抛物线方程，得到关于n的式子，解出即可得到直线方程．16.答案：5√3解析：本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理和正弦定理是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的公式．根据余弦定理弦求出C的大小，利用正弦定理即可求出AB的长度．解：如图所示：∵AD=5，AC=7，DC=3，∴由余弦定理得cosC=AC2+CD2−AD22AC⋅CD =72+32−522×7×3=1114，∴AB=√AC2+BC2−2AC·BC·cosC=√49+169−2×7×13×1114=√75=5√3故答案为5√3．17.答案：解：(1)∵S n=2a n−2，∴n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2−(2a n−1−2)，化为：a n= 2a n−1．n=1时，a1=2a1−2，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为2．∴a n=2n．(2)b n=n+1a n =n+12n，∴数列{b n}前n项和T n=22+322+⋯+n+12n，1 2T n=222+323+⋯+n2n+n+12n+1，∴12T n=1+122+123+⋯+12n−n+12n+1=1+14(1−12n−1)1−12−n+12n+1．∴T n=3−n+32n．解析：(1)S n=2a n−2，可得n≥2时，a n=S n−S n−1，化为：a n=2a n−1.n=1时，a1=2a1−2，解得a1.利用等比数列的通项公式即可得出．(2)b n=n+1a n =n+12n，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了错位相减法、等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)∵μ=65，σ=2.2，μ−3σ=58.4，μ+3σ=71.6，∴P(X>71.6)=1−P(58.4<X≤71.6)2=1−0.99742=0.0013．∴测得一根钢管的直径为73mm为⼩概率事件，故该质检员的决定有道理．(2)∵μ=65，σ=2.2，μ−2σ=60.6，μ+2σ=69.4，∴P(60.6≤X≤69.6)=0.9544，故该批钢管为合格品的概率约为0.95，∴Y～B(3,0.05)，且P(Y=k)=C3k⋅0.05k⋅0.953−k，k=0，1，2，3．∴次品数Y的分布列列为：∴E(Y)=3×0.05=0.15．解析：(1)计算P(X >μ+3σ)的概率，比较73与μ+3σ的大小得出结论； (2)求出合格品的概率，根据二项分布得出分布列和数学期望． 本题考查了正态分布的性质，二项分布列，属于中档题．19.答案：解：(1)∵椭圆的短轴长为2，∴b =1，又∵e =√1−b 2a2=√1−1a 2=√22，a 2=2,所以椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)①F 2(1,0)，设直线AB 的方程为y =k(x −1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，{x 2+2y 2=2y =k(x −1)，x 2+2k 2(x 2−2x +1)=2,(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， x 1+x 2=4k 21+2k2,x 1x 2=2k 2−21+2k 2，|x 1−x 2|=√16k 4(1+2k 2)2−4(2k 2−2)(1+2k 2)(1+2k 2)2=2√2√1+k 21+2k 2，|AB|=2√2(1+k 2)1+2k 2， ∵K AB K CD =−12，用−12k 替换上式中的k 得 ∴|CD|=√2(4k 2+1)2k 2+1， |AB|+|CD|=2√2(k 2+1)1+2k 2+√2(4k 2+1)1+2k 2=6√2k 2+3√21+2k 2=3√2．②由①知，x 1+x 2=4k 21+2k 2，M 点的横坐标为2k 21+2k 2，代入直线方程得y =k(2k 21+2k 2−1)=−k1+2k 2， 即M(2k 21+2k 2,−k 1+2k 2)，用−12k 替换M 点坐标k 得N(11+2k 2,k1+2k 2)，MN 的中点T 的坐标为(12,0)，S ΔOMN =12×OT ×|y M −y N |=14×|2k|1+2k 2=12×|k|1+2k 2=12×11|k|+2|k|≤122√2=√28，当且仅当|k|=√22时取等号． ∴ΔOMN 面积的最大值为√28．解析：本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1)由b 根据离心率求出a 即可；(2)①设直线AB 的方程为y =k(x −1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，根据弦长公式求出|AB|，再根据斜率的关系求出|CD|，整理即可；②求出M，N的坐标，代入面积公式，利用基本不等式即可求解．20.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=x2+a，∴f′(2)=4+a=0，解得a=−4．经过验证满足条件．(Ⅱ)f(x)=13x3−4x+4，f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，令f′(x)=0得x=−2或x=2．当x变化时如下表：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)−10+f(x)4单调递减极小值−43单调递增1因此，当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=−43．又由于f(0)=4，f(3)=1．因此函数f(x)在[0,3]上最大值为4，最小值为−43．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)f′(x)=x2+a，f′(2)=4+a=0，解得a.经过验证即可得出．(Ⅱ)f(x)=13x3−4x+4，f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，令f′(x)=0得x=−2或x=2.列出表格即可得出单调性极值与最值．21.答案：解：(1)设BD=x，则CD=3−x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3−x∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面BCD∴V A−BCD=13×AD×S△BCD=13×(3−x)×12×x(3−x) =16(x3−6x2+9x)设f(x)=16(x3−6x2+9x)x∈(0,3)，∵f′(x)=12(x −1)(x −3)，∴f(x)在(0,1)上为增函数，在(1,3)上为减函数 ∴当x =1时，函数f(x)取最大值∴当BD =1时，三棱锥A −BCD 的体积最大； (2)以D 为原点，建立如图直角坐标系D −xyz ，由(1)知，三棱锥A −BCD 的体积最大时，BD =1，AD =CD =2∴D(0,0，0)，B(1,0，0)，C(0,2，0)，A(0,0，2)，M(0,1，1)，E(12,1，0)，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，1) 设N(0,λ,0)，则EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,λ−1,0) ∵EN ⊥BM ，∴EN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 即(−1,1，1)⋅(−12，λ−1，0)=12+λ−1=0，∴λ=12，∴N(0,12,0) ∴当DN =12时，EN ⊥BM设平面BMN 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，由{n ⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0及BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,0)得{y =2xz =−x，取n⃗ =(1,2，−1) 设EN 与平面BMN 所成角为θ，则EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−12,0) sinθ=|cos <EN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=|−12−1|√6×√22=√32∴θ=60°∴EN 与平面BMN 所成角的大小为60°解析：(1)设BD =x ，先利用线面垂直的判定定理证明AD 即为三棱锥A −BCD 的高，再将三棱锥的体积表示为x 的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；(2)由(1)可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N 的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N 点坐标，从而确定N 点位置，再求平面BMN 的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角本题主要考查了线面垂直的判定，折叠问题中的不变量，空间线面角的计算方法，空间向量、空间直角坐标系的运用，有一定的运算量，属中档题22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π3)，展开为ρ2=4ρ(12sinθ−√32cosθ)，可得直角坐标方程：x2+y2=2y−2√3x.即曲线C的直角坐标方程为：x2+y2+2√3x−2y=0．(2)曲线C可化为(x+√3)2+(y−1)2=4，可得圆心C(−√3,1)，半径r=2，|OC|=2，点Q的直角坐标是(cosφ,sinφ)，(φ∈R)，可知：点Q在x2+y2=1圆上．∴|PQ|≤|OC|+2+1=5，即|PQ|的最大值是5．解析：本题考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化、涉及圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)曲线C的极坐标方程为ρ═4sin(θ−π3)，展开为ρ2=4ρ(12sinθ−√32cosθ)，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．(2)曲线C配方可得圆心及其半径，点Q的直角坐标是(cosφ,sinφ)，(φ∈R)，可知：点Q在x2+y2=1圆上，由|PQ|≤|OC|+R+r可得最值．23.答案：解：(1)∵f(x)>7，∴|2x+2|+|2x−3|>7，当x≤−1时，不等式为：−2x−2−2x+3>7，∴解得x<−32；当−1<x<32时，不等式为：2x+2−2x+3>7，∴无解；当x≥32时，不等式为：2x+2+2x−3>7，∴解得x>2；∴综上，不等式f(x)>7的解集是{x|x<−32或x>2};(2)∵f(x)=|2x+2|+|2x−3|≥|2x+2−2x+3|=5，当且仅当(2x+2)(2x−3)≤0，时取等号，即−1≤x≤32∴f(x)的最小值为5，∵关于x的不等式f(x)≤|3m−2|有解，∴|3m−2|≥5，∴3m−2≥5或3m−2≤−5，∴解得m≤−1或m≥7，3,+∞)．∴实数m的取值范围是(−∞,−1]∪[73解析：本题考查了绝对值不等式的应用，解不等式．(1)根据绝对值不等式，讨论得到不等式的解集；(2)根据绝对值不等式的性质，得到f(x)的最小值为5，得|3m−2|≥5，求得m的范围．。
江苏省2020年高考数学一模试卷(理科)(II)卷(考试)
江苏省2020年高考数学一模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，集合，集合．则集合可表示为（）A .B .C .D .2. （2分）复数的共轭复数是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·金台月考) 在等差数列中，，则的前项的和为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·广安模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A . 2B . 4C . 8D . 165. （2分）(2013·新课标Ⅱ卷理) 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A . ∃xα∈R，f（xα）=0B . 函数y=f（x）的图象是中心对称图形C . 若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减D . 若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=06. （2分）设n∊N+ ，则5 +52 +53 +…+5n 除以7的余数为（）A . 0或5B . 1或3C . 4或6D . 0或27. （2分） (2019高三上·邹城期中) 已知向量 , ,若向量与垂直,则（）A . 9B . 3C .D .8. （2分）如图，是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为（）A . 6B .C . 24D . 39. （2分）(2018·中原模拟) 已知实数满足，则的最大值为（）A . 2B . 8C . 11D . 1510. （2分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A .B . 8πC .D . 4π11. （2分） (2016高二上·包头期中) 已知方程﹣ =1表示双曲线，那么k的取值范围是（）A . k＞5B . ﹣2＜k＜2C . k＞2或k＜﹣2D . k＞5或﹣2＜k＜212. （2分） (2019高三上·佛山月考) 已知，若，且，则与2的关系为（）A .B .C .D . 大小不确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·辽宁期中) 已知，，则 ________．14. （1分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知点在抛物线上，抛物线的焦点满足＋＋＝ ,则 ________.15. （1分）(2019·揭阳模拟) 已知数列满足，，则数列中最大项的值为________.16. （1分） (2019高一上·北京月考) 若对，，使得成立，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共7题；共50分)17. （10分） (2016高三上·宁波期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=2，2cos2+sinA= ．（1）若满足条件的△ABC有且只有一个，求b的取值范围；（2）当△ABC的周长取最大值时，求b的值．18. （5分）(2017·荆州模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．19. （5分）(2017·湖北模拟) 为创建全国文明城市，某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员．从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名，按年龄作分组如下：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在[30.40）的人数；（Ⅱ）在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制，再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历，记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为X，求X 的分布列及数学期望．20. （5分）已知动圆P过定点F（0，1），且与定直线y=﹣1相切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹W的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹W相交于A，B两点，若在直线y=﹣1上存在点C，使△ABC为正三角形，求直线l的方程．21. （10分） (2019高二下·临川月考) 已知：在与时都取得极值.（1）求的值；（2）若在区间，上不单调，求的取值范围。
2020届高三数学第一次(期末考试)教学质量检测试题 理(含解析)
2019年第一次教学质量监测理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，且，，故选A.2. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.3. 已知平面向量，，且，则( )A. B. C. D. 10【答案】C【解析】，，，故选C.4. 设，，则的值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，故选A.5. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值是( )A. 0B. 2C. 或1D. 0或2【答案】D【解析】的准线方程为的圆心到的距离为圆相切，或，故选D................6. 执行下面的程序框图，若输出结果为273，则判断框处应补充的条件可以为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：经过第一次循环得到；经过第二次循环得到；经过第三次循环得到；此时，需要输出结果，此时的满足判断框中的条件，故选B．考点：程序框图．7. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( )(参考数据：，)A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年【答案】B【解析】若年是第一年，则第年科研费为，由，可得，得，即年后，到年科研经费超过万元，故选B.8. 已知函数的部分图象如图所示，则将的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由图知，，得，由最大值为，得，将代入可得，向左平移，可得，故选C.9. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的外接球的表面积是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆锥底面半径为，则底面周长等于半圆周，圆锥轴截面为边长为的正三角形，圆锥外接球球心是正三角形中心，外接球半径是正三角形外接圆半径，球表面积为，故选C.10. 函数的大致图象是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除；由,可排除，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11. 如图，网格纸上的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该多面体是底面为棱长为的正方形，一条长为的侧棱与底面垂直的四棱锥，四条底棱为，四条侧棱分别为，故最长棱长为，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12. 若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同的四面体，记的三个内角分别为，，，其中一定不是“完美四面体”的为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】若，由正弦定理可得，，设，因为“完美四面体”的四个侧面是全等的三角形，，把该四面体顶点当成长方体的四个顶点，四条棱当作长方体的四条面对角线，则长方体面上对角线长为，设长方体棱长为，则，以上方程组无解，即这样的四面体不存在，四个侧面不全等，故一定不是完美的四面体，故选B.【方法点睛】本题考查四面体的性质以及长方体的性质、新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题通过定义“完美四面体”达到考查四面体的性质以及长方体的性质的目的.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余个小矩形面积和的，则该组的频数为________.【答案】50【解析】设个小矩形面积和为，则中间小矩形面积的,根据直方图的性质可得,中间一个小矩形的面积等于，即该组的频数为，故答案为.14. 若二项式展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________. 【答案】15【解析】二项式展开式中各项系数的和为64，令，得的通项为，令，常数项为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15. 若直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围是________. 【答案】【解析】直线上存在点满足约束条件，等价于直线与可行域有交点，画出约束条件表示的可行域，如图，由，得；由，得，直线过定点，，由图知，要使直线可行域有交点，则，实数的取值范围是，故答案为.16. 已知双曲线的焦点为，，为双曲线上的一点且的内切圆半径为1，则的面积为________.【答案】【解析】如图，设的内切圆与轴相切于实点，根据切线性质及双曲线的定义可得,结合，解得,所以的内切圆与轴相切于实轴端点，因为，故，可得，轴，从而双曲线方程中令得，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的首项为，且，.(1)求证：数列是等差数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：(1)由可得，从而可得数列是以为首项，以为公差的等差数列；(2) 由(1)可知，，，利用裂项相消法可求得数列的前项和.试题解析：(1)，数列是以为首项，以1为公差的等差数列；(2)由(1)可知，，，，.【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 某种产品的质量以其“无故障使用时间 (单位：小时)”衡量，无故障使用时间越大表明产品质量越好，且无故障使用时间大于3小时的产品为优质品，从某企业生产的这种产品中抽取100件，并记录了每件产品的无故障使用时间，得到下面试验结果：以试验结果中无故障使用时间落入各组的频率作为一件产品的无故障使用时间落入相应组的概率.(1)从该企业任取两件这种产品，求至少有一件是优质品的概率；(2)若该企业生产的这种产品每件销售利润(单位：元)与其无故障使用时间的关系式为从该企业任取两件这种产品，其利润记为(单位：元)，求的分布列与数学期望.【答案】(1)0.64(2) (元)【解析】试题分析：(1) 由古典概型概率公式可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是，根据对立事件及独立事件的概率公式即可得到从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质产品的概率；(2) 由题意知，的可能取值为，根据独立事件率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.试题解析：(1)由题意可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是，所以从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质产品的概率为；(2)由题意知，的分布列为所以的数学期望(元).19. 如图，正三棱柱中，，，为棱上靠近的三等分点，点在棱上且面.(1)求的长；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1) 作与交于点，根据线面平行的性质定理可得，，于是在平行四边形中，；(2) 取的中点，由(1)知，∴，从而面，于是二面角的平面角为，在直角三角形中，可得二面角的余弦值为.试题解析：(1)如图，作与交于点，∵，∴，面面，∵面，∴，于是在平行四边形中，.(2)取的中点，∵是正三棱柱，∴，面，连结，由(1)知，∴，又面，∴，从而面，于是二面角的平面角为，由题，，，，故二面角的余弦值为.20. 已知椭圆经过点，离心率为，过原点作两条直线，直线交椭圆于，直线交椭圆于，且.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率分别为，求证：为定值.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：(1)根据椭圆经过点，离心率为，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、即可得椭圆的方程；(2) 由对称性可知，四边形是平行四边形，设，，则，，由可得，从而得.解得，，椭圆的方程为；(2)由对称性可知，四边形是平行四边形，设，，则，，由，得，，所以，，故为定值2.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、椭圆的几何性质以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数有两个极值点.(1)求实数的取值范围；(2)求证：，其中为自然对数的底数.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：(1) 由得，有两个极值点，即方程有两解，即的图象与直线有两个公共点，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象即可求得实数的取值范围；(2) ∵，∴，故只需证明：，等价于，不妨设，并令，，利用导数可证明，从而可得结果.记，则，当时，，当时，，∴在上递增，在上递减，又，时，，时，，由题，有两个极值点，即方程有两解，即的图象与直线有两个公共点，故.(2)∵，∴，故只需证明：，由，作差得：，因此，，不妨设，并令，，则，∴在上单调递减，，即，即成立，于是原命题得证.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，其中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，为曲线与的交点.(1)当时，求点的极径；(2)点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1) 先求得曲线的极坐标方程是，当时，联立方程组，解得，从而可得点的极径；(2) 点，，由题意可得，，进而可得，两边同乘以，利用即可得点的轨迹的直角坐标方程.试题解析：(1)由题意可知，曲线的极坐标方程是，当时，联立方程组，解得，故点的极径为.(2)在极坐标系中，设点，，由题意可得，，进而可得，从而点的轨迹的直角坐标方程为.23. 已知函数，其中.(1)当时，求不等式的解集；(2)设函数，当时，，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1) 当时，解不等式，对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；(2) 当时，等价于恒成立；当时，等价于恒成立；当时，等价于，三种情况求解，再求并集即可得的取值范围.试题解析：(1)当时，，解不等式，时；时，；不等式总成立，所以得，所以，的解集为.(2)当时，，所以①当时，等价于恒成立，所以；②当时，等价于恒成立，所以；③当时，等价于，此时恒成立，所以；综上可得，.。