北京大学数学科学学院2015 年直博生摸底考试试题
2015年 北京市 高考数学 试卷及解析(理科)
2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）若x，y 满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C ．D．23．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）14．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．56．（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a 2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞07．（5分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）2A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}8．（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）310．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．11．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．12．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．13．（5分）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=．14．（5分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．16．（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，164B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．18．（13分）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；5（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x ）＞；（Ⅲ）设实数k使得f（x ）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．19．（14分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y 轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（13分）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．62015年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】利用复数的运算法则解答．【解答】解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1．2．（5分）若x，y 满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C ．D．2【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．7【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值=0+2×1=2．∴z最大值故选：D．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）8A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；x=1，y=1，k=0时，s=x﹣y=0，t=x+y=2；x=s=0，y=t=2，k=1时，s=x﹣y=﹣2，t=x+y=2；x=s=﹣2，y=t=2，k=2时，s=x﹣y=﹣4，t=x+y=0；x=s=﹣4，y=t=0，9k=3时，循环终止，输出（x，y）是（﹣4，0）．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目．4．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．105．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC =2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．11S△BCO =2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．6．（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a 2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B 不正确；12{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}【分析】在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图13满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选：C．【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．8．（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油【分析】根据函数图象的意义逐项分析各说法是否正确．【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，14∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故C正确；对于D，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了函数图象的意义，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为40（用数字作答）【分析】写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值．【解答】解：（2+x）5的展开式的通项公式为：T r=25﹣r x r，+1所求x3的系数为：=40．15故答案为：40．【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．10．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=±，结合条件可得=，即可得到a 的值．【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．11．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为1．【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．16【解答】解：点P（2，）化为P．直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．1713．（5分）在△ABC中，点M，N 满足=2，=，若=x+y，则x=，y=﹣．【分析】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值．【解答】解：由已知得到===；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案为：．【点评】本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（x，y）使，向量等式成立．14．（5分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．18【解答】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x ﹣）2﹣1，当1＜x ＜时，函数单调递减，当x ＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f （）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a 的取值范围是≤a＜1，或a≥2．19【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin cos ﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．【分析】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的周期，即可得到所求；（Ⅱ）由x的范围，可得x +的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin cos ﹣sin=sinx ﹣（1﹣cosx）=sinxcos+cosxsin ﹣=sin（x +）﹣，则f（x）的最小正周期为2π；（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得20﹣≤x +≤，即有﹣1，则当x=﹣时，sin（x +）取得最小值﹣1，则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣．【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．16．（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【分析】设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，721（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；（Ⅲ）由方差的公式可得．【解答】解：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）+P（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P （A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题．2217．（14分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．23（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，∵EFCB是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，（a≠2），BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），设平面AEB 的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF 的法向量为，则cos ＜＞==即二面角F﹣AE﹣B 的余弦值为；24（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=．【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．2518．（13分）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x ）＞；（Ⅲ）设实数k使得f（x ）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．【分析】（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围．【解答】解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x +），则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），26即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x +）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x ）＞对x∈（0，1）恒成立．当k＞2时，令h（x）=f（x ）﹣，则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x ）＜．所以当k＞2时，f（x ）＞并非对x∈（0，1）恒成立．综上所知，k的最大值为2．【点评】本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．19．（14分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；27（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y 轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（I ）根据椭圆的几何性质得出求解即可．（II）求解得出M （，0），N （，0），运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ ，=，求解即可得出即y Q2=x M•x N ，+n2，根据m，m的关系整体求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意得出解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA的方程为：y﹣1=x，y=0时，x M =∴M （，0）（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）∴点B（m，﹣n）（m≠0）28∵直线PB交x轴于点N，∴N （，0），∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，y Q），∴tan∠OQM=tan∠ONQ，∴=，即y Q2=x M•x N ，+n2=1y Q2==2，∴y Q =，故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）【点评】本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题．2920．（13分）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．【分析】（Ⅰ）a1=6，利用a n+1=可求得集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数；（Ⅲ）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）若a1=6，由于a n+1=（n=1，2，…），M={a n|n ∈N*}．故集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数．如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；30如果k＞1，因为a k=2a k﹣1，或a k=2a k﹣1﹣36，所以2a k﹣1是3的倍数；于是a k﹣1是3的倍数；，…，a1都是3的倍数；类似可得，a k﹣2从而对任意n≥1，a n是3的倍数；综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数（Ⅲ）对a1≤36，a n =（n=1，2，…），可归纳证明对任意n ≥k，a n＜36（n=2，3，…）因为a1是正整数，a2=，所以a2是2的倍数．从而当n≥2时，a n是2的倍数．如果a1是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n是3的倍数．因此当n≥3时，a n∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．如果a1不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n不是3的倍数．因此当n≥3时，a n∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．综上可知，集合M的元素个数的最大值为8．【点评】本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．3132。
100教育：2015高考试题——理数(北京卷)含答案
2015 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共 5 页， 150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i 2 iA ． 1 2i B． 1 2i C． 1 2ix y ≤ 0 ，2．若 x ， y 满足 x y ≤ 1，则 z x 2 y 的最大值为x≥ 0 ，3A．0B．1 C． D．2 23．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A．2，2B．4，0C．4， 4D． 1 2i D．0，8开始x=1，y=1 ，k=0 s=x-y， t=x+yx=s， y=tk=k+1否k≥ 3是输出 (x， y)结束4．设，是两个不同的平面，m是直线且m?m∥”是“∥”的．“A ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是1211正(主)视图侧( 左 )视图俯视图A．25 B ． 45C．2 25D． 5 6．设a n是等差数列 . 下列结论中正确的是A ．若 a1a20 ，则 a2a30B．若 a1a30 ，则 a1a20C．若 0 a1a2，则 a2a1a3D．若 a10 ，则a2a1a2a3 0 7．如图，函数f x 的图像为折线ACB ，则不等式 f x ≥ log2x 1 的解集是y2CAO Bx-12A ．x | 1x ≤ 0B ．x | 1≤x≤1C．x | 1x≤ 1D．x | 1 x≤28．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是1211正(主)视图侧( 左 )视图俯视图A．25 B ． 45C．2 25D． 5 6．设a n是等差数列 . 下列结论中正确的是A ．若 a1a20 ，则 a2a30B．若 a1a30 ，则 a1a20C．若 0 a1a2，则 a2a1a3D．若 a10 ，则a2a1a2a3 0 7．如图，函数f x 的图像为折线ACB ，则不等式 f x ≥ log2x 1 的解集是y2CAO Bx-12A ．x | 1x ≤ 0B ．x | 1≤x≤1C．x | 1x≤ 1D．x | 1 x≤28．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是1211正(主)视图侧( 左 )视图俯视图A．25 B ． 45C．2 25D． 5 6．设a n是等差数列 . 下列结论中正确的是A ．若 a1a20 ，则 a2a30B．若 a1a30 ，则 a1a20C．若 0 a1a2，则 a2a1a3D．若 a10 ，则a2a1a2a3 0 7．如图，函数f x 的图像为折线ACB ，则不等式 f x ≥ log2x 1 的解集是y2CAO Bx-12A ．x | 1x ≤ 0B ．x | 1≤x≤1C．x | 1x≤ 1D．x | 1 x≤28．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是1211正(主)视图侧( 左 )视图俯视图A．25 B ． 45C．2 25D． 5 6．设a n是等差数列 . 下列结论中正确的是A ．若 a1a20 ，则 a2a30B．若 a1a30 ，则 a1a20C．若 0 a1a2，则 a2a1a3D．若 a10 ，则a2a1a2a3 0 7．如图，函数f x 的图像为折线ACB ，则不等式 f x ≥ log2x 1 的解集是y2CAO Bx-12A ．x | 1x ≤ 0B ．x | 1≤x≤1C．x | 1x≤ 1D．x | 1 x≤28．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是1211正(主)视图侧( 左 )视图俯视图A．25 B ． 45C．2 25D． 5 6．设a n是等差数列 . 下列结论中正确的是A ．若 a1a20 ，则 a2a30B．若 a1a30 ，则 a1a20C．若 0 a1a2，则 a2a1a3D．若 a10 ，则a2a1a2a3 0 7．如图，函数f x 的图像为折线ACB ，则不等式 f x ≥ log2x 1 的解集是y2CAO Bx-12A ．x | 1x ≤ 0B ．x | 1≤x≤1C．x | 1x≤ 1D．x | 1 x≤28．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是1211正(主)视图侧( 左 )视图俯视图A．25 B ． 45C．2 25D． 5 6．设a n是等差数列 . 下列结论中正确的是A ．若 a1a20 ，则 a2a30B．若 a1a30 ，则 a1a20C．若 0 a1a2，则 a2a1a3D．若 a10 ，则a2a1a2a3 0 7．如图，函数f x 的图像为折线ACB ，则不等式 f x ≥ log2x 1 的解集是y2CAO Bx-12A ．x | 1x ≤ 0B ．x | 1≤x≤1C．x | 1x≤ 1D．x | 1 x≤28．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是1211正(主)视图侧( 左 )视图俯视图A．25 B ． 45C．2 25D． 5 6．设a n是等差数列 . 下列结论中正确的是A ．若 a1a20 ，则 a2a30B．若 a1a30 ，则 a1a20C．若 0 a1a2，则 a2a1a3D．若 a10 ，则a2a1a2a3 0 7．如图，函数f x 的图像为折线ACB ，则不等式 f x ≥ log2x 1 的解集是y2CAO Bx-12A ．x | 1x ≤ 0B ．x | 1≤x≤1C．x | 1x≤ 1D．x | 1 x≤28．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是1211正(主)视图侧( 左 )视图俯视图A．25 B ． 45C．2 25D． 5 6．设a n是等差数列 . 下列结论中正确的是A ．若 a1a20 ，则 a2a30B．若 a1a30 ，则 a1a20C．若 0 a1a2，则 a2a1a3D．若 a10 ，则a2a1a2a3 0 7．如图，函数f x 的图像为折线ACB ，则不等式 f x ≥ log2x 1 的解集是y2CAO Bx-12A ．x | 1x ≤ 0B ．x | 1≤x≤1C．x | 1x≤ 1D．x | 1 x≤28．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是1211正(主)视图侧( 左 )视图俯视图A．25 B ． 45C．2 25D． 5 6．设a n是等差数列 . 下列结论中正确的是A ．若 a1a20 ，则 a2a30B．若 a1a30 ，则 a1a20C．若 0 a1a2，则 a2a1a3D．若 a10 ，则a2a1a2a3 0 7．如图，函数f x 的图像为折线ACB ，则不等式 f x ≥ log2x 1 的解集是y2CAO Bx-12A ．x | 1x ≤ 0B ．x | 1≤x≤1C．x | 1x≤ 1D．x | 1 x≤28．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是。
2015年高考北京理科数学试题及答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理科）第一部分(选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． （1）【2015年北京，理1】复数()i 2i -=（ ） （A ）12i + （B ）12i - （C ）12i -+ （D ）12i -- 【答案】A【解析】()2i 2i 2i i 12i -=-=+,故选A ．（2）【2015年北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（ )(A ）0 （B)1 （C ）32（D ）2 【答案】D【解析】如图，当 01x y ==，max 2z =，故选D ． （3）【2015年北京，理3】执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ )（A ）()22-， （B ）()40-， （C ）()44--， （D ）()08-，【答案】B【解析】020212222240403s t x y k s t x y k s t x y k ======-==-===-==-==，结束，输出(4,0)-，故选B ．（4）【2015年北京，理4】设α,β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（ )（A ）充分而不必要条件（B)必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】//m β不能推出//αβ，而//αβ，//m β⇒，∴“//m β”是“//αβ”的必要不充分条件，故选B ． （5）【2015年北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）（A ）25+ （B)45+ (C ）225+ （D ）5 【答案】C【解析】由三视图知，PA ⊥面ABC ，12222ABC S =⨯⨯=，5AB AC ==，155122PAB PCA S S ==⨯⨯=，6PC PB ==，12552PBC S =⨯⨯=，∴225S =+， 故选C ．（6）【2015年北京,理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ )（A ）若120a a +>,则230a a +> （B)若130a a +<，则120a a +< （C ）若120a a <<，则213a a a > (D ）若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C【解析】210a a >>，0d ⇒>，所以30a >,132132a a a a a +=>，故选C ． （7）【2015年北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）（A ）{}|10x x -<≤ （B ）{}|11x x -≤≤ （C ）{}|11x x -<≤ （D){}|12x x -<≤ 【答案】C【解析】由题可知:22-10()202x x f x x x +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，当(]1,0x ∈-时，2log (1)022x x +<<+．(]0,2x ∈时，()f x 单调递减，2()log (1)g x x =+单调递增，2log (1)2x x +=-+1x ⇒=∴当01x <≤时，2log (1)2x x +≤-+,∴2()log (1)f x x ≥+的解集为(]1,1-，故选C ．（8)【2015年北京，理8】汽车的“燃油效率"是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确 的是（ ）(A ）消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米（B ）以相同速度行驶相同路程，三辆车中,甲车消耗汽油最多 （C)甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油（D ）某城市机动车最高限速80千米/小时。
2015北京高考真题数学理
2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）第一部分（选择题 共40分）一、选择题:共8小题，每小题5分，共40分． 1．复数()i 2i -=（ ）． A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i --2．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值为（ ）．A ．0B ．1C ．32D ．23．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）．A ．(2,2)-B ．(4,0)-C ．(4,4)-D ．(0,8)-4．设α，β两个不同的平面，m 是直线且αm ⊂，“//m β”是“//αβ”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）．A ．25+B ．45+C ．225+D ．56．设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）．A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则2123()()0a a a a -->7．如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()2()log 1f x x +≥的解集是（ ）． A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）．A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在()52x +的展开式中，3x 的系数为__________．（用数字作答）10．已知双曲线2221x y a-=(0)a >的一条渐近线为30x y +=，则a =__________．11．在极坐标中，点(2,)3π在直线(cos 3sin )6ρθθ+=的距离为__________．12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．13．在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN xAB yAC =+,则x =__________．y =__________．14．设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩≥．①若1a =，则()f x 的最小值为__________．②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()22sin cos 2sin 222f x x xx =-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[]π,0-上的最小值．16．（本小题满分13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅱ）如果25（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =， 2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．（Ⅰ）求证：AO BE ⊥；（Ⅱ）求二面角F AE B --的余弦值；（Ⅲ）若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．18．（本小题满分13分）已知函数()1ln1xf x x+=-． （Ⅰ）求曲线(x)y f =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+；（Ⅲ）设实数k 使得3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值．19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，点()0,1P ，和点(,)(0)A m n m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）已知数列{n a }满足1a *∈N ，136a ≤，且12,18(1,2)236,18n n n n n a a a n a a +⎧==⋯⎨->⎩≤．记集合{|}n M a n *=∈N ． （Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学答案（理工类）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ADBBCCCD二、填空题题号 9 10 11 12 1314答案 4033111216- 1-[)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题15．解：（Ⅰ）()()22sin 1cos 22f x x x =-- 222sin cos 222x x =+-2sin 42x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，周期221T ππ==． （Ⅱ）∵π0x -≤≤， ∴3πππ444x -+≤≤， ∴π21sin()42x -+≤≤， ∴()2102f x --≤≤， ∴最小值为212--．16．解：（Ⅰ）记甲康复时间不小于14天为事件A ．则3()7P A =， 答：甲康复时间不小于14天的概率为37． （Ⅱ）记甲的康复时间比乙的康复时间长为事件B ． 基本事件空间如下表乙 甲 10 11 12 13 14 15 1612短 短 短长 长 长 长13 短 短 短 短 长 长 长 14 短 短 短 短 短 长 长 15 短 短 短 短 短 短 长 16 短 短 短 短 短 短 短 17短 短 短 短 短 短 短 25短短短短短短短所以1010()7749P B ==⨯． （Ⅲ）11a =或18a =，由于A 组为公差为1的等差数列，所以当11a =或18a =时B 组也为公差为1的等差数列， 所以方差一定相等，而方差相等的方程是关于a 的一个一元二次方程， 故最多有两个解，所以只有11a =或18a =两个值．17．（Ⅰ）证明：∵AEF △为等边三角形，O 为EF 中点，∴AO EF ⊥，又∵平面AEF ⊥平面EFCB ， 平面AEF平面EFCB EF =，∴AO ⊥平面EFCB ， ∴AO BE ⊥．（Ⅱ）以O 为原点建立如图坐标系(),0,0E a ，(),0,0F a -， ()0,0,3A a ，()()2,32,0B a -，(),0,3EA a a =-，()()2,32,0EB a a =--，平面AEF 的法向量()0,1,0m =； 设平面AEB 的法向量(),,n x y z =， 则030300n EA x z x y n EB ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩，取()3,1,1n =-，∴15cos ,515m n m n m n⋅-<>===-⨯⋅，又∵二面角F AE B --为钝角， ∴二面角F AE B --的余弦值为55-． （Ⅲ）∵BE ⊥平面AOC ， ∴BE OC ⊥，()()2,32,0OC a =--，()()()2232320BE OC a a a ⋅=--+-⨯-=，解得2a =（舍）或43a =．18．解：（Ⅰ) ()ln(1)ln(1)f x x x =+--，11()11f x x x -'=-+-1111x x=++-， 所以(0)2f '=， 又()0f x =，所以切线方程为02(0)y x -=-， 即2y x =．（Ⅱ）3322()()2ln(1)ln(1)233F x f x x x x x x x =--=+----，211()2211F x x x x '=+--+-222(1)(1)(1)x x x =-++-22222(1)(1)1x x x -+-=-4221x x =-，又因为01x <<，所以()0F x '>， 所以()F x 在(0,1)上是增函数， 又(0)0F =，故()(0)F x F >，所以3()2()3x f x x >+．（Ⅲ）31ln ()13x x k x x +>+-，(0,1)x ∈， 设21()ln ()013x x t x k x x +=-+>-，(0,1)x ∈，422222(x)(1)11kx k t k x x x +-'=-+=--，(0,1)x ∈， [0,2]k ∈，()0t x '≥，函数()t x 是单调递增，()(0)t x t '>显然成立当2k >时，令()0t x '=，得402(0,1)k x k-=∈， x 0(0,)x 0x 0(,1)x()t x '-+()t x↓ 极值 ↑0()(0)0t x t <=，显然不成立，由此可知k 最大值为2．19．解：（Ⅰ）由题意知1b =，22c a =，又222a b c =+，解得2a =，1b c ==， 所以C 的方程为2212x y +=．PA 的斜率1PA n k m -=， 所以PA 方程11n y x m -=+， 令0y =，解得1mx n =-，所以,01m M n ⎛⎫⎪-⎝⎭． （Ⅱ）(),B m n -，同（Ⅰ）可得,01m N n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 1tan QMOQM k ∠=，tan QN ONQ k ∠=，因为OQM ONQ ∠=∠所以1QN QM k k ⋅=，设()0,Q t 则111t tm m n n⋅=-+--即2221m t n=-， 又A 在椭圆C 上，所以2212m n +=，即2221m n =-， 所以2t =±，故存在()0,2Q ±使得OQM ONQ ∠=∠． 20．解：（Ⅰ）6，12，24．（Ⅱ）若存在(1,2,,)i a i n =是3的倍数，设3()i a k k =∈*N ，当18i a ≤时，126i i a a k +==，1i a +也是3的倍数；当18i a >时，1236636i i a a k +=-=-，1i a +也是3的倍数． 综上，1i a +是3的倍数，依次类推，当n i ≥时，n a 是3的倍数； 若存在(2,3,,)i a i n =是3的倍数，设3()i a k k =∈*N ，当118i a -≤时，1322i i a ka -==⋅，因为1i a -∈*N ，所以1i a -也是3的倍数； 当18i a >时，1363(6)22i i a ka -+==⋅+，因为1i a -∈*N ，所以1i a -也是3的倍数；． 综上，1i a -是3的倍数，依次类推，当n i <时，n a 是3的倍数； 所以原结论成立．（Ⅲ）当11a =时，将11a =代入12,18(1,2,)236,18n n n nn a a a n a a +⎧==⎨->⎩≤， 依次得到2，4，8，16，32，28，20，4，，所以当9n ≥时，6n n a a -=，此时{1,2,4,8,16,20,28,32}M =，共8个元素．由题意，3a 可取的值有14a ，1436a -，1472a -，14108a -共4个元素， 显然，不论1a 为何值，3a 必为4的倍数，所以34(1,2,,9)a k k ==，当3{4,8,16,20,28,32}a ∈时，{4,8,16,20,28,32}n a ∈(3)n ≥，此时M 最多有8个元素；②当3{12,24}a ∈时，{12,24}n a ∈(3)n ≥，此时M 最多有4个元素；③当336a =时，36n a =(3)n ≥，此时M 最多有3个元素；所以集合M 的元素个数的最大值为8．2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）选填解析一、选择题 1．【答案】A【解析】解：()2i 2i 2i i 12i -=-=+．故选A ．2．【答案】D【解析】解：如图，当 0x =，1y =时，max 2z =． 故选D ． 3．【答案】B【解析】解：0s =，2t =，0x =，2y =，1k =， 2s =-，2t =，2x =-，2y =，2k =， 4s =-，0t =，4x =-，0y =，3k =，结束，输出(4,0)-． 故选B ．4．【答案】B【解析】解：//m β不能推出//αβ，而//αβ，//m β⇒， ∴ “//m β”是“//αβ”的必要不充分条件． 故选B ． 5．【答案】C【解析】解：由三视图知， PA ⊥平面ABC ，12222ABC S =⨯⨯=△， 5AB AC ==，155122PAB PCA S S ==⨯⨯=△△， 6PC PB ==，12552PBC S =⨯⨯=△， ∴225S =+． 故选C ． 6．【答案】C【解析】解：210a a >>，0d ⇒>，所以30a >，132132a a a a a +=>． 故选C ． 7．【答案】C【解析】解：由题可知：()22,102,02x x f x x x +-⎧=⎨-+<⎩≤≤≤， 当(]1,0x ∈-时，2log (1)022x x +<<+．(]0,2x ∈时， ()f x 单调递减，2()log (1)g x x =+单调递增，2log (1)2x x +=-+1x ⇒=，∴当01x <≤时，2log (1)2x x +≤-+， ∴2()log (1)f x x +≥的解集为(]1,1-． 故选C ．8．【答案】D【解析】由图可知，对乙车存在一个速度，使燃油效率高于5，∴A 错； 由图知，当以40km /h 的速度行驶时，甲车燃油效率最高， 行驶相同路程时，耗油最少，B 错；甲车以80km /h 行驶1小时耗油8升，故C 错在限速80km /h ， 相同情况下，丙车燃油效率较乙车高，所以乙车更省油． 故选D ．二、填空题 9．【答案】40【解析】解：5152r r r r T C x -+=，当3r =时，系数为3255424402C ⨯=⨯=． 故答案为40．10．【答案】33【解析】解：令22200x x y y a a -=⇒+=，所以1333a a =⇒=．故答案为33．11．【答案】1【解析】直线方程为36360x y x y +=⇒+-=，点为(1,3)， 所以点到直线方程的距离为13621213d +-===+． 故答案为1． 12．【答案】1【解析】解：222sin 22sin cos 24253616901sin sin 263090A A A a b c a C C c bc +-+-==⋅=⨯==． 故答案为113．【答案】12，16- 【解析】解：MN MC CN =+=13AC +12CB =13AC +12()AB AC -=12AB -16AC ， 所以12x =，16y =-．故答案为12，16-．14．【答案】1-，[)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】解：①当1a =时，21,1()4(1)(2),1x x f x x x x ⎧-<=⎨--≥⎩，当1x <时，1()1f x -<<，当1x ≥时，min 311()()4()1222f x f ==⨯⨯-=-，所以min ()1f x =-；②（I ）当0a ≤时，()f x 没有两个零点，（Ⅱ）当01a <<时，当1x <时，220log 0x a a x -=⇒=<，()f x 有一个零点； 当1x ≥时，12()0,2f x x a x a =⇒==； 当21a ≥，即12a ≥时，()f x 恰有两个零点，所以当112a <≤时，()f x 恰有两个零点；（Ⅲ）当12a <≤时，当1x <时，220log 1x a a x -=⇒=<，()f x 有一个零点； 当1x ≥时，1()0f x x a =⇒=，22x a =，()f x 有两个零点，此时()f x 有三个零点； （Ⅳ）当2a ≥时， 当1x <时，无零点；当1x ≥时，有两个零点，此时()f x 有两个零点． 综上所述[)1,12,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为1-，[)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(北京卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试北京理科数学本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.) 1.(2015北京,理1)复数i(2-i)=( )A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i 答案:A解析:i(2-i)=2i -i 2=2i -(-1)=1+2i .2.(2015北京,理2)若x ,y 满足{x −y ≤0,x +y ≤1,x ≥0,则z=x+2y 的最大值为( )A.0B.1C.32D.2答案:D解析:根据题意,由约束条件画出可行域如图阴影部分所示. 目标函数z=x+2y ,即y=-12x+z 2.由图可知当直线y=-12x+z 2过点B (0,1)时,z 取最大值,且z max =0+2×1=2.3.(2015北京,理3)执行如图所示的程序框图,输出的结果为( )A.(-2,2)B.(-4,0)C.(-4,-4)D.(0,-8) 答案:B解析:x=1,y=1,k=0,进入循环:s=1-1=0,t=1+1=2,x=0,y=2,k=0+1=1<3;s=0-2=-2,t=0+2=2,x=-2,y=2,k=1+1=2<3;s=-2-2=-4,t=-2+2=0,x=-4,y=0,k=2+1=3≥3,跳出循环,输出(x ,y ),即(-4,0). 4.(2015北京,理4)设α,β是两个不同的平面,m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B解析:充分性:若m ⊂α,m ∥β,则平面α和β可能平行也可能相交,所以充分性不成立;必要性:若α∥β,m ⊂α,则m ∥β,必要性成立.故“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件,选B .5.(2015北京,理5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )A.2+√5B.4+√5C.2+2√5D.5 答案:C解析:由三视图还原几何体如图.∴S表面积=S△BCD+2S△ACD+S△ABC=1 2×2×2+2×12×√5×1+12×2×√5=2+√5+√5=2+2√5.6.(2015北京,理6)设{a n}是等差数列.下列结论中正确的是()A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2>√a1a3D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0答案:C解析:设等差数列公差为d.对于A选项,a1+a2=2a1+d>0,而a2+a3=2a1+3d不一定大于0;对于B选项,a1+a3=2a1+2d<0,a1+a2=2a1+d不一定小于0;对于C选项,0<a1<a2,则公差d>0.所以a2=a1+a32>√a1a3;对于D选项,(a2-a1)(a2-a3)=-d2≤0.故只有C正确.7.(2015北京,理7)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}答案:C解析:如图,作出函数f(x)与y=log2(x+1)的图象.易知直线BC 的方程为y=-x+2,由{y =−x +2,y =log 2(x +1)得D 点坐标为(1,1).由图可知,当-1<x ≤1时,f (x )≥log 2(x+1),所以所求解集为{x|-1<x ≤1}.8.(2015北京,理8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 答案:D解析:对于选项A,从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5,故A 项错误;对于选项B,同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多,所以行驶相同路程,甲车油耗最少,故B 项错误;对于选项C,甲车以80千米/小时的速度行驶,1升汽油行驶10千米,所以行驶1小时,即行驶80千米,消耗8升汽油,故C 项错误;对于选项D,速度在80千米/小时以下时,相同条件下每消耗1升汽油,丙车行驶路程比乙车多,所以该市用丙车比用乙车更省油,故D 项正确.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分.)9.(2015北京,理9)在(2+x )5的展开式中,x 3的系数为 .(用数字作答) 答案:40解析:(2+x )5展开式的通项为T r+1=C 5r 25-r x r ,令r=3,得T 4=C 5322x 3=10×4x 3=40x 3,∴x 3的系数为40. 10.(2015北京,理10)已知双曲线x 2a2-y 2=1(a>0)的一条渐近线为√3x+y=0,则a= . 答案:√33解析:∵双曲线x 2a2-y 2=1的渐近线方程为y=±x a ,即y±xa=0.又a>0,∴1a =√3,∴a=√33.11.(2015北京,理11)在极坐标系中,点(2,π3)到直线ρ(cos θ+√3sin θ)=6的距离为 . 答案:1解析:∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴点(2,π3)的直角坐标为(2cos π3,2sin π3),即(1,√3). ∵ρ(cos θ+√3sin θ)=6,∴ρcos θ+√3ρsin θ=6, ∴x+√3y-6=0.∴点(1,√3)到直线x+√3y-6=0的距离 d=|1+√3×√3−6|2=1. 12.(2015北京,理12)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC= .答案:1解析:在△ABC 中,由正弦定理知,sin2A sinC =2sinAcosA sinC =2cos A ·a c =2cos A×46=43cos A ,再根据余弦定理,得cos A=36+25−162×6×5=34,所以sin2A sinC=43×34=1.13.(2015北京,理13)在△ABC 中,点M ,N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x= ,y= .答案:12-16解析:如图,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x=12,y=-16.14.(2015北京,理14)设函数f (x )={2x −a,x <1,4(x −a)(x −2a),x ≥1.①若a=1,则f (x )的最小值为 ;②若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 .答案:①-1 ②[12,1)∪[2,+∞)解析:①当a=1时,f (x )={2x −1,x <1,4(x −1)(x −2),x ≥1,当x<1时,2x -1∈(-1,1);当x ≥1时,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞). 故f (x )的最小值为-1.②若函数f (x )=2x -a 的图象在x<1时与x 轴有一个交点,则a>0,并且当x=1时,f (1)=2-a>0,所以0<a<2.同时函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1时与x 轴有一个交点,所以{a <1,2a ≥1.故12≤a<1.若函数f (x )=2x-a 的图象在x<1时与x 轴没有交点,则函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1时与x 轴有两个不同的交点,当a ≤0时,函数f (x )=2x -a 的图象与x 轴无交点,函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1上与x 轴也无交点,不满足题意.当21-a ≤0,即a ≥2时,函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象与x 轴的两个交点x 1=a ,x 2=2a 都满足题意.综上,a 的取值范围为[12,1)∪[2,+∞).三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.(本小题13分)(2015北京,理15)已知函数f (x )=√2sin x 2cos x 2−√2sin 2x2. (1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间[-π,0]上的最小值. 解:(1)因为f (x )=√22sin x-√22(1-cos x )=sin (x+π4)−√22, 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为-π≤x ≤0,所以-3π4≤x+π4≤π4. 当x+π4=-π2,即x=-3π4时,f (x )取得最小值. 所以f (x )在区间[-π,0]上的最小值为f (−3π4)=-1-√22. 16.(本小题13分)(2015北京,理16)A,B 两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下: A 组:10,11,12,13,14,15,16 B 组:12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B 两组随机各选1人,A 组选出的人记为甲,B 组选出的人记为乙. (1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a 为何值时,A,B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)解:设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”,事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”,i=1,2, (7)由题意可知P (A i )=P (B i )=17,i=1,2, (7)(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)=P (A 5)+P (A 6)+P (A 7)=37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,由题意知,C=A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6.因此P (C )=P (A 4B 1)+P (A 5B 1)+P (A 6B 1)+P (A 7B 1)+P (A 5B 2)+P (A 6B 2)+P (A 7B 2)+P (A 7B 3)+P (A 6B 6)+P (A 7B 6) =10P (A 4B 1) =10P (A 4)P (B 1) =1049.(3)a=11或a=18.17.(本小题14分)(2015北京,理17)如图,在四棱锥A-EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面AEF ⊥平面EFCB ,EF ∥BC ,BC=4,EF=2a ,∠EBC=∠FCB=60°,O 为EF 的中点. (1)求证:AO ⊥BE ;(2)求二面角F-AE-B 的余弦值; (3)若BE ⊥平面AOC ,求a 的值.解:(1)因为△AEF 是等边三角形,O 为EF 的中点,所以AO ⊥EF.又因为平面AEF ⊥平面EFCB ,AO ⊂平面AEF , 所以AO ⊥平面EFCB ,所以AO ⊥BE.(2)取BC 中点G ,连接OG. 由题设知EFCB 是等腰梯形, 所以OG ⊥EF.由(1)知AO ⊥平面EFCB , 又OG ⊂平面EFCB , 所以OA ⊥OG.如图建立空间直角坐标系O -xyz , 则E (a ,0,0),A (0,0,√3a ),B (2,√3(2-a ),0),EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,0,√3a ),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,√3(a-2),0).设平面AEB 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−ax +√3az =0,(a −2)x +√3(a −2)y =0.令z=1,则x=√3,y=-1. 于是n =(√3,-1,1).平面AEF 的法向量为p =(0,1,0). 所以cos <n ,p >=n·p|n||p|=-√55. 由题知二面角F-AE-B 为钝角,所以它的余弦值为-√55.(3)因为BE ⊥平面AOC ,所以BE ⊥OC ,即BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,√3(a-2),0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,√3(2-a ),0), 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2(a-2)-3(a-2)2.由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0及0<a<2,解得a=43.18.(本小题13分)(2015北京,理18)已知函数f (x )=ln 1+x1−x. (1)求曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)求证:当x ∈(0,1)时,f (x )>2(x +x 33); (3)设实数k 使得f (x )>k (x +x 33)对x ∈(0,1)恒成立,求k 的最大值.解:(1)因为f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),所以f'(x )=11+x +11−x,f'(0)=2. 又因为f (0)=0,所以曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y=2x. (2)令g (x )=f (x )-2(x +x 33), 则g'(x )=f'(x )-2(1+x 2)=2x 41−x2.因为g'(x )>0(0<x<1),所以g (x )在区间(0,1)上单调递增. 所以g (x )>g (0)=0,x ∈(0,1), 即当x ∈(0,1)时,f (x )>2(x +x 33). (3)由(2)知,当k ≤2时,f (x )>k (x +x 33)对x ∈(0,1)恒成立.当k>2时,令h (x )=f (x )-k (x +x 33), 则h'(x )=f'(x )-k (1+x 2)=kx 4−(k−2)1−x 2.所以当0<x<√k−2k4时,h'(x )<0,因此h (x )在区间(0,√k−2k4)上单调递减. 当0<x<√k−2k 4时,h (x )<h (0)=0, 即f (x )<k (x +x 33).所以当k>2时,f (x )>k (x +x 33)并非对x ∈(0,1)恒成立.综上可知,k 的最大值为2.19.(本小题14分)(2015北京,理19)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,点P (0,1)和点A (m ,n )(m ≠0)都在椭圆C 上,直线PA 交x 轴于点M.(1)求椭圆C 的方程,并求点M 的坐标(用m ,n 表示);(2)设O 为原点,点B 与点A 关于x 轴对称,直线PB 交x 轴于点N.问:y 轴上是否存在点Q ,使得∠OQM=∠ONQ ?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)由题意得{b =1,c a=√22,a 2=b 2+c 2.解得a 2=2.故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1. 设M (x M ,0).因为m ≠0,所以-1<n<1. 直线PA 的方程为y-1=n−1m x , 所以x M =m 1−n, 即M (m1−n,0). (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称,所以B (m ,-n ).设N (x N ,0),则x N =m1+n.“存在点Q (0,y Q )使得∠OQM=∠ONQ ”等价于“存在点Q (0,y Q )使得|OM||OQ|=|OQ||ON|”,即y Q 满足y Q 2=|x M ||x N |.因为x M =m 1−n ,x N =m 1+n ,m 22+n 2=1, 所以y Q 2=|x M ||x N |=m 21−n 2=2.所以y Q =√2或y Q =-√2.故在y 轴上存在点Q ,使得∠OQM=∠ONQ ,点Q 的坐标为(0,√2)或(0,-√2).20.(本小题13分)(2015北京,理20)已知数列{a n }满足:a 1∈N *,a 1≤36,且a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n −36,a n >18(n=1,2,…).记集合M={a n |n ∈N *}.(1)若a 1=6,写出集合M 的所有元素;(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (3)求集合M 的元素个数的最大值. 解:(1)6,12,24.(2)因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设a k 是3的倍数.由a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n −36,a n >18可归纳证明对任意n ≥k ,a n 是3的倍数.如果k=1,则M 的所有元素都是3的倍数.如果k>1,因为a k =2a k-1或a k =2a k-1-36,所以2a k-1是3的倍数,于是a k-1是3的倍数.类似可得,a k-2,…,a 1都是3的倍数,从而对任意n ≥1,a n 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数.(3)由a 1≤36,a n ={2a n−1,a n−1≤18,2a n−1−36,a n−1>18可归纳证明a n ≤36(n=2,3,…).因为a 1是正整数,a 2={2a 1,a 1≤18,2a 1−36,a 1>18,所以a 2是2的倍数.从而当n ≥3时,a n 是4的倍数.如果a 1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n ,a n 是3的倍数. 因此当n ≥3时,a n ∈{12,24,36}. 这时M 的元素个数不超过5.如果a 1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n ,a n 不是3的倍数. 因此当n ≥3时,a n ∈{4,8,16,20,28,32}. 这时M 的元素个数不超过8.当a 1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8.。
2015年北京高考理科数学真题及答案
2015年北京高考理科数学真题及答案本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数()i 2i -= A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i --【答案】A 【解析】 i （2－i ）＝1＋2i 【难度】容易 【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
2．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】可行域如图所示目标直线的斜率为12-，易知在（0，1）处截距取得最大值，此时z ＝4． 【难度】容易【点评】本题考查分段函数值域求解。
在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。
3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，【答案】B 【解析】程序运行过程如下表所示故输出结果为（－4，0）【难度】容易【点评】本题算法初步。
在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。
4．设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα⊂．“mβ∥”是“αβ∥”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】两平面平行，则一平面内的任意一条直线与另一平面平行，故“mβ∥”是“αβ∥”的必要条件．若“mβ∥”，“αβ∥”不一定成立，反例如下图所示．【难度】容易【点评】本题考查立体几何中点到直线的距离问题。
100教育：2015高考试题——理数(北京卷)含答案
2015 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共 5 页， 150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i 2 iA ． 1 2i B． 1 2i C． 1 2ix y ≤ 0 ，2．若 x ， y 满足 x y ≤ 1，则 z x 2 y 的最大值为x≥ 0 ，3A．0B．1 C． D．2 23．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A．2，2B．4，0C．4， 4D． 1 2i D．0，8开始x=1，y=1 ，k=0 s=x-y， t=x+yx=s， y=tk=k+1否k≥ 3是输出 (x， y)结束4．设，是两个不同的平面，m是直线且m?m∥”是“∥”的．“A ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是1211正(主)视图侧( 左 )视图俯视图A．25 B ． 45C．2 25D． 5 6．设a n是等差数列 . 下列结论中正确的是A ．若 a1a20 ，则 a2a30B．若 a1a30 ，则 a1a20C．若 0 a1a2，则 a2a1a3D．若 a10 ，则a2a1a2a3 0 7．如图，函数f x 的图像为折线ACB ，则不等式 f x ≥ log2x 1 的解集是y2CAO Bx-12A ．x | 1x ≤ 0B ．x | 1≤x≤1C．x | 1x≤ 1D．x | 1 x≤28．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是A ．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80 千米 /小时的速度行驶 1 小时，消耗10 升汽油D．某城市机动车最高限速80 千米 /小时 . 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共30 分．5．（用数字作答）9．在 2 x 的展开式中，x3的系数为10．已知双曲线x2y2 1 a0 的一条渐近线为3x y0 ，则 a．a211．在极坐标系中，点 2 ? π到直线cos3sin6的距离为．312．在△ABC中，a4， b5， c6，则 sin 2 A．sin C13．在△ABC中，点 M ，N满足 AM2MC ， BN NC ．若 MN xAB y AC ，则 x ； y．2x a ?x1?14．设函数 f x4 x a x 2a ? x ≥1.①若a1，则f x 的最小值为；②若f x 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是．三、解答题（共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（本小题13 分）222(Ⅰ ) 求 f ( x) 的最小正周期；(Ⅱ ) 求 f ( x) 在区间 [ π，0]上的最小值．16．（本小题13 分）A ，B 两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组： 10， 11， 12， 13， 14， 15， 16B组： 12， 13， 15， 16， 17， 14， a假设所有病人的康复时间互相独立，从 A ， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为甲， B 组选出的人记为乙．(Ⅰ ) 求甲的康复时间不少于14 天的概率；(Ⅱ ) 如果a25 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ ) 当 a 为何值时， A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（本小题14 分）如图，在四棱锥 A EFCB 中，△AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EF ∥BC，BC 4 ， EF 2a ，EBC FCB 60 ， O 为EF的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE；(Ⅱ ) 求二面角 F AE B 的余弦值；(Ⅲ ) 若BE平面AOC，求a的值．AFOEB18．（本小题13 分）已知函数 f x ln 1x ．1x（Ⅰ）求曲线 y f x 在点0 ， f0处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x0，1时， f xx32 x；C 3222(Ⅰ ) 求 f ( x) 的最小正周期；(Ⅱ ) 求 f ( x) 在区间 [ π，0]上的最小值．16．（本小题13 分）A ，B 两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组： 10， 11， 12， 13， 14， 15， 16B组： 12， 13， 15， 16， 17， 14， a假设所有病人的康复时间互相独立，从 A ， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为甲， B 组选出的人记为乙．(Ⅰ ) 求甲的康复时间不少于14 天的概率；(Ⅱ ) 如果a25 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ ) 当 a 为何值时， A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（本小题14 分）如图，在四棱锥 A EFCB 中，△AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EF ∥BC，BC 4 ， EF 2a ，EBC FCB 60 ， O 为EF的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE；(Ⅱ ) 求二面角 F AE B 的余弦值；(Ⅲ ) 若BE平面AOC，求a的值．AFOEB18．（本小题13 分）已知函数 f x ln 1x ．1x（Ⅰ）求曲线 y f x 在点0 ， f0处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x0，1时， f xx32 x；C 3222(Ⅰ ) 求 f ( x) 的最小正周期；(Ⅱ ) 求 f ( x) 在区间 [ π，0]上的最小值．16．（本小题13 分）A ，B 两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组： 10， 11， 12， 13， 14， 15， 16B组： 12， 13， 15， 16， 17， 14， a假设所有病人的康复时间互相独立，从 A ， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为甲， B 组选出的人记为乙．(Ⅰ ) 求甲的康复时间不少于14 天的概率；(Ⅱ ) 如果a25 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ ) 当 a 为何值时， A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（本小题14 分）如图，在四棱锥 A EFCB 中，△AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EF ∥BC，BC 4 ， EF 2a ，EBC FCB 60 ， O 为EF的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE；(Ⅱ ) 求二面角 F AE B 的余弦值；(Ⅲ ) 若BE平面AOC，求a的值．AFOEB18．（本小题13 分）已知函数 f x ln 1x ．1x（Ⅰ）求曲线 y f x 在点0 ， f0处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x0，1时， f xx32 x；C 3222(Ⅰ ) 求 f ( x) 的最小正周期；(Ⅱ ) 求 f ( x) 在区间 [ π，0]上的最小值．16．（本小题13 分）A ，B 两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组： 10， 11， 12， 13， 14， 15， 16B组： 12， 13， 15， 16， 17， 14， a假设所有病人的康复时间互相独立，从 A ， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为甲， B 组选出的人记为乙．(Ⅰ ) 求甲的康复时间不少于14 天的概率；(Ⅱ ) 如果a25 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ ) 当 a 为何值时， A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（本小题14 分）如图，在四棱锥 A EFCB 中，△AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EF ∥BC，BC 4 ， EF 2a ，EBC FCB 60 ， O 为EF的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE；(Ⅱ ) 求二面角 F AE B 的余弦值；(Ⅲ ) 若BE平面AOC，求a的值．AFOEB18．（本小题13 分）已知函数 f x ln 1x ．1x（Ⅰ）求曲线 y f x 在点0 ， f0处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x0，1时， f xx32 x；C 3222(Ⅰ ) 求 f ( x) 的最小正周期；(Ⅱ ) 求 f ( x) 在区间 [ π，0]上的最小值．16．（本小题13 分）A ，B 两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组： 10， 11， 12， 13， 14， 15， 16B组： 12， 13， 15， 16， 17， 14， a假设所有病人的康复时间互相独立，从 A ， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为甲， B 组选出的人记为乙．(Ⅰ ) 求甲的康复时间不少于14 天的概率；(Ⅱ ) 如果a25 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ ) 当 a 为何值时， A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（本小题14 分）如图，在四棱锥 A EFCB 中，△AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EF ∥BC，BC 4 ， EF 2a ，EBC FCB 60 ， O 为EF的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE；(Ⅱ ) 求二面角 F AE B 的余弦值；(Ⅲ ) 若BE平面AOC，求a的值．AFOEB18．（本小题13 分）已知函数 f x ln 1x ．1x（Ⅰ）求曲线 y f x 在点0 ， f0处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x0，1时， f xx32 x；C 3222(Ⅰ ) 求 f ( x) 的最小正周期；(Ⅱ ) 求 f ( x) 在区间 [ π，0]上的最小值．16．（本小题13 分）A ，B 两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组： 10， 11， 12， 13， 14， 15， 16B组： 12， 13， 15， 16， 17， 14， a假设所有病人的康复时间互相独立，从 A ， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为甲， B 组选出的人记为乙．(Ⅰ ) 求甲的康复时间不少于14 天的概率；(Ⅱ ) 如果a25 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ ) 当 a 为何值时， A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（本小题14 分）如图，在四棱锥 A EFCB 中，△AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EF ∥BC，BC 4 ， EF 2a ，EBC FCB 60 ， O 为EF的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE；(Ⅱ ) 求二面角 F AE B 的余弦值；(Ⅲ ) 若BE平面AOC，求a的值．AFOEB18．（本小题13 分）已知函数 f x ln 1x ．1x（Ⅰ）求曲线 y f x 在点0 ， f0处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x0，1时， f xx32 x；C 3222(Ⅰ ) 求 f ( x) 的最小正周期；(Ⅱ ) 求 f ( x) 在区间 [ π，0]上的最小值．16．（本小题13 分）A ，B 两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组： 10， 11， 12， 13， 14， 15， 16B组： 12， 13， 15， 16， 17， 14， a假设所有病人的康复时间互相独立，从 A ， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为甲， B 组选出的人记为乙．(Ⅰ ) 求甲的康复时间不少于14 天的概率；(Ⅱ ) 如果a25 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ ) 当 a 为何值时， A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（本小题14 分）如图，在四棱锥 A EFCB 中，△AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EF ∥BC，BC 4 ， EF 2a ，EBC FCB 60 ， O 为EF的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE；(Ⅱ ) 求二面角 F AE B 的余弦值；(Ⅲ ) 若BE平面AOC，求a的值．AFOEB18．（本小题13 分）已知函数 f x ln 1x ．1x（Ⅰ）求曲线 y f x 在点0 ， f0处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x0，1时， f xx32 x；C 3。
考研数学复习资料 2015年考研数学(三)真题及答案详解
【解析】因为 f (x) 连续，所以(x) 可导，所以(x) x2 f (t)dt 2x2 f (x2 ) ； 0
因为(1) 1 ，所以(1)
1
f (t)dt 1
0
又因为(1) 5 ，所以(1)
1
f (t)dt 2 f (1) 5
0
故 f (1) 2
(11)若函数 z z(x, y) 由方程 ex2y3z xyz 1确定，则 dz (0,0) _________ . 【答案】 1 dx 2 dy
f
(x,
y)dxdy
4 0
d
0
f (r cos, r sin )rdr
2
d
0
f (r cos , r sin )rdr ，
D
4
故选 B.
(4) 下列级数中发散的是( )
(A)
n
n1 3n
(B)
n1
1 ln(1 1)
n
n
(C)
n2
(1)n ln n
1
(D)
n1
n! nn
【答案】(C)
n 1
6k
3
(16)(本题满分 10 分)
计算二重积分 x(x y)dxdy ，其中 D {(x, y) x2 y2 2, y x2}. D
【答案】 2 45
【解析】 x(x y)dxdy x2dxdy
lim
n
x2
n1
a
(B)
若
lim
n
x2n
lim
n
x2n1
a,
则
lim
n
xn
a
(C)
若
lim
2015高考数学全国2卷试题及答案(清晰版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试试题及答案理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}21012，，，，--=A ,()(){}021<+-=x x x B ,则=B A A、{}0,1-B、{}1,0C、{}101，，-D、{}210，，2、若a 为实数，且()()i i a ai 422-=-+，则=a A、-1B、0C、1D、23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A、逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最明显B、2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4、已知等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=++753a a aA、21B、42C、63D、845、设函数()()⎩⎨⎧-+=-1222log 1x x x f ,11≥<x x ,则()()=+-12log 22f f A、3B、6C、9D、126、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与所剩部分体积的比值为A、81B、71C、61D、517、过三点()31，A ，()24，B ，()7,1-C 的圆与y 轴交于M 、N 两点，则=MN A、62B、8C、64D、108、右边程序框图的算法思路源于我国古代算术名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的=a A、0B、2C、4D、149、已知A ，B 是球O 的球面上两点， 90=∠AOB ，C 为该球面上的动点。
2015年_全国II卷数学(原卷+答案)
【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.
2.渐近线方程为 x y 0 的双曲线的离心率是（ ）
2
A. 2
B. 1
C. 2
D. 2
【答案】C 【解析】
【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得 a b 1 ，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基
础知识、基本计算能力的考查.
【详解】因为双曲线的渐近线为 x y 0 ，所以 a=b=1，则 c a2 b2 2 ，双曲线的
数 a 的最大值是____.
17．已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个 i (i 1, 2, 3, 4, 5, 6) 取遍 1时， uuur uuur uuur uuur uuur uuur
| 1 AB 2 BC 3CD 4 DA 5 AC 6 BD | 的最小值是________，最大值是
x, 2a
求 a 的取值范围.
注：e=2.71828…为自然对数的底数.
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学
参考公式：
若事件 A, B 互斥，则 P( A B) P( A) P(B) 若事件 A, B 相互独立，则
P( AB) P( A)P(B) 若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,则
x y 0
A． 1
B．1
C．10
D．12
4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原
理，利用该原理可以得到柱体体积公式 V 柱体=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的
高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是
A．158
B．162
C．182
D．32
5．若 a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的