圆的面积公式探索

数学有形思想无痕

——圆的面积公式的探索

董文华

一、在折剪中悟“极限”

师：在前几节课的学习中，我们知道了圆是最美丽的平面图形。现在我们举行一个“小巧手”比赛，每小组都备有纸和剪刀，想办法剪一个圆，比一比谁剪的最漂亮？

（小组活动后交流）

小组1：（举起两个纸片）我们小组先是随意剪，怎么也剪不圆。对折一次再剪，剪了半圈，这次剪得好多了，但是仍不太圆。

小组2：我们小组把纸对折了两次，剪了圆弧的四分之一，剪起来比较接近圆。

小组3：（举着剪好的像花瓣一样的纸片）我们小组遇到了麻烦，把纸对折三次，剪了一刀展开后像一朵花一样。

师：其他小组有没有这种情况？

小组4：我们小组刚开始也出现了这些问题，试了几次后发现了窍门，纸片折好后应该尽量剪直线，这样才能避免剪出花瓣形状。

师：这个发现很重要，大家可以再尝试着剪一剪。

（学生再次尝试，不断发出惊喜的声音。每个小组纷纷把最得意的作品展示在黑板上。）

师：想一想，圆是个曲线图形，为什么要“直着剪”展开后才会更圆？

学生1：受刘徽的“割圆术”的启示，正多边形最接近圆，“直着剪”其实就是剪了一个圆内的正多边形。

学生2：剪的时候，要尽量的多对折，剪出的边越多越接近圆。

师：认真观察黑板上我们的作品，你有什么发现？

学生1：我们刚才剪“圆”时，对折时留下了许多折痕，其实就是圆的半径，和圆弧围成了许多近似的小三角形，折的次数越多的作品越接近三角形。

学生2：圆其实可以看成是由一些近似的等腰三角形组成的。

二、在探究中巧“转化”

师：如何求圆的面积？能不能像推导三角形、平行四边形的面积公式那样推导出圆的面积计算公式？

（小组活动后交流）

小组1：我们把圆对折三次平均分成8个小三角形，三角

形的底是圆周长的1

8，三角形的高也就是圆的半径r，推出

圆的面积公式：1

8×2∏r×r÷2×8＝∏r

2；

小组2：折的次数越多分的份数就越多，我们可以这样想

像分成了x个小三角形，就可以推出圆的面积公式：1

X×2

∏r×r÷2×X＝∏r2；

小组3：我们小组想到了三角形的面积公式推导过程，把圆剪成8个小三角形一正一倒反插在一起，拼成了一个近似平行四边形。拼成的平行四边形的面积和原来的圆的面积是相等的，平行四边形的底等于圆周长的一半，平行四边形的高等于圆的半径，平行四边形的面积等于底乘高，圆面积公

式等于1

2×2∏r×r＝∏r

2。

小组4：如果分的份数越多比如16份、32份，拼成的图形越接近于长方形，根据长方形的长、宽与圆的关系，也能

得出圆的面积公式1

2×2∏r×r＝∏r

2。

师生共同完成板书：S＝∏r2

【我的思考】圆的面积公式推导与以前学过的平面图形的面积公式推导有质的区别，学生在已有的学习经验基础上建构这一知识是有难度的，如何建立圆这个曲边图形和直线图形之间的转化是教学的突破口。本环节中借助“剪纸”这一学生喜闻乐见的活动，在剪圆的过程中思考“如何剪得更圆”、“为什么我剪出的圆象花瓣”、“为什么要直着剪”，学生带着问题尝试和探索，联想到刘徽的“割圆术”，思维步步逼近，逐步达成共识：对折的次数越多，剪的越直，越接近圆。此时，在学生的头脑中圆已经化身为一个正多边形。圆与直线型图形之间的转化、极限的思想是在学生看得见，

摸得着的学习过程中感悟出来的，分散了教学难点，面积公式的推导也就顺理成章了。

特级教师钱阳辉说过：如果知识后面没有方法，知识只能成为一种负担，如果方法背后没有思想，方法只不过是一种笨拙的工具。在上面的教学过程中，比得到一个公式更为重要的东西，那就是数学思想的熏陶，这才是数学的精髓，花再多的时间也是值得的。

（作者单位：鹤壁市山城区实验小学）

“接受”与“探究”同样精彩

三门峡市实验小学周国一

案例：

师：圆的面积公式怎样推导？是不是也可以像平行四边形、三角形、梯形一样可以转化成其它已学过的平面图形呢？

生：可以把圆转化成长方形来推导面积公式。

师：好，请同学们动手试一试。

（几分钟过去了，无人转化成功，学生很茫然）

生：圆是曲线围成的，圆不可能转化成长方形。

（一语激起千层浪，大多数同学赞同这一说法，部分学

生否认）

师：从表面上看，曲线的圆是无法转化成有线段围成的长方形的。但是，我们古代的科学家经过不懈的努力，却转化成功了。同学们想知道古人是怎样转化的吗？

生（迫不及待）：想。

师：请同学们认真观察多媒体课件演示，看看圆是如何转化成直线图形的。

（电脑直观演示：先把圆等分成12份，然后剪开，接着拼接成近似的平行四边形）

生：不是长方形，是不标准的平行四边形。

（电脑演示：把圆等分成16份后拼接，接着是等分成32份、64份、……）

师：如果一直这样无限地等分下去，结果将会怎样？

生：圆平均分的份数越多，每一份就越小，拼成的图形就越接近长方形。

师：同学们，刚才电脑演示的圆的转化方式叫“割圆术”，公元3世纪，我国数学家刘徽采用“割圆术”推算出了圆周率。这种以直代曲，用有限逼近无限的数学思想为我国古代数学家首创……

（师生共同总结：圆面积=转化后长方形面积=长×宽=

1

2c×r=1

2×2πr ×r＝πr

2）

师：同学们猜想一下，我们还能把圆转化成哪些平面图

形？

生：转化成近似的等腰三角形。

生：转化成近似的等腰梯形。

师：请同学们4人一组合作探究，把圆转化成其中的任意一种图形，推导出圆面积的计算公式。看谁能探究出与众不同的圆面积推导过程。

结果：

学生4人一组进行探究，探究结果如下：

小组1：把圆16等分后拼接成近似的等腰三角形，得出

三角形的底相当于圆周长的1

4，高相当于圆半径的4倍，所

以圆面积=三角形面积=1

2×底×高=

1

2×

1

4×2πr×4r=π

r2

小组2：把圆等分后，拼成近似的等腰梯形，得出梯形上底与下底的和就是圆周长的一半，高等于圆半径的2倍，

所以圆面积= 梯形面积=1

2×（上底+下底）×高=

1

2×πr×

2r =πr2。

小组3：把圆平均分成16份，得出一份即一个小三角形

所占的面积就是整个圆面积的1

16，小三角形的底相当于圆

的周长的1

16，高相当于圆的半径，所以圆面积= 一个小三