人教版数学七年级下册第八章 阅读与思考 一次方程组的古今表示及解法
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新人教版七年级数学下册《八章 二元一次方程组 一次方程组的古今表示及解法》课件_22
人教版2011 七年级（下）
第八章 阅读与思考—
一次方程组的古今表示及解法
阅读:
摘自 《九章算术》 卷第八 方程 原文：今有上禾三秉,中禾二秉，下禾一秉,实三十九斗;
上禾二秉, 中禾三秉, 下禾一秉, 实三十四斗;上禾 一秉, 中禾二秉, 下禾三秉, 实二十六斗。问上、 中、下禾实一秉各几何?
译文: 上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗; 上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗; 上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗。 求上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗?
解这个方程组，得
y z
ห้องสมุดไป่ตู้4 2
1
4 3
4
3x 2y z 39 ① 2x 3y z 34 ② x 2y 3z 26 ③
把 y 4 1，z 2 3 代入③，得
4
4
x 2(4 1) 3(2 3) 26,
4
4
所以 x 9 1 4
译文: 上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗; 上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗; 上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗。
思考：请同学们用你们所学的知识来解这一问题
解：设每束上等谷、中等谷、下等谷，各可得粮食x斗、 y斗、z斗。 根据题意得：
3x 2y z 39 2x 3y z 34 x 2y 3z 26
3x 2y z 39 ① 2x 3y z 34 ②
三元一次方程组 消元
二元一次方程组
x 2y 3z 26 ③
消元 一元一次方程
先 3×②－2×①，得 5y z 24 ④
第八章 阅读与思考—
一次方程组的古今表示及解法
阅读:
摘自 《九章算术》 卷第八 方程 原文：今有上禾三秉,中禾二秉，下禾一秉,实三十九斗;
上禾二秉, 中禾三秉, 下禾一秉, 实三十四斗;上禾 一秉, 中禾二秉, 下禾三秉, 实二十六斗。问上、 中、下禾实一秉各几何?
译文: 上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗; 上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗; 上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗。 求上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗?
解这个方程组，得
y z
ห้องสมุดไป่ตู้4 2
1
4 3
4
3x 2y z 39 ① 2x 3y z 34 ② x 2y 3z 26 ③
把 y 4 1，z 2 3 代入③，得
4
4
x 2(4 1) 3(2 3) 26,
4
4
所以 x 9 1 4
译文: 上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗; 上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗; 上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗。
思考：请同学们用你们所学的知识来解这一问题
解：设每束上等谷、中等谷、下等谷，各可得粮食x斗、 y斗、z斗。 根据题意得：
3x 2y z 39 2x 3y z 34 x 2y 3z 26
3x 2y z 39 ① 2x 3y z 34 ②
三元一次方程组 消元
二元一次方程组
x 2y 3z 26 ③
消元 一元一次方程
先 3×②－2×①，得 5y z 24 ④
人教版七年级下册数学：阅读与思考 一次方程组的古今表示及解法
探究展示：
• 养牛场原有30头母牛和15头小牛，1天约需要饲 料675kg；一周后又购进12头母牛和5头小牛， 这时1天约需要饲料940kg。饲养员张叔叔估计 平均每头母牛1天约需要饲料18∽20kg，每头小 牛1天约需要饲料7∽8kg。你能否通过计算检验 他的估计？
问题：
• 1、题中有哪些已知量？哪些未知量？ • 2、题中等量关系有哪些？ • 3、如何解这个应用题？
2、买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水 每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的桶数的75%，设买甲种水x桶， 乙种水y桶，则所列方程正确的是（）
6x 8y 250
A
x 75%y
8x 6y 250
B
y 75%x
8x 6y 250
C
x 75%y
6x 8y 250
实际问题与二元一次方程组
利用二元一次方程组解决实际问题
临河五中 苏文明
学习目标：
• 1、使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题， 让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用。
• 2、通过实际问题探究使学生进一步使用代数中的方程去 反映现实生活中的等量关系，体会代数方法的优越性；
• 3、体会列方程组比列一元一次方程容易，进一步培养学 生化实际问题为数学问题的能力和解决问题的能力。
自主学习：
• 阅读教材第99页至100页，回答下列问题：
1、八年级（3）班共有学生349人，其中男生人数y比女生人数x的
2倍少4人，则下列方程组中正确的是（ ）
x y 349ຫໍສະໝຸດ A2yx4
x y 349
B
y
2x 4
x y 349
C
y
人教版阅读与思考一次方程组的古今表示及解法
y
1,
z 1 .
x 1,
(D)
y
0,
z 1 .
3
2x 4 y 3z 9, 3x 2 y 5z 11, 5x 6 y 8z 0;
作业 解下列方程组：
x y 16 ,
•
y
z
12
,
z x 10 .
（4）
7x 6 y 7z 100, x 2 y z 0, 3x y 2z 0;
3x 2 y z 13, x y 2 z 7, 2 x 3 y z 12.
x y 27 ①
y
z
33
②
z x 30 ③
解：①+②+③得：x+y+z=45 ④
④-①得：z=18
④-②得：x=12 ④-③得：y=15
x 12
∴
y
15
z 28
你能说出 解这个方 程组的思 路吗？
4
z
11
若要使运算简
7 x y 5 z 1.
便，消元的方法应选取( )
(A)先消去x； (B)先消去y； (C)先消去z； (D)
x y 1,
2
x
z
0,
的解是(
).
y z 1 .
x 1,
(A)
y
1,
z 0 ;
x 1,
(B)
y
0,
z 1 .
x 0,
(C)
3
35
∴
x y z
5 1 3 2
试一试 不解方程组，指出下列方程组中先
消去哪个未知数，使得求解方程组较为 简便?
3 x 5 y 1,
1
.
4
x
人教版七年级数学下册第8章《一次方程组的古今表示及解法 》教学设计教案(表格式)
多媒体技术： 学生做题展示：（拍照微信电脑）
用的是 60 进位。20 进位至少需要 20
个数码，60 进位则需要 60 个数码，这
就使记数和运算变得十分繁复，远不
如只用 0~9 这 10 个数码便可表示任意
自然数的十进位制来得简捷方便。中
国古代数学之所以在计算方面取得许 多卓越的成就，在一定程度上应该归 功于这一符合十进位制的算筹记数
（1） 如何画算筹图？ （2） 如 何 根 据 应 用 题 列 方 程 小结
组？ （3） 如何一次方程组的古今表
示？ 【设计意图】：通过小结，使学生梳理 本节课所学内容，理解本节课的核心
—一次方程组的古今表示和解法。感 受中国古代数学的先进性，增强学习 数学的信心！
四、布置作业：
课本 P106 3、4、5
教学重点 能根据算筹图写出方程组并且会求解三元一次方程组的解。
教学难点 能根据算筹图写出方程组并且会求解三元一次方程组的解。
教学过程——环节（1） 教学内容 一次方程组的古今表示及解法
教学目标 能根据算筹图写出方程组并且会求解三元一次方程组的解
核心问题 能根据算筹图写出方程组并且会求解三元一次方程组的解
多是在三国时期魏元帝景元四年（263
年），刘徽为《九章》所作的注本。
例1
《九章算术》“方程章”中第一个题目： 上等谷 3 束，中等谷 2 束，下等谷 1 束，共是 39 斗；上等谷 2 束，中等谷 3 束，下等谷 1 束，共是 34 斗；上等 谷 1 束，中等谷 2 束，下等谷 3 束，
共是 26 斗. 问上，中，下等谷每束各是几斗？
学生动脑思考，并列方程组和解方程组。
先让学生审题，找等量关系，列方程 组，解方程组。 介绍方程组的古代表示：算筹图
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译成现代汉语是这样的： 上等谷3捆，中等谷2捆，下等谷1捆，共 收谷39斗；上等谷2捆，中等谷3捆，下等 谷1捆，共收谷34斗；上等谷1捆，中等谷2 捆，下等谷3捆，共收谷26斗；上、中、下 等谷每捆各是几斗？
用心思考未来 做最好的自己
七年级数学下（人教2011版)
解：设上等谷每捆是x斗、中 谷每捆是y斗、下等谷每捆是z斗， 依题意有
用用心心思思考考未未来来 做做最最好好的的自自己己
七年级数学下（人教2011版)
《九章算术》的“方程”章中： 今 有上禾七秉，损实一斗，益实下禾二秉， 而实一十斗；下禾八秉，益实一斗与上 禾二秉，而实一十斗。问上、下禾实一 秉各几何？
这里的“损实”就是减去，“益实” 就是加上，故而“益实”和“损实”是 一对互为相反意义的正负概念。
用用心心思思考考未未来来 做做最最好好的的自自己己
七年级数学下（人教2011版)
学习小结
说说你在这节课的收获？
知识方面： 方法方面：
用心思考未来 做最好的自己
七年级数学下（人教2011版)
课后作业
借助网络进一步了解古代数学的发展进程和 古今数学家的故事，培养学习数学的兴趣。
用心思考未来 做最好的自己
情境引 入 早在三千六百多年前，埃及人就
会用方程解决数学问题了。 题的史料。一直到三百多年前，法国 的数学家笛卡尔第一个提倡用X、Y、 Z等字母代表未知数，才形成了现在 的方程。
你知道吗？
用心思考未来 做最好的自己
七年级数学下（人教2011版)
请解答上述问题。
用心思考未来 做最好的自己
七年级数学下（人教2011版)
方法一：（列二元一次方程） 解：设人数是 x人，物价为 y元. 则
解得
答：共有7人，物品的价格为53元。 方法二：（列一元一次方程）
解：设共有x人. 根据题意，得
8x - 3 = 7x + 4
解得 x = 7.
所以， 8x - 3 = 8×7 - 3 = 53.
用心思考未来 做最好的自己
导入七年新级数课学下（人教2011版)
典型例题
T1:（2017年安徽中考数学 第16题）
《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下 ：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、 物价各几何？
译文为：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还 盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物 品的价格是多少?
用心思考未来 做最好的自己
七七年年级级数数学学下下（（人人教教2021011版1版) )
学以致 用
答题说明：
每个苹果背后对应 一个题目,参与的学生 从1-3号苹果中任选一 个作答。
用用心心思思考考未未来来 做做最最好好的的自自己己
七年级数学下（人教2011版)
《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在 它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1、 图2．图中各行从左到右列出的算筹数，分别表示未知数x，y的 系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的
答：共有7人，物品的价格为53元.
用心思考未来 做最好的自己
七年级数学下（人教2011版)
典型例题
T2:《九章算术》“方程”章第一题： 今有上禾(上等稻谷)三秉(捆)，中禾二秉， 下禾一秉，实(谷子) 三十九斗；上禾二秉， 中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾 一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。 问上、中、下禾一秉各几何？
阅读与思考 一次方程组的古今表示及 解法
七年级数学下（人教2011版)
学习目标
1.能用一次方程组刻画事物间的数量关系； 2.通过运用一次方程组解决问题，渗透数学建模的思想； 3.感受我国对数学研究的悠久历史，弘扬中华文化，激发学 生爱国热情。
用心思考未来 做最好的自己
七年级数学下（人教2011版)
｛3x+2y+z=39 2x+3y+z=34
x+2y+3z=26
｛ 解得
x=9.25 y=4.25
z=2.75
答：上等谷每捆是9.25斗、中 谷每捆是4.25斗、下等捆每束是 2.75斗．
用心思考未来 做最好的自己
七年级数学下（人教2011版)
方法总 结
1、读懂题（结合译文或注释、图示）； 2、建模（方程或方程组等）； 3、列式（方程或方程组等）； 4、求解（解方程或方程组等）； 5、答案。
方程组形式表述出来，就是 3x+22yx=+1y9=，1x1+, 44yx=+233y. =类2似7 地，图2
所示的算筹图我们可以表述为______________________．
用心思考未来 做最好的自己
七七年年级级数数学学下下（（人人教教2021011版1版) )
学以致 用
答题说明：
每个苹果背后对应 一个题目,参与的学生 从1-3号苹果中任选一 个作答。
请解答上述问题。
用心思考未来 做最好的自己
七年级数学下（人教2011版)
解：设上禾每捆打谷x斗，下禾每捆打谷y斗。则据 题意可得
解得
答：设上禾每捆打谷 斗，下禾每捆打谷 斗。
用心思考未来 做最好的自己
七七年年级级数数学学下下（（人人教教2021011版1版) )
学以致 用
答题说明：
每个苹果背后对应 一个题目,参与的学生 从1-3号苹果中任选一 个作答。
七年级数学下（人教2011版)
再见！ 学习进步！
用心思考未来 做最好的自己
谢谢
用心思考未来 做最好的自己
七年级数学下（人教2011版)
解：设上等谷每捆是x斗、中 谷每捆是y斗、下等谷每捆是z斗， 依题意有
用用心心思思考考未未来来 做做最最好好的的自自己己
七年级数学下（人教2011版)
《九章算术》的“方程”章中： 今 有上禾七秉，损实一斗，益实下禾二秉， 而实一十斗；下禾八秉，益实一斗与上 禾二秉，而实一十斗。问上、下禾实一 秉各几何？
这里的“损实”就是减去，“益实” 就是加上，故而“益实”和“损实”是 一对互为相反意义的正负概念。
用用心心思思考考未未来来 做做最最好好的的自自己己
七年级数学下（人教2011版)
学习小结
说说你在这节课的收获？
知识方面： 方法方面：
用心思考未来 做最好的自己
七年级数学下（人教2011版)
课后作业
借助网络进一步了解古代数学的发展进程和 古今数学家的故事，培养学习数学的兴趣。
用心思考未来 做最好的自己
情境引 入 早在三千六百多年前，埃及人就
会用方程解决数学问题了。 题的史料。一直到三百多年前，法国 的数学家笛卡尔第一个提倡用X、Y、 Z等字母代表未知数，才形成了现在 的方程。
你知道吗？
用心思考未来 做最好的自己
七年级数学下（人教2011版)
请解答上述问题。
用心思考未来 做最好的自己
七年级数学下（人教2011版)
方法一：（列二元一次方程） 解：设人数是 x人，物价为 y元. 则
解得
答：共有7人，物品的价格为53元。 方法二：（列一元一次方程）
解：设共有x人. 根据题意，得
8x - 3 = 7x + 4
解得 x = 7.
所以， 8x - 3 = 8×7 - 3 = 53.
用心思考未来 做最好的自己
导入七年新级数课学下（人教2011版)
典型例题
T1:（2017年安徽中考数学 第16题）
《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下 ：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、 物价各几何？
译文为：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还 盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物 品的价格是多少?
用心思考未来 做最好的自己
七七年年级级数数学学下下（（人人教教2021011版1版) )
学以致 用
答题说明：
每个苹果背后对应 一个题目,参与的学生 从1-3号苹果中任选一 个作答。
用用心心思思考考未未来来 做做最最好好的的自自己己
七年级数学下（人教2011版)
《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在 它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1、 图2．图中各行从左到右列出的算筹数，分别表示未知数x，y的 系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的
答：共有7人，物品的价格为53元.
用心思考未来 做最好的自己
七年级数学下（人教2011版)
典型例题
T2:《九章算术》“方程”章第一题： 今有上禾(上等稻谷)三秉(捆)，中禾二秉， 下禾一秉，实(谷子) 三十九斗；上禾二秉， 中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾 一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。 问上、中、下禾一秉各几何？
阅读与思考 一次方程组的古今表示及 解法
七年级数学下（人教2011版)
学习目标
1.能用一次方程组刻画事物间的数量关系； 2.通过运用一次方程组解决问题，渗透数学建模的思想； 3.感受我国对数学研究的悠久历史，弘扬中华文化，激发学 生爱国热情。
用心思考未来 做最好的自己
七年级数学下（人教2011版)
｛3x+2y+z=39 2x+3y+z=34
x+2y+3z=26
｛ 解得
x=9.25 y=4.25
z=2.75
答：上等谷每捆是9.25斗、中 谷每捆是4.25斗、下等捆每束是 2.75斗．
用心思考未来 做最好的自己
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方法总 结
1、读懂题（结合译文或注释、图示）； 2、建模（方程或方程组等）； 3、列式（方程或方程组等）； 4、求解（解方程或方程组等）； 5、答案。
方程组形式表述出来，就是 3x+22yx=+1y9=，1x1+, 44yx=+233y. =类2似7 地，图2
所示的算筹图我们可以表述为______________________．
用心思考未来 做最好的自己
七七年年级级数数学学下下（（人人教教2021011版1版) )
学以致 用
答题说明：
每个苹果背后对应 一个题目,参与的学生 从1-3号苹果中任选一 个作答。
请解答上述问题。
用心思考未来 做最好的自己
七年级数学下（人教2011版)
解：设上禾每捆打谷x斗，下禾每捆打谷y斗。则据 题意可得
解得
答：设上禾每捆打谷 斗，下禾每捆打谷 斗。
用心思考未来 做最好的自己
七七年年级级数数学学下下（（人人教教2021011版1版) )
学以致 用
答题说明：
每个苹果背后对应 一个题目,参与的学生 从1-3号苹果中任选一 个作答。
七年级数学下（人教2011版)
再见！ 学习进步！
用心思考未来 做最好的自己
谢谢