球的体积和表面积 课件
8.3.2.2球的体积和表面积+教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
“球的体积和表面积”教学设计
一、教学内容解析
本节课的内容是人教A版《普通高中教科书 数学 必修 第二册》（以下统称“教材”）“球的体积和表面积”，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，学习另一种几何体——球体的体积与表面积.研究球的体积方向很多，教材介绍了“分割、求近似值、再由近似求和转化为球体的体积”的极限思想方法，这也是球的体积的教学重点.从知识结构上讲，球是进一步研究空间组合体结构特征的基础，具有承上启下的作用；从思想方法上讲，在球的体积公式的教学中充分运用极限思想，为以后学习导数做好铺垫.这节课在章节、模块甚至数学课程的角度全面整合教材，突出学科知识的系统性和教学的方向性，形成有生命、有灵魂的整体的知识.
本节课教学重点：研究球的体积和表面积.
二、教学目标设置
结合课标要求，本节课制定如下教学目标：
1.通过类比研究圆的周长和面积的方法，能得出研究球的体积和面积的方法，发展数学抽象、直观想象等核心素养；
2.通过应用祖暅原理，能推导出球的体积公式，提高数学建模、逻辑推理等核心素养；
3.通过探究球的体积的过程，发展研究数学问题的思维体系.
三、学生学情分析
(一)已具备的认知基础
1.在学习本节课内容之前，通过柱体、锥体、台体的体积和表面积的探究和学习，学生已具备了一定的空间想像能力、综合分析、归纳总结的能力；
2.通过小学研究了圆的周长和面积，已经初步具备了极限、等价转化、分割的思想或方法.
（二）可能存在的认知困难
对球体的研究已经超越了学生能把握的直观化对象，是教材中学生最难理解的内容之一.极限法怎样分割？应用祖暅原理怎样进行等价转化？ 因此，本节课难点：极限法的分割方式;应用祖暅原理怎样构造组合体.
四、教学策略分析
本节课贯彻以“学生为主体，教师为主导”的理念，采用主动探究、合作交流、“设置问题序列”的方式，引导学生独立思考.利用小组实验、学生讲解等方式，调动学生学习的积极性.本节课倡导学生主动参与，在师生互动、生生互动中，完成了对球体积和表面积的研究，以及公式的推导.安排学生在课前查阅资料，类比探究出球的不同切割方法.充分发挥多媒体的优势，生动形象地演示了各种研究球体积的方法，突破了传统教学不好解决的教学重、难点，实现了教学目标.
球的体积和表面积
球的体积和表面积
球是一种立体几何体，具有特殊的性质。在数学中，球的体积和表面积是球的基本属性，也是许多实际应用中需要计算的重要参数。
球的体积
球的体积是指球所占据的空间大小。我们可以使用以下公式来计算球的体积：
V = (4/3) * π * r³
其中，V代表球的体积，π是一个常数，约等于3.14159，r代表球的半径。
通过这个公式，我们可以根据给定的半径，准确地计算出球的体积。需要注意的是，球的半径必须为正数，否则计算结果将没有实际意义。
球的表面积
球的表面积是指球的外表面积大小。我们可以使用以下公式来计算球的表面积：
A = 4 * π * r²
其中，A代表球的表面积，π是一个常数，约等于3.14159，r代表球的半径。
与计算球的体积类似，根据给定的半径，我们可以准确地计算出球的表面积。同样，球的半径必须为正数，否则计算结果将失去实际意义。
数值计算示例
为了更好地理解球的体积和表面积的计算方法，这里给出一个数值计算示例。
假设球的半径为5cm，我们可以使用上述公式来计算球的体积和表面积。
首先计算球的体积：
V = (4/3) * π * (5)^3 ≈ 523.6cm³
接下来计算球的表面积：
A = 4 * π * (5)^2 ≈ 314.2cm²
因此，对于半径为5cm的球，它的体积约为523.6cm³，表面积约为314.2cm²。 应用举例
球的体积和表面积在实际应用中具有广泛的应用。下面列举几个常见的应用举例。
1. 工程建设： 在建筑和土木工程中，球的体积和表面积的计算可以用于设计和规划工程中的圆形结构，例如球形储罐或建筑物的圆顶。
2. 3D建模： 在计算机图形学和动画领域，球的体积和表面积的计算可以用于生成和渲染球形对象，例如球体模型或球形特效。
3. 物体密度计算： 球的体积可以用于计算物体的密度。通过测量物体的质量和体积，可以计算物体的密度，进而了解物体的物理性质。
球体的表面积和体积
球体的表面积和体积
1.球的表面积公式
半径是R的球的表面积计算公式是：S=4πR^2（4倍的π乘以R的二次方）
球的表面积计算公式推导过程：把一个半径为R的球的上半球横向切成n份，每份等高，并且把每份看成一个类似圆台，其中半径等于该类似圆台顶面圆半径，则从下到上第k个类似圆台的侧面积：S（k）=2πr（k）×h，其中r（k）=√[R^2-（kh）^2]，S（k）=2πr（k）h=（2πR^2）/n，则S=S（1）+S（2）+S（n）=2πR^2；乘以2就是整个球的表面积4πR^2.
2.球的体积公式
球体体积公式是V=（4/3）πr^3，一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体，简称球，半圆的半径即是球的半径，球体有且只有一个连续曲面的立体图形。
球的体积公式推导过程：欲证v=4/3×πr^3，可证1/2v=2/3×πr^3.做一个半球h=r，做一个圆柱h=r。V柱-V锥=π×r^3-π×r^3/3=2/3π×r^3.
高(下)数学球的体积和表面积教学讲义
1.3.2 球的体积和表面积教学讲义
球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4πR2,V=334R. 注意：球的体积和表面积公式的证明略或以后证明.
应用示例
例1.一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好与铁球相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？
解：设球未取出时高hPC，球取出后水面高xPH，如图2．
因为rPCrAC3,3，
所以以AB为底面直径的圆锥容积为：
32233)3(3131rrrPCACV圆锥， 334rV球．
球取出后水面下降到EF，水的体积为：
320291)30tan(3131rPHPHPHEHV水，
而球圆锥水VVV，即33334391rrr，rx315，故球取出后水平面的高为r315．
例2．在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。
分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径
例3.已知圆台的内切球半径为R，且圆台的全面积和球面积之比为218，求圆台的上下底面半径1212,()rrrr
P F B C
H
O
D E A
图2
例4.（1）一个球外接于正四面体，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_____________.
（2）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_____________.
分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a22，于是球的半径为a42，V=3242a.答案：3242a
例5.底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为21cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm3.
球体的体积和表面积计算
球体的体积和表面积计算
嘿，朋友们！今天咱们来聊聊球体这个神奇的家伙，特别是它的体积和表面积的计算。
还记得我上高中的时候，有一次数学考试，最后一道大题就是关于球体体积和表面积计算的。当时我那个紧张啊，手心都出汗了。题目说一个球体放在一个长方体的盒子里，已知长方体的长宽高，让求这个球体的体积和表面积。我一看这题，心里先是“咯噔”一下，不过很快就冷静下来了。
咱们先来说说球体的体积怎么算。球体体积的计算公式是 V ＝
（4/3)πr³ 。这里的 r 就是球体的半径。那什么是半径呢？就是从球心到球表面的距离。比如说一个足球，你从足球的中心到它表面的任何一点，这段距离就是半径啦。
计算球体体积的时候，咱们得先找到这个半径。有时候题目会直接告诉咱们半径的长度，那这就简单啦，直接代入公式就行。但有的时候呢，就像我刚刚说的那次考试，得通过一些条件去算出半径。比如给了球体的直径，那半径就是直径的一半呗。
再说说表面积，球体表面积的计算公式是 S ＝ 4πr² 。还是这个半径
r 很关键。 我给大家举个例子啊。假设咱们有一个气球，吹得圆圆的，半径是
5 厘米。那它的体积就是 （4/3)×314×5³ ，算出来大概是 52333 立方厘米。表面积呢，就是 4×314×5² ，算出来是 314 平方厘米。
咱们在生活中也经常能碰到和球体体积、表面积有关的事儿。比如说，建筑工人在建造一个球形的屋顶时，就得先算出球体的体积和表面积，这样才能知道需要多少材料呢。还有，制作一个球形的蛋糕模具，蛋糕师傅也得心里有数，知道这个模具能装多少蛋糕糊，这都离不开对球体体积和表面积的计算。
想象一下，一个工厂要生产一批球形的玩具，老板如果不知道球体的体积和表面积怎么算，那可就抓瞎啦！可能会生产出大小不合适的玩具，浪费材料不说，还卖不出去，那得多亏呀！
所以说，学会计算球体的体积和表面积，不仅能在考试中拿高分，在生活里也是超级有用的呢！大家可得好好掌握这个知识点，说不定哪天就能派上大用场！
【新人教版】数学必修二第八章 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
【新人教版】数学必修二第八单元
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
图形 表面积公式
旋转体 圆柱
底面积：S底＝2πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πr(r＋l)
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积 说明
圆柱
V圆柱＝Sh＝πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥 V圆锥＝13Sh＝13πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台 V圆台＝13(S＋SS′＋S′)h＝13π(r2＋rr′＋r′2)h 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
知识点三 球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径).
2.球的体积公式V＝43πR3.
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.( × )
2.圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.( √ )
3.球的体积是关于球半径的一个函数.( √ )
4.球的表面积是球的体积的6倍.( × )
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1 (1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶5 D.3∶2
答案 C
解析 设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝5r，∴S侧＝πrl＝5πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶5.
(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )
高2020届理科数学一轮复习课件金太阳新考案第十单元§10.2球的体积与表面积
§10.2 球的体积与表面积
一 球的结构、球的体积与表面积
1.球由 绕其直径所在直线旋转一周而成.
2.球的体积与表面积公式
(1)球的体积公式 .
(2)球的表面积公式 .
二 球体的截面的特点
球既是中心对称的几何体,又是 对称的几何体,它的任何截面均为 ,它的三视图都是 .
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一、1.半圆面
2.(1)V=
πR3 (2)S=4πR2
二、轴 圆面 圆
1 一个球的表面积是16π,则它的体积是 .
【试题解析】由4πR2=16π得R=2,所以球的体积为V=
πR3=
.
【参考答案】
2 三棱锥P－ABC三条侧棱两两垂直,三个侧面的面积分别为
,
,
,则该三棱锥的外接球表面积为( ).
A.4π B.6π C.8π D.10π
【试题解析】三棱锥P－ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,它的外接球就是其扩充为长方体的外接球, 设PA=a,PB=b,PC=c,
则
ab=
,
bc=
,
ca=
,
解得a= ,b=1,c= .
故长方体的体对角线的长为 ＋ ＋ = .
所以球的直径是 ,半径R=
,
则球的表面积S=4πR2=6π.
【参考答案】B
3 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ).
A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2
【试题解析】根据题意,球的半径R满足(2R)2=6a2,
所以S球=4πR2=6πa2.
故选B.
【参考答案】B
4 棱长为2的正方体的内切球的体积为(
).
A.4π
B.16π C.
D.
【试题解析】由正方体的性质可得正方体的内切球的半径R=
×2=1,
所以球的体积V=
πR3=
.
故选C.
【参考答案】C
1.3.3 球的表面积和体积
1
1.3.2 球的表面积和体积
教学目标
1.掌握球的表面积与体积公式；
2.培养学生的空间想象能力和思维能力。
教学重难点
重点：球的表面积与体积的计算.
难点：简单组合体的体积计算.
复习回顾：柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么？
问题提出：球没有底面，也不能像柱、锥、台体那样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？
探究一、球的体积
思考:从球的结构特征分析，球的大小由哪个量所确定？
思考:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥的体积分别是什么？
思考:如图，对一个半径为R的半球，其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系？
1.球体的体积
半径为R的球的体积V＝43πR3.
探究二、球的表面积
思考:你能推导出半径为R的球的表面积公式吗？
2.球的表面积
半径为R的球的表面积S球表＝4πR2.
思考:经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？
2
典例讲解
考点一、求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R，然后代入体积或表面积公式求解；
(2)半径和球心是球的最关键要素。
例1.如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，求图中阴影部分绕AB旋转一周形成的几何体的表面积和体积.
例2.体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小．
考点二、球的截面问题
有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题，解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
例3.在球心同侧有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别是49π cm2和400π cm2，求球的表面积．
例4.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2cm，求球的体积，表面积．
球表面积和体积公式
球表面积和体积公式
一、球的表面积公式。
1. 公式内容。
- 球的表面积公式为S = 4π r^2，其中S表示球的表面积，r表示球的半径。
2. 公式推导（高中阶段不要求严格推导，简单了解）
- 可以通过极限的思想，将球的表面分割成许多小的曲面片，当这些曲面片足够小时，可以近似看成平面三角形等规则图形，然后通过对这些小图形面积求和，在极限情况下得到球的表面积公式。
3. 应用示例。
- 例：已知一个球的半径r = 3，求球的表面积。
- 解：根据球的表面积公式S = 4π r^2，将r = 3代入可得S=4π×3^2=4π×9 =
36π。
二、球的体积公式。
1. 公式内容。
- 球的体积公式为V=(4)/(3)π r^3，其中V表示球的体积，r表示球的半径。
2. 公式推导（高中阶段可通过祖暅原理推导）
- 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。简单说就是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
- 我们可以利用祖暅原理，将球与一个底面半径和高都为r的圆柱以及一个底面半径为r、高为2r的圆锥组合起来，通过比较截面面积，得出球的体积公式。 3. 应用示例。
- 例：已知球的半径r = 2，求球的体积。
- 解：根据球的体积公式V=(4)/(3)π r^3，将r = 2代入可得V=(4)/(3)π×2^3=(4)/(3)π×8=(32)/(3)π。
高中数学同步讲义必修二——第一章 1.3.2 球的体积和表面积
1.3.2 球的体积和表面积
学习目标 1.掌握球的表面积和体积公式.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．
知识点 球的表面积和体积公式
1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)；
2．球的体积公式V＝43πR3.
1．球的表面积等于它的大圆面积的2倍．( × )
2．两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( × )
3．球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．( √ )
类型一 球的体积和表面积
例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；
(2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．
解 (1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，
所以球的体积V＝43πR3＝43π·43＝2563π.
(2)设球的半径为R，则43πR3＝5003π，解得R＝5，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.
反思与感悟 (1)公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．
(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．
跟踪训练1
(1)两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．2∶3 B．4∶9
C.2∶3 D.8∶27 (2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．
答案 (1)B (2)32
解析
(1)由两球的体积之比为8∶27，
可得半径之比为2∶3，
故表面积之比是4∶9.
(2)设大球的半径为R，由题意得
43πR3＝2×43π×13，得R＝32.
类型二 球的截面及切接问题
命题角度1 球的截面问题
例2 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器的厚度，则球的体积为( )
A.500π3 cm3 B.866π3 cm3